6. Fungsi Trigonometri Sudaryatno Sudirham

Transkripsi

1 6. Fungsi Tignmeti Sudaatn Sudiham 6.. Peubah Bebas Besatuan Deajat Beikut ini adalah fungsi-fungsi tignmeti dengan sudut θ sebagai peubah-bebas. = sin θ; = cs θ sin θ cs θ 3 = tan θ = ; 4 = ct θ = cs θ sin θ 5 = sec θ = ; 6 = csc θ =. cs θ sin θ Untuk menjelaskan fungsi tignmeti, kita gambakan lingkaan-satuan, aitu lingkaan bejai-jai satu. Bentuk lingkaan ini dipelihatkan pada Gb.6.. Kita menggunakan efeensi aah psitif belawanan dengan aah jaum jam; atina sudut θ makin besa jika jai-jai beputa belawanan dengan aah peputaan jaum jam. O θ - [,] -θ Q P (6.) Gb.6.. Lingkaan bejai-jai. Fungsi sinus. Dengan membuat jai-jai = OP =, maka PQ sin θ = = PQ PQ = pada waktu θ =, dan membesa jika θ membesa sampai mencapai maksimum PQ = pada waktu θ = 9. Kemudian PQ menuun lagi dan mencapai PQ = pada waktu θ = 8. Sesudah itu PQ menjadi negatif (aah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = pada waktu θ = 7, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = pada waktu θ = 36. Setelah itu keadaan akan beulang, dan satu siklus beikutna tejadi pada waktu θ = 7. Kejadian beulang lagi dan demikian seteusna. Kejadian satu siklus kita sebut satu peida. Secaa singkat kita mempeleh sin sin 7 = ; = ; sin 9 - = ; sin 36 sin8 = P = ; (6.) Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti /

2 Fungsi Csinus. Kaena telah ditetapkan =, maka OQ cs θ = = OQ OQ = pada waktu θ =, dan mengecil jika θ membesa sampai mencapai minimum OQ = pada waktu θ = /. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = pada waktu θ =. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ = pada waktu θ =,5, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = pada waktu θ =. Setelah itu keadaan akan beulang, dan satu siklus beikutna tejadi pada waktu θ = 4. Kejadian beulang lagi dan demikian seteusna. Secaa singkat cs cs 7 = ; = ; cs9 = ; cs 36 cs8 Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti / = = ; Pada Gb.6., jika sin(θ) = PQ dan cs(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagas membeikan PQ + OQ = OP =, maka Dai Gb.6.. dapat kita peleh juga (6.3) sin ( θ ) + cs ( θ) = (6.4.a) P Q PQ sin( θ) = = = sin θ OQ cs( θ) = = csθ (6.4.b) (6.4.c) Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP Q sisi tegak selalu lebih kecil dai sisi miing. Oleh kaena itulah sinθ maupun csθ akan benilai antaa dan +. Fungsi Tangent. PQ tan θ = (6.4.d) OQ P Q PQ tan( θ) = = = tan θ (6.4.e) OQ OQ Nilai tanθ akan menjadi jika θ =, dan akan menuju + jika θ menuju 9 kaena pada waktu itu PQ juga dan tan( θ) akan menuju pada waktu θ menuju 9. Jadi tanθ benilai antaa sampai +. Nilai tanθ = bila θ = 45 kaena pada waktu itu PQ = OQ; tan( θ) = jika θ = 45. Lihat pula kuva pada Gb.6.5. Fungsi Ctangent. OQ ct θ = (6.4.f) PQ OQ OQ ct( θ) = = = ct θ (6.4.g) P Q PQ Nilai ctθ akan menuju + jika θ menuju kaena PQ akan menuju walau OQ menuju ; ctθ = jika θ = 9 kaena OQ =.

3 Sebalikna ctθ akan menuju jika θ menuju kaena P Q akan menuju ; ctθ = jika θ = 9 kaena P Q menuju. Lihat pula kuva Gb.6.6. Fungsi Secan dan Csecan secθ = = (6.4.h) csθ OQ cscθ = =.4.i) sin θ PQ Nilai secθ menuju jika θ menuju 9 kaena OQ menuju dan secθ = pada waktu θ = kaena pada waktu itu OQ = atau csθ =. Sementaa itu cscθ akan menuju jika θ menuju kaena sinθ menuju. Lihat pula Gb.6.7. Relasi-Relasi. Relasi-elasi ang lain dapat kita tuunkan dengan mengunakan Gb.6.., aitu csα sinα cs sinα sinα sin α csα sin - [,] csα cs - Kaena sin( ) = sin dan ) = cs Gb.6.. Relasi-elasi sin( α + ) = sin αcs + csαsin cs( α + ) = csαcs sin αsin cs( maka kita peleh pula sin( α ) = sin αcs csαsin cs( α ) = csαcs + sin αsin (6.5) (6.6) 6.. Kuva Fungsi Tignmeti Dalam Kdinat - θ s Bilangan-nata dengan desimal ang tidak tebatas,, digunakan untuk menatakan besa sudut dengan satuan adian. Jumlah adian dalam sudut θ didefinisikan dengan pesamaan θ = s, s = θ (6.7) Jika θ = 36 maka s menjadi penuh satu keliling lingkaan, atau s =. Jadi jumlah adian dalam sudut 36 adalah. Dengan demikian maka ukuan sudut θ = 8 adalah ad. Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti 3/

4 θ = 9 adalah,5 ad. θ = adalah ( /8) ad. dst. 3 Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan adian, fungsi tignmeti akan kita gambakan pada sistem kdinat -, ang kita ketahui bahwa sumbu- adalah sumbu bilangan-nata, temasuk. Bentuk kuva fungsi sinus = sin( ) (6.8) telihat pada Gb.6.3. ang dibuat untuk nilai dai sampai +. Fungsi ini mencapai nilai maksimum + pada = / atau θ = 9, mencapai nilai nl pada = atau θ = 8, mencapai minimum (aah negatif) pada =,5 atau θ = 7, kembali nl pada = atau θ = 36 ; inilah satu peida. Gb.6.3. Kuva fungsi sinus dalam dua peida. Fungsi Csinus. Kuva fungsi csinus = cs() (6.9) telihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum + pada = atau θ =, mencapai nilai nl pada = / atau θ = 9, mencapai minimum (aah negatif) pada = atau θ = 8, kembali nl pada =,5 atau θ = 7, dan ke nilai maksimum + lagi setelah satu peida,.,5,5,5 - -,5,5 -,5 - -,5 peida -,5 Gb.6.4. Kuva fungsi csinus. Fungsi sinus maupun fungsi csinus adalah fungsi peidik dengan peida sama sebesa, dengan nilai maksimum dan minimum ang sama aitu + dan. Pebedaan antaa keduana telihat, aitu sin( ) = sin( ) sedangkan cs( ) = cs( ) (6.) Fungsi sinus simetis tehadap titik-asal [,], dan disebut memiliki simeti ganjil. Fungsi csinus simetis tehadap sumbu- dan disebut memiliki simeti genap. Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti 4/

5 Dengan mempebandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi csinus ang tegese sejaja sumbu- sebesa /. Oleh kaena itu fungsi sinus dapat kita natakan dalam csinus Fungsi Tangent. Selanjutna kita lihat fungsi = sin( ) = cs( / ) (6.) sin( ) tan( ) = cs( ) = (6.) Kaena cs() = pada = +/ dan /, maka tan() benilai tak hingga pada = +/ dan /. 3 -,5 - -,5,5, Gb.6.5. Kuva = tan() Fungsi Ctangent. Fungsi ini adalah kebalikan dai fungsi tangent. cs( ) ct( ) = = sin( ) tan( ) = (6.3) Kaena sin() = pada =, maka ct() benilai tak hingga pada =. Lihat Gb.6.6. Gb.6.6. Kuva = ct () Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi csinus. 3 -,5 - -,5,5, sec( ) = cs( ) = (6.4.a) Kuva fungsi ini telihat pada Gb.6.7.a. Pehatikan bahwa sec() benilai pada = kaena pada nilai itu cs() juga benilai. Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti 5/

6 Fungsi Csecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus. csc( ) = sin( ) = (6.4.b) Kuva fungsi ini telihat pada Gb.6.7.b. csc() benilai pada = kaa pada nilai ini sin() benilai. 3 -,5 - -,5,5,5 - - (a) = sec() ,5 - -,5,5,5 - - (b) = csc() -3 Gb.6.7. Kuva = sec() dan = csc() 6.3. Fungsi Tignmeti Invesi Sinus Invesi. Jika fungsi sinus kita tuliskan = sin(), maka fungsi sinus invesi dituliskan sebagai = acsin atau = sin (6.5) Pehatikan bahwa sin bukan beati /sin, melainkan invesi sinus ang bisa kita baca sebagai: adalah sudut ang sinusna sama dengan. Kaena fungsi sinus adalah peidik dai sampai + maka fungsi benilai tunggal. Kuva fungsi ini telihat pada Gb.6.8.a. = sin tidaklah Ia akan telihat benilai tunggal jika kita membatasi nilai ; kita hana meninjau fungsi sinus invesi pada. Dengan pembatasan ini maka kita hana telibat dengan nilai-nilai utama dai sin. Jadi nilai utama = sin ang dibatasi ini telihat pada Gb.6.8.b. = sin teletak pada sin. Kuva fungsi Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti 6/

7 Pehatikanlah bahwa pada =, = sin = kaena pada = sin() = =. Pada =, = sin = / kaena sin() = sin(/) = =. Cnth: = sin () =,5 ; = sin ( ) =,5 sin = (,5) = ; 6 sin = (,5) = 6 -,5,5 a) b) Gb.6.8. Kuva = sin Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus invesi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) telihat bahwa jika sumbu- pada Gb.6.8. kita gambakan hizntal sedangkan sumbu- kita gambakan vetikal, maka kita akan mempeleh bentuk kuva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada entang, aitu entang di mana kita membatasi nilai pada fungsi sinus invesi, atau entang nilai utama fungsi sinus invesi. Csinus Invesi. Fungsi csinus invesi kita peleh melalui hubungan cs = sin = (6.6) Hubungan ini beasal dai elasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan, maka = / α dan sin α = cs. Oleh kaena itu jika sin α = maka cs = sehingga Kaena dengan pembatasan sin cs = = - -,5,5 -,5 / α = / sin pada fungsi sinus invesi membeikan maka nilai-nilai utama dai cs akan teletak pada cs. Gb.6.9.b. -,5 mempelihatkan kuva fungsi csinus invesi pada nilai utama. Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti 7/

8 Pehatikan bahwa jika sumbu- digamba vetikal sedang sumbu- digamba hizntal, kita dapatkan fungsi csinus sepeti pada Gb.6.4. dalam entang. -,75,5,5 a) b) Gb.6.9. Kuva Tangent Invesi. Fungsi tangent invesi adalah = cs = tan (6.7) dengan nilai utama < tan - -,5,5 Untuk fungsi ini, nilai = ±( / ) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk kaena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai tesebut. Gb.6..a. mempelihatkan kuva = tan lengkap sedangkan Gb.6..b. dibatasi pada nilai,5 < <. 5. <,5, ,5 -,5, ,5 -,5 a) b) Gb.6.. Kuva = tan Jika kita mempetukakan psisi sumbu- dan sumbu- pada Gb.6..b ini, kita akan mempeleh kuva pada Gb.6.5. aitu kuva fungsi tangent, dalam entang < tan < Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent invesi. -,5 Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti 8/

9 Ctangent invesi. Fungsi ini dipeleh melalui hubungan = ct = tan (6.8) < ct < dengan nilai utama dan tidak masuk dalam pembatasan kaena pada nilai tesebut menjadi tak hingga. Hubungan (6.8) dipeleh dai segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan, maka = / α dan tan α = ct. Oleh kaena itu jika tan α = maka ct = sehingga ct = = / α = / tan Kuva fungsi ctangent invesi telihat pada Gb.6.., Gb.6.. Kuva = ct Petukaan psisi sumbu- dan sumbu- Gb.6.. ini akan membeikan bentuk kuva fungsi ctangent pada Gb.6.6. Fungsi Secan Invesi. Selanjutna kita mempeleh fungsi secan invesi sec = cs = (6.9) dengan nilai utama sec.,75,5, Gb.6.. Kuva = sec Fungsi Csecan Invesi. csc sin csc dengan nilai utama = (6.) Petukaan psisi sumbu- dan sumbu- pada gamba kuva kedua fungsi teakhi ini juga akan membeikan bentuk kuva fungsi nn-knvesina. Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti 9/

10 ,5, ,5 -,5 Gb.6.. Kuva = csc 6.4. Hubungan Fungsi-Fungsi Invesi. Hubungan antaa fungsi invesi dengan fungsi-fungsi nn-invesi dapat kita cai dengan menggunakan gamba segitiga siku-siku. ). Dai fungsi = sin, aitu sudut ang sinus-na adalah dapat kita gambakan segitiga siku-siku dengan sisi miing sama dengan sepeti telihat di bawah ini. Dai gamba ini selain fungsi cs = sin dan sin =, kita dapat peleh =, tan =, dst. ). Dai fungsi csinus invesi = cs dapat kita gambakan segitiga siku-siku sepeti di bawah ini. Selain cs = dai gamba ini kita dapatkan sin =, tan =, dst. 3). Dai fungsi = tan, kita gambakan segitiga sepeti di bawah ini. Selain tan =, kita peleh + Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti /

11 sin =, + cs =, dst + 4). Dai fungsi = sec kita gambakan Dai gamba ini kita peleh tan =, sin =, dst. Sudaatn Sudiham, Fungsi Tignmeti /