3.1 Hubungan Dasar Probabilitas Probabilitas adalah harga perbandingan jumlah kejadian (A) yang mungkin dapat

Transkripsi

1 . Hubuga Dasar rbabltas rbabltas adalah harga prbadga jumlah kjada A yag mugk dapat trjad trhadap jumlah ksluruha kjada yag mugk trjad dalam sbuah prstwa. Cth:. luag utuk mdapatka agka gap dar lmpara sbuah dadu. Jumlah kjada A yatu muculya agka gap dalam kal lmpara :, 4, 6 A, da jumlah sluruh kjada yag mugk trjad dar kal lmpara sbuah dadu:,,,4,5,6 6, shgga A A 6 Brpluag sama brart kdua kadaa trsbut mmlk jumlah kmucula kjada yag sama. A A Sbuah kjada adakalaya trkat dga kjada yag la, hubuga atar kjada satu da laya dapat kta bayagka dga mudah. Sbaga cth hubuga atau, hubuga aka mmprbsar la pluag. luag utuk mdapatka agka atau dalam sbuah lmpara dadu adalah sbaga brkut: atau /6 /6 /6 /, dalam hal atau > atau > 4

2 5 Hubuga da, hubuga aka mmprkcl la pluag. luag utuk mdapatka agka da dalam lmpara dua buah dadu adalah sbaga brkut: da. /6 /6 /6, dalam hal da < da < rmutas adalah uruta usur-usur dga mmprhatka urutaya, da dtaska dga trsda r, yag artya rmutas r usur dar usur yag Cth: a. a b c a c b b a c b c a c a b c b a scara ksluruha ada 6 prmutas b. a b b a a c c b c a b c scara ksluruha ada 6 prmutas jad jka:,,,,.., adalah; r! r. r! 5! cth: ! prmutas Kmbas adalah uruta r usur dar usur yag trsda dga tdak mmprhatka urutaya, da drumuska dga: Cr C r! r!!.

3 Bla kta tlaah, prsamaa kmbas dapat dyataka dalam prmutas sbaga 6 brkut:! r Cr.4 r!! r! Cth :. Ttuka jumlah kmbas usur dar usur yag trsda da usur dar usur yag trsda! Jawab : Kmbas usur dar usur yag trsda: C a b c kmbas Kmbas usur dar usur yag trsda: C a b a c kmbas b c. Ada 4 pasag suam str, maka brapa carakah yag dapat dlakuka agar dapat dbtuk klmpk yag trdr atas rag?, lalu brapa cara yag dapat dlakuka agar dapat dbtuk klmpk yag trdr atas rag rag lak- lak da rag wata?. Jawab: -klmpk yag trdr atas rag tapa js klam yag khusus, maka kmugkaya: 8 8! ! C 56 cara 8 5!5!..5! klmpk yag trdr atas rag rag lak-lak da rag wata, maka kmugkaya: lak- lak saja 4 4! 4..! C 6 cara!.!!.!

4 7 4 4! 4.! wata saja C 4 cara!.!!. C C da C cara. Dstrbus Bmal Fugs dstrbus adalah fugs yag mggambarka kumpula dar bbrapa pluag, adapu bmal mgadug art dua, sdagka dstrbus bmal yag dmaksud adalah kadaa utuk mggambarka pluag yag aka mucul dar suatu prstwa yag dulag kal prcbaa dmaa prstwa trsbut mmlk dua kmugka kjada. Sbaga cth prstwa bmal adalah: kmugka hasl ksprm dapat gagal atau brhasl, lmpara sbuah mata uag dapat brupa gambar atau agka, kadaa sp partkl dapat up atau dw. ada prstwa yag mgguaka dstrbus bmal aka mmlk dua kadaa katakalah A da A. Utuk satu kal prstwa tu trjad, pluag kjada A dyataka dga A p da pluag kjada buka A kjada A dyataka dga A q, dalam hal hubuga atara p da q dapat dyataka dga : p q.5 Bagamaakah kta dapat mtuka pluag yag aka mucul utuk kadaa trttu jka prstwaya kta ulag bbrapa kal. Sbaga cth: Ttuka pluag utuk mdapatka muka gambar dalam tga kal lmpara sbuah mata uag. Ttuka pluag utuk mdapatka muka gambar dalam tga kal lmpara sbuah mata uag.

5 Ttuka pluag utuk mdapatka muka gambar dalam tga kal lmpara sbuah mata uag. 8 la lmpara yag aka trjad dtujukka pada tabl.. Tabl. la kmbas tga kal lmpara sbuah mata uag Lmpara Lmpara Lmpara KETERAGA G G G G G G A G A G G 4 A G G 5 A A G 6 A G A G 7 G A A 8 A A A 0G Jka kta mlhat hal maka utuk mjawab prtayaa d atas dapat dlakuka dga mudah: G /8. G /8. G /8. amu utuk lmpara yag cukup bayak, msalya mpat lmpara, maka pla yag trbtuk mjad sprt pada tabl.. la aka smak brkmbag jka jumlah lmpara dprbayak. rhatka pluag utuk mdapatka dua muka gambar dalam mpat kal lmpara mata uag dapat dprlhatka lh tabl., G 6/6. Harga pluag ada kataya dga harga kmbas yag harus dlakuka utuk mmpatka pla yag dapat trjad. Utuk jumlah lmpara yag cukup bayak aka sagat krpta kta dalam mtuka pla kmbas yag aka trjad. Olh kara tu kta prlu mdl matmats utuk mtuka harga prbabltas dalam dstrbus bmal.

6 9 Tabl. la kmbas mpat kal lmpara sbuah mata uag Lmpara Lmpara Lmpara Lmpara 4 Ktraga G G G G 4G G G G A G G A G 4 G A G G G 5 A G G G 6 A A G G 7 A G A G 8 A G G A 9 G A A G G 0 G A G A G G A A A A A G A A G A 4 A G A A G 5 G A A A 6 A A A A 0G dl dapat kta asumska sbaga brkut, msal hasl sbuah ksprm yag tlah dlakuka mmlk dua kmugka yak brhasl h da gagal g, bagamaakah pluag utuk mtuka dua ksprm yag brhasl dar smua ksprm yag prah dlakuka. kmugka skprm h h G g h g H g h g G g. g g g

7 0 Brdasarka hasl uj cba maka dprlh mdl matmats utuk dstrbus bmal, yag dyataka dga: bmal C p q! p!! q.6 Cth pgguaaya adalah sbaga brkut: 4 4!!!! 4!!4 4!!4!!!! rapa Dstrbus Bmal dalam Kasus Fska dl dstrbus bmal dapat dtrapka k dalam bbrapa kasus fska sprt sstm partkl dga sp ½. Sbaga cth sstm yag trdr dar partkl dmaa stap partkl mmlk varabl bsara fska yak mm magtk partkl. Harga mm magtk partkl trsbut mmlk dua macam harga brgatug dar kadaa sp partkl. Jka partkl dalam kadaa up maka harga mm magtk partklya, jka partkl dalam kadaa dw maka mm magtk partklya -. Gambar. Sstm partkl dga sp ½.

8 Bagamaakah kta dapat mghtug harga mm magtk ttal dar sstm?. Jka pluag partkl dalam kadaa up dapat dyataka dga p, da pluag partkl dalam kadaa dw dapat dyataka dga q dga p q. Asums yag dguaka adalah tdak adaya traks massa atar partkl, partkl haya mgalam grak traslas saja. amu rtas sp partkl dapat mmpgaruh kadaa laya shgga kadaa sp partkl stap saat dapat brubah. Olh kara tu utuk mmprlh gambara mm magtk ttal sstm kta mmrluka lagkah-lagkah prhtuga brkut. Utuk mdapatka harga mm magtk ttal, maka kta aka mjumlahka smua harga mm magtk yag dmlk lh smua partkl yatu: T T ggat sstm brprlaku dams, maka pgukura yag mmugkka utuk harga mm magtk ttal lbh tpat dyataka dga: dmaa T ± T harga mm magtk ttal sstm. harga ttal mm magtk rata-rata. stadar dvas/smpaga..8 Shggga kta mmrluka harga da, harga ttal mm magtk ratarata dapat dyataka dga:.9

9 ggat stap partkl mmlk dua kadaa dga pluag p da q, maka dalam btuk yag lbh sdrhaa harga ttal mm magtk rata-rata dapat dyataka dga:. p. q. p q.0 Bsar smpaga mm magtk ttalya dapat dyataka dga. Utuk data yag cukup bsar kta aka mgguaka ksp stadar dvas. Stadar dvas ddfska sbaga rata-rata dar smpaga yag dtulska dga: amu jka kta prhatka. 0 Shgga harga stadar dvasya mjad :. ggat adalah jumlah partkl dga rd yag cukup bsar maka kta mgguaka harga stadar dvas sprt pada prsamaa. d atas, pylsaa utuk kasus mjad:

10 Shgga dalam hal kta mmrluka harga stadar dvas utuk mm magtk partkl, harga dapat dturuka sbaga brkut: ggat harga stadar dvas utuk mm magtk partkl adalah sama maka harga stadar dvas mm magtk ttal dapat drumuska dga lbh mudah:.5 Shgga harga mmt magtk ttal sstm dapat dyataka dga :.6 { } { } { } j j j j j j j j j j 4 4 shgga dga,. K K K K K K pq 4pq 4pq pq q p T ± shgga, dga, pq q p pq qp pq p q q p q p q q p p q p q p

11 4.4 Dstrbus Gauss / Dstrbus rmal rhatka kmbal prsamaa dstrbus bmal yag dprlhatka lh prsamaa.4, apabla sagat bsar maka prhtuga prbabltas trlhat sult kara mmbutuhka prhtuga faktral yag sagat bsar. Kara ksulta lah, mmugkka kta utuk mgguaka aprksmas shgga dprlh btuk prsamaa yag sdrhaa dar prsamaa 5. trsbut utuk kasus yag sagat bsar sprt yag dprlhatka lh prsamaa brkut: p / pq.7 π pq dmaa: la rata-rata: p stadar dvas: pq rsamaa d atas mujukka dstrbus Gauss. Cth Sal. Sbuah k mata uag brgambar agka A da gambarg dlmpar 400 kal. Ttuka prbabltas mmprlh 5 gambar G! Jawab : Dar prsamaa dstrbus Gauss: p / pq π pq dmaa: A ½, da G ½. p ; 400 σ.. 0. aka dprlh: 5 0 π

12 Sbuah sstm trdr dar partkl dga sp ½ traks atar partkl dalam sstm sagat lmah sstm dal. m magtk partkl dyataka dalam, harga prbabltas partkl dalam kadaa up da dw dyataka lh p da q dga mgguaka prsamaa d d " da aprksmas Gaussa utuk harga yag bsar, turuka aprksmas Gaussa utuk prbabltas d yag mm magtk ttal dar sstmya mmpuya la atara da d. Jawab: m Dar aprksmas Gaussa dprlh: dmaa: p π pq p q ; maka dprlh prsamaa sbaga brkut: p π p q p π pq pq p q p πpq 8pq

13 6.5 Dstrbus ss Apabla kadaa yag dtjau sagat bsar ttap mmlk pluag p sagat kcl maka prsamaa dstrbus bmal d atas dga mgguaka aprksmas aka dprlh prsamaa dstrbus pss. Dstrbus pss mrupaka suatu sstm dstrbus yag brkata dga varabl ktu, msalya varabl waktu. Tjau kasus d bawah, dmaa sbuah sumbr partkl mmacarka partkl yag kmuda dtagkap lh sbuah dtktr. dtktr Sumbr partkl Gambar. Skma pacara partkl yag dtrma lh dtktr rstwa mrupaka salah satu cth dstrbus pss kara waktu pgamata brjala scara ktu, sdagka partkl yag dpacarka lh sumbr mrupaka varabl dskrt yag dapat dhtug scara dgtal. Bagamaakah kta dapat mtuka pluag utuk mdapatka partkl dalam sstm yag sprt? Kta tjau sstm brkut, msal bruruta slama pyara maka aka trlhat : kta amat jalaya dua partkl yag

14 7 Gambar. ss hambura dua partkl brturut-turut trhadap waktu Dar gambar, X adalah lamaya pgamata da adalah slag waktu atara partkl yag brdkata. Yag mjad bahasa dalam dstrbus ss adalah bagamaa mtuka gambara pluag utuk mdapatka partkl dalam slag waktu trttu X? Sbaga gambara, kalau dalam slag waktu d dtmuka partkl maka harga pluagya dapat dyataka dga prbadga d, sdagka kalau tdak dtmukaya partkl dalam slag d dyataka dga: d 0. Jka dalam slag d ada partkl, maka pluag utuk mmuka partkl d dalam slag d adalah, shgga. aka pryataa pluag tdak mmuka partkl dalam slag d mjad d d, da pluag tdak mmuka partkl dalam slag mjad 0. Shgga utuk mggambarka pluag tdak dtmukaya partkl dalam slag waktu d: 0 d d.8 Dalam drt Taylr, dmsalka:

15 8 f f ' f " f d f d d...!! Dga mgambl dua suku prtama, maka dprlh: d d d d.9 Dar prsamaa.8 da.9 dprlh: d d d d d l C d { } Jka dalam waktu X 0, brart blum ada partkl yag dpacarka shgga pluag utuk tdak mmuka partkl dalam slag waktu X adalah maka aka dprlh: C. 0 da ddapatka C, shgga: 0.0 rsamaa d atas mrupaka pluag utuk tdak mmuka partkl dalam slag waktu X pgamata. Bagamaa mgtahu pluag utuk mmuka partkl dalam slag waktu X pgamata?. rhatka gambar brkut:

16 9 Gambar.4 Ilustras muculya satu buah partkl dalam waktu X pgamata rhatka ada tga kadaa utuk mggambarka kds :. luag tdak dtmukaya partkl dalam slag ξ maka:. luag dtmukaya partkl dalam slag dξ:. luag tdak dtmukaya partkl dalam slag -ξ maka: Kara waktu adalah suatu varabl yag ktu maka pluag utuk mmuka partkl dalam slag X dyataka dga: Kara da adalah kstata, maka: ξ dξ X- ξ X 0 ξ ξ 0. dξ ξ ξ 0. dξ 0 ξ. 0 dξ

17 40 Jad pluag utuk mmuka partkl dalam slag waktu X dyataka dga:.. Skarag aka dturuka bagamaa mcar pluag mmuka partkl dalam slag X. Trlbh dahulu prhatka gambar brkut: X- ξ ξ dξ X Gambar.4 Ilustras muculya dua buah partkl dalam waktu X pgamata Dga gambara yag sama, maka kta aka mdapatka kadaa sbaga brkut:. luag dtmukaya partkl dalam slag ξ adalah ξ ξ.. Dtmukaya partkl dalam slag dξ mjad ξ. luag tdak dtmukaya partkl dalam slag -ξ: 0 ξ ξ ξ

18 4 aka pluag utuk mmuka partkl dalam slag waktu adalah : ξ ξ. dξ. ξ ξ ξ ξ d... Ccka hasl ada.. 6. Dar prsamaa d atas maka dapat dprlh bahwa pluag utuk mmuka partkl dalam slag waktu adalah Dga cara yag sama, cbalah ada tmuka prsamaa utuk mdapatka partkl dalam slag X pgamata!..!.4

19 4 Cth sal. Buktka bahwa dstrbus trrmalsas yatu Jawab:!!! Igat bahwa...!!, maka prsamaa datas dapat dtuls :. Aggap bahwa ksalaha ktk yag dlakuka lh srag juru ktk trjad scara acak. salka sbuah buku dga tbal 600 halama trdr dar 600 ksalaha ktk. Dga mgguaka dstrbus pss, htug prbabltas: a. sbuah halama tdak trdapat ksalaha ktk! b. sbuah halama trdapat ksalaha ktk palg sdkt tga! Jawab: a. 600; /600 shgga dprlh:. p

20 Dar prsamaa dstrbus s aka ddapatka : ! 0 0,. b. 0 0,67; 0,67; 0,84 maka aka dprlh : > - 0-0,67 0,67 0,84 0,08.

21 44 Sal Latha. Jka dalam waktu dtk suatu sumbr partkl mmacarka partkl dga partkl/dtk, ttuka pluag partkl dalam slag waktu trsbut!. a. Jlaska apa dmaksud dga Esambl statstk! b. Dalam pmbahasa Fska Statstk, ada frmas ptg yag aka mmbrka spsfkas makrskpk. Sbutka da jlaska ktga frmas trsbut!. Suatu sstm trdr dar bayak ruaga dga jumlah ttal partkl da jumlah partkl dalam sstm yag dtjau adalah. Jka p adalah kmugka utuk mdapatka satu ruaga yag dtjau da q adalah kmugka utuk mdapatka ruaga laya. Buktka : C.. p q! dga adalah kmugka mdapatka ruaga yag dgka. 4. Sbuah lktr brgrak spajag sumbu sprt gambar a 4a dalam slag a 4a da ampltud glmbag lktr trsbut adalah ψ c.. Ttuka kmugka utuk mdapatka lktr pada darah a a! 5. Dalam suatu sstm yag vlumya V dga jumlah mlkulya trdapat sstm la yag aka dtjau vlumya adalah V da jumlah mlkulya adalah. Jka p adalah kmugka utuk mdapatka mlkul pada darah yag dtjau da q adalah kmugka utuk mdapatka mlkul pada darah yag la, ttuka jumlah rata-rata mlkul brada pada darah yag kta tjau! 6. Sstm gas brada dalam kstmbaga mmpat sbuah ktak tmbaga yag brada dalam tmpratur kamar. Erg rata-rata yag dmlk partkl gas yag brada dkat dga ddg dasumska sama dga rg rata-rata partkl tmbaga yatu mv. Stap partkl tmbaga brgtar harmk sdrhaa, jka E p E k, massa js tmbaga 8,9 gr/cm da brat atm tmbaga 6,5. Ttuka:

22 45 a. Kcpata rata-rata graka atm tmbaga dalam kstmbaga! b. Jarak atar partkl trdkat! c. Bsar gaya yag bkrja tap satua luas, jka gaya tark yag bkrja pada pampag ktak A mybabka prtambaha pajag ktak l, dapat dyataka dga : F A γ dga γ adalah mdulus yug,8.0 dy/cm, gaya trsbut mybabka prgsra atm sjauh. d. Bsar rg ptsal yag mybabka atm brgsr sjauh! 7. D dalam sbuah tabug brs gas dal dga jumlah partkl dalam kadaa stmbag dga vlum V. Dga mgambl partkl dalam subruag V maka dapat dyataka prbabltas utuk mdapatka partkl dalam subruag V yag dyataka dga V/V, ttuka: a. la rata-rata bayakya partkl dalam subruag V yataka dalam, V da V! b. Stadar dvas! c. Stadar dvasya jka V << V 8. Suatu bagua trdr dar 0 ruag, dmaa trdapat 8 ruag js A, 4 ruag js B, 5 ruag js C da ssaya D. Ruag A da ruag B brkaraktrstk, ruag C da ruag D brkaraktrstk y, kmuda dsbarka 6 partkl. Ttuka pluag utuk mdapatka bagua yag brkaraktrstk y dga partkl d ruag A, da partkl d ruag D! 9. a. Dalam mgugkapka sfat-sfat makrskpk suatu sstm ada mtd yag dguaka yatu mtd thrmdamka da mtd fska statstk. Jlaska masg-masg trsbut! b. Jlaska dmaa kgagala mtd thrmdamka dalam mjlaska sfat makrskpk suatu sstm, mgapa mtd mkaka statstk dapat mjlaskaya!

23 0. Tjau sbuah t yag mmlk sp. Kmp mm magtk spajag arah trttu dapat mmlk tga kmugka la, yatu 0, 0, 0. salka btuk tya tdak smtr bla mlaka lpsdal. Akbatya, t cdrug lbh myuka rtas trttu yatu sumbu mayrya sjajar dga arah trttu dalam krstal padat dmaa t trsbut brada. Shgga trdapat prbabltas p dmaa 0, da prbabltas p dmaa 0, prbabltas utuk 0 adalah p. a. Htuglah da b. Htuglah!! c. salka bahwa zat padat yag dtjau mmlk t yag traksya dga yag la dapat dabaka. Aggap myataka kmp mm magtk ttal spajag arah trttu dar smua t dalam zat padat trsbut. Htuglah da dvas stadarya dalam btuk, p da Elktr brmuata dmska scara acak dar sbuah flam paas pada sbuah tabug vakum. Sbaga pdkata, ms satu lktr trttu tdak mmpgaruh ms lktr yag la. Tjau slag waktu sagat sgkat t. Kmuda trdapat prbabltas p dmaa sbuah lktr dmska dar flam slama slag waktu trsbut. da prbabltas q p dmaa lktr tdak trmska. Kara t sagat sgkat, prbabltas lktr trms p slama slag waktu sagat kcl p << da prbabltas lbh dar satu lktr yag trmska slama slag waktu t dapat dabaka. Tjau smbarag slag waktu t yag lbh bsar dar t. Slama slag waktu trdapat t / t kmugka slag waktu t dmaa lktr dapat dmska. uata ttal yag dmska dalam slag waktu t dapat dtuls sbaga: Q q q q q 4 q 5... q Dmaa q myataka muata yag dmska slama slag waktu t k ; shgga q jka sbuah lktr dmska da q 0 jka tdak.

24 a. Htuglah muata rata-rata Q yag dmska flam slama slag waktu t? 47 b. Htuglah dsprs muata Q yag dmska flam slama slag waktu t? Guaka pdkata p<< utuk mydrhaaka slusya. c. Arus I yag dmska flam slama slag waktu t ddfska lh Q/t. Hubugka dsprs arus I dga arus rata-rata I, buktka bahwa I d. Htuglah dvas stadar arus I jka arus rata-rataya I A da slag waktu pgukuraya dtk. t I. Sbuah batr dga ggl ttal V dhubugka dga sbuah rsstr R. Akbatya, sjumlah daya V /R ddspaska pada rsstr trsbut. Batr trsbut trdr dar buah sl dvdu yag dsusu scara sr shgga V mrupaka pjumlaha dar ggl sluruh sl dvdu. Kds batr sudah cukup lama shgga tdak smua sl dvdu brada dalam kds smpura. Shgga trdapat prbabltas p dmaa ggl dar tap sl dvdu mmlk la yag rmal v; da prbabltas p dmaa ggl dar tap sl dvdu l kara tlah trjad ksltg. Tap sl dvdu tdak salg brkata satu dga yag la statstcally dpdt. ada kds sprt, htuglah daya rata-rata yag ddspaska dalam rsstr. yataka slusya dalam, v, p, da R.. Sbuah mlkul pada gas bbas brgrak dalam tga dms. salka s myataka prpdahaya stlah tumbuka bruruta dga mlkul yag la. rpdaha mlkul stlah tumbuka bruruta tdak salg brkata statstcally dpdt. Kmuda, kara tdak ada arah trttu yag lbh dsuka lh mlkul dalam ruag, mlkul brgrak acak shgga prpdaha rata-rataya s 0 rata-rata tap kmp

25 prpdaha s s s 0. rpdaha ttal R mlkul stlah y z mgalam tumbuka brturut-turut dapat dtulska sbaga: R s s s... s dmaa s myataka prpdaha k dar mlkul. a. Htuglah prpdaha ttal rata-rata R dar mlkul stlah mgalam kal tumbuka brturut-turut. R R R b. Htuglah stadar dvas mlkul mgalam kal tumbuka brturut-turut. 48 dar prpdaha stlah c. Htuglah R jka bsar tap prpdaha s sama dga l.