Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika ISSN X Vol. 2, No. 2, Oktober 2013 ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEDERHANA

Transkripsi

1 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 ALJABAR LINTASAN LAVITT SDRHANA Ida Kura Walyat Program Stud Pddka Matmatka FKIP Urstas Kharu, Trat mal: adhku@gmal.com ABSTRAK Graf dapat drprstaska mjad suatu aljabar ltasa atas lapaga K dga mambahka dua aksoma yag dotaska dga K. Apabla graf dprluas da dtambahka aksoma CK da CK maka dapat ddfska aljabar ltasa Latt yag dotaska dga L(). Pada kyataaya K mrupaka sub aljabar dar L(). Aljabar ltasa Latt mrupaka Z4T-aljabar brtgkat yag dal-dal brtgkatya dbagu olh hmpua baga ttk-ttk yag mmpuya sfat hrdtr da trsaturas. Slajutya mlalu hubuga somorfsma suatu K-aljabar, dal-dal dapat dkataka sbaga aljabar ltasa Latt juga. Brkata dga sfat sdrhaa lm aljabar ltasa Latt yatu lm yag haya mmuat ltasa-ltasa dalam gars yata atau gars hatu saja, dapat dtmuka syarat prlu da cukup suatu graf mmbtuk aljabar ltasa Latt sdrhaa. Kata kuc: graf, aljabar, aljabar ltasa, Latt, aljabar sdrhaa A. Pdahulua Graf mrupaka objk kombatoral yag trdr dar gars-gars (dgs) da ttkttk (rtx). Graf brarah dapat dpadag sbaga pasaga 4-tupl yag trdr dar dua hmpua da dua pmtaa. Hmpua yag dmaksud adalah hmpua ttk da hmpua gars. Sdagka pmtaaya adalah pmtaa dar hmpua gars k hmpua ttk, yag masg-masg darah haslya dsbut sbaga sumbr/asal (sourc) da ujug/targt (rag) dar suatu gars dalam graf. Dga ddfskaya opras prkala pada hmpua smua ltasa dalam graf, hmpua mmpuya struktur smgrup. Slajutya utuk sbarag lapaga K da graf dapat ddfska suatu K-aljabar yag dsbut dga aljabar ltasa atas lapaga K pada yag mmlk bass hmpua smua ltasa yag ada pada graf trsbut. Hal sjala dga pryataa Passma (977) da Wsbaur (99), bahwa apabla dbrka sbarag grup, bahka smgrup trhadap opras prkala da sbarag lapaga K, maka dapat ddfska K-aljabar asosatf. Aljabar ltasa mrupaka aljabar atas lapaga dga bass hmpua smua ltasa yag ada pada graf. Dalam hal graf dpadag scara aljabar, buka sbaga objk kombatoral. Sla tu graf dapat dprluas shgga trbtuk graf baru yag 85

2 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 dsbut graf prluasa. Salah satu d prluasa dlakuka olh Latt dga mambahka adaya gars yag brlawaa arah dga gars yag ada pada graf. Stap gars yag ada pada graf aka brpasaga dga gars baru yag dbtuk yag dsbut dga gars hatu. Dar s dapat ddfska suatu aljabar ltasa atas lapaga pada graf prluasa, yag dsbut dga aljabar ltasa Latt. Hmpua {} da aljabar tu sdr mrupaka dal tral dalam suatu aljabar. Aljabar yag haya mmuat dal tral dsbut dga aljabar sdrhaa. Dalam tulsa aka dsldk apakah btuk graf mmpgaruh sfat sdrhaa aljabar ltasa Latt yag dbtuk. Dga kata la aka dsldk syarat apa saja yag harus dmlk suatu graf shgga trbtuk aljabar ltasa Latt sdrhaa. Utuk mjawab prmasalaha aka dbahas ttag dal yag ada pada aljabar ltasa Latt, dga trlbh dahulu dplajar hmpua baga dar ttkttk dalam suatu graf yag mmpuya sfat khusus, yatu hmpua baga hrdtr da trsaturas. Hmpua-hmpua baga hrdtr da trsaturas aka mmbagu dal dalam aljabar ltasa Latt. B. Aljabar Ltasa Sblumya harus dktahu trlbh dahulu mga dfs graf. Brkut dbrka pgrta ttag graf. Dfs. Graf rs = (,,, ) mrupaka 4-tupl yag mmuat hmpua,, da fugs-fugs sr, :. Aggota dar dsbut ttk da aggota dsbut gars. Utuk stap gars, s() adalah sumbr (sourc) dar, da r() mrupaka targt/ujug (rag) dar. Graf yag dmaksud ds adalah graf brarah tapa pmbatasa bayakya gars atara dua ttk, tapa pmbatasa adaya loop da atau skl brarah. Dalam suatu graf trdapat ltasa yag ddfska sbaga brkut. Dfs. Dbrka graf rs = (,,, ) da w,. Sbuah ltasa (path) µ dga pajag l dga sumbr ttk da ujug/targt ttk w (dga kata la ltasa µ brasal dar ttk muju k ttk w) adalah barsa dmaa k utuk stap k l... l w da s ( ) =, r ( k) = s ( k + ), utuk stap k l da r ( l ) = w. Ltasa yag dmka dotaska sbaga µ =... l. 86

3 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Hmpua smua ltasa dga pajag dotaska dga. Sdagka smua ltasa yag ada dalam graf dotaska dga. Dktahu bahwa dalam suatu graf trdapat ttk da gars, shgga dbrka kttua bahwa utuk stap ttk dasosaska dga ltasa yag pajagya da dsbut sbaga ltasa tral atau stasor, sdagka sbarag gars dasosaska dga ltasa yag pajagya. Dga dmka ltasa dga pajag da brkorspods satu-satu dga lm-lm d da. Suatu ltasa µ =... l dga s( µ ) = s ( ) = da r( µ ) = s ( l ) = w utuk stap w,, maka dkataka mmacarka (mt) µ da w dkataka mrma µ. Jka tdak mmacarka sbarag gars dalam (sk). Dga kata la tgglam jka da haya jka utuk stap, maka dkataka tgglam, s ( ). Dfs.3 Dbrka lapaga K da graf = (,, sr, ). Aljabar ltasa pada graf atas lapaga K dotaska K adalah K-aljabar yag sbaga K-ruag ktor mmpuya bass hmpua smua ltasa dalam da mmuh syarat: = δ utuk stap,. j j. = r( ) = s( ) utuk stap Cotoh.4 j. Dbrka graf brkut: Cotoh.4 Dbrka graf brkut: u 3 u 3 u u 4 Gambar Aljabar ltasa K atas graf pada Gambar mmlk bass { u, u, u 3, u, 4,, 3, 3} Dmaa stap ttk, gars, da ltasaya dapat dyataka: u =, u =, u 3 =, u 4 =, =, =, u 3 =, 3= 87

4 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Jka dasumska lapaga = {,} maka tampak bahwa : u u uu = δ u δ = = j δ = j., j ; j j dga j jka da j jka.. ; = ( ) = ( ) yatu = = 4, = =, 3= 3= 3 3 r s u u u u u u. Stap lm dalam K mrupaka kombas lar dar 8 matrk datas. Hal lah yag mympulka bahwa K mrupaka aljabar ltasa pada graf atas lapaga = {,}.. Dbrka graf brkut. Gambar Aljabar ltasa atas lapaga K pada graf sprt Gambar mmpuya bass l {,,,...,,...}. Aljabar ltasa K somorf dga aljabar polomal K[t] dga dtrmat t. 3. Dbrka graf brkut. w Gambar 3 Aljabar ltasa K atas graf pada Gambar 3 mmpuya bass {,w,}. Aljabar somorfs dga aljabar matrks sgtga atas. Aljabar ltasa pada suatu graf mmpuya sfat sprt dalam lmma brkut. Lmma.5 Dbrka graf da lapaga K. Maka pryataa brkut bar:. K adalah aljabar asosatf. K mrupaka K-aljabar brtgkat. 3. K mmpuya lm satua jka da haya jka brhgga 4. K brdms hgga jka da haya jka brhgga da askls. 5. Jka tak brhgga maka K mrupaka K-aljabar dga lokal ut. C. Pgrta da Sfat-Sfat Aljabar Ltasa Latt Graf dapat dprluas dga cara mmbtuk gars baru (gars hatu) dar masgmasg gars yag trdapat dalam graf (gars yata) tap arahya brlawaa. Msal adalah gars yata maka gars hatu dar dotaska dga = Gambar 5 l l l = w. Brkut lustrasya: 88

5 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Gars putus-putus mrupaka gars hatu dar masg-masg gars yata yag ada. Prluasa graf mghaslka aljabar ltasa yag dsbut aljabar ltasa Latt. Ilustras datas dapat dtulska dalam dfs brkut. Dfs 3. Dbrka graf sr yag dtuls (, ( ), s', r') ddfska sbaga: = (,,, ). Prluasa graf mrupaka graf baru = dmaa ( ) { : } = da fugs r da s r ' = r ; s' = s ; r'( ) = s ( ) da s '( ) = r ( ) Slajutya aka dbrka dfs aljabar ltasa Latt atas lapaga K yag mrupaka aljabar ltasa pada graf prluasa. Dfs 3. Dbrka lapaga K da graf brhgga. Aljabar ltasa Latt dar graf dga kofs dalam lapaga K ddfska sbaga aljabar ltasa pada graf prluasa yag mmuh syarat Cutz-Krgr brkut: (CK) = δ r ( ) utuk stap ; ( ) j j j j (CK) = ( j ; s( j ) = ) utuk stap j j dga tdak tgglam. Aljabar ltasa Latt dotaska L(). Latt : Brkut dbrka cotoh aljabar ltasa yag mrupaka aljabar ltasa Cotoh 3.3 Dbrka graf brkut : Aljabar K Gambar 6 dga adalah graf pada Gambar 6 mrupaka aljabar ltasa Latt L ( ) da somorfk dga matrk aljabar M ( K). Cotoh 3.4 Dbrka graf brkut: Gambar 7 Aljabar ltasa Latt atas graf datas somorfk K xx,. Slajutya lm dalam aljabar ltasa Latt brbtuk polomal dga stap moomalya brbtuk sbaga brkut. Lmma 3.5 Stap moomal dalam aljabar ltasa Latt L() brbtuk:. k dga k f u u K da ; atau f f u 3 u 89

6 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 k j j d maa k K. σ τ ; σ, τ ; σ + τ > ; da s j t ( ) utuk s σ, t τ. Murut Dfs.3 da Dfs 3. dapat dkataka bahwa lm dar L() mrupaka kombas lr dar lm-lm dalam { : } {, : } dga kofs dar lapaga K. Msalka dbrka dua ltasa dalam L() da dlakuka opras prkala datara kduaya, maka sbaga akbat dar CK ( βγ δβγ r( β) ) = aka mucul bbrapa kods, yatu sbaga ltasa hatu, βγ sbaga ltasa yata, βγ βγ sbaga suatu ttk, atau ltasa trsbut tdak trhubug (myambug). Lbh jlasya pryataa aka dsajka dalam lmma brkut. Lmma 3.6 Jka adalah suatu graf da L() mrupaka aljabar ltasa Latt, maka utuk suatu αβγδ,,, aka brlaku: αγ ' δ, jka γ = βγ' αδ, jka β= γ ( αβ )( γδ ) = αβ ' δ, jka β = γβ', yag la Aljabar ltasa Latt mmpuya sfat yag srupa dga sfat pada aljabar ltasa, sprt yag dbrka dalam Lmma.5. Slajutya aka dbrka sfat-sfat dar L(). Lmma 3.7 Dbrka graf da lapaga K srta L() aljabar ltasa Latt atas lapaga K. Pryataa-pryataa brkut brlaku: :. Jka hmpua ttk brhgga maka L() mrupaka K-aljabar utal. Jka hmpua ttk tak brhgga maka L() mrupaka K-aljabar dga lokal ut (aljabar yag mmpuya lm ut lokal) 3. Aljabar ltasa Latt L() mrupaka Z-aljabar brtgkat (Z-gradd algbra). 4. Sbarag hmpua dar ltasa-ltasa yag brbda mrupaka hmpua bbas lr dalam L(). 5. Aljabar ltasa Latt mrupaka K-aljabar brdms brhgga jka da haya jka graf brhgga da askls. D. Hmpua Baga Hrdtr Trsaturas Suatu Graf Ttk suatu graf mmbtuk hmpua, yag ddalamya trdapat hmpua baga yag mmpuya sfat khusus, yatu hrdtr da trsaturas. Dalam pmbahasaa slajutya aka dhubugka dga dal aljabar ltasa atas graf trsbut. Utuk sbarag graf, hmpua ltasa yag pajagya, utuk, dotaska da = mrupaka hmpua smua ltasa dalam graf. Kmuda ddfska suatu rlas dalam µ dga s( ) µ = da r( µ ) = w., yatu ( w, ), w, jka trdapat 9

7 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Dfs 4. H hmpua baga dar Kods trsbut dapat dgambarka dga cotoh brkut: b c Cotoh 4. dkataka hrdtr jka ( w, ) w, H w H. Hmpua baga H dar dkataka trsaturas jka ( ) s () da rs ( ( )) H H. a f Gambar 8 Dar gambar d atas dprolh {c,d,,f} mrupaka hmpua baga yag hrdtr da trsaturas, {b,c,d,,f} hrdtr tap tdak saturas,{a,b,c,f} trsaturas tap tdak hrdtr da {b,c,f} tdak hrdtr skalgus tdak trsaturas. Suatu hmpua baga H dar d yag hrdtr trsaturas mrupaka suatu hmpua baga dar yag hrdtr da juga trsaturas. Kolks dar smua hmpua yag mmuh sfat hrdtr da skalgus trsaturas dotaska dga. Suatu hmpua baga dar yag hrdtr trsaturas scara tral adalah hmpua kosog da sdr. Slajutya dga mgguaka opras prkala lm dalam L() sprt yag djlaska dalam Lmma 3.6 aka dbahas mga btuk dal brtgkat dalam aljabar ltasa Latt, yag dbagu olh hmpua baga. Trlbh dahulu ddfska suatu dal yag dbagu olh H yag mrupaka kombas lar dar moomalmoomal yag mlwat ttk d H. Kmuda aka dtujukka pmbtukka dal brtgkat dalam L(), sbagamaa dtragka dalam lmma brkut. Lmma 4.3 Dbrka graf. Hmpua H adalah hmpua baga dar hrdtr ttap tdak harus trsaturas. Idal yag dbagu olh H adalah { αβ α β α β } I( H) = k k K,,, r( ) = r( ) H yag yag mrupaka dal brtgkat. Lmma 4.3 mjlaska mga dal yag dbtuk dar hmpua baga hrdtr dar. Tap sla hrdtr juga trdapat hmpua baga dar yag trsaturas, yag maa juga mmbagu suatu dal d L(). Tryata ttk-ttk dalam suatu dal juga mmbtuk hmpua baga hrdtr da trsaturas d. Pryataa dprjlas dalam lmma brkut. 9

8 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Lmma 4.4 Utuk stap dal I dar aljabar ltasa Latt L(), I mrupaka hmpua baga hrdtr da trsaturas dar. Lmma 4.3 da Lmma 4.4 mdasar pgrta bahwa stap dal brtgkat dar suatu aljabar ltasa Latt dbagu olh hmpua baga ttk-ttk yag hrdtr da trsaturas. Padahal hmpua ttk-ttk suatu graf mrupaka lm dmpot d L(). Dga dmka suatu dal brtgkat J d L() mrupaka dal yag dbagu olh lm dmpot. Uraa d atas bayak mmbahas ttag dal brtgkat d L(). Hal mmotas utuk myldk apakah stap dal brtgkat dar suatu aljabar ltasa Latt juga mrupaka aljabar ltasa Latt. Utuk tu aka dbrka suatu lmma yag brhubuga dga dal brtgkat trsbut. Sblumya aka ddfska mga btuk sdrhaa lm dalam L(). Hal trmotas dar pryataa dalam Lmma 3. 5 mga btuk moomal dalam L(). Jka moomal trsbut haya mmuat gars-gars yata atau haya mmuat gars-gars hatu maka aka mmbtuk lm L() dalam btuk sdrhaa. Dfs 4.5 Dkataka bahwa x L( ) yata jka: lm x L( ) mrupaka polomal dalam smua gars k = x= λα λ K α k k, k, k. mrupaka polomal dalam smua gars hatu jka: k = x= λβ, λ K, β. k k k k Slajutya dbrka suatu olus lr sbaga fugs kbalka, yag ddfska sbaga brkut. Lmma 4.6 Jka adalah suatu graf da L( ) aljabar ltasa Latt, dapat ddfska sbuah olus lar x x pada L( ) sbaga brkut:. k k k K =,,, k = k k K στ σ+ τ> ,,,,,,, j j j j j. σ τ τ σ Dga mgguaka olus lr pada Lmma 4.6 dapat dbtuk graf baru. Lbh jlasya dapat dsajka dalam dfs brkut. Dfs 4.7 Dbrka graf da H H. Ddfska s t 9

9 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 { α α α α α α } F ( H) = = (... ), s( ) \ H, r( ) \ H( < ), r( ) H Kmuda dbrka F H { αα F H } (,, ', ') = s r dga: H H H ) = H F H ( ) H ) H { } 3) ( ) = s () H F( H) ( ) = ( ). Slajutya ddfska graf baru s () H, s'() = s () da r'() = r () 4) Utuk stap α F ( H), s'( α) = α da r'( α) = r( α) Graf baru yag trbtuk yatu H ( H H s r ) =,, ', ', dapat mdfska aljabar ltasa Latt yag dotaska dga L( H ). Baga sblumya tlah dkmukaka mga dal yag dbagu olh H, yag dotaska dga I(H). Jka dhubugka dga graf yag baru saja dbtuk, ddapat hubuga yag dsajka dalam lmma brkut. Lmma 4.8 Dbrka graf. Utuk stap H, hmpua baga yag hrdtr da saturas, dal I(H) somorfs dga L( H ). Pmbuktaya dtujukka dga mmbtuk pmtaa φ, yag ddfska: H =. ( ) φ() α F ( ) ( ) H φ α = αα. ( ). ( )( ) s( ) H φ( ) = da φ( ) =. ( ) α F ( ) ( ) da ( ) H φα = α φα = α Utuk mjlaska Lmma 4.8 prhatka Gambar 8. Idal yag dbagu olh H mrupaka kombas lr dar ltasa-ltasa yag mlwat ttk-ttk dalam H. Padahal L( H ) mrupaka aljabar ltasa Latt atas graf baru (,, ', ') = s r dga mgaggap H sbaga suatu ttk. Dga dmka H H H dapat dsmpulka bahwa dal yag dbagu olh hmpua baga hrdtr da trsaturas aka mmbtuk aljabar ltasa Latt.. Ltasa Trtutup Stap graf past mmpuya ltasa. Ltasa yag brsumbr da brujug pada satu ttk yag sama dsbut sbaga ltasa trtutup. 93

10 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Dfs 5.. Gars dsbut jala kluar (xt) dalam ltasa µ = µ... µ jka trdapat sdmka hgga s () = sµ ( ) da µ.. Sbuah ltasa trtutup brbass d adalah suatu ltasa µ = µ... µ dga µ j, sdmka hgga s( µ ) = r( µ ) =. Hmpua smua ltasa yag dmka dotaska dga CP(). 3. Sbuah ltasa trtutup sdrhaa brbass d adalah ltasa trtutup yag brbass d, µ = µ..., µ sdmka hgga utuk stap j >, s( µ j ). Hmpua smua ltasa yag dmka dotaska dga CSP(). Brdasar Dfs 5. dapat dkataka bahwa stap skl mrupaka ltasa trtutup sdrhaa yag brbass d smua ttkya, tap tdak stap ltasa trtutup sdrhaa yag brbass d mrupaka skl, kara dalam ltasa trtutup sdrhaa yag brbass d dapat mlwat ttk-ttk yag sama lbh dar satu kal. Sdagka stap ltasa trtutup sdrhaa mrupaka ltasa trtutup tap tdak sbalkya. Ltasa-ltasa trtutup dalam suatu graf mmuh rlas CK da dapat dlhat dalam lmma brkut. Lmma 5. Utuk stap µυ, CSP() brlaku µυ= δ υ. Dga dmka ltasa-ltasa trtutup sdrhaa mmuh sfat CK, sprt halya gars-gars da ltasa yag la. Slajutya aka dbrka lmma yag mjlaska hubuga ltasa trtutup da trtutup sdrhaa. Lmma 5.3 Utuk stap p CP() trdapat dga tuggal c,..., c CSP( ) sdmka hgga p = c.... c m Brkaa dga hubuga CP() da CSP() trsbut dalam Lmma 5.3, mucul dfs drajat pgmbala yag mjlaska bayakya lm CSP() sbaga pmbtuk suatu lm d CP(). Dfs 5.4 Dbrka p CP( ), ddfska drajat pgmbala (rtur dgr) d dar p yatu bayakya m sdmka hgga utuk c,..., c CSP( ), p = c.... c m Drajat pgmbala dotaska dga RD(p)=RD (p)=m. Pgrta dprluas utuk ttk-ttk lr tak ol brbtuk kp s s, dmaa p s CP () {} da ks K {} dotaska dga RD ( ksps) = maks{ RD ps } µν dga kttua RD ()=, da utuk kombas ( ). m m 94

11 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Drajat pgmbala dar ltasa dalam CSP() adalah satu. Dmka juga utuk skl, kara mrupaka ltasa trtutup sdrhaa yag brbass d smua ttk yag dlwatya. Lmma 5. da 5.3 haya mjlaska hubuga ltasa trtutup da trtutup sdrhaa, padahal mash ada ltasa trtutup laya yatu skl. Dga mgatka dfs jala kluar dalam suatu ltasa trtutup dapat dlhat sfatsfatya. Lmma 5.5 Dbrka grap. Kods brkut aka salg kual:. Stap skl mmpuya jala kluar.. Stap ltasa trtutup mmpuya jala kluar. 3. Stap ltasa trtutup sdrhaa mmpuya jala kluar. 4. Utuk stap CSP maka trdapat c CSP( ) yag, jka ( ), mmpuya jala kluar. Dmka tlah dbrka sfat-sfat ltasa trtutup yag trdapat dalam suatu graf. Sfat-sfat aka dguaka utuk mmplajar sfat sdrhaa (smplstas) dalam aljabar ltasa Latt. F. Smplstas dalam Aljabar Ltasa Latt Akhr dar pmbahasa dalam tulsa adalah syarat prlu da cukup suatu graf mmbtuk aljabar ltasa Latt sdrhaa. Namu sblum dbahas hal trsbut harus dplajar dulu mga bbrapa kasus brkata dga sfat ksdrhaaya (smplstasya). Msalya polomal-polomal yag haya mmuat gars yata atau gars hatu saja. Sblumya aka dbrka dulu proposs-proposs yag brkaa dga lm-lm sdrhaa yatu polomal yag haya mmuat gars-gars yata saja. Proposs 6. Dbrka graf dga sfat bahwa stap sklya mmpuya jala kluar. Jka α L ( ) mrupaka polomal yag haya mmuat gars yata saja dga dg( α ) >, maka trdapat ab, L ( ) sdmka hgga aα b mrupaka polomal yag haya mmuat gars yata da dg( aαb) < dg( α). Scara gars bsar Proposs 6. mgataka bahwa jka dbrka lm dalam L() yag haya mmuat gars yata saja past aka dtmuka dua lm L() laya sdmka hgga jka ktga lm trsbut dopraska dapat dtmuka lm L() yag haya mmuat gars yata dga drajat lbh rdah. Bahka hasl prkala ktga lm tad dapat mghaslka lm dalam, atau brupa ttk. 95

12 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Shgga rsa suatu dal J dalam L() yag haya mmuat gars yata dga tdak kosog. Pryataa mrupaka akbat yag mucul dar Proposs 6. da utuk lbh jlasya dyataka dalam Akbat 6. da Akbat 6.3 brkut. Akbat 6. Dbrka graf dga sfat bahwa stap sklya mmpuya jala kluar. Jka α mrupaka polomal yag haya brupa gars yata saja maka trdapat ab, L ( ) sdmka hgga aα b. Akbat 6.3 Dbrka graf dga sfat bahwa stap sklya mmpuya jala kluar. Jka J adalah dal dar L() da mmuat polomal tak ol yag haya brupa gars yata saja, maka J. Brdasarka Proposs 6. bsrta akbat-akbat yag mgkutya, mucul pmkra apakah sfat trsbut juga brlaku pada polomal-polomal yag haya mmuat gars hatu. Aka dguaka olus lr pada Lmma 4.6 utuk mmtaka lm yata k dalam lm hatu. Srg dga olus yag dbrka mucul proposs yag brkaa dga polomal yag haya mmuat gars hatu brkut. Proposs 6.4 Dbrka graf dga sfat bahwa stap sklya mmpuya jala kluar. Jka α L ( ) mrupaka polomal yag haya mmuat gars hatu dga dg( α ) >, maka trdapat ab, L ( ) sdmka hgga aα b mrupaka polomal yag haya mmuat gars hatu da dg( aαb) < dg( α). Sprt halya dalam polomal yag haya mmuat gars yata, polomal yag haya mmuat gars hatu juga mmpuya sfat brkut: Akbat 6.5 Dbrka graf dga sfat bahwa stap sklya mmpuya jala kluar. Jka α mrupaka polomal yag haya brupa gars hatu maka trdapat ab, L ( ) sdmka hgga aα b. Akbat 6.6 Dbrka graf dga sfat bahwa stap sklya mmpuya jala kluar. Jka J adalah dal dar L() da mmuat polomal tak ol yag haya brupa gars hatu, maka J. Slajutya dga mgguaka sfat-sfat pada polomal yag haya mmuat gars yata da gars hatu yag dhubugka dga sfat hrdtr da trsaturas aka mucul akbat brkut. Akbat 6.7 Dbrka graf dga sfat:. Hmpua baga. Stap skl d mmpuya jala kluar yag hdtr da trsaturas haya da 96

13 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Jka dal tak ol J dar L() mmuat polomal yag haya dalam gars yata saja ( atau yag haya mmuat gars hatu saja) maka J= L ( ). Tlah dbahas mga ltasa trtutup sampa sfat pada btuk sdrhaa suatu lm yag haya mmuat gars yata atau gars hatu saja. Slajutya aka dkaj mga syarat prlu da cukup suatu graf mmbtuk aljabar ltasa Latt sdrhaa, yag dsajka dalam torma brkut. Torma 6.8 Dbrka graf brhgga. Aljabar Ltasa Latt L() mrupaka aljabar sdrhaa jka da haya jka mmuh kods brkut:. Hmpua baga. Stap skl d mmpuya jala kluar yag hdtr da trsaturas haya da Torma 6.8 mrupaka hasl utama dalam pulsa. Slajutya aka dbrka cotoh graf yag mdfska aljabar ltasa Latt sdrhaa da yag tdak. Cotoh 6.9 Cotoh graf yag mdfska aljabar ltasa Latt sdrhaa: 3 Gambar 9 Cotoh 6. Cotoh graf yag mdfska aljabar ltasa Latt yag tdak sdrhaa: 3 Gambar Gambar Dga dmka graf mmpgaruh sfat smplstas/ksdrhaaa aljabar ltasa Latt yag ddfskaya. Dar pmbahasa-pmbahasa sblumya, suatu graf dapat mdfska aljabar ltasa da aljabar ltasa Latt. Aljabar ltasa dbagu dar ltasa-ltasa yag ada pada graf. Artya, ltasa-ltasa trsbut haya mmuat gars-gars yata. Sdagka aljabar ltasa Latt dbagu olh ltasa-ltasa yag mmuat gars-gars yata da atau gars-gars hatu. Artya trdapat ltasa yag haya mmuat gars-gars hatu saja. Dga dmka aljabar ltasa mrupaka baga dar aljabar ltasa Latt atau dotaska K L( ). Lmma brkut mmprjlaska hubuga aljabar ltasa da aljabar ltasa Latt

14 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Lmma 6. Dbrka graf. Aljabar K mrupaka aljabar ltasa atas lapaga K pada graf. Aljabar L() mrupaka aljabar ltasa Latt atas lapaga K pada graf. Aljabar K mrupaka sub aljabar dar aljabar L(). G. Ksmpula Aljabar ltasa mrupaka sub aljabar dar aljabar ltasa Latt yag lmya dbagu dar ltasa-ltasa yag haya mmuat gars yata. Aljabar ltasa Latt mrupaka Z4T-aljabar brtgkat yag dal-dal brtgkatya dbagu olh hmpua baga ttk-ttk yag mmpuya sfat hrdtr da trsaturas. Idal brtgkat juga mmbtuk aljabar ltasa Latt. Slajutya dga mgguaka sfat sdrhaa dar suatu graf da graf prluasa dapat dsmpulka bahwa syarat prlu da cukup suatu graf mmbtuk aljabar ltasa Latt sdrhaa adalah apabla graf trsbut brsfat stap sklya mmpuya jala kluar da hmpua baga dar ttkttkya yag hrdtr da trsaturas haya hmpua kosog da hmpua smua ttk tu sdr. Daftar Pustaka Abrams, G., ad Po, G.A., 5, Latt Path Algbra of a Graph, J. Algbra 93 (), Abrams, G., ad Po, G.A., 6, Purly ft smpl Latt Path Algbra of a Graph, J. Pur Appl.Algbra 7, Abrams, G., ad Po, G.A., 8, Th Latt Path Algbra of Arbtrary Graph, Hausto J. Math. 34 (), Adks, W., ad Wtraub, S. H., 99, Algbra: A Approach a Modul Thory, Sprgr-Vrlag Nw York Brl Hdlbrg Assm, I., Smso, D. & Skowrosk, A., 5, lms of th Rprstato Thory of Assocat Algbras, Lodo Math.Soc Studt Txt 65. Cambrdg Ursty Prss. Dummt, D.S., ad Foot, R.M., 4, Abstract Algbra, Thrd dto, Joh Wly & Sos, Utd Stat of Amrca. Fralgh, J.B.,, A Frst Cours Abstract Algbra, Sxth dto, Addto- Wsly Puplsg Compy, Ic, Passma, D., 977, Th Algbrac Structur of Group Rgs, A Wly-Itrscc Publcato, Joh Wly & So, Nw York Po, G.A., 5, O Maxmal Lft Quott Systms ad Latt Path Algbras, Tss Doctoral, Usdad d Malaga 98

15 Dlta-P: Jural Matmatka da Pddka Matmatka ISSN X Vol., No., Oktobr 3 Po, G.A., ad Pardo,., 8, Stabl rak of Latt path algbras, Proc. Amr. Math. Soc., 36 o. 7, Rotma, J., 3, Adacd Modr Algbra, Prtc Hall, Nw York. Tomford, M., 7, Uqus Thorms ad Idal Structur for Latt Algbras, J. Algbra, 38, Wsbaur, R., 99, Foudato of Modul ad Rg Thory, Ursty of Dussldorf, Dussldorf Wsbaur, R., 996, Moduls ad Algbra: Bmodul Structur ad Group Actos O Algbras, Addso Wsly Logma Ic, Dussldorf 99