BAB II KAJIAN PUSTAKA. dalam waktu (Hanke&Winchern, 2005: 58). Metode time series adalah metode

Transkripsi

1 BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Time Series Time series aau ruu wau adalah himpua observasi daa eruru dalam wau (Hae&Wicher, 005: 58). Meode ime series adalah meode peramala dega megguaa aalisa pola hubuga aara variabel yag aa dipeiraa dega variabel wau. Peramala suau daa ime series perlu memperhaia ipe aau pola daa. Secara umum erdapa empa macam pola daa ime series, yaiu horizoal, red, musima, da silis (Hae da Wichre, 005: 58). Pola horizoal merupaa ejadia yag ida erduga da bersifa aca, eapi emuculaya dapa memepegaruhi fluuasi daa ime series. Pola red merupaa ecederuga arah daa dalam jaga pajag, dapa berupa eaia maupu peurua. Pola musima merupaa fluuasi dari daa yag erjadi secara periodi dalam uru wau sau ahu, seperi riwula, uarala, bulaa, miggua, aau haria. Sedaga pola silis merupaa fluuasi dari daa uu wau yag lebih dari sau ahu. B. Sasioerias Sasioerias berari bahwa ida erjadiya perumbuha da peurua daa. Suau daa dapa diaaa sasioer apabila pola daa ersebu berada pada eseimbaga diseiar ilai raa-raa yag osa da variasi diseiar raaraa ersebu osa selama wau ereu (Maridais, 999: 6). Time series 6

2 7 diaaa sasioer apabila ida ada usur red dalam daa da ida ada usur musima aau raa-raa da variaya eap, seperi pada Gambar.. Time Series Plo of diff 50 5 diff I d e x Gambar.. Plo ime series daa Sasioer dalam raa-raa da variasi (Hae&Wicher, 005: 7) Selai dari plo ime series, sasioer dapa diliha dari plo Auocorrelaio Fucio (ACF) daa ersebu. Apabila plo daa Auocorrelaio Fucio (ACF) uru medeai ol secara cepa, pada umumya seelah lag edua aau eiga maa dapa diaaa sasioer (Hae&Wicher, 005: 67). Gambar. meujua plo ACF dari daa sasioer. Auocorrelaio Fucio for diff (w ih 5 % s ig ific a c e lim is fo r h e a u o c o rre la io s ) Auocorrelaio,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -, Lag Gambar.. Plo ACF daa sasioer (Hae&Wicher, 005: 7)

3 8 Daa osasioer apabila erdapa usur red dalam daa, yaiu megalami eaia da peurua seirig berambahya periode wau. Pada daa osasioer yag memilii red aa memilii ilai Auocorrelaio Fucio (ACF) yag sigifia pada lag-lag awal emudia megecil secara berahap, seperi Gambar.3.,0 0,8 0,6 Auocorrelaio Fucio for Operaig_Reveuew (w ih 5% sigificace lim is for he auocorrelaios) Auocorrelaio 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -, Lag Gambar.3. Plo ACF daa ida sasioer (Hae&Wicher, 005: 7) C. Differecig Differecig (pembedaa) dilaua uu mesasioera daa osasioer. Operaor shif mudur (bacward shif) saga epa uu meggambara proses differecig (Maridais, 999: 383). Pegguaa bacward shif adalah sebagai beriu B (.) dega ilai variabel pada wau ilai variabel pada wau

4 9 B bacward shif Noasi B yag dipasag pada memepuyai pegaruh meggeser daa sau wau ebelaag. Sebagai cooh, jia suau daa ime series osasioer maa daa ersebu dapa dibua medeai sasioer dega melaua differecig orde perama dari daa. Rumus uu differecig orde perama, yaiu dega (.) ilai variabel pada wau seelah differecig dega megguaa bacward shif, persamaa (.) dapa diulis mejadi B (.3) aau ( B) (.4) Differecig perama pada persamaa (.4) diyaaa oleh ( B) D. Auocorrelaio Fucio/Fugsi Auoorealsi (ACF) Auoorelasi merupaa orelasi aau hubuga aar daa pegamaa suau daa ime series. Meuru Wei, (006: 0), oefisie auoorelasi uu lag dari daa ruu wau diyaaa sebagai beriu: Var Cov ( ), ( ) Var( ) + + E E( μ)( + μ) γ ( μ) E( μ) γ 0 + (.5) dega μ raa-raa

5 0 γ auoovariasi pada lag- auoorelasi pada lag- wau pegamaa,,,3,... Var( )Var( + ) γ 0 Meuru Mulyaa, (004: 8), area merupaa fugsi aas, maa hubuga oefisie auoorealsi dega lagya disebu dega fugsi auoorelasi. Koefisie auoorelasi (Maridais, 999: 339). diduga dega oefisie auoorelasi sampel r dega ( x x)( x x) ( x + x) (.6) r oefisie auoorealsi pada lag- selisih wau jumlah observasi x raa-raa dari pegamaa {z } x pegamaa pada wau e- x + pegamaa pada wau e +,,,3,... Uu megeahui apaah oefisie auoorelasi sigifia aau ida, perlu dilaua uji. Pegujia dapa dilaua hipoesis Ho: 0 (oefisie auoorelasi ida sigifia) H : 0 (oefisie auoorelasi sigifia)

6 Saisi uji yag diguaa adalah r SEr dega SE. Krieria epuusa Ho diola jia > α. Selai megguaa uji ersebu, hi, uu megeahui apaah oefisie auoorelasi yag diperoleh sigifia aau ida dapa diliha pada oupu sofware MINITAB 6, yaiu grafi ACF residual. Jia pada grafi ACF ida ada lag yag melebihi garis baas sigifiasi (garis puus puus), maa oefisie auoorelasi yag diperoleh sigifia aau ida erjadi orelasi aar lag seperi yag diujua pada Gambar.4 beriu Auocorrelaio Fucio for Y (w ih 5 % s ig ifica ce lim is fo r h e a u o co rre la io s ) Auocorrelaio Lag Gambar.4. (Hae&Wicher, 005: 68) E. Parial Auocorrelaio Fucio/Fugsi Auoorelasi Parsial (PACF) Auoorealsi parsial merupaa orelasi aara da + dega megabaia eidabebasa +, +, K, +. Meuru Wei, (006: ),

7 auoorelasi parsial da + dapa diurua dari model regresi liear, dega variabel depede + da idepede +, +,...,, yaiu: + φ + + φ + + L+ ϕ + a+ (.7) dega φ i merupaa parameer regresi e-i uu i,,..., da a + merupaa residu dega raa-raa ol da ida berorelasi dega + j uu j,,...,. Dega megalia + j pada edua ruas persamaa (.7) da meghiug ilai ol harapaya (expeced value), diperoleh E ( ) φ E( ) + φ E( ) + L φ E( ) + j + + j + + j j + + ( e ) E + j + γ j φ φ γ j + φ γ j + L + j (.8) da j φ φ j + φ j + L + j (.9) uu j,,...,, diperoleh sisem persamaa beriu L φ0 + φ + + φ L φ + φ φ M M M M φ + φ + L + φ 0 dega megguaa aura Cramer, beruru-uru,,..., diperoleh φ

8 3 φ 3 33 φ M φ L M M L L L M M L L (.0) Karea φ merupaa fugsi aas, maa φ disebu fugsi auoorealsi parsial. Hipoesis uu meguji oefisie auoorelasi parsial sebagai beriu: 0 : 0 H φ 0 : H φ Saisi uji yag diguaa: ( ) SE φ φ dega ( ) SE φ. Krieria epuusa ola H 0 jia, df hiug α > dega deraja bebas df -, adalah bayaya daa (Wei, 006: 50).

9 4 F. Proses Whie Noise Suau proses {ee } disebu whie oise jia merupaa barisa variabel aca yag ida berorelasi dega raa-raa E(ee ) 0, varias osa Var(e ). Oleh area iu, suau proses whie oise {e } adalah sasioer dega fugsi auoovariasi (Wei, 006: 5). γ σ, jia 0 0, jia 0 (.) fugsi auoorelasi, jia 0 0, jia 0 (.) fugsi auoorelasi parsial φ, jia 0 0, jia 0 (.3) Lagah-lagah pegujia whie oise: H 0 : 3 L K 0 (residu memeuhi proses whie oise) H : 0,,, L, K (res sidu ida memeuhi proses whie oise) Saisi uji yaiu uji Ljug Box-Pierce. Rumus uji Ljug-Box aau Box-Pierce (Wei, 006: 53): Q K ( + ) K r (.4) dega K bayaya observasi dalam ruu wau bayaya lag yag diuji

10 5 r ilai oefisie auoorelasi pada lag- Krieria epuusa: H 0 diola jia Q > χ abel dega deraja bebas (db) K-p aau p-value <α dega p adalah bayaya parameer. Selai iu, auoorelasi residual dapa diliha dari plo ACF residual. Apabila ida ada lag yag eluar dari garis sigifiasi, maa dapa diaaa bahwa ida ada auoorelasi seperi pada Gambar.3. G. Uji Normalias Gala Uji ormalias residu dilaua uu megeahui apaah gala berdisribusi ormal aau ida. Pegujia dapa dilaua dega aalisis grafi ormal probabiliy plo. Jia residu berada diseiar garis diagoal maa gala berdisribusi ormal. Sebaliya, jia residu ida berdisribusi ormal, maa residu aa meyebar seperi pada Gambar.5. Gambar.5. Grafi ormal probabiliy plo uu gala berdisribusi ormal (Nur Iriawa&Sepi Puji Asui, 006: 9)

11 6 H. Meode Masimum Lielihood Meode uu megesimasia harga parameer dari suau daa ruu wau diguaa meode masimum lielihood, meuru Bai da Egelhard, (99: 9), uu medapaa meode masimum lielihood aa di beria defiisi fugsi lielihood sebagai beriu: Defiisi Fugsi desias bersama dari variable radom,, L, L dega ilai pegamaa x, x,, x L dioasia dega f ( x, x, Lx,θ ) L L da disebu fugsi lielihood. Uu x, x, L, x L eap adalah fugsi dari θ da dioasia dega ( ) θ fugsi desias f ( x ;θ ) L. Jia,, L L, adalah sampel radom dari, maa fugsi lielihoodya adalah: L( θ ) f ( x ; θ ) f ( x j ; θ ) j f ( x j ; θ ) (Bai da Egelhard, 99: 93). Defiisi j θ j j Misala ( θ ) f ( x ; θ ) f ( x ; θ ) LL f ( x ; θ ) f ( x ; ), L θ Ω adalah fugsi desias bersama,,.... Bila diberia himpua dari pegamaa x, x,... x, ilai θˆ dalam Ω yag memasimuma L(θ) disebu peduga masimum lielihood dari θ. Dalam hal ii θˆ merupaa ilai dari θ yag memeuhi f ( x L, x ; ˆ θ ) max f ( x, L, x ; θ ) 94)., θ Ω (Bai da Egelhard, 99:.

12 7 Peduga masimum lielihood uu θ dapa dicari dega d dθ meyelesaiapersamaa l L( θ ) 0. Misala erdapa parameer yag ida dieahui, maa pedugaa parameer lielihood dari θ i didapa dega d l dθ meyelesaia L( θ, θ,... θ ) 0 i dega i,,, (Bai da Egelhard, 99: 98). I. Model Auoregressive Iegraed Movig Average (ARIMA) Model Auoregressive Iegraed Movig Average (ARIMA) merupaa model ARMA osasioer yag elah didifferecig sehigga mejadi model sasioer. Ada beberapa model ARIMA yag dapa diguaa pada daa ime series, yaiu:. Model Auoregressive (AR) Model Auogressive (AR) dega order p dioasia dega AR(p). Beu umum model AR(p) adalah: + φ +. K + φ p p e (.5) dega ilai variabel pada wau e- φ i oefisie auoregressive, i :,,3,.,p e ilai gala pada wau e- p order AR Persamaa (.5) dapa diulis megguaa operaor B (bacshif):

13 8 φ φ φ p B + B + K+ pb + e (.6) φ ( B ) e (.7) Order AR yag serig diguaa dalam aalisis ime series adalah p aau p, yaiu model AR() da AR(). a. Model AR() Beu umum model AR() adalah φ + e (.8) Persamaa (.8) dapa diulis dega operaor bacshif (B), mejadi: ( φ B ) e (.9) b. Model AR() Beu umum model Auoregressive order aau AR(), yaiu: φ + φ + e (.0) Persamaa (.0) dapa diulis dega operaor bacshif (B), mejadi: ( B + φ B ) e φ (.). Model Movig Average (MA) Movig Average (MA) merupaa ilai ime series pada wau yag dipegaruhi oleh usur esalaha pada saa ii da usur esalaha erbobo pada masa lalu (Maridais, 999: 54). Model Movig Average (MA) order q, dioasia mejadi MA(q). Secara umum, model MA(q) adalah: e θ e K θ e q q (.)

14 9 dega e ilai variabel pada wau e- parameer model Movig Averagee (MA) ilai gala pada wau e- e q q ilai esalaha pada saa order MA q Persamaa (.) dapa mejadi: diulis megguaa operaorr bacshif (B), ( θ B θ B Kθ q B q ) e (.3) θ (B) e (.4) da θ ( B) ( θ B θ B Kθ B q q ) merupaa operaor MA(q). Secara umum, order MA yag serig diguaa dalam aalisis ime series adalah q aau q, yaiu MA() da MA(). Model Movig Average order aau MA() secara maemais didefiisia mejadi: e θe (.5) Persamaa (.5) dapa diulis dega operaor B (bacshif), mejadi: ( θ B)e e Sedaga model Movig Average order aau (.6) MA() secara maemais didefiisia e θe θ e (.7) Persamaa (.7) dapa diulis dega operaor B (bacshif), mejadi:

15 0 ( θ B θ B ) e (.8) 3. Model Auoregressive Movig Average (ARMA)(p,q) Model Aouregressive Movig Average (ARMA) merupaa suau gabuga dari model AR(p) da MA(q). Beu umum model ARMA(p,q), yaiu: φ θ + K + φ p p + e θe K qe q (.9) dega φ i ilai variabel pada wau e- oefisie auoregressive e-i, i,, 3,..., p p q θ i order AR order MA parameer model MA e-i, i,, 3,...,q e ilai gala pada wau e- a. Esimasi parameer model ARMA (p,q) Esimasi parameer model Auoregressive Movig Average (ARMA)(p,q) dilaua dega meode masimum lielihood. Fugsi lielihood uu model Auoregressive Movig Average (ARMA)(p,q) meuru Box-Jeis (Hamilo, 994: 3) adalah ( y, K, y y, K, y, ε 0, K, ε 0) log f T p+ p p pq+ T T p T p ε log( π ) log( σ ) σ p+ (.30)

16 dega ε y c φ Y φ Y L φ Y p p ε θ ε θ ε L θ ε q q (.3) Proses perhiuga uu medapaa esimaor masimum lielihood φ da θ dilaua dega sofware MINITAB. J. Prosedur Pemodela Auoregressive Iegraed Movig Average (ARIMA) Lagah-lagah uu meeua model Auoregressive Iegraed movig Average (ARIMA) adalah:. Ideifiasi Model Lagah perama dalam pembeua model Auoregressive Iegraed Movig Average (ARIMA) adalah pembeua plo daa ime series. Pembuaa plo daa ime series berujua uu medeesi sasioerias daa ime series. Daa diaaa sasioer jia pola daa ersebu berada diseiar ilai raa-raa da variasi yag osa selama wau ereu. Selai iu, sasioerias dapa diliha dari plo Auocorrelaio Fucio (ACF) daa ersebu (Gambar.).. Meeua Orde Auoregressive (AR)daMovig Average (MA) Seelah daa erbui sasioer, lagah selajuya adalah meeua orde Auoregressive (AR) yag sesuai. Hal ii dapa dilaua dega cara meliha plo ACF da PACF dari daa ersebu. Plo Auocorrelaio Fucio (ACF) da Parial Auoregressive Fucio (PACF) aa cu off seelah proses pada orde e-p aau lag-p. Proses ii disebu dega ideifiasi model eaif.

17 Pemiliha model yag epa dilaua dega megideifiasi orde Auorehressive (AR) da Movig Average (MA). 3. Esimasi Parameer Seelah daa erbui sasioer, lagah selajuya adalah esimasi parameer model. Meode yag diguaa uu megesimasi parameer auoregressive yaiu meode uadra erecil (leas square mehod) (Chafield, 003: 59). Model AR(p) diyaaa dalam beu: φ + φ + K + φ p p + ε (.3) Dari observasi x, x,..., x parameer φ,, φ, K φ p dapa diesimasi dega memiimuma jumlah uadra residual Sum Squared Error (SSE) S [ φ p p ] p+ φ K (.33) Sebagai cooh, dieahui model AR() φ + ε (.34) sehigga diperoleh gala ε φ Uu megesimasi parameer φ dega memiimuma jumlah uadra residual S S ε (.35) ( φ ) S 0 φ

18 3 ( )( φ ) 0 ( ) + φ ( ) 0 Esimaor uu parameer φ diyaaa sebagai ˆ ( ) ( ) φ (.36) 4. Uji Sigifiasi Parameer Beriu merupaa uji sigifiasi parameer model pada parameer auoregressive (AR), yaiu Hipoesis: H 0 : φ 0 (parameer φ idasigifia dalam model) H : φ 0 (parameer φ sigifia dalam model) Taraf sigifiasi α 0, 05 Saisi uji: uji φ hiug SE( φ) Krieria epuusa: ola H 0 jia (.37) hiug > α, dega deraja bebas db -m, dega bayaya daa da m adalah bayaya parameer dalam model. 5. Uji Asumsi Normalias Error Lagah selajuya yaiu uji esesuaia model Auoregressive (AR) semeara. Uji esesuaia model uu membuia model semeara yag elah

19 4 dieapa cuup memadai dega megguaa aalisis gala uu memeuhi asumsi eormala model. Uji eormala model dilaua dega uji Kolmogorov Smirov. Hipoesis: H 0 H : sampel berasal dari populasi berdisribusi ormal : sampel ida berada dari populasi berdisribusi ormal Uji ormalias dilaua megguaa sofware MINITAB 6. Krieria epuusa: ola H 0 jia ilai sigifiasi < α. Selai melaua uji Kolmogorov Smirov, dilaua uji whie oise uu memeuhi asumsi ida ada auoorelasi residual dega megguaa saisi uji Ljug Box (persamaa.4). 6. Peramala (Forecasig) Tujua dalam aalisis ime series adalah uu meramala ilai masa depa (Wei, 006: 88). Tujua peramala adalah uu meghasila ramala opimum yag ida memilii gala aau sebisa mugi gala yag ecil yag megacu pada Mea Square Deviaio (MSD) ramalaya. Oleh area iu, seiap model peramala pasi mghasila esalaha. Jia iga esalaha yag dihasila semai ecil, maa hasil peramala aa semai medeai epa. Seelah semua ahap dilaua da diperoleh model, maa model ii selajuya dapa diguaa uu melaua peramala uu daa periode selajuya. Ala uur yag diguaa uu meghiug esalaha predisi, aara lai:. Mea Square Deviaio (MSD)

20 5 MSD ( ˆ ) (.38). Mea Absolue Deviaio (MAD) MAD ˆ (.39) 3. Mea Absolue Perseage Error (MAPE) MAPE 00% ˆ (.40) dega bayaya daa daa observasi pada wau ˆ daa hasil peramala pada wau Semai ecil ilai yag dihasila oleh eiga ala uur ersebu, maa model peramala yag diguaa aa semai bai. Dari eiga ala uur diaas, MSD yag palig serig diguaa. Pada sofware MINITAB, MSD uu model Seasoal ARIMA diyaaa dega MS.