DeretTaylor dananalisisgalat

Transkripsi

1 DeretTaylor dananalisisgalat Kuliah ke-2 IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi MunirIF-STEI ITB) 1

2 DeretTaylor Kakastools) yang sangat penting dalam metode numerik adalah derettaylor. Deret Taylor adalah kakas yang utama untuk menurunkan suatu metode numerik. Dere Taylor berguna untuk menghampiri fungsi ke dalam bentuk polinom Fungsi yang rumit menjadi sederhana dengan deret Taylor 2

3 Definisi Deret Taylor Andaikanfdansemuaturunannya, f,f, f,..., menerusdi dalamselang[a, b]. Misalkan 0 [a, b], makauntuknilainilaidisekitar 0 Gambar2.1) dan [a, b], f) dapat diperluasdiekspansi) ke dalam deret Taylor: f 2 3 m 0) 0) 0) 0) m) ) = f 0 ) f ' 0) f " 0) f ''' 0)... f )... 1! 2! 3! m! 0 Misalkan- 0 = h, maka: 0 f 2 h h h h m) ) = f 0 ) f ' 0 ) f " 0 ) f ''' 0 )... f )... 1! 2! 3! m! 0 3 3

4 Contoh1: Hampirifungsif) = sin) kedalamderettaylor di sekitar 0 = 1. Penyelesaian: f) = sin), f ) = cos), f ) = -sin), f ) = -cos), f 4) ) = sin), 2 1) 1) 1) 1) sin ) = sin1) cos1) sin1)) cos1)) sin1)... 1! 2! 3! 4! Biladimisalkan 1 = h, maka, 2 h sin ) = sin1) hcos1) sin1)) 2 = h h h h 4... h h cos1)) sin1)

5 Kasuskhusus: jika 0 = 0, makaderetnyadinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku. Contoh2: sin), e, cos) danln 1) masingmasing dalam deret Maclaurin ) 0) 0) 0) sin ) = sin0) cos0) sin0)) cos0)) sin0)... 1! 2! 3! 4! 3 = 3! ! e ) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) = e e e e e 1! 2! 3! 4! = 1 2 2! 3 3! !... 5

6 0) 0) 1) 0 1! 0) 1) 0 ln 1) ln =... 6! 4! 2! 1 ) cos =... ) 1) 60 4! 0) 1) 20 3! 0) ) 1) 0 2! 0) = 6

7 Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka-untukalasanpraktis-derettaylor dipotongsampaisukuordetertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh: 2 0) 0) 0) n) f ) f 0) f ' 0) f " 0)... f 0) Rn ) 1! 2! n! n R n ) = n 1) 0) n 1) f c), n 1)! 0 < c< Galat/residu/sisa 7

8 DeretTaylor terpotongdisekitar 0 = 0 disebutderet Maclaurin terpotong. Contoh 3: sin) = - 3 /3! 5 /5! R 5 ); e = 1 2 /2! 3 /3! 4 /4! R 4 ); cos) = 1-2 /4! 4 /6!- 6 /6! R 6 ); ln1) = - 2 /2 3 /3-4 /4; R 4 ); yang dalamhalini, 0 < c<. R 5 ) = cos c) 6! R 6 c R4 ) = e 5! 7 R 6 ) = cos c ) 7! 5 5 ) = c 1) 4 5 5! 8

9 Contoh 4: Hitung hampiran nilai cos0.2) = Jawab: cos0.2) / / /720 =

10 AnalisisGalat Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiranaproksimasi) Hampiran terhadap solusi eksak Oleh karena itu, solusi numerik mengandung galat. Galat ε): perbedaan antara solusi hampiran dengan solusi eksak. Definisi: ε = a aˆ Galat mutlak: ε = a aˆ 10

11 ε ε Galat relatif: ε R = atau ε R = 100% a a Galatrelatifhampiran: ε ε RA = aˆ Contoh 5: Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galatrelatifhampiran. Penyelesaian: galat= 10/ = 10/3 3333/1000 = 1/3000 = galat mutlak = = galat relatif = 1/3000)/10/3) = 1/1000 = galat relatif hampiran = 1/3000)/3.333 = 1/

12 Sumber utama galat: 1. Galat pemotongantruncation error) 2. Galat pembulatanround-off error) Galat pemotongan: galat yang ditimbulkan akibat penggunaanhampiransebagaipenggantiformula eksak Contoh: hampiran cos) dengan deret McLaurin: cos ) ! 424! ! 18! ! 4 nilai hampiran 6 8 pemotongan 10 galat pemotongan 12

13 Galat pembulatan: galat yang timbul akibat keterbatasan komputer dalam merepresentasikan bilanganriil. Contoh 6: 1/6 = , dalam mesin dengan6-digit direpresentasikansebagai Galat pembulatan = 1/ = Contohdalamsistembinermisalnya1/10 = direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas. 13

14 Representasi bilangan riil di dalam komputer: 1. Bilangan titik-tetapfied-point) Setiap bilangan riil disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap Contoh: , 0.013, Bilangan titik-kambangfloating-point) Setiapbilanganriildisajikandenganjumlahdigit berarti yang sudah tetap Contoh: ,

15 Angka Benasignifikan) Angkabenaadalahangkabermakna, angkapenting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti Contoh: memiliki5 angkabenayaitu4, 3, 1, 2, 3) memiliki4 angkabenayaitu1, 7, 6, 4) memiliki 2 angka benayaitu 1, 2) memiliki6 angkabenayaitu2, 7, 8, 3, 0, 0) memiliki7 angkabenayaitu2, 7, 0, 0, 0, 9, 0) memiliki 2 angka benayaitu 9, 0) 1360, 1.360, semuanya memiliki 4 angka bena 15

16 Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentuangkabena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaianangkabenasisanyaitulahyang menimbulkangalatpembulatan. 16

17 Galat total: adalah galat akhir pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Contoh7: cos0.2) / / galat galat pemotongan pembulatan Pada contoh di atas, galat pemotongan timbul karena kitamenghampiricos0.2) sampaisukuordeempat, sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkannilaihampirankedalam7 digit bena. 17

18 Bilangan Titik-Kambang Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-kambang Bilangan titik-kambang a ditulis sebagai a = ±m B p = ±0.d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6...d n B p m= mantisariil), d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6...d n adalahdigit mantisa. B= basis sistembilanganyang dipakai2, 8, 10, 16, dsb) p= pangkatberupabilanganbulat), dari P min sampaip maks Contoh:

19 Bilangan Titik-Kambang Ternormalisasi Syarat: digit mantis yang pertama tidak boleh 0 a= ±m B p = ±0.d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6...d n B p 1 d 1 b -1 dan0 d k B-1 untukk> 1. Padasistemdesimal, 1 d 1 9 dan 0 d k 9, sedangkanpadasistembiner, d 1 =1dan0 d k 1. Contoh8: ,

20 Pembulatan pada Bilangan Titik-Kambang Bilangan riil di dalam komputer mempunyai rentang nilai yang terbatas. Bilangan titik-kambang yang tidak dapat mencocoki satudarinilai-nilaididalamrentangnilaiyang tersedia, dibulatkan ke salah satu nilai di dalam rentang. Galat yang timbul akibat penghampiran tersebut diacu sebagai galat pembulatan. Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai oleh komputer, yaitu pemenggalanchopping) dan pembulatankedigitterdekatin-rounding). 20

21 Pemenggalanchopping) Misalkan a= ±0.d 1 d 2 d 3... d n d n p fl chop a) = ±0.d 1 d 2 d 3... d n-1 d n 10 p Contoh: π= fl chop π) = digit mantis) Galat=

22 Pembulatan ke digit terdekatin-rounding) Misalkana= ±0.d 1 d 2 d 3... d n d n p fl round a) = ±. d d d p ˆ d n dˆn = d n d n 1 d n d n 1, jika d n 1, jika d, jika d, jika d n 1 n 1 n 1 < 5 > 5 = 5 dan = 5 dan n genap n ganjil 22

23 Contoh9: a= : di dalam komputer 7 digit dibulatkan menjadi fl round a) = di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi fl round a) = di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi fl round a) = di dalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi fl round a) =

24 Aritmetika Bilangan Titik-Kambang Kasus1: Penjumlahantermasukpengurangan) bilangan yang sangat kecil keatau dari) bilangan yang lebih besar menyebabkan timbulnya galat pembulatan. Contoh 10: Misalkan digunakan komputer dengan mantis 4 digit basis 10). Hitunglah =

25 Penyelesaian: = = = in-rounding chopping Galatpembulatan = ) ) = Galatpemenggalan= ) ) =

26 Tips: untuk menjumlahkan deret bilangan, selalu jumlahkan dari yang kecil-kecil lebih dahulu, baru menjumlahkan dengan bulangan yang lebih besar Contoh: = = 1.0 i= kali Jumlahkan dulu sebanyak 1000 kali, baru jumlahkandengan1.0 26

27 Kasus2: Penguranganduabuahbilanganyang hampirsamabesarnearly equal). Biladuabilangantitik-kambangdikurangkan, hasilnya mungkin mengandung nol pada posisi digit mantis yang paling berartiposisidigit paling kiri). Keadaan ini dinamakan kehilangan angka bena loss of significance). Baik pemenggalan maupun pembulatan ke digit terdekat menghasilkan jawaban yang sama. 27

28 Contoh11: Kurangi dengan angkabena) Penyelesaian: normalisasi: in-rounding chopping angka bena) Hasil yang diperoleh hanya mempunyai 3 angka bena. Jadi kita kehilangan 2 buah angka bena 28

29 Contoh 12: Kurangi dengan angka bena). Penyelesaian: = = angkabena) in-rounding chopping Jadi, kita kehilangan 6 angka bena!. 29

30 Contoh13. Diberikan f ) = 1. ) Hitunglahf500) denganmenggunakan6 angkabenadanpembulatankedigit terdekat. Penyelesaian: f 500) = ) = ) = ) = empatangkabena) solusi eksaknya adalah ) Hasil yang tidak akurat ini disebabkan adanya operasi pengurangan dua bilangan yang hampir sama besar, yaitu

31 Cara komputasi yang lebih baik: ) 1 ) f = ) 1 ) 1 ) 1 = ] ) 1) [ 2 2 = 31 ) 1 ] ) 1) [ = ) 1 p = = = = ) p =

32 Soal Latihan. Carilah cara yang lebih baik untuk menghitung: i) f) = - sin))/tan) untuk mendekati nol ii) f) = - 2 -a) untukyang jauhlebih besardaria iii) f) = cos 2 )-sin 2 ) untukdisekitar π/4 iv) f) = log 1) -log) untukyang besar v)1 α) 1/2-1, α 0.01 sampaienamangkabena vi) sinα ) -sinα) untukyang kecil vii)a ) n -a n untukyang kecil viii) ) 3) -1 untuk= 2.72 i) 1 cos)/2 untuk π/4 32

33 Kondisi BurukIll Conditioned) Suatupersoalandikatakanberkondisiburukill conditioned) bila jawabannya sangat peka terhadap perubahan kecil data misalnya perubahan kecil akibatpembulatan). Ciri-ciri: Bila kita mengubah sedikit data, maka jawabannyaberubahsangatbesardrastis). Lawan dari berkondisi buruk adalah berkondisi baik well conditioned). Suatu persoalan dikatakan berkondisi baik bila perubahan kecil data hanya mengakibatkan perubahankecilpadajawabannya. 33

34 Contoh: persoalan menghitung akar persamaan kuadrata 2 b c = 0denganmengubahnilaic i) = 0 1 = dan 2 = ii) = 0 1 = 2 = iii) = 0 akar-akarnyaimajiner! Kesimpulan: persoalan akar-akar persamaan kuadrat di atas berkondisi buruk 34

35 Kapankahakarpersamaanf) = 0 berkondisiburuk? Misalkan f) diubah sebesar ε sehingga akarnya berubah sebesar h: f h) ε = 0 Bila karena pengubahan ε yang sangat kecil mengakibatkan h menjadi besar, dikatakan persoalan mencari akar f) = 0 berkondisi buruk 35

36 Contoh lain: persoalan mencari mencari solusi sistem persamaan lanjar i) y = y= Solusi: = y= ii) y = y = iii) y = 2 Solusi: = 12, y= -10 y= Solusi: tidak ada iv) y = 2 y = 2 Solusi: tidakberhingga, yaitudisepanjanggaris y= 2 36

37 f) f h 2 ) ε 2 f h 1 ) ε 1 c 37