IntegrasiNumerik. Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I. Oleh; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) (Bag. 2)

Transkripsi

1 IntegrasiNumerik (Bag. ) Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB)

2 Singularitas Kita akan kesulitan melakukan menghitung integrasi numerik apabilafungsitidakterdefenisidix = t, dalamhalinia < t < b. Misalnya dalam menghitung integrasi I = 0 cos( x) dx x Fungsif(x) = cosx/ xjelastidakterdefinisidix= 0 (ujung bawahselang).

3 Begitu juga pada perhitungan integrasi I = dx x 0.5 menggunakanh = 0., titikdiskritdix= tidakdapatdihitung sebabfungsif(x)= /(x-) tidakterdefinisidix =. Fungsiyang tidakterdefinisidix = t,untuka t b, dinamakan fungsi singular. Singularitas harus dihilangkan dengan cara memanipulasi persamaanfungsisedemikiansehinggaiatidaksingular lagi. 3

4 Contoh: Ubahlah fungsi integrasi I = 0 cos( x) dx x Penyelesaian: sehingga menjadi tidak singular lagi. Fungsi f(x) = cos(x)/ x tidakterdefenisidix= 0. Misalkan x = u dx = udu Batas-batas selang integrasi juga berubah x= 0 u= x= 0 x= u= x= 4

5 maka I = 0 cos( x) dx x cos( u ) = (u) du u I = 0 cos(u ) du tidak singular lagi 0 5

6 Contohlain: Ubahlah fungsi integrasi berikut sehingga menjadi tidak singular: I = 0 dx 3 ( sin x)( x ) Penyelesaian: Fungsi f(x) = / (sin x)( - x 3 ) tidak terdefenisi di x = 0 dan x = Pecah integral I menjadi dua bagian, I dan I : I = 0 dx 3 ( sin x)( x ) = a 0 dx 3 ( sin x)( x ) + a dx 3 ( sin x)( x ) I, singular di x = 0 I, singular x = dengan 0 < a < 6

7 Misalkan x = u dx = u du Batas-batas integrasi Maka, x = a u = a x = 0 u = 0 I = a 0 u du 6 ( sin u )( u ) = a 0 u / u 6 ( sin u )( u ) u du 7

8 Mengingat lim sin( u u 0 u ) = maka I = u 0 a 6 ( ) du tidak singular lagi I = a 3 ( sin x)( x ) tidak dapat diterapkan pemisalan x = u² 8

9 Uraikan ( x 3 ) menjadi ( x)( + x + x ): I = dx + a ( sin x)( x)( + x x ) Misalkan - x = u - dx = u du Batas-batas integrasi : x = u = (- x) = 0 x = a u = (- a) 9

10 I = a 0 u du [ ( )] sin u u + ( u ) + ( u ) = a 0 u du 4 [ sin( u )] ( 3-3u u ) = a 0 du 4 [ sin( u )] ( 3-3u u ) tidak singular lagi 0

11 Penerapan Ekstrapolasi untuk Integrasi Misalkan I(h) adalah perkiraan nilai integrasi dengan jarak antaratitikdata adalah h(h< ). Dari persamangalatkaidahintegrasi(trapesium, Simpson /3, dll) yang dinyatakan dalam notasi orde: E = O(h p ) dapat dilihat bahwa galat E semakin kecil bila digunakan h yang semakinkecil, sepertiyang ditunjukkanolehdiagram garis berikut: arah h 0... h/8 h/4 h/ h

12 Nilai sejati integrasi adalah bila h = 0, tetapi pemilihanh = 0 tidakmungkinkitalakukandidalam rumus integrasi numerik sebab ia akan membuat nilaiintegrasisamadengan0. Yang dapat kita peroleh adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik dengan melakukan ekstrapolasikeh= 0. Ada dua macam metode ekstrapolasi yang digunakan untuk integrasi:. Ekstrapolasi Richardson. Ekstrapoalsi Aitken

13 Ekstrapolasi Richardson Pandang kembali kaidah trapesium b a h f ( x) dx = ( f0 + n i= f i b a + f n ) - ( ) ( ) f " t h yang dapat ditulis sebagai b a f ( x) dx = I (h) + Ch dengan I(h) adalah integrasi ( dengan menggunakan kaidah trapesium dengan jarak antar b a ) f " ( t ) titik selebar h dan C =. 3

14 Secara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kita ditulis sebagai b a f ( x) dx = I (h) + Ch q dengan C dan q adalah konstanta yang tidak bergantung pada h. Nilai q dapat ditentukan langsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya kaidah trapesium, O(h ) q = kaidah titik-tengah, O(h ) q = kaidah /3 Simpson, O(h 4 ) q = 4 4

15 Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai integrasiyang lebihbaik(improve) dibandingkandengani. Misalkan J adalah nilai integrasi yang lebih baik daripada I dengan jarak antar titik adalah h: J= I(h) + Ch q () Ekstrapolasikan h menjadi h, lalu hitung integrasi numeriknya J= I(h) + C(h) q () Eliminasikan C dari kedua persamaan dengan menyamakan persamaan() dan persamaan(): I(h) + Ch q = I (h) + C(h) q (3) 5

16 sehingga diperoleh C = I ( h) I( h) ( ) q h q (4) Sulihkan (4) ke dalam (3) untuk memperoleh: J = I(h) + I ( h) I( h) q yang merupakan persamaan ekstrapolasi Ricahrdson 6

17 Sebagai contoh, bila I(h) dan I(h) dihitung dengan kaidah trapesium (q = ), maka ekstrapolasi Richardson-nya adalah J = I(h) + 3 [ I(h) - I(h) ] dan bila I(h) dan I(h) dihitung dengan kaidah /3 Simpson (q = 4), maka ekstrapolasi Richardson-nya adalah J = I(h) + [ I(h) - I(h) ] 5 Perhatikanlah bahwa suku /3 [ I(h) - I(h) ] dan suku /5 [I(h) - I(h)] merupakan faktor koreksi. Artinya, nilai taksiran integrasi I(h) dapat ditingkatkan menjadi nilai yang lebih baik dengan menambahkan faktor koreksi tersebut. 7

18 Contoh: Hitung kembali integral dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson, yang dalam halinii(h) dani(h) dihitungdengankaidahtrapesiumdanh = 0.5. Penyelesaian: dx + x 0 Jumlahupaselang: n= ( -0)/0.5 = 8 Tabel titik-titik di dalam selang[0,] dengan h = 0.5: r x r f r

19 I(h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan h = 0.5: I(h) = dx + x 0 h/ ( f 0 + f + f + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 ) 0.5/ [ + ( ) + ( ) ) I(h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan h = 0.50: I(h) = dx (h)/ ( f 0 + f + f 4 + f 6 + f 8 ) + x / [ + ( ) + ( ) + (0.5743) )

20 Nilai integrasi yang lebih baik, J, diperoleh dengan ekstrpolasi Richardson: J = I(h) + I ( h) I( h) q yang dalam hal ini, q =, karena I(h) dan I(h) dihitung dengan kaidah trapesium (yang mempunyai orde galat = ) J = = Jadi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah Bandingkan dengan nilai integrasi sejatinya: dx + x 0 = ln(+x) x x = = ln() - ln() = = 0 yang apabila dibulatkan ke dalam 5 angka bena, f( ) = , hasilnya tepat sama dengan nilai integrasi yang dihitung dengan ekstrapolasi Richardson 0

21 Contoh: Perlihatkan bahwa bila I(h) dan I(h) dihitung dengan kaidahtrapesium, makapersamaanekstrapolasirichardson menyatakan kaidah Simpson /3. Penyelesaian: Kaidah /3 Simpson untuk sepasang upaselang adalah (lihat Gambar 6.0) adalah I = h 0 f ( x) dx I(h) dan I(h) adalah perkiraan hasil integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan pias masing-masing selebar h dan h: I(h) = h / ( f 0 + f ) + h / ( f + f ) = h / ( f 0 + f + f ) I(h) = (h) / ( f 0 + f ) = h( f 0 + f )

22 Ekstrapolasi Richardson-nya (q = ): J = I(h) + 3 [ I(h) - I(h) ] = h / (f 0 + f + f ) + / 3 ( h / (f 0 + f + f ) - h(f 0 + f ) ) = h / (f 0 + f + f ) + h / 6 (f 0 + f + f ) - h / 3 (f 0 + f ) = h / f 0 + hf + h / f + h / 6 f 0 + h / 3 f + h / 6 f - h / 3 f 0 - h / 3 f = h / f 0 + h / 6 f 0 - h / 3 f 0 + hf + h / 3 f + h / f + h / 6 f - h / 3 f = h / 3 f 0 + 4h / 3 f + h / 3 f = h / 3 (f 0 + 4f + f ) yang merupakan kaidah Simpson /3. J

23 Persamaan ekstrapolasi Richardson memenuhi semua kaidah integrasi yang dirurunkan dengan metode pias maupun metodenewton-cotes. Kita pun dapatmenurunkankaidahintegrasinumerikyang barudenganmenerapkanekstrapolasirichardson. MisalkanbilaI(h) dani(h) dihitungdengankaidahsimpson /3, maka ekstrapolasi Richardson menyatakan kaidah Boole (buktikan!): 4h J = 0 f h ( x) dx = ( 7f0 + 3f + f + 3f 3 + 7f 4 ) 45 3

24 MetodeRomberg Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson untukmemperolehnilaiintegrasiyang semakinbaik. Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikkan order galat pada hasil solusinya sebesar dua: O( h N ) O(h N+ ) Misalnya,bilaI(h) dani(h) dihitungdengankaidahtrapesiumyang berordegalato(h ), makaekstrapolasirichardson menghaslkan kaidahsimpson /3 yang berordeo(h 4 ). Selanjutnya, bilai(h) dani(h) dihitungdengankaidahsimpson /3, ekstrapolasi Richardson menghaslkan kaidah Boole yang berorde O(h 6 ). 4

25 Tinjau kembali persamaan ekstrapolasi Richardson: J = I(h) + I ( h) I( h) q Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai I= A k + Ch + Dh 4 + Eh yang dalamhalini h= (b-a)/n dan A k = Perkiraannilaiintegrasidengankaidahtrapesium danjumlahpiasn= k 5

26 Gunakan A 0, A,...A k pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan B, B,...,B k, yaitu B k = A k + A k A k Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = B k + D'h 4 + E'h 6 + dengan orde galat B k adalah O(h 4 ). Selanjutnya, gunakan B, B,.., B k pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan C, C 3,..., C k, yaitu C k = B k + B k B k 4 Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = C k + E " h dengan orde galat C k adalah O(h 6 ). 6

27 Selanjutnya, gunakan C, C 3,..., C k pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan D3, D4,..., D k, yaitu D k = C k + C k C k 6 Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = D k + E "' h dengan orde galat D k adalah O(h 8 ). Demikian seterusnya. 7

28 Dari runtunan tersebut, diperoleh tabel yang dinamakan tabel Romberg seperti berikut ini O(h ) O(h 4 ) O(h 6 ) O(h 8 ) O(h 0 ) O(h ) O(h 4 ) A 0 A B A B C A 3 B 3 C 3 D 3 A 4 B 4 C 4 D 4 E 4 A 5 B 5 C 5 D 5 E 5 F 5 A 6 B 6 C 6 D 6 E 6 F 6 G 6 yang lebih baik Nilai integrasi 8

29 + Contoh: Hitungintegral dx denganmetoderomberg (n= 8). Gunakan5 angkabena. x 0 Penyelesaian: Jarak antar titik: h = ( - 0)/8 = 0.5 Tabel titik-titik di dalam selang [0,] dengan h = 0.5: r x r f r

30 A 0 = h 0 / [ f 0 + f 8 ] = / ( ) = A = h / [ f 0 + f 4 + f 8 ] = 0.5/[ + ( ) ] = A = h / [ f 0 + f + f 4 + f 6 + f 8 ] = 0.50/[ + ( ) + ( ) + (0.5743) ] = A 3 = h 3 / [ f 0 + f + f + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 ] = 0.5/[ + ( ) + ( ) + + ( ) ] = A A0 B = A + = (A k berorde, jadi q = ) A A B = A + = A A B 3 = A3 + = B B C = B + = (B k berorde 4, jadi q = 4) B3 B C 3 = B3 + = C3 C3 D 3 = C3 + = (C 6 k berorde 6, jadi q = 6) 30

31 Tabel Romberg: k O(h ) O(h 4 ) O(h 6 ) O(h 8 ) Jadi, dx + x (Bandingkan dengan solusi sejatie dx + x 0 = ) 3

32 EkstrapolasiAitken Mengatasi kasus pada esktrapolasi Richradosn jika q tidak diketahui. Untuk kasus ini kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I, yaitu I(h), I(h),danI(4h). J = I ( h) I [ I( h) I( h) ] ( h) I( h) + I ( 4h) 3

33 Integral Ganda A b f ( x, y) da = [ f ( x, y) dy] dx = [ f ( x, y) dx] dy a d c d c b a Tafsiran geometri dari integral ganda adalah menghitung volume ruang di bawah permukaan kurva f(x,y) yang alasnya adalahberupabidangyang dibatasioleh garis-garisx= a, x= b, y= c, dany= d. Volume benda berdimensi tiga adalah V= luasalas tinggi 33

34 Solusi integral lipat dua diperoleh dengan melakukan integrasi duakali, pertamadalamarahx(dalamhalininilai, nilaiy tetap), selanjutnya dalam arah y(dalam hal ini, nilai x tetap), atau sebaliknya. Dalamarahxberartikitamenghitungluasalas benda, sedangkan dalam arah y berarti kita mengalikan alas dengan tinggiuntukmemperolehvolume benda. Tinggi benda dinyatakan secara tidak langsung dengan koefisien-koefisienw i pada persamaan 34

35 Misalkan integrasi dalam arah x dihitung dengan kaidah trapesium, dan integrasi dalam arah y dihitung dengan kaidah Simpson /3. Maka: d c b a m [ f ( x, y) dx] dy j= v j n i= w i f ij y [ ( f0,0 + f,0 + f, f n-,0 + f n,0 ) + 3 x x ( f0, + f, + f, f n-, + f n, ) x ( f0, + f, + f, f n-, + f n, ) 35

36 x x (f0,m- + f,m- + f,m f n-,m- + f n,m- ) x (f0,m- + f,m- + f,m f n-,m- + f n,m- ) (f0,m + f,m + f,m f n-,0 + f n,m ) ] (P.6.6) dengan x = jarak antar titik dalam arah x, y = jarak antar titik dalam arah y, n = jumlah titik diskrit dalam arah x, m = jumlah titik diskrit dalam arah y. 36

37 Contoh: Diberikan tabel f(x,y) sebagai berikut: Diberikan tabel f(x,y) sebagai berikut: x y Hitung f ( x, y) dxdy 37

38 Penyelesaian: Misalkan - dalam arah x kita gunakan kaidah trapesium - dalam arah y kita gunakan kaidah Simpson /3 Dalam arah x (y tetap): = 0. ; f ( x, y ) dx y = 0. ; ( f ( x,0.) dx.5. 5 x/ ( f 0,0 + f,0 + f,0 + f 3,0 ) 0.5/ ( )

39 3.0 y = 0.3 ; f ( x, y) dx f ( x,0.3) dx.5 x/ (f 0, + f, + f, + f 3, ) 0.5/ (.54 + ( ) y = 0.4 ; y = 0.5; f ( x, y) dx f ( x,0.4) dx f ( x, y) dx f ( x,0.5) dx y = 0.6; f ( x, y) dx f ( x,0.6) dx

40 Dalam arah y : f ( x, y) dy y/3 ( ) 0./3 ( ).6446 Jadi, f ( x, y) dxdy

41 KuadraturGauss y y = f(x) Persamaan kuadratur Gauss I = f x c f(x ) + c f(x ) ( ) dx - x x x denganc, c, x, danx adalahsembarangnilai. 4

42 Perhatikanbahwabiladipilihx = -, x =, danc = c =, maka persamaan kuadratur Gauss menjadi kaidah trapesium: I = h f ( x) dx [ f() + f(-)] f() + f(-) denganh= (-(-)) =. Jadi, kaidah trapesium memenuhi persamaan kuadratur Gauss 4

43 Persamaan kuadratur Gauss mengandung empat buah peubah yang tidak diketahui(unknown), yaitu x, x, c, danc. Kita harusmemilihx, x, c, danc sedemikian sehinggagalatintegrasinyaminimum. Karenaadaempatbuahpeubahyang tidakdiketahui, maka kita harus mempunyai empat buah persamaan simultanyang mengandungx, x, c, danc. 43

44 Di atas telah dikatakan bahwa kaidah trapesium bersesuaian dengankuadraturgauss. Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan kaidah trapesium akan tepat(galatnya = 0) untuk fungsi tetap dan fungsilanjar. Misalnyauntukf(x)= danf(x)= x y y y =x y = - - x x 44

45 f(x) = dx = x x = x = = - (-) = = c + c f(x) = x - xdx = / x x = x = = / () - / (-) = 0 = c x + c x Kita memerlukan dua buah persamaan lagi agar x, x, c, dan c dapat ditentukan. Dari penalaran bahwa kaidah trapesium sejati untuk fungsi tetap dan fungsi lanjar, maka penalaran ini juga kita perluas dengan menambahkan anggapan bahwa integrasinya juga sejati untuk f(x) = x dan f(x) = x 3. 45

46 f(x) = x xdx = / 3 x 3 = /3 = c x + c x x = x = f(x) = x 3 4 x = x dx = /4 x x = = 0 = c 3 3 x + c x 46

47 Sekarang, kita sudah mempunyai empat buah persamaan simultan c + c = c x + c x = 0 c x + c x = /3 c x 3 + c x 3 = 0 yang bila dipecahkan menghasilkan: c = c = x = / 3 = x = -/(3 =

48 Jadi, f ( x) dx f (/ 3) + f (-/ 3) PersamaaninidinamakankaidahGauss-Legendre -titik. Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang[-, ] cukuphanyadenganmengevaluasinilaifungsifdix =/ 3 dandix=

49 Transformasi a b f(x) dx Menjadi - f(t) dt Untuk menghitung integrasi I = f ( x) dx kita harus melakukan transformasi: a. selang [a, b] menjadi selang [-, ] b. peubah x menjadi peubah t c. diferensial dx menjadi dt Selang [a, b] dan [-, ] dilukiskan oleh diagram garis berikut: a x b - t 49

50 Dari kedua diagram garis itu kita membuat perbandingan: x b x b a a a a = = t t ( ) ( ) + x - a = (t + )(b - a) x = (t + )(b - a) + a x = = bt at + b a + a a + b + bt at a + b + b a t x = ( ) ( ) dx = b a dt 50

51 b a ( a + b) + ( b a) t ( b a) ( b a) f ( x) dx = f [ ] dt = f ( [ a + b) + ( b a) t ] dt Contoh: Hitung integral ( x + ) dx dengan kaidah Gauss-Legendre -titik 5

52 Penyelesaian: a =, b = x = ( + ) + ( ) dx = t dt = 0.5 dt = t Transformasikan f ( x ) dx menjadi f ( t ) dt : ( x + ) dx = [( t ) + ]0.5dt = 0.5 [( t ) + ] dt 5

53 Jadi, dalam hal ini maka f(t) = ( t) + f(/ 3) = ( / 3) + ) = f(-/ 3) = ( / 3) + ) = Dengan demikian ( x + ) dx = ( t) + ) dt 0.5 {f(/ 3) + f(-/ 3)} Nilai integrasi sejatinya adalah: ( x + ) dx = / 3 x 3 + x x x = = = (8/3 + ) + (/3 + ) = (7/3 + ) =

54 DibandingkandenganmetodeNewton-Cotes (trapesium, /3 Simpson, dll), kaidahgauss-legendre -titik lebih sederhana dan lebih mangkus dalam operasiaritmetika, karena Gauss-Legendre -titik hanya membutuhkan duabuahevaluasifungsi. Selain itu, ketelitiannya lebih tinggi dibandingkan denganmetodenewton-cotes. Namun, kaidah Gauss-Legendre tidak dapat digunakan jika fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit 54

55 Kaidah Gauss-Legendre 3-Titik Metode Gauss-Legendre 3-Titik dapat ditulis sebagai I = f ( x) dt c f(x ) + c f(x ) + c 3 f(x 3 ) Parameter x, x, x 3, c, c, dan c 3 dapat ditemukan dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut: f(x) = ; f(x) = x ; f(x) = x f(x) = x 3 ; f(x) = x 4 ; f(x) = x 5 55

56 Dengan cara yang sama seperti pada penurunan kaidah Gauss-Legendre -titik, diperoleh 6 buah persaman simultan yang solusinya adalah c = 5/9 ; x = - 3/5 c = 8/9 ; x = 0 c 3 = 5/9 ; x = 3/5 Jadi, 5 8 f ( x) dx f ( 3 / 5) [ ] ( ) [ ( ) ] + f 0 f 3 / Kaidah Gauss-Legendre n-titik Penurunan kaidah Gauss-Legendre -titik dan Gauss-Legendre 3-titik dapat dirampatkan untuk menghasilkan kaidah Gauss-Legendre n-titik f ( x) dt c f(x ) + c f(x ) + + c n f(x n ) 56

57 Metode Gauss-Legendre n-titik f ( x) dt c f(x ) + c f(x ) + + c n f(x n ) n Faktor bobot Argumen fungsi Galat pemotongan c = c = c = c = c 3 = c = c = c 3 = c 3 = c = c = c 3 = c 4 = c 5 = c = c = c 3 = c 4 = c 5 = c 6 = x = x = x = x = 0 x = x = x = x 3 = x 4 = x = x = x 3 = 0 x 4 = x 5 = x = x = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = f (4) (c) f (6) (c) f (8) (c) f (0) (c) f () (c) 57

58 Contoh Soal Terapan Seorang penerjun payung terjun dari sebuah pesawat. Kecepatan penerjun sebagai fungsi dari waktu adalah [CHA9]: v(t) = gm ( - e - (c / m) t ) c yang dalam hal ini v = kecepatan penerjun dalam m/dt g = tetapan gravitasi = 9.8 m/dt m = massa penerjun = 68. kg c = koefisien tahanan udara =.5 kg/detik 58

59 Misalkan kita ingi mengetahui seberapa jauh penerjun telah jatuh seteleh waktu tertentu t. Karena kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, maka jarak penerjun dari titik terjun (t = 0) adalah : t d = 0 t gm ( c / m) t v( t) dt = ( e ) dt c 0 Hitung seberapa jauh penerjun telah jatuh setelah waktu t =0 detik dengan bermacammacam metode integrasi numerik. Penyelesaian: Persoalan kita adalah menghitung integrasi d = 0 gm ( e c 0 ( c / m) t ) dt 59

60 Nilai d dengan bermacam-macam metode integrasi numerik diringkas dalam tabel berikut: Metode Integrasi d (meter) Keterangan Trapesium n = 8 Titik-tengah n = 8 Simpson / n = 8 Simpson 3/ n = 43 Romberg n = 8 Gauss-Legendre -Titik Gauss-Legendre 3-Titik Gauss-Legendre 4-Titik