Eksistensi Solusi Persamaan Lyapunov pada Sistem Linear Waktu Diskrit atas Ring Komutatif

Transkripsi

1 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Iegrasi Maemaia da Nilai Islami) Vol1, No1, Juli 2017, Hal p-issn: ; e-issn: X Halama 306 Esisesi Solusi Persamaa Lyapuov pada Sisem Liear Wau Disri aas Rig Komuaif Ia Kuswadari 1, Famawai 2, Mohammad Imam Uoyo 3 1,2,3 Depareme Maemaia Faulas Sais da eologi Uiversias Airlagga, iuswadari94@gmailcom, fama47uair@gmailcom, miuoyo@fsuairacid Ifo Ariel Riwaya Ariel: Dierima: 15 Mei 2017 Direvisi: 1 Jui 2017 Dierbia: 31 Juli 2017 Kaa uci: Persamaa Lyapuov Sisem liear Rig omuaif ABSRAK Misala diberia sisem liear aas rig omuaif Beberapa sifa peig dari sisem liear adalah sabil asimois, eredali, da erobservasi Sisem diaaa sabil asimois jia solusi sisem dalam reag wau a erbaas aa meuju e suau ii ereu, dalam hal ii ii eseimbaga Selai megguaa rieria ilai eige, esabila sisem liear beraia era dega esisesi solusi persamaa Lyapuov ujua peeliia ii adalah meeua syara cuup esisesi solusi persamaa Lyapuov pada sisem liear wau disri aas rig omuaif erai esabila, eeredalia, da eerobservasia sisem Copyrigh 2017 SI MaNIs All righs reserved Korespodesi: Ia Kuswadari Depareme Maemaia Faulas Sais da eologi Uiversias Airlagga, Jl Mulyorejo Surabaya iuswadari94@gmailcom 1 PENDAHULUAN eori sisem maemaia merupaa sudi yag mempelajari orol dari ipu aau feomea oupu [1] Suau sisem mugi diperoleh dari model maemaia pada feomea ereu Orde suau sisem adalah dimesi dari ruag eadaa Jia orde sisem besar, maa perhiuga erai araerisi suau sisem juga melibaa besara yag omples/rumi Pada asus ereu perhiuga semacam iu ida efisie eruama dari sisi wau Oleh area iu, sisem yag berorde iggi perlu diredusi, sehigga orde dari sisem mejadi lebih ecil Meode yag serig diguaa uu meredusi orde sisem pada sisem liear diaaraya adalah meode pemooga seimbag (Balaced rucaio/b) Sesuai dega amaya, meode pemooga seimbag mesyaraa sisem harus seimbag erlebih dahulu Kosrusi sisem seimbag dapa dilaua jia sisem elah sabil asimois, eredali, da erobservasi Di sisi lai, sisem liear yag baya diembaga oleh para peelii adalah sisem liear aas lapaga (lapaga bilaga real/omples) Sisem liear aas lapaga elah baya dibahas diaaraya dalam [1], [2], da [3] Pada sisem aas lapaga, pera persamaa Lyapuov saga peig erai dega esabila, eeredalia, da eerobservasia sisem Pada peeliia ii, obje peeliia diperluas bua lagi lapaga, eapi rig omuaif Sisem liear aas rig omuaif elah dibahas oleh Brewer, d (1986), di dalamya dibahas sifa-sifa sisem, yaiu esabila, eeredalia, eerobservasia besera sifa yag meyeraiya Dega asumsi perluasa dari lapaga e rig omuaif ida megubah eberlaua sifa da defiisi secara umum, peeliia ii berujua meeua esisesi solusi persamaa Lyapuov pada sisem liear aas rig omuaif 2 INJAUAN PUSAKA Lama Prosidig: hp://coferecesui-malagacid/idexphp/simanis

2 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Iegrasi Maemaia da Nilai Islami) Halama 307 Sebelum membahas sisem liear aas rig, perama ali dipereala beberapa osep pada maris yag eriya merupaa eleme suau rig (disebu maris aas rig) Semua defiisi da eorema erai maris aas rig meruju pada [5], ecuali disebua husus Defiisi 1 Misala R sebarag rig omuaif Himpua semua maris beruura m yag eriya merupaa eleme R dioasia dega M m (R) Jia m =, maa M m (R) diulis sebagai M (R) Defiisi 2 Misala R sebarag rig omuaif dega eleme saua da A M (R) Maris B M(R) adalah ivers dari maris A jia AB BA I, dega I merupaa maris ideias beruura eorema 3 Misala R sebarag rig omuaif dega eleme saua da A M (R), maa A adj( A) adj( A) A de( A) I Berdasara Defiisi 2 dapa diaaa bahwa defiisi ivers pada maris aas rig sama dega defiisi ivers pada maris aas lapaga Perbedaaya adalah pada rieria bilamaa suau maris mempuyai ivers sebagaimaa defiisi beriu Defiisi 4 Misala R sebarag rig omuaif dega eleme saua 1 Eleme a R diamaa ui di R jia erdapa b R sehigga a b 1 Himpua semua ui dari rig R dioasia dega U(R) eorema 5 Misala R sebarag rig omuaif dega eleme saua da AM (R) Maris A iveribel jia da haya jia de ( A) U( R) Defiisi 6 Misala A Mm(R) Uu seiap 1,2,, r dega r mi{ m, }, J (A) meyaaa ideal di R yag dibagu oleh semua mior beruura dari maris A, yaiu ombiasi liear dari deermia sub maris A yag beruura Defiisi 7 [4] Uu sebarag veor x da y di R, hasilali dalam x da y adalah x x, x,, x ) da y y, y,, ) i ( 1 2 i ( 1 2 y Defiisi 8 [4] Maris GM (R) disebu defii posiif jia Gx, x 0, x R Defiisi 9 Misala M adalah R-modul Uu suau M, A ( m) { x R; xm 0} m R i1 x, y x i y, dega Defiisi 10 Misala A M (R) Ra dari maris A dioasia ra(a) didefiisia sebagai m ra( A) mas( ; A R ( J ( A)) {0}) Defiisi 11 Misala M da N masig-masig adalah R-modul da f : M N adalah homomorfisma R-modul Himpua semua homomorfisma R-modul dari M e N dioasia dega Hom R ( M, N) Defiisi 12 Misala f Hom R( M, N), erel homomorfisma f dioasia dega Ker(f), didefiisia sebagai Ker ( f ) { mm; f ( m) 0} Defiisi 13 Misala A M (R), eleme d R disebu ilai eige dari maris A jia A d, uu 0, R Dega megadopsi pegeria sisem liear aas lapaga, beriu ii didefiisia sisem liear aas rig omuaif Defiisi 14 [4] Misala R adalah sebarag rig omuaif, sisem liear ime ivaria (LI) wau disri aas rig omuaif R didefiisia sebagai persamaa beda liear dega oefisie osa sebagai beriu: x( 1) A x( ) B u( ) y( ) C x( ) D u( ), 0,1, 2, dega x() R diamaa veor eadaa (sae) pada wau, u() R p diamaa veor ipu pada wau, y() R q diamaa veor oupu pada wau, sera maris A,B,C,D masigmasig merupaa maris osa aas rig omuaif R yag uuraya bersesuaia i (1) Esisesi Solusi Persamaa Lyapuov pada sisem liear wau disri aas Rig Komuaif

3 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Iegrasi Maemaia da Nilai Islami) Halama 308 Dega meode reursi uu ilai = 0,1,2, diperoleh solusi sisem (1) ersebu uu x( 0) x0 adalah x ( ) A x 1 1 j 0 A B u( j), 1 j0 da veor oupu 1 1 j y( ) C A x0 A B u( j) D u( ) j0 Beberapa sifa peig dari sisem liear adalah sabil asimois, eredali, da erobservasi Sisem diaaa sabil asimois jia solusi sisem dalam reag wau a erbaas aa meuju e suau ii ereu, dalam hal ii ii eseimbaga Keseimbaga pada sisem liear erjadi jia ida ada perubaha laju solusi uu periode wau ereu, secara maemai diyaaa x() = 0 ii eseimbaga (asimois) pada sisem (1) adalah x() = 0 Defiisi esabila asimois diberia di bawah ii Defiisi 15 [2] Misala diberia sisem (1) apa ipu, yaiu x(+1) = A x(), dega ilai awal x(0) = x 0 Sisem sabil asimois jia lim x( ) 0, dega x( ) A x0, 1 merupaa solusi dari sisem (1) Sisem (1) yag memeuhi rieria pada Defiisi 15 diamaa sisem yag sabil asimois, da maris A diamaa maris sabil Karaerisasi sisem yag sabil asimois diberia di bawah ii eorema 16 [2] Diberia sisem liear x(+1) = A x(), dega x() R da 1, 2,, ( ) merupaa ilai eige dari maris A Sisem (1) sabil asimois jia da haya jia i 1 uu i = 1,2,,, dega i meyaaa modulus dari i Selai megguaa rieria ilai eige maris A, esabila sisem liear beraia era dega esisesi solusi persamaa Lyapuov (megguaa meode Lyapuov edua) Meode ii memugia meeua esabila sisem apa megeahui solusi dari sisem ersebu Persamaa Lyapuov uu sisem liear aas lapaga elah diberia oleh [2] Di bawah ii diberia defiisi persamaa Lyapuov uu sisem liear aas rig yag megadop defiisi persamaa Lyapuov uu sisem liear aas lapaga Defiisi 17 [6] Diberia maris A, M R Persamaa Lyapuov uu sisem liear aas rig omuaif didefiisia sebagai AXA X M 0, dega X R Pada sisem liear aas lapaga, sisem aa sabil asimois jia esisesi solusi persamaa Lyapuov ada, sebaliya esisesi solusi persamaa Lyapuov ada jia sisem sabil asimois [2], sebagaimaa eorema beriu eorema 18 [6] Sisem liear aas lapaga sabil asimois jia da haya jia uu sebarag maris defii posiif Q, erdapa maris defii posiif P, sehigga APA P Q 0 Bui : Misala diambil sebarag maris defii posiif Q, dipilih P A ), jadi P merupaa maris defii posiif Diujua bahwa P memeuhi persamaa Lyapuov di aas APA P A A ) A A ) 1 1 A ) ( Q A ) Q ( A ) A ) ) Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Iegrasi Maemaia da Nilai Islami) Vol1, No1, Juli 2017:

4 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Iegrasi Maemaia da Nilai Islami) Halama 309 Karea sisem sabil asimois, maa peguraga jumlaha ahigga di aas overge e ol Aibaya, diperoleh APA P Q, ariya P adalah solusi dari persamaa Lyapuov Sifa sisem selai esabila adalah eeredalia da eerobservasia, defiisi da araerisasiya diberia di bawah ii Defiisi 19 [4] Sisem (1) diaaa eredali jia uu seiap sae x 0, x 1 R da > 0, erdapa ipu u sehigga berlau x(, x0, u) x1 eorema 20 [4] Misala diberia sisem liear (1) Peryaaa beriu ii euivale (i) Sisem (1) eredali (ii) Kolom-olom maris [BABA 2 B] membagu R, ariya seiap eleme dari R merupaa ombiasi liear dari maris [BABA 2 B] (iii) Kolom-olom maris = [BABA 2 B A -1 B] membagu R (iv) Ideal J () = R Defiisi 21 [4] Sisem (1) diaaa erobservasi jia uu seiap ipu u, erdapa > 0 sehigga y( j, x0, u) y( j, x1, u), j 0,1,2,, megaibaa x0 x1 eorema 22 [4] Misala diberia sisem liear (1) Peryaaa beriu ii euivale (i) Sisem (1) erobservasi 1 i0 p (ii) Pemeaa : R R dega (x) [CxCAx CA -1 x] ijeif (iii) Jia Ԝ = [C A C (A ) 2 C (A ) -1 C ], maa A R(J (W))= {0} Defiisi 23 [6] Misala diberia sisem (1) aas rig omuaif R Persamaa Lyapuov eeredalia da eerobservasia didefiisia sebagai beriu: a Persamaa Lyapuov eeredalia adalah APA P BB 0 b Persamaa Lyapuov eerobservasia adalah AQA Q C C 0 Solusi dari persamaa Lyapuov di aas beruru-uru adalah P A BB ( A ) da Q A C C( A ) yag disebu grammia eeredalia da grammia eerobservasia Semeara iu, sisem liear yag baya diaji oleh para peelii adalah sisem aas lapaga Defiisi sifa sisem (esabila, eeredalia, da eerobservasia) aara sisem aas lapaga dega sisem aas rig adalah sama, dega demiia eserupaa araerisasi erai sifa sisem ersebu saga mugi erjadi Peeliia ii aa megaji esisesi solusi persamaa Lyapuov pada sisem liear aas rig omuaif erai dega esabila, eeredalia, da eerobservasia Keserupaa/esamaa syara perlu da cuup mugi saja erjadi sebagaimaa sisem liear aas lapaga Sifa-sifa sisem aas rig omuaif elah dibahas dalam [4], [7] membahas sisem aas rig, husus uu rig yag mempuyai baya eleme berhigga, sedaga [8] membahas sisem aas rig Noeheri dega parameer wau berubah-ubah 3 HASIL DAN PEMBAHASAN elah diujua bahwa maris P merupaa solusi persamaa Lyapuov (bui eorema 18), da esisesi solusi ersebu mejami esabila (asimois) suau sisem liear aas lapaga Pada bagia ii aa diaji eeraia solusi persamaa Lyapuov dega sifa esabila, eeredalia, da eerobservasia suau sisem liear aas rig omuaif Pembahasa sifa sisem aas rig memafaaa faa bahwa sebarag maris dapa dipadag sebagai suau pemeaa liear eorema 24 Misala R adalah sebarag rig omuaif da AM ( R) adalah maris sabil Jia didefiisia pemeaa liear : M ( R) M ( R) dega ( P) APA P, PM ( R), maa odisi beriu berlau 1) iveribel, ariya merupaa maris yag mempuyai ivers 2) jia Q > 0, maa erdapa dega uggal maris P, sehigga (P) = Q yag memeuhi P > 0 Bui : Esisesi Solusi Persamaa Lyapuov pada sisem liear wau disri aas Rig Komuaif

5 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Iegrasi Maemaia da Nilai Islami) Halama 310 1) Karea M ( R) berdimesi higga, uu meujua iveribel cuup diujua bahwa pemeaa sau-sau Misala (X) = 0, diujua X = 0 Karea A maris sabil, maa lim A 0, yaiu λi ( A) 1, i Misala adalah ilai eige dari maris A, da dari (X) = 0, AXA X 0 ( λx ) A X 0 Karea ilai eige maris A dega ilai eige maris A adalah sama, maa λ(λx ) X 0 λ 2 X X 0 ( λ 2 I I) X 0 Karea I I 0, maa X 0 Jadi iveribel 2) Berdasara bui eorema 18, jelas bahwa P maris defii posiif Keuggala maris P dijami oleh pemeaa yag sau-sau (ijeif) λ 2 Berdasara eorema 24, sisem yag sabil asimois mejami esisesi solusi persamaa Lyapuov da solusiya merupaa maris defii posiif Beriu ii diberia eeraia solusi persamaa Lyapuov dega sifa eeredalia da eerobservasia sisem liear aas rig eorema 25 Misala R adalah rig omuaif da AM ( R) adalah maris sabil Didefiisia pemeaa liear : M ( R) M ( R) dega ( X ) AXA X, X M ( R) Jia sisem (1) eredali da B > 0, maa erdapa dega uggal maris P, sehigga (P) = BB yag memeuhi P > 0 Bui: Jia sisem (1) eredali, maa berdasara eorema 20, olom-olom maris [BABA 2 B A -1 B] membagu R Ii berari merupaa pemeaa surjeif Karea A maris sabil, maa pemeaa sau-sau aau maris iveribel Dipilih P A BB ( A ), maa dipeuhi ( P) BB Berdasara defiisi maris P, jelas bahwa P maris defii posiif eorema 26 Misala R adalah rig omuaif da AM ( R) adalah maris sabil Didefiisia pemeaa liear : M ( R) M ( R) dega ( X ) AXA X, X M ( R) Jia sisem (1) erobservasi da C > 0, maa erdapa dega uggal maris Q, sehigga (Q) = C C yag memeuhi Q > 0 Bui: Sejala dega bui eorema 25 4 KESIMPULAN Berdasara pembahasa di aas, dapa disimpula bahwa 1 Syara cuup esisesi solusi persamaa Lyapuov pada sisem liear aas rig omuaif adalah sabil asimois 2 Solusi dari persamaa Lyapuov eeredalia adalah grammia eeedalia yag merupaa maris defii posiif 3 Solusi dari persamaa Lyapuov eerobservasia adalah grammia eerobservasia yag merupaa maris defii posiif Uu eperlua pegembaga lebih laju, opi peeliia lajua yag dapa diembaga adalah osrusi sisem seimbag pada sisem liear aas rig omuaif jia sisem sudah sabil asimois, eredali, da erobservasi Hal ii dilaua sebelum melaua redusi orde model dega meode pemooga seimbag, agar diperoleh model dega orde yag lebih redah Model dega orde redah eu saja lebih efisie da efeif, bai dari sisi wau perhiuga maupu biaya yag diperlua Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Iegrasi Maemaia da Nilai Islami) Vol1, No1, Juli 2017:

6 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Iegrasi Maemaia da Nilai Islami) Halama 311 REFERENSI [1] Olsder, G J da va der Woude, J W, Mahemaical Sysems heory, Delfse Uigevers Maaschappij bv, Neherlads, 2003 [2] Zhou, K, Doyle, J C, Glover, K, Robus ad Opimal Corol, Preice-Hall, New Jersey, 1996 [3] Zhou, K da Doyle, J C, Esseials of Robus Corol, Preice-Hall, New Jersey, 1998 [4] Brewer, JW, Bruce, JW, da Va Vlec, FS, Liear Sysems Over Commuaive Rigs, Marcel Deer, Ic, New Yor, 1986 [5] Brow, WC, Marices over Commuaive Rigs, Marcel Deer, Ic, New Yor, 1993 [6] Ogaa, K, Discree-ime Corol Sysems, Preice-Hall Ieraioal, Ic, New Jersey, 1995 [7] Xu, G da Zou, YM, Liear Dyamical Sysems over Fiie Rigs, Joural of Algebra, vol 321, Issue 8, pp , 2009 [8] Zampieri, S da Mier, SK, Liear sysem over oeheria rigs i he behavioural approach, Joural of Mahemaical Sysem, Esimaio, ad Corol, 6(2), pp 1-26, 1996 Esisesi Solusi Persamaa Lyapuov pada sisem liear wau disri aas Rig Komuaif