Fungsi dan Grafik 7/23/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup

Transkripsi

1 7// Sudaatno Sudiham Pokok Bahasan mencakup Fungsi dan Gafik. Pengetian Tentang Fungsi. Fungsi Linie. Gabungan Fungsi Linie. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometis. Fungsi Tigonometi 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaitma Natual 9. Fungsi Eksponensial. Fungsi Hipebolik. Fungsi dalam Koodinat Pola Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Gafik dibatasi hana padafungsi dengan peubah bebas tunggal ang beupa bilangan nata

2 7// Fungsi Apabila suatu besaan memiliki nilai ang tegantung dai nilai besaan lain maka dikatakan bahwa meupakan fungsi panjang sebatang batang logam (= ) meupakan fungsi tempeatu (= ) Secaa umum penataan bahwa meupakan fungsi dituliskan disebut peubah tak bebas nilaina tegantung = f () disebut peubah bebas bisa benilai sembaang Walaupun nilai bisa beubah secaa bebas, namun nilai tetap haus ditentukan sebatas mana ia boleh bevaiasi Dalam pelajaan ini kita hana akan melihat ang beupa bilangan nata. Selain bilangan nata kita mengenal bilangan kompleks ang dibahas dalam pelajaan mengenai bilangan kompleks. 5 Domain Domain ialah entang nilai (inteval nilai) di mana peubah-bebas bevaiasi. Ada tiga macam entang nilai aitu: entang tebuka a b a < < b a dan b tidak temasuk dalam entang entang setengah tebuka a b a < b a masuk dalam entang, tetapi b tidak entang tetutup a b a b a dan b masuk dalam entang Sistem koodinat - atau koodinat sudut-siku (koodinat Catesian, dikemukakan oleh des Cates) Bidang dibatasi oleh dua sumbu, aitu sumbu mendata ang kita sebut sumbu- dan sumbu tegak ang kita sebut sumbu-. Bidang tebagi dalam kuadan aitu Kuadan I, II, III, dan IV Q[-,] II R[-,-] P[,] III sumbu- I IV S[,-] Posisi titik pada bidang dinatakan dalam koodinat [, ] sumbu- 7 8

3 7// Kuva dai Suatu Fungsi Kita lihat fungsi: =, 5 Setiap nilai akan menentukan satu nilai Kekontinuan Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu entang nilai tetentu, akan membentuk kuva ang tidak teputus dalam entang tesebut. P - dst. -,5,5,5 dst.,5,5,5 -,5 - Q R Kuva =, 5 Titik P, Q, R, teletak pada kuva Kemiingan kuva: (kita baca: delta pe delta ) Suatu fungsi = f() ang tedefinisi di sekita = c dikatakan kontinu di = c jika dipenuhi dua saat: () fungsi tesebut memiliki nilai ang tedefinisi sebesa f(c) di = c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; penataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) = f ( c) c ang kita baca: limit f() untuk menuju c sama dengan f(c). 9 Simeti = u() = / Tedefinisikan di = aitu = = ( untuk = adalah ) Tak tedefinisikan di = ( untuk = tidak dapat ditentukan nilaina). Jika fungsi tidak beubah apabila kita ganti dengan maka kuva fungsi tesebut simetis tehadap sumbu-;. Jika fungsi tidak beubah apabila dan dipetukakan, kuva fungsi tesebut simetis tehadap gais-bagi kuadan I dan III.. Jika fungsi tidak beubah apabila diganti dengan, kuva fungsi tesebut simetis tehadap sumbu-.. Jika fungsi tidak beubah jika dan diganti dengan dan, kuva fungsi tesebut simetis tehadap titik-asal [,]. = / -

4 7// =, tidak beubah bila diganti (simetis tehadap sumbu-) =,5 + = 9 tidak beubah jika dan diganti dengan dan (simetis tehadap titik [,]) tidak beubah jika: diganti dan diganti dengan dan dan dipetukakan diganti dengan Penataan Fungsi Bentuk Implisit Penataan fungsi Penataan bentuk implisit = + = = f () = + + = 8 Walaupun tidak dinatakan secaa eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan membeikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas disebut bentuk eksplisit. dapat diubah ke bentuk eksplisit = = / = + + ( 8) = = ± - ( 8) Fungsi Benilai Tunggal Fungsi benilai tunggal adalah fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Fungsi Benilai Banak Fungsi benilai banak adalah fungsi ang memiliki lebih dai satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas 8 - =,5 = =,,8 - - = +,8 -,8 -,8 -, = log = - - = ± = / = ± / 5

5 7// Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Secaa umum kita menuliskan fungsi dengan banak peubah-bebas: w = f (,, z, u, v) Fungsi dengan banak peubah bebas juga mungkin benilai banak, misalna ρ = + + z Fungsi ini akan benilai tunggal jika dinatakan sebagai ρ = z Sistem Koodinat Pola Selain sistem koodinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koodinat pola. Dalam sistem koodinat pola, posisi titik dinatakan oleh jaak titik ke titik-asal [,] ang dibei simbol, dan sudut ang tebentuk antaa dengan sumbu- ang dibei simbol Hubungan antaa koodinat sudut siku dan koodinat pola adalah sebagai beikut cos P sin = sin = cos = + = tan ( / ) 7 8 = ( cos ) = P[,] =,5 P[,],5 - -,5 - Bentuk ini disebut cadioid 9 5

6 7// Fungsi Tetapan Fungsi tetapan benilai tetap untuk entang nilai dai sampai +. = k = =.5 Pesamaan Gais Luus ang melalui [,] = -,5 - = m gais luus melalui [,] kemiingan gais luus "delta " kemiingan = m =, dibaca : "delta " = = m > =,5 m < - - Pegesean Kuva dan Pesamaan Gais Luus titik potong dengan sumbu- 8 - = = - - Secaa umum, pesamaan gais luus ang tegese sebesa b ke aah sumbu- positif adalah ( b) = m menunjukkan pegesean sebesa b ke aah sumbu- positif pegesean ke aah sumbu- = m + b = m + a 8 - = =( ) - - titik potong dengan sumbu- = m( a) menunjukkan pegesean sebesa a ke aah sumbu- positif Bentuk umum pesamaan gais luus pegesean ke aah sumbu-

7 7// 8 memotong sumbu di memotong sumbu di m = = = = Pesamaan gais: = atau = ( ) dapat dilihat sebagai gais melalui (,) aitu = - ang tegese keaah sumbu- atau tegese keaah sumbu- = + 5 Pesamaan Gais Luus ang melalui dua titik 8 - P [, ] Q [, ] [,] m = = m = [,8] 8 m = = = Pesamaan gais luus melalui [,] ang sejaja dengan gais ang melalui P dan Q Gais ini haus digese hingga melalui P dan Q pesamaan gais: b = atau = ( a) b = 8 = ( a) b = a = = = ( + ) = + Pepotongan Gais Luus Dua gais: = a + b dan = a + b Koodinat titik potong P haus memenuhi: b b P = a a P = ap + b P a + b = a + b atau P = ap + b = + dan = 8 Koodinat titik potong P haus memenuhi pesamaan maupun. = + = 8 = 5,5 = + = 5,5 + = P Titik potong: P[(5,5), ] P 7 Contoh-Contoh Fungsi Linie dalam Peistiwa Nata Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan mempeoleh pecepatan a F = ma Beda tegangan antaa anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V V Kuat medan listik: E = l ev Gaa pada elekton: F e = ee = l F Pecepatan pada elekton: e a = me v ( t) = v + at anoda ] gaa fungsi linie dai V l katoda pecepatan fungsi linie dai F e Apakah pecepatan elekton fungsi linie dai V? 8 7

8 7// Suatu pegas, jika ditaik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila taikan ang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaa taikan meupakan fungsi linie dai panjang taikan. F = k gaa Dalam sebatang kondukto sepanjang l, akan mengali aus listik sebesa i jika antaa ujung-ujung kondukto dibei pebedaan tegangan sebesa V. Aus meupakan fungsi linie dai tegangan. i V j = = A RA keapatan aus panjang taikan konstanta pegas V i = GV = R konduktansi esistansi Luas penampang kondukto G = R R = ρ G dan R adalah tetapan l A esistivitas panjang kondukto 9 matei masuk di a C a Peistiwa difusi: matei menembus matei lain C matei kelua di Peistiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentasi matei C a di a dan C di benilai konstan gadien konsentasi a dc J = D d Fluksi matei ang bedifusi ke aah koefisien difusi Fluksi matei ang bedifusi meupakan fungsi linie dai gadien konsentasi Inilah Hukum Fick Petama ang secaa fomal menatakan bahwa fluksi dai matei ang bedifusi sebanding dengan gadien konsentasi. Fungsi Anak Tangga Fungsi anak tangga satuan = u() = u() 5 u( ) = untuk = untuk < Fungsi ini memiliki nilai ang tedefinisi di = muncul pada = Secaa umum = ku() amplitudo 5 =,5u ( ) 5 - =,5u( ) 8

9 7// Fungsi anak tangga tegese = ku( a) Pegesean sebesa a ke aah sumbu- positif =,5u ( ) Fungsi Ramp = au() Fungsi amp satuan : = u() Fungsi amp tegese: = a( g) u( g) 5 kemiingan = u() = u() - Fungsi ini bau muncul pada = kaena ada fakto u() ang didefinisikan muncul pada = (fungsi anak tangga) kemiingan a = =,5(-)u(-) Pegesean seaah sumbu- Pulsa Pulsa meupakan fungsi ang muncul pada suatu nilai tetentu dan menghilang pada > pesamaan : = au( ) au( ) leba pulsa : leba pulsa =u(-) Pekalian Ramp dan Pulsa { ( ) u( )} = mu( ) A u amp pulsa hana mempunai nilai dalam selang lebana { u ) u( )} = ma ( maka juga akan benilai dalam selang leba pulsa saja = u( ) Deetan Pulsa: + = u(-) u(-) { u( ) u( ) } = peioda 8 = =u() =,5{u(-)-u(-)}

10 7// Gabungan Fungsi Ramp = au( ) + b( ) u( ) + c( ) u( ) = = m{u()-u(-b)} = mu() = {u()-u(-b)} b = u() ( )u( ) 5 = u() Kemiingan ang belawanan membuat benilai konstan mulai dai tetentu = ( )u( ) 7 8 Pulsa ini membuat hana benilai dalam selang = u() ( )u( ) 5 =u() lebih cepat menuun dai maka menuun mulai dai tetentu = ( )u( ) = {u() (-)u(-)}{u(-)-u(-)} 5 = u() = (-)u(-) 9

11 7// Mononom Mononom Mononom adalah penataan tunggal ang bebentuk k n Pegesean kuva mononom pangkat dua Mononom Pangkat Dua: = 5 = k = memiliki nilai minimum = Kaena,maka jika k > > jika k < < = memiliki nilai maksimum = = 5 = ( ) Pegesean ke aah sumbu- positif = ( ) Pegesean ke aah sumbu- positif

12 7// Mononom Pangkat Genap pada umumna = = = = = = Pada mononom bepangkat genap, makin besa pangkat makin melandai kuva di sekita titik puncak Jika kuva-kuva ini memiliki nilai k ang sama maka meeka bepotongan di titik P[,k] Koodinat titik potong antaa kuva Kuva : = dan = = = = dan = Kuva : = = = = dan ( ) = dan = = ( ) = 8 Kuva mononom pangkat genap simetis tehadap sumbu- 5 Mononom Pangkat Ganjil = = 5 = Pangkat ganjil teendah: linie Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kuva di sekita titik [,] aitu titik ang meupakan titik belok Jika kuva-kuva ini memiliki nilai k ang sama maka meeka bepotongan di titik P[,k] Kuva mononom pangkat ganjil simetis tehadap titik [,] Mononom Pangkat Tiga = = Mononom pangkat tiga Simetis tehadap [,] = Pegesean ke aah sumbu- positif = ( ) + = ( ) Pegesean mononom pangkat tiga ke aah sumbu- positif Polinom 7 8

13 7// Polinom Pangkat Dua 5 = =5 = = a + b + c = +5 = 5 sumbu simeti 5/ 5-5/ = +5 5 sumbu simeti - 5 = +5+ = Kuva masing-masing komponen (mononom) dai polinom: = = 5/ =5-5 Penjumlahan mononom petama dan ke-dua: Pepotongan dengan sumbu- 5 = + 5 = = + 5 Sumbu simeti dai = + 5 memotong sumbu- di: 5 = Penambahan komponen = membeikan: = Koodinat titik puncak: = 5/ =, = = 5,5 9 5 Polinom Pangkat Dua secaa umum = a +b +c Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua = a + b + c + d b ac a Sumbu simeti: b = a = a b = a + + c a b b = a + + c a a b b ac = a + a a Pegesean ke aah kii sumbu- Pegesean ke aah negatif sumbu- 5 = 9 8 = - - Mononom pangkat tiga ( ) Dan Polinom pangkat dua ( ) = Penjumlahan: = + memotong sumbu- di titik Hal ini tidak selalu tejadi Tegantung dai nilai koefisien 5

14 7// = a + b + c + d = a + b + c + d = b + c + d = = + = = a Kasus: a kuang positif Penuunan kuva di daeah negatif tidak telalu tajam Kuva telihat hana memotong sumbu- di titik Titik potong ke- jauh di sumbu- negatif - = a Kasus: a telalu positif Penuunan di daeah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daeah negatif Hana ada satu titik potong di positif 5 - = a = k a < Kuva bepotongan dengan sumbu- di tiga tiga tempat. Akan tetapi pepotongan ang ke-tiga beada jauh di daeah positif - = + Jika a telalu negatif kuva bepotongan dengan sumbu- di satu tempat 5 Simeti jika fungsi tidak beubah apabila kita ganti dengan maka kuva fungsi tesebut simetis tehadap sumbu-; jika fungsi tidak beubah apabila dan dipetukakan, kuva funsi tesebut simetis tehadap gais-bagi kuadan I dan III. jika fungsi tidak beubah apabila diganti dengan, kuva funsi tesebut simetis tehadap sumbu-. jika fungsi tidak beubah jika dan diganti dengan dan, kuva fungsi tesebut simetis tehadap titik-asal [,]. 55 5

15 7// Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometis hana nilai-nata dai dan ang kita pehatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki aka, kaena kita belum membahas bilangan kompleks + = ± = Apabila >, maka ( - ) < Dalam hal demikian ini kita membatasi hana pada entang Kaena kuva ini simetis tehadap gais =, maka ia memiliki nilai juga tebatas pada entang 57 Titik Potong Dengan Sumbu Koodinat Koodinat titik potong dengan sumbu- dapat dipeoleh dengan membei nilai =, sedangkan koodinat titik potong dengan sumbu- dipeoleh dengan membei nilai =. Apabila dengan caa demikian tidak dipeoleh nilai ataupun maka kuva tidak memotong sumbu- maupun sumbu- + = Titik potong dengan sumbu- adalah P[,] dan Q[,]. Titik potong dengan sumbu- adalah R[,] dan S[, ] = Kuva fungsi ini tidak memotong sumbu- maupun sumbu- 58 Asimptot Suatu gais ang didekati oleh kuva namun tidak mungkin menentuhna, disebut asimptot ( ) = = ± + ( ) tidak boleh < aga ( ) > hauslah < atau > Tidak ada bagian kuva ang beada antaa = dan =. Gais vetikal = dan = adalah asimptot dai kuva Jaak Antaa Dua Titik Jika P[ p, p ) dan Q[ q, q ], maka PQ = ( p q) + ( p q ) 8 [,8] PQ = ( ) + (8 ) = [,]

16 7// Paabola PQ = Bentuk kuva Q[,p] [,] (PR p) + = ( p) + = p + p + =k P[,] R[, p] = k PR = ( + p) p + p + = + p disebut paabola P teletak pada kuva Q teletak di sumbu- = p gais sejaja sumbu- R teletak pada gais ada suatu nilai k sedemikian upa sehingga PQ = PR Q disebut titik fokus paabola Gais disebut diektik Titik puncak paabola beada di tengah antaa titik fokus dan diektikna = p k = p p = k Paabola =,5 dapat kita tuliskan = =,5 Diektik: = p =, 5 Titik fokus: Q[,(,5)] = p Lingkaan Lingkaan meupakan tempat kedudukan titik-titik ang bejaak sama tehadap satu titik tetentu ang disebut titik pusat lingkaan Jika titik pusat lingkaan adalah [,] dan jai-jai lingkaan adalah = + + = pesamaan lingkaan bejai-jai bepusat di [.],5 - [,],5 (,5) + (,5) = = Pegesean titikpusat lingkaan sejauh a keaah sumbu- dan sejauh b ke aah sumbu- ( a) + ( b) = - + = Pesamaan umum lingkaan bejai-jai bepusat di (a,b)

17 7// Elips Elips adalah tempat kedudukan titik ang jumlah jaak tehadap dua titik tetentu adalah konstan Dua titik tetentu tesebut meupakan dua titik fokus dai elips XP = ( + c) + X[,] XQ = ( c) + + = b a [ a,] [,b] X[,] P[-c, ] Q[c, ] [a,] sumbu pendek = b sedehanakan XP + XQ = a kwadatkan ( + c) + + ( kita misalkan ) ( c) + = a c a = ( c) + a P[-c, ] Q[c, ] ( + c) + = a a ( c) + + ( c) + c a c + = c + c + + = a a a c di segitiga PXQ: XP + XQ = a > c a > c ( + c) + = a ( c) + b = a c kwadatkan + = b a 5 [, b] sumbu panjang = a Elips tegese b = b =,5 ( p) ( q) + = a = a = a b q =,5 (,5) (,5) + = -,5 - p =,5 Hipebola XP = XP XQ = Hipebola meupakan tempat kedudukan titik-titik ang selisih jaakna antaa dua titik tetentu adalah konstan ( + c) + ( + c) + P[-c,] ( c) + = a Q[c,] X(,) XQ = ( c) + ( + c) + = a + ( c) + ( c / a) a = ( c) + kwadatkan dan sedehanakan kwadatkan = a c a Dalam segitiga PXQ, selisih (XP XQ) < PQ = a b c < a c a = b pesamaan hipebola 7 a b = b = c a + X(,) -c c [-a,] [a,] Kuva tidak memotong sumbu- Tidak ada bagian kuva ang teletak antaa = a dan = a 8 7

18 7// Kuva Bedeajat Dua Peputaan Sumbu Koodinat Paabola, lingkaan, elips, dan hipebola adalah bentuk-bentuk khusus kuva bedeajat dua, atau kuva pangkat dua Bentuk umum pesamaan bedeajat dua adalah Hipebola dengan titik fokus tidak pada sumbu- X[,] ( + a) + ( + a) ( a) + ( a) = a Pesamaan paabola: A + B + C + D + E + F = B = C = D = F = ; A = ; E = p Lingkaan: B = D = E = ; A = ; C = ; F = Bentuk A dan C adalah bentuk-bentuk bedeajat dua ang telah seing kita temui pada pesamaan kuva ang telah kita bahas. Namun bentuk B ang juga meupakan bentuk bedeajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat beikut ini 9 P[-a,-a] Q[a,a] + a = = a Mempetukakan dengan tidak mengubah pesamaan ini. Kuva pesamaan ini simetis tehadap gais =, ( + a) + ( + a) = a + ( a) + ( a) ( a) + ( a) Kuva hipebola ini memiliki sumbu simeti ang teputa 5 o belawanan dengan aah peputaan jaum jam, dibandingkan dengan sumbu simeti hipebola sebelumna, aitu sumbu Untuk menjelaskan fungsi tigonometi, kita gambakan lingkaan-satuan, = Fungsi Cosecan csc = = sin = sin + cos Fungsi sinus P PQ sin = = PQ = O - [,] - Q - P Fungsi Cosinus OQ cos = = OQ Fungsi Secan sec = = cos PQ OQ Fungsi Tangent PQ sin tan = = OQ cos P Q PQ tan( ) = = = tan OQ OQ Fungsi Cotangent OQ cos cot = = PQ sin OQ OQ cot( ) = = = cot P Q PQ 7 7 8

19 7// Relasi-Relasi Relasi-Relasi cosα sinα cosβ sinα sinα sinβ β α β cosα sinβ - [,] cosα cosβ cosα sinα cosβ sinα sinα sinβ β α β cosα sinβ - [,] cosα cosβ sin( α + β) cos( α + β) = sin αcosβ + cosαsin β = cosα cosβ sin αsin β - - Kaena sin( β) = sin β cos( β) = cosβ sin( α β) = sin αcosβ cosαsin β cos( α β) = cosαcosβ + sin αsin β 7 7 a). sin(α) = sin( α + α) = sin αcos α + cos αsin α = sin αcos α b). cos(α) = cos( α + α) = cos α cos α sin αsin α = cos c). cos(α) = cos = cos cos(α) + = cos α sin α + sin α cos(α) = cos α cos(α) = sin α cos(α) = sin α α α α sin α d). sin( α + β) = sin αcosβ + cos αsin β sin( α β) = sin α cosβ cos αsinβ sin( α + β) + sin( α β) = sin α cosβ sin( α + β) + sin( α β) sin α cosβ = e). cos( α + β) = cos α cosβ sin αsinβ cos( α β) = cos α cosβ + sin αsinβ cos( α + β) + cos( α β) = cos α cosβ cos( α + β) + cos( α β) cosα cosβ = f). cos( α β) = cos α cosβ + sin αsinβ cos( α + β) = cos α cosβ sin αsin β 75 cos( α β) cos( α + β) = sin αsin β cos( α β) cos( α + β) sin αsinβ = 7 9

20 7// Kuva Fungsi Tigonometi Dalam Koodinat - Fungsi Sinus Fungsi Cosinus Fungsi Tigonometi Nomal = sin() peioda = cos() π π π π π - peioda π π - = sin( ) = cos( π / ) 77 o o o o sin 5 = cos(5 9 ) = cos pegesean fungsi cosinus sejauh π/ ke aah sumbu- positif 78 Fungsi Tangent Fungsi Cotangent sin cos -π/ -π/ -π/ π/ π/ π/ asimptot sin tan = = cos cot Rentang: -π/ < tan < π/ π/ < tan < π/ dst. Leba entang: π/ sin cos asimptot -π/ -π/ -π/ π/ π/ π/ cos cot = = sin tan Rentang: < tan < π/ -π/ < tan < dst. Leba entang: π/ 79 8

21 7// -,5π -π -,5π,5π π,5π asimptot -,5π -π -,5π,5π π,5π Fungsi Secan = sec( ) = cos( ) Rentang: -π/ < tan < π/ π/ < tan < π/ dst. Leba entang: π Fungsi Cosecan = csc( ) = sin( ) Rentang: < tan < π -π< tan < dst. Leba entang: π Fungsi Tigonometi Invesi 8 8 Sinus Invesi = acsin = sin atau sin = Sudut ang sinusna = Cosinus Invesi = cos = cos - π π π π Kuva lengkap,5π,5π - -,5,5 -,5π -,5π Kuva nilai utama -π/ < sin - <π/ - < < = sin cos = tan = π - π Kuva lengkap π,75π,5π,5π - -,5,5 Kuva nilai utama < cos - < π - < < = cos sin = tan = 8 8

22 7// Tangent Invesi = tan = tan Cotangent invesi = cot = cot,5π π,5π ,5π -π -,5π Kuva lengkap,5π,5π ,5π -,5π Kuva nilai utama π π < tan < + = tan sin = + cos = + dengan nilai utama < cot π,5π Kuva nilai utama < cot < π < π + = tan sin = + cos = Secan Invesi = sec = cos dengan nilai utama sec π π,75π,5π,5π Kuva nilai utama < sec < π = sec = sec + sin = cos = tan = Cosecan Invesi,5π,5π -,5π -,5π = csc = sin dengan nilai utama π Kuva nilai utama π π csc csc π = csc + = csc sin = cos = tan =

23 7// Banak peistiwa tejadi secaa siklis sinusoidal ang meupakan fungsi waktu, sepeti misalna gelombang cahaa, gelombang adio pembawa, gelombang tegangan listik sistem tenaga, dsb Oleh kaena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaan kaakteistik fungsi sinus = Asin( + ) = Asin(πf t + ) sudut fasa amplitudo fekuensi siklus Selain fekuensi siklus, f, kita mengenal juga fekuensi sudut, ω, dengan hubungan ω = πf 89 9 Fungsi sinus adalah fungsi peiodik aitu fungsi ang memenuhi hubungan Hubungan antaa fekuensi siklus dan peioda adalah: A -A T t f ( t T ) = f ( t) f = T peioda A Kaena fungsi sinus adalah fungsi peiodik maka gabungan fungsi sinus juga meupakan fungsi peiodik walaupun tidak bebentuk sinus. -A T T t s Bentuk kuva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaan kaakteistik fungsi sinus penusunna = cos f t -5 5 = + cosπft cos(π( f ) t) t t -5 5 t - = + cos f t = + cosπ ft cos(π( f ) t + π / ) Pebedaan amplitudo, fekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan 9 9

24 7// Bentuk kuva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus ang telibat Gabungan fungsi sinus ang membentuk gelombang pesegi Komponen-komponen sinus ang telibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut hamonisa Komponen sinus dengan f disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Hamonisa ke- dengan fekuensi f Hamonisa ke- dengan fekuensi f Hamonisa ke- dengan fekuensi f dst. sinus dasa (fundamental). hamonisa- dan sinus dasa + hamonisa-. hamonisa-5 dan sinus dasa + hamonisa- + hamonisa-5. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan ang disebut komponen seaah hamonisa-7 dan sinus dasa + hamonisa- + hamonisa-5 + hamonisa-7. hasil penjumlahan sampai pada hamonisa ke Spektum Leba Pita Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang peiodik ang tidak bebentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuaikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektum. Ada dua spektum aitu Spektum Amplitudo dan Spektum Sudut-fasa Makin tinggi fekuensi hamonisa, makin endah amplitudona. Fekuensi tetinggi, f maks, adalah fekuensi hamonisa ang amplitudona sudah dapat diabaikan. Fekuensi teendah, f min, adalah fekuensi komponen fundamental aitu, atau jika spektum mengandung komponen seaah Leba pita fekuensi suatu spektum adalah selang fekuensi ang meupakan selisih f maks dan f min 95 Amplitudo = + cos(πf t) + 5cos(π ft π / ) + 7,5cos(π ft + π) Suatu pesamaan gelombang: Fekuensi f f f Amplitudo 5 7,5 Sudut fasa π/ π 5 Fekuensi [ f ] Spektum Amplitudo Sudut Fasa π π/ 5 π/ π Fekuensi [ f ] Spektum Sudut-fasa 9

25 7// Deet Fouie Penguaian suatu sinal peiodik menjadi suatu spektum sinal tidak lain adalah penataan fungsi peiodik kedalam deet Fouie fungsi peiodik [ an cos(πnft) + bn sin(πnf ] f ( t) = a + t) A T t a = A / π A / π an = n genap; an = n ganjil n bn = untuk semua n Koefisien Fouie T t a = A / π A / π an = n genap; a = ganjil n n n b = A / ; bn = n A T t a = A/ an = untuk semua n A bn = untuk semua n nπ Bilangan Natual Logaitma natual adalah logaitma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, sepeti halna bilangan π, adalah bilangan-nata dengan desimal tak tebatas. Sampai dengan angka di belakang koma, nilaina adalah e =,78888 ln e = ln e a = a ln e = a 99 5

26 7// Fungsi Logaitma Natual Definisi ln Kuva = ln ln e = 5 /t ln,5,5 luas bidang antaa fungsi /t dan sumbu- ang dibatasi oleh t = dan t = = ln t = ln dt t Sifat-Sifat ln a = ln a + ln ln = ln ln a; a n ln = n ln ln e = ln e = ln benilai negatif untuk < -,5 e - -,5 - e =, Fungsi Eksponensial Antilogaitma Antilogaitma adalah invesi dai logaitma = ln Fungsi Eksponensial = e Fungsi eksponensial ang seing kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif = a e u( ) ; Fakto u() membuat fungsi ini muncul pada = Namun demikian fakto ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengetian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t =

27 7// Kuva Fungsi Eksponensial,8,,, e e,5,5,5,5 a = e Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menuun mendekati sumbu- Penuunan kuva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekita % dai nilai awalna (aitu nilai pada = ), pada saat = /a Pesamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah at t / τ = Ae u( t) = Ae u( t) ang dituliskan dengan singkat at t / τ = Ae = Ae τ = /a disebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menuun Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah % dai A fungsi eksponensial dianggap sudah benilai nol pada t = 5τ Pada saat = 5/a, kuva sudah sangat menuun mendekati sumbu-, nilai fungsi sudah di bawah % dai nilai awalna Oleh kaena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah benilai nol pada = 5/a 5 Gabungan Fungsi Eksponensial A t / τ = Ae t / τ = Ae t / τ t τ = A / ( e e ) t/τ

28 7// Fungsi Hipebolik Definisi Kombinasi tetentu dai fungsi eksponensial membentuk fungsi hipebolik, sepeti cosinus hipebolik (cosh) dan sinus hipebolik (sinh) e + e e e cosh = ; sinh = Fungsi hipebolik ang lain sinh e e tanh = = ; cosh e + e cosh e + e coth = = sinh e e Kuva-Kuva Fungsi Hipebolik = e e e = sinh = = e sech = cosh = ; e + e csch = sinh = e e 9 e + e cosh = = cosh = e = sinh = sech = cosh 8

29 7// = csch = csch = sinh = sinh = coth cosh = coth = sinh sinh = tanh = cosh Identitas Jika untuk sin dan cos kita kenal hubungan: cos + sin = untuk sinh dan cosh tedapat hubungan e + + e e + e cosh sinh = = = Bebeapa Identitas: cosh v sinh v = tanh v = sech v coth v = csch v v cosh v + sinh v = e v cosh v sinh v = e 5 9

30 7// Relasi Koodinat Pola dan Koodinat Sudut-siku Pesamaan Kuva Dalam Koodinat Pola Pesamaan lingkaan bejai-jai c bepusat di O[,] dalam koodinat sudut-siku adalah + = c P( P, P ) P [,] P P[,] P = sin P = cos [,] Dalam koodinat pola pesamaan ini menjadi ( cos) + ( sin ) = c 7 8 Pesamaan lingkaan bejai-jai c bepusat di O[a,] dalam koodinat sudut-siku adalah ( a) + = c [,] Dalam koodinat pola peswamaan ini menjadi a ( cos a) + ( sin ) = c Pesamaan lingkaan bejai-jai c bepusat di O[a,b] dalam koodinat sudut-siku adalah ( a) + ( b) = c b Dalam koodinat pola peswamaan ini menjadi [,] ( cos a) + ( sin b) = c a 9

31 7// = ( cos ) = cos P[,] P[,] Bentuk ini disebut cadioid,5,5 = P[,] = Pesamaan Gais Luus l P[,] - = π -,5 = π = π = π - O a l : cos = a

32 7// l : sin = b P[,] b O P[,] l l : cos(β ) = a l A a α O β 5 Paabola, Elips, Hipebola P[,] a β O l : cos( β) = a l 7 Eksentisitas D titik fokus diektiks Paabola: Elips: A F e s = e s < Hipebola: e s > k B P[,] k = cos Eksentisitas: e s = PF PD = k + cos Dengan pengetian eksentisitas ini kita dapat membahas sekaligus paabola, elips, dan hipebola. = es ( k + cos) = esk + es cos esk = es cos,5 k k = = (misal e,5cos cos s =,5) k = (misal e s = ) cos 8

33 7// Lemniskat dan Oval Cassini Kuva-kuva ini adalah kuva pada kondisi khusus, ang meupakan tempat kedudukan titik-titik ang hasil kali jaakna tehadap dua titik tetentu benilai konstan = π F [a,π] = π/ P[,] = F [a,] ( PF ) = ( sin ) + ( a + cos) ( PF ) = ( sin ) + ( a cos) Buat b dan a beelasi b = ka = + a + a cos Misalkan PF PF = b = + a a cos ( + a + a cos) ( + a a cos) b = = + a + a ( cos ) = + a a cos k a = + a a cos = a cos + a ( k ) = a cos ± a cos ( k ) 9 = π Lemniskat = a cos ± a cos ( k ) Kondisi khusus: k = = a cos = π/,, -, = -,5 - -,5,5,5 -, Kuva dengan a = Kondisi khusus: k >, misal k =, = π = π/,5 -,5 - = - - Oval Cassini = a cos ± a cos ( k ) Kondisi khusus: k <, misalkan k =,8 = π = π/,5, ,5 = Fungsi dan Gafik Sudaatno Sudiham - -,5