PERAMALAN RUNTUN WAKTU MUSIMAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE WAVELET. Elfa Rafulta. STKIP YDB Lubuk Alung ABSTRACT

Transkripsi

1 PERAMALAN RUNTUN WAKTU MUSIMAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE WAELET Elfa Rafula STKIP YDB Lubu Alug ABSTRACT Forecasig is oe of impora higs i maig decisio. Forecasig s par had covered o may fields, such as physics, evirome, ecoomics, egieerig ad healh. A mehod which had bee used i forecasig is ime series aalysis whose prese values based o same id of values o he pas. Time series mehod ha ofe used i seasoal daa is ow as SARIMA. This research proposes wavele mehod, viz. MODWT (Maximal Overlap Discree Trasform), which will be used o aalyze he daa. Modelig procedure doe wih wavele uil scale ad wavele coefficie reached by usig MODWT rasformaio o he ime series daa. Based o his rasformaio s resul, ime series will be modeled ad used o forecas oe period ahead by assumig each scale ad wavele coefficie as a auo regressio process which called as MAR(Muliscale Auoregressive). MAR mehod is used i his research ad compared o SARIMA mehod. Based o he empiric resul for wo aalyzed daa, i shows hawo daa wih wavele mehod have forecasig error for esig daa smaller ha SARIMA mehod Keywords : MODWT, MAR, SARIMA, Forecas PENDAHULUAN Peramala adalah salah sau usur yag saga peig dalam pegambila epuusa. Peraa peramala meelaah e berbagai bidag, misal fisia, liguga, eoomi, ei da e sehaa. Salah sau meode yag diguaa dalam peramala adalah aalisis ruu wau yag medasara ilai masa ii berbasis oleh ilai ilai seeis di masa lalu. Dalam aalisis ruu wau, ilai masa ii dipegaruhi oleh ilai ilai seeis di masa lalu. Aalisis ruu wau secara umum beruua uu mempelaari aau membua meaisme model soasi yag memberia reasi suau ruu yag diamai da meramala ilai ruu wau yag aa daag didasara pada hisori ruu iu sediri. Kompoe daa pada ruu wau erdiri dari red, silus da musima. Pedeaa deomposisi dere berala merupaa meode uu memisaha masig masig ompoe. Pedeaa deomposisi ruu wau merupaa meode uu memisaha masig masig ompoe. Dega pedeaa ii, peulisa maemais umum dari pedeaa deom posisi adalah X f ( I, T, C, E ) Uu meramala daa fiacial yag berupa daa ruu wau biasaya dibua sebuah pemodela ruu wau. Ada beberapa pemodela yag dapa diguaa diaaraya pemodela Auo regressive (AR), MovigAverage (MA), maupu Auoregressive Movig Average (ARMA). Keiga model ersebu saga bergua pada peramala daa ruu wau. Cara era eiga model ersebu adalah dega memodela proses reraa (mea proses) dari suau ruu wau dega asumsi bahwa daaya sudah saioer da varias errorya eap aar wau (homoscedasiciy). Sedaga aalisis ruu wau dapa uga dilaua dega EKSAKTA ol. Tahu XII Februari 06 90

2 megguaa aalisis domai freuesi uu megaasi eerbaasa dari Discree seperi aalisis Fourier (Wei, 990). Wavele Trasform (DWT) yag Dalam suau ruu wau dieal meode ARIMA uu megaalisis daa. mesyaraa N=J dega J bilaga bula posiif, padahal daa ruu wau Sedaga ia daaya adalah daa ida selalu baya daa selalu berelipaa musima maa meode yag diguaa dua. adalah SARIMA. Orde dari meode ii dapa dieua dari pola fugsi METODE PENELITIAN auoorelasi (ACF) da auoorelasi parsial Meode yag diguaa dalam peyusua (PACF) yag selauya diguaa uu peeliia ii adalah sebagai beriu: meeua model erbai dari ruu. Megai lieraur dalam beu wau ersebu. Pada peeliia ii. Pegambila daa diambil dari diembaga meode peramala dega peuala rumah di Ameria Seria megguaa wavele yaiu MODWT (dalam ribua ui),dari bula Jauari (Maximal Overlap Discree Trasform) 965 sampai dega Desember 975, dega basis yag diguaa adalah basis dega umlah daa sebaya 3. Haar da Daubechies dega lebar 4 (D4). 3. Seelah daa diolah, ia dapa Dari model erbai dega meode megeahui model ruu wau SARIMA aa dibadiga dega dega megguaa meode wavele megguaa meode wavele MODWT MODWT da membadiga model (Maximal Overlap Discree Wavele ruu wau aara meode MODWT Trasform). dega SARIMA Wavele merupaa fugsi de omposisi dari wavele ayah da wavele HASIL DAN PEMBAHASAN ibu yag masig masig bagia adalah orhogoal. Wavele ayah mempuyai sifa Ruu wau adalah himpua smooh sedaga wavele ibu mempuyai observasi beruru dalam wau aau dalam sifa deail yag megaibaa daa dapa dimesi apa saa yag lai. Aalisis ruu dipisaha dalam ompoe yag berbeda. wau secara umum beruua uu Wavele baya diguaa diber mempelaari aau membua meaisme bagai bidag, seperi pada sigal proces model soasi yag memberia reasi sig, esehaa, ompresi daa, aalisis suau ruu yag diobservasi da mem umeri, imia, saisi. idaovic (999) predisi aau meramala ilai radom megugapa pegguaa wavele di wau yag aa daag didasara pada bidag saisi diaaraya adalah sebagai hisori ruu iu sediri. esimaor desias, aalisis ruu wau Jia ruu wau asliya oiu, da model Bayes. Sedaga Abramovich ia dapa memperoleh aalisis ruu (000) membahas apliasi wavele pada wau yag disri dega megambil regresi o parameri. observasi pada wau wau ereu, aau Peeliia ii megai megeai dega megaumulasia observasi uu peraa wavele uu megaalisis daa suau periode wau ereu. ruu wau yag musima, sealigus Suau ruu wau, ia dipadag membua peramala sau periode e depa dari searah ilai observasi iu diperoleh, berdasara model yag diperoleh. Jeis dapa dibedaa aas ruu wau meode wavele yag diguaa dalam deermiisi da ruu wau soasi esis ii adalah Maximal Overlap Discree (saisi). Ruu wau deermiisi Wavele Trasform (MODWT) dega adalah ruu wau dimaa ilai observasi eluarga wavele Daubechies da Haar yag aa daag dapa diramala dega wavele. Pegguaa MODWT diusula pasi. Ruu wau deermiisi ii ida 9 Elfa Rafula

3 memerlua peyelidia lebih lau. Ruu wau soasi adalah ruu wau dimaa ilai observasi yag lampau haya dapa meuua sruur pro babilisi ilai observasi yag aa daag. Ruu wau saisi merupaa suau realisasi dari suau proses saisi maa ida mugi diperoleh realisasi yag lai suau proses saisi, yaiu ia ida dapa megulag embali eadaa uu memperoleh himpua observasi serupa seperi yag perah diumpula. Suau X, memeuhi ruu wau odisi sasioer ia uu semua dipeuhi :. EX ( ). var( X ) 3. ( r, s) ( r, s ) r, s, x x Jia Y adalah barisa variable radom yag ida berorelasi dega mea E Y = μ = 0 da variasi ar Y = σ maa Y disebu proses whie oise yag dioasia Y ~WN 0, σ dega fugsi auoovariasiya adalah Cov Y +h, Y = σ, h = 0 0, h 0 Da fugsi auoorelasiya, Cor Y +h, Y =, h = 0 0, h 0 Proses whie oise merupaa proses yag peig area diaggap sebagai faor pembagu bagi proses ruu wau laiya (buildig bloc). Didefiisia suau ovariasi dari Y da Y + diulis sebagai beriu: Cov X, X + = E X μ X + μ = γ Da orelasi aara Y da Y + adalah: ρ = Cov Y, Y + ar Y ar Y + Dega caaa bahwa ar X = ar X + = γ 0 = γ γ 0 Sebagai fugsi dari, γ disebu sebagai fugsi auoovariasi da ρ disebu sebagai fugsi auoorelasi (ACF). Dalam prae sehari-hari dapa diguaa fugsi auoovariasi sampel da fugsi auoorelasi sampel, dimaa γ = ρ = dega X = X X X + X EKSAKTA ol. Tahu XII Februari 06 9 = γ γ 0 = = X = X X X + X = X X Adapu sifa-sifa dari fugsi auo ovariace γ da auoorelasi ρ adalah sebagai beriu:. γ 0 = ar X da ρ 0 =. γ γ 0 da ρ 3. γ = γ da ρ = ρ uu semua, yaiu γ da ρ simeris. Sifa ii berasal dari faa bahwa perbedaa wau aara X da X + sera X da X adalah sama. Karea iulah biasaya fugsi auoorelasi plo haya uu lag oegaive saa. Proses Auoregressive Iegraed Movig Average (ARIMA) adalah aalisis ruu wau o sasioer yag diyaaa sebagai ARIMA (p,d,q ) yag didefiisia d bilaga bula o egaif, maa X adalah proses ARIMA (p,d,q). Jia d Y B X adalah proses ARMA (p,q). Suau proses ruu wau X diaaa periodi dega periode s ia X X, s. Ierasi aara model musima da model ARIMA memilii dua beu yaiu:. Model Seasoal Addiive (peum laha) dilambaga dega SARIMA ((p,p),(d,d),(q,q))s. Ada dua macam ierasi yag mugi, yai a. ierasi aara model musima dega ARIMA secara addiive pada ompoe movig average,,

4 b. Ierasi aara model musima dega ARIMA secara addiif pada ompoe auoregresi.. Model Seasoal Mulipliaif. Pada model ii, ompoe musima berierasi dega ompoe dalam model secara mulipliaif yaiu dega oasi operaor lag uu model SARIMA (p,d,q) (P,D,Q)s Ierasi aara model musima dega ARIMA secara peralia pada ompoe movig average, Da ierasi aara model musima dega ARIMA secara peralia pada ompoe auoregresive Ideifiasi model dega wavele diguaa meode MODWT dega varia wavele Haar da D4 pada level 4, da selauya dega megguaa Muliscale Auoregressive (MAR) uu membeu model dega wavele. Adapu lagahya sebagai beriu. Daa sasioer a. Melaua deomposisi dega MODWT b. Medapaa oefisie sala da wavele c. Model uu meramala ˆX dega AR orde da orde seperi pada Reaud d(00) seperi pada Reaud d (00) dega ambaha lag lag musima da lag musima d. Melaua peguia sigifiasi parameer da asumsi model. e. Melaua peramala berdasara model yag didapa.. Daa ida sasioer a. Daa disasioera. b. Melaua deomposisi dega MODWT c. Medapaa oefisie sala da wavele d. Daa oefisie yag didapa dieraa dega MAR seperi pada Reaud d (00) seperi pada Reaud d (00) dega ambaha lag lag musima da lag musima e. Melaua peguia sigifiasi parameer da asumsi model. f. Melaua peramala megguaa model yag didapa. Gelombag (wave) didefiisia sebagai fugsi osilasi aas wau aau ruag da periodi (seperi siusoida). Perluasa dari siyal aau fugsi dalam beu siusoida saga berilai di bidag maemaia, ilmu pegeahua da ei. Wavele diaria suau gelombag ecil, dega eergi eroserasi dalam wau ereu. Sebagai perbadiga aara wave da wavele diberia pada gambar di bawah ii. Gambar. (a) Wave (b) Wavele Fugsi. didefiisia sebagai wavele ia :. udu 0. u du Dalam rasformasi wavele erdapa dua fugsi, yaiu fugsi sala (faher wavele) da moher wavele. Kedua fugsi ii meghasila suau eluarga fugsi yag dapa diguaa uu mereosrusi suau siyal. Cooh wavele Haar :,0, 0, yag lai Ide pedeaa dari suau fugsi dega wavele adalah bagaimaa 93 Elfa Rafula

5 megosrusi suau fugsi uggal sehigga eluarga, dapa membagu L ( R ). Adaia l ( ) l adalah basis orogoal yag membagu L ( R ), dega demiia uu seiap f ( ) L ( R) dapa diyaaa sebagai ombiasi liier dari (), sehigga f ( ) al l( ) dega l da l ( ), ( ) ( ) ( ) d 0 l Sehigga l l a f ( ), ( ) f ( ) ( ) d Dega espasi wavele, sisem dibagu dega dilaasi (dega ides ) da raslasi (dega ides ). Sehigga dega f ( ) a ( ) l,, /, ( ), Didefiisia fugsi sala dega raslasi ieger dari fugsi sala dasar diberia dega L R ( ) ( ) ( ) Keluarga dari fugsi sala dibagia dari fugsi sala dasar dega dilaasi sebesar da raslasi sebesar yag didefiisia sebagai /, ( ), Dega ( ) sehigga ia f () diyaaa sebagai f ( ) a ( ) merupaa basis dari maa dapa eruup, Z yag memeuhi sifa sifa sebagai beriu:. 0. 0, L( R) Aalisis Muliresolusi dalam L(R) merupaa basis maa aprosimasi didefiisia sebagai barisa ruag bagia barisa wavele orhogoal uu EKSAKTA ol. Tahu XII Februari Z 3. f, f ( ) 0 4. Terdapa fugsi sala o adalah raslasi ombiasi liear ruag o, o f L( R) f ( ) c( ) da ( ), basis orhogoal. Jia () 0 maa (), dieahui ( ) merupaa basis dari, sehigga () dapa diyaaa sebagai ( ) g Dega g disebu sala filer. Kompleme orhogoal dari didefiisia sebagai W sehigga W. dalam Jia basis dari adalah, () da basis dari W adalah l, () maa ( ), ( ) ( ) ( ) d 0,,,, Dega megambil =0 diperoleh 0 W0 Karea W0 da basis dari W0 adalah () maa ( ) h Dega h disebu wavele filer /

6 Dimaa J meyaaa sala aau bayaya ompoe muliresolusi da berilai sampai e bayaya oefisie di dalam ompoe. Koefisie c, disebu oefisie peghalus ( oefisie fugsi sala) da d, disebu oefisie deail (oefisie wavele) Uu sebarag bilaga bula posiif merupaa level MODWT dari X adalah rasformasi yag erdiri dari veor sebaya yaiu W,W,,W, yag masig masig dega dimesi N. eor W memua oefisie wavele MODWT,sedaga memua oefisie sala MODWT yag didefiisia sebagai W X da J 0X Dega, J 0 mari NxN. Ruu wau X dapa diemua embali dari MODWT melalui T T X W Suau siyal X X : i,,, sasioer. Suau proses AR dega orde P dapa diulis X X X X a. p p Dalam pegguaa deomposisi maa proses AR meadi proses Muliscale Auoregressive (MAR) yag diberia oleh Reaud d (00) : J A Xˆ aˆ w aˆ v,, ( ), J J J, ( ) A Dega adalah level wavele,,, J A adalah orde MAR,,, A w, adalah oefisie wavele dari daa v adalah oefisie sala dari daa, a, adalah oefisie MAR Uu meelasa ipu da prosedur peramala daa e + dapa diliha pada gambar di bawah yag mewaili uu model dega level J=4, orde MAR A i Wavele filer MODWT pada level da sala filer MODWT pada level didefiisia sebagai hl hl da gl g l Trasformasi dari e W da dapa didesripsia megguaa mari NxN dari da yaiu W = da = Selauya siesis dari W da dapa uga diyaaa dalam beu da sehigga T W T. 95 Elfa Rafula. Gambar. Model MAR Meode MAR diusula uu megiui proses AR uu masig masig sala dari rasformasi muli resolusi. Beriu aa diberia eorema yag meuua apaah model ersebu prosesya AR, melalui overgesi prosedur peramalaya erhadap prosedur opimal da secara asimoi aa eivale e peramala erbai.

7 Teorema : Misala X, megiui proses ausal AR dega orde p dega ',,, p. parameer Misal X X X p X p a a WN(0, ). dega Jia orde A dipilih pada masig masig sala lebih besar aau sama dega p uu,,, J maa model muliresolusi yaiu J A A, Xˆ aˆ d aˆ s,, ( ), J J J, ( ) dega berambahya uura sampel, ˆ mempuyai sifa asimoi : ˆ 0, ' W ' W / N R B B BRB dega sebadig dega,,, B B, da adalah maris auoovaria dega l auoovarias dari ruu wau pada lag(l). Meode perhiuga yag diguaa dalam peeliia ii adalah dega megguaa meode SARIMA ( Box Jeis ) da Meode Wavele dega wavele filer Haar da D4 yaiu dega MAR seperi yag dilaua Reaud d(00) dega ambaha lag lag musima da lag musima dega peeua variabel yag sigifia membeu model dilaua dega sepwise. Meode SARIMA merupaa salah sau meode peramala yag sederhaa. Meode lai yag bisa diguaa yaiu meode ARIMA yag memberia MSE yag lebih ecil. Dalam rial ad error ia erlebih dahulu medapaa model SARIMA. Selauya hasil peramala masig masig meode aa dibadiga diliha dari esalaha peramala yaiu berdasara ilai MSE da MAPE. Aalisa perhiuga dalam peeliia ii megguaa sudi asus yaiu sebaya iga daa musima yaiu, Series 4 ( peuala rumah di Ameria Seria (dalam ribua ui)), Series 0 (pedapaa bulaa dari divisi perbaia dari perusahaa ala bera di Iowa (dalam ribua dolar)), da Series 3 (raa-raa pegguaa lisri pada rumah agga Iowa) yag diambil dari Abraham da Ledoler (983). Hasil aalisis dari sudi asus iga daa ii, dua daa meuua meode MAR mempuyai esalaha peramala yag lebih ecil berdasara rieria MSE da MAPE dibadiga meode SARIMA yaiu Series 4 da Series 0. Sedaga sau daa yaiu Series 3 meuua meode SARIMA meghasila rieria esalaha peramala yag lebih ecil. Kasus daa esau, ia diaia dega meode SARIMA maa di dalamya megadug ompoe AR. Sedaga daa edua da eiga merupaa proses MA dapa dimodela dega MAR yag merupaa proses auoregressive. Hasil peramala pada asus edua dega meode MAR lebih bai daripada meode SARIMA. Hal ii ia diamai dari plo daa maa pada asus edua daaya eradi lompaa mesipu daa sudah dilaua rasformasi uu mesasioera daa. KESIMPULAN. Peramala dega megguaa MAR uu daa musima perlu diambaha lag-lag musima.. Proses movig average (MA) dapa dimodela sebagai model MAR yag masig masig bagia oefisie sala da wavele merupaa proses auoregressive. EKSAKTA ol. Tahu XII Februari 06 96

8 DAFTAR PUSTAKA Abraham, Bovas da haes Ledoler Saisical Mehods for Forecasig. h Wiley & Sos.Ic. Abramovich, Felix. Bailey, Trevor C ad Sapaias, Theofais Wavele Aalysis ad Is Saisical Applicaios. Royal Saisical Sociey, /00 /4900 Box, George E.P da Gwily M. Jeis. 970, Time Series Aalysis Forecasig ad Corol. Holde- Day.Ic., Califoria Brocwell, Peer J da Richard A Davis. 99. Time Series Theory & Mehods. Spriger erlag. New Yor. Bollerslev, T. (986). "Geeralized Auo regressive Codiioal Heero Sedasiciy", ural of Ecoo merics, 3, Egle, R. (98). "Auoregressive Codi Tioal Heerosedasiciy wih Esi Maes of The ariace of Uied Kigdom I. Aio", Ecoomerica, 50, Reaud,O. J.L Sarc ad F. Muragh. 00. Wavele-based Forecasig of Shor ad Log Memory Time Series. Uiversie de Geeve. Geeve Percival, Doald B da Adrew T Walde Wavele Mehods for Time Series Aalysis, Cambridge Uiversiy Press. America idaovic, Brai Saisical Modelig by Waveles. h Wiley & Sos. Ic. New Yor. Wei, William W.S Time Series Aalysis. Addiso Wisley. New Yor. 97 Elfa Rafula