Pertemuan 2 Matriks, part 2

Transkripsi

1 Pertemuan 2 Matriks, part 2

2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen a 11, a 22,, a nn disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut.

3 Contoh: A = 3 1 adalah matriks bujur sangkar berukuran B = adalah matriks bujur sangkar berukuran

4 2. Matriks nol ialah matrik yang semua elemennya 0 (ditulis matrik 0). Sifat-sifatnya: 1. A + 0 = A (bila ukuran A = ukuran 0) 2. A.0 = 0; 0.A = 0 (bila syarat2 perkalian terpenuhi)

5 3. Matriks Diagonal ialah matrik bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol. Dengan perkataan lain : (a ij ) adalah matriks diagonal bila a ij = 0 untuk i j. Contoh: A = adalah matriks diagonal

6 4. Matriks Identity (Satuan) ialah matrik diagonal yang elemen-elemen diagonal utamanya semua = 1, dengan perkataan lain: (a ij ) adalah matriks identity bila a ij = 1, untuk i = j, dan = 0 untuk i j. Matriks identiy biasa ditulis I atau I n di mana n menunjukkan ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Contoh: I 3 =

7 Sifat matriks identity adalah seperti bilangan 1 (satu) dalam operasi dengan bilangan biasa, yaitu: AI = A IA = A (bila syarat-syarat terpenuhi)

8 5. Matriks Skalar ialah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya sama = k. Matriks I adalah bentuk khusus dari matriks skalar, dengan k = 1. Contoh: A = adalah matriks skalar

9 6. Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular) Matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama = 0. Dengan perkataan lain (a ij ) adalah segitiga bawah bila a ij = 0, untuk i < j. Contoh: A =

10 7. Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular) Matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0. Dengan perkataan lain (a ij ) adalah matriks segitiga atas bila a ij = 0, i > j. Contoh: A =

11 8. Matriks Simetris Matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, dengan perkataan lain bila A = A T atau a ij = a ji, untuk semua i dan j. Jelas bahwa matriks simetris adalah matriks bujur sangkar. Contoh: A = dan A T =

12 9. Matrisk Antisimetris ialah matriks yang transposenya adalah negatifnya, dengan perkataan lain bila A T = -A atau a ij = -a ji untuk semua i dan j. Mudah dipahami bahwa semua elemen diagonal utama matriks antisimetris adalah 0. Contoh: A = A T =

13 10. Matriks Invers (kebalikan) Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I maka dikatakan B adalah invers dari A dan ditulis B = A -1, sebaliknya A adalah invers dari B, dan ditulis A = B -1. Catatan: Tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai invers. Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri, dengan perkataan lain AA = I. Disebut matriks yang Involutory.

14 Contoh: Matriks A = mempunyai invers A -1 = Karena AA -1 = A -1 A =

15 11. Matriks Komutatif Kalau A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ukurannya sama) dan dengan inversnya (bila ada). Jika AB = -BA, dikatakan antikomutatif.

16 Contoh: A = 2 1 dan B = 3 1 AB = BA berkomutatif karena

17 Transformasi elementer Transformasi elementer adalah pengubahan elemen matriks berdasarkan elemen lain pada matriks tsb. Notasi : H adalah baris dan K adalah kolom

18 3 1 4 Jika A = Pertukaran letak baris H ij (A) adalah baris ke-i dan ke-j ditukar letak-nya H 21 (A) =

19 3 1 4 Jika A = Pertukaran letak kolom K ij (A) adalah kolom ke-i dan ke-j ditukar letak-nya K 13 (A) =

20 3 1 4 Jika A = Perkalian baris dengan scalar H (k) i (A) adalah baris ke-i dikali k H (-2) 2 (A) =

21 3 1 4 Jika A = Perkalian kolom dengan scalar K (k) i (A) adalah kolom ke-i dikali k K (2) 3 (A) =

22 3 1 4 Jika A = Menambah baris ke-i dengan k kali baris ke-j. H (k) ij (A) adalah baris ke-i ditambah dengan k kali baris ke-j H (1) 31 (A) =

23 3 1 4 Jika A = Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j. K (k) ij (A) adalah kolom ke-i ditambah dengan k kali kolom ke-j K (2) 21 (A) =

24 SOAL LATIHAN 1. Buat sebarang matriks (3x3) yang bersifat : a. Matriks simetri b. Matriks antisimetri c. Matriks komutatif

25 2. Tentukan hasil operasi A = B = Tentukan : a. H 21 (A) + K 32 (B). b. K 2 (3)(A) H 3 (-1)(B). c. H 32 (-1)(A) + K 21 (2)(B). d. H 32 (2)(A)+ K 23 (3)(B).