B A R I S A N & D E R E T

Transkripsi

1 B A R I S A N & D E R E T Busiess Mathematics Grade 0 Higher Level Peyusu

2 & Learig Objective. Meetuka suku ke suatu barisa aritmatika. Meetuka rumus suku ke dari barisa aritmatika. Meetuka suku pertama da beda suatu barisa aritmatika jika dua suku lai diketahui.. Meetuka rata-rata dari deret aritmatika (mea aritmatik). 5. Meetuka jumlah deret aritmatika jika diketahui suku pertama da suku terakhirya. 6. Meetuka bayakya suku () dari deret aritmatika jika suku pertama, beda da jumlah deretya diketahui. 7. Meetuka suku ke suatu barisa geometri dega rumus. 8. Meetuka rumus suku ke dari barisa geometri 9. Meetuka rasio jika dua suku dari barisa geometri diketahui 0. Meetuka rata-rata dari deret geometri (mea geometric). Meetuka jumlah suku yag pertama suatu deret geometri.. Meetuka bayakya suku dari deret geometri, jika suku pertama, rasio da jumlah dereya diketahui.. Meetuka jumlah deret geometri tak higga. BARISAN ARITMATIKA Perhatika barisa berikut..,,5,7,.,6,0,0,0,. 60,50,0,0, "The uceasig activity of the Creator, whereby i overflowig bouty ad goodwill, He upholds His creatures i ordered existece, guides ad govers all evets, circumstaces, ad free acts of agels ad me, ad directs everythig to its appoited goal, for His ow glory." - J.I. Packer Barisa ii adalah cotoh dari barisa aritmatika U, U, U,..U ialah barisa aritmatika,jika: U - U U -U. U - U kosta Kosta ii disebut beda da diyataka dega b. Utuk,, 5, 7 bedaya ialah 7 5. Utuk 60, 50, 0, 0,.bedaya ialah RUMUS SUKU KE- Jika suku pertama diamaka a, kita medapatka: U - U b U U - b a + b U - U b U U - b (a + b) + b a + b

3 U - U b U U + b (a + b) + b a + b da seterusya. Ii memberika barisa Aritmatika baku. a, a + b, a + b, a + b,, a + ( ) b Rumus suku ke adalah u a + ( ) b. Cotoh Carilah suku ke 0 dari barisa aritmatika, 6,, 6, Peyelesaia: a, b 6, 0 u a + ( ) b u (0 ) Cotoh Carilah suku pertama da bedaya, jika diketahui suku kesepuluh da suku ketiga ialah 0. Peyelesaia: u 0 a + ( 0 ) b u a ( ) b a + 9b a + b a 9b.() a + b 0.() Sistem persamaaya: a + 9b a + b 0-7b b b substitusi ke persamaa (), didapat: a + 9.() a Jadi suku pertama (a) da beda (b). Cotoh Carilah rumus suku ke dari barisa:,, 6, 8,.. Peyelesaia: Suku pertama (a) da beda (b) Suku ke : U a + ( ) b U + ( ) U + - U

4 RATA-RATA DARI SUATU BARISAN ARITMATIKA (MEAN ARITMATIKA) Kadag-kadag kita harus mecari mea aritmatika dua buah bilaga, P da Q. Ii berarti kita harus meyisipka sebuah bilaga A diatara P da Q, sedemikia rupa sehigga p + A + Q membetuk sebuah deret aritmetika A P b da Q A b. Jadi A P Q - A A P + Q P + Q A Teryata mea aritmetik dua bilaga tidak lai dari pada ilai tegahya. Cotoh Hituglah mea aritmetika dari da 58! Peyelesaia: + 58 Mea aritmetika 0,5 Jika kita dimita utuk meyisipka buah mea aritmetik diatara dua buah bilaga yag diketahui, P da Q berarti kita harus meyisipka buah bilaga A, B, da C diatara P da Q sedemikia higga P + A + B + C + Q merupaka deret aritmetik. Cotoh 5 Sisipka tiga buah mea aritmetik diatara dua buah bilaga 8 da 8. Peyelesaia: 8 + A + B + C + 8 U 8 da U 5 a + b 8 a 8 a + b 8 b 0 b.5 A a + b B a + b 8 + (,5) C a + b 8 + (,5) 5,5 Jadi mea aritmetik yag dicari adalah 0,5; ; da 5,5.

5 DERET ARITMETIK Deret aritmetik disebut juga deret hitug. Jumlah suku pertama deret aritmetik ditulis S Jadi S 5 artiya suku pertama da seterusya. Kita dapat mecari rumus utuk jumlah dari deret aritmrtika baku: a + (a + b) + (a + b) + + [a + ( )b] Dega cara: Misalka suku terakhir U, maka suku sebelumya ialah U - b, sebelumya lagi U - b da seterusya. Jadi S a + (a + b) + (a + b) + + (U - b) + (U - b) + U S U + (U - b) + (U - b) + + (a + b) + (a + b) + a + S (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) + + (a + U ) + (a +U ) + (a + U ) S (a + U ) S a + U, yaitu x (rata-rata dari suku pertama da terakhir) atau S {a + (a + ( ) b]},karea U a +( + )b a + ( ) b Cotoh 6 Carilah jumlah 50 suku yag pertama dari deret aritmetika Peyelesaia: a, b da 50 S.50 (. + (50- ). ) 5( + 9) 5(5) 5

6 5 Cotoh 7 Carilah jumlah semua bilaga asli atara da 00 yag habis dibagi. Peyelesaia: Peyelesaia: a, b da U 98 Kita harus mecari dulu. U a + ( ) b 98 + ( ) S a + U.9 ( + 98) 50 BARISAN GEOMETRI Perhatika barisa: a.,,, 6,. b. 7, -9,, -,.. c. -,, -,, adalah cotoh-cotoh barisa geometri. U, U, U,..U ialah suatu barisa geometri, jika U U U U U.. U Kostata ii diamaka rasio, atau isbah da diyataka dega r. Utuk,,, 8,.., rasioya 8 9 7, -9,, -,, rasioya 7 9. RUMUS SUKU KE- Jika suku pertama U diyataka dega a, kita medapatka: U r U U r ar U U r U U r (ar)r U ar U r U U U r ( ar )r ar

7 6 Ii memberi barisa geometri baku: a, ar, ar, ar,. ar Perhatika bahwa suku ke adalah U ar Cotoh 8 Tetuka suku ke-5 dari barisa geometri:,,, Peyelesaia: a, r. U U 5 ar ar. 6 Cotoh 9 Tetuka rumus suku ke- dari barisa geometri,6, 8,. Peyelesaia: a, r 6 U ar. Cotoh 0 Tetuka rasio r, jika diketahui suku-suku barisa geometri: U da U. Peyelesaia: U a U ar r 8 r ar RATA-RATA DARI SUATU DERET GEOMETRI (MEAN GEOMETRI) Mea geometric dari dua buah bilaga P da Q adalah sebuah bilaga A sedemikia higga P + A + Q membetuk suatu deret geometri. A Q A Q r da r A PQ P A P A A PQ Jadi mea geometri dua buah bilaga adalah akar dari hasil dari kaliya.

8 7 Cotoh Tetuka mea geometric dua bilaga da 5 Peyelesaia: A Utuk meyisipka tiga mea geometric diatara dua bilaga geometri P da Q, kita harus mecari tiga bilaga A, B, da C sedemikia sehigga P + A + B + C + Q membetuk suatu deret geometri. Cotoh Sisipka buah mea geometric diatara 5 da 5. Tetuka keempat mea geometric tersebut. Peyelesaia: Misalka keempat mea tersebut masig-masig A, B, C, da D. Maka 5, A, B, C, D, 5 5 membetuk suatu deret geometric, yaitu: a 5 da ar r 5 5 r A ar 5. 5 B ar 5. 5 C ar 5. 5 D ar Jadi mea geometric yag dicari adalah 5, 5, 5, 05. DERET GEOMETRI Kita dapat mecari rumus utuk jumlah deret geometri baku: a + ar + ar + + ar sebagai berikut: S a + ar + ar +. + ar r S ar + ar + + ar + ar S - r S a atau ( r) S a - S S ar a( - r ) a( ar ), r r a( r ), berlaku jika >. r ar

9 8 Cotoh Carilah jumlah dari tujuh suku dari deret geometri ,5 + Peyelesaia: A, r da 7 S S a( ar ) r 7 ( ( ) 7,9 Cotoh Carilah jika Peyelesaia: a, r da a( r ) S r ( ) S 50 DERET GEOMETRI TAK TERHINGGA Deret geometri tak terhigga merupaka deret geometri yag bayak suku tak terhigga ( ~ ) atau ~ Ada macam deret geometri tak terhigga, yaitu:. Deret geometri tak terhigga yag koverge. Deret geometri tak terhigga yag koverge adalah suatu deret dega r atau - r. Jumlah deret geometri tak terhigga yag koverge dirumuska dega pedekata: a S r. Deret geometri tak terhigga yag diverge (meyebar). Deret geometri tak terhigga yag diverge adalah deret dega r atau r atau r. Jumlah deret geometri tak terhigga yag diverge, tidak didefiisika.

10 9 Cotoh 5 Tetuka jumlah deret geometri tak terhigga: Peyelesaia: a, r < (koverge) S a r Cotoh 6 Tetuka jumlah deret geometri tak terhigga: Peyelesaia: a, r - (koverge) S a r ( ) Cotoh 7 Selidiki ada atau tidak jumlah deret tak terhigga yag diyataka dega: a b Peyelesaia: a. a, r Karea r maka ii adalah deret geometri tak terhigga yag diverge. Jadi S tidak didefiisika. b. a, r - Karea r, ii adalah deret geometri tak terhigga yag diverge. Jadi S tidak didefiisika.

11 0 Latiha Pematapa A. Pilihlah jawaba yag bear dega memberi tada silag ( )!. Dari suatu barisa aritmatika diketahui U 0 da U 5. Suku ke-0 barisa tersebut adalah A. 69 B. 7 C. 77 D. 8 E. 8. Suku ke- da ke-9 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah 0 da 50. Suku ke-0 barisa aritmetika tersebut adalah A. 08 B. 8 C. 6 D. E. 5. Diketahui suatu barisa aritmetika, U meyataka suku ke-. Jika U7 6 da U + U9, maka jumlah suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah A. 6 B. 67 C. 756 D.. E..5. Dari sebuah deret hitug diketahui suku ketiga sama dega 9, sedagka jumlah suku kelima da ketujuh sama dega 6. Jumlah 0 suku yag pertama adalah A. 98 B. 5 C. 0 D. 50 E. 65

12 5. Jumlah suku pertama suatu deret aritmatika diyataka oleh S (5 9). Beda deret tersebut sama dega A. -5 B. - C. - D. E Suku kelima da suku kedelapa suatu baris geometri berturut-turut adalah 8 da 8. Suku keempat barisa tersebut adalah A. B. 0 C. D. 8 E. 7. Suatu tali dibagi mejadi eam bagia dega pajag yag membetuk barisa geometri. Jika pajag palig pedek adalah cm da yag palig pajag adalah 96 cm, maka pajag tali semula sama dega cm A. 8 B. 85 C. 87 D. 89 E Jumlah tak higga dari deret geometri adalah A. 8 B. C. 5 D. 6 E. ~

13 9. Seorag petai mecatat hasil paeya selama hari. Jika hasil pae hari pertama 5 kg da megalami keaika tetap sebesar kg setiap hari, maka jumlah hasil pae yag dicatat adalah A. 00 kg B. 5 kg C. 75 kg D. 5 kg E. 5 kg 0. Seseorag mempuyai sejumlah uag yag aka diambil tiap bula yag besarya megikuti atura barisa aritmetika. Pada bula pertama diambil Rp ,00, bula kedua Rp95.000,00, bula ketiga Rp ,00, demikia seterusya. Jumlah seluruh uag yag telah diambil selama bula pertama adalah A. Rp ,00 B. Rp ,00 C. Rp ,00 D. Rp ,00 E. Rp ,00. Suku ke- da suku ke-7 sebuah barisa aritmetika berturut-turut 58 da 5. Jika bilaga adalah suku dalam barisa tersebut, bilaga itu merupaka suku ke-. A. 0 B. 00 C. 99 D. 5 E. 50. Jumlah semua suku barisa geometri 60, 0, 0, adalah. A. 70 B. 50 C. 60 D. 70 E. 80. Diketahui barisa aritmetika,,,. Rumus suku ke- barisa tersebut adalah. A. U + 5 B. U +

14 C. U + D. U + 8 E. U +. Diketahui barisa aritmatika dega U da U7 0, maka U0 adalah. A. 50 B. 5 C. 56 D. 59 E Diketahui barisa aritmatika dega U 7 da U 7, maka U0 adalah. A. 88 B. 9 C. 9 D. 97 E Suku ke- dari barisa : 9, 8, 8, 7, 7, adalah. A. B. C. D. E. ( 9) ( + 9) ( 9) ( + 9) ( + 9) 7. Diketahui barisa aritmatika : -7, -, -,, 5,.Suku yag ilaiya 8 adalah suku ke. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E Jumlah 00 buah bilaga asli pertama adalah. A B C D E Diketahui deret aritmatika U da U5-5, maka jumlah 0 suku pertama adalah. A. -60

15 B. -50 C. -0 D. 50 E Jumlah deret aritmatika berikut : adalah. A..70 B..750 C..760 D..770 E Pertambaha hasil produksi mobil di Idoesia adalah deret hitug (deret aritmatika). Jika produksi pada bula pertama adalah 50 uit da pada bula ke- adalah 80 uit, jumlah produksi mobil di Idoesia pada tahu pertama adalah uit. A. 60 B. 70 C..0 D..50 E..60. Suku ke-7 dari barisa aritmatika, -6,, -, adalah. A. -9 B. -8 C. -6 D. 8 E. 9. Diketahui barisa geometri dega U da U8 6 utuk r > 0, maka U6 adalah. A. B. C. D. 8 E. 9. Diketahui barisa geometri dega U da U utuk r > 0, suku yag ilaiya adalah. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E Suku ke- dari suatu deret geometri adalah U -. jumlah 7 suku pertama adalah

16 5 A. 9 B. 7 C. 7 D. 6 E. 6. Jika jumlah suku pertama dari suatu deret geometri adalah S, U5 adalah. A. B. 6 C. 5 D. E Jumlah deret geometri tak higga adalah. A. B. 5 C. 5 D. 6 E Jumlah suatu deret geometri tak higga adalah 0. Jika suku pertamaya 5, maka rasioya adalah. A. B. C. D. E. 9. Hasil kali 5 suku pertama suatu barisa geometri adalah. Jika jumlah suku ketiga da suku keempat barisa tersebut adalah 6 maka suku keeam barisa tersebut adalah... A. 8 B. C. D. 8 E Jika jumlah empat suku pertama da jumlah tujuh suku pertama suatu barisa aritmatika berturut-turut 0 da 8 maka jumlah ke-5 suku pertama barisa itu adalah... A. 0 B. 6 C. 5

17 6 D. 60 E. 66. Tempat duduk gedug pertujuka film diatur mulai dari baris depa ke belakag dega bayak baris di belakag lebih kursi dari baris di depaya. Bila dalam gedug pertujuka terdapat 5 baris kursi da baris terdepa ada 0 kursi, kapasitas gedug pertujuka tersebut adalah... A..00 kursi B. 800 kursi C. 70 kursi D. 600 kursi E. 00 kursi. Jika suatu barisa aritmatika mempuyai suku pertama sama dega empat kali beda barisa tersebut da jumlah empat suku pertamaya adalah 66 amak suku ke-5 barisa tersebut adalah... A. 6 B. 8 C. 0 D. E.. Jika a adalah suku pertama, r adalah rasio, da S adalah jumlah suku pertama deret geometri maka ilai a + r adalah... A. 95 B. 05 C. 5 D. 5 E Seutas tali dipotog mejadi 5 bagia sehigga pajag potoga-potoga tali tersebut membetuk barisa geometri. Jika pajag tali terpedek 6 cm da potoga tali terpajag 96 cm maka pajag tali semula adalah... A. 96 cm B. 85 cm C. 86 cm D. 9 cm E. 9 cm 5. Jika 8, a, b, c, d, e, f, g, 6 merupaka baris aritmetika maka a + d + g A. 6 B. 0 C. D. 8 E. 6. Diketahui deret geometri tak higga u + u + u +. Jika rasio deret tersebut adalah r dega < r <, u + u + u 6 +, da u + u maka ilai r adalah...

18 7 A. B. C. D. E. 7. Jika U meyataka suku ke-, a suku pertama da b beda barisa aritmetika, maka: U + U + + U + + U A. b B. 0 C. a D. a E. b 8. Pada suatu barisa aritmetika diketahui U 5 log 5; U 9 log 80. Dega demikia suku ke- barisa tersebut sama dega... A. log 00 B. log 0 C. log 0 D. log 0 E. log 0 9. Tetuka jumlah 0 suku pertama deret log + log ( ) + log ( ) + log ( ) + sama dega... A. 0 log 5 log B. 0 log + 5 log C. 0 log 5 log D. 0 log + 5 log E. 0 log 55 log 0. Nilai yag bulat yag memeuhi: ( ) 5 adalah A. 58 B. 5 C. 6 D. 0 E.. Tiga bilaga membetuk barisa geometri dega rasio positif. Jika bilaga kedua ditambah, diperoleh barisa aritmetika. Jika bilaga pertama adalah. Maka jumlah ketiga bilaga semula adalah... A. 0 B. C. D. 6

19 8 E. 8. Jika a, b, c, d, e membetuk barisa geometri da axbxcxdxe 8 maka diatara kelima suku barisa itu yag dapat ditetuka ilaiya adalah suku ke... A. Pertama B. Kedua C. Ketiga D. Keempat E. Kelima. log a + log(ab) + log(ab ) + log(ab ) + adalah deret aritmatika. Maka jumlah 6 suku pertama sama dega... A. 6 log a + 5 log b B. 6 log a + log b C. 6 log a + 8 log b D. 7 log a + 5 log b E. 7 log a + log b. Diketahui U adalah suku ke- suatu barisa artimatika. Jika utuk setiap bilaga asli, ilai U U sama dega tiga kali suku pertama da U +U U +U maka U u 9 u 5 0 A B. 9 C. D. 9 E. 5. Diketahui deret geometri tak higga u + u + u +. Jika rasio deret tersebut adalah r dega < r <, u + u + u +, da u + u + u 5 + maka ilai r adalah... A. atau B. atau C. atau D. atau E. atau B. Jawablah pertayaa di bawah ii dega proses pegerjaaya!. Barisa aritmetika mempuyai suku pertama 8 da suku kedua 5. Tetuka beda barisa tersebut!. Diketahui barisa aritmetika dega suku ke-5 sama dega da suku ke-9 sama dega 5. Tetuka beda barisa aritmetika tersebut!

20 9. Tetuka suku ke-7 dari barisa:, 6, 8,,,...!. Suatu barisa aritmetika mempuyai suku pertama da beda 6. Tetuka suku ke-7! 5. Pada suatu deret aritmatika diketahui bahwa jumlah suku pertama 7 da jumlah 8 suku pertama 58. Tetuka suku pertama deret tersebut! 6. Tetuka jumlah 0 suku pertama deret geometri: ! 7. Tetuka beda suatu deret jika suku pertama sebuah deret aritmatika dirumuska dega S + 8! 8. Tetuka jumlah suku pertama deret: ! 9. Jumlah 6 suku pertama suatu deret aritmetika adalah, sedagka jumlah 0 suku pertamaya sama dega 80. Tetuka suku ke-5 deret tersebut! 0. Tetuka suku selajutya dari barisa geometri: x, x, x 6, x 5,!. Suku ke- da suku ke-6 suatu barisa geometri berturut-turut 5 da 5. Tetuka suku ke-8 barisa tersebut!. Suku pertama barisa geometri sama dega 6 da rasioya. Tetuka suku ke berapa ilai!. Suku ke- suatu deret aritmetika dirumuska dega U + 5. Tetuka jumlah 0 suku pertama deret tersebut!. Sejumlah pipa bebetuk silider disusu sedemika sehigga baris pertama palig bawah pipa, baris kedua 0 pipa, baris ketiga 7 pipa da seterusya higga baris terakhir ada pipa. Tetuka bayak pipa seluruhya! 5. Formasi barisa pemai marchig bad meempatka pemai pada baris pertama, 6 pemai pada baris kedua, 8 pemai pada baris ketiga, demikia seterusya higga 5 barisa. Tetuka bayak pemai seluruhya! 6. Tetuka jumlah 0 suku pertama dari deret: ! 7. Tetuka jumlah suku pertama suatu deret aritmetika diyataka dega S + 8. Suku ke-7 deret tersebut! 8. Jumlah suku pertama suatu deret aritmetika dirumuska dega S +. Tetuka rumus suku ke- deret tersebut! 9. Diketahui jumlah suku pertama deret aritmatika adalah S + 8. Tetukalah rumus suku ke- deret artimatika tersebut! 0. Diatara bilaga da 57 disisipka 8 bilaga sehigga terbetuk barisa aritmatika. Tetuka beda barisa yag terbetuk!

21 0. Diatara bilaga da 6 disisipka 9 bilaga sehigga terbetuk deret aritmatika. Tetuka jumlah suku-suku deret tersebut!. Dalam sebuah lomba, 8 ketag ditempatka pada sebuah garis lurus. Jarak dua ketag yag berdekata adalah 8 meter. Jarak ketag pertama dari kerajag adalah 6 meter. Seorag peserta lomba mulai bergerak dari kerajag, megambil satu ketag sekali ambil da memasukaya ke dalam kerajag. Tetuka total jarak yag harus ditempuh peserta lomba agar dapat meyelesaika lomba!. Seorag pemilik kebu memetik jeruk setiap hariya, bayak jeruk yag dipetik pada hari ke Tetuka bayak jeruk yag dipetik selama 8 hari pertama!. Suku ke- barisa aritmetika dirumuska dega U +. Tetuka suku ke-6! 5. Diketahui deret aritmatika: Jika jumlah suku pertama 9 maka tetuka ilai suku ke-! 6. Tetuka rasio barisa {. } jika merupaka barisa geometri! 7. Misal S meyataka jumlah suku pertama suatu deret aritmatik, a meyataka suku pertama da b meyataka beda. Tetuka ilai dari S + S + + S! 8. Tujuka bahwa S + S + + S + S 0! 9. Pada deret aritmatika diketahui U U 7 + U U 9 + U Tetuka jumlah 5 suku pertama deret tersebut! 0. Tiga buah bilaga rasioal membetuk sebuah barisa aritmetika. Jumlah ketiga bilaga da hasil kaliya 50.Tetuka bilaga terkecilya!

22 REFERENSI Budhi Soesilo, Adrizal, Hasahata Maullag, Sugiharja. Buku Padua. Jakarta: BTA Group, 07. Jacques, Ia. Mathematics for Ecoomics ad Busiess (7th Ed.). UK: Pearso Educatio Limited, 0. Kemeteria Pedidika da Kebudayaa. Matematika utuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi). Jakarta: Kemeteria Pedidika da Kebudayaa, 07. Kuriaigsih, Sri, Kutarti, da Sulistiyoo. Matematika SMA da MA utuk Kelas X Semester. Jakarta: Esis (Erlagga), 007. Simagusog, Wilso. PKS Matematika SMA/MA Kelas XII IPS. Jakarta: Gematama, 00. Tim Tetor. Complete 00 Bak Soal Matematika SMA/MA IPA Kelas X, XI & XII. Jakarta Selata: Bitag Wahyu, 0. Wirodikromo, Sartoo. Matematika SMA jilid B Kelas XII IPA. Jakarta: Erlagga, 007. Zaelai, Ahmad, Cucu Cuayah, da Etsa Idra Irawa. 700 bak soal bimbiga pematapa matematika. Badug: Yrama Widya, 006.