Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
|
|
|
- Siska Hermanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
2 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi , oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
3 Bahasan 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
4 Bahasan Beberapa Definisi Dasar 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
5 Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
6 Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
7 Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
8 Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
9 Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
10 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
11 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
12 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
13 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
14 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
15 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
16 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
17 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
18 Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
19 Beberapa Definisi Dasar Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a ij. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a ij atau (A) ij. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
20 Beberapa Definisi Dasar Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a ij. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a ij atau (A) ij. Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri a ii matriks tersebut. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
21 Beberapa Definisi Dasar Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a ij. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a ij atau (A) ij. Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri a ii matriks tersebut. a 11 a 12 a 1n a 12 a 21 a 2n a n1 a n2 a nn Untuk setiap matriks persegi A berorde n, MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
22 Beberapa Definisi Dasar Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a ij. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a ij atau (A) ij. Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri a ii matriks tersebut. a 11 a 12 a 1n a 12 a 21 a 2n a n1 a n2 a nn Untuk setiap matriks persegi A berorde n, trace dari A, dinotasikan dengan tr A, didefinisikan sebagai jumlah semua entri diagonal utama A. tr A = a 11 + a a nn = n a ii. i=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
23 Matriks Identitas Beberapa Definisi Dasar Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks persegi yang entri diagonal utamanya semuanya 1 dan entri lainnya bernilai 0. [ 1 0 [1,, , , Kita notasikan matriks identitas berukuran berorde n dengan I n jika n memang siginifikan dan perlu ditulis. Jika tidak, cukup dengan I saja. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
24 Transpos dari Matriks Beberapa Definisi Dasar Definisi Misalkan A = [a ij adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A T, merupakan matriks berukuran n m dan didefinisikan sebagai A T = [a ji. Dengan perkataan lain baris-baris matriks A T adalah kolom-kolom matriks A, dan kolom-kolom matriks A T adalah baris-baris matriks A. Misalkan A = , B = [ 1 3 5, dan C = [8, maka 5 6 A T = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
25 Transpos dari Matriks Beberapa Definisi Dasar Definisi Misalkan A = [a ij adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A T, merupakan matriks berukuran n m dan didefinisikan sebagai A T = [a ji. Dengan perkataan lain baris-baris matriks A T adalah kolom-kolom matriks A, dan kolom-kolom matriks A T adalah baris-baris matriks A. Misalkan A = , B = [ 1 3 5, dan C = [8, maka 5 6 [ A T =, B T = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
26 Transpos dari Matriks Beberapa Definisi Dasar Definisi Misalkan A = [a ij adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A T, merupakan matriks berukuran n m dan didefinisikan sebagai A T = [a ji. Dengan perkataan lain baris-baris matriks A T adalah kolom-kolom matriks A, dan kolom-kolom matriks A T adalah baris-baris matriks A. Misalkan A = , B = [ 1 3 5, dan C = [8, maka 5 6 [ A T =, B T = 3, dan C T = 5 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
27 Transpos dari Matriks Beberapa Definisi Dasar Definisi Misalkan A = [a ij adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A T, merupakan matriks berukuran n m dan didefinisikan sebagai A T = [a ji. Dengan perkataan lain baris-baris matriks A T adalah kolom-kolom matriks A, dan kolom-kolom matriks A T adalah baris-baris matriks A. Misalkan A = , B = [ 1 3 5, dan C = [8, maka 5 6 [ A T =, B T = 3, dan C T = [8. 5 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
28 Matriks Diagonal Beberapa Definisi Dasar Definisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? [ [ A =, B =, C = , D = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
29 Matriks Diagonal Beberapa Definisi Dasar Definisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? [ [ A =, B =, C = , D = Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks D bukan matriks diagonal karena MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
30 Matriks Diagonal Beberapa Definisi Dasar Definisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? [ [ A =, B =, C = , D = Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks D bukan matriks diagonal karena (D) 14 = 7 0. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
31 Beberapa Definisi Dasar Definisi Suatu matriks persegi U = [u ij disebut matriks segitiga atas bila semua entri di kiri (atau bawah ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain u ij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [l ij disebut matriks segitiga bawah bila semua entri di kanan (atau atas ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain l ij = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
32 Beberapa Definisi Dasar Definisi Suatu matriks persegi U = [u ij disebut matriks segitiga atas bila semua entri di kiri (atau bawah ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain u ij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [l ij disebut matriks segitiga bawah bila semua entri di kanan (atau atas ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain l ij = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4 a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a a 33 a a 44 Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4 4 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
33 Beberapa Definisi Dasar Definisi Suatu matriks persegi U = [u ij disebut matriks segitiga atas bila semua entri di kiri (atau bawah ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain u ij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [l ij disebut matriks segitiga bawah bila semua entri di kanan (atau atas ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain l ij = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4 a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a a 33 a a 44 Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4 4 a a 21 a a 31 a 32 a a 41 a 42 a 34 a 44 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
34 Beberapa Definisi Dasar Matriks Simetris Definisi Suatu matriks persegi A = [a ij dikatakan simetris jika A = A T, atau setara dengan a ij = a ji untuk setiap i, j. Bentuk umum matriks simetris berorde 4 4 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
35 Matriks Simetris Beberapa Definisi Dasar Definisi Suatu matriks persegi A = [a ij dikatakan simetris jika A = A T, atau setara dengan a ij = a ji untuk setiap i, j. Bentuk umum matriks simetris berorde 4 4 a b c a d e b d f, c e f entri tidak kita pedulikan, a, b, c, d, e, f R. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
36 Beberapa Definisi Dasar Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut adalah matriks simetris atau bukan [ A =, B = 0 2 8, C = 0 2 1, Solusi: D = , E = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
37 Beberapa Definisi Dasar Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut adalah matriks simetris atau bukan [ A =, B = 0 2 8, C = 0 2 1, D = , E = Solusi: yang termasuk matriks simetris adalah A (karena A T = A), B (karena B T = B), dan E (karena E T = E). MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
38 Bahasan Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
39 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. Apakah A = ( ) dan B = ( ) sama? MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
40 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena (A) 13 (B) 13. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
41 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena (A) 13 (B) 13. Apakah A = dan B = sama? MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
42 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena (A) 13 (B) 13. Apakah A = dan B = (A) ij = (B) ij untuk setiap 1 i, j sama? Ya, karena MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
43 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena (A) 13 (B) 13. Apakah A = dan B = (A) ij = (B) ij untuk setiap 1 i, j 3. Apakah A = ( ) dan B = ( sama? Ya, karena ) sama? MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
44 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena (A) 13 (B) 13. Apakah A = dan B = (A) ij = (B) ij untuk setiap 1 i, j sama? Ya, karena ( ) ( ) Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena A berorde 2 3, sedangkan B berorde 2 4. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
45 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Jumlah dan Selisih Matriks Definisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B) ij = (A) ij + (B) ij dan (A B) ij = (A) ij (B) ij. Sebagai [ contoh, [ kita memiliki = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
46 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Jumlah dan Selisih Matriks Definisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B) ij = (A) ij + (B) ij dan (A B) ij = (A) ij (B) ij. Sebagai [ contoh, [ kita memiliki = dan [ [ = [ MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
47 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Jumlah dan Selisih Matriks Definisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B) ij = (A) ij + (B) ij dan (A B) ij = (A) ij (B) ij. Sebagai [ contoh, [ kita memiliki = dan [ [ = [ [ MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
48 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
49 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki [ = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
50 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki [ [ = , MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
51 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki [ [ = , = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
52 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki [ [ = , = Catatan: kita akan menulis ( 1) A = A. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
53 Bahasan Perkalian Matriks 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
54 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein ( ) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
55 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein ( ) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
56 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein ( ) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
57 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein ( ) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
58 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein ( ) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + + MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
59 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein ( ) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + + (A) ir (B) rj = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
60 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein ( ) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + + (A) ir (B) rj = r (A) ik (B) kj. k=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
61 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein ( ) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + + (A) ir (B) rj = r (A) ik (B) kj. k=1 Ilustrasi cara menghitung (AB) ij a 11 a 12 a 1r a 21 a 22 a 2r a i1 a i2 a ir b 11 b 12 b 1j b 1n b 21 b 22 b 2j b 2n b r1 b r2 b rj a rn a m1 a m2 a mr MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
62 Syarat Perkalian Matriks Perkalian Matriks Diberikan dua matriks A dan B, syarat agar AB terdefinisi adalah: (# kolom A) = (# baris B). Sebagai ilustrasi, hasil kali matriks berikut MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
63 Syarat Perkalian Matriks Perkalian Matriks Diberikan dua matriks A dan B, syarat agar AB terdefinisi adalah: (# kolom A) = (# baris B). Sebagai ilustrasi, hasil kali matriks berikut [ tidak didefinisikan (mengapa?). MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
64 Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ x = = [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
65 Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ x = (2 4) + = [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
66 Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ = x = (2 4) + (6 3) + [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
67 Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ = x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
68 Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ = x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ x = = [ x [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
69 Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ = x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ x = (1 3) = [ x [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
70 Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ = x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ x = (1 3) + (2 1) = [ x [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
71 Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ = x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ = x = (1 3) + (2 1) + (4 2) = 13. [ x [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
72 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
73 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
74 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
75 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. rc = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
76 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. rc = [ r 1 r 2 r k MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
77 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. c 1 rc = [ c 2 k r 1 r 2 r k. = r j c j. Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks c k j=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
78 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. c 1 rc = [ c 2 k r 1 r 2 r k. = r j c j. Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom (berorde 1 m) dan B adalah matriks berorde m n, maka rb adalah matriks c k j=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
79 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. c 1 rc = [ c 2 k r 1 r 2 r k. = r j c j. Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom (berorde 1 m) dan B adalah matriks berorde m n, maka rb adalah matriks baris dengan n kolom (berorde 1 n). c k j=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
80 Perkalian Matriks Perkalian Matriks Meninjau Kolom Diberikan matriks A yang berorde m r dan matriks B yang berorde r n, jika kita menulis B sebagai B = [ b 1 b 2 b n, dengan b i (1 i n) adalah matriks kolom dengan r baris, maka AB dapat dihitung sebagai AB = [ Ab 1 Ab 2 Ab n. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
81 Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x dan y. [ = [ x y. Tinjau bahwa MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
82 Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x dan y. [ Tinjau bahwa [ x y = = [ [ x y =. [ MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
83 Perkalian Matriks Latihan Perkalian Matriks Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut dapat dikalikan, jika dapat dikalikan tentukan hasilnya. 1 2 [ [ [ A = , B =, C =, D = AB 2 BA 3 BC 4 CD 5 DC MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
84 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
85 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = [ = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
86 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = [ = BA = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
87 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 2 BA = [ [ = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
88 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 2 BA = [ [ = = [ BC = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
89 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 2 BA = 3 BC = [ [ [ [ = =, [ MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
90 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = [ = [ 1 2 [ BA = = [ [ BC = pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. 4 CD =, tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
91 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = [ = [ 1 2 [ BA = = [ [ BC = pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. [ [ CD = = , tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
92 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = [ = [ 1 2 [ BA = = [ [ BC = pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. [ [ [ CD = = DC =, tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
93 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = [ = [ 1 2 [ BA = = [ [ BC = pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. [ [ [ CD = = [ [ DC = = , tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
94 Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = [ = [ 1 2 [ BA = = [ [ BC = pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. [ [ [ CD = = [ [ [ DC = = , tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
95 Bahasan Struktur Aljabar Matriks 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
96 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
97 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
98 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
99 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
100 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A 5 (a + b) C = ac + bc dan (a b) C = ac bc MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
101 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A 5 (a + b) C = ac + bc dan (a b) C = ac bc 6 a (B + C) = ab + ac dan a (B C) = ab ac MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
102 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A 5 (a + b) C = ac + bc dan (a b) C = ac bc 6 a (B + C) = ab + ac dan a (B C) = ab ac 7 a (bc) = (ab) C MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
103 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A 5 (a + b) C = ac + bc dan (a b) C = ac bc 6 a (B + C) = ab + ac dan a (B C) = ab ac 7 a (bc) = (ab) C 8 a (BC) = (ab) C = B (ac). Silakan hayati teorema di atas. Bukti cukup mudah namun terlalu panjang untuk dibahas di sini. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
104 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut. Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m n dan A adalah sembarang matriks berukuran m n, maka 1 0A = 0 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
105 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut. Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m n dan A adalah sembarang matriks berukuran m n, maka 1 0A = 0 2 A + 0 = A dan A 0 = A MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
106 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut. Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m n dan A adalah sembarang matriks berukuran m n, maka 1 0A = 0 2 A + 0 = A dan A 0 = A 3 Jika c R dan ca = 0, maka MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
107 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut. Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m n dan A adalah sembarang matriks berukuran m n, maka 1 0A = 0 2 A + 0 = A dan A 0 = A 3 Jika c R dan ca = 0, maka c = 0 atau A = 0. Bukti teorema cukup mudah, silakan buktikan sendiri jika Anda masih penasaran. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
108 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Perkalian Matriks Teorema Jika A adalah matriks berorde m r, B matriks berorde r n, dan C matriks berorde n p, maka A (BC) = (AB) C (sifat asosiatif perkalian matriks). Karena urutan perkalian tidak berpengaruh, kita dapat mengabaikan tanda kurung yang ada. Teorema Jika operasi-operasi matriks berikut terdefinisi, maka kesamaan-kesamaan matriks berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks A, B, dan C. 1 A (B + C) = AB + AC dan (A + B) C = AC + BC MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
109 Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Perkalian Matriks Teorema Jika A adalah matriks berorde m r, B matriks berorde r n, dan C matriks berorde n p, maka A (BC) = (AB) C (sifat asosiatif perkalian matriks). Karena urutan perkalian tidak berpengaruh, kita dapat mengabaikan tanda kurung yang ada. Teorema Jika operasi-operasi matriks berikut terdefinisi, maka kesamaan-kesamaan matriks berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks A, B, dan C. 1 A (B + C) = AB + AC dan (A + B) C = AC + BC 2 A (B C) = AB AC dan (A B) C = AC BC Silakan hayati teorema di atas, bukti terlalu panjang untuk dibahas di sini. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
110 Latihan Aljabar Matriks Latihan Aljabar Matriks Latihan Diketahui A = , B = [ [ 1 4 2, C = memang dapat dihitung) matriks hasil operasi berikut: 1 AB 2 3CA 3 ABC 4 4BC + 2C. Tentukan (jika MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
111 Solusi: Latihan Aljabar Matriks 1 AB = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
112 Latihan Aljabar Matriks Solusi: 1 AB = [ = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
113 Latihan Aljabar Matriks Solusi: 1 AB = [ = CA = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
114 Solusi: 1 AB = 2 3CA = ( [ Latihan Aljabar Matriks [ ) = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
115 Solusi: 1 AB = 2 3CA = ( [ Latihan Aljabar Matriks [ ) = = [ = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
116 Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ Latihan Aljabar Matriks [ ( [ ) = = [ = 3 ABC = (AB) C = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
117 Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ Latihan Aljabar Matriks [ ( [ ABC = (AB) C = ) = = [ [ [ = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
118 Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ Latihan Aljabar Matriks [ ( [ ABC = (AB) C = [ ) = = = [ [ [ = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
119 Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ Latihan Aljabar Matriks [ ( [ ABC = (AB) C = BC + 2C = [ ) = = = [ [ [ = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
120 Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ Latihan Aljabar Matriks [ ( [ ABC = (AB) C = BC + 2C = ) [ ( [ = = = [ [ [ ) + [ ( 2 [ = ) = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
121 Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ Latihan Aljabar Matriks [ ( [ ABC = (AB) C = BC + 2C = [ ) [ ( [ = = [ = [ = [ ) ( [ [ [ = ) = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
122 Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ Latihan Aljabar Matriks [ ( [ ABC = (AB) C = BC + 2C = [ ) [ ( [ [ = = [ [ [ = = [ ) ( [ ) = 3 1 [ = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus / 31
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 1 / 27 Acknowledgements
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Ruang Vektor Euclid R n
Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements
Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
& & # = atau )!"* ( & ( ( (&
MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan
Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
MATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Part II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
BAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Rencana Perkuliahan. Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI. Fakultas Informatika Telkom University. FIF Tel-U.
Rencana Perkuliahan Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Rencana Perkuliahan Agustus 2015 1 / 22 Acknowledgements
Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
DIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Pertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Teori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Analisa Numerik. Matriks dan Komputasi
Analisa Numerik Matriks dan Komputasi M AT R I K S Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung K O N
Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 2
Aljabar Linier & Matriks Tatap Muka 2 Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung siku. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks
a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
MATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
MATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
MATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Matematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
MATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Matriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Drs. R. J. Pamuntjak, M.Sc. S PENDAHULUAN istem persamaan linear yang muncul hampir dalam semua penerapan aljabar linear, juga sangat diperlukan sebagai landasan dalam pembahasan bagian lain
Bagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
MATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
MODUL E LEARNING SEKSI -1 MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA 151 : 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA
MODUL E LEARNING SEKSI - MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA DOSEN : : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA TUJUAN MATA KULIAH : A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH : Mahasiswa mempelajari Matriks, Determinan,
DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
MATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
MATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
BAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Matriks & Operasi Matriks (2) Pertemuan 5 Aljabar Linear & Matriks
Matriks & Operasi Matriks () Pertemuan 5 Aljaar Linear & Matriks Sifat-sifat Operasi Matriks Perkalian antara dua matriks tidak mengikuti hukum komutatif, artinya AB tidak sama dengan BA (dengan asumsi
I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih
MATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
MTRIKS DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
A. Pengertian Matriks
A. Pengertian Matriks Pada 17 April 2003, Universitas Pendidikan Literatur Indonesia (UPLI), mewisuda 2.630 mahasiswanya. 209 wisudawan di antaranya adalah wisudawan dari Fakultas Pendidikan Matematika
MATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Materi 2: Matriks dan Operasi Matriks
Materi 2: Matriks dan Operasi Matriks I Nyoman Kusuma Wardana Sistem Komputer STMIK STIKOM Bali Amatilah contoh jumlah jam yang dihabiskan oleh siswa di sekolah dlm satu minggu berikut: Jika kita menghilangkan
Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Aljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
TUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Course of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
Matriks. Pada Kelas X, Anda telah mempelajari cara menyelesaikan sistem
Bab Sumber: www.badminton.com Matriks Pada Kelas X, Anda telah mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan gabungan substitusi-eliminasi.
INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN
Saintia Matematika ISSN: 2337-997 Vol 02, No 0 (204), pp 85 94 INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN Bakti Siregar, Tulus, Sawaluddin Abstrak: Pencarian invers matriks adalah suatu hal
PENERAPAN KONSEP MATRIKS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
PENERAPAN KONSEP MATRIKS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Oleh : Gede Edy Priyadnya 93 VII.C Jurusan S Pendidikan Teknik Informatika Fakultas Teknik dan Kejuruan Universitas Pendidikan Ganesha Singaraja 9 PENGERTIAN
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan