UNIVERSITAS INDONESIA MAX CHART: CHART GABUNGAN X DAN S SKRIPSI RIFZA PUTRA KURNIAWAN

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA MAX CHART: CHART GABUNGAN X DAN S SKRIPSI RIFZA PUTRA KURNIAWAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK DESEMBER 00 Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

2 UNIVERSITAS INDONESIA MAX CHART: CHART GABUNGAN X DAN S SKRIPSI Diajuka sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar sarjaa sais RIFZA PUTRA KURNIAWAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK DESEMBER 00 Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

3 HALAMAN PENGESAHAN Skripsi ii diajuka oleh : Nama : Rifza Putra Kuriawa NPM : Program Studi : Matematika Judul Skripsi : Max Chart: Chart Gabuga X da S Telah berhasil dipertahaka di hadapa Dewa Peguji da diterima sebagai bagia persyarata yag diperluka utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Program Studi Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Idoesia DEWAN PENGUJI Pembimbig : Dr. Dia Lestari ( ) Pembimbig : Dra. Saskya Mary, M.Si. ( ) Peguji : Dr. Dia Lestari ( ) Peguji : Dra. Saskya Mary, M.Si. ( ) Peguji : Dhia Widya, S.Si., M.Kom. ( ) Ditetapka di : Depok Taggal : 0 Desember 00 ii Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

4 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT, karea atas berkat da rahmat-nya, akhirya peulis dapat meyelesaika skripsi ii dalam waktu 0 bula terhitug dari Februari 00. Peulisa skripsi ii dilakuka dalam ragka memeuhi salah satu syarat utuk mecapai gelar Sarjaa Sais Jurusa Matematika pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Idoesia. Peulis meyadari bahwa, tapa batua da bimbiga dari berbagai pihak, dari masa perkuliaha sampai pada peyusua skripsi ii, sagatlah sulit bagi peulis utuk meyelesaika skripsi ii. Oleh karea itu, pada kesempata ii peulis igi meyampaika rasa terima kasih yag sebesar besarya kepada: () Ibu Dia Lestari, selaku dose pembimbig pertama yag telah meyediaka waktu, teaga, da pikira utuk megarahka saya dalam peyusua skripsi ii; () Ibu Saskya Mary, M.Si., selaku dose pembimbig kedua yag telah meyediaka waktu, teaga, da pikira utuk megarahka saya dalam peyusua skripsi ii; (3) Ibu Suarsih Utama, selaku pembimbig akademik yag selalu memberika semagat kepada peulis selama masa peyusua skripsi; (4) Seluruh dose Departeme Matematika FMIPA UI yag telah memberika bimbiga da membatu peulis dalam meimba ilmu di Uiversitas Idoesia; (5) Seluruh pegurus Departeme Matematika FMIPA UI atas kerja samaya selama ii; (6) Pihak pihak yag telah membatu peulis dalam meyelesaika skripsi ii yag dihubugi oleh peulis via telepo, , maupu pesa sigkat (SMS) yaitu Prof. Gemai Che (Kaada), Kak Bog (Belada), Pak Arief Gusato (Iggris), Mbak Ley (Idoesia), staf Uiversitas Maitoba (Kaada), Prof. Smiley W. Cheg (Kaada), Mbak Desti (Idoesia), da Mbak Wia (Amerika Serikat) (7) Bapak da Mama yag seatiasa memberika batua dukuga material da moral serta kakak yag saat ii sedag meempuh S ekstesi yag seatiasa memberika semagat; iii Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

5 (8) Nita, terima kasih utuk dukugaya selama ii, selama proses peyusua skripsi ii. Terima kasih utuk semua waktu, dukuga, semagat, masuka, da sara yag telah diberika; (9) Kru Bogor: Ita, Nita, da staf perpustakaa pusat IPB, terima kasih telah membatu peulis mecari referesi di IPB; (0) Kru Badug: Ardhesa, Nita, Farah, Tisa, Dicky, da staf perpustakaa pusat ITB, terima kasih telah membatu peulis mecari referesi di ITB; () Tema tema seperjuaga, agkata 006, pada umumya, khususya Ali, Bekti, Farah, Rafly, Reza, Teguh, Tisa, serta Arif (007), Adit (007) da Adhi (008), terima kasih utuk dukugaya; () Dedy, Devi, Dicky (FISIP), Erma, Femo (FE), Firdi, Gezag, Ghafur (Fasilkom), Ita, Maya, Nia, terima kasih utuk dukugaya meskipu kita tidak serig bertemu. Peulis meyadari bahwa peyusua skripsi ii masih jauh dari sempura. Oleh karea itu, kritik da sara yag membagu seatiasa peulis terima dega taga terbuka. Akhir kata, peulis berharap Tuha Yag Maha Esa berkea membalas segala kebaika semua pihak yag telah membatu. Semoga skripsi ii membawa mafaat bagi pegembaga ilmu. Peulis 00 iv Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

6 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas akademik Uiversitas Idoesia, saya yag bertada taga di bawah ii: Nama : Rifza Putra Kuriawa NPM : Program Studi : S Departeme : Matematika Fakultas : Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Jeis karya : Skripsi demi pegembaga ilmu pegetahua, meyetujui utuk memberika kepada Uiversitas Idoesia Hak Bebas Royalti Noeksklusif (No-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yag berjudul : Max Chart: Chart Gabuga X da S. beserta peragkat yag ada (jika diperluka). Dega Hak Bebas Royalti Noeksklusif ii Uiversitas Idoesia berhak meyimpa, megalihmedia/format-ka, megelola dalam betuk pagkala data (database), merawat, da memublikasika tugas akhir saya selama tetap mecatumka ama saya sebagai peulis/pecipta da sebagai pemilik Hak Cipta. Demikia peryataa ii saya buat dega sebearya. Dibuat di : Depok Pada taggal : 0 Desember 00 Yag meyataka (Rifza Putra Kuriawa) v Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

7 ABSTRAK Nama : Rifza Putra Kuriawa Program Studi : Matematika Judul : Max Chart: Chart Gabuga X da S Tekik cotrol chart telah diguaka secara luas dalam bidag idustri utuk mematau proses produksi dalam ragka peigkata kualitas. Metode yag masih diguaka utuk medeteksi adaya sebab terusut adalah metode Shewart. Cotrol chart yag biasa diguaka adalah baga kedali X utuk mematau pusat proses da baga kedali S atau R utuk mematau variabilitas proses. Chart gabuga diracag agar dapat mematau mea da stadar deviasi proses secara bersamaa. Dalam skripsi ii metode yag diguaka utuk meracag chart gabuga adalah metode Max Chart. Metode ii megguaka fugsi maksimum utuk dua statistik. Kata kuci : chart gabuga, Max Chart, metode Shewart. ix+63 halama ; 4 gambar, 4 tabel Daftar Pustaka : 5 (93-009) vi Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

8 ABSTRACT Name : Rifza Putra Kuriawa Program Study : Mathematics Title : Max Chart: Combied Chart X ad S Cotrol chart techiques have bee widely used i idustries to moitor a process i quality improvemet. The method which has bee used to detect assigable cause is Shewart s method. Cotrol chart that usually used is X chart to moitor process mea ad S or R chart to moitor process variability. Combied chart costructed i order to moitor mea ad stadard deviatio simultaeously. I this skripsi, the method that used to costruct combied chart is Max Chart. This method applies maximum fuctio of two statistics. Key Words : combied chart, Max Chart, Shewart s method. ix+63 pages ; 4 figures, 4 tables Bibliography : 5 (93-009) vii Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PENGESAHAN... ii KATA PENGANTAR iii LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH v ABSTRAK vi DAFTAR ISI.... viii DAFTAR GAMBAR..... ix DAFTAR TABEL..... ix DAFTAR LAMPIRAN... ix. PENDAHULUAN Latar Belakag Masalah Perumusa Masalah Tujua Peulisa Pembatasa Masalah....5 Sistematika Peulisa LANDASAN TEORI Distribusi Normal Distibusi X Distribusi Chi Square Idepedesi Variabel Acak Distribusi S σ Estimasi Parameter Baga Kedali Shewart MAX CHART Trasformasi Variabel utuk Max Chart Distribusi M( i ) Kostruksi Max Chart CONTOH APLIKASI Sumber Data Data Aalisis Data Metode Shewart Metode Max Chart KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN viii Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

10 DAFTAR GAMBAR Gambar 4.. Output Miitab... 4 Gambar 4.. Baga Kedali Max Chart Gambar 4.3. Baga Kedali Max Chart Gambar 4.4. Baga Kedali Max Chart DAFTAR TABEL Tabel 3.. ceter lie (CL) da upper cotrol limits (UCL) utuk Max Chart utuk beberapa ilai probabilitas kesalaha jeis pertama α. 37 Tabel 4.. Nilai U i, V i, M( i ), da Posisi Nilai M( i ) pada Max Chart Tabel 4.. Nilai U i, V i, M( i ), da Posisi Nilai M( i ) pada Max Chart Tabel 4.3. Nilai U i, V i, M( i ), da Posisi Nilai M( i ) pada Max Chart DAFTAR LAMPIRAN Lampira Lampira Lampira Lampira Lampira ix Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

11 BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Kosep megeai Statistical Process Cotrol (SPC) telah diperkealka oleh Shewart sejak tahu 94. Dalam hal ii Shewart memperkealka suatu baga yag diamaka cotrol chart atau baga kedali. Baga kedali ii membuat proses pegedalia mutu berjala efektif. (Kreyszig, 976:8). Higga saat ii, metode Shewart masih diguaka utuk medeteksi adaya sebab terusut dega memafaatka iformasi megeai pusat da variabilitas proses. Adapu tekik cotrol chart yag biasa diguaka adalah baga kedali X utuk megawasi pusat proses da baga kedali S atau R utuk megawasi variabilitas proses. Utuk megawasi pusat proses, mea ditaksir dega rata rata, sedagka stadar deviasi dapat diguaka utuk megawasi variabilitas proses. Namu, dalam Statistical Process Cotrol (SPC), tidaklah cukup haya megawasi rata-rata atau stadar deviasi (atau rage) dari subgrup rasioal yag ada secara sediri - sediri. Sehigga, diperluka suatu baga kedali yag dapat diguaka utuk mematau pusat da variabilitas proses secara bersamaa. Baga kedali yag diguaka utuk megawasi rata rata adalah baga X da baga kedali utuk megawasi stadar deviasi adalah baga S. Agar lebih efisie, para ahli meracag suatu baga kedali yag dibetuk dari pasaga baga kedali Shewhart atau biasa dilambagka sebagai baga kedali X S (Hawkis ad Deg, 009:45). Beberapa ahli yag perah meracag chart gabuga atara lai Cha, Cheg, da Spirig (990), Domague da Patch (99) serta Chao da Cheg (996). Chart yag dihasilka oleh Cha, Cheg, da Spirig dapat medeteksi perubaha pusat proses da atau variabilitas proses yag terjadi tetapi, plotya tidak sederhaa. Sedagka, Domague da Patch berhasil meracag chart yag sesitif terhadap perubaha pusat da atau variabilitas proses, tetapi tidak dapat Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

12 megidikasika perubaha apakah yag terjadi. Chao da Cheg juga belum berhasil meracag chart gabuga yag optimal. Oleh karea itu, tugas akhir ii aka membahas tetag chart gabuga yag sederhaa amu mampu medeteksi dega jelas apakah pusat proses tidak terkedali, variabilitas proses tidak terkedali, atau kedua duaya tidak terkedali. Ada tiga metode yag dapat diguaka utuk meracag baga kedali tersebut. Tiga metode tersebut adalah Metode Max Chart, Metode Geeralized Likelihood Ratio (GLR), da Metode Pedekata Fisher.. Perumusa Masalah Permasalaha dalam tugas akhir ii dirumuska sebagai berikut: Bagaimaa cara meggabugka dua baga kedali yaitu baga X da baga S dega megguaka metode Max Chart utuk memperoleh iformasi megeai mea da stadar deviasi dari suatu proses produksi?.3 Tujua Peulisa Adapu tujua dari peulisa tugas akhir ii adalah: Mempelajari bagaimaa cara meggabugka dua baga kedali yaitu baga X da baga S dega megguaka metode Max Chart.4 Pembatasa Masalah Pembatasa masalah dalam tugas akhir ii adalah sebagai berikut: Karakteristik mutu yag diperhatika haya terdiri dari satu variabel. Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00 Uiversitas Idoesia

13 3.5 Sistematika Peulisa Tugas akhir ii terdiri dari lima bab. Bab I merupaka pedahulua. Bab ii terdiri dari Latar Belakag Masalah, Perumusa Masalah, Tujua Peulisa, Pembatasa Masalah, da Sistematika Peulisa. Bab II merupaka ladasa teori. Bab III membahas megeai cara peggabuga baga kedali X da baga kedali S dega megguaka metode Max Chart. Bab IV berisi cotoh aplikasi. Bab V merupaka peutup yag meliputi kesimpula da sara. Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00 Uiversitas Idoesia

14 BAB LANDASAN TEORI. Distribusi Normal f x = σ π Suatu variabel acak X yag mempuyai betuk p.d.f. sebagai berikut:. exp x μ σ, < x < (.) dikataka mempuyai distribusi ormal da p.d.f. ya disebut p.d.f. ormal. Distribusi ormal mempuyai dua parameter yaitu mea da variasi yag biasa diotasika oleh μ da σ. Fugsi desitas (p.d.f.) dari distribusi ormal dega mea μ da variasi σ biasa diotasika dega N μ, σ. yaitu: Sedagka, fugsi pembagkit mome (M.G.F.) dari distribusi ormal M t = exp μt + σ t (.) Variabel acak X dikataka berdistribusi ormal stadar bila μ = 0 da σ = atau X~N 0,, fugsi desitas (p.d.f)-ya adalah: f x = x. exp π da fugsi pembagkit mome (M.G.F) adalah, < x < (.3) M t = exp t (.4) (Hogg ad Craig, 995:39-40) Teorema. Jika variabel acak X~N(μ, σ ) di maa σ > 0, maka variabel acak W = X μ berdistribusi ormal dega mea 0 da variasi. σ 4 Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

15 5 Bukti: G w = Pr W w = Pr Misal Y = X μ σ = wσ +μ X μ σ σ π w = Pr X wσ + μ. exp x μ σ dx (.5) maka dy = da batas batasya mejadi sebagai berikut: dx σ Jika x meuju, maka y = x μ Jika x = wσ + μ, maka y = x μ Sehigga persamaa (.5) mejadi: G w = = w w σ π π. exp y. exp y dy. σ dy p.d.f dari W adalah g(w) di maa g(w)=g (w). g(w) = G (w) σ σ meuju = wσ +μ μ σ = wσ σ = w = w. exp π, < w < Betuk p.d.f. di atas merupaka betuk p.d.f. utuk distribusi ormal dega mea 0 da variasi. Jadi, W~N(0,). (Hogg ad Craig, 995:4).. Distribusi X Misalka X, X,, X adalah sampel acak berukura dari distribusi N μ, σ. Kemudia didefiisika suatu variabel acak baru yaitu Y di maa Y = X. Variabel acak Y dapat ditulis dalam betuk lai seperti berikut: Y = X = X i = X + X + + X = X + X + + X Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

16 6 da M.G.F. utuk Y adalah: M Y t = E e ty = E e t X + X + + X = E e tx +tx + +tx = E e t X. e t X e t X = E e t X. E e t X E e t X = exp μ t + σ t = exp μt + σ t = exp μt + σ t M Y t = exp μt + σ t. exp μ t + σ t exp μ t + σ t Betuk M.G.F. di atas meujukka bahwa Y = X~N(μ, σ ).. Distribusi Chi Square Diketahui bahwa X variabel acak dega p.d.f. gamma adalah: f x = Γ α. β α. xα. exp x β dega M.G.F. : M t = βt α, t < β, 0 < x < di maa α da β adalah parameter utuk distribusi Gamma. Salah satu kasus khusus pada distribusi Gamma yaitu α = r, dega r bilaga bulat positif da β =. Berarti, p.d.f. dari variabel acak kotiu X adalah: f x = Γ r. r. xr. exp x, 0 < x < = 0, laiya (.6) Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

17 7 da fugsi pembagkit mome (M.G.F.) ya adalah: M t = t r, t < (.7) Variabel acak kotiu X yag mempuyai p.d.f. seperti di atas dikataka berdistribusi Chi-Square dega r sebagai parameter da serig disebut sebagai derajat bebas. Apabila X berdistribusi Chi-Square dega derajat bebas r, maka ditulis: X~χ (r). (Hogg ad Craig, 995:34) Teorema. Jika variabel acak W berdistribusi ormal stadar atau N 0,, maka variabel acak V = W berdistribusi χ. Bukti: V = W di maa W~N(0,). Fugsi distribusi dari V yaitu: G v = Pr(V v) = Pr W v = Pr v w v = v v π. exp w dw G v =. 0 v π. exp w dw, 0 v = 0, v < 0 Misalka w = y maka dw dy = y Jika w meuju 0, maka y = w meuju 0 Jika w = v, maka y = w = v = v Sehigga, persamaa di atas mejadi: G v =. 0 v π. exp y. y da batas batasya mejadi sebagai berikut: dy Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

18 8 G v = 0 v p.d.f. ya adalah: g(v) = G (v) = π. π. y exp y v. exp v g v = π.. v. exp v = 0, laiya Karea g v dv = 0 0 g v dv = 0 = π π = π = 0 0, maka dy, 0 v, 0 < v <, 0 < v < π.. v. exp v dv 0. v. exp v dv. v. exp v dv v. exp v. dv π = Γ da g(v) dapat ditulis sebagai berikut: g v = Γ.. v. exp v, 0 < v < = Γ.. v. exp v, 0 < v < Betuk p.d.f. tersebut merupaka betuk p.d.f. dari χ. Jadi, V~χ atau dega kata lai V berdistribusi Chi Square berderajat bebas. (Hogg ad Craig, 995:44) Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

19 9 Teorema.3 Misalka X, X,, X adalah variabel acak yag idepede yag masig masig berdistribusi χ r, χ r,, χ r. Maka variabel acak Y = X + X + + X berdistribusi Chi Square dega derajat bebas r + r + + r atau dapat ditulis Y~χ r +r + +r. Bukti: M i t = E e tx i = t r i, t <, i =,,, Maka, M Y t = E e ty = E e t X +X + +X = E e tx +tx + +tx = E e tx. e tx e tx = E e tx. E e tx E e tx = t r. t r t r = t r r r M Y t = t r +r + +r, t < Betuk m.g.f. di atas merupaka m.g.f. utuk distribusi Chi Square dega derajat bebas r + r + + r. Jadi, Y~χ. r +r + +r (Hogg ad Craig, 995:0) Teorema.4 Misalka X, X,, X adalah sampel acak berukura dari distribusi N(μ, σ ). Variabel acak Y = i= X i μ σ berdistribusi Chi-Square dega derajat bebas. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

20 0 Bukti: karea X, X,, X adalah sampel acak berukura dari distribusi idetik N μ, σ, maka berdasarka teorema., setiap variabel acak X i μ σ ~χ, i =,,,. Jika didefiisika suatu variabel acak baru, misalka Y di maa Y merupaka pejumlaha dari variabel acak (X i μ ), maka diperoleh: Y = (X μ) σ + (X μ) σ + + (X μ) σ Y = = (X μ) + (X μ) + + (X μ) σ i= X i μ σ σ Berdasarka teorema.3, maka Y~χ atau dega kata lai Y~χ (Hogg ad Craig, 995:).3 Idepedesi Variabel Acak Misalka X da X suatu variabel acak baik diskret atau kotiu yag mempuyai p.d.f. bersama f x, x da p.d.f. margial f x da f x. Jika dikaitka dega defiisi p.d.f. bersyarat f x x, maka p.d.f. bersama f x, x dapat ditulis sebagai berikut: f x, x = f x x f x Misalka diberika cotoh di maa f x x tidak bergatug pada x, maka p.d.f. margial dari X utuk variabel acak kotiu adalah: f x = f x, x dx = f x x f x dx = f x x f x dx Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

21 = f x x dega demikia, f x, x = f x x f x = f x f x Jadi, X idepede terhadap X. Teorema.5 Misalka variabel acak X da X mempuyai p.d.f. bersama f x, x. Maka, X da X idepede jika da haya jika f x, x dapat ditulis sebagai perkalia dari fugsi oegatif dari x saja da fugsi oegatif dari x saja. Atau dapat ditulis f x, x = g x x di maa g x > 0, x A da g x = 0 utuk laiya, serta x > 0, x A da x = 0 utuk laiya. Bukti: Jika X da X idepede, maka f x, x = g x x Berdasarka pembahasa sebelumya, jika X da X idepede, maka f x, x = f x f x. Kemudia, syarat f x, x = g x x terpeuhi. Jika f x, x = g x x, maka X da X idepede Didefiisika g x dx = c da di maa c da d adalah kostata. x dx = d Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

22 P.d.f. margial utuk masig masig variabel acak X da X, di maa dalam pembuktia ii diguaka variabel radom kotiu, adalah: f x = f x, x dx = g x x dx da = g x x dx = g x d f x = f x, x dx = g x x dx = x g x dx = x c kostata c da d memeuhi cd = g x dx x dx = g x x dx dx = f x, x dx dx = dega megguaka p.d.f. margial dari masig masig variabel acak da cd =, diperoleh f x, x = g x x Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

23 3 = g x x cd = g x d x c = f x f x Jadi, dapat disimpulka bahwa X da X idepede. Utuk pembuktia di maa variabel acakya diskret dapat ditujukka dega meggati itegral dega somasi. (Hogg ad Craig, 995:00-03) Teorema.6 Misalka X da X adalah variabel acak yag idepede. Misalka g x merupaka fugsi yag haya terdiri dari variabel x da (x ) merupaka fugsi yag haya terdiri dari variabel x. Maka, variabel acak U = g(x ) da V = (X ) idepede. Bukti: Diasumsika U da V adalah variabel acak kotiu. Utuk sembarag u R da v R, didefiisika A u = x : g x u da B v = x : x v Maka c.d.f. bersama dari (U, V) adalah: F U,V u, v = Pr U u, V v = Pr X A u, X B v = Pr X A u. Pr X B v p.d.f. bersama dari (U, V) adalah: f U,V u, v = u v F U,V = u v F U,V u, v u, v = d du Pr X A u d dv Pr X B v Notasi di atas megidikasika bahwa faktor pertama adalah fugsi yag haya terdiri dari variabel u da faktor kedua adalah fugsi yag haya terdiri dari variabel v. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

24 4 Jadi, U da V idepede. (Casella ad Berger, 990:50) Sebelum membahas megeai distribusi dari S terlebih dahulu idepedesi X da S. Jika diketahui X j ~N μ, σ, j =,,, σ, aka dijelaska Perhatika persamaa berikut: X = X + X + X X X = X + X + X X X X + X = X + X + X X X + X X = X + X + X X ( )X X = X + X X + X 3 X + X 4 X + X X (.8) Dari (.8) diperoleh sebagai berikut: Y = X Y = X X Y 3 = X 3 X Y = X X p.d.f bersama dari X, X,, X adalah: f x, x,, x = f x. f x f x = σ π. exp x μ σ σ π. exp x μ σ = σ π f x, x,, x = σ π. exp x μ + + x μ σ. exp j= x j μ σ ; < x j <, j =,,, dega trasformasi Y = X ; Y = X X ; ; Y = X X merupaka trasformasi yag memetaka satu-satu dari (.9) Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

25 5 A = X, X,, X < X j < ke B = Y, Y,, Y < Y j < di maa j =,,,. sedagka iversya adalah: X = Y Y Y 3 Y X = Y + Y X 3 = Y + Y 3 X = Y + Y da Jacobia-ya adalah: J = x y x y x y x y x y x y x y x y x y = Karea matriks J berukura x, maka utuk meghitug determiaya diguaka elimiasi Gauss-Jorda da atura Cramer. Pertama tama matriks J aka disederhaaka dega megguaka elimiasi Gauss-Jorda. J = B +B 3 Jadi, B +B B +B Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

26 6 J = Dega megguaka atura Cramer diperoleh sebagai berikut: J = J = , matriks yag berukura ( )x( ) merupaka x( ) matriks idetitas, sehigga J =. I =. Jadi, ilai determia matriks J adalah. Pada persamaa (.9) terdapat betuk sebagai berikut: j = x j μ = j = x j x + x μ = x j x + x μ j = = x j x j = = x j x j = +. xj x. x μ + x μ +. x μ x j x + x μ j = j = = x j x +. x μ. x j x + x μ j = j = j = = x j x j = +. x μ. x x + x μ j = Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

27 7 j = x j μ = j = x j x + x μ j = Substitusi persamaa (.0) ke persamaa (.9): f x, x,, x = σ π. exp j= x j μ σ (.0) = σ π. exp j = x j x + x μ j = σ = σ π = σ π. exp. exp j = j = x j x + x μ σ x j x x μ σ σ Dega X = X i = X +X + +X da < X j <, j =,,, Karea Y = X da X = Y Y Y 3 Y maka X Y = Y Y 3 Y. Sehigga p.d.f. bersama dari Y, Y,, Y adalah: g y, y,, y = f y y y 3 y, y + y, y + y 3,, y + y. J = σ π = σ π = σ π. exp y y 3 y + y + y y + + y + y y σ y μ σ. g y, y,, y. exp y y 3 y σ. exp y y 3 y σ j = σ y j y j j = σ y μ σ.... σ π. exp y μ σ =. σ π. exp y y 3 y σ y j j = σ. y μ. exp π σ σ = g y, y 3,, y g y di maa, Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

28 8 g y = σ. exp y μ da π σ g y, y 3,, y =. σ π y. exp y 3 y σ y j = j σ Karea g y, y,, y merupaka perkalia dari g y, y 3,, y da g y, maka berdasarka teorema.5 Y idepede terhadap Y, Y 3,, Y. Diketahui Y = X da Y Y 3 Y + j = Y j = X Y + Y + Y Y Substitusi Y, Y, Y 3,, Y aka diperoleh sebagai berikut: X Y + Y + Y Y = X X + X X + X 3 X + + X X = X i X i= Jika S =. X i= i X, maka Y Y 3 Y + Y j = X Y + Y + Y Y sehigga, j = = X i X i= = S g y, y,, y = g y, y 3,, y g y = g S g X Karea S dapat ditulis dalam fugsi yag haya terdiri dari X X,, X X, maka, X da S idepede..3. Distribusi S σ Pada subbab ii aka dibahas megeai distribusi dari S σ. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

29 9 Didefiisika maka, S =. X i X i= S = X i X i= = X i μ + μ X i= = X i μ X μ i= = X i μ X μ i= = X i μ. X i μ X μ + X μ i= = X i μ. X μ X i μ + X μ i= i= i= = X i μ. X μ. X i μ + X μ i= i= = X i μ. X μ. X μ + X μ i= = X i μ. X μ. X μ + X μ i= = X i μ X μ + X μ i= S = X i μ X μ i= (.) Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

30 0 Dari persamaa (.), kalika kedua ruas dega, maka diperoleh S σ = σ X i μ X μ S σ = atau i= misalka i= X i μ σ = i= X i μ X μ σ σ S X μ σ + σ i= σ X i μ = W σ (.) S σ = W da X μ σ = W maka, persamaa (.) mejadi W = W + W (.) Berdasarka teorema.4, variabel W berdistribusi Chi Square dega derajat bebas. Sedagka, dega megguaka iformasi pada subbab.. da teorema., variabel W berdistribusi Chi Square dega derajat bebas. Kemudia, berdasarka pada idepedesi X da S disimpulka bahwa variabel W da W idepede. Berdasarka persamaa (.) diperoleh sebagai berikut: E e tw = E e t W +W = E e tw. E e tw t = E e tw. t, t < E e tw = t t Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

31 E e tw = t, t < (.4) Betuk m.g.f. pada persamaa (.4) merupaka m.g.f. utuk distribusi Chi Square dega derajat bebas. Karea W = S, maka berdasarka teorema.3, σ S σ ~χ. Jadi, distribusi dari S σ adalah Chi Square dega derajat bebas. (Hogg ad Craig, 995:6).4 Estimasi Parameter Setiap distribusi mempuyai parameter yag spesifik. Parameter utuk distribusi ormal yaitu μ da σ. Sehigga, estimasi parameter yag aka dibahas dalam subbab ii adalah estimasi parameter utuk μ da σ. Kedua parameter tersebut memegag peraa petig pada saat pembuata baga kedali Shewart. Jika parameter parameter tersebut tidak diketahui, maka perlu dilakuka estimasi parameter. Metode utuk meaksir parameter parameter tersebut ada beberapa cara, atara lai metode mome, metode Maximum Likelihood, da metode Least Square. Pada subbab ii metode yag aka diguaka adalah metode Maximum Likelihood. Misalka X, X,, X adalah sampel acak dari distribusi N θ, θ, < θ <, 0 < θ < aka dicari θ da θ, maximum likelihood estimators (MLE) dari θ da θ. L θ, θ ; x, x,, x = πθ. exp j = x j θ θ da ; < θ <, 0 < θ < l L θ, θ ; x, x,, x =. l θ. l π x j θ j = θ Kemudia, differesialka l L θ, θ ; x, x,, x terhadap θ da θ. l L θ, θ ; x, x,, x θ = j = x j θ θ Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

32 da Lalu, diperoleh l L θ, θ ; x, x,, x θ = θ + j = x j θ θ da θ + j = x j θ = 0 θ j = x j θ θ = 0 (.5) (.6) Jika persamaa (.5) da (.6) di atas diselesaika, maka aka diperoleh sebagai berikut: persamaa (,5) j = j = j = x j θ = 0 θ x j θ x j θ = θ = = 0 θ = 0 j = x j j = x j θ = X (.7) persamaa (.6) θ + j = x j θ θ = 0 Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

33 3 substitusi θ = x ke persamaa (.6) θ + θ θ + j = j = x j x = 0 θ x j x = 0 θ θ + x j x = 0 j = θ = j = x j x θ = j = x j x θ = S (.8) (Hogg ad Craig, 995:64-65) Berdasarka persamaa (.7) E θ = E X = μ X = E j = x j = θ = θ = μ X Karea E X = μ X, maka X merupaka peaksir tak bias utuk parameter μ. Jika terdapat m buah subgrup dega ukura sampel, maka peaksir tak bias yag diguaka adalah X. Selajutya aka dicari peaksir tak bias utuk σ. Berdasarka (.8), peaksir utuk σ X adalah S. S buka peaksir tak bias utuk σ X tetapi, S koverge dalam probabilitas ke σ X. Sedagka, peaksir tak bias utuk σ adalah S di maa S = i= X i X. Aka tetapi, stadar deviasi sampel S buka peaksir tak bias utuk σ X. Utuk lebih jelas, perhatika S i = i j = X ij X i, i =,,, m Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

34 4 diketahui bahwa U i = S i Oleh karea itu, E S i = σ E U i = σ = σ = σ u i u i σ ~χ.. f u i du i. Γ Γ = σ Γ = σ Γ Γ u i. e u i du i. u i. e u i du i. u i. e u i du i Γ. u i. e u i du i Itegral di ruas kaa berharga karea itegraya berupa p.d.f. dari distribusi Chi Square berderajat bebas. Akibatya, E S i = c 4 σ di maa c 4 = Γ Γ σ ditaksir dega megguaka rata rata dari m buah stadar deviasi, S = S i m. Aka ditujukka bahwa s Bukti: E S c 4 = E m c 4 S i c 4 adalah peaksir tak bias utuk σ. (.9) = E S i mc 4 = E S i mc 4 Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

35 5 = E S + S + + S m mc 4 E S c 4 = E S + E S + + E S m mc 4 = mc 4 = mc 4 mc 4 σ = σ c 4 σ + c 4 σ + + c 4 σ Terbukti bahwa S c 4 adalah peaksir tak bias utuk σ. Nilai c 4 = c 4, di maa = m m didapat dari tabel pada lampira. Misalka y adalah otasi fugsi floor dari y, maka y merupaka bilaga bulat terbesar yag lebih kecil atau sama dega y. Jadi, peaksir tak bias utuk parameter σ adalah S c 4..5 Baga Kedali Shewart Proses pegedalia mutu statistik memiliki peraa petig dalam pemataua proses produksi. Tujua dari pemataua ii adalah utuk memperoleh produk yag bermutu dega biaya produksi miimum. Salah satu eleme petig dalam proses pegedalia mutu adalah baga kedali yag diperkealka oleh Shewart sejak tahu 94. Baga kedali tersebut dikeal sebagai baga kedali Shewart. Ide dasar dari baga kedali adalah melakuka aalisis dega megambil sampel dari proses produksi secara periodik. Sampel dari proses produksi yag diambil secara periodik lazim disebut dega istilah subgroup. Hasil pegukura pada subgrup diplot pada baga kedali utuk diperiksa apakah terdapat sampel yag jatuh pada atau di luar batas kedali. Berdasarka iformasi hasil pegukura tersebut yag diperoleh dari baga kedali, para pegambil keputusa dapat meetuka tidaka setelah peyebab terjadiya masalah diketahui. Baga kedali umumya diguaka utuk medeteksi pergesera pusat proses da atau variabilitas proses yag mugki Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

36 6 terjadi saat mematau pegamata. Adaya baga kedali membuat proses pegedalia mutu berjala efektif. Pada baga kedali ditampilka dua buah garis yaitu batas kedali atas (UCL= Upper Cotrol Limit) da batas kedali bawah (LCL = Lower Cotrol Limit). Jika ilai ilai dari pegukura berada di atara kedua batas kedali tersebut, berarti proses berada dalam keadaa terkedali. Tetapi, jika terdapat ilai ilai dari pegukura yag terletak pada atau di luar batas kedali, diiterpretasika bahwa proses tidak terkedali da diperluka tidaka peyelidika serta perbaika terhadap peyebab terjadiya hal tersebut. Terdapat hubuga atara baga kedali dega uji hipotesis. Semua ilai ilai dari pegukura berada dalam batas kedali adalah sama dega tak cukup alasa utuk meolak hipotesis bahwa proses terkedali secara statistik da satu ilai dari pegukura terletak pada atau di luar batas kedali sama dega meolak hipotesis bahwa proses terkedali secara statistik. Jika variabel yag diguaka umerik, maka istilah yag diguaka adalah subgroup rasioal. Salah satu baga kedali yag biasa diguaka adalah baga X utuk mematau pusat proses di maa X megukur mea proses. Variabilitas proses dilihat melalui baga S di maa S megukur simpaga terhadap mea proses. Kedua baga ii memberika iformasi megeai mea da stadar deviasi suatu proses. Rumus yag diguaka utuk meghitug batas kedali pada baga X da baga S adalah: a. Jika μ da σ diketahui batas kedali utuk baga X CL = E X = μ LCL = μ 3σ X = μ 3 σ = μ 3 σ UCL = μ + 3σ X = μ + 3 σ = μ + 3 σ Dega demikia, batas kedali utuk baga X dapat ditulis sebagai berikut: CL = μ LCL = μ Aσ Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

37 7 UCL = μ + Aσ di maa A = 3 batas kedali utuk baga S Berdasarka subbab.4, diketahui bahwa E S = σ da E S = c 4 σ. Sehigga, var S = E S E S = σ c 4 σ = σ c 4 σ = c 4 σ Karea var S = c 4 σ, maka σ S = σ c 4 atau dapat ditulis σ S = c 5 σ, di maa c 5 = c 4. Oleh karea itu, CL = E S = c 4 σ LCL = c 4 σ 3σ S = c 4 σ 3c 5 σ = c 4 3c 5 σ UCL = c 4 σ + 3σ S = c 4 σ + 3c 5 σ = c 4 + 3c 5 σ Dega demikia, batas kedali utuk baga S dapat ditulis sebagai berikut: CL = c 4 σ LCL = B 5 σ UCL = B 6 σ di maa B 5 = c 4 3c 5 da B 6 = c 4 + 3c 5 b. Jika μ da σ tidak diketahui Jika μ da σ tidak diketahui, maka perlu dilakuka estimasi parameter. Berdasarka subbab.4, peaksir tak bias utuk μ dalam pembuata baga kedali Shewart adalah X. Sedagka, peaksir tak bias utuk σ adalah s c 4. batas kedali utuk baga X CL = μ = X LCL = X 3 σ = X 3 UCL = X + 3 σ = X + 3 s = X 3 s c 4 c 4 s = X + 3 s c 4 c 4 Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

38 8 Dega demikia, batas kedali utuk baga X dapat ditulis sebagai berikut: CL = X LCL = X A 3 s UCL = X + A 3 s di maa A 3 = 3 c 4 batas kedali utuk baga S CL = c 4 σ = c 4 s c 4 = s LCL = s 3σ S = s 3c 5 σ = s 3c 5 s c 4 = s 3 c 5 c 4 s = 3 c 5 c 4 = c 4 3c 5 c 4 s s = B 5 c 4 s UCL = s + 3σ S = s + 3c 5 σ = s + 3c 5 s c 4 = s + 3 c 5 c 4 s = + 3 c 5 c 4 = c 4 + 3c 5 c 4 s s = B 6 c 4 s Dega demikia, batas kedali utuk baga S dapat ditulis sebagai berikut: CL = s LCL = B 3 s UCL = B 4 s di maa B 3 = B 5 c 4 da B 4 = B 6 c 4 Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

39 BAB 3 MAX CHART Max Chart adalah salah satu jeis chart gabuga yag diusulka oleh Che da Cheg (998). Prisip kerja Max Chart secara umum yaitu dega rescalig X ke N 0, da metrasformasi stadar deviasi S ke N 0,. Hasil rescalig X diamaka variabel U da hasil trasformasi stadar deviasi S diamaka variabel V. Jika ilai U atau V lebih besar dari UCL, maka hal tersebut megidikasika bahwa proses tidak terkedali. Asumsi yag harus terpeuhi utuk dapat megguaka Max Chart adalah sampel yag diamati berasal dari populasi yag megikuti distribusi ormal. Hal pertama yag harus dilakuka dalam meracag Max Chart adalah medefiisika variabel yag aka diguaka. 3. Trasformasi Variabel utuk Max Chart Pada subbab ii aka dibahas megeai variabel yag aka diguaka dalam meracag Max Chart. Misalka variabel acak X meujukka karakteristik mutu dari suatu proses, μ adalah mea proses, da σ adalah stadar deviasi proses. Misalka X ij, i =,,3,, m da j =,,, i, adalah pegukura karakteristik mutu utuk sampel ke j utuk subgroup ke i. Utuk setiap i, X i, X i,, X ii merupaka sampel acak yag diambil dari subgroup yag berdistribusi ormal, maka X i, X i,, X ii idepede da megikuti distribusi ormal dega mea μ + aσ da stadar deviasi bσ. Nilai a = 0 da b = megidikasika bahwa sampel yag diamati berasal dari distribusi ormal dega mea μ da stadar deviasi σ. Misalka X i = X i + X i + + X ii adalah rata - rata subgrup ke i da S i = X ij X i j = i i adalah variasi subgrup ke i. Berikut ii adalah variabel U yag diguaka dalam Max Chart. Telah dijelaska sebelumya bahwa sampel acak utuk setiap subgrup megikuti 9 Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

40 30 distribusi ormal, diotasika, X ij ~N μ, σ di maa j =,,, i. Jika terdapat m buah subgrup rasioal, maka X i ~N(μ, σ i ) di maa i =,,3, m. Jika diketahui X i ~N(μ, σ i ) maka, berdasarka teorema. diperoleh sebagai berikut: X i μ Xi σ Xi X i μ σ i ~N(0,) ~N(0,) X i μ σ i ~N(0,) Jika betuk X i μ σ diyataka sebagai U i, maka U i ~N(0,) i atau U i = X i μ σ ~N(0,) i di maa i =,,, m. (3.) Variabel lai yag juga diperluka dalam meracag Max Chart adalah variabel V. Diketahui bahwa S i = X ij X i j = i i adalah variasi subgrup ke i da berdasarka subbab.. S i σ ~χ i. Berdasarka lampira 3, maka variabel V dapat ditulis sebagai berikut: V i = Φ H i S i σ ; i di maa (3.) Φ z = P Z z utuk Z~N 0,, distribusi ormal stadar. Φ adalah fugsi ivers dari Φ H w; v = P W w v utuk W~χ v atau distribusi Chi Square dega derajat bebas v. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

41 3 Berdasarka lampira 3 maka V i ~N 0, atau dega kata lai V i berdistribusi ormal dega mea 0 da variasi. Sifat dari kedua variabel yag telah dijelaska sebelumya adalah idepede karea X i da S i idepede da meurut teorema.6, U i da V i idepede. Trasformasi dari X i ke U i da S i ke V i ii memiliki dua keutuga. Pertama, distribusi dari U i da V i idepede terhadap ukura sampel i karea distribusi ormal dega mea 0 da variasi tidak bergatug pada ukura sampel, sehigga masalah ukura sampel dari variabel dapat dega mudah ditagai. Kedua, U i da V i mempuyai distribusi yag sama dega ukura pusat da sebara yag sama yaitu N 0, sehigga dapat dibetuk sebuah baga kedali utuk mematau pusat proses da persebara proses. Secara spesifik, didefiisika statistik M i yaitu M i = max U i, V i (3.3) Statistik M i pada persamaa (3.3) megidikasika bahwa ilai dari M i selalu oegatif da pegguaa fugsi maksimum dimaksudka agar baga kedali gabuga yag terbetuk dapat diguaka utuk megawasi pusat proses da persebara proses secara bersamaa. Pegguaa fugsi maksimum dapat memberika iformasi megeai ilai ilai dari pegukura yag berada di luar batas kedali. Pada baga kedali Shewart, ilai ilai dari pegukura dapat terletak di atas UCL atau di bawah LCL. Pegguaa harga mutlak pada M i megakibatka semua ilai terletak di atas UCL dari Max Chart. Sehigga, fugsi yag harus diguaka adalah fugsi maksimum. Dalam hal ii, ilai LCL dari Max Chart diabaika. Nilai M i aka besar jika harga mutlak U i atau V i lebih besar dari UCL utuk Max Chart yag meujukka bahwa ilai rata rata atau simpaga berada di luar UCL. Nilai - ilai dari M i dapat meujukka pergesera mea proses atau perubaha variabilitas proses berdasarka syarat syarat tertetu. Sedagka, ilai M i aka kecil jika harga mutlak U i da V i lebih kecil dari UCL utuk Max Chart. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

42 3 3. Distribusi M i Misalka χ γ,v memeuhi Pr χ v χ γ,v = γ, di maa γ 0, da X j ~N μ + aσ, bσ di maa j =,,, i. Maka, distribusi dari M i utuk sembarag y > 0, secara umum adalah: F y; i, a, b = Pr M i y = Pr max U i, V i y = Pr U i y, V i y = Pr U i y. Pr V i y = Pr y U i y. Pr y V i y = Pr y X i μ σ i y. Pr y Φ H i S i σ ; i y = Pr μ y σ i X i μ + y σ i. Pr Φ y H i S i ; i Φ y σ Pada persamaa (3.4) terdapat dua bagia yaitu (*) da (**). Pertama, perhatika bagia (*). Diketahui X j ~N μ + aσ, bσ, maka (3.4) X i ~N μ + aσ, bσ i (3.5) Sehigga, Pr μ y σ i X i μ + y σ i = Pr X i μ + y σ i Pr X i μ y σ i Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

43 33 = Pr X i μ + aσ bσ i μ + y σ i bσ μ + aσ i Pr X i μ + aσ bσ i μ y σ i bσ μ + aσ i = Pr X i μ + aσ bσ i y σ i bσ + aσ Pr X i μ + aσ bσ i y σ i bσ + aσ i i = Φ y b a b i Φ y b a b i (3.6) Selajutya, bagia (**). Pr Φ y H i S i σ ; i Φ y = Pr H i S i ; i Φ y σ Pr H i S i ; i Φ y σ perhatika pertidaksamaa berikut: H i S i σ ; i Φ y (3.7) i S i = Pr χ i σ i Φ y i S i = Pr χ i σ i Pr χ v χ Φ y,v (3.8) berdasarka persamaa (3.8) diperoleh bahwa v = i da i S i σ = χ Φ y, i jika diketahui variasi dari X j adalah bσ, maka Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

44 34 i S i bσ = χ Φ y, i b secara umum berlaku, H i S i σ ; i Φ y i S i = Pr χ i σ i Pr χ i χ Φ y, i b = H i S i σ ; i H χ Φ y, i b ; i (3.9) berdasarka persamaa (3.9), Φ y = H χ Φ y, i ; b i. substitusi Φ y ke persamaa (3.7) Pr Φ y H i S i ; i Φ y σ σ = Pr H i S i ; i Φ y Pr H i S i ; i Φ y = Pr H i S i σ Pr H i S i σ ; i H χ Φ y, i b ; i σ ; i H χ Φ y, i b ; i = Pr Φ H i S i σ ; i Φ H χ Φ y, i b ; i Pr Φ H i S i σ ; i Φ H χ Φ y, i b ; i = Φ Φ H χ Φ y, i b ; i Φ Φ H χ Φ y, i b ; i = H χ Φ y, i b ; i H χ Φ y, i b ; i (3.0) Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

45 35 Substitusi persamaa (3.6) da (3.0) ke dalam persamaa (3.4), diperoleh F y; i, a, b = Φ y b a b i Φ y b a b i H χ Φ y, i b ; i H χ Φ y, i b ; i (3.) 3.3 Kostruksi Max Chart Dalam kostruksi Max Chart ii diguaka statistik M i karea M i dibetuk dari fugsi maksimum utuk dua statistik. Oleh karea itu, chart gabuga X da S ii diamaka Max Chart. Utuk ilai a = 0 da b = berdasarka pada asumsi yag diguaka, maka persamaa (3.) mejadi sebagai berikut: F y; i, 0, = Φ y 0 i Φ y 0 i H χ Φ y, i ; i H χ Φ y, i ; i = Φ y Φ y H χ Φ y,i = Φ y Φ y ; i H χ Φ y,i ; i Pr χ i χ Φ y,i Pr χ i χ Φ y,i = Φ y Φ y Φ y Φ y F y; i, 0, = Φ y Φ y (3.) Perhatika Φ y Φ y pada persamaa (3.). Betuk tersebut dapat ditulis dalam betuk lai sebagai berikut: Φ y Φ y = = y y y w π e w π e dw dw y w π e dw Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

46 36 = 0 y w π e Misalka w = v maka dw dv = v dw Jika w meuju 0, maka v = w meuju 0 Jika w = y, maka v = w = y = y Sehigga, persamaa (3.3) mejadi: Φ y Φ y =. = = = y 0 y 0 y 0 y 0 (3.3) da batas batasya mejadi sebagai berikut: π. exp v. v π. v exp v dv π. v exp v Γ v exp v dv dv dv = = y 0 y 0 Γ Γ v exp v v exp v dv dv Φ y Φ y = Pr χ y (3.4) Substitusi persamaa (3.4) ke dalam persamaa (3.). Sehigga, diperoleh sebagai berikut: F y; i, 0, = Φ y Φ y = Pr χ y (3.5) Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

47 37 Agar F y; i, 0, = α terpeuhi, maka ilai y = χ α,. Bukti: F y; i, 0, = α Pr χ y = α (3.6) diketahui bahwa χ γ,v memeuhi Pr χ v χ γ,v = γ, maka dari persamaa (3.6) diperoleh, Pr χ y = Pr χ χ α, maka, y = χ α, y = χ α, (3.7) Jadi, ilai y yag memeuhi persamaa F y; i, 0, = α adalah χ α,. Ceter lie (CL) da upper cotrol limits (UCL) utuk Max Chart dapat dicari utuk berbagai ilai dari probabilitas kesalaha jeis pertama yaitu α dega megguaka persamaa (3.7). Ceter lie (CL) dapat dicari dega substitusi α = 0,5 ke dalam persamaa (3.7). Sedagka, utuk upper cotrol limits (UCL) ilaiya bervariasi tergatug pada ilai α yag diberika seperti ditujukka pada tabel 3.. Tabel 3. ceter lie (CL) da upper cotrol limits (UCL) utuk Max Chart utuk beberapa ilai probabilitas kesalaha jeis pertama α. α 0,5000 α 0,0054 0,007 0,0035 CL,058 UCL,9996 3,049 3,3994 Nilai α yag biasa diguaka utuk baga X maupu baga S adalah Baga X dega batas kedali ±3σ, mempuyai probabilitas kesalaha jeis pertama Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

48 38 Bukti: Pr μ 3σ X < X < μ + 3σ X = Pr X μ σ X = Φ μ + 3σ X μ σ X = Φ 3 Φ 3 < μ + 3σ X μ σ X = 0, ,00350 = 0,9973 Pr Φ μ 3σ X μ σ X X μ σ X < μ 3σ X μ σ X Kemudia, probabilitas kesalaha jeis pertama adalah: α = Pr μ 3σ X < X < μ + 3σ X = 0,9973 = 0,007 Sedagka baga S mempuyai probabilitas kesalaha jeis pertama 0,0035 utuk setiap tail-ya sehigga ilai α secara keseluruha juga 0,007. Dega demikia, probabilitas kesalaha jeis pertama utuk Max Chart adalah 0,007 = 0, ,0054. Dalam proses pembetuka Max Chart ii terdapat dua kasus. Kasus pertama yaitu jika μ da σ diketahui. Jika μ da σ diketahui, maka ilai U i da V i dapat dihitug secara lagsug dega mesubtitusi μ da σ ke dalam persamaa (3.) da (3.). Sedagka, kasus kedua yaitu jika palig sedikit ada satu parameter yag tidak diketahui. Jika kasus kedua terjadi, maka hal pertama yag harus dilakuka adalah megestimasi parameter yag tidak diketahui. Setelah diperoleh taksira utuk parameter yag tidak diketahui, substitusi hasil taksira tersebut ke dalam persamaa (3.) da (3.) sehigga didapat ilai U i atau V i. Prosedur yag diguaka dalam membetuk Max Chart utuk setiap kasus adalah sebagai berikut: Kasus : μ da σ diketahui. Hitug U i, V i, da M( i ) utuk setiap sampel.. Tetuka CL da UCL berdasarka tabel utuk ilai α yag diigika. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

49 39 3. Proses plottig titik pada chart. Proses plottig titik ii melibatka dua kodisi. Kodisi pertama, saat M i UCL, plot titik terhadap i. Kodisi kedua, saat M i > UCL, hal pertama yag harus dilakuka adalah memeriksa U i da V i terhadap UCL. Jika U i lebih besar dari UCL, maka plot m+ terhadap i saat U i > 0 yag megidikasika bahwa pusat prosesya bergeser ke atas da plot m- terhadap i saat U i < 0 yag megidikasika bahwa pusat prosesya bergeser ke bawah. Jika V i lebih besar dari UCL, maka plot v+ terhadap i saat V i > 0 yag megidikasika bahwa variabilitas prosesya meigkat da plot v- terhadap i saat V i < 0 yag megidikasika bahwa variabilitas prosesya meuru. Jika U i da V i lebih besar dari UCL, maka plot ++ saat U i > 0 da V i > 0 dega iterpretasi pusat proses bergeser ke atas da variabilitas prosesya meigkat, plot +- saat U i > 0 da V i < 0 dega iterpretasi pusat proses bergeser ke atas da variabilitas prosesya meuru, plot -+ saat U i < 0 da V i > 0 dega iterpretasi pusat proses bergeser ke bawah da variabilitas prosesya meigkat, atau plot -- saat U i < 0 da V i < 0 dega iterpretasi pusat proses bergeser ke bawah da variabilitas prosesya meuru. 4. Periksa sebab terusut utuk setiap titik yag berada di luar kedali. Kasus : palig sedikit ada satu parameter yag tidak diketahui. Estimasi parameter yag tidak diketahui. Jika parameter yag tidak diketahui adalah μ, maka estimasi μ dega x atau yag dikeal sebagai grad average dari data yag ada seperti sudah dijelaska pada subbab.4.. Jika parameter yag tidak diketahui adalah σ, maka estimasi σ dega persamaa.5 yaitu S c 4.. Hitug U i, V i, da M( i ) utuk setiap sampel. 3. Tetuka CL da UCL berdasarka tabel utuk ilai α yag diigika. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

50 40 4. Proses plottig titik pada chart. Proses plottig titik ii melibatka dua kodisi. Kodisi pertama, saat M i UCL, plot titik terhadap i. Kodisi kedua, saat M i > UCL, hal pertama yag harus dilakuka adalah memeriksa U i da V i terhadap UCL. Jika U i lebih besar dari UCL, maka plot m+ terhadap i saat U i > 0 yag megidikasika bahwa pusat prosesya bergeser ke atas da plot m- terhadap i saat U i < 0 yag megidikasika bahwa pusat prosesya bergeser ke bawah. Jika V i lebih besar dari UCL, maka plot v+ terhadap i saat V i > 0 yag megidikasika bahwa variabilitas prosesya meigkat da plot v- terhadap i saat V i < 0 yag megidikasika bahwa variabilitas prosesya meuru. Jika U i da V i lebih besar dari UCL, maka plot ++ saat U i > 0 da V i > 0 dega iterpretasi pusat proses bergeser ke atas da variabilitas prosesya meigkat, plot +- saat U i > 0 da V i < 0 dega iterpretasi pusat proses bergeser ke atas da variabilitas prosesya meuru, plot -+ saat U i < 0 da V i > 0 dega iterpretasi pusat proses bergeser ke bawah da variabilitas prosesya meigkat, atau plot -- saat U i < 0 da V i < 0 dega iterpretasi pusat proses bergeser ke bawah da variabilitas prosesya meuru. 5. Periksa sebab terusut utuk setiap titik yag berada di luar kedali. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

51 BAB 4 CONTOH APLIKASI 4. Sumber Data Data yag diguaka dalam tugas akhir ii adalah data yag berasal dari buku yag berjudul Statistical Quality Desig ad Cotrol oleh R.E.Devor, T.Chag, da J.W.Sutherlad (99). 4. Data Data yag diguaka merupaka data megeai pembora pada suatu blok mesi. Variabel yag diukur dalam data adalah diameter hasil pembora pada mesi tersebut dalam satua ici. Pegukura dibuat berdasarka /0.000 dari ici. Ukura sebearya adalah dalam betuk 3,505 ; 3,50 ; 3,504 ; da seterusya tetapi, pada saat etri data haya tiga digit terakhir yag diperhatika. Data diambil dari hasil produksi dalam iterval waktu yag berdekata, dalam kasus ii data diambil setiap 30 meit mulai dari pukul A.M. sampai dega pukul 0.00 A.M. Subgrup yag diambil berjumlah 35 da masig - masig berukura Aalisis Data Aalisis data ii megguaka dua metode yag berbeda. Metode pertama yaitu metode Shewart da metode yag kedua adalah metode Max Chart. Dalam pemataua hasil pembora ii diguaka Microsoft Excel da software statistik Metode Shewart Pada metode ii baga X da S aka dibuat secara terpisah. 4 Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

52 Sample StDev Sample Mea 4 Lagkah : megestimasi parameter. Dalam kasus ii μ da σ tidak diketahui sehigga perlu dicari estimasi dari kedua parameter tersebut. Estimasi yag dihasilka sama, estimasi utuk μ adalah X = 00,54 da estimasi utuk σ yaitu S c 4 = 3,076 0,94 = 3,3060. Lagkah : meetuka batas kedali utuk baga X da S. batas kedali utuk baga X LCL: X,43S = 00,54,43 3,076 = 95,8075 CL: X = 00,54 UCL: X +,43S = 00,54 +,43 3,076 = 04,6954 batas kedali utuk baga S LCL: 0 S = 0 3,076 = 0 CL: S = 3,076 UCL:,09 S =,09 3,076 = 6,4950 Lagkah 3: plottig baga X da S. Proses plottig ii megguaka software statistik tertetu. Berikut adalah output dari software statistik: 05 UCL=04,7 00 Mea=00,3 95 Subgroup LCL=95,8 0 5 UCL=6,49 S=3,08 0 LCL=0 gambar 4. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

53 43 Yag pertama kali diperiksa adalah baga S. Berdasarka gambar 4., baga S meujukka bahwa terdapat sampel yag berada di luar batas kedali yaitu sampel 6 da 6. Selajutya, dari baga X diperoleh iformasi bahwa terdapat sampel yag berada di luar batas kedali yaitu sampel. Jadi, terdapat tiga sampel yag berada di luar batas kedali Metode Max Chart Lagkah : megestimasi parameter. Lagkah ii sama seperti pada lagkah awal metode Shewart. Estimasi utuk μ yaitu X = 00,54 da estimasi utuk σ yaitu S c 4 = 3,076 0,94 = 3,3060. Lagkah : meghitug U i, V i, da M( i ) utuk setiap sampel. Hasil perhituga ditujukka oleh tabel 4.. Lagkah 3: meetuka CL da UCL. Telah dijelaska bahwa probabilitas kesalaha jeis pertama utuk Max Chart adalah 0,0054. Sehigga, berdasarka tabel 3., maka diperoleh CL =,058 da UCL =,9996. Lagkah 4: plottig ilai ilai M( i ). Posisi setiap ilai pada chart dega megguaka Excel ditujukka pada tabel 4.. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

54 44 Tabel 4. Nilai U i, V i, M( i ), da Posisi Nilai M( i ) pada Max Chart o. sampel Ui Vi M(i) keteraga,94 -,593,94 I -0,3053-0,307 0,307 I 3-0,8464-0,430 0,846 I 4 0,005 0,6834 0,683 I 5 -,3875-0,394,388 I 6 0,646 4,8400 4,840 Out 7 0,7769 -,086,09 I 8 -,70 0,346,7 I 9-0,0348 0,0040 0,035 I 0-0,987 0,7757 0,98 I 3,0765-0,7963 3,077 Out -0,0348 -,4307,43 I 3-0,5759 0,5 0,576 I 4-0,3053 -,536,536 I 5 0,7769-0,8909 0,89 I 6-0,3053 3,6957 3,696 Out 7,0474-0,6858,047 I 8 0,5063-0,848 0,843 I 9 0,5063,09,09 I 0-0,70-0,63 0,63 I 0,646-0,7963 0,796 I -,3875 0,5655,388 I 3-0,8464-0,570 0,846 I 4-0,70,0877,088 I 5-0,5759 0,558 0,576 I 6,738 0,083,74 I 7 0,005-0,054 0,00 I 8-0,8464-0,099 0,846 I 9-0,4406 0,558 0,44 I 30 0,7769 0,5 0,777 I 3-0,5759-0,3763 0,576 I 3 -,658-0,586,658 I 33-0,4406 -,4967,497 I 34-0,0348 -,0364,036 I 35-0,5759-0,96 0,576 I Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

55 45 Secara grafik, hasil plottig ilai ilai M( i ) utuk setiap sampel adalah sebagai berikut: gambar 4. [sumber:che ad Cheg, 998] berdasarka tabel 4. da gambar 4., diperoleh bahwa terdapat 3 sampel yag berada di luar batas kedali yaitu sampel 6,, da 6. Selajutya, diketahui bahwa sampel 6 da 6 diberi tada v+ da sampel diberi tada m+ yag berarti bahwa variabilitas proses pada sampel 6 da 6 meigkat da ada pergesera pusat proses ke atas pada sampel. Jadi, terdapat tiga sampel yag berada di luar batas kedali. Gambar 4. da Gambar 4. meujukka hasil yag sama yaitu terdapat tiga titik yag berada di luar batas kedali. Perbedaa yag sagat jelas adalah pada metode Shewart ketiga titik diperoleh dari dua baga yag terpisah. Sedagka, pada metode Max Chart. ketiga titik mucul secara bersama sama pada satu baga. Sehigga, pada kasus ii Max Chart lebih baik daripada metode Shewart. Jika dilakuka revisi, maka ketiga sampel ii aka dikeluarka dari data. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00

56 46 Lagkah 5: estimasi kembali parameter parameter yag tidak diketahui. Estimasi parameter pada lagkah ii megguaka 3 data karea 3 data telah dikeluarka dari keseluruha data. Estimasi utuk μ yaitu X = 00,0938 da estimasi utuk σ yaitu S =,7793 =,9567. c 4 0,94 Lagkah 6: meghitug kembali U i, V i, da M( i ) utuk setiap sampel. Hasil perhituga ditujukka oleh tabel 4.. Lagkah 7: sama seperti lagkah ketiga. CL da UCL yag diguaka masih tetap sama. Lagkah 8: plottig ilai ilai M( i ). Posisi setiap ilai pada chart dega megguaka Excel ditujukka pada tabel 4.. Uiversitas Idoesia Max chart..., Rifza Putra Kuriawa, FMIPA UI, 00