PENERAPAN PETA KENDALI STANDAR DEVIASI PADA PROSES ARIMA Nadila 1, Erna Tri Herdiani 2, Nasrah Sirajang 3.

Transkripsi

1 PENERAPAN PETA KENDALI STANDAR DEVIASI PADA PROSES ARIMA Nadila 1, Era Tri Herdiai, Nasrah Sirajag 3 1 Mahasiswa Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Hasauddi,3 Dose Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Hasauddi adilayusuf3@gmail.com ABSTRAK Peta kedali merupaka salah satu metode dalam pegedalia kualitas statistik yag diguaka utuk mematau suatu proses produksi.peta kedali dibetuk dega asumsi bahwa observasi dari suatu proses adalah salig bebas da berdistribusi ormal. Namu, dalam kehidupa yata dimugkika data yag dikumpulka dalam waktu serig meujukka ketergatuga dimaa pegamata membetuk proses yag berautokorelasi yag aka berdampak pada performa peta kedali tersebut. Peelitia ii bertujua utuk melihat performa peta kedali stadar deviasi dega data trasformasi melalui proses ARIMA. Utuk melihat hasil iterpretasi tersebut dilakuka dega membadigka dega peta kedali stadar deviasi dega data aktual. Data yag diguaka adalah data bulaa produksi coklat di Idoesia yag meghasilka model autoregressive orde satu, AR(1). Hasil peelitia meujukka bahwa peta kedali S dega data trasformasi melalui proses ARIMA lebih sesitif utuk medeteksi sampel yag jatuh di luar batas kedali dibadigka dega baga kedali S stadar dega data aktual. Kata Kuci: baga kedali S, autokorelasi, time series, proses ARIMA I. Pedahulua Peta kedali merupaka salah satu metode dalam pegedalia kualias statistik yag diguaka utuk mematau suatu proses produksi. Peta kedali yag haya mempuyai satu karasteristik kualitas, diguaka baga kedali uivariat. Peta kedali dibetuk berdasarka asumsi bahwa pegamata dari proses tersebut salig bebas (Timmer dkk,1998) dalam kuswedi. Namu, dalam praktek dimugkika terjadi proses yag berautokorelasi, keadaa ii aka berdampak pada performa peta kedali tersebut. Jika data uivariat memiliki hubuga dari waktu ke waktu seperti autokorelasi yag meujukka hubuga atara pegamata pada dua titik waktu yag berbeda, maka pembetuka batas kedali aka tergatug pada ilai autokorelasi. Autokorelasi aka mucul karea berdasarka sifat data sekarag dipegaruhi oleh data pada waktu- waktu sebelumya. Autokorelasi serig dijumpai dalam data deret waktu. Deret waktu (time series) merupaka seragkaia data pegamata yag terjadi berdasarka ideks waktu secara beruruta dega iterval waku tetap (Sukara, 006). Pada peulisa ii, data berautokorelasi dalam proses ARIMA aka diaplikasika pada peta kedali stadar

2 deviasi. Peracaga peta kedali stadar deviasi yag diguaka utuk megetahui pegaruh autokorelasi dega membadigka ilai aktual da ilai hasil trasformasi dega proses ARIMA. Kajia dampak autokorelasi pada peta kedali shewhart rata-rata telah dibahas oleh Hadayai (01) dalam kuswedi.dalam peelitiaya Hadayai meyimpulka bahwa keberadaa autokorelasi dapat mempegaruhi lebar batas kedali dari peta kedali dimaa batas kedali stadar mejadi lebih melebar (kuswedi, 015). Kuswedi (015) megguaka peta kedali EWMA dega proses autoregressive orde satu dega memperoleh kesimpula bahwa peta kedali EWMA utuk proses AR(1) mempuyai batas-batas kedali yag lebih sempit dibadigka dega peta kedali EWMA stadar. Suzaa Leitão Russo (01) dalam peelitiaya meyimpulka bahwa autokorelasi tidak memiliki pegaruh terhadap sesitifitas lebar batas kedali stadar deviasi. Berdasarka hal tersebut, peulis tertarik utuk megkaji ulag tulisa Suzaa Leitão Russo dega judul Peerapa peta kedali stadar deviasi pada proses ARIMA II. Tijaua Pustaka Peta Kedali Stadar Deviasi S-chart atau Stadard Deviatio chart diguaka utuk medeteksi apakah karakteristik proses stabil. Peta kedali stadar deviasi diguaka utuk megukur tigkat keakurasia suatu proses da mematau proses yag mempuyai karakteristik bersifat kotiyu (data variabel) berdasarka rata-rataya (Adriai, 014). Peta kedali S (Suzaa Leitao Russo, 01): UCL = B 4 s CL = s LCL = B 3 s (1) Dega B 3 da B 4 adalah ilai tabel kosta utuk peta kedali S. Stasioer da No Stasioer Kestasioera data merupaka kodisi yag diperluka dalam aalisis deret waktu karea dapat memperkecil kekelirua model (Mulyaa, 004). Stasioeritas berarti fluktuasi data berada di sekitar suatu ilai rata-rata yag kosta. Utuk megatasi ketidakstasioera data dapat dilakuka dega melakuka pembedaa (differecig). ACF da PACF Fugsi Autokorelasi atau Autocorrelatio fuctio (ACF) adalah suatu fugsi yag meujukka besarya

3 korelasi atara pegamata waktu ke-t dega pegamata pada waktu waktu yag sebelumya. Fugsi autokorelasi meujukka koefisie autokorelasi yag merupaka pegukura korelasi atara observasi pada waktu yag berbeda (Cryer, 1986). Sampel fugsi autokorelasi didefiisika sebagai: r k = k t=1 (Z t Z )(Z t+k Z ) t=1(z t Z ) Z t (3) dega Z = t=1 adalah rata-rata sampel (Wei, 006). k = periode waktu = total bayakya data Pegujia sigifika autokorelasi dapat dilakuka dega: 1. hipotesis H 0 : r k = 0 (koefisie autokorelasi tidak sigifika) H 1 : r k 0 (koefisie autokorelasi sigifika). Statistik uji yag diguaka adalah t = r k SE(r k ) dega SE(r k ) = 1+ k 1 i=1 r i 3. Kriteria keputusa: H 0 ditolak jika t hit > tα, 1 Autokorelasi parsial diguaka utuk megukur tigkat keerata atara Zt da Zt-k, apabila pegaruh dari lag waktu (time lag) 1,, 3,,k-1 diaggap terpisah. (Sukara, 006). Nilai partial autocorrelatio fuctio pada lag-k adalah ; φ kk = r k k 1 j=1 φ k 1,j r k j k 1 1 j=1 φ k 1,j r j (4) dega φ kk adalah autokorelasi parsial atara Z t da Z t+k. Metode Least Square Estimatio Model ARIMA (1,0,0) diyataka sebagai berikut; Z t = c + Z t 1 + α t (5) Parameter c da dapat diestimasi dega megguaka metode least squares. Metode least squares merupaka suatu metode yag dilakuka dega cara mecari ilai parameter yag memiimumka jumlah kuadrat kesalaha. Peaksira dilakuka dega memiimalka jumlah kuadrat residu (S) dega cara meuruka persamaa terhadap parameter da c. α t = Z t c Z t 1 S = α t = [Z t c Z t 1 ] t= S t= c c=c Pemeriksaa Diagostik = 0 (6) S = = 0 (7) Pemeriksaa diagostik (diagostic checkig) dega meguji kesigifikaa model meliputi uji asumsi white oise da keormala residu. pegujia tetag

4 asumsi sisa (residual), pegujia white oise dega metode Uji Ljug-Box, da pegujia sisa berdistribusi ormal dega uji Jarque Bera (Sukara, 006). Proses White Noise Residu (α t ) adalah perbedaa Atara ilai observasi da ilai taksira. Karea asumsi bahwa residual adalah idepede da berdistribusi secara idetik, maka harus diperiksa apakah residu megikuti proses white oise. Sebuah proses (α t ) disebut white oise jika merupaka seragkaia variabel acak yag tidak berkorelasi dega rata-rata E(α t ) = 0, da variasi kosta. Lagkah pegujia white oise (wei, 006): Lagkah pegujia ljug-box: 1. Hipotesis H 0 : r 1 = r = = r K = 0 ( Tidak ada korelasi pada residu ) H 1 : palig sedikit ada satu r K 0, utuk k = 1,, K (Ada korelasi pada residu ). Statistik uji yag diguaka adalah statistic Ljug Box-Pierce yag dirumuska dega, Q K = ( + ) K r k k=1 (8) k dega adalah bayakya observasi, K adalah bayakya lag yag diuji, r K adalah ilai koefisie autokorelasi pada lag-k. 3. Kriteria keputusa: Q < X α;df dega (db=k-p). Jika p-value dari Q- statistik α, maka H 0 diterima da meujukka bahwa tidak ada autokorelasi dalam sisaa sampai lag ke-k, begitu juga sebalikya (Wei, 006). III. Metodologi Sumber Data Data yag diguaka dalam peelitia ii adalah data produksi bulaa perkebua coklat, Idoesia (000 To) pada bula Jauari tahu 009 sampai dega bula Desember tahu 013 yag diambil dari Metode Aalisis 1. Meguji keormala data dega megguaka uji Jarque Bera. Megidetifikasi kesigifikaa autokorelasi dega plot ACF (Autocorrelatio fuctio) da statistik uji t 3. Megecek kestasioera data dega plot time series da Plot ACF 4. megidetifikasi model dugaa dari data 5. Melakuka peaksira parameter dega megguaka metode least square estimatio 6. Melakuka pemeriksaa diagostik yaitu meliputi uji kesigifikaa parameter dega statistik uji-t da uji kesesuaia model yaitu uji sisa white oise dega megguaka statistik uji Ljug Box da uji keormala Residu dega megguaka uji Jarque Bera 7. Membetuk baga kedali megguaka baga kedali S berdasarka

5 data aktual da data hasil trasformasi ARIMA 8. Membadigka hasil iterpretasi baga kedali S berdasarka data aktual da data hasil trasformasi ARIMA. IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Idetifikasi Keormala Data Normalitas dari data dapat dideteksi dega melihat probabilitas Jarque Bera dari data Gambar 1. Uji Normalitas Data Berdasarka gambar 4.1 ilai probabilitas Jarque Bera yag diperoleh = Karea p-value lebih besar dari 0.05 (p-value > 0.05), maka dapat dikataka bahwa data megikuti distribusi ormal. Kestasioera Data Sebelum pemodela time series lagkah pertama yag aka dilakuka adalah dega megidetifikasi kestasioera data melalui plot time series. Series: DATA_COKL Sample 1 60 Observatios 60 Mea 5.13 Media 5.08 Maximum 7.4 Miimum.63 Std. Dev. 1.4 Skewess Kurtosis 1.84 Jarque-Bera 3.43 Probability Gambar. time series data coklat Pada gambar, dapat disimpulka bahwa data telah staioer, karea terlihat dari data diatas meujukka data berfluktuasi disekitar rata-rata. Idetifikasi Model Model time series pada data dapat ditetuka dega melihat correlogram atau hasil plot ACF (Autocorrelatio Fuctio) Autocorrelatio 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8-1,0 1 Autocorrelatio Fuctio for data (with 5% sigificace limits for the autocorrelatios) Lag Gambar 3 plot ACF Berdasarka gambar 3 terlihat bahwa autokorelasi data sigifika pada time lag ke-1.sehigga secara visual dapat disimpulka bahwa data megikuti model ARIMA (1,0,0). Estimasi parameter model ARIMA (1,0,0) S = α t = [Z t c Z t 1 ] t= DATA_COKLAT t=

6 Peaksira parameter c: S c = [Z t c Z t 1 ] ( 1) c=c t= = 0 Sehigga diperoleh: Z t t= t= Z t 1 Peaksira parameter : = c (9) S = [Z t c Z t 1 ]( Z t 1 ) = t= = 0 Sehigga diperoleh: Z t Z t 1 c t= t= Z t 1 Z t= t 1 = (10) Dega megguaka software miitab, diperoleh estimator pada tabel berikut. Tabel 1 Estimasi Parameter utuk ARIMA (1,0,0) Parameter Estimasi T hitug P value AR (1) / 0,4568 3,89 0,000 Costat,74 16,99 0,000 Berdasarka pada tabel 4.1 diperoleh koefisie estimasi parameter utuk model ARIMA (1,0,0) telah sigifika. Dapat dilihat bahwa ilai P value < α (0.000 < 0,05) da pada taraf sigifika α = 0,05 dega derajat kebebasa 58 diperoleh T Hitug = 3,89 >1,6715. Setelah pedugaa parameter dilakuka, selajutya perlu diperiksa apakah asumsi model telah terpeuhi. Asumsi dasar adalah (α t ) white-oise, yaitu (α t ) sisaa acak tidak berkorelasi da berdistribusi ormal dega rata-rata ol da variasi kosta. Uji White Noise Tabel. Uji Ljug Box-Pierce Berdasarka tabel ilai dari statistik Ljug-Box (Q) lebih kecil dari tabel χ α;df. Artiya, tidak ada korelasi pada residu setiap pegamata. Selai itu diperoleh p- value lebih besar dari ilai α = 0,05. Sehigga dapat disimpulka bahwa residu memeuhi proses white oise. Uji Keormala Residu Uji Keormala Residu dilakuka utuk megetahui apakah residu memeuhi asumsi keormala atau tidak. Uji asumsi ormalitas yag diguaka adalah uji Jarque Bera Ljug-Box (Q) χ α;df p-value Series: RESID Sample 1 60 Observatios 59 Mea Media Maximum Miimum Std. Dev Skewess Kurtosis Jarque-Bera Probability Gambar 4 Uji Normalitas Residu utuk model ARIMA (1,0,0)

7 Pada gambar 4 merupaka hasil uji keormala dega megguaka metode Jarque-Bera diperoleh ilai Probability Jarque-Bera > α yaitu (0,148 > 0,05) hal ii meujukka bahwa ilai residu pada data berdistribusi ormal. Sehigga model yag didapatka adalah Z t = ,456Z t 1 Peta Kedali S Dalam time series stasioer, diasumsika bahwa rata-rata, variasi da struktur autokorelasi tidak berubah dari waktu ke waktu. Oleh karea itu, persamaa uivariat time series stasioer, E(Z t ) = E(Z t 1 ) = = E(Z t k ) = μ Var(Z t ) = E[(Z t μ) ] = E[(Z t 1 μ) = = E[(Z t k μ) ] = σ z Cov(Z t, Z t k ) = E[(Z t μ)(z t k μ)] = = E[(Z t j μ)(z t j k μ)] = γ k dega μ, σ z, da γ k masig-masig meujukka mea, variasi da autokovariasi. model ARIMA (1,0,0) kodisi stasioer dihitug seperti berikut, Z t = C + Z t 1 + α t dega α t adalah proses white oise dega mea ol da variasi σ α. Utuk kodisi stasioer,e(z t ) = E(Z t 1 ) = μ. karea itu, E(Z t ) = E(c) + E( Z t 1 ) + E(α t ) = E(c) + E(Z t 1 ) + E(α t ) = c + μ + 0 Oleh Sehigga diperoleh persamaa: μ = c 1 Var (Zt) = E (Z t E(Z t )) = E(Z t (c + μ)) =E ( C + Z t 1 + α t C μ) = E ( Z t 1 + α t μ) = E [ (Z t 1 μ) + (α t E( α t ))] =E [ (Z t 1 μ) + E ( (Z t μ)(α t E(α t ))) + E (α t E(α t )) (11) Berdasarka asumsi aalisis ragam dalam uji idepedesi bahwa ilai residual da data pegamata harus salig bebas, maka; E ( Z t μ )( α t E(α t )) = 0 Sehigga = var(z t 1 ) + σ α = σ z + σ α Kemudia diperoleh persamaa: σ z = σ α 1 (1) Berdasarka persamaa 1, dapat dibetuk peta kedali S dega data hasil trasformasi UCL = B 4 1 m σ ε m i=1 CL = 1 m σ ε m i=1 1 1 LCL = B 3 1 m σ ε m i=1 (13) 1 Peta kedali S dega data aktual Peta kedali S yag dibetuk dega megguaka data aktual

8 Tabel 3. Data Aktual subgrup Grup ,50 3,70 4,30 6,0 6,90 5,70 5,50 4,10 6,80 7,0 6,30 6,40 3 4,60 4,0 4,80 6,10 6,80 5,80 4 5,00 3,70 5,70 6,40 6,00 6,0 5 4,94 4,6 5,33 3,47 3,89 6,43 6 6,68 6,6 6,5 6,44 6,36 6,8 7 3,30 3,6 3, 5,16 5,78 4,89 8 5,47 7,07 4,83 4,08 3,57,63 9 3,38 3,34 3,9 5,9 4,47 3, ,60 7,4 4,95 4,70 4,47 4,0 Peta kedali S dega data aktual dibetuk dega batas kedali megguaka persamaa 1 sehigga diperoleh: UCL =,013 CL = 1,01 LCL = 0,03 Nilai batas kedali yag diperoleh diguaka utuk membetuk peta kedali S yag dapat dilihat pada gambar 5. 1,5 1, 0,9 0,6 0,3 0, UCL =,013 CL= 1,01 LCL = 0,030 Gambar 5. Peta Kedali S dega data aktual Berdasarka gambar 5. diperoleh batas kedali atas da bawah masig-masig sebesar,013 da 0,030 dega garis tegah yag meadaka rata-rata dari stadar deviasi pada data sebesar 1,01. Pada grafik meggambarka bahwa semua data berada dalam proses terkedali. Peta Kedali S dega data trasformasi ARIMA (1,0,0) Peta kedali S dega megguaka data trasformasi dibetuk dega proses ARIMA (1,0,0). Tabel 4.Pegolaha data setelah trasformasi ARIMA (1,0,0) Subgrup grup ,7,7,7,7,7,7 4,7 4,4 4,7 5,5 5,5 5,3 3 5, 4,6 5,8 6,0 6,0 5,6 4 4,8 4,6 4,9 5,5 5,5 5,3 5 5,0 4,4 5,3 5,6 5,6 5,5 6 4,9 4,8 5,1 4,3 4,3 5,6 7 5,7 5,7 5,7 5,6 5,6 5,6 8 4, 4, 4, 5,0 5,0 4,9 9 5, 5,9 4,9 4,6 4,6 3,9 10 4, 4, 4, 5,1 5,1 4,4 Selisih atara data aktual dega data hasil trasformasi dega proses ARIMA (1,0,0) diperoleh ilai residu, pada tabel 5. berikut; Tabel. 5. ilai residu subgrup grup ,7 0,9 1,5 3,4 4,1,9 0,7-0,3,0 1,6 0,7 1,0 3-0,6-0,4-1,0 0,0 0,7 0,1 4 0,1-0,9 0,7 0,8 0,4 0,8 5-0,0 0,1-0,0 -,1-1,7 0,8 6 1,6 1,7 1,3,1,0 0,6 7 -,4 -,4 -,4-0,5 0,1-0,7 8 1,,8 0,6-1,0-1,5 -,3 9-1,8 -,6-1,6 0,6-0,1-0,1 10 1,3,9 0,7-0,4-0,6-0,4 Dega megguaka persamaa 1, sehigga diperoleh batas kedali: UCL = 0,81 CL = 0,415 LCL = 0,01

9 Nilai batas kedali yag diperoleh diguaka utuk membetuk baga kedali yag dapat dilihat pada gambar 6. 0,9 0,6 0,3 0-0,3 Gambar 6. Peta Kedali S dega Data Trasformasi ARIMA (1,0,0) Pada gambar 6, peta kedali S dega megguaka data Trasformasi ARIMA (1,0,0), didapatka garis tegah = 0,4 dega batas atas da bawah 0,8 da 0,01. Pada peta kedali terdapat satu data yag melewati garis batas kedali. Hal ii berbeda dega gambar 5, yaitu peta kedali S dega megguaka data aktual. Peta kedali S dega data trasformasi ARIMA (1,0,0) memiliki batas kedali yag lebih sempit sehigga lebih sesitif utuk medeteksi adaya titik yag jatuh di luar batas kedali dibadigka dega batas kedali dega megguaka data aktual. V. Kesimpula da Sara Kesimpula Berdasarka hasil da pembahasa dapat dibuat kesimpula sebagai berikut. UCL= 0,80 CL = 0,4 LCL = 0, Peta kedali S dibetuk dega mempertimbagka ilai rata-rata dari stadar deviasi subrgrup data. Batas kedali utuk data trasformasi ARIMA (1,0,0) dibetuk dega ilai parameter da kostata yag diperoleh melalui taksira model ARIMA (1,0,0), batas kedali dibetuk dega ilai tabel kosta B3 da B4 masig-masig utuk pegguaa batas kedali bawah da atas utuk peta kedali S dega rata-rata stadar deviasi (S ) yaitu 1 σ m ε m i=1 1. Berdasarka hal tersebut, diperoleh batas kedali utuk pegolaha data berautokorelasi setelah trasformasi ARIMA (1,0,0) sebagai berikut. m UCL = B 4 1 m σ ε i=1 CL = 1 m σ ε m i=1 1 1 LCL = B 3 1 m σ ε m i=1 1. Data dega trasformasi ARIMA (1,0,0) yag diguaka dalam membuat batas kedali, diperoleh baga kedali S lebih sesitif dibadigka dega peta kedali S dega data aktual, sehigga disimpulka bahwa meskipu dega megguaka data awala yag sama amu dega metode yag berbeda didapatka hasil yag berbeda pula. Sara Sara yag dapat diberika utuk peelitia selajutya, yaitu meelusuri lebih medalam utuk meetuka pegguaa peta kedali yag lebih baik dega megguaka metode Average Ru Legth (ARL).

10 DAFTAR PUSTAKA Adriai, D. P. (014, Mei miggu). Peta Kedali Variabel. Malag: Tekik idustri, Uiversitas Brawijaya. diambil kembali dari Cryer, J. (1986). Time Series Aalysis. Uited State: PWS-KENT Idoesia, D. P. (007). Gambara sekilas idustri kakao. diambil dari sumber www. depperi.go.id. Kabasarag, D. C. (01). Uji Normalitas dega Megguaka Statistik Jarque-Bera. Yogyakarta: Uiversitas Kriste Satya Wacaa. kuswedi, w. (015). Baga Expoetially Weighted Movig Average pada proses Autoregressive Orde satu. Badug: Uiversitas Islam Badug. Mulyaa. (004). Aalisis Data Deret Waktu. Padjadjara: Uiversitas Padjadjara. Nisak, F. (013). Aalsis pegedalia mutu produk megguaka statistical process cotrol (SPC). Jember: Uiversitas Jember. Sukara, A. &. (006). Aalisis Deret Waktu. Makassar: Adira Publisher. Suzaa Leitao Russo, M. E. (01). Applicatios of cotrol charts Arima for autocorrelated data. INTECH, Wei, W. W. (006). Time Series Aalysis uivariate ad multivariate methods Secod Editio. Philadelphia: Addiso Wesley. Motgomery, D. C. (009). Itroductio to Statistical Quality Cotrol Sixth Editio. New York: Joh Wiley & Sos, Ic.