PERTIDAKSAMAAN AZUMA PADA MARTINGALE UNTUK MENENTUKAN SUPREMUM PELUANG

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PERTIDAKSAMAAN AZUMA PADA MARTINGALE UNTUK MENENTUKAN SUPREMUM PELUANG"

Fanny Rachman
7 tahun lalu
Tontonan:

1 PERTIDAKSAMAAN AZUMA PADA MARTINGALE UNTUK MENENTUKAN SUPREMUM PELUANG Sudaro Jurusa Matatka FMIPA UNDIP Jl Prof H Sodarto SH Tbalag Sarag 575 Abstract Coutg probablty a two-tald hypothss dtr lvl of th sgfcac Ths cas follows postv ad gatv rado varabls So that th probablty dstrbuto s a sytrc Th probablty wll b coutd by Azua qualty o artgals Th lowst uppr boud s a dcay xpotal fucto It s dtrd so a ad ε valu by a sulato Th cocluso of ths papr s that th rado varabl valu s hghr tha th probablty valu (supru s lowr vs vrsa Thrfor Its proprty s sa as th dstrbuto fucto Ky words: Markov Iqualty Martgal Doob Martgal Azua Iqualty PENDAHULUAN Pada uj hpotss trdapat tga aca hpotsa yatu uj kor kaa uj kor kr da uj dua kor Uj trsbut asg-asg brhubuga dga darah praa da polaka hpotss Darah trsbut dttuka olh batas atas atau batas bawah dar la krts yag juga brkata dga p-valu [] Msal varabl acak rupaka uur kopo Pluag kopo apu hdup sapa suatu waktu t dsbut rlabltas R(t dar kopo trsbut Jad F( t t R ( t = P( t = t < dga F adalah fugs dstrbus dar Pluag rupaka pluag kor kaa yatu pada uj hpotss brhubuga dga uj hpotsa kor kaa Dga gtahu pluag aka dapat dprcaya tgkat uur produk yag djajka [6] Martgal rupaka kjada daa harapa hasl kjada yag aka datag saa dga hasl kjada kar Sdagka prtdaksaaa Markov rupaka prtdaksaaa utuk tuka pluag sblah kaa dar varabl acak tak gatf utuk sbarag kostata postf [78] Ig dktahu pluag sblah kaa da kr dar suatu varabl acak asg-asg brla postf da gatf pada artgal Batas atas trkcl (supru gguaka prtdaksaaa Azua Dga dka aka dapat dttuka tgkat sgfka varabl acak trsbut LANDASAN TEORI Utuk gulas atr pada pbahasa artgal prlu bbrapa tor brkut Prtaa kal dbrka pgrta ttag fugs kovks Dfs [] Msal I R rupaka suatu trval Fugs f : I R dsbut kovks pada I jka utuk sbarag λ yag uh λ da sbarag ttk x x aggota I brlaku f (( λ x + λx ( λ f ( x + λf ( x Slajutya dbrka prtdaksaaa Markov artgal da suprartgal La ([78] Jka rupaka varabl acak ogatf aka utuk sbarag a > P { ]/ a Bukt jka a Msal I { = jka laya 66

2 Sudaro (Prtdaksaaa Azua Pada Martgal Utuk Mtuka Supru Pluag Kara aka dprolh: ai{ ai{ ] E [ I{ = ]/ a Dfs ([48] Pross Stokhastk { Z } dsbut pross artgal jka Z ] < da E [ Z Z Z Z ] = Z Dfs 3 ([8] Pross Stokhastk { Z } yag puya E [ Z ] < utuk sua dkataka suprartgal jka E [ Z + Z Z ] Z Brkut dbrka cotoh artgal Cotoh ([38] Msal Y Y adalah varabl acak sbarag sdka hgga E [ ] < da Z = E Y Y ] Maka Z [ + Y Y ] = Y Y Y ] Y Y ] = Y Y ] = Z + Shgga { Z } rupaka artgal da dsbut artgal tp Doob 3 PERTIDAKSAMAAN AZUMA PADA MARTINGALE Msal Z rupaka barsa artgal dga syarat la varabl acakya brubah scara labat Maka prtdaksaaa Azua dapat dprguaka utuk tuka batas pluag kr da kaa dar dstrbus dvas Sblu bahas hal trsbut prlu grt bbrapa la brkut La 3 Msal varabl acak sdka hgga ]= da P { ] = Maka utuk sbarag fugs kovks f brlaku f ( x] f ( + f ( + + Bukt Kara fugs f kovks aka utuk darah x fugs f tdak prah d atas gars lurus yag ghubugka ttk (- f (- da ( f ( Prsaaa gars lurusya adalah y = f ( + f ( [ f ( f ( ] x + Utuk aka f ( f ( + f ( [ f ( f ( ] + Dga lakuka kspktas aka la trbukt La 3 Utuk θ brlaku ( θ x θx x / 8 θ + ( θ Bukt Dga gabl θ = ( + / da x = Aka dtujukka bahwa utuk brlaku ( ( + / ( + + ( Hal kuval dga { + / } + ( Pada prtdaksaaa yag prtaa bar utuk = - atau + da bsar (sal Dga dka jka la salah aka fugs f ( = + + ( xp{ + / } aka rupaka fugs aksu postf d dala darah R = {( : } 67

3 Jural Matatka Vol No Agustus 7:66-7 Dga gabl turua parsal dar f f f saa dga yatu = da = dprolh asg-asg { + } + + ( = ( + { + } da = Utuk kdua prsaaa d atas dga cara dbag ddapat prsaaa + + = + Tryata bla = da prsaaa tdak trslsaka yatu ( + = Jka duraka d dala drt Taylor ddapat + + yag aa /(! = = = /( +! jlas tdak ugk bla Jad jka la brla salah dapat dspulka bahwa la aksu postf dar f( trjad bla = Ttap f(= dga dka la trbukt Brkut rupaka prtdaksaaa Azua yag dprguaka utuk tuka pluag batas atas trkcl kr da kaa dar varabl acak Tora 3 Msal Z rupaka artgal dga rataa µ = E Z ] Msal [ Z = µ da daggap bahwa utuk kostata ogatv brlaku Z Z Maka utuk sbarag a > : ( ( a / ( + Z = a} µ a / ( + Z = a} µ Bukt Prtaa daggap bahwa µ = Kuda utuk sbarag c > urut urut prtdaksaaa Markov brlaku: ca Z = xp{ cz } } (3 ca xp{ cz }] Utuk dapatka batas pada E [ xp{ cz }] dabl W = xp { cz} Prhatka bahwa W = da utuk > W = xp{ cz } xp { c( Z Z } Olh sbab tu W /Z ] = xp{ cz } E{xp{ c{ Z Z { / Z ] W [ xp{ c } + xp{ c}] / ( + daa prtdaksaaa ssua dga La kara: cx ( f ( x = kovks ( Z Z da Z Z Z ] = Z Z ] ( Z Z ] = Dga gabl kspktas dprolh W ] W ]( xp{ c } + xp{ c} / ( + Kara W ] = dga tras prtdaksaaa dprolh {( xp{ c} W ] = + xp{ c}/( + } Dga dka brdasarka Prsaaa (3 ddapat bahwa utuk sbarag c > {( xp{ } c + ca Z xp{ c }/( + } ca = = xp{ c ( + /8} daa prtdaksaaa prtaa ssua dga La 3 dga gabl θ = /( + da x = c ( + Maka utuk sbarag c > 68

4 Sudaro (Prtdaksaaa Azua Pada Martgal Utuk Mtuka Supru Pluag Z xp ca + c ( + / 8 = Dga alka ca + c = c = 4a / ( + = ( + /8 dprolh shgga brlaku Z xp a / ( + = Jad utuk µ pada baga ( da ( dar prtdaksaaa Azua asg-asg tggal gguaka utuk artgal rataa-ol { Z µ} da artgal rataa-ol { µ Z } Tora trbukt Cotoh Msal rupaka varabl acak sdka hgga ]= da ] = Jka j = j = adalah artgal rataa-ol da utuk sua aka brdasarka prtdaksaaa Azua bahwa utuk a > ddapat P da P = = a xp a a xp a / = / ( + = ( + Prtdaksaaa Azua srg dprguaka brsaa dga artgal tp Doob Pbahasa asalah dula dar proposs brkut Proposs 3 Msal { Z } rupaka artgal dga rataa Z = yag aa Z utuk sua Z Maka utuk sbarag la postf a da b Z a + b} xp{ 8ab /( + } Bukt { c( Z a b } Msal utuk W = da utuk ddapat hubuga bahwa W = W xp{ c( Z Z } Shgga utuk W W W ] = W xp{ c( Z Z } / Z Z ] ca cb W [ + ] / ( + c ( + / 8 W daa prtdaksaaa prtaa brdasarka La sdagka yag kdua gguaka La 3 dga θ = /( + x = c( + Makaya dga gabl la trttu c yatu c = 8b /( + ghaslka E W W W W [ ] Shgga { W } rupaka suprartgal Utuk tjr postf trttu k ddfska batas waktu brht N dga N = M { : Z a + b atau = k} Slajutya Z a + bn} = WN } WN ] W ] urut prtdaksaaa Markov Shgga brda-sarka yag tlah dktahu d atas ddapat 8ab /( + P { Z a + b k} Dga gabl k aka proposs trbukt Cotoh 3 [389] Adaka bola dasukka k dala krajag dga cara tap-tap bola dpd da brpluag saa utuk asuk k dala sbarag krajag Aka dprguaka prtdaksaaa Azua u- 69

5 Jural Matatka Vol No Agustus 7:66-7 tuk dapatka batas atas trkcl plu-ag kor dar =julah krajag kosog Msal I{A} rupaka varabl dkator utuk kjada A aka ddapat = = I {krajag kosog} dga dka ] = krajag kosog} = ( / µ Skarag sal j yataka krajag dga bola k-j dasukka j = da ddfska artgal tp Doob dga gabl Z = ] da utuk > Z = / ] Dala tuka batas pada Z Z utuk = Z Z = Sdagka utuk abl D yataka bayak la brbda d dala hpua Maksudya D rupaka bayakya krajag yag puya skurag-kuragya satu bola ssudah bola prtaa ddstrbus Kara tap dar D krajag sgra kosog da aka kosog trus dga pluag + ( / ddapat + E [ / ] = ( D ( / Hal la / ] ( D ( / ( = ( D ( / ( Makaya utuk dua la yag ugk dar Z Z adalah D D ( / da ( / Kara D ( aka ddapat Z Z dga = ( / + = ( / Abl Z = aka brdasarka prtdaksaaa Azua utuk a > ddapat µ xp{ a / ( + } da = µ a} xp{ a / ( + } daa ( + = = = + = + ( / ( + ( / = ( ( / / Utuk gtahu hubuga atara a = da 3 dga trhadap pluag kor kaa (supru dbrka pada Tabl [58] brkut Tabl Hubuga a trhadap supru a Supru Brdasarka tabl d atas dapat dprolh bahwa utuk la a da ak bsar dhaslka supru ak uru Dka juga utuk la da kosta ttap la a ak bsar la supru ak kcl Dar ulasa yag lalu dapat dbuat prtdaksaaa Azua scara uu dala tora brkut Tora 3 Msal { Z } rupaka artgal dga rataa Z = Jka Z utuk sua Z 7

6 Sudaro (Prtdaksaaa Azua Pada Martgal Utuk Mtuka Supru Pluag aka utuk sbarag kostata postf c da tjr postf : Z c ( xp { c /( + } Z c ( xp { c /( + } Bukt Utuk buktka baga ( jka trdapat sdka hgga da Z c aka utuk Z c c / + c / Makaya Z c Z c / + ( c / } xp { 8( c / ( c / /( + } = xp { c /( + urut Proposs Utuk buktka baga ( adalah kuval dga bukt pada baga ( dga cara ggat artgal Z Cotoh 4 Msal S adalah julah ucul gabar dar lpara ko prtaa scara dpdt dga pluag ucul gabar adalah p Padag pluag brkut S / p > ε Abl jka lpara k - ucul gabar = jka lpara k - ucul agka Maka Z S p = = ( p adalah artgal dga rataa Utuk p Z Z p aka { Z } rupaka artgal dga rataa yag uh Tora dga = p = p Shgga Z ε xp{ ε } kuval dga S / p ε xp{ ε } Hal srupa brlaku utuk S / p ε xp{ ε } Jad S / p ε xp{ ε } Brdasarka hasl dapat dbuat hubuga atara ε da supru yag dbrka pada Tabl [58]: Tabl Hubuga ε da trhadap supru ε Supru Brdasarka tabl d atas dapat dtark hubuga bahwa utuk la ε da ak bsar dhaslka supru ak kcl Dka pula utuk la kosta ttap la ε ak bsar la supru juga ak kcl 4 KESIMPULAN Utuk aksr pluag supru dar artgal dapat gguaka prtdaksaaa Azua dga batas atas rupaka fugs ksposal uru Fugs ksposal strs trhadap subu rataa artgal µ Koputas brlaku utuk ghtug bsarya pluag pada hpotss dua-kor yag rupaka pluag tgkat sgfka pada dstrbus kuulatf suatu varabl acak 7

7 Jural Matatka Vol No Agustus 7: DAFTAR PUSTAKA [] Bartl RG ad Shrbrt DR (994 Itroducto to Ral Aalyss Joh Wly & Sos Ic Nw York [] Dvor JL (4 Probablty ad Statstcs for Egrg ad th Sccs Sx Edto Thoso Larg Ic [3] Fllr S (966 A Itroducto to Probablty Thory ad Its Applcatos Volu II Joh Wly & Sos Ic Nw York [4] Karl S ad H Taylor (975 A Frst Cours Stochastc Procsss Scod Edto Acadc Nw York [5] Moor H (7 MATLAB for Egrs Parso Prtc Hall Ic Nw Jrsy [6] Nataraja AM ad Talaras A (5 Probablty Rado Procsss ad Quug Thory Nw Ag Itratoal Publshrs Nw Dlh [7] Ross SM (997 Itroducto to Probablty Modls Sxth Edto Acadc Prss Nw York [8] Ross SM (996 Stochastc Procsss Scod Edto Joh Wly & Sos Ic Nw York [9] Tjs HC (994 Stochastc Modls A Algorthc Approach Joh Wly & Sos Ic Nw York 7

dokumen-dokumen yang mirip

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : 1410-8518 TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk