BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI A. Segitiga Data 1. engetian Segitiga Dibeikan tiga buah titik A, B, dan C yang tidak segais. Titik A dihubungkan dengan titik B, titik B dihubungkan dengan titik C, dan titik C dihubungkan dengan titik A. Bangun yang tebentuk disebut segitiga. C A B Gamba 1 : Segitiga ABC AB, BC, dan AC disebut sisi segitiga ABC. Titik A, B, dan C disebut titik sudut. Ketiga sisi segitiga saling beotongan dan membentuk sudut, yaitu A, B, dan C. Jadi, sebuah segitiga memiliki tiga titik sudut, tiga sisi dan tiga sudut.. Jenis Segitiga Bentuk segitiga ditentukan oleh anjang sisi dan besa sudut yang dimiliki, sebagai beikut : 5 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

2 a. Jenis segitiga ditinjau dai besa sudut-sudutnya Ditinjau dai besa sudut-sudutnya, segitiga dibedakan menjadi tiga yaitu : 1) Segitiga lanci yaitu segitiga yang besa tia sudutnya kuang dai 90º. ) Segitiga tumul yaitu segitiga yang besa salah satu sudutnya lebih dai 90º. 3) Segitiga siku-siku yaitu segitiga yang besa salah satu sudutnya 90º. Segitiga Lanci Segitiga Tumul Segitiga Siku-Siku Gamba : Jenis Segitiga menuut besa sudut-sudutnya b. Jenis segitiga ditinjau dai anjang sisi-sisinya Ditinjau dai anjang sisi-sisinya, segitiga dibedakan menjadi tiga yaitu : 1) Segitiga sama sisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama anjang. ) Segitiga sama kaki yaitu segitiga yang memunyai dua sisi sama anjang. 3) Segitiga sembaang yaitu segitiga yang ketiga sisinya tidak sama anjang satu sama lain. 6 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

3 Segitiga Sama Kaki Segitiga Sama Sisi Segitiga Sembaang Gamba 3 : Jenis Segitiga menuut anjang Sisi-sisinya 3. Atuan Cosinus Atuan inus dalam tigonometi adalah atuan yang membeikan hubungan yang belaku dalam suatu segitiga, yaitu antaa anjang sisi-sisi segitiga dan inus dai salah satu sudut dalam segitiga tesebut. (Wikiedia, 011) Q β α γ R Gamba 4 : Segitiga Sembaang Atuan kosinus menyatakan bahwa :.. dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi dan sisi, dan adalah sisi yang behadaan dengan sudut. Atuan yang sama belaku ula untuk sisi dan sisi :.... Dengan kata lain, bila anjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diait oleh kedua sisi tesebut diketahui maka daat 7 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

4 ditentukan anjang sisi yang lain. Jika anjang ketiga sisi diketahui, daat ditentukan besa sudut dalam segitiga tesebut. Dai atuan kosinus daat dieoleh : i ii iii Atuan kosinus : Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

5 B. Bola Temat kedudukan titik titik yang bejaak dai titik teta dinamakan emukaan bola atau bola. Lihat gamba 1, adalah usat bola dan adalah jai jai bola. Gamba 5 = usat bola ; = jai jai bola Misalkan titik A ada emukaan bola. Gais yang menghubungkan A dengan, lanjunya akan memotong emukaan bola ada titik A1. Titik A1 dinamakan titik lawan dai A, sebaliknya titik A dinamakan titik lawan dai A1. A1 A Gamba 6 A1 = titik lawan A A = titik lawan A1 9 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

6 Iisan emukaan bola dengan bidang data yang melalui usat bola, dinamakan lingkaan besa. L Gamba 7 L = Lingkaan besa Iisan emukaan bola dengan bidang yang bejaak dai usat bola lebih kecil dai jai jai bola, dinamakan lingkaan kecil. LI Gamba 8 LI = Lingkaan kecil C. Segitiga Bola Segitiga bola tejadi jika tiga buah lingkaan besa ada emukaan sebuah bola saling beotongan. Ketiga titik otong meuakan titiktitik sudut dengan sisinya yang behadaan dengan sudut-sudut segitiga bola tesebut. Dai sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga bola daat 10 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

7 ditentukan enuunan umus-umus okok untuk suatu segitiga bola yang menunjukkan unsu-unsu yang tedaat ada segitiga bola. (Ali, 1997) R Q R R O Q Q Gamba 9 : Segitiga Bola Sisi-sisi,, dan sudut sudut, Q, R satuannya adalah deajat. Dalam segitiga bola bila diketahui 3 hal maka 3 lainnya daat dicai dengan umus-umus segitiga bola. 1. Atuan Sinus Jika sebuah segitiga bola dengan sisi-sisi,, dan sudutsudut, Q, R seeti ada gamba beikut : 11 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

8 R T O V W Q U Gamba 10 : Segitiga Bola Maka dalam segitiga bola QR akan belaku hubungan : sin sin sin Q sin sin R sin ada segitiga TUW : TW = TU sin... (1) ada segitiga TVW : TW = TV sin Q... () Dai esamaan (1) dan () dieoleh : TU sin = TV sin Q... (3) ada segitiga OTU : TU = OT sin... (4) ada segitiga TVO : TV = OT sin... (5) Dai esamaan (3), (4) dan (5) dieoleh : TU sin = TV sin Q OT sin. sin = OT sin. sin Q sin. sin = sin. sin Q 1 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

9 sin sin sin Q... (6) sin Melalui caa yang sama, maka daat dibuktikan : sin sin sin R... (7) sin Dai esamaan (6) dan (7) tebukti bahwa : sin sin sin Q sin sin R sin (Hanafiah dkk, 199). Atuan Cosinus Beikut ini ditunjukkan embuktian umus-umus okok untuk suatu segitiga bola QR. Rumus-umus ini menunjukkan hubungan antaa unsu-unsu yang tedaat ada segitiga bola. (1) Rumus Cosinus untuk sisi sisi segitiga bola. =. + sin sin. =. + sin sin. Q =. + sin sin. R () Rumus Cosinus untuk sudut sudut segitiga bola. Q R = Q. R + sin Q sin R. =. R + sin sin R. =. Q + sin sin Q. (Smat, 1980) 13 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

10 O Q R T S Gamba 11 : Segitiga Bola QR ada gamba diatas (segitiga bola QR), kedudukan segitiga bola QR dibuat sedemikian ua, sehingga busu QR, busu R dan busu Q masing-masing dinyatakan sebagai sisi,,. ada titik dibuat gais singgung, masing-masing untuk sisi dan sisi, yang digambakan oleh gais S dan gais T. Gais OS dan OT masing-masing meuakan gais yang melewati bola di Q dan di R. Besa sudut SOT sama dengan anjang sisi, besa sudut OT sama dengan anjang sisi dan besa sudut OS sama dengan anjang sisi. Dai gamba segitiga bola diatas, dieoleh : 14 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

11 O S Gamba 1 :Segitiga SO OS = sisi S = O S = O O = OS OS = O OS = O... (1) O T Gamba 13 : Segitiga TO 15 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

12 OT = sisi T = O T = O O = OT OT = O OT = O... (1) Dai segitiga ST dieoleh : ST S T S. T ST... (3) ST ( O ) ( O ) ( O )( O )( ) O O O O ( O )( O )( ). O. O ( Dai segitiga SOT dieoleh :.. ) ST OS OT OS. OT SOT... (4) ST ( O ) O O O ( ( O ) O O ( O )( O )( ) ( O )( O)( ). O... ) Maka dai esamaan (3) dan (4) dieoleh : ST = ST 16 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

13 17 ).. ( O ).. ( O.... Kaena = 1 + dan = 1 +, maka :.... ) (1+ ) (1+.. ) (.. ) + (.. ) ( ) ( ). ( sin sin. 1 sin sin......sin sin.....sin sin...sin sin Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

14 . sin.sin. (Tebukti) Langkah lebih lanjut dengan caa yang sama seeti yan diuaikan diatas dan menggili kedudukan,q dan R. Sehingga dieoleh esamaan-esamaan seua diatas. D. Sistem Koodinat Letak suatu benda ada suatu bidang data daat ditentukan dengan dua gais luus yakni menggunakan kodinat x dan kodinat y. Akan tetai ada emukaan yang tidak data seeti ada bola langit tentu tidak daat ditentukan dengan dua gais luus, melainkan dengan gais lengkung (busu) sesuai dengan bentuk bola langit (Azhai, 004). Dibawah ini akan diuaikan mengenai caa menentukan letak di bola langit, yakni : 1. Sistem Koodinat Ekuato KLU B Ekuato δ α γ b KLS Gamba 14 : Sistem Koodinat Ekuato 18 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

15 Jika khatulistiwa di bumi atau bidang ekuato bumi dieanjang, maka akan memotong bola langit sehingga menjadi lingkaan khatulistiwa langit, yang bisa disebut ekuato langit. Setia titik ada ekuato langit bejaak 90 dai kedua kutub langit (Salam, 001). Bola langit dengan ekuato langit dan buju sehingga melalui (titik Aies) disebut sistem koodinat ekuato. Titik Aies adalah titik eotongan antaa lingkaan eklitika dengan lingkaan ekuato langit (Shadi, 1994).. Sistem Koodinat Eklitika KLU B β λ b Eklitika γ KLS Gamba 15 : Sistem Koodinat Eklitika Dalam sistem koodinat eklitika, lingkaan eklitika menjadi lingkaan dasa utama, sedangkan titik asalnya adalah titik Aies seeti yang digunakan dalam sistem koodinat ekuato (Azhai, 004). 19 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

16 Lingkaan eklitika adalah lingkaan semu tahunan matahai (Shadi, 1994). Kemiingan sudut eklitika tehada bidang ekuato sebesa 3,5º (Ali, 1997). Titik Aies adalah titik eotongan antaa lingkaan eklitika dengan lingkaan ekuato langit (Shadi, 1994). 3. Sistem Koodinat Hoizon Z B U Az Hoizon h b S N Gamba 16 : Sistem Koodinat Hoizon Dalam sistem koodinat hoizon, lingkaan hoizon meuakan dasa utama. Lingkaan hoizon adalah hasil eotongan bidang hoizon dengan bola langit. Titik kutub ada sistem koodinat hoizon adalah zenith (Z) dan nadi (N). osisi benda langit ada sistem ini ditentukan oleh azimuth dan altitude/tinggi. E. Deklinasi Matahai Deklinasi matahai meuakan data yang cuku enting selain ling dan buju temat. Deklinasi matahai adalah jaak matahai 0 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

17 dengan euato langit diuku seanjang lingkaan deklinasi. Lingkaan waktu deklinasi biasanya dibei da huuf Yunani δ (delta). Deklinasi sebelah utaa euato dibei da ositif ( + ) dan sebelah sela euato dibei da negatif ( + ). Haga deklinasi Titik Kutub Langit Sela adalah 90 o dan titik Kutub Langit Utaa adalah 90 o. Lambang deklinasi adalah : (baca :delta) (Salam, 001: 9). Deklinasi matahai beubah sewaktu waktu selama satu tahun, tetai ada ggal ggal yang sama, bilangan deklinasi itu kia kia sama ula. (Ali, 1997) F. Edaan Haian Matahai Matahai meuakan sebuah bing utih kekuning-kuningan dengan diamete km dan beada ada jaak km dai bumi (Anonim, 007) Edaan haian matahai tedii dai geak haian dan temuan haian, yang dijelaskan sebagai beikut : 1. Geak haian Setia hai matahai tebit di sebelah timu, lalu begeak semakin lama semakin tinggi, hingga akhinya tengah hai mencaai temat kedudukannya yang aling tinggi ada hai itu.titik tetinggi yang dicaai matahai dalam ejalanannya dinamakan titik kulminasi. Waktu itu matahai sedang bekulminasi (Ali, 1997). 1 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

18 . Temuan haian ejalanan matahai menuut aah timu baat bukanlah suatu geak yang sesungguhnya, tetai disebabkan oleh eutaan bumi sekeliling oosnya yang belaku dalam waktu 4 jam menuut aah baat timu. Kaena eutaan sekeliling oos itu, geak setia titik diatas bumi belaku didalam suatu bidang yang tegak luus ada oos bumi (Ali,1997). 3. Tinggi Matahai Yang dimaksud tinggi matahai adalah ketinggian osisi matahai yang telihat ada awal atau akhi waktu shalat diuku dai hoizon. Tinggi matahai biasanya dibei da hθ atau hanya ditulis h saja, singka dai high, yang beati ketinggian, sedangkan Θ adalah da matahai (Shadi, 1994) Selisih anta ketinggian yang tamak oleh engamat dan ketinggian yang sebenanya disebut sudut efaksi.besanya efaksi itu tegantung ada ketinggian benda langit, keadaan suhu dan tekanan udaa. ada ketinggan yang lebih kecil (makin dekat hoizon) haga efaksi makin besa (Deag RI, 1983). Nilai yang tebesa adalah 34,5 menit busu, yakni ada saat benda langit itu beada ada gais hoizon, sedang nilai yang tekecil adalah nol, yakni ada saat benda langit itu beada ada titik zenit (Deag RI, 1983). Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

19 Beikut ini disajikan gambaan mengenai edaan haian matahai. Matahai bekulminasi Zenith B A Timu KLU KLS C Baat Lingkaan ufuk Nadi Gamba 17 : ejalanan matahai dai tebit hingga tebenam teat di euato langit ( = 0) Keteangan : A : osisi matahai tebit B : osisi matahai bekulminasi (beada di titik zenith) C : osisi matahai tebenam 3 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

20 G. osisi Matahai dengan Segitiga Bola 90º - φ Z KLU t 90º - h Ts U 90º - δ Ekuato M h m Bs Hoizon S KLS N Gamba 18 : Gamba osisi Matahai dengan Segitiga Bola Keteangan : M = Matahai m = Bayangan matahai Ts = Timu sesungguhnya Bs = Baat sesungguhnya t = Sudut Waktu h = Tinggi δ = Deklinasi φ = Ling 4 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

21 H. Alikasi Rumus Segitiga Bola dalam Edaan Haian Matahai E Z Sudut waktu matahai U KLU tθ Θ M hθ M' M'' Bs Ts Hoizon KLS S Edaan Haian Matahai Q N Gamba 19 : Alikasi umus segitiga Bola dalam Edaan haian matahai Dai tuunan umus segitiga bola maka akan dieoleh alikasi umus segitiga bola dalam edaan haian matahai, yaitu : 1. Sudut waktu benda langit Bahwa yang dimaksud dengan sudut waktu benda langit adalah jaak antaa suatu benda langit dengan titik kulminasinya. (Shadi, 1994) Rumus sudut waktu benda langit : sin h t.. 5 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh

22 . Tinggi benda langit Bahwa yang dimaksud dengan tinggi benda langit adalah busu ada lingkaan vetikal yang diuku dai titik eotongan antaa lingkaan hoizon dengan lingkaan vetikal ke aah objek (benda langit). (Azhai,004) Rumus tinggi benda langit : sin h sin.sin.. t 6 Alikasi ehitungan Segitiga..., Atika Setiani uti Zumaoh