Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Transkripsi

1 Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 5: Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Orde Satu - Tim Ilmu Komputasi Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan phgunawan@telkomuniversity.ac.id

2 1 Review Problem 2 3 atihan

3 Review Problem Review problem Solusi umum PDP panas u u t µ 2, x 2 x (0, 1, t > 0 u(x, 0 = f (x, x [0, 1] u(0, t = 0, u(1, t = 0. t 0 Bagaimana jika fungsi awal f, merupakan ( bukan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin }? Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta f (x = 1. (1.1

4 Review Problem Review problem Solusi umum PDP panas Untuk mengatasi hal ini, diperlukan jumlah tak hingga kombinasi linier dari kondisi awal, yakni f (x = A k sin ( = 1 (1.2 dengan membuat N menuju tak hingga, dan kita dapatkan solusi umumnya ( ( u(x, t = A k e 2t sin. (1.3

5 Review Problem Review problem Solusi umum PDP panas Jadi problem yang akan kita bahas pada pertemuan ini adalah mencari koesien A k dari kondisi awal sebuah konstan, yakni f (x = A k sin (

6 Kita mulai dengan solusi umum PDP untuk persamaan panas 1-D, yakni ( ( u(x, t = A k e 2t sin. (2.1

7 Kita mulai dengan solusi umum PDP untuk persamaan panas 1-D, yakni ( ( u(x, t = A k e 2t sin. (2.1 Solusi di atas kana memenuhi nilai awal yang dapat ditulis sebagai berikut ( u(x, 0 = f (x = A k sin. (2.2

8 Kita mulai dengan solusi umum PDP untuk persamaan panas 1-D, yakni ( ( u(x, t = A k e 2t sin. (2.1 Solusi di atas kana memenuhi nilai awal yang dapat ditulis sebagai berikut ( u(x, 0 = f (x = A k sin. (2.2 Kembali lagi pertanyaannya adalah bagaimana menentukan koesien A k?

9 Pause Sebelum kita masuk lebih dalam bagaimana menentukan koesien A k?, maka kita akan mempelajari fungsi orthogonal.

10 Orthogonal pada selang x ema 1.2 ema Fungsi {sin ( sin } memenuhi persamaan berikut ( ( mπx sin { 0 k m, dx = k = m,, (2.3 Proof. Berikut akan dibuktikan lema diatas.

11 Fact Fungsi genap dan ganjil Akan dibahas secara singkat mengenai fungsi genap dan ganjil.

12 Fact Fungsi genap dan ganjil Akan dibahas secara singkat mengenai fungsi genap dan ganjil. Fungsi dikatakan genap jika f ( x = f (x

13 Fact Fungsi genap dan ganjil Akan dibahas secara singkat mengenai fungsi genap dan ganjil. Fungsi dikatakan genap jika Fungsi dikatakan ganjil jika f ( x = f (x f ( x = f (x

14 Fact Fungsi genap dan ganjil Akan dibahas secara singkat mengenai fungsi genap dan ganjil. Fungsi dikatakan genap jika Fungsi dikatakan ganjil jika f ( x = f (x f ( x = f (x Contoh: f (x = x 2 dan g(x = cos(x adalah fungsi? f (x = x 3 dan g(x = sin(x adalah fungsi?

15 Fact Fungsi genap dan ganjil integral of even/odd function If f (x is an even function then, f (xdx = 2 If f (x is an odd function then, f (xdx (2.4 0 f (xdx = 0 (2.5

16 Orthogonal ( Kita tahu bahwa fungsi {sin } merupakan fungsi ganjil. Sehingga perkalian dua buah fungsi ganjil adalah fungsi genap. Jadi sin ( ( mπx sin dx = 2 0 ( ( mπx sin sin dx (2.6

17 Orthogonal k = m Untuk kasus k = m ( sin 2 dx = 2 = ( sin 2 0 ( cos dx (2.7 dx (2.8 = sin(2kπ = (2.9 2kπ

18 Orthogonal k m Untuk kasus k m = sin 0 ( ( mπx sin cos ( (k mπx dx = 2 ( (k + mπx cos 0 ( ( mπx sin sin dx (2.10 dx (2.11 = 0 (2.12

19 Untuk sembarang fungsi f (x, maka fungsi f (x dibentuk menjadi fungsi yang ganjil yaitu penjumalan fungsi sin: f (x = A k sin (. (2.13 ( mπx lalu dikalikan dengan sin, m {1, 2, 3, }, sehingga didapat, ( mπx f (x sin = ( ( mπx A k sin sin. (2.14

20 Selanjutnya dapat kita integralkan kedua sisi persamaan dari x = sampai dengan x =, sehingga didapat, f (x sin ( mπx Thanks to Calculus, f (x sin ( mπx dx = dx = ( ( mπx A k sin sin ( A k sin ( mπx sin dx. (2.15 dx. (2.16

21 Dari ema 2.1, kita lihat bahwa integral disebelah kanan bernilai tidak nol jika memenuhi k = m, yaitu bernilai.

22 Dari ema 2.1, kita lihat bahwa integral disebelah kanan bernilai tidak nol jika memenuhi k = m, yaitu bernilai. Sehingga untuk kasus k = m, didapat f (x sin ( mπx dx = A m. (2.17

23 Dari ema 2.1, kita lihat bahwa integral disebelah kanan bernilai tidak nol jika memenuhi k = m, yaitu bernilai. Sehingga untuk kasus k = m, didapat f (x sin ( mπx Sehingga dapat ditulis sebagai berikut A m = 1 f (x sin dx = A m. (2.17 ( mπx dx. (2.18

24 Pause Pause...

25 Kembali lagi ke hasil sebelumnya, kita dapatkan koesien A m, m {1, 2, } sebagai berikut A m = 1 f (x sin ( mπx dx. (2.19

26 Kembali lagi ke hasil sebelumnya, kita dapatkan koesien A m, m {1, 2, } sebagai berikut A m = 1 dengan membuat fungsi f (x = dibentuk A m = 2 f (x sin 0 ( mπx A k sin ( mπx f (x sin dx. (2.19 (, maka dapat dx. (2.20

27 Kesimpulan Deret Fourier untuk fungsi f (x pada x diberikan sebagai mendapatkan f (x = A k sin A k = 1 ( f (x sin = 2 ( f (x sin 0 (. (2.21 dx k {1, 2, }. (2.22 dx k {1, 2, }. (2.23

28 Contoh Diberikan kembali fungsi awal temperatur pada sebuah batang kawat tipis yaitu f (x = 1 dengan panjang kawat = 1 m.

29 Contoh Diberikan kembali fungsi awal temperatur pada sebuah batang kawat tipis yaitu f (x = 1 dengan panjang kawat = 1 m. Dengan menggunakan (2.22, kita peroleh A k = (1 sin( dx = 2 (1 cos(kπ. (2.24 kπ

30 Contoh Diberikan kembali fungsi awal temperatur pada sebuah batang kawat tipis yaitu f (x = 1 dengan panjang kawat = 1 m. Dengan menggunakan (2.22, kita peroleh A k = Sehingga didapat (1 sin( dx = 2 (1 cos(kπ. (2.24 kπ A k = { 4 kπ for k = 1, 3, 5,, 0 for k = 2, 4, 6,, (2.25

31 Contoh Diberikan kembali fungsi awal temperatur pada sebuah batang kawat tipis yaitu f (x = 1 dengan panjang kawat = 1 m. Dengan menggunakan (2.22, kita peroleh A k = Sehingga didapat (1 sin( dx = 2 (1 cos(kπ. (2.24 kπ A k = { 4 kπ for k = 1, 3, 5,, 0 for k = 2, 4, 6,, (2.25 dan dibentuk ke dalam persamaan kondisi awal, didapat f (x = 1 = 4 1 sin((2k 1πx. (2.26 π 2k 1

32 Contoh Jadi solusi umumnya adalah u(x, t = 4 π 1 2k 1 e ((2k 1π2t sin((2k 1πx. (2.27

33 Contoh Figure : Solusi dari persamaan panas dengan f (x = 1 = 4 1 π sin((2k 1πx untuk t = 0, 0.01 dan 0.1 2k 1 dengan berhingga deret N = 100.

34 atihan atihan Carilah solusi umum untuk masalah PDP panas berikut: untuk nilai 1. f (x = f (x = 1 x 3. f (x = x 2 u u t µ 2, x 2 x (0, 1, t > 0 u(x, 0 = f (x, x [0, 1] u(0, t = 0, u(1, t = 0. t 0

35 End of presentation!