Labtek VIII Jl Ganesha 10 Bandung. Abstrak

Transkripsi

1 PENGGUNAAN DISTRIBUSI NORMAL DALAM MEMODELKAN SEBARAN PERSEPSI BIAYA PERJALANAN DAN TRANSFORMASI BOX-MULLER PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK MODEL PEMILIHAN RUTE DAN PEMBEBANAN STOKASTIK R. Didin Kusdian Mahasiswa S-3 Transportasi ITB Labtk I lt. 3 Jl. Gansha 0 Bandung -mail: kusdian@yahoo.com Agus Salim Ridwan Program Pascasarjana ITB Labtk VIII Jl Gansha 0 Bandung Ofyar Z. Tamin Program Pascasarjana ITB Gdung Annx lt. 4 ITB Jl Tamansari Bandung -mail: ofyar@trans.si.itb.ac.id Ad Syafruddin Program Pascasarjana ITB Dpartmn Tknik Sipil -mail: ads@trans.si.itb.ac.id Abstrak Pada diri para pngguna jalan mlkat prbdaan-prbdaan dari brbagai sisi, misalnya mnyangkut usia, tingkat intlktual, status sosial, maksud prjalanan, cara pandang trhadap uang, dan lain-lain. Pada suatu sistm ruang, misalnya kota, di suatu intrval waktu trtntu, misalnya satu jam, akan trjadi suatu prgrakan srntak dari brbagai zona asal k brbagai zona tujuan. Dalam sistm ruang kota, trptakan ruas-ruas jalan yang mmbntuk sistm jaringan jalan kota. Untuk kprluan prncanaan maupun manajmn oprasional, akan dibutuhkan suatu prkiraan prilaku prgrakan lalulintas pada sistm jaringan jalan. Prkiraan prilaku prgrakan lalulintas bisa diprolh mlalui modl prgrakan brbasis sistm. Dalam bidang pmodlan transportasi tlah diknal 4 komponn modl prkiraan kbutuhan transportasi, yaitu Modl Bangkitan, Modl Distribusi, Modl Pmilihan Moda, Modl Pmilihan Rut, dan kmpat modl ini dapat digunakan dngan urutan tahapan ssuai jnis pndkatan prsoalan transportasi yang akan dislsaikan. Mmilih rut adalah suatu pross kputusan manusia, sbagai pngmudi atau pngguna jalan. Pada modl yang paling sdrhana kputusan manusia dapat dianggap sragam, atau smua mmiliki prspsi yang sama. Upaya mndkati dunia nyata bahwa kputusan manusia sbagai pngmudi adalah bragam, dngan fokus pada kbragaman prspsi trhadap biaya prjalanan untuk suatu pasangan asaltujuan, dapat dilakukan dngan mnganggap bahwa prspsi biaya mlintasi stiap ruas jalan dari sklompok pngmudi mrupakan suatu distribusi probabilitas. Pada studi ini dibahas modl yang mnggunakan distribusi normal sbagai distribusi biaya prspsi. Kmudian dalam simulasi (Mont Carlo) pmbbanan modl stokastik, dibutuhkan pngambilan sampl acak dari distribusi ini dngan mnggunakan bilangan acak (random numbr). Untuk itu prsamaan distribusi normal atau distribusi Gauss, prlu ditransformasikan mlalui transformasi Box-Mullr. Pada studi ini dicoba untuk mnrapkan implmntasi algoritma transformasi Box-Mullr dngan pngkodan bahasa MS-Fortran Powr Station. Kata-kata kunci: biaya prspsi, distribusi normal, transformasi Box-Mullr, bilangan acak, sampl acak, modl pmbbanan stokastik PENDAHULUAN Pngguna jalan sbnarnya mmiliki brbagai karaktristik dan kpntingan yang brbda satu dngan lainnya. Jika untuk satu pasangan tmpat asal dan tmpat tujuan trdapat sjumlah pngguna yang brgrak dalam satu intrval waktu yang sama, dan antara pasangan asal-tujuan itu trdapat lbih dari satu rut, maka pnjlmaan prbdaan karaktristik itu, antara lain, akan Jurnal Transportasi Vol. 5 No. Dsmbr 005:

2 mnurunkan prbdaan prspsi tntang biaya suatu rut. Prbdaan prspsi ini akhirnya akan mnimbulkan prbdaan pilihan rut, yang mmbntuk klompok pmilih untuk masing-masing rut yang ada. Knyataan inilah yang diusahakan untuk dimodlkan olh modl pmilihan rut yang, antara lain, digunakan untuk simulasi pmbbanan lalulunitas (traffic assignmnt) dalam modl prncanaan transportasi (Tamin, 000). POPULASI DAN SAMPEL Populasi adalah wilayah gnralisasi yang trdiri atas obyk/subyk yang mmpunyai kuantitas dan karaktristik trtntu, yang dittapkan olh pnliti untuk diplajari dan kmudian ditarik ksimpulannya. Populasi bukan hanya manusia, ttapi juga bnda-bnda alam lain. Populasi tidak hanya jumlah yang ada tntang obyk/subyk yang diplajari, ttapi mliputi sluruh karaktristik/sifat yang dimiliki olh obyk atau subyk itu. Satu orangpun dapat digunakan sbagai populasi (Sugiyono, 000), karna satu orang itu mmpunyai brbagai karaktristik, misalnya pndidikan, pnghasilan, disiplin pribadi, cara pandang trhadap uang, kondisi kshatan, pngtahuan tntang pta suatu tmpat, dan lain-lain. Sampl adalah sbagian dari jumlah dan karaktristik yang dimiliki olh suatu populasi. Bila suatu populasi sangat bsar, dan tidak mungkin untuk mmplajari smua yang ada pada populasi, maka dapat digunakan sampl yang diambil dari populasi trsbut. Apa yang diplajari dari suatu sampl shingga mnghasilkan suatu ksimpulan, maka ksimpulan yang diprolh trsbut akan brlaku untuk populasi. Karna itu, sampl yang diambil dari suatu populasi harus btul-btul mwakili populasi trsbut. DISTRIBUSI NORMAL Distribusi normal mrupakan distribusi paling pnting dalam bidang statistika. Banyak gjala yang muncul di alam, industri, dan pnlitian yang dapat digambarkan dngan baik olh kurva distribusi normal. Kurva distribusi normal ini brbntuk sprti loncng atau gnta, dan prsamaannya prtama kali ditmukan tahun 733 olh Abraham DMoivr. Distribusi ini disbut juga distribusi Gauss, untuk mnghormati Karl Frdrich Gauss ( ), yang juga mnmukan prsamaannya waktu mnliti galat dalam pngukuran yang brulang-ulang mngnai bahan yang sama. Prsamaan matmatika distribusi pluang pubah normal kontinu brgantung pada dua paramtr, yaitu rataan µ dan simpangan baku σ. Prsamaan distribusi normal ini adalah sbagai brikut (Walpol, 995): x µ / f ( x) = () σ π Prsamaan ini disbut juga fungsi kpadatan (dnsity function). Jika dicari turunan (drivativ) prtama dan turunan kduanya akan didapat brturut-turut prsamaan-prsamaan brikut: 6 Jurnal Transportasi Vol. 5 No. Dsmbr 005: 5-36

3 ( x µ ) f '( x) = () 3 σ π x µ / σ µ x µ ( x )( ) = π σ σ f ''( x) (3) 3 x µ σ π / σ Dari pmriksaan trhadap turunan prtama dan kduanya, dapat ditntukan lima sifat kurva normal sbagai brikut: () Modus; titik pada sumbu datar yang mmbrikan maksimum kurva, trdapat pada x = µ ; () kurva simtris trhadap sumbu tgak yang mlalui rataan µ ; (3) kurva mmpunyai titik blok pada x = µ ± σ, ckung dari bawah bila µ σ < X < µ + σ, dan ckung dari atas untuk nilai x lainnya; (4) kdua ujung kurva normal mndkati asimtot sumbu datar bila nilai x brgrak mnjauhi µ baik k kiri maupun k kanan. (5) sluruh luas di bawah kurva dan di atas sumbu datar brnilai sama dngan. f ( x) dx = Distribusi Normal Standar adalah distribusi normal dngan nilai paramtr µ = 0 dan σ =. Prsamaannya srta turunan prtama dan turunan kduanya adalah sbagai brikut: f ( x) = π / x (4) x f '( x) = (5) / x π f ''( x) x / x π = (6) Pnggunaan distribusi normal (Didin K, Ofyar Z.T., Agus S.D., dan Ad S.) 7

4 PROBABILITAS DAN PEUBAH ACAK Tori probabilitas mmplajari rata-rata gjala waktu (masa) yang trjadi scara brurutan atau brsama-sama, sprti pancaran lktron, hubungan tlpon, dtksi radar, pngndalian kualitas, kgagalan sistm, prmainan untung-untungan, mkanika stastistik, turbuln, gangguan, laju klahiran dan kmatian, srta tori antrian. Suatu rata-rata akan mndkati suatu harga konstan apabila jumlah obsrvasi brtambah bsar dan harga-harga ini ttap sama bila dihitung pada sbarang barisan bagian yang ditntukan sblum prcobaan (xprimnt) dilakukan. Tujuan tori probabilitas adalah mnggambarkan dan mnaksir rata-rata sdmikian itu dalam bntuk probabilitas pristiwa. Probabilitas suatu kjadian sama dngan nilai prbandingan atau nisbah (ratio) antara hasil yang ssuai dngan total jumlah hasil, asalkan smua hasil mmpunyai jumlah kmungkinan yang sama. Dalam tori probabilitas digunakan bbrapa istilah brikut: Ruang S disbut ruang pasti, lmn-lmn s disbut pristiwa, himpunan kosong {φ } disbut pristiwa mustahil, dan pristiwa { ζ i } yang mmuat lmn tunggal ζ i disbut pristiwa lmntr. Pubah acak (random variabl) adalah bilangan x(ζ ) yang dittapkan pada stiap hasil ζ suatu prcobaan. Bilangan ini dapat mrupakan prolhan pada prmainan untung-untungan, voltas suatu sumbr arus acak, harga suatu komponn acak (random), atau kuantitas numrik lain yang mnjadi prhatian pada hasil prcobaan (Papoulis, Subanar, Sojoti, 99). BANGKITAN BILANGAN ACAK Trdapat banyak sistm, baik alamiah maupun buatan, di mana prubahan mmainkan pran. Sistm ini dinamakan sistm stokastik. Dalam suatu sistm stokastik trkandung kacakan atau prilaku yang sulit diprdiksi. Sistm dinamik diskrit diklasifikasikan mnjadi dua, yaitu dtrministik dan stokastik. Sistm dtrministik lbih sdikit ktrgantungannya pada komputasi dibandingkan dngan sistm stokastik dan sring dapat dislsaikan scara analitis. Sdangkan simulasi dalam studi sistm dinamik diskrit sring digunakan khusus untuk sistm stokastik, yaitu sistm di mana paling sdikit salah satu pubahnya dibrikan olh fungsi probabilitas. Suatu sistm yang brsifat komplks, mmiliki ciri stokastik, dinamik, dan diskrit, sring brtntangan dan tak truraikan dngan solusi analitis, shingga dibutuhkan studi simulasi (Do, 989). Untuk mnsimulasikan suatu pubah acak diprlukan program kacakan (sourc of randomnss). Dalam prcobaan simulasi, hal ini dapat diprolh mlalui program bilangan acak trdistribusi sragam. Pmbangkit bilangan acak adalah suatu algoritma yang digunakan untuk mnghasilkan urutan-urutan atau skunsi angka-angka yang diktahui bntuk fungsi distribusinya, sbagai hasil prhitungan dngan mnggunakan komputr, shingga angka-angka trsbut muncul scara acak dan digunakan trus-mnrus. SAMPEL BILANGAN ACAK TERDISTRIBUSI NORMAL Banyak prcobaan simulasi mmrlukan sampl acak dari distribusi tidak sragam, sprti distribusi normal, ksponnsial, bta, gamma, chi-squar, log-normal, Cauchy, dan Wibull. Dapat 8 Jurnal Transportasi Vol. 5 No. Dsmbr 005: 5-36

5 dibuktikan bahwa sampl-sampl dari suatu distribusi smbarang dapat dibangkitkan dngan mnggunakan bilangan-bilangan acak trdistribusi sragam dalam intrval (0,) r, r,. Knyataannnya, sampai saat ini tidak ada mtod praktis yang cpat dalam pmbangkitan samplsampl dari suatu distribusi smbarang, kcuali mlalui bilangan-bilangan acak trdistribusi sragam. Trdapat banyak tknik khusus untuk mngkonvrsi bilangan-bilangan acak trdistribusi sragam k dalam sampl-sampl dari brbagai distribusi lain. Jika paramtr-paramtr pada distribusi normal mmiliki nilai µ = 0 dan σ =, maka distribusi normal trsbut dinamakan distribusi normal standar. Hal ini diksprsikan olh prsamaan: f ( x) = π x Fungsi kpadatan dan intgral prsamaan trsbut sama dngan fungsi distribusi kumulatif yang diprlihatkan pada Gambar. Tidak ada suatu ksprsi prsamaan ksplisit untuk fungsi distribusi kumulatif F(s), ttapi tabl-tabl lngkap dapat dicari pada buku-buku statistika. F(x) (7) f(x) X X (a) Fungsi Kpadatan (b) Fungsi Distribusi Gambar Distribusi Normal Standar Satu mtod yang lazim digunakan untuk mmbangkitkan sampl acak dari distribusi normal standar adalah dngan mnggunakan hubungan brikut, yang disbut dngan Transformasi Box-Mullr: Pnggunaan distribusi normal (Didin K, Ofyar Z.T., Agus S.D., dan Ad S.) 9

6 ( x = log r ) cos(π. r ) (8) dngan: r dan r adalah dua bilangan acak sragam dalam intrval (0,), dan x adalah sampl yang diinginkan dari distribusi normal standar. Pnurunan prsamaan (8) dilakukan dngan pngambilan bilangan acak (random numbr) untuk distribusi normal dngan variat yang tidak diktahui, yang mmpunyai ktntuanktntuan sbagai brikut: () X = N (0,); X = N (0,) dan kduanya brsifat indpndn () µ = 0 ; σ =, brupa fungsi distribusi normal standar (3) PDF = Fungsi Probabilitas Dnsitas (Probability Dnsity Function) Rumus PDF Distribusi Normal adalah: f ( x ) = f ( x ) = π π x x brarti f(x. x ) = f(x ). f(x ) = f ( x, x ) = π x x π x x ( + ) apabila diumpamakan Y = X + X ( x X ; y Y ) akan diprolh f ( y) = π maka diuraikan F (y) = y y π. dy π y = = ( π ) ( t 0 t 0 ) 30 Jurnal Transportasi Vol. 5 No. Dsmbr 005: 5-36

7 = ( ) π + t = π π t Random Variat-nya adalah: F(x) = R = t t π π = R π π maka: t = ln( π. R) t π - = π. R t ln( ) = ln( π. R) t = ln( πr) kmudian dari Y = t = X + X akan diprolh X + X = ln (-π R) Bila diktahui atau X θ = arctan untuk N(0, π R) X X π R = arctan - N(0, π ) X akan dipolh R = X arctan π X Dari data bilangan acak (random numbr) akan dapat diprolh indpndn normal diskrt, yaitu : / () X = (( ln( R )).cos πr / () X = (( ln( R )).sin πr yang mrupakan pmbangkitan random variat dari indpndn normal diskrt dngan N, (0, π ) atau dari distribusi normal dngan man µ = 0, Varianc = π, dngan θ = πr. Pnggunaan distribusi normal (Didin K, Ofyar Z.T., Agus S.D., dan Ad S.) 3

8 PROGRAM KOMPUTER DAN HASILNYA Dngan mnggunakan bahasa FORTRAN, pada Micro Soft Fortran Powr Station vrsi 4.0, pngambilan sampl acak trdistribusi normal dapat dilakukan. Prcobaan prtama adalah untuk mndapatkan bilangan acak r dan r, dngan programnya adalah sbagai brikut: Program rus_randoma INTEGER Count REAL, DIMENSION(0) :: R,R INTEGER, DIMENSION(0) :: Sd opn (6,fil='hasil rus-randoma.f90',status='unknown') CALL SYSTEM_CLOCK( Count ) Sd = Count CALL RANDOM_SEED( PUT = Sd ) CALL RANDOM_NUMBER (R) CALL RANDOM_NUMBER (R) writ(6,*) 'hasil rus_randoma :' writ(6,*) 'himpunan bilangan acak (random numbrs) prtama R :' writ(6,0)r writ(6,*) 'himpunan bilangan acak (random numbrs) kdua R :' writ(6,0)r 0 format(x,54.7) writ(*,*) 'slsai, anda dapat lihat hasilnya di fil >hasil rus_randoma.f90<' nd Stlah dilakukan pross built:compil, link dan kmudian dikskusi, program ini akan mnghasilkan kluaran sbagai brikut: hasil rus_randoma: () himpunan bilangan acak (random numbrs) prtama R:.87358E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 () himpunan bilangan acak (random numbrs) kdua R:.70654E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 3 Jurnal Transportasi Vol. 5 No. Dsmbr 005: 5-36

9 Prcobaan kdua adalah pmbuatan program untuk pngambilan sampl acak dari distribusi normal dngan mnggunakan dua bilangan acak r dan r ssuai prsamaan Mtod Box- Mullr. Program yang dibuat dngan bahasa fortran adalah sbagai brikut : Program Box_Mullr3 REAL,DIMENSION (0):: R,R,X,S REAL MU,SIGMA INTEGER NS,count INTEGER, DIMENSION(0) :: Sd OPEN(5,FILE='DATA_BOXMULLER3.F90') OPEN(6,FILE='HASIL_BOXMULLER3b.F90,STATUS=UNKNOWN')!MU=rataan, SIGMA=standar dviasi-->sbaran!pada pmilihan rut MU=biaya objktif, SIGMA pada Burrl-->ditntukan rad(5,*)mu!input rataan writ(6,*)'masukan MU=rataan=?',MU rad(5,*)sigma!input writ(6,*)'masukan SIGMA=standar dviasi?',sigma rad(5,*)ns writ(6,*) 'masukan jumlah sampl=',ns CALL SYSTEM_CLOCK(Count) Sd = Count CALL RANDOM_SEED (PUT = Sd) CALL RANDOM_NUMBER(R) CALL RANDOM_NUMBER(R)!PRINT '(E4.7)', R,R S = (-.*ALOG (R))**0.5*COS(6.83*R) X = SIGMA*S + MU!9! V= sampl dari distribusi normal standar! X= sampl acak dari suatu distribusi normal dngan Mu(=rataan) dan! SIGMA(=standar dviasi)trtntu! X bisa didapat dari V writ (6,*) 'Hasil : Skunsi Bilangan Acak Prtama (R)' writ(6,0) R writ(6,*)'hasil : Skunsi Bilangan Acak Kdua (R)' writ(6,0) R writ(6,*) 'Hasil 3 : Transformasi Box-Mullr (S)' writ(6,)s writ(6,*)'hasil 4 : Sampl Acak dari Distribusi Normal (X)' writ(6,)x 0 format (x,5f4.7) format (x,5f4.7) Pnggunaan distribusi normal (Didin K, Ofyar Z.T., Agus S.D., dan Ad S.) 33

10 writ(*,*)'slsai, lihat hasilnya di fil :HASIL BOX_MULLER3b' END Stlah dipross dan dijalankan, program ini mnghasilkan kluaran sbagai brikut : () masukan MU = rataan =? () masukan SIGMA = standar dviasi? (3) masukan jumlah sampl = 0 Hasil : Skunsi Bilangan Acak Prtama (R) Hasil : Skunsi Bilangan Acak Kdua (R) Hasil 3 : Transformasi Box-Mullr (S) Hasil 4 : Sampl Acak dari Distribusi Normal (X) PENGGUNAAN UNTUK SIMULASI PEMBEBANAN LALULINTAS MODEL STOKASTIK Mtod pngambilan sampl acak dari suatu variabl yang trdistribusi normal, sprti yang tlah diuraikan, dapat digunakan untuk modl (simulasi) pmilihan rut dan pmbbanan lalulintas stokastik (stochastic traffic assignmnt), atau pmbbanan di mana dihadapi adanya aspk ktidakpastian (uncrtainty) yang dikodkan dngan distribusi kmungkinan (probability). Biaya (objktif) suatu ruas jalan, dalam pmbahasan dapat diidntifikasikan olh variabl rataan µ (MU), disbar untuk mmodlkan fnomna pross stokastik, dngan suatu dviasi 34 Jurnal Transportasi Vol. 5 No. Dsmbr 005: 5-36

11 standar σ (SIGMA), shingga biaya satu nilai (obyktif) mnjadi suatu variabl stokastik (biaya prspsi-subyktif) yang mmbntuk suatu sbaran normal. Pngambilan sampl acak biaya subyktif dari sbaran normal (X), dapat dilakukan dngan mnggunakan transformasi BOX- MULLER, mlalui bangkitan dua bilangan acak trdistribusi sragam yang indpndn R dan R. KESIMPULAN Dari studi dapat ditarik bbrapa ksimpulan sbagai brikut: () Suatu sistm atau pross stokastik dapat dicirikan dngan salah satu pubahnya brbntuk distribusi probabilitas. () Distribusi normal tlah trbukti dapat mndskripsikan suatu gjala alam dngan baik, dan dapat dipakai untuk mmodlkan sbaran prspsi pngguna jalan tntang biaya suatu ruas atau rut. (3) Pngambilan sampl acak dari suatu distribusi biaya prspsi ruas jalan dapat dilakukan dngan mnggunakan bilangan acak. (4) Bilangan acak trdistribusi sragam dapat digunakan dalam pngambilan sampl acak dari suatu pubah stokastik trdistribusi normal, yaitu dngan mlalui transformasi Box-Mullr. (5) Transformasi Box-Mullr dapat dilakukan dngan mnggunakan dua bilangan acak yang masing-masing brsifat indpndn, yakni dngan sd yang brbda. (6) Transformasi Box-Mullr dapat digunakan untuk pngambilan sampl acak suatu pubah atau komponn pubah yang brciri stokastik, di mana ktidakpastiannya dapat dikodkan mlalui distribusi probabilitas yang brbntuk distribusi normal. (7) Transformasi Box-Mullr dapat digunakan dalam mncari solusi prsoalan transportasi, di mana biaya transportasi atau komponnnya mngandung ciri stokastik dan dimodlkan sbagai pubah acak trdisribusi normal. DAFTAR PUSTAKA Do, Narsingh Systm Simulation With Digital Computr. Prntic Hall of India, Nw Dlhi. Kakiay, Thomas J Sistm Simulasi. Andi, Yogyakarta. Papoulis, Athanasios, Subanar, Sojoti, Zanzawi. 99. Probabilitas, Variabl Random, dan Pross Stokastik. Gadjah Mada Univrsity Prss, Univrsitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Sugiyono Statistika Untuk Pnlitian. Alfabta, Bandung. Tamin, O.Z Prncanaan dan Pmodlan Transportasi. Edisi-, Pnrbit ITB, Bandung. Wapol, Ronald E., Myrs Raymond H Ilmu Pluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Pnrbit ITB, Bandung. Pnggunaan distribusi normal (Didin K, Ofyar Z.T., Agus S.D., dan Ad S.) 35

12 36 Jurnal Transportasi Vol. 5 No. Dsmbr 005: 5-36