Pemodelan pada Regresi Linier Berganda dengan Variabel Prediktor Stokastik

Transkripsi

1 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 Pemodela pada Regresi Liier Bergada dega Variabel Prediktor Stokastik Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi, Sulfiyati, Jaya AK., Raupog. 3 Abstrak Regresi liier bergada merupaka regresi yag meramalka hubuga atara satu variabel respo dega dua atau lebih variabel prediktor. Variabel prediktor yag diguaka adalah variabel prediktor stokastik yag merupaka variabel acak. Pada tulisa ii, yag dibahas adalah estimasi parameter model regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik yag memiliki distribusi ormal multivariat. Pada estimasi parameter model regresi diguaka metode Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE). Metode MMLE merupaka perkalia fugsi likelihood dari x, x,, x yag dilambagka dega L x da fugsi likelihood dari e, e,, e yag dilambagka dega L e. Dega MMLE ii aka diperoleh peaksira dari semua parameter pada model regresi stokastik. Pada model taksira ii aka dilakuka uji goodess of fit utuk melihat apakah model regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik layak diguaka atau tidak. Pada peelitia ii terlihat bahwa H 0 diterima da dapat disimpulka bahwa model regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik layak diguaka. Kata Kuci: regresi liear bergada, distribusi ormal, distribusi ormal multivariate, Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE), uji goodess of fit. Abstract Multiple liear regressio is a regressio that predicts the relatio betwee oe respose variable ad two or more predictor variables. Used predictor variable is stochastic predictor variabel which is radom variables. I this paper, will be discussed about estimatio of parameter of multiple liier regressio model with stochastic predictor variable i multivariate ormal distributio. Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE) is method for this estimatio of parameter of regressio model. MMLE method is multiplicatio of likelihood fuctio x, x,, x deoted by L x ad the likelihood fuctio of e, e,, e deoted by L e. By this MMLE will be obtaied estimator from all the parameters at stochastic regressio model. I this estimatio model, will be treated goodes of fit test for seeig whether this multiple liear regressio model with stochastic predictor variable proper to be used. I this paper H 0 is accepted ad ca be summarized that multiple liear regressio model with stochastic predictor variable is proper to be used. Keywords : multiple liear regressio, ormal distributio, multivariat ormal distributio, Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE), goodess of fit test.. Pedahulua Aalisis regresi adalah tekik statistika yag bergua utuk memeriksa da memodelka atar peubah-peubah. Aalisis regresi bergua dalam meelaah dua peubah atau lebih, terutama utuk meelusuri pola hubuga yag modelya belum

2 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 diketahui dega sempura, sehigga dalam peerapaya lebih bersifat eksploratif. Sagatlah petig utuk diperhatika bahwa variabel X mugki saja secara itristik bersifat stokastik, yaitu variabel acak yag memiliki suatu fugsi yag hargaya merupaka bilaga rill da ditetuka oleh setiap eleme dari suatu ruag sampel. Salah satu metode yag diguaka utuk megestimasi model regresi liier bergada dega variabel stokastik adalah metode Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE). Metode MMLE ii merupaka aplikasi yag lebih luas dalam hal bahwa bisa diaplikasika dalam model regresi yag tidak liier dalam suatu parameter. Metode MMLE sesuai dega amaya, metode ii terdiri atas estimasi dari parameter-parameter yag tidak diketahui dalam perilakuya bahwa probabilitas dalam megobservasi variabel yag telah ditetuka ii dilakuka setiggi (semaksimum) mugki.. Tijaua Pustaka. Regresi Liier Variabel Prediktor Nostokastik Hubuga atara variabel-variabel pada aalisis regresi dapat direpresetasika dalam betuk persamaa yag meghubugka variabel respo Y dega satu atau lebih variabel prediktor X, X,, X q. Model regresi liier bergada dega variabel prediktor ostokastik sbb: Y i = β 0 + q j = Keteraga : Y i = variabel respo (depedet variabel) X ji = variabel prediktor (idepedet variabel) e i = variabel gaggua stokastik (stochastic disturbace) β 0, β, β,, β q adalah parameter regresi β j X ji + e i, i =,,, (). Distribusi Normal Fugsi kepadata peluag (f.k.p) dari distribusi ormal diberika oleh rumus berikut: dega : μ : mea σ : stadar deviasi π : 3,459 f x = πσ exp σ x μ, < x < (), < μ <, σ > 0.. Distribusi Normal Uivariat Distribusi ormal uivariat dega mea μ da variasi σ mempuyai fugsi desitas probabilitas f x = πσ exp σ x μ 3 Fugsi f x adalah fugsi distrribusi margial utuk X, da diyataka X~N μ, σ. Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi,

3 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli Distribusi Normal Multivariat Apabila X mempuyai distribusi ormal multivariat dega vektor ratarata μ da matriks kovariasi Σ, maka fugsi desitas ormal multivariatya adalah : f x = π q exp Σ x μ Σ x μ t (4) Dimaa : q : bayakya variabel Σ : matriks kovariasi μ : vektor rata-rata.3 Regresi Liier Variabel Prediktor Stokastik Ketika kita megaalisis data dega megguaka metode statistika, kita hampir selalu meekaka asumsi yag dikeaka terhadap data yag diaalisis. Pemodela yag megaggap peubah X berubah-ubah dega sebara tertetu (misalya, ormal), maka disebut pemodela stokastik (I. M Tirta, 008). Model regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik sbb: Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi, Y = γ 0 + q j = γ j u j + e Keteraga : Y = variabel respo (depedet variabel) u = variabel prediktor stokastik (idepedet variabel) e = variabel gaggua stokastik (stochastic disturbace) γ 0 da γ j adalah parameter regresi, dimaa j =,,, q. u j = x j μ j σ j (5).4 Metode Maksimum Likelihood (MLE) Salah satu metode dalam peaksira parameter adalah Maksimum Likelihood Estimatio (MLE). Prisip dasar dari MLE adalah meetuka θ yag memaksimumka fugsi likelihood. Jika terdapat peubah acak Y i dega i =,,, dimaa Y i salig bebas dega fugsi kepadata peluag f(y, θ), maka fugsi likelihood bersama berbetuk sebagai berikut : L θ y = f y i, θ Selai itu, karea biasaya sulit utuk mecari turua fugsi likelihood, maka yag dilakuka adalah meetuka ilai maksimum dari logaritma atural fugsi likelihood tersebut atau disebut dega fugsi log-likelihood. Fugsi log-likelihood dapat ditulis dalam betuk : l = l L θ y = l f Y i, θ = l f Y i, θ Nilai parameter θ dapat diperoleh dega memaksimumka fugsi kepadata peluag. Hal tersebut dilakuka dega metode turua pertama dari fugsi likelihood-ya terhadap setiap parameterya. Maka MLE θ merupaka peyelesaia dari persamaa maksimum likelihood berikut : (6)

4 4 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 θ l θ=θ = 0.5 Modified Maksimum Likelihood Estimators (MMLE) Metode MMLE merupaka modifikasi dari metode MLE dimaa diberika sampel acak (y i ; x i,, x ji, x qi ) i atau dapat ditulis (y; x, x,.., x q ) da meujukka bahwa estimator tersebut sagat efisie. Utuk memperoleh ilai taksira dega metode MMLE maka fugsi likelihood dari (y; x, x,.., x q ) da e, e,, e L = L x L e 7 Fugsi log-likelihood dapat ditulis dalam betuk : l = l L = l L x L e = l f x i f e i Nilai θ dapat diperoleh dega memaksimumka fugsi kepadata peluag. Hal tersebut dilakuka dega metode turua pertama dari fugsi likelihood-ya terhadap setiap parameterya. Maka MMLE θ diperoleh dari turua pertama disamaka dega ol sebagai berikut : Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi, θ l θ=θ = 0.6 Uji Goodess of Fit Uji goodess of fit diguaka utuk megetahui apakah model layak atau tidak layak diguaka dega cara merumuska hipotesis, memilih taraf sigifikasi α, da meetuka statistik uji dega melihat ilai deviace. Deviace yag diguaka utuk regresi liier bergada adalah : Deviace = σ y i y i Kriteria keputusa : H 0 ditolak jika > χ a, p, yag artiya model tidak layak diguaka. Sebalikya, H 0 diterima jika χ a, p, yag artiya model layak diguaka [6]. 3. Metodologi Adapu lagkah-lagkah peerapa regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik adalah sebagai berikut : a. Megestimasi parameter suatu model regresi bergada dega variabel prediktor stokastik megguaka metode MMLE. Utuk memperoleh ilai taksira dega metode MMLE maka fugsi likelihood dari (y; x, x,.., x q ) da e, e,, e

5 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 5 L = L x L e Fugsi log-likelihood dapat ditulis dalam betuk : l = l L = l L x L e = l f x i f e i Nilai θ dapat diperoleh dega memaksimumka fugsi kepadata peluag. Hal tersebut dilakuka dega metode turua pertama dari fugsi likelihood-ya terhadap setiap parameterya. Maka MMLE θ diperoleh dari turua pertama disamaka dega ol sebagai berikut : L = L x L e = πσ exp x i μ x x σ x πσ exp Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi, θ l θ=θ = 0 b. Uji distribusi ormal multivariate dega melihat apakah data sudah berdistribusi ormal multivariat atau tidak. Pemeriksaa distribusi multivariat dapat dilakuka dega megguaka plot atara jarak kuadrat mahalaobis d i da X. Adapu lagkah-lagkah plot d i da X sebagai berikut :. Urutka jarak mahalaobis d i dari yag kecil dega yag terbesar.. Utuk setiap d i, hitug j 0,5 persetil. 3. Nilai X utuk persetil dari sebara X dega p derajat bebas, dimaa p meyataka jumlah peubah. 4. Buat plot d i da X. c. Peerapa model regresi liier bergada yag memiliki variabel prediktor stokastik pada data pegaruh rata-rata kelembaba udara, rata-rata temperature da rata-rata kecepata agi terhadap rata-rata curah huja di kota Makassar Sulawesi Selata tahu 006 sampai tahu 0. d. Uji kelayaka model regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik dega megguaka uji goodess of fit. 4. Hasil da Pembahasa 4. Estimasi Parameter pada Regresi Liier Bergada dega Variabel Prediktor Stokastik 4.. Metode MMLE utuk Distribusi Uivariat Fugsi likelihood dari x, x,, x da e, e,, e dapat dituliska sebagai berikut: y i γ 0 γ u i σ

6 6 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 = π σ x σ x i μ x exp σ x y i γ 0 γ u i Selajutya, dari pers.(8) fugsi log-likelihood-ya dapat dituliska sebagai berikut : l L = l π l σ x l σ σ x x i μ x σ (8) y i γ 0 γ u i σ (9) Utuk medapatka parameter taksira μ x, σ x, γ 0, γ da σ, maka pers. (9) dituruka terhadap parameter-parameter tersebut, kemudia disamaka dega ol. Turua l L terhadap μ x adalah : Turua l L terhadap σ x Turua l L terhadap γ 0 l L μ x l L σ x Turua l L terhadap γ l L = l L γ 0 = = x i = x (0) x i μ x = y i γ u i = y iu i y i u i γ u i u i Turua l L terhadap σ l L σ = y i γ 0 γ u i x i x i () () (3) (4) 4.. Metode MMLE utuk Distribusi Multivariat Fugsi likelihood dari x, x,, x da e, e,, e dapat dituliska sebagai berikut: L = L x L e = π Σ exp x ji μ Σ x ji μ t πσ exp y i γ 0 γ u i γ u i γ 3 u 3i σ Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi,

7 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 7 = π Σ σ exp x ji μ Σ x ji μ t y i γ 0 γ u i γ u i γ 3 u 3i σ (5) Selajutya, dari pers.(5) fugsi log-likelihood-ya dapat dituliska sebagai berikut l L = l π l Σ l σ x ji μ Σ x ji μ t y i γ 0 γ u i γ u i γ 3 u 3i σ (6) Utuk medapatka parameter taksira μ, Σ, σ, γ 0,, γ 3, maka pers. (6) dituruka terhadap parameter-parameter tersebut, kemudia disamaka dega ol. Turua l L terhadap μ Turua l L terhadap Σ l L μ l L Σ Turua l L terhadap σ l L σ = x = = = x i x i x x i x t (7) (8) y i γ 0 γ u i γ u i γ 3 u 3i 9 Selajutya, utuk memperoleh γ 0,, γ 3 dibetuk sistem persamaa dari l L l L l L l L = 0, = 0,, da = 0 dalam betuk matriks, sebagai berikut ; γ 3 γ 0 γ γ u i u i u 3i u i u i u i u i u i u i u i u i u 3i u i u 3i u i u 3i u 3i u i u 3i u i u 3i γ 0 γ γ γ 3 = y i y i u i y i u i y i u 3i atau Aγ = C (0) Maka, persamaa regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik estimasi dega variabel prediktor berdistribusi ormal multivariat adalah sebagai berikut : Y i = γ 0 + γ u i + γ u i + γ 3 u 3i () Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi,

8 8 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 4. Peerapa Regresi Liier Bergada dega Variabel Prediktor Stokastik 4.. Uji Distribusi Multivariate pada Data Jika tred hasil plot meujukka liier, melalui titik asal da gradie medekati satu maka dapat dikategorika bahwa data tersebut megikuti distribusi ormal multivariat atau dapat juga membadigka koefisie korelasi plot (KKP) dari hasil program SAS dega tabel dalam Sharma (996), jika KKP lebih besar atau sama dega ilai pada tabel utuk α = 0,05 da, maka dikategorika bahwa data tersebut berasal dari pola distribusi ormal multivariat (Sharma, 996; Johso da Wicher, 998). Utuk megetahui bahwa data tersebut megikuti pola distribusi ormal multivariat diperguaka paket statistika SAS versi 9. tred plot chi-squared terhadap jarak turut terlihat liier, melalui titik asal da gradie medekati satu atau KKP = 0,998 lebih besar dari pada 0,985 yag meujukka bahwa gugus data rata-rata curah huja megikuti pola distribusi ormal multivariat. 4.. Peerapa Hasil Estimasi Parameter pada Data Setelah dilakuka pegolaha data dega perhituga maual (megguaka Microsoft Excel), maka didapatka hasil seperti pada matriks beriku ii : Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi, U t U U t Y = 7603,43 0,80 7,79 54,87 Koefisie regresi merupaka hasil dari perhituga U t U U t Y, dega demikia koefisie regresiya adalah : γ 0 = 7603,43 γ = 0,80 γ = 7,97 γ 3 = 54,87 Dari hasil peelitia didapatka model dega persamaa regresi sebagai berikut : Y i = 7603,43 + 0,80u i 7,79u i + 54,87u 3i 4..3 Uji goodess of fit pada Regresi Prediktor Stokastik Pada model taksira dilakuka uji goodess of fit, model tersebut memiliki ilai deviace χ a, p = χ 0.05,73 = 93.94, maka H 0 diterima da dapat disimpulka bahwa model regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik layak diguaka. 5. Peutup 5. Kesimpula Dari hasil aalisis yag telah dilakuka da berdasarka pejelasa yag telah diberika, maka dapat diambil beberapa kesimpula sebagai berikut:

9 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 9. Metode yag diguaka pada estimasi parameter model regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik yag berdistribusi ormal multivariate adalah metode Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE). Hasil estimasi parameter yag diperoleh adalah μ = x = x i Σ = x i x x i x t γ = U t U U t Y. Peerapa regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik pada data bulaa curah huja kota Makassar dalam kuru waktu 7 tahu dimulai dari tahu 006 sampai tahu 0 maka diperoleh sebuah model yaitu: Y i = 749,64 +,0u i 67,90u i + 54,6u 3i Berdasarka model, faktor yag berpegaruh positif terhadap rata-rata curah huja perbula yaitu rata-rata kelembaba udara X da rata-rata kecepata agi X 3. Sedagka faktor yag berpegaruh egatif terhadap rata-rata curah huja perbula yaitu rata-rata temperature X. 5. Sara Dalam peulisa skripsi ii, peulis melakuka estimasi model regresi liier bergada dega variabel prediktor stokastik megguaka metode MMLE (Modified Maximum Likelihood Estimators). Bagi pembaca yag bermiat dega permasalaha estimasi parameter model regresi liier bergada khususya dega variabel prediktor stokastik, disaraka utuk melakuka estimasi parameter dega megguaka metode LSE ( Least Squares Estimators). Daftar Pustaka [] Aderso, T. W A Itroductio Multivariate Statistical Aalysis. Third Editio. Page: Stadford Uiversity [] A.D. Akkaya ad M.L. Tiku, Robust estimatio i multiple liear regressio with o-gaussia oise, Automatica 44 (008), pp [3] Gujarati, Damodar N. & Porter, Daw C. 0. Dasar-dasar Ekoometrika. Jakarta: Salemba Empat. Cetaka Kedua. [4] Hogg, Robert V. ad Craig, Alle T Itroductio To Mathematical Statistics 5th Editio. Uiversity Of Lowa. [5] H.S. Sazak, M.L. Tiku, ad M.Q. Islam, Regressio aalysis with a stochastic desig variable, It. Stat. Rev. 74 (006), pp [6] Jog, P.D. & Heller, G.Z.008. Geeralized Liier Model for Isurace Data. Cambridge: Cambridge Uiversity Press. Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi,

10 0 Jural Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No. Juli 0 [7] Johso, D. M. & D. W. Wicher Applied Multivariate Statistical Aalysisi (4 th ed). Hall, New Jersey. [8] Qamarul. Islam, M. & Va Moti L, Tiku. 00. Multiple liier regressio model with stochastic desig variabels. Joural of applied Statistics. [9] Sembirig, R. K Aalisis Regresi. Badug : Istitut Tekologi Badug. [0] Satuo. 0. Peaksir Parameter Model Regresi Ivrse Gaussia dega Peubah Respo Kotiu No-Negatif. Makassar. Uiversitas Hasauddi [] Sharma, S Applied Multivariate Techiques, Wiley, New York. [] Tiro, Arif. 00. Aalisis Korelasi da Regresi. Makassar: Makassar State Uiversity Press. [3] Tirta, I. M Model statistika Liier. Jember : Uiversitas Jember Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi,