Pertemuan 12. Teori Graf

Transkripsi

1 Pertemuan 2 Teori Graf

2 Derajat Definisi Misalkan adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik (simbol d()) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G.

3 Contoh Tentukan derajat tiap-tiap titik dalam graf. Berapa derajat totalnya? e 3 e 4 5 e 2 e e 5

4 Penyelesaian : d( ) = 4 karena garis yarag berhubungan dengan adalah e 2, e 3 dan loop e yang dihitung dua kali d( 2 ) = 2 karena garis yaag berhubungan dengan 2 adalah e 2 dan e 3. d( 3 ) = d( 5 ) = karena garis yang berhubungan dengan 3 dan 5 adalah e 4 d( 4 ) = 2 karena garis yarag berhubungan dengan 4 adalah loop e 5 yang dihitung 2 kali. d(6) = karena tidak ada garis yang berhubungan dengan 6. Derajat total = d i 6 i 4 2 2

5 Teorema Derajat total suatu graf selalu genap. Bukti Misalkan G adalah suatu graf. Jika G tidak memiliki garis sama sekali berarti derajat totalnya = yang merupakan bilangan genap, sehingga teorema terbukti. Misalkan G mempunyai n buah titik, 2,..., n (n > ) dan k buah garis e, e 2,...,e k (k > ). Ambil sembarang garis e i. Misalkan garis e i menghubungkan i dengan j. Maka e i memberikan kontribusi masingmasing ke penghitungan derajat i dan derajat j (hal ini juga benar jika i = j karena derajat suatu loop dihitung 2 kali), sehingga e i memberi kontribusi 2 ke penghitungan derajat total. Karena e i dipilih sembarang, berarti semua garis dalam G memberi kontribusi 2 dalam penghitungan derajat total. Dengan kata lain, derajat total G = 2 kali jumlah garis dalam G. Karena jumlah garis dalam G merupakan bilangan bulat, berarti derajat total G merupakan bilangan genap.

6 Teorema Dalam sembarang graf, jumlah titik yang berderajat ganjil adalah genap. Bukti Misalkan G suatu graf. Jika G tidak mempunyai garis sama sekali berarti banyaknya titik yang berderajat ganjil = yang merupakan bilangan genap sehingga teorema terbukti dengan sendirinya. Misalkan G mempunyai n buah titik i, 2,..., n dan k buah garis e, e 2,..., e k. Misalkan di antara k garis tersebut ada k i buah garis yang berderajat ganjil dan k 2 = k k buah garis yang berderajat genap. Akan dibuktikan bahwa k adalah bilangan genap.

7 Misalkan E adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat genap, adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat ganjil, dan T adalah derajat total graf G. Jika O = d(e i ) + d(e 2 ) d( ). dan E = d( )+ d( ) d(e k ). maka T = E + O Menurut Teorema 2, maka T adalah bilangan genap. Karena d( )+ d( ) d(e k ) masing-masing berderajat genap, maka E = d( )+ d( ) d(e k ) juga merupakan bilangan genap. Dari relasi T = E + O, berarti O = T E. Karena baik T maupun E merupakan bilangan-bilangan genap maka O = d(e i ) + d(e 2 ) d( ) juga merupakan bilangan genap. Padahal menurut asumsi, d(e ), d(e 2 ),...,d( ) masing-masing adalah bilangan ganjil. Jadi O (bilangan genap) merupakan jumlahan dari k buah bilangan ganjil. Hal ini hanya bisa terjadi kalau k adalah bilangan genap. Terbukti bahwa k genap. (jumlah titik yang berderajat ganjil) merupakan bilangan

8 Contoh Gambarlah graf dengan spesifikasi di bawah ini (jika ada). Graf dengan 4 titik yang masing-masing berderajat,, 2 dan 3. Graf dengan 4 titik dengan masing-masing berderajat,, 3, dan 3. Graf dengan titik yang masing-masing berderajat,, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, dan 6. Graf sederhana dengan 4 titik yang masingmasing berderajat,, 3, dan 3.

9 Penyelesaian : a. Derajat total = = 7 (ganjil). Menurut Teorema 2 maka tidak ada graf dengan derajat total ganjil. b. Derajat total = = 8 (genap). Jadi, ada graf dengan spesifikasi semacam itu. Beberapa diantaranya tampak pada gambar c. Ada 3 titik yang berderajat ganjil (yaitu titik-titik yang berderajat,, dan 3). Menurut teorema 3, tidak mungkin ada graf dengan spesifikasi semacam itu. Pengecekan juga dapat dilakukan dengan menghitung derajat totalnya yang merupakan bilangan ganjil. d. Derajat total = = 8 (genap) sehingga mungkin buat graf dengan spesifikasi tersebut. Tetapi, graf yang dapat dibuat adalah graf secar umum (seperti soal (b)), dan bukan graf sederhana. Graf sederhana dengan spesifikasi tersebut tidak mungkin dibuat.

10 Path dan Sirkuit Definisi Misalkan G adalah suatu graf. Misalkan pula dan w adalah 2 titik dalam G. Suatu Walk dari ke w adalah barisan titik-titik berhubungan dan garis secara berselang-seling, diawali dari titik dan diakhiri pada titik w.

11 Walk dengan panjang n dari ke w dituliskan sebagai berikut: e i e 2 2,, n- e n n dengan = ; n = w; j-i dan i adalah titik-titik ujung garis e i. Path dengan panjang n dari ke w adalah walk dari ke w yang semua garisnya berbeda. Path dari ke w dituliskan sebagai = e e n- e n n = w dengan e i e j untuk i j. Path sederhana dengan panjang n dari ke w adalah Path dari ke w yang semua titiknya berbeda. Path sederhana dari ke w berbentuk = e e n- e n n = w dengan e i e j untuk i j dan k m untuk k m.

12 Sirkuit dengan panjang n adalah Path yang dimulai dan diakhiri pada titik yang sama. Sirkuit adalah path yang berbentuk e e n- e n n dengan = n. Sirkuit sederhana dengan panjang n adalah Sirkuit yang semua titiknya berbeda. Sirkuit sederhana berbentuk e e n- e n n dengan e i e j untuk i j dan k m untuk k m kecuali = n.

13 Walk w = e e n- e n n = w i- dan i adalah titik-titik ujung garis ei Semua garis berbeda Path w Semua titik berbeda Titik awal dan akhir sama ( = n ) Path sederhana w Sirkuit Titik awal dan akhir sama ( = n ) Semua titik berbeda kecuali ( = n ) Sirkuit Sederhana

14 Contoh Tentukan mana di antara barisan titik dan garis pada gambar berikut yang merupakan walk, path, path sederhana, sirkuit dan sirkuit sederhana. a. e 2 e 3 3 e 4 3 e 5 4 b. e 2 e 3 3 e 5 4 e 5 3 e 6 5 c. 2 e 3 3 e 5 4 e 5 e 6 3 e 7 6 e 8 2 d. 2 e 3 3 e 5 4 e 5 e 9 6 e 8 2 e.

15 Penyelesaian : a. Semua garis berbeda (e, e 3, e 4, dan e 5 masing-masing muncul sekali). Titik awal dan titik akhir tidak sama (titik awal = dantitik akhir 4 ). Disimpulkan bahwa barisan tersebut merupakan Path dari ke 4 dengan panjang 4. b. Ada garis yang muncul lebih dari sekali, yaitu e 5 (muncul 2 kali) berarti barisan tersebut merupakan walk dari ke 5 dengan panjang 5. c. Semua garisnya berbeda. Ada titik berulang ( 3 muncul 2 kali). Titik awal dan akhirnya sama, yaitu 2. berarti barisan tersebut merupakan sirkuit dengan panjang 6. Barisan tersebut bukan merupakan sirkuit sederhana dengan panjang 5. d. Karena barisan hanya memuat satu titik saja, berarti tidak ada garis yang sama. Barisan diawali dan diakhiri pada titik yang sama serta tidak mempunyai titik yang sama diantaranya. Maka disimpulkan bahwa barisan merupakan sirkuti sederhana (sering kali disebut sirkuti triial). e. Karena barisan hanya satu titik saja, berarti tidak ada garis yang sama. Barisan diawali dan diakhiri pada titik yang sama serta tidak memiliki titik yang sama diantaranya. Dengan demikian diimpulkan bahwa barisan merupakan sirkuit sederhana.

16 Sirkuit Euler Definisi Misalkan G adalah suatu graf. Sirkuit Euler G adalah sirkuit di mana setiap titik dalam G muncul paling sedikit sekali dan setiap garis dalam G muncul tepat satu kali.

17 Graf Terhubung dan Tidak Terhubung Definisi Misalkan G adalah suatu graf Dua titik dan w dalam G dikatakan terhubung bila dan hanya bila ada walk dari ke w Graf G dikatakan terhubung bila dan hanya bila setiap 2 titik dalam G terhubung. Graf G dikatakan tidak terhubung bila dan hanya bila ada 2 titik dalam G yang tidak terhubung.

18 Contoh Manakah di antara graf pada gambar yang merupakan graf terhubung? 2 e e 2 3 e 3 4 e 4 2 e e 2 e Penyelesaian: (a) (b) (c) a. Graf terhubung b. Graf tidak terhubung karena tidak ada walk dari 5 ke 4 c. Graf tidak terhubung karena tidak ada walk dari 2 ke 3. Kita harus hati-hati terhadap isualisasi graf yang tampaknya terhubung, padahal sebenarnya tidak. 4 e e 5 e e 2 2

19 Isomorfisma Definisi Misalkan G adalah suatu graf dengan himpunan titik V(G) dan himpunan garis E(G). G' adalah graf dengan himpunan titik V(G') dan himpunan garis E(G'). G isomorfis dengan G' bila dan hanya bila ada korespondensi satu-satu g : V(G) V(G') dan h : E(G) E(G') Sedemikian hingga (, w V(G) dan e E(G)) dan w adalah titik-titik ujung e g() dan g(w) adalah titik-titik ujung h(e)

20 Teorema Misalkan G adalah graf terhubung. G adalah sirkuit Euler bila dan hanya bila semua titik dalam g mempunyai derajat genap.

21 Contoh Tentukan mana diantara graf-graf pada gambar yang merupakan sirkuit Euler. Pada graf yang merupakan sirkuit Euler, carilah rute perjalanan kelilingnya.

22 Penyelesaian: a. d( 2 ) = d( 3 ) = d( 4 ) = d( 6 ) = d( ) = 2 d( 5 ) = 4 d( 7 ) = d( 8 ) = d( 9 ) = 3 d( ) = 5 Karena ada titik yang berderajat ganjil, maka (a) bukanlah sirkuit Euler b. Meskipun semua titiknya berderajat 2 (genap), tetapi graf-nya tidak terhubung. Jadi (b) bukanlah sirkuit Euler c. d( ) = d( 3 ) = 2 d( 2 ) = d( 4 ) = d( 5 ) = 4 Karena graf (c) terhubung dan semua titiknya berderajat genap, maka (c) merupakan sirkuit Euler. Salah satu perjalanan kelilingnya adalah e 2 e 3 5 e 6 4 e 7 5 e 2 2 e 4 3 e 5 4 e 8

23 Contoh Tunjukkan bahwa graf G dan G' pada gambar adalah isomorfis G G

24 Graf Berarah (Digraph) Definisi 3 Suatu Graf Berarah G terdiri dari: himpunan titik-titik V(G) : {, 2,... }, himpunan garisgaris E(G) : {e, e 2,... }, dan suatu fungsi yang mengawankan setiap garis dalam E(G) ke suatu pasangan berurutan titik ( i, j ). Jika e k = ( i, j ) adalah suatu garis dalam G, maka i disebut titik awal e k dan j disebut titik akhir e k. Arah garis adalah dari i ke j.

25 Jumlah garis yang keluar dari titik i disebut derajat keluar (out degree) titik i (simbol d + ( i )), sedangkan jumlah garis yang menuju ke titik i disebut derajat masuk (in degree) titik i, yang disimbolkan sebagai d ( i ). Titik terasing adalah titik dalam G di mana derajat keluar dan derajat masuk adalah. Titik pendan adalah titik dalam G di mana jumlah derajat masuk dan derajat keluamya= Dua garis berarah dikatakan paralel jika keduanya mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama.

26 Contoh Perhatikan graf berarah G pada gambar 38 Tentukan : a. Himpunan titik-titik, himpunan garis-garis dan fungsi perkawanan. b. Derajat masuk dan derajat keluar tiap-tiap titik. c. Titik terasing dan titik pendan. d. Garis pararel.

27 Penyelesaian: a. V(G) = {, 2, 3, 4, 5, 6 } E(G) = { e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9 } Fungsi mengawankan garis-garis dengan pasangan titik-titik sebagai berikut : e dengan (, 2 ) e 2 dengan ( 4, ) e 3 dengan (, 4 ) e 4 dengan (, 3 ) e 5 dengan ( 3, 3 ) e 6 dengan ( 3, 4 ) e 7 dengan ( 3, 5 ) e 8 dengan ( 5, 4 ) e 9 dengan ( 5, 4 ) b. d + ( ) = 3 ; d ( ) = d + ( 2 ) = ; d ( 2 ) = d + ( 3 ) = 3 ; d ( 3 ) = 2 d + ( 4 ) = ; d ( 4 ) = 4 d + ( 5 ) = 2 ; d ( 5 ) = d + ( 6 ) = ; d ( 6 ) = Perhatikan bahwa dalam setiap graf berarah, d d c. Titik terasing adalah 6. Titik pendan adalah 2. d. Garis pararel adalah e 8 dan e 9 Perhatikan bahwa e 2 dan e 3 bukanlah garis paralel karena arahnya berbeda. i i i i

28 Path dan Sirkuit Berarah Pengertian walk, path, sirkuit dalam graf berarah sama dengan walk, path dan sirkuit dalam graf tak berarah. Hanya saja dalam graf berarah, perjalanan yang dilakukan harus mengikuti arah garis. Untuk membedakan dengan graf tak berarah, maka walk, path dan sirkuit dalam graf berarah disebut walk berarah, path berarah dan sirkuit berarah. Suatu graf berarah yang tidak memuat sirkuit berarah disebut Asklik.

29 Contoh Tentukan path berarah terpendek dari titik 5 ke titik 2 pada graf berarah gambar Penyelesaian: Ada beberapa path berarah dari 5 ke 2 yang dapat dilakukan, misalnya: , 5 2,... Yang terpendek adalah 5 2 dengan panjang = 2.

30 Contoh Ada 4 macam golongan darah, masing-nasing A, B, AB dan O. Dan gol O dapat diberikan ke semua golongan. Darah golongan A dan B dapat diberikan ke golongannya sendiri atau ke golongan AB. Darah golongan A hanya dapat diberikan pada pasien dengan golongan AB. Gambarlah graf berarah untuk menyatakan keadaan tersebut. Anggaplah garis dari i ke j menyatakan bahwa darah dari i dapat diberikan pada j. Apakah grafnya Asiklik? Penyelesaian: Graf berarah pada gambar 4 menyatakan keadaan tranfusi darah yang mungkin dilakukan. Tampak bahwa dalam graf berarah tersebut tidak ada sirkuit berarah sehingga graf-nya Asiklik.

31 Graf Berarah Terhubung Suatu graf tak berarah disebut terhubung jika ada walk yang menghubungkan setiap 2 titiknya. Pengertian ini berlaku juga bagi graf berarah. Berdasarkan arah garisnya, dalam graf berarah dikenal 2 jenis keterhubungan, yaitu terhubung kuat dan terhubung lemah. Definisi Misalkan G adalah suatu graf berarah dan,w adalah sembarang 2 titik dalam G. G disebut terhubung kuat jika ada path berarah dari ke w. G disebut terhubung lemah, jika G tidak terhubung kuat, tetapi graf tak berarah yang bersesuaian dengan G terhubung.

32 Contoh Manakah di antara graf-graf pada gambar 4 yang terhubung kuat dan terhubung lemah?

33 Penyelesaian: Dalam G, setiap 2 titik dapat dihubungkan dengan path berarah. Maka graf berarah G adalah graf terhubung kuat. Sebaliknya dalam G 2, tidak ada path berarah yang menghubungkan 4 ke 3. Akan teta jika semua arah garis dihilangkan (sehingga G 2 menjadi, graf tidak berarah), maka G merupakan graf yang terhubung. Jadi G 2 merupakan graf terhubung lemah.

34 Isomorfisma dalam Graf Berarah Pengertian isomorfisma dalam graf berarah sama dengan isomorfisma pada graf tak berarah (lihat definisi 2). Hanya saja pada isomorfisma graf berarah, korespondensi dibuat dengan memperhatikan arah garis.

35 Contoh Tunjukkan bahwa graf G pada gambar isomorfis dengan G 2, sedangkan G 3 tidak isomorfis dengan G G 5 G 2 G 3

36 Penyelesaian: Untuk membuktikan bahwa G isomorfis dengan G 2, maka harus dibuat fungsi g : V(G ) V(G 2 ) dan h : E(G ) E(G 2 ) yang mempertahankan titik-titik ujung serta arah garis Dalam G, ada 4 garis yang keluar dari 3. Titik yang mempunyai sifat seperti itu dalam G adalah titik =. Maka dibuat fungsi g sedemikian hingga g( 3 ) = ; g( ) = 2 ; g( 2 ) = 3 ; g( 5 ) = 4 dan g( 4 ) = 5 fungsi h adalah sebagai berikut : h((, 2 )) = ( 2, 3 ) ; h(( 2, 5 )) = ( 3, 4 ) h(( 5, 4 )) = ( 4, 5 ) ; h(( 4, )) = ( 5, 2 ) h(( 3, )) = (, 2 ) ; h(( 3, 2 )) = (, 3 ) h(( 3, 5 )) = (, 4 ) ; h(( 3, 4 )) = (, 5 ) Karena fungsi g dan h dapat dibuat, maka G isomorfis dengan G 2. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa G 3 tidak isomorfis dengan G Dalam G 3, ada garis (, 4 ) dan ( 4, ). Jika G isomorfis dengan G 3, maka harus ad fungsi h : G 3 G sedemikian hingga h(, 4 ) dan h( 4, ) merupakan garis-garis dalam G (dengan kata lain, ada titik i dan j dalam G sedemikian hingga ada garis dari ke j da dari j ke i ). Dalam G tidak ada garis seperti itu. Maka G 3 tidak isomorfis dengan G.

37 Representasi Graf dalam Matriks Matriks Hubung Matriks Hubung (Adjacency Matrix) digunakan untuk menyatakan graf dengan cara menyatakannya dalam jumlah garis yang menghubungkan titik-titiknya. Jumlah baris (dan kolom) matriks hubung sama dengan jumlah titik dalam graf. Definisi Misalkan G adalah graf tak berarah dengan titik-titik 2... n (n berhingga). Matriks hubung yang sesuai dengan graf G adalah matriks A = (a ij ) dengan a ij = jumlah garis yang menghubungkan titik i dengan titik j ; i, j =, 2,..., n. Karena jumlah garis yang menghubungkan titik i dengan j selalu sama dengan jumlah garis yang menghubungkan j dengan i, maka jelas bahwa matriks hubung selalu merupakan matriks yang simetris (a ij = a ji i,j)

38 Contoh (a) (b) (c) (d)

39 Penyelesaian: Untuk mempermudah pemahaman, tiap-tiap baris dan kolom matriks diberi indeks i yang sesuai dengan titik grafnya. Sel pada perpotongan baris i dan kolom j menyatakan banyaknya garis yang menghubungkan i dengan j. a A b c d

40 Latihan. Tanpa menggambarkan graf-nya, tentukan apakah graf yang memiliki matriks hubung berikut ini merupakan graf yang terhubung, memiliki loop, memiliki titik terasing. Tentukan juga derajat tiap titiknya. 2. Gambarlah graf yang memiliki matriks hubung dalam soal nomor 2.

41 3. Tentukan mana di antara graf-graf berikut ini yang memiliki sirkuit Euler. Carilah sirku Euler untuk graf yang memilikinya. r s t z u (a) y w x a d b e (b) c f d a (c) e b c