PENDUGA TERBAIK UNTUK DISTRIBUSI PARETO DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA BATAS BAWAH CRAMMER-RAO SKRIPSI

Transkripsi

1 PENDUGA TERBAIK UNTUK DISTRIBUSI PARETO DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA BATAS BAWAH CRAMMER-RAO SKRIPSI Diajua Utu Memeuhi Sebagia Persyarata Mecapai Derajat Sarjaa S-1 OLEH: RISKA JULIANI F1A PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 016 i

2 ii

3 KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah S.W.T atas segala rahmat, taufi, aruia da hidayah-nya sehigga peulis dapat meyelesaia sripsi ii dega judul Peduga Terbai utu Distribusi Pareto dega Megguaa Teorema Batas Bawah Crammer Rao serta salawat da salam peulis hatura atas Nabi Muhammad ShallallahuAlaihi Wasallam, eluarga, sahabat da para pegiutya. Peulis meyadari bahwa dalam peulisa sripsi ii tida dapat terselesaia tapa bimbiga da araha dari Ibu Dr.rer.at. Waya Somayasa, S.Si., M.Si selau pembimbig I da Bapa Rasas Raya, S.Si., M.Si selau pembimbig II yag telah baya meluaga watuya utu membimbig da megaraha peulis seja dari perecaaa higga terselesaiaya sripsi ii serta memberia doroga da motivasi epada peulis. Oleh area itu peulis megucapa baya terima asih. Ucapa terima asih juga disampaia epada yag tersayag ayah ada Umar da ibuda Narti yag telah meduug da memberia doa yag tulus ihlas serta asih sayagya epada peulis sehigga sripsi ii selesai, saudarasaudarau Rulis, Rajes, Rosa da Resvia yag selalu memberia doa da semagat, semua itu peulis medoaa mejadi pahala serta catata amal ebaia disisi Allah Subhaahu WaTa ala. Suatu hal yag tida terlupaa atas doroga da bimbigaya, serta araha da batua epada peulis, maa patutlah iraya peulis meyampaia ucapa terima asih da peghargaa epada semua piha hususya: iii

4 1. Retor Uiversitas Halu Oleo, Bapa Prof. Dr. Ir. H. Usma Riase, M.S.. Dea Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Halu Oleo, Bapa Dr. Muh. Zamru F., S.Si.,M.Si., M.Sc. 3. Kepala Laboratorium Komputasi Matematia F-MIPA Uiversitas Halu Oleo, Ibu Norma Muhtar, S.Si.,M.Si. 4. Kepala Perpustaaa F-MIPA Uiversitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Idrawati, M.Si. 5. Segeap Staf Admiistrasida Tata Usaha di Liguga F-MIPA Uiversitas Halu Oleo atas segala betu batua yag diberia epada peulis selama studi. 6. Ketua Jurusa Matematia F-MIPA Uiversitas Halu Oleo, Bapa La Gubu, S.Si.,M.Si. da seretaris jurusa Matematia, Bapa Rasas Raya, S.Si,. M.Si. 7. Bapa da Ibu Dose Jurusa Matematia serta seluruh staf pegajar di liguga F-MIPA Uiversitas Halu Oleo. 8. Rasas Raya, S.Si., M.Si selau peasehat aademi yag telah memberia pegaraha da bimbiga dalam memprograma mata uliah. 9. La Gubu, S.Si.,M.Si., Dr. Asrul Sai, M.Sc da Lilis Laome, S.Si., M.Si selau dewa peguji. 10. Sahabat selalu meemaiu dalam sua da dua: Sitti Sardiati, Mega Puspita, Adi Nurul Musahida, Ridayai, Halma da Hijrawati. 11. Tema-tema Matematia Agata 011: Nii Karlis Kartii, S.Mat (NigNo), Ade Rahayu Putri, S.Mat (AyhuBusu), Wa Ode Syarfi Tala, S.Mat (Fio), Wa Ode Desi Nurhasawati, S. Mat (Desmo) da Wahyu iv

5 Mustiaigrum, S.Mat (Wahyu), Kaslioo, S.Mat, Kalfi, S.Mat, Waya Ea Murtiawa, S.Mat, Edicu BJ, Rahmat Budiato, Raful Sudirma, S.Mat, Sartia, Samsir, S.Mat, Gafur, S.Mat, Taim, S.Mat, Pei, Arif, Usma, S.Mat, Ria A.S, S.Mat, CitrawaFitri, S.Mat, Ully Hidayati, S.Mat, Maya, S.Mat, Ea Rahmi Syamsuddi,S.Mat, Wiwi, S.Mat, Risa, Bibi, S.Mat, Silfi, S.Mat, Cici, Riri, Niig, Cara Purawati da lai-lai yag telah memberia doroga moral da spiritual serta ebersamaa yag tida terlupaa selama megiuti peruliaha. 1. Seior-seior Matematia: Ka Yudi 08, Ka Asar 08, Ka Alip 08, Ka Gusti 09, KaAgusma 09, Ka Uthy 09, Ka Aim 09,Ka Kii 09,Ka Fadly 06, Ka Diaa 10, Ka Harma 10, Ka Abi 10, Ka Derma 10,Ka Uju 10, Ka Ardy Arr 10, Ka Ulfa 10, Ka Redi 10 da semuaya yag tida dapat disebuta satu persatu. 13. Juior Matematia Agata 01 da 013: Rahmadi La Oga, Syech Muh. Syam, Ilham, Nela, Yacobus, Fadil, Selfiaa, Mail, Gusla, Irfa da semuaya yag tida dapat disebuta satu persatu. 14. Tema-tema KKN di Desa Tawarombadaa, KOLTIM: Ramadha, Irma, Ami, Herlia, Esti, Hato, Jamsir, Sariai, Mujur, Nurla, Rio, Ito Puromo, Nasru da seluruh eluarga besar Desa Tawarombadaa, KOLTIM. 15. Tema-tema da sepupuu : Ima, Arsi, Idry, Tamara, Ajeli, Sesilya, Lusi, Ire, Ega, Mau, Obi, Rahmat, yag selalu memberia semagat. Selajutya peulis meyadari bahwa peulisa sripsi ii masih jauh dari esempuraa. Sehigga dega seag hati da segala eredaha hati peulis meerima segala sara yag sifatya membagu demi peyempuraaya. v

6 Ahir ata peulis berharap semoga sripsi ii dapat bermafaat bagi semua piha yag membutuha. Kedari, 1 April 016 Peulis vi

7 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PENGESAHAN... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... ABSTRAK... ABSTRACT... Halama i ii iii vii ix x xi xii BAB I PENDAHULUAN 1.1 LatarBelaag RumusaMasalah TujuaPeelitia MafaatPeelitia... 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Fugsi Distribusi Distribusi Pareto Metode Estimasi Parameter Metode Mome Metode Masimum Lielihood Kasus Satu Parameter Kasus Parameter Kriteria Memilih Estimator Ketabiasa Keterosetrasia da UMVUE BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Watu da Tempat Peelitia Metode da Prosedur Peelitia vii

8 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Metode Mome Dalam Meduga Parameter Distribusi Pareto Metode Masimum Lielihood Dalam Meduga Parameter Distribusi Pareto Peduga terbai (UMVUE) Peduga Ta Bias Utu Distribusi Pareto Peduga dega variasi miimum Ketasamaa Cramer Rao utu distribusi Pareto Peduga Iterval Megguaa Metode Mome Berdasara Data Sampel Aca Sederhaa Iformasi Data Aalisis Data BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpula Sara... 3 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN viii

9 DAFTAR GAMBAR Halama Gambar 4.1. Grafi pdf distribusi Pareto utu berbagai ilai... 1 Gambar 4.. Desai Pegebora Daerah Esplorasi PT. Atam... 3 Gambar 4.3. Pola Kaduga Niel... 3 ix

10 DAFTAR LAMPIRAN Halama Lampira 1. Data Persetase Kaduga Niel di PT. ANTAM Lampira. Program meghitug estimasi iterval Lampira 3. Simulasi perhituga pdf distribusi Pareto x

11 PENDUGA TERBAIK UNTUK DISTRIBUSI PARETO DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA BATAS BAWAH CRAMER-RAO Oleh Risa Juliai F1A Abstra Distribusi Pareto disebut juga dega distribusi power law. Jia sebuah umpula data memilii distribusi power-law, maa diataa bahwa data-data tersebut tida sesitif terhadap rata-rata atau stadar deviasi dari data tersebut atau dega ata lai, data itu tida bersifat aca. Peelitia ii bertujua utu merumusa metode estimasi parameter-parameter dalam distribusi Pareto dega megguaa metode mome da masimum lielihood serta meetua peduga terbai (UMVUE) dalam distribusi Pareto megguaa Teorema Batas Bawah Cramer-Rao. Metode yag diguaa utu megece sifat UMVUE suatu peduga adalah etasamaa Cramer-Rao. Hasil peelitia meujua bahwa peduga utu parameter fugsi distribusi Pareto bua merupaa UMVUE sehigga bua peduga terbai utu distribusi Pareto. Kata uci : distribusi Pareto, metode peduga mome, metode peduga masimum lielihood, da UMVUE. xi

12 THE BEST ESTIMATION FOR PARETO DISTRIBUTION USING CRAMER RAO LOWER BOUNDED THEOREM By Risa Juliai F1A Abstract Pareto distributio is called as power-law distributio. Whe the data have powerlaw distributio so said the those data is t sesitive to average or stadart deviatio from those data or i other word the data is ot radom. The aim of this research is formulate estimatio parameter methods i the Pareto distributio usig the momet method, the maximum lielihood method, ad determie the best estimate (UMVUE) i the Pareto distributio usig the Cramer Rao Lower Bouded method. The method which is used to checig the UMVUE of the estimate is iequality Cramer Rao. The result is the estimatio for parameter fuctio of Pareto distributio is t UMVUE so that is t the best estimate for Pareto distributio. Keywords : Pareto distributio, the momet estimate method, the maximum lielihood estimate method, ad UMVUE. xii

13 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belaag Statistia merupaa ilmu pegetahua yag berhubuga dega tei pegumpula, pegolaha atau pegaalisa da pearia esimpula berdasara umpula data da pegaalisa yag dilaua (Sudjaa, 1996). Statistia dibagi mejadi dua yai statistia desriptif da statistia iferesial. Statistia desriptif merupaa metode-metode yag beraita dega pegumpula da peyajia seumpula data, sehigga dapat memberia iformasi yag bergua. Statistia iferesial merupaa statistia yag bereaa dega cara pearia esimpula berdasara data yag diperoleh dari sampel utu meggambara arateristi atau ciri dari suatu populasi. Pearia esimpula dapat dilaua dega cara peduga parameter (Suprato, 1985). Ada dua jeis peduga parameter, yai peduga titi da peduga iterval. Peduga titi dari sebuah parameter adalah sebuah ilai yag diperoleh dari sampel da diguaa sebagai peduga dari parameter yag ilaiya tida dietahui. Sedaga peduga iterval sebuah parameter θ merupaa suatu iterval ilai sedemiia higga ilai-ilai yag mugi dari parameter itu aa tercaup dalam iterval itu dega peluag tertetu (Suryai, 009). Dalam peduga titi ada beberapa metode yag diguaa diataraya metode mome da metode masimum lielihood. Karea ada beberapa metode utu meetua peduga titi, maa suatu parameter dapat memilii lebih dari 1

14 satu peduga titi. Ada beberapa riteria utu meetua peduga maa yag terbai atara lai etabiasa, peduga dega variasi miimum, efisiesi, da statisti cuup (Somayasa, 001:76-77). Distribusi Pareto merupaa model distribusi peluag dari suatu variabel otiu. Distribusi Pareto memilii dua parameter yag biasa disebut parameter sala da parameter betu. Distribusi Pareto umumya diguaa dalam bidag sosial, eoomi, bisis, asurasi, maupu politi (Arold, 004). Salah satu cotoh peerapaya adalah dalam mempelajari arateristi ilim estrim da terjadiya perubaha ilim. Utu megetahui cara meduga parameter betu da sala diguaa metode Maximum Lielihood Estimatio (MLE). Metode ii dapat diguaa dalam megesplorasi arateristi curah huja di wilayah peelitia, da megidetifiasi perubaha ilim (sari da sutio, 013). Para peeliti maupu admiistrator dalam bidag bisis, pedidia, pemeritaha, eoomi, maupu bidag lai, semuaya berepetiga dalam masalah pedugaa. Misalya dalam meduga bayaya siswa yag memasui pergurua tiggi periode medatag atau proporsi pemilih yag aa memilih salah satu diatara dua calo preside dalam pemiliha umum tahu lalu. Peduga ii biasaya dilaua pada parameter suatu populasi. Utu megambil esimpula dari masalah-masalah tersebut maa perlu melaua peduga parameter-parameter yag belum dietahui harga sebearya (Mali, 011). Dari fugsi distribusi Pareto dapat dicari peduga parameter dega megguaa metode masimum lielihood. Utu meetua uura ebaia suatu peduga pada distribusi Pareto, dapat diguaa Teorema Batas Bawah Cramer Rao (Zulfa, 006).

15 Peduga terbai yaitu peduga ta bias da bervariasi miimum. Peduga ta bias terbai UMVU (Uivormly Miimum Variace Ubiased) diperoleh jia setiap peduga ta bias memeuhi batas bawah Crammer Rao. Pada peelitia ii peulis tertari utu melaua peelitia lebih lajut tetag Peduga Terbai Utu Distribusi Pareto dega Megguaa Teorema Batas Bawah Cramer-Rao sebagai baha tugas ahir. 1. Rumusa Masalah Rumusa masalah dalam peelitia ii adalah : 1. Bagaimaa merumusa estimasi parameter-parameter dalam distribusi Pareto dega megguaa metode mome da masimum lielihood?. Bagaimaa megece UMVUE peduga parameter distribusi Pareto meguaa Teorema Batas Bawah Crammer-Rao? 1.3 Tujua Peelitia Tujua yag heda dicapai dari peelitia ii adalah : 1. Merumusa estimasi parameter-parameter dalam distribusi Pareto dega megguaa metode mome da masimum lielihood.. Meetua peduga terbai (UMVUE) dalam distribusi Pareto megguaa Teorema Batas Bawah Cramer-Rao. 1.4 Mafaat Peelitia Adapu mafaat dari peelitia ii diharapa dapat memberia iformasi yag bermafaat tetag hasil peduga terbai (UMVUE) dari distribusi Pareto dega megguaa metode mome da masimum lielihood sehigga memeuhi Batas Bawah Cramer Rao. 3

16 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Variabel aca X dibedaa mejadi dua jeis, yaitu varibel aca disrit da variabel aca otiu. Variabel aca disrit adalah variabel aca yag mempuyai ilai-ilai terhitug (coutable). Jadi, variabel aca disrit X dapat berilai x 1,, x R. Sedaga variabel aca otiu adalah variabel aca yag ilaiilaiya ta terhitug (ucoutable). Jadi ilai-ilai vaiabel aca otiu X dapat merupaa semua ilai dalam satu iterval misalya [a, b] atau R, dimaa bayaya bilaga yag teradug pada iterval tersebut adalah ta terhigga atau ta terbilag (Walpole da Myers, 1995:53)..1 Fugsi Distribusi Defiisi.1 (Walpole da Myers, 1995:77) Himpua pasaga terurut {x, f x } merupaa fugsi peluag atau distribusi peluag variabel aca disrit X jia utu setiap emugia hasil x memeuhi: 1. f x 0.. f(x) x = 1 3. P X = x = f x Maa distribusi peluag dari X tersebut disebut distribusi peluag variabel aca disrit X. Defiisi. (Walpole da Myers, 1995:85) Fugsi f(x) adalah distribusi peluag variabel aca otiu X, yag didefiisia di atas himpua semua bilaga real R, bila: 4

17 1. f x 0 utu semua x R,. f x dx = 1, b a 3. P a < X < b = f x dx. Dalam baya soal diperlua meghitug peluag bahwa ilai amata variabel aca X aa lebih ecil atau sama dega suatu bilaga real x. Bila F x = P(X x) utu setiap bilaga real x, maa F(x) disebut sebagai fugsi distribusi umulatif variabel aca X (Walpole da Myers, 1995:79). Defiisi.3 (Walpole da Myers, 1995:79) Distribusi umulatif F(x) suatu variabel aca disrit X dega distribusi peluag f(x) diyataa dega F x = P X x = t x f(t) utu < x <. Defiisi.4 (Walpole da Myers, 1995:87) Distribusi umulatif F(x) suatu variabel aca otiu X dega fugsi peluag f x diberia dega F x = P X x =. Distribusi Pareto x f t dt Utu < x <. Distribusi Pareto berasal dari ama seorag eoom yaitu Vilfredo Pareto ( ) yag megamati bahwa 80% eayaa di Mila dimilii oleh haya 0% dari peduduya. Distribusi Pareto disebut juga dega distribusi power law. Jia sebuah umpula data memilii distribusi power-law, maa diataa bahwa data-data tersebut tida sesitif terhadap rata-rata atau stadar deviasi dari data tersebut atau dega ata lai, data itu tida bersifat aca (Yosef, 005). Distribusi Pareto serig dipaai pada persoala uji hidup, seperti watu sampai rusa atau umur suatu ompoe yag diuur dari suatu watu tertetu sampai rusa (Jamilah, Firdaus & Sugiarto, S., 014). 5

18 Defiisi.5 (Mali, 011) 1. Jia X adalah variabel aca berdistribusi Pareto, maa fugsi epadata peluag (pdf) dari variabel aca Pareto dega parameter da adalah: f x = x +1 ; x 0 ; x <. Jia X adalah variabel aca berdistribusi Pareto, maa fugsi distribusi umulatif (CDF) dari variabel aca Pareto dega parameter da adalah : F x = 1 ; x x 0 ; x < dimaa > 0 da > 0 adalah parameterya. 3. Jia X adalah variabel aca berdistribusi Pareto, maa probabilitas bahwa X lebih besar dari beberapa ilai x dega parameter sala da parameter betu diberia oleh : P X > x = ; x x 1 ; x < Buti : dimaa > 0 da > 0 adalah parameterya. f x = F x = x x +1 ; x 0 ; x < dx x+1 x = +1 1 x dx 6

19 x = x 1 dx x = x 1+1 = x x = x x = x = x + 1 = 1 x = 1 x. Teorema.6 (Mali, 011) 1. Adaia X adalah variabel aca berdistribusi Pareto, maa: Buti : E X = μ = E X = x f x dx = 0 + x f x dx = dx x = 1 dx x = x dx 1, > 1 + x f x dx = x +1 = +1 1 = 1. 7

20 . Adaia X adalah variabel aca berdistribusi Pareto, maa: Var X = 1, > Buti : E X = x f x dx = 0 + x f x dx = x = 1 dx 1 x 1 dx = x +1 dx = 1 + x + + = =. Var X = E X E(X) + x f x dx = E X XE X + E X = E X E X + E X = E X [E X ] = 1 = 1 1 = [ 1 ] 1 = [( + 1) ] 1 = = 1 8

21 .3 Metode Estimasi Parameter Keaurata peduga parameter tergatug pada uura sampel da metode yag diguaa utu peduga parameter. Statisti yag dihitug dari sampel yag diguaa utu meduga parameter populasi disebut peduga. Suatu peduga yag bai mempuyai sifat-sifat: ta bias, osiste da efisie. Statisti yag diguaa utu meduga parameter populasi θ disebut suatu peduga titi utu θ, diotasia θ. Ada 3 metode yag baya diguaa utu peduga parameter dari populasi yaitu metode maximum lielihood, metode mome da metode uadrat terecil (Walpole, 1995)..3.1 Metode Mome Misala X~f x. ; θ 1,, θ, θ 1,, θ Ɵ adalah populasi yag mejadi perhatia ita da θ 1,, θ adalah parameter-parameter yag tida dietahui. Mome e j dari populasi ii terhadap titi pusat adalah μ j = E(X j ). Biasaya μ j bergatug pada θ 1,, θ area itu ita otasia sebagai μ j = μ j (θ 1,, θ ). j = 1,,. Misala X 1,, X adalah sampel aca dari populasi f x. ; θ 1,, θ, θ 1,, θ Ɵ. Karea μ j sagat deat dega M j, peduga θ 1,, θ dapat diturua dega meyelesaia sistem persamaa μ j = μ j θ 1,, θ = M j, j = 1,,, (.1) secara simulta utu θ 1,, θ dimaa M j adalah mome e j sampel. Selajutya peduga yag diperoleh dega cara seperti ii ita sebut sebagai peduga metode mome (momet method estimator) disigat MME. 9

22 .3. Metode Masimum Lielihood Defiisi.7 (Somayasa, 008) Misala X 1,, X merupaa variabel aca dega X 1 ~ fx i. ; θ 1,, θ, θ 1,, θ, i = 1,,. Misala x 1,, x merupaa data atau realisasi dari X 1,, X. Fugsi L Ɵ R 0, sedemiia higga L θ 1,, θ = fx 1,, x x 1,, x ; θ 1,, θ disebut fugsi lielihood. Sebagai ejadia yag lebih husus, jia X 1,, X merupaa suatu sampel aca, maa : L θ 1,, θ = fx i x i ; θ 1,, θ. (.) Selajutya, ilai-ilai dari θ 1,, θ Ɵ yag diyataa sebagai θ 1,, θ sedemiia higga L θ 1,, θ = max (θ1,,θ ) Ɵ L θ 1,, θ, (.3) disebut peduga dega lielihood terbesar (Maximum lielihood estimator). Biasaya (θ 1,..., θ ) merupaa fugsi dari data x 1,, x, misala sebagai θ i = θ i (x 1,, x ), i = 1,,. Jia fugsi-fugsi ii ita terapa terhadap sampel aca X 1,, X, maa θ i = t i X 1,, X disebut peduga dega lielihood terbesar (MLE) utu θ i, i = 1,,. Dari persamaa (.3) adalah jelas bahwa permasalaha meetua MLE adalah termasu permasalaha optimasi. Nilai-ilai dari (θ 1,...,θ ) memberia global masimum dari L θ 1,, θ yag memasimuma L θ 1,, θ juga memasimuma log-lielihood l L θ 1,, θ saja (Somayasa, 008). 10

23 .3..1 Kasus satu parameter ( = 1) Jia ruag parameter Ɵ merupaa iterval terbua, da jia L. terdeferesiala pada Ɵ, maa titi-titi estrim adalah titi-titi yag merupaa peyelesaia dari persamaa MLE, jia d l L(θ) dθ = 0. (.4) Adaia θ merupaa satu-satuya peyelesaia, maa titi θ adalah d l L(θ) dθ < 0. (.5) Jia peyelesaia dari persamaa (.4) tida tuggal, misala sebagai θ 1,, θ m, m N da semuaya memeuhi persamaa (.5) maa MLE adalah θ = arg max θ L θ. (.6) Cotoh.8 Misala X 1,, X adalah sampel aca dari populasi X~POI λ, λ > 0. fugsi lielihood dari dataya adalah l L λ = Fugsi log-lielihoodya adalah e λ λ x i = e λ λ x i. x i! x i! l L( λ) = λ + x i l λ x i! d l L λ = x dλ λ i = 0 λ = x, selajutya uji turua e dua pada titi λ = x memberia d l L λ dλ = 1 x x i = < 0. x Jadi MLE utu λ adalah λ = x (Somayasa, 008). 11

24 .3.. Kasus parameter Misala ruag parameter Ɵ merupaa himpua terbua ruag Euclid R da L. terdeferesiala pada R. Titi-titi estrim adalah titi-titi yag merupaa peyelesaia dari sistem persamaa l L θ 1,,θ θ j = 0, j = 1,,. (.7) Selajutya apaah titi-titi estrim ii memberia ilai masimum, harus diverifiasi. Utu asus =, ita guaa alat dari alulus sebagai beriut. Misala L(θ 1, θ ) terdeferesiala sampai order edua, da misala (θ 1, θ ) merupaa peyelesaia tuggal dari persamaa (.7). Misala D θ 1, θ = l L(θ 1,θ ) θ 1 l L(θ 1,θ ) θ l L(θ 1,θ ) θ 1 θ, (.8) jia D(θ 1, θ ) > 0 da l L(θ 1,θ ) θ (θ 1, θ ) < 0, maa (θ 1, θ ) merupaa MLE. 1 Dalam asus peyelesaia dari persamaa (.7) tida tuggal, semua peyelesaia harus diverifiasi apaah dia merupaa titi masimum atau bua. Selajutya MLE adalah titi (θ 1, θ ) dega L(θ 1, θ ) terbesar (Somayasa, 008)..4 Kriteria Memilih Estimator.4.1 Ketabiasa Defiisi.9 (Somayasa, 008) Misala X 1,, X merupaa sampel aca dari populasi f x. ; θ, θ Ɵ R. Misala τ Ɵ R merupaa fugsi real pada ruag parameter. Suatu peduga T t(x 1,, X ) disebut peduga ta bias jia E T = τ θ, θ ε Ɵ. Sebaliya, jia odisi ii tida dipeuhi, ita sebut T peduga bias. 1

25 .4. Keterosetrasia da UMVUE Defiisi.10 (Somayasa, 008) Misala T 1 da T merupaa peduga (tida harus ta bias) utu τ(θ). T 1 diataa lebih terosetrasi diseitar τ(θ) dari pada T jia utu setiap ε > 0 berlau, P T 1 τ(θ) < ε P T τ(θ) < ε. (.9) Defiisi.11 (Somayasa, 008) Misala A r(θ) merupaa himpua semua peduga (tida harus ta bias) utu τ(θ). T diataa palig terosetrasi diseitar τ(θ) jia utu setiap ε > 0 berlau, P T 1 τ(θ) < ε = sup TεA r(θ ) P T 1 τ(θ) < ε. (.10) Catata, misala U r(θ) merupaa himpua peduga ta bias utu τ(θ). Dega etasamaa Chebychev diperoleh P T 1 τ(θ) < ε 1 Var (T) ε, ε > 0. (.11) Jadi berdasara persamaa (.11), jia T U r(θ) maa T merupaa peduga ta bias yag palig terosetrasi diseitar τ(θ) dibadiga dega peduga laiya di dalam U r(θ). Jia dipeuhi Var T = if T U r (θ ) Var T, ε ε Ɵ, (.1) riteria ii meghasila suatu osep baru dalam pemiliha peduga terbai, yaitu osep peduga ta bias dega variasi miimum seragam (uivormly miimum variace ubiased estimator), disigat UMVUE. Selajutya peduga ta bias yag memeuhi persamaa (.1) disebut UMVUE. 13

26 Teorema.1 Batas bawah Cramer-Rao (Somayasa, 008) Misala X 1,, X merupaa sampel aca dari f. ; θ, θ ε Ɵ. Jia T t(x 1,, X ) merupaa peduga ta bias utu τ(θ), da jia τ θ dτ(θ)/dθ ada, maa batas bawah Cramer-Rao utu τ(θ) adalah Var(T) τ θ (.13) E θ l f(x i;θ) Buti. Pertama-tama didefiisia suatu fugsi u R R, dimaa u x 1,, x ; θ θ l f( x 1,, x ; θ) 1 = f x 1,, x ; θ θ f(x 1,, x ; θ) = u x 1,, x ; θ f x 1,, x ; θ = θ f x 1,, x ; θ. Selajutya di defiisia suatu uatitas aca yag masih bergatug pada θ, yaitu U u(x 1,, X ; θ). Maa E U = u( x 1,, x ; θ) f x 1,, x ; θ dx 1 dx = ( θ f x 1,, x ; θ dx 1 dx = θ f x 1,, x ; θ dx 1 dx = θ 1 = 0. Pada perhituga espetasi dari U, pertuara tada itegral da diferesial dapat dilaua area domai dari itegra-ya bergatug pada θ. Dari asumsi T ta bias terhadap τ(θ), diperoleh 14

27 τ θ = θ E(T) = θ t x 1,, x f x 1,, x ; θ dx 1 dx = t x 1,, x f x θ 1,, x ; θ dx 1 dx = t x 1,, x u x 1,, x ; θ f x 1,, x ; θ dx 1 dx = E(TU). Dari edua hasil diatas diperoleh Cov T, U = E T E U = r θ. Pada sisi lai, etasamaa Cauchy-Schwars memberia Cov(T, U) Var T Var U, sehigga Var T Cov T,U Var U = τ θ. Selajutya verifiasi lebih lajut betu Var U dari Var U. Megigat X 1,, X adalah sampel aca, maa Var U = Var θ l = Var = Var f X i; θ θ l f(x i; θ) θ l f X i; θ = E θ l f(x i; θ) Dari hasil yag terahir ii, diperoleh persamaa (.13) (Somayasa, 008). 15

28 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Watu da Tempat Peelitia Peelitia ii berlagsug dari bula Agustus 015 sampai dega Maret 016. Peelitia ii berloasi di Perpustaaa Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Halu Oleo. 3. Metode da Prosedur Peelitia Metode yag diterapa dalam peyelesaia peelitia ii yaitu metode epustaaa (library research). Metode ii diguaa peeliti utu meyelesi teori-teori yag dapat meduug poo permasalaha yag dimucula pada peelitia ii, agar pembahasaya dapat diselesaia secara tutas. Teori-teori peduug tersebut telah dibahas pada Bab II. Adapu lgah-lagah yag dilaua dalam peelitia ii adalah sebagai beriut : 1. Merumusa prosedur estimasi parameter dalam distribusi Pareto dega megguaa Metode mome. Meetua mome pertama da edua dari distribusi Pareto. Meyelesaia persamaa mome pertama da edua utu medapata peduga metode mome dari distribusi Pareto.. Merumusa prosedur estimasi parameter dalam distribusi Pareto dega megguaa Metode Masimum Lielihood. Meetua fugsi epadata peluag bersama dari distribusi Pareto. 16

29 Membetu fugsi epadata peluag bersama distribusi Pareto e dalam fugsi lielihood. Membetu fugsi lielihood edalam fugsi masimum lielihood (log lielihood). Memasimuma fugsi masimum lielihood dega meurua fugsi masimum lielihood terhadap parameter yag megiutiya. Melaua uji turua edua utu memastia fugsi lielihood telah masimum. 3. Meetua peduga terbai dalam distribusi Pareto megguaa Teorema Batas Bawah Crammer-Rao. Meujua peduga distribusi Pareto adalah ta bias utu τ. Megguaa etasamaa Cramer-Rao utu meujua bahwa peduga dari distribusi Pareto adalah peduga ta bias da bervariasi miimum (UMVUE). 4. Peduga iterval epercayaa dari distribusi Pareto. 5. Membuat esimpula. 17

30 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Peelitia ii membahas permasalaha merumusa prosedur estimasi parameter dari distribusi Pareto dega megguaa metode mome da metode lielihood, serta meetua peduga terbai (UMVUE). 4.1 Metode mome dalam meduga parameter distribusi Pareto. Pada Bab II sudah dietahui fugsi epadata peluag (pdf) dari variabel aca Pareto dega parameter > 0 da > 0 adalah f x = x +1 ; x, (4.1) 0 ; x < dimaa fugsi f(x) pada Persama (4.1) adalah distribusi peluag variabel aca otiu X, yag didefiisia di atas himpua semua bilaga real R : 1. f x 0 utu semua x R.. f x dx = 1 Buti : dx = x+1 1 x +1 dx = +1 1 x = = 1 dx x 1+1 x = x = lim ( ) = = 0 = 1 18

31 Gambar 1. Grafi Pdf distribusi Pareto utu berbagai ilai Sedaga mea da variasiya adalah μ = E X = 1, Var X = 1. Adapu lagah-lagah meduga parameter dega metode mome adalah sebagai beriut : Lagah I : Meetua mome pertama da edua dari distribusi Pareto. μ j = E X j, j = 1,,,. Utu j = 1 maa E X = 1 = X = ( 1) X = X X X = X X = (X ) = X (X ). (4.) 19

32 j = maa E X = = X (4.3) Lagah II : Meyelesaia Persamaa (4.3) dega mesubstitusi = X (X ). E X = X = X X 1 X X + X X X X X X 1 X = (X ) X (X ) X X X X (X ) + X X X X (X ) X = (X ) X (X ) + X X = X X (X ) + X X = X X + X X X = X X X X = X + X X = X X + X = X X. Jadi, peduga metode mome utu da adalah = X X, sehigga = X (X ) = X X X X = X X X X = X X X. (4.4) 0

33 4. Metode Masimum Lielihood dalam Meduga Parameter Distribusi Pareto. Adapu lagah-lagah meduga dega metode masimum lielihood adalah sebagai beriut: Lagah I: Meetua fugsi epadata peluag dari distribusi Pareto. Fugsi epadata peluag dari distribusi Pareto, f x =. (4.5) x+1 Fugsi epadata peluag distribusi Pareto Persamaa (4.5) diguaa utu mecari fugsi epadata peluag bersama dari peubah aca X 1, X, X 3,, X, yaitu f x 1,, x ;, = f x i ;,. (4.6) Lagah II: Membetu fugsi epadata peluag bersama pada Persamaa (4.6) edalam fugsi lielihood L,. Sehigga fugsi lielihood dari fugsi epadata peluag bersamaya adalah L, = f x i ;, = = x x +1 x +1 x i +1 = 1 x i +1. (4.7) 1

34 Lagah III: Membetu fugsi lielihood pada Persamaa (4.7) edalam fugsi l L, yag diamaa dega fugsi masimum lielihood (log lielihood), sehigga fugsi masimum lielihood dari fugsi lielihood tersebut diperoleh L, = l L, = l 1 x i +1 = l + l + l x i 1 = l a + l + 1 l x i. (4.8) Lagah IV: Memasimuma fugsi masimum lielihood dega meurua fugsi masimum lielihood terhadap parameter yag megiutiya yai, emudia meyamaa dega 0. da. Distribusi Pareto ii mempuyai dua parameter yag tida dietahui yai l L, = 0 l a + l ( + 1) l = 0 = 0 x i = 0 Karea dapat dilihat l L, tida terdeferesiala terhadap pada titi dimaa l L, mecapai masimum, maa MLE utu yaitu = mi x i. Selajutya dari persamaa log lielihood diatas diturua terhadap parameter dega mesubtitusi ilai parameter serta meyamaa dega ol maa diperoleh

35 Utu asus jia parameter dietahui cuup dega megestimasi parameter. Sehigga utu ilai dapat dicari dega mediferesiala fugsi l L, terhadap parameter yag megiutiya yai : l L, = 0 l a + l ( + 1) l + l l x i = 0 = x i = 0 l x i l. (4.9) Lagah V: Melaua uji turua edua utu memastia fugsi lielihood pada fugsi l L, telah masimum, l L, = + l l x i = i l x i l area i l x i l = = l x i l i = = = i i l x i l l x i l i l x i l < 0, < 0 maa peduga lielihood masimum utu adalah = i l x i l. (4.10) 3

36 4.3 Peduga Terbai (UMVUE) Utu meetua suatu peduga adalah UMVUE maa peduga tersebut harus peduga ta bias da bervariasi miimum. Sebuah peduga ta bias aa mecapai variasi miimum diatara semua peduga ta bias laiya, apabila variasi dari peduga itu lebih besar atau sama dega batas bawah Cramer-Rao Peduga ta bias utu distribusi Pareto Suatu peduga T diataa peduga ta bias utu τ θ, jia E T = τ θ, utu semua θ Ω. Sebaliya T diataa peduga bias utu τ θ, jia E T τ θ. Aa tetapi, peduga bias ii dapat diubah mejadi peduga ta bias, apabila ruas aa dialia atau ditambaha dega ostata tertetu. E X = 1 E(x i ) = 1 1 = 1 1 = 1, maa, X merupaa peduga ta bias utu τ = Peasir dega Variasi Miimum Utu membahas peasir sebuah parameter yag mempuyai variasi miimum, harus dibadiga dua buah peasir dalam hal variasiya. Dalam hal ii, edua peasir tersebut semuaya harus merupaa peasir ta bias. Misala ada dua peasir ta bias θ 1 da θ utu θ. Jia θ 1 mempuyai variasi yag lebih ecil dibadiga dega θ, maa θ 1 diataa peasir ta bias bervariasi miimum. Sebuah peasir ta bias laiya, apabila variasi dari peaisir itu sama dega batas bawah Cramer Rao. 4

37 Ketasamaa Cramer-Rao utu distribusi Pareto Salah satu cara utu megetahui suatu peduga adalah peduga terbai yaitu dega megguaa etasamaa Cramer-Rao. Batas bawah Cramer-Rao utu τ. τ = = = = 1. f x i ;, = 1 x i +1 l f x i ;, = l + l l f x i ;, l f x i ;, = + l l x i x i +1 = + l l x i = = + l l x i + l + l x i + l l x i = l a + l ( + 1) l x i l l x i l l x i 5

38 E l f x i;, = = = = E + E( l ) + E l x i l E( x i ) + E l l x i + l + var l x i + E ( l ) l E(x i) + l + l var x i + l l 1 + l = + l + l l l 1 l l 1 l (l l 1 ) 1 + l l l 1 Utu = 1, maa l = 0 sehigga l l l 1 l +. = l 1 ( (0) + ) = l 1 + l 1 = l 1. Dietahui τ = 1, maa τ = 1. 6

39 CRLB = E τ l f x i ;, = l 1 = = = = = 3 + = = Jadi, CRLB = l 1 ( ) 1 ( ) l 1 ( ) l l l l l τ E l f x i ;, = 1+ l Var X = 1 Karea Var X = = 1 = CRLB = 1+ l dapat disimpula bahwa X bua merupaa UMVUE utu = 1. 7

40 4.4 Peduga iterval megguaa metode mome berdasara data sampel aca sederhaa Misala X 1,..., X adalah sampel aca sederhaa beruura dari distribusi Pareto dega fugsi desitas pada Persamaa (4.1) area parameter sala dietahui yaitu =1 maa fugsi desitas peluag dari distribusi Pareto pada persamaa (4.1) mejadi f x = x +1 ; x 1, > 0 (4.11) Dari Persamaa (4.11) diperoleh rata-rata da variasi dari distribusi Pareto diperoleh μ = E X = 1, (4.1) Var X = 1 1 ; > (4.13) Kemudia aa dibetu peduga iterval utu dega terlebih dahulu mecari peduga titi dari dega megguaa metode mome yag diotasia dega. Dietahui bahwa variabel aca X berdistribusi Pareto dega rata-rata da variasi pada persamaa (4.1) da (4.13), dega megguaa metode mome yaitu μ = μ 1 = E(X) Dimaa μ = μ 1 = 1 X i, sehigga E X = X Utu medapata peasir titi, dega meylesaia persamaa X = (X ) = X X X = X X X X X = X X X 8

41 Ryttgard [7] telah meujua bahwa berdistribusi ormal secara asimptoti dega N, + jia > atau dapat diotasia dega + d N 0,1. Sehigga dari persamaa diatas dapat dibetu peduga iterval dua sisi yaitu : Z 0 +, + Z 0 + (4.14) Jadi persamaa diatas iterval epercayaa utu diseitar %. (Jamilah, Firdaus & Sugiarto, S., 014). 4.5 Iformasi Data. Data yag diguaa dalam tugas ahir ii diperoleh dari (Murtiawa, 015) yaitu data posisi aduga iel (Ni) di Pomalaa (Lampira 1). Data posisi iel yag diyataa dalam titi oordiat xy, dega satua meter m da aduga iel dega satua perse %. Data terdiri dari 6 titi pegebora dega jara atar titi pegebora yaitu 5 meter. Racaga atau desai pegebora yag dilaua berbetu grid teratur seperti terlihat pada Gambar

42 Gambar 4.1. Desai Pegebora Pada Daerah Esplorasi PT. Atam. Gambar 4.1. Mempresetasea suatu plot posisi dari persetase aduga iel yag diperoleh dari hasil pegebora oleh PT. Atam pada daerah eplorasiya. Pola eadaa aduga iel pada tiap titi pegeboro dapat dilihat pada Gambar 4.. Gambar 4.. Pola Kaduga Niel Pada Gambar 4. sumbu X da Y meyataa posisi dari titi pegebora pada daerah esplorasi. Sedaga sumbu vertial meyataa persetase aduga iel. Gambar 4. meujua bahwa persetase aduga iel 30

43 berubah-ubah seirig dega perubaha posisi (oordiat) titi pegebora x, y pada daerah eplorasi tersebut. 4.6 Aalisis data Lagah awal utu megotrusia iterval epercayaa utu sesuai Persamaa (4.14) megharusa populasi berdistribusi ormal, sehigga perlu dilaua uji eormala utu sampel persetase aduga iel. Berdasara peelitia yag dilaua sebelumya, data persetase aduga iel bersifat stasioer order dua yag berarti memilii distribusi yag sama. Berdasara uji Kolmogorov-Smirov yaitu utu megece data berdistribusi ormal, maa pada tigat sigifiasi 5% data persetase aduga iel berdistribusi ormal (Murtiawa, 015). Selajutya iterval epercayaa 95% utu dega meerapa Persamaa (4.14) yag diimplemetasia dalam program yag ditulis dalam software Matlap-007 (Lampira ). Sehigga diperoleh iterval epercayaa epercayaa 95% utu berisara diatara 4,896 da 7,5139 dega ilai estimasi utu 3 sebesar 6,

44 BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpula Berdasara hasil pembahasa dapat disimpula bahwa 1. parameter-parameter yag ditasir dalam distribusi Pareto meghasila peduga metode mome da masimum lielihood yag terdiri dari : a. Utu peduga metode mome utu parameter da yaitu : = X X = X X = X X X = X X X X X = X X X b. Utu peduga metode masimum lielihood utu parameter dietahui maa didapata parameter yaitu : = i l x i l. Distribusi Pareto yag memilii T = X, maa T bua merupaa UMVUE utu fugsi parameterya sehigga bua peduga terbai utu τ. 5. Sara Utu peelitia selajutya disaraa mecari peduga terbai dega UMVUE pada distribusi yag lai seperti distribusi pareto terpotog, weibull, distribusi eluarga espoesial serta meduga parameter dega megguaa metode yag lai pula seperti metode bayes, metode regresi ridge, da metode uadrat terecil. 3

45 DAFTAR PUSTAKA Arold, B.C., 004. Pareto Distributios. Joh Wiley & Sos. New Yor. Jamilah, Firdaus & Sugiarto, S Peduga Iterval Parameter Betu Dari Distribusi Pareto Berdasara Metode Mome Da Masimum Lielihood. Faultas Matematia Da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau. Peabaru. Mali, M Estimasi Parameter Distribusi Pareto dega Metode Kuadrat Terecil,Maximum Product of Spacig da Regresi Ridge.(Sripsi). Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Sumatera Utara. Meda. Murtiawa, W. E Estimasi Data Spasial Megguaa Metode Ordiary Krigig. Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Halu Oleo. Kedari. Rusydah, I. F Estimator Ta Bias Terbai pada Fugsi Distribusi Kotiu dega Teorema Batas Bawah Crammer Rao.(Sripsi). Faultas Sais da Teologi Uiversitas Islam Maulaa Mali Ibrahim. Malag. Rytgaard, M Estimatio i the Pareto Distributio. Joural of Iteratioal Actuarial Associatio, 0: Sari Y. D. W da Sutio Estimasi Parameter Geeralized Pareto Distributio Pada Kasus Idetifiasi Perubaha Ilim Di Setra Produsi Padi Jawa Timur. Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Teologi Sepuluh November. Surabaya. Somayasa, W Statistia Elemeter. Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Halu Oleo. Kedari. Somayasa, W Ditat Statistia Matematia I. Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Halu Oleo. Kedari. Sudjaa M. A Metoda Statistia edisi 6. Tarsito. Basug. Suprato M. A, J Pegatar Probabilita Da Statisti Idutif Jilid. Erlagga. Jaarta. Suryai, I Peduga Ta Bias Variasi Miimum utu Distribusi Kotiu (Sripsi). Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Halu Oleo. Kedari. 33

46 Walpole, E. R da Myers, H. R Ilmu Peluag da Statistia utu Isiyur da Ilmuwa. Edisi 4. ITB Badug. Badug. Walpole, E. R Pegatar Statistia. Edisi 3. PT Gramedia Pustaa Utama. Jaarta. Yosef, Z. B Power Laws ad Small World Pheomeo. Diases taggal 4 April Zulfa, I Apliasi Teorema Crammer-Rao Lower Boud Utu Estimator Ta Bias Terbai Pada Distribusi Keluarga Espoesial. Diases 14 Februari

47 35

48 Lampira 1. Data Persetase Kaduga Niel di PT.ANTAM, Pomalaa. No X Y Niel No X Y Niel , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,83 Sumber: Sripsi estimasi data spasial megguaa metode ordiary rigig oleh W.Murtiawa (015). 36

49 Lampira. Program meghitug peduga iterval. clear all; clc; format short t11=xlsread('data X1.xlsx');%peritah utu membaca file dari excel t=xlsread('data Y.xlsx'); a=mea(t) A=a/(a-1) z=(3^)/6; z1=3/6; Z=sqrt(z+z1); Ib=A-1.95*Z Ia=A+1.95*Z Hasil Ru a = 3 A_het = batas_bawah = batas_atas =

50 Lampira 3. Simulasi perhituga pdf distribusi Pareto utu alpa=1,3,5 da =1. > x=seq(1,8,by=0.5) > alpa1=1 > alpa=3 > alpa3=5 > =1 > 1=^alpa1 > x1=x^(alpa1+1) > pdf=alpa1*(1/x1) > =^alpa > x=x^(alpa+1) > pdf1=alpa*(/x) > 3=^alpa3 > x3=x^(alpa3+1) > pdf=alpa3*(3/x3) > plot(pdf,type="b",ylab="pdf") > lies(pdf1,type="b",col=) > lies(pdf,type="b",col=4) > title(mai="grafi Distribusi Pareto") Hasil Ru > pdf [1] [7] [13] [19] [5] > pdf1 [1] [6] [11] [16] [1]

51 [6] > pdf [1] e e e e e-0 [6] e e e e e-03 [11] e e e e e-04 [16] e e e e e-04 [1] e e e e e-05 [6] e e e e-05 39