Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah"

Transkripsi

1 Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika 6. Meerapka kosep barisa da deret geometri

2 84 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi A. PENDAHULUAN Stadar Kompetesi Barisa da Deret terdiri dari tiga () Kompetesi Dasar. Pada peyajia dalam buku ii, setiap Kompetesi Dasar memuat Tujua, Uraia materi, Ragkuma da Latiha. Kompetesi Dasar dalam Stadar Kompetesi ii meliputi Pola Barisa da Deret Bilaga; Kosep Barisa da Deret Aritmatika da Kosep Barisa da Deret Geometri. Stadar Kompetesi ii diguaka utuk meyelesaika persoala-persoala tertetu yag berhubuga dega pola bilaga, juga dapat diguaka dalam matematika keuaga dalam ragka meujag program keahliaya. Sebelum mempelajari stadar kompetesi ii, diharapka ada telah meguasai stadar kompetesi sistem bilaga real Pada setiap akhir Kompetesi dasar tercatum soal-soal latiha yag disusu dari soalsoal yag mudah sampai soal-soal yag sukar. Latiha soal ii diguaka utuk megukur kemampua ada terhadap kompetesi dasar ii, artiya setelah mempelajari kompetesi dasar ii secara madiri dega bimbiga guru sebagai fasilitator, ukur sediri kemampua ada dega megerjaka soal-soal latiha tersebut. Utuk melacarka kemampua ada supaya lebih baik dalam megerjaka soal, disaraka semua soal dalam latiha ii dikerjaka baik di sekolah dega bimbiga guru maupu di rumah. Utuk megukur stadar kompetesi lulusa tiap siswa, di setiap akhir kompetesi dasar, guru aka memberika evaluasi apakah ada layak atau belum layak mempelajari stadar Kompetesi berikutya. Ada diyataka layak jika ada dapat megerjaka soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yag aka diberika guru. B. KOMPETENSI DASAR B.. Pola Barisa da Deret Bilaga a. Tujua Setelah mempelajari uraia kompetesi dasar ii, ada dapat: Meujukka pola bilaga dari suatu barisa da deret Membedaka pola bilaga, barisa, da deret Meuliska suatu deret dega Notasi Sigma b. Uraia Materi Perahkah dibayagka bagaimaa mejumlahka semua bilaga asli dari sampai 00, bagaimaa meghitug jumlah simpaa di bak, bagaimaa meghitug perkiraa jumlah peduduk suatu egara beberapa tahu ke depa da lai-lai, itu semua dapat diselesaika dega megguaka kosep barisa da deret bilaga. Dari cotoh di atas, teryata barisa bilaga merupaka suatu yag mearik utuk diketahui. Oleh karea itu, matematika secara khusus memasukka masalah barisa bilaga dalam bidag aljabar sejak dari tigkat SLTP sampai tigkat SLTA.

3 BAB III Barisa da Deret 85 Barisa bilaga yag perah dipelajari di tigkat SLTP diataraya adalah pegertia suku da pola bilaga, meetuka suku ke- dari suatu barisa, serta meyelesaika soal verbal yag berkaita pola atau barisa bilaga. Pegertia pola atau barisa bilaga yag telah dipelajari di tigkat SLTP sagat membatu utuk memahami pegertia barisa da deret aritmatika, barisa da deret geometri, otasi sigma maupu iduksi matematika yag aka dipelajari dalam bab ii. ). Pola barisa Defiisi barisa da deret bilaga perah dipelajari di tigkat SLTP, amu utuk megigat kembali aka dibahas sedikit tetag defiisi barisa da deret bilaga. Barisa bilaga adalah uruta bilaga yag memiliki atura atau pola tertetu. Eleme-eleme dari suatu barisa bilaga serig disebut dega istilah suku. Eleme pertama disebut suku pertama (U ), eleme ke- disebut suku ke- (U ), eleme ke- disebut suku ke- (U ) da seterusya sampai pada eleme ke- disebut suku ke- (U ) Atura atau pola dari suatu barisa dapat diyataka dalam betuk defiisi atau dapat juga diyataka dalam betuk rumusa. Cotoh Tetuka pola atau atura dari barisa di bawah ii: a.,, 5, 7,... b., 4, 9, 6, 5,... c. 8, 7, 64, 5, 6,... a. Atura atau pola dari barisa bilaga:,, 5, 7,... secara defiisi adalah bilaga gajil mulai dari atau bilaga aik yag memiliki selisih yag dimulai dari. Sedagka secara rumus polaya adalah U = dega dimulai dari. (utuk seterusya kata-kata dimulai dari tidak perlu dituliska) b. Pola dari barisa bilaga:, 4, 9, 6, 5,... secara defiisi adalah kuadrat bilaga asli mulai dari. Sedagka secara rumus polaya adalah U =. c. Pola dari barisa bilaga: 8, 7, 64, 5, 6... secara defiisi adalah pagkat tiga dari bilaga asli mulai dari. Sedagka secara rumus polaya: U =( + ) Cotoh Tetuka pola suku ke- dari barisa di bawah ii: a., 7,, 5, 9,... b. 50, 47, 44, 4, 8,... c., 4, 8, 6,,... a., 7,, 5, 9,... ; selisih dua suku yag beruruta adalah 4 da suku pertamaya, jadi polaya U = 4 (agka - diperoleh dari 4, aka dibahas lebih lajut pada barisa aritmatika) b. 50, 47, 44, 4, 8,... ; selisih dua suku yag beruruta adalah - da suku pertamaya 50, jadi polaya U = (agka 5 diperoleh dari 50 (-))

4 86 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi c., 4, 8, 6,,... ; rasio dua suku yag beruruta adalah, jadi polaya U = (aka dibahas lebih lajut pada barisa geometri) Cotoh Tetuka empat suku pertamaya da suku ke-5 jika suatu barisa memiliki pola suku ke-: a. U = 7 b. U = + + c. U = + ( ) d. U =. a. U = 7 U =. 7 = -4, U =. 7 = -, U =. 7 = da U 4 =.4 7 = 5 Jadi 4 suku pertamaya: -4, -,, 5,... Suku ke-5: U 5 =.5 7 = 68 b. U = + U =. +. = 5, U =. +. = 4, U =. +. = 7 da U 4 = = 44. Jadi 4 suku pertamaya: 5, 4, 7, 44,... Suku ke-5: U 5 = = =.5 c. U = U = =. +, U = Jadi 4 suku pertamaya:, 5 6, =, U = ,, =. + 7 da U 4 = = Suku ke-5: U 5 = = ( ) d. U =. U =. ( ) =, U =. ( ) = 6, U =. ( ) = 8 da U 4 =. (4 ) = 54. Jadi 4 suku pertamaya:, 6, 8, 54,... Suku ke-5: U 5 =. (5 ) =. 4 Ada beberapa barisa yag memiliki ama. Nama barisa itu biasaya dicirika oleh bilaga-bilaga peyusuya. Sebagai cotoh: a.,,, 4, 5,... ; diamaka barisa bilaga asli b.,, 5, 7, 9,... ; diamaka barisa bilaga gajil c., 4, 6, 8, 0,... ; diamaka barisa bilaga geap d.,, 6, 0, 5,.. ; diamaka barisa bilaga segitiga karea memiliki ( + ) a. t pola, pola tersebut seperti meetuka luas segitiga =

5 BAB III Barisa da Deret 87 e., 4, 9, 6, 5,... ; diamaka barisa bilaga persegi karea memiliki pola, pola tersebut seperti meetuka luas persegi = s. f.,,,, 5, 8,,...; diamaka barisa bilaga Fiboacci, dega pola bilaga berikutya merupaka jumlah dari dua bilaga sebelumya. Nama barisa bilaga ii diberika atas jasa Leoardo Fiboacci yag telah megugkapka misteri barisa tersebut, da lai-lai. ). Deret bilaga Jika suku-suku suatu barisa dijumlahka maka aka terbetuk sebuah deret. Misalka: Barisa bilaga asli:,,, 4,... deret bilaga asli: Barisa bilaga gajil:,, 5, 7,... deret bilaga gajil: Utuk meyataka jumlah dari suatu deret biasaya dilambagka dega huruf S, misalka: Jumlah satu suku (dari ) yag pertama dilambagka dega S Jumlah dua suku yag pertama dilambagka dega S. Jumlah tiga suku yag pertama dilambagka dega S, Jumlah suku yag pertama dilambagka dega S Cotoh 4 Dari deret: Tetuka: a. Jumlah suku yag pertama, jumlah suku yag pertama da suku ke- b. Jumlah suku yag pertama, jumlah suku yag pertama da suku ke- c. Jumlah suku yag pertama, jumlah 4 suku yag pertama da suku ke-4 Jumlah suku yag pertama: S =, Jumlah suku yag pertama: S = + 5 = 6, suku ke-: U = 5 diperoleh hubuga U = S S Jumlah suku yag pertama: S = + 5 = 6, Jumlah suku yag pertama: S = = 5, suku ke-: U = 9 diperoleh hubuga U = S S Jumlah suku yag pertama: S = =5, Jumlah 4 suku yag pertama: S 4 = = 8, suku ke-4: U 4 = diperoleh hubuga U 4 = S 4 S Dari jawaba cotoh 4, dapat diambil kesimpula bahwa: suku ke- = selisih atara Jumlah suku yag pertama dega jumlah ( ) suku yag pertama U = S S ( ) dega syarat > Cotoh 5 Suatu deret bilaga memiliki jumlah suku yag pertama diyataka dega rumus: S = Tetuka: a. Jumlah 5 suku yag pertama b. Rumus suku ke- c. Suku ke-0

6 88 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi a. Dari S = , Jumlah 5 suku yag pertama: S 5 = = 0 b. Utuk meetuka rumus suku ke- jika diketahui S diguaka hubuga atara U da S, yaitu: U = S S ( ) U = { } {( ) + 4( ) + 7} U = { } { } U = { } { + 6} U = U = 6 + dega syarat >, utuk meetuka U, diguaka U = S c. Utuk meetuka U 0 dapat diguaka dua cara, yaitu: Dari rumus U yag diperoleh dari jawaba b, jadi U 0 = = 6 Dari hubuga atara U da S, yaitu: U = S S ( ) U 0 = S 0 S 9 U 0 = ( ) ( ) U 0 = = 6 ). Notasi Sigma Matematika merupaka salah satu ilmu yag bayak megguaka simbol atau lambag utuk meyataka suatu peryataa atau ugkapa yag pajag. Misalka otasi faktorial dega lambag! diguaka utuk meyataka perkalia beruruta mulai dari, otasi sigma dega lambag diguaka utuk meyataka suatu pejumlaha yag beruruta, da masih bayak lambag-lambag laiya. Notasi Sigma adalah suatu Notasi yag dipakai utuk meuliska secara sigkat pejumlaha suku. Simbol ii diambil dari huruf kapital Yuai yag berarti Sum atau pejumlaha da pertama kali dikealka oleh Leohard Euler pada abad ke-8. Secara umum otasi sigma didefiisika dega: k = U = U + U + U + U U k k = disebut batas bawah pejumlaha. Utuk meyataka batas bawah pejumlaha, buka haya dimulai dari, dapat juga dimulai dari agka bulat berapa saja da huruf k dapat digati huruf apa saja, yag sama dega otasi didepaya, misalka: U, i U x, i= x = U m m= 5 da lai-lai. U k merupaka suatu poliom dalam variabel k. Jika U x maka poliomya bervariabel x da seterusya. Poliom dapat berupa kostata, berderajat, berderajat da laiya.

7 BAB III Barisa da Deret 89 merupaka bilaga bulat da disebut batas atas bejumlaha. > batas bawah pejumlaha. Cotoh 6 Uraika dalam betuk pejumlaha otasi sigma di bawah ii, da tetuka ilaiya: x 5 a. ( i + ) b. ( ) c. d. x i= 5 = 6 a. (i + ) = (. + ) +(. + ) + (. + ) + (.4 + ) + (.5 + ) i= 0 = = 50 x = b. ( ) = (6 ) + (7 ) + (8 ) + (9 ) + (0 ) = 6 = = 5 i= 6 x c. x= 5 x 5 = = -4 + (- ) = d. = = 7 i= c. Ragkuma. Barisa bilaga adalah uruta bilaga yag memiliki atura atau pola tertetu. Eleme-eleme dari suatu barisa bilaga serig disebut dega istilah suku.. Jika suku-suku suatu barisa dijumlahka maka aka terbetuk sebuah deret.. suku ke- suatu deret = selisih atara Jumlah suku yag pertama dega jumlah ( ) suku yag pertama U = S S ( ) dega syarat > 4. Notasi sigma didefiisika dega: k U = U + U + U + U U k =

8 90 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi. Tetuka tiga suku berikutya dari barisa di bawah ii: a., 7,,,,... d., 5, 5,, 9,,, -,... b. 5, -, 7, -, 9, -5,... e., 4, 7,, 8, 9, 47,... c.,, 48, 9, 768,... f.,, 6, 8, 7, 60, 60,.... Tetuka 4 suku yag pertamaya da suku ke-50 jika suatu barisa memiliki pola U sebagai berikut: a. U = 5 7 ( ) b. U = 4. c. U = 5 d. U = (-).( + ) e. U = ( + )( ). Tetuka rumus suku ke- da suku ke-5 dari barisa di bawah ii: a., 7,,,,... d., 4, 8, 6,,... b. 5,, 7,, 9... e. 5 0, 5, 5, 5,... c., 6,, 4, 48,... f.,, 4, 5, Suatu deret bilaga memiliki jumlah suku yag pertama diyataka dega rumus: S = Tetuka: a. Jumlah 6 suku yag pertama b. Rumus suku ke- c. Suku ke-8 5. Suatu deret bilaga memiliki jumlah suku yag pertama diyataka dega rumus: S = Tetuka: a. Jumlah 4 suku yag pertama b. Rumus suku ke- c. Suku ke-0 6. Tetuka ilaiya: 9 a x f. x = x = 5 0 b 4 g. c d e x = 5 7 m = 8 (m m + m 4) x = 7 5x + 4 ( ) (x + 4) h. ( 850 8p) p = i. m = 5 = x = = 80 + ( ) x. j. ( + 00)

9 BAB III Barisa da Deret 9 B. Barisa da deret Aritmatika a. Tujua Setelah mempelajari uraia kompetesi dasar ii, ada dapat: Mejelaska barisa da deret aritmatika Meetuka suku ke- suatu barisa aritmatika Meetuka jumlah suku suatu deret aritmatika Meyelesaika masalah program keahlia yag berkaita dega deret aritmatika b. Uraia Materi ). Barisa Aritmatika Selai ama-ama barisa di atas, ada ama barisa tertetu yag disebut dega barisa aritmatika. Barisa aritmatika adalah barisa yag memiliki beda atau selisih tetap atara dua suku yag beruruta. Dari defiisi di atas maka barisa bilaga asli merupaka barisa aritmatika yag memiliki beda atara suku berurutaya =, barisa bilaga gajil merupaka barisa aritmatika yag memiliki beda atara suku berurutaya =. Sedagka barisa bilaga segitiga, barisa bilaga persegi da barisa bilaga Fiboacci buka barisa aritmatika karea beda tiap suku yag berurutaya tidak sama Cotoh 7 Dari barisa di bawah ii, maakah yag termasuk barisa aritmatika. a., 6,, 6,,... b. 40, 7, 4,, 9,... c., 6,, 4, 48,... a., 6,, 6,,... merupaka barisa aritmatika sebab beda atara suku-suku yag berurutaya tetap, yaitu beda(b) = 6 = 6 =... = 5 b. 40, 7, 4,, 9,... merupaka barisa aritmatika sebab beda atara sukusuku yag berurutaya tetap, yaitu beda(b) = 7 40 = 4 7 =... = - c., 6,, 4, 48,...buka merupaka barisa aritmatika sebab beda atara sukusuku yag beruruta tidak tetap, yaitu Jika a adalah suku pertama, b adalah beda tiap suku yag beruruta maka: U, U, U, U 4,... U a a + b a + b a + b... a + ( )b Dari barisa di atas, diperoleh rumus suku ke-, yaitu: U = a + ( )b

10 9 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi U U = U U = U 4 U =... = U U ( ) = b Dapat juga diperoleh hubuga: U U = a + b a = b ( )b U 4 U = a + b a = b (4 )b U 5 U = a + 4b (a + b) = b, dari uraia disampig diperoleh hubuga: U U m = ( m) b > m Cotoh 8 Tetuka rumus suku ke- da suku ke-00 dari barisa di bawah ii: a., 7,, 9, 5,... b. 50, 40, 0, 0,... a., 7,, 9, 5,... merupaka barisa aritmatika dega beda tiap suku yag berurutaya: b = 6 da suku pertama: a = maka, U = a + ( )b U = + ( )6 U = 6 5 Suku ke-00: U 00 = = 595 b. 50, 40, 0, 0,... merupaka barisa aritmatika dega beda tiap suku yag berurutaya: b = -0 da suku pertama: a = 50 maka, U = a + ( )b U = 50 + ( )(-0) U = Suku ke-00: U 00 = = -840 Cotoh 9 Suku ke-9 da suku ke-6 suatu barisa aritmatika adalah 79 da 5, tetuka: a. Suku pertama da bedaya b. Rumus suku ke- c. Suku ke-50 a. Suku ke- barisa aritmatika: U = a + ( )b U 9 = a + (9 )b 79 = a + 8b... ) U 6 = a + (6 )b 5 = a + 5b... ) Dari elemiasi a atau b persamaa ) da ) diperoleh a = 5 da b = 8 b. Rumus suku ke-: U = a+ ( )b U = 5+ ( )8 = c. Suku ke-50: U 50 = = 07

11 BAB III Barisa da Deret 9 Cotoh 0 Suku ke-7 da suku ke-5 suatu barisa aritmatika adalah 4 da 89, tetuka suku ke-0 da suku ke-5 Utuk meyelesaika cotoh soal di atas, dapat diguaka cara cotoh 9, dapat juga diguaka cara lai, yaitu: U U m = ( m) b U U m = ( m) b U 5 = (5 5). 8 + U 5 U 5 U 7 = (5 7) b U = ( m) b + U m U 5 = = 8b b = 6 U 0 = (0 5). 8 + U 5 U 5 = 49 U 0 = = 9 ). Suku Tegah Barisa Aritmatika Barisa bilaga yag memiliki suku tegah apabila bayak sukuya gajil. Jika Suku ke-t atau U t merupaka suku tegah, maka bayakya suku adalah (t ) da suku terakhir adalah suku ke-(t ) atau U (t ). U t = a + (t )b U t = ( a + (t )b) U t = ( a + (t )b) U t = ( a + a 4 + (t )b) sehigga diperoleh hubuga: U t U t = ( U + U (t ) ) Karea U (t -) merupaka suku akhir dari deret tersebut da U merupaka suku awal, maka: U tegah = ( Uawal + U akhir ) Cotoh Tetuka suku tegah da suku keberapa dari suku tegah tersebut jika ada, dari barisa aritmatika di bawah ii? a. 8, 4, 0, 6,..., 4 b. 0, 6,,..., -6 c., 0, 7,..., 457 a. Dari barisa aritmatika: 8, 4, 0, 6,..., 4 diperoleh beda tiap suku b = 6, suku pertama a = 8 da suku terakhir 4, maka diperoleh hubuga: U = a + ( )b 4 = 8 + ( )6 4 = 6 + = 7, karea bayakya suku gajil yaitu 7 maka terdapat suku tegah yaitu suku ke-t dimaa t = 7, jadi t = 9 Suku tegah: U t = a + (t )b

12 94 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi U t = 8 + (9 )6 = 6 atau Suku tegah: U t = ( Uawal + U akhir ) = ( 8 + 4) = 6 b. Dari barisa aritmatika: 0, 6,,..., -6 diperoleh beda tiap suku b = -4, suku pertama a = 0 da suku terakhir -6, maka diperoleh hubuga: U = a + ( )b -6 = 0 + ( )(-4) -6 = 4 4 = 40, karea bayakya suku geap yaitu 40 maka tidak terdapat suku tegah c. Dari barisa aritmatika:, 0, 7,..., 457 diperoleh beda tiap suku b = 7, suku pertama a = da suku terakhir 457, maka diperoleh hubuga: U = a + ( )b 457 = + ( )7 457 = = 6, karea bayakya suku gajil yaitu 6 maka terdapat suku tegah yaitu suku ke-t dimaa t = 6, jadi t = Suku tegah: U t = a + (t )b U t = + ( )7 = 40 ). Barisa Aritmatika Tigkat Bayak (Pegayaa) Barisa aritmatika tigkat x adalah sebuah barisa aritmatika yag memiliki selisih yag sama tiap suku yag berurutaya setelah x tigkata. Dega megguaka pembuktia Biomium Newto (tidak diuraika disii), maka rumus umum suku ke- utuk barisa aritmatika tigkat bayak adalah: ( )( )c ( )( )( )d U = a + ( )b !! a = suku ke- barisa mula-mula, b = suku ke- barisa tigkat satu, c = suku ke- barisa tigkat dua, d = suku ke- barisa tigkat tiga da seterusya Barisa aritmatika tigkat satu jika c = d =... = 0, sehigga diperoleh: U = a + ( )b sudah dibahas di atas Barisa aritmatika tigkat dua jika d = e =... = 0, sehigga diperoleh: ( )( ).c U = a + ( )b + Barisa aritmatika tigkat tiga jika e = f =... = 0, sehigga diperoleh: ( )( ).c ( )( )( ).d U = a + ( )b + + da seterusya. 6 Cotoh Barisa aritmatika tigkat berapakah dari barisa-barisa di bawah ii: a., 5, 9,, 7,... b. 5, 6, 0, 7, 7,... c., 9, 9, 6, 64, 07, 69,...

13 BAB III Barisa da Deret 95 Utuk megetahui tigkat barisa aritmatika, kita uraika barisa sebagai berikut: Cotoh Tetuka rumus suku ke- dari barisa di bawah ii: a. 5, 6, 9, 4,,... b. -4, -, 7, 0, 8,... ( )( ).c Sehigga: U = a + ( )b + ( )( ). U = 5 + ( ). + U = = + 6

14 96 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi ( )( ).c Sehigga: U = a + ( )b + ( )( ).5 U = -4 + ( ). + U = ,5 7,5 + 5 U =,5 4,5 4). Deret Aritmatika Jika suku-suku dari suatu barisa aritmatika dijumlahka, maka aka terbetuk deret aritmatika. Nama lai deret aritmatika adalah deret hitug atau deret tambah. Sebagai cotoh deret yag terbetuk dari barisa aritmatika:, 5, 9,,... adalah deret: Jika S adalah jumlah suku yag pertama deret aritmatika da U adalah suku ke- ya, maka: S = U + U + U U ( ) + U ( ) + U Dari sifat barisa aritmatika bahwa: U U ( ) = b da U U ( -) = b maka U ( ) = U b da U ( ) = U b, Jadi: S = a + (a + b) + (a + b) (U b) + (U b) + U, jika dibalik, S = U + (U b) + (U b) (a + b) + (a + b) + a +.S = (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) pejumlaha suku dega tiap sukuya = (a+ u).s = (a + U ), sehigga diperoleh rumus jumlah suku yag pertama: S = (a + U ) Dari rumus S = (a + U ), jika U digati a + ( )b maka diperoleh: S = (a + a + ( )b) atau S = (a + ( )b) Catata: Hubuga atara U da S : U = S S ( )

15 BAB III Barisa da Deret 97 Cotoh 4 Tetuka ilai dari deret di bawah ii! a (sampai 5 suku) b a. Dari deret: dapat diketahui suku pertama a =, beda tiap suku b = 6 da bayakya suku = 5, sehigga jumlah 5 suku yag pertama sebagai berikut: S = (a + ( ) b) 5 S 5 = (. + (5 ).6) S 5 =,5. (4 + 44) =.850 b. Dari deret: dapat diketahui suku pertama a =, beda tiap suku b = 7 da suku terakhir U = 6. Utuk meetuka jumlah semua sukuya, dicari dahulu bayakya suku sebagai berikut: U = a + ( )b 6 = + ( )7 6 = 7 4 = 8 Utuk meetuka jumlah 8 suku yag pertamaya dapat megguaka rumus: S = (a + ( ) b) atau S = (a + U). 8 8 S 8 = (. + (8 ).7) S 8 = ( + 6) S 8 = 9. (6 + 59) = 505 S 8 = 9. (65) = 505 Cotoh 5 Tetuka jumlah semua bilaga atara 40 sampai 50 yag habis dibagi 6 Bilaga setelah 40 yag habis dibagi 6 yaitu: Kita bagi dahulu 40 dega 6 meghasilka 6,67. Bilaga setelah 40 yag habis dibagi 6 adalah 6 x 7 = 4 Bilaga sebelum 50 yag habis dibagi 6 yaitu: Kita bagi dahulu 50 dega 6 megasilka 58,. Bilaga sebelum 50 yag habis dibagi 6 adalah 6 x 58 = 48. Sehigga terbetuk deret: Dari deret: dapat diketahui suku pertama a = 4, beda tiap suku b = 6 da suku terakhir U = 48. Utuk meetuka jumlah semua sukuya, ditetuka dahulu bayakya suku sebagai berikut: U = a + ( )b 48 = 4 + ( )6 48 = = 5 Jadi jumlah 5 suku yag pertamaya sebagai berikut: S = (a + U)

16 98 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 5 S 5 = (4 + 48) S 5 = 6. (90) =. 040 Cotoh 6 Jumlah bilaga yag pertama deret aritmatika dirumuska: S = 7 4, tetuka rumus suku ke- da beda tiap sukuya. Utuk meetuka rumus suku ke- apabila diketahui S dari suatu deret aritmatika, dapat diguaka dua cara, yaitu cara hubuga atara U da S da cara uraia. Cara, Hubuga atara U da S U = S S ( ) U = {7 4 } {7( ) 4( )} U = {7 4 } { } U = {7 4 } {7 8 + } U = U = 4 ( khusus utuk deret ari tmatika > ) Cara, cara uraia: S = 7 4 S = = suku pertama a = S = = 0 U = S S = 0 = 7 b = U U = 7 = 4 U = a + ( )b U = + ( )4 = 4, jadi rumus suku ke-: U = 4 da beda b = 4. Cotoh 7 Produksi barag suatu pabrik bertambah setiap miggu dega jumlah yag sama. Bila jumlah produksi sampai miggu ke-6 adalah 45 uit da jumlah Produksi sampai miggu ke-0 adalah 875 uit. Tetuka jumlah produksi sampai miggu ke-5 Jumlah produksi sampai miggu ke-6 adalah S 6 da jumlah produksi sampai miggu ke-0 adalah S 0 S = (a + ( )b) S = (a + ( )b) 6 0 S 6 = (a + (6 )b) = 45 S 0 = (a + (0 )b) = 875 (a + 5b) = 45 5(a + 9b) = 875 a + 5b = ) a + 9b = ) Dega elemiasi a atau b dari persamaa ) da ) diperoleh a = 75 da b = 5 Jumlah produksi sampai miggu ke-5 adalah: S = (a + ( )b) 5 S 5 = ( (5 ).5) S 5 = 6 ( ) = 450

17 BAB III Barisa da Deret 99 Cotoh 8 Tutik memijam di koperasi karyawa sebesar Rp ,00 da aka dibayar setiap bula dega pembayara yag sam a besar sebesar Rp ,00. Jika koperasi membebaka buga sebesar % dari sisa pijama. Tetuka jumlah buga total yag dibayarka Tutik. Pijama sebesar Rp aka dibayar setiap bula dega jumlah yag sama sebesar Rp Dega demikia Tutik aka mecicil selama 0 bula, dega besarya masig-masig buga sebagai berikut: Bula ke-: buga = % x Rp = Rp00.000,00 Bula ke-: buga = % x Rp = Rp90.000,00 Bula ke-: buga = % x Rp = Rp80.000,00 da seterusya, teryata besarya buga membetuk deret aritmatika dega beda tiap suku b = da suku pertama a = Rp00.000,00 maka jumlah semua buga: S = (a + ( ) b) 0 S 0 = (x (0 )( 0.000)) S 0 = 5 ( ) = Rp ,00 Cotoh 9 Tetuka ilaiya: 00 a. (i + 5) i= 50 b. ( 00 ) c. = 6 50 i= 50 a. Sesuai defiisi otasi sigma bahwa: 00 ( i + 5) = (. + 5) + (. + 5) + (. + 5) ( ) i= = , sesuai dega deret aritmatika maka jumlahya adalah: = ( a + U ) = 00 (7 + 05) = 0600 b. Sesuai defiisi otasi sigma bahwa: 50 (00 ) = (00.6) + (00.7) + (00.8) (00.50) =6 = (-50), Bayakya suku () = = 45, sesuai dega deret aritmatika, maka jumlahya adalah: = ( a + U ) = 45 (8 + (-50)) =,5. = 70

18 00 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 50 c. = , ilai = = 0 i=50 =. = x 0 = 0 Cotoh 0 Nyataka dalam betuk otasi sigma dega batas bawah dari pejumlaha di bawah ii: a b c Utuk meetuka poliom dari suatu otasi sigma, kita guaka rumus suku ke- atau U dari deret atirmatika maupu deret geometri yag sudah kita pelajari. a Deret di atas merupaka deret aritmatika dega suku pertama a =, beda tiap suku b = 6 da bayakya suku = 8, maka: U = a + ( )b = + ( )6 = 6 5 a adalah: 8 Jadi otasi sigmay ( 6 5) b Deret di atas merupaka deret aritmatika dega suku pertama a =, beda tiap suku b = da suku akhir, meetuka bayakya suku sebagai berikut: U = a + ( )b = + ( ) = = 78. Jadi otasi sigmaya adalah: = 78 = ( ) c Deret di atas merupaka deret aritmatika tigkat (baca lagi deret aritmatika tigkat bayak) dega a = 5, b = da c =, rumus suku ke- sebagai berikut: ( )( ).c U = a + ( )b + ( )( ). = 5 + ( ) + = = + 5 Jadi otasi sigmaya adalah: 8 = ( + 5)

19 BAB III Barisa da Deret 0 c. Ragkuma. Barisa aritmatika adalah barisa yag memiliki beda atau selisih tetap atara dua suku yag beruruta.. Rumus suku ke- barisa aritmatika: U = a + ( )b U U ( ) = b U U m = ( m) b utuk > m. Suku tegah barisa aritmatika: U tegah = ( Uawal + U akhir ) 4. Rumus umum suku ke- utuk barisa aritmatika tigkat bayak adalah: ( )( )c ( )( )( )d U = a + ( )b !! 5. Rumus jumlah deret aritmatika: S = (a + U) atau S = (a + ( ) b). Tetuka rumus suku ke- da suku ke-00 dari barisa aritmatika di bawah ii: a., 9, 5,,... d. -8, -, -6, -0,... b. -5, -,, 7,,... e. 0, 6,, 8,... c. 5,, 9, 6,... f. 00, 9, 86, 79, 7,.... Tetuka rumus suku ke- da suku ke-75 dari barisa di bawah ii: a.,, 7,,,... c, 7,, 0, 8,... b.,, 9, 9, 68,, 7,... d. -5, -, 6, 6, 9, 45,.... Tetuka beda, suku pertama, rumus suku ke- da suku ke-75 dari barisa aritmatika di bawah ii: a. Suku ke-4 = 5 da suku ke- = 47 b. Suku ke-5 = 5 da suku ke-8 = c. Suku ke- + suku ke-5 = 68 da suku ke-6 + suku ke-8 = 44 d. Suku ke- = 7 da suku ke-5 + suku ke-7 + suku ke-0 = - e. Suku pertama + suku ke- = - 4 da suku ke- + suku ke-4 = - 4. Tetuka ilai suku tegahya jika ada dari barisa aritmatika di bawah ii? a., 7,, 5,..., 0 b. 7,, 9,..., 475 c. 5,,,...,.07 d. 500, 489, 478,..., Tiga bilaga membetuk barisa aritmatika dega jumlahya. Jika ketiga bilaga dikalika hasilya.55. Tetuka bilaga-bilaga tersebut!

20 0 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 6. Seutas tali dipotog mejadi 9 bagia sesuai dega barisa aritmatika. Jika potoga terpedek da terpajag adalah cm da 59 cm. Tetuka: a. Beda tiap potoga b. Pajag tali potoga ke-6 7. Seorag karyawa diawal kerjaya memiliki gaji Rp ,00 Setiap kuartal gajiya aka diaikka sebesar Rp ,00 Tetuka gaji karyawa tersebut setelah bekerja selama 7 tahu. 8. Suatu ivestasi dega ilai awal Rp. 85 juta. Dalam perhituga, utuk tahu pertama ilai ivestasi aka berkurag sebesar 0%, tahu ke- turu sebesar,5%, tahu ke- turu sebesar 5 % da tahu-tahu berikutya ilai ivestasi turu sesuai dega barisa aritmatika. Tetuka: a. Nilai ivestasi pada awal tahu ke-8 b. Nilai ivestasi pada akhir tahu ke- c. Setelah berapa tahu ivestasi tidak memiliki ilai lagi 9. Tetuka ilaiya dari deret aritmatika di bawah ii: a ( sampai 75 suku) b ( sampai 46 suku) c =... d (-) =... e ( sampai 80 suku) f ( sampai 7 suku) 0. Tetuka jumlah semua bilaga: a. Atara 00 sampai 00 yag habis diba gi 7 b. Atara 00 sampai 450 yag gabis diba gi 5. Seutas tali dipotog mejadi bagia sesuai dega deret hitug. Jika potoga terpedek da terpajag adalah 5 cm da, m. Tetuka: a. Beda tiap potoga b. Pajag tali sebelum dipotog-potog. Seorag pemilik kebu duria semejak pohoya berbuah tiap hari mecatat bayakya buah yag masak da berkesimpula bahwa hasilya pada hari ke- memuat rumus: Tetuka jumlah seluruh buah duria yag masak!. Keutuga seorag pedagag bertambah setiap hari dega jumlah yag sama. Bila keutuga sampai hari ke-4 = Rp6.000 da keutuga sampai hari ke- = Rp Tetuka keutuga yag diperoleh sampai hari ke-5! 4. Fula memijam di koperasi SIMPAN PINJAM sebesar Rp ,. da aka dibayar setiap bula dega pembayara yag sama besar sebesar Rp Jika koperasi membebaka buga sebesar,5% dari sisa pijama. Tetuka jumlah buga total yag dibayarka Fula!

21 BAB III Barisa da Deret 0 5. Seorag karyawa karea prestasiya baik, dijajika oleh maajer gajiya diaika per Februari 006 sebesar Rp ,00 tiap bula. Jika gaji karyawa tersebut pada Jauari 006 sebesar Rp ,00. Tetuka: a. Gaji karyawa pada Agustus 007 b. Jumlah semua gaji karyawa sampai Maret Tetuka ilaiya: 00 a d. ( x + 4) x = 5 x = 68 b. ( + ) d. ( 850 8p) = p = c. ( + 00) e. ( + 00) = 7 = 7. Ubahlah ke dalam betuk otasi sigma f ( m ) : m = a b c (sampai 50 suku) d (sampai 5 suku) e (sampai 0 suku) f (sampai 0 suku) g (sampai 0 suku) h B. Barisa da Deret Geometri a. Tujua Setelah mempelajari uraia kompetesi dasar ii, ada dapat: Mejelaska barisa da deret geometri Meetuka suku ke suatu barisa geometri Meetuka jumlah suku suatu deret geometri Mejelaska deret geometri tak higga Meetuka jumlah deret geometri turu dega bayak suku tak higga Meyelesaika masalah program keahlia yag berkaita dega deret geometri b. Uraia Materi ). Barisa Geometri Selai ama-ama barisa yag sudah dibahas satu persatu, masih bayak amayag belum dapat dibahas semuaya. Namu ada satu lagi ama barisa yag lai ama barisa yag aka dibahas dalam pokok bahasa ii, yaitu barisa Geometri.

22 04 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi Barisa geometri adalah barisa yag memiliki rasio atau pembadig yag tetap atara suku-suku yag berurutaya. Cotoh Dari barisa-barisa di bawah ii, maakah yag termasuk barisa geometri: a.,, 48, 9, 768,... b., 4,, 48, 40, 440,... c. 65, 5, 5, 5,, d.,,,,,... e ,,,, ,... a.,, 48, 9, 768,... merupaka barisa geometri karea memiliki rasio yag 48 sama atara suku-suku yag berurutaya, yaitu: = =... = 4 b., 4,, 48, 40, 440,... buka merupaka barisa geometri karea rasio 4 48 atara suku-suku yag berurutaya tidak sama, ya itu:... 4 c. 65, 5, 5, 5,,... merupaka barisa geometri karea memiliki rasio yag 5 5 sama atara suku-suku yag berurutaya, yaitu: = =... = d. e ,,,,,... merupaka barisa geometri karea memiliki rasio yag sama atara suku-suku yag berurutaya, yaitu: : = : =... = ,,,,,... merupaka barisa geometri karea rasio atara sukusuku yag berurutaya sama, yaitu: : = : = : =... = Ji ka rasio dari barisa geometri adalah r da suku pertamaya a, maka barisa geometri tersebut adalah: U U U U U a a.r a.r a.r a.r ( ) Dari pola barisa di atas, maka rumus suku ke- dari barisa geometri adalah: U = a.r ( )

23 BAB III Barisa da Deret 05 Dari pola barisa di atas, kita dapat meetuka hubuga atara rasio da sukusukuya, yaitu: U U = r, = r U 4, = r U 4, = r da seterusya. S ehigga dapat disimpulka: U U U U U = r ( m) U m atau U = r ( m). U m Cotoh Tetukalah rumus suku ke- da suku ke-5 dari barisa geometri di bawah ii: a., 6,, 4, 48,... b. 5, 56, 8, 64,... c. 0, ; 0,0 ; 0,00 ; 0,000 ;... d. 60, 90, 5, 0,... e.,,,,, a., 6,, 4, 48,... merupaka barisa geometri dega rasio r =, da suku pertama a =, maka rumus suku ke- adalah: U = ar U =. Suku ke-5: U 5 =. 5 =. 4 = b. 5, 56, 8, 64,... mer upaka barisa geometri dega rasio r = =, 5 da suku pertama a = 5, maka rumus suku ke- adalah: U = ar U = 5.( ) = 9. -( ) = 9 + = Suku ke-5 : U 5 = = -5 = c. 0, ; 0,0 ; 0,00 ; 0,000 ;... merupaka barisa geometri dega rasio r = 0, da suku pertama a = 0, maka rumus suku ke- adalah: U = ar U = 0,. 0, = 0, = 0 - Suku ke-5: U 5 = d. 60, 90, 5, 0,... merupaka barisa geometri dega rasio r = = 60 da suku pertama a = 60, maka rumus suku ke- adalah:

24 06 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi U = ar U = 60.( ) = = Suku ke-5: U 5 = = e.,, 5 5, 5,,... merupaka barisa geometri dega rasio r = da 65 5 suku pertama a =, maka rumus suku ke- adalah: U = ar U =.( ) 5 = Suku ke-5: U 5 = = = 5-4 Cotoh Diketahui suatu barisa geometri suku ke-6 adalah 96 da suku ke-9 adalah 768. Tetuka suku ke-. Rumus suku ke- barisa geometri: U = ar Suku ke-6 = 96 Suku ke-9 = 768 ar 5 = 96...) ar 8 = ) Cara : Tetuka dahulu ilai a da r, yaitu: ar = r = 8 r = ar 5 96 Dari persamaa ) ar 5 = 96 a. 5 = 96 a = Jadi suku ke-: U = ar =. = 644 Cara : Guaka hubuga atara U m da U : U m r U = U9 9 6 r m U = = r r = 96 U = r m. U m U = 9. U 9 U =. 768 = 644

25 BAB III Barisa da Deret 07 ). Nilai Tegah Barisa Geometri Barisa bilaga yag memiliki suku tegah apabila bayak sukuya gajil. Jika suku ke-t a tau U t merupaka suku tegah, maka bayakya suku adalah (t ) da suku terakhir adalah suku ke-( t ) atau U (t ). U t = a.r t U t = (a.r t ) U t = (a.t t ) U (t ) t = ( a. a.r ) 44 U t sehigga diperoleh hubuga: Karea U t = ( U. U (t ) ) atau U t = U. U (t ) U (t -) merupaka suku akhir dari deret tersebut da U merupaka suku awal, maka: U tegah = U awal. Uakhir Cotoh 4 Tetuka suku tegah da suku keberapa dari suku tegah tersebut jika ada, dari barisa geometri di bawah ii? a. 5, 0, 0, 40,..., 50 b.,,,..., c. 6, 8, 54,... ( sampai suku) Suatu barisa memiliki suku tegah jika memiliki bayakya suku gajil. a. Dari 5, 0, 0, 40,..., 50 maka diperoleh: suku pertama a = 5, rasio r = da suku terakhir 50. Maka bayakya suku diperoleh sebagai berikut: U = ar 50 = = 0 = =, karea bayak suku gajil, yaitu =, maka ada suku tegahya, yaitu suku ke-6: U 6 = ar 5 5 U 6 = 5. = 60 b. Dari,,,..., 04 maka diperoleh: suku pertama a = 6 8, rasio r = da suku terakhir 04. Maka bayakya suku diperoleh sebagai berikut: U = ar 04 = =. 0 = 6 = 6, karea bayak suku geap, yaitu = 6, maka tidak ada suku tegahya

26 08 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi c. Dari 6, 8, 54,... ( sampai suku), maka diperoleh suku pertama a = 6 da rasio r =. Karea bayak suku gajil, yaitu =, maka ada suku tegahya, yaitu suku ke-7: U 7 = ar 6 U 7 = 6. 6 = 474 ). Deret Geometri Jika suku-suku dari suatu barisa geometri dijumlahka, maka aka terbetuk deret geometri. Nama lai deret geometri adalah deret ukur. Sebagai cotoh deret yag terbe tuk dari barisa geometri:,, 4, 8,... adalah: Jika S adalah jumlah suku yag pertama deret geometri da U adalah suku ke- ya, maka: S = U + U + U + U U + U S = a + ar + ar + ar ar + ar...) jika dikalika r maka diperoleh: rs = ar + ar + ar + ar ar + ar... ) Jika persamaa ) dikurag ), maka aka diperoleh: S = a + ar + ar + ar ar - + ar r.s = ar + ar + ar ar - + ar + ar S r.s = a ar S ( r) = a ( r ), sehigga diperoleh rumus: S = a( r r ) _... a) Dega cara yag sama, jika persamaa ) dikurag ), maka aka diperoleh rumus: S = a(r ) r... b) Rumus a) di atas biasaya diguaka jika 0 < r <. da b) diguaka jika r > Catata: Hubuga atara U da S U = S S ( ) Cotoh 5 Tetuka jumlahya dari deret di bawah ii: a (sampai suku) b a. Dari deret: dapat diketahui suku pertama a =, rasioya r = ( r >, maka megguaka rumus b) da bayakya suku =, sehigga jumlah suku yag pertama sebagai berikut:

27 BAB III Barisa da Deret 09 a(r ) S = r ( ) S = S 5 = = 89 b. Dari de ret: suku pertama a = 97 da suku terakhir U = 4 4 dapat diketahui rasio r = = Utuk meetuka jumlah 7 semua sukuya, kita tetuka dahulu bayakya suku sebagai berikut: U = ar 4 = = ( ) = = -8 = 9. Utuk meetuka jumlah 9 suku yag pertamaya megguaka rumus a): a( r ) S = r 9 97.( ) S 9 = ( ) = = 97.. = Cotoh 6 Setiap awal bula Wey meabug di Bak BRI sebesar Rp ,00. Jika Bak memberika b uga % per bula dega asumsi tidak ada biaya pada proses peabuga. T etuka jumlah semua tabuga Wey setelah meabug selama satu tahu! Sebelum mejawab soal di atas, terlebih lebih dahulu mecari rumus modal akhir dega megguaka buga majemuk, yaitu Suatu modal M dega buga p% per bula, maka setelah: bula modal mejadi = M + buga M = M + M.p = M( + p)

28 0 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi bula modal mejadi = M + buga M = M( + p) + M( + p)p = M( + p)( + p) = M( + p) bula modal mejadi = M + buga M = M( + p) + M( + p) p = M( + p) ( + p) = M( + p) D ari pola uraia di atas, maka pada bula modal mejadi: M = M( + p). Setelah satu tahu simpaa Wey pada: Bula pertama = ( + 0,0) = (,0) Bula ke- = (,0) Bula ke- = (,0) 0 da seterusya, sehigga membetuk deret: (,0) (,0) (,0) (,0) Dari deret di atas, dapat diketahui: suku pertama a = (,0), rasio r =,0 da bayakya suku =, maka jumlah semua sukuya adalah: a(r ) S = r (,0)(,0 ) x 0, S = = = Rp ,76,0 0,0 Cotoh 7 Diketahui suatu deret: Jika S merupaka jumlah suku yag pertama, carilah ilai terkecil sehigga S > 8000 Dari deret: diperoleh suku pertama a = 5 da rasio tiap suku r =. Karea r > da S > 8000 maka rumus jumlahya adalah S = a(r ) r > ( ) > log > log 0 5 log 0 ( ) > 8000 > log > 00 > 7,5 > 0 Jadi terkecil supaya S > 8000 adalah = 8 4). Deret Geometri Tak higga Deret geometri terbagi mejadi dua: Deret geometri diverge yaitu deret geometri yag ilai rasioya r > Deret geometri koverge yaitu deret geometri yag memiliki rasio r: - < r < Deret geometri tak higga adalah deret geometri koverge yag memiliki suku tak terhigga. Karea memiliki ilai rasio atara - sampai, maka deret geometri tak higga merupaka deret geometri turu.

29 BAB III Barisa da Deret Karea rasio r berilai atara - sampai, maka suku-suku berikutya aka semaki kecil da aka medekati ol, dega kata lai lim r = 0. Dega demikia meskipu bayakya suku tidak berhigga, amu jumlah dari semua suku deret tersebut terbatas. Utuk meetuka jumlah suku-suku deret koverge dega jumlah suku tidak terbatas, perhatika uraia di bawah ii: Nilai S deret geometri koverge dega jumlah suku tak higga dilambagka a( r ) dega otasi: lim S = S = lim r a ar = lim ( ) r r a ar = lim lim r r a a = lim r, karea lim r = 0 maka, r r a a =. 0 r r a S = r Catata: Yag memiliki ilai jumlah dari suatu deret geometri tak higga haya deret geometri koverge, sedagka deret geometri diverge jumlah tak higgaya tidak ada Cotoh 8 Tetuka jumlah tak higgaya dari deret geometri di bawah ii: a b , + 40, c a. Dari diperoleh suku pertama a = 8 da rasioya r = =, 8 jadi jumlah tak higgaya adalah: a 8 8 S = = = = 7 r b. Dari , + 40, diperoleh suku pertama a = 80 da rasioya r = 64 = 0, 8, jadi jumlah tak higgaya adalah: 80 a S = r = = = 400 0,8 0,

30 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi c. Dari 5 jadi ju diperoleh suku pertama a = = 0, da rasioya r = 5, 5 mlah tak higgaya tidak ada karea r = 5 > Cotoh 9 80 Tetuka ilai dari lim ( ) x 80 Meetuka ilai dari lim ( ) sama artiya dega meetuka x 80 ju mlah tak higga dari suatu deret: Dega suku pertama a = 90 da rasioya r = S a = r 90 = = 90 = = 90. Jumlah tak higgaya: Cotoh 0 Suatu bola patul dijatuhka dari ketiggia 6 meter. Setiap kali jatuh tiggi patula bola tersebut berkurag sepertigaya dari tiggi sebelumya. Tetuka jumlah seluruh litasa bola sampai bola itu berheti. Lihat gambar di sampig, U = 6, U = 6. = 4, U = 4. = 8 da seterusya. Pajag litasa 6 m bola merupaka deret geometri koverge, yaitu: da Jadi jumlah litasa bola seluruhya: 6 4 S + S = + = (8 + ) m = 0 m

31 BAB III Barisa da Deret c. Ragkuma. Barisa geometri adalah barisa yag memiliki rasio tetap atara suku-suku yag berurutaya.. Rumus suku ke- dari barisa geometri adalah: ( ) U = a.r U = r ( m) U m U = r ( m). U m. Rumus meetuka suku tegah dari barisa geometri adalah: U tegah = U awal. U akhir 4. Rumus meetuka jumlah deret geometri adalah: a( r ) a(r ) S = utuk r > da S = utuk r < r r 5. Rumus meetuka jumlah deret geometri turu utuk tak higga adalah: a S = r. Tetuka rumus suku ke- da suku ke-0 dari barisa di bawah ii: a., 4, 6, 64,... b. 5, 0, 0, 40, 80,... c. 9, 7, 8, 4,... d.,, 5, 5, 5,... 5 e..04, 5, 56,.... Tetuka rasio da suku pertama barisa geometri di bawah ii: a. Suku ke-4 = 8 da suku ke-6 = 79 b. Suku ke- = 6 da suku ke-5 = 6 c. Suku ke- = 0 da suku ke-6 =,5 d. Suku ke- = 64 da suku ke- + suku ke-4 = 0. Selesaika soal barisa geometri di bawah ii : a. Suku ke-4 = 7 da suku ke-6 = 4, tetuka suku ke-8 - b. Suku ke- = 00 da suku ke-6 = 0, tetuka suku ke-9 c. Suku ke- = da suku ke-5 = 8, tetuka suku ke-0

32 4 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 4. Tetuka ilai suku tegahya apabila ada! a.,,, 4,...,.04 b., 6,,...,. c. 5, 5, 45,..., d.,,,, Tiga bilaga membetuk deret geometri yag jumlahya 9. Apabila hasil kali ketiga ad alah 75. Tetuka bilaga-bilaga tersebut! 6. Tetuka ilai dari deret geometri di bawah ii: a (sampai 0 suku) b (sampai 9 suku) c =... d (sampai 8 suku) e (sampai 0 suku) f (sampai 00 suku) g (sampai 9 suku) 7. Suatu tali dipotog mejadi 8 bagia da pajag masig-masig potoga membetuk deret geometri. Jika Potoga terpedek da terpajag adalah 8 cm da 74,96 meter. Tetuka pajag tali seluruhya. 8. Setiap awal tahu Mutiara meabug di Bak BNI sebesar Rp ,00. Jika bak memberika buga 0 % per tahu da diaggap tidak ada biaya admiistrasi. Tetuka tabuga mutiara setelah meabug selama 0 tahu. 9. Setiap akhir bula Nei Meabug di BTN sebesar Rp Jika Bak memberika buga,5% per bula da diaggap tidak ada biaya admiistrasi. Tetuka simpaa Nei setelah meabug selama,5 tahu! 0. Tetuka ilai x dari deret geometri : x = 046. Suatu bola dijatuhka dari ketiggia meter. Setelah dijatuhka bola mematul 4 8 lagi setiggi meter. Patula ke- setiggi meter da seterusya. Teryata 9 tiggi-tiggi patula selajutya membetuk suatu deret geometri. Tetuka pajag litasa bola setelah mematul sebayak 6 kali.. Tetuka jumlah tak higgaya dari deret di bawah ii, jika ada: a b. + 0, + 0,0 + 0, c

33 BAB III Barisa da Deret 5 d. 0 +,5 + 5, e Tetuka ilaiya: lim ( ) x 4. Sebuah bola teis dijatuhka dari ketiggia meter. Setiap kali setelah bola itu mematul, ia mecapai ketiggia yag sama dega 0,75 kali yag dicapai dari ketiggia sebelumya. Tetuka jumlah litasa total yag dilalui oleh bola teis tersebut sampai berheti. 5. Suatu perusahaa pada awal produksi, memproduksi komoditas sebayak uit. Karea maajemeya buruk setiap tahu produksi berkurag 0, dari produksi sebelumya. Tetuka jumlah total produksi perusahaa tersebut sampai ia tidak memproduksi komoditasya lagi! A. Piliha Gada. Jika Jumlah suku pertama suatu deret didefiisika sebagai S = 6 +, maka suku ke-0 adalah... a. 6 c. 80 e. 657 b. 50 d. 60. Lucky mempuyai segulug kawat yag aka dipotog-potog. Jika potoga pert ama pajagya 8 cm, da potoga berikutya ½ kali dari pajag potoga sebelumya maka pajag potoga kawat yag ke-5 adalah... a. 8,0 cm c. 7,5 cm e. 40,5 cm b. 4,0 cm d. 5,0 cm. Suatu barisa geometri mempuyai suku pertama 48 da suku keempat 6. Jumlah lima suku pertama dari barisa tersebut adalah... a. -9 c. e. 9 b. - d Jumlah tak higga suatu deret geometri adalah -50 dega suku pertama -0. Rasio de ret tersebut adalah.... a. c. e a. d Su atu deret aritmatika mempuyai rumus suku ke- = +. Jumlah 00 suku yag pertama dari deret tersebut adalah... a c e b d. 6.50

34 6 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 6. Sebuah bola jatuh dari ketiggia meter da mematul kembali dega 7. ketiggia kali ketiggia 4 sebelumya. Pematula ii berlagsug terus- bola berheti. Jumlah seluruh litasa bola adalah... meerus higga a. 6 c. 7 e. 96 b. 48 d. 84 Dari barisa aritmatika, diketahui suku ke-6 = 0 da suku ke-5 = 67, maka suku ke-7 adalah a. 7 c. 46 e. 5 b. 4 d Suku pertama suatu deret geometri adalah da suku ke-4 = 0,5. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah... 5 a. 4 c. e. 6 7 b. d. 8 t geometri tak suku pertam 4 9. Suatu dere higga, diketahui a da jumlahya. Rasio dari deret tersebut adalah... a. c. 6 4 e. b. 5 d. 0. Jumlah semua bilaga bulat di atara 00 da 00 yag habis dibagi 5 adalah a c e b d Jumlah suku pertama suatu barisa dirumuska S = 5. Nilai supaya suku ke- dari barisa tersebut sama dega ol adalah... a. c. 6 e. 9 b. 5 d. 8. Diketahui suatu barisa, 4, 8, 4,,... Suku ke- barisa tersebut adalah... a. c. + e. + b. + d Nilai dari ( + 5) adalah... = 5 a..760 c..760 b..670 d..860 e Suku ke-5 dari deret a ritmatika adalah 4 da jumlah lima suku pertamaya sama dega 80. Jumlah 5 suku yag pertama dari deret tersebut adalah... a. 50 c. 560 e. 600 b. 540 d. 580

35 BAB III Barisa da Deret 7 5. Nilai dari : =... a c e b d Jumlah tak higga suatu deret geometri adalah 8 da jumlah semua suku 8 geapya adalah. Suku ke-5 deret tersebut adalah... a. b. 8 5 c. 4 d. e. 7. Keutuga seorag pedagag bertambah setiap hari dega jumlah yag sama. Bila keutuga sampai hari ke-6 adalah Rp..000 da keutuga sampai hari ke-5 adalah Rp Maka keutuga sampai hari ke-0 adalah... a. Rp c. Rp e. Rp b. Rp d. Rp Suku pertama suatu deret aritmatika adalah da suku terakhir adalah 8. Jika selisih suku ke- da suku ke-7 adalah 5, maka bayak sukuya adalah... a. c. 5 e. 8 b. 4 d Jika a, b, da S adalah suku pertama, beda, bayakya suku da jumlah suku yag pertama suatu barisa aritmatika, maka a =... S a. ( + )b c. S ( ) b + e. S ( ) b S S b. + ( ) b d. + ( ) b 0. Tiga bilaga membe tuk barisa aritmatika. Jika dijumlahka da dikalika ketiga bilaga tersebut hasilya adalah da.55. Maka suku tegahya adalah... a. 7 c. 5 e. 9 b. d. 6. Seorag petai cabe mecatat hasil paeya setiap hari, selama hari megalami keaika tetap yaitu pada hari pertama 5 Kg, hari kedua 0 Kg, hari ketiga 5 Kg da seterusya. Jumlah pae selama hari adalah. a. 00 Kg c. 400 kg e. 60 kg b. 50 Kg d. 600 kg. Jumlah semua bilaga asli atara sampai 00 yag habis dibagi tetapi tidak habis dibagi 5 adalah a. c. 7 e. 68 b. 5 d. 68

36 8 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi. Seorag peterak ayam mecatat hasil terakya setiap bula selama 0 bula yag megalami keaika tetap. Bayakya ayam pada bula pertama 5 ekor ayam, bula kedua 0 ekor, bula ketiga 5 ekor da seterusya. Jumlah terak ayam se lama 0 bula pertama adalah.... c. 60 ekor c. 500 ekor e. 750 ekor d. 75 ekor d. 600 ekor 4. Suku ke- dari barisa geometri adalah 4 sedagka suku ke-5 adalah. Besar suku ke-8 adalah... a. 7 c. 6 e. b. 5 d Sebuah bakery pada bula pertama memproduksi potog kue doat da tiap bula produksiya aik 00 potog dari produksi bula sebelumya. Jumlah kue yag diproduksi bakery tersebut selama tahu pertama adalah... potog a..00 c e b..400 d..00 B. Soal Essay. Tetuka ilaiya dari deret di bawah ii : a b c ( 5p p = ) m + d. (5. m) m = e ,5 + 0,5 +, tetuka jumlah tak higgaya.. Dari barisa 4 buah bilaga, setiap bilaga yag berdekata sama selisihya. Jumlah tiga bilaga pertama sama dega ol da kuadrat bilaga pertama sam a dega kali bilaga ke-. Tetukalah bilaga-bilaga tersebut.. Tiga bilaga merupaka deret geometri dega jumlahya 6. Apabila suku tegahya ditambah 4, maka ketiga bilaga itu membetuk barisa aritmatika. Tetuka bilaga-bilaga itu. 4. Suku ke- suatu barisa dirumuska: U =, a. Tetukalah rumus jumlah suku ke- da jumlah suku ke- ya. b. Tetukalah jumlah 0 suku yag pertamaya. 5. Suatu deret geometri tak higga jumlahya 50, sedagka jumlah tak higga sukusuku geap badig jumlah tak higga suku-suku gajilya adalah 4 : 5. Tetukalah deret tersebut.

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL Peserta didik memiliki kemampua memahami kosep pada topik barisa da deret aritmetika da geometri. Peserta didik memilki kemampua

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku. BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih -- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN 47 49 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Nama Sekolah Program keahlia Mata Pelajara : SMK PGRI Salatiga : Akutasi : Matematika Kelas/ Semester : XI/ 3 Materi Pokok Alokasi Waktu : Barisa da Deret : 4 x 4

Lebih terperinci

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com http://meetabied.wordpress.com SMAN Boe-Boe, Luwu Utara, Sul-Sel Setiap pria da waita sukses adalah pemimpipemimpi besar. Mereka berimajiasi tetag masa depa mereka, berbuat sebaik mugki dalam setiap hal,

Lebih terperinci

Bab. Barisan dan Deret. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)

Bab. Barisan dan Deret. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Bab IV Barisa da Deret 53 Tujua Pembelajara Setelah mempelajari bab ii, diharapka kalia dapat. mejelaska ciri barisa aritmetika da barisa geometri;. merumuska suku ke da jumlah suku deret aritmetika da

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA

Lebih terperinci

BAB 12 BARISAN DAN DERET

BAB 12 BARISAN DAN DERET BAB 1 BARISAN DAN DERET TIPE 1: Jika dari barisa aritmetika diketahui suku ke-m adalah um u b. m Cotoh: Diketahui barisa aritmetika, suku ke-5 adalah 4 da suku ke-8 adalah 6. Tetuka beda barisa aritmetika

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2...

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2... SOAL-SOAL SPMB 006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 006 Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri aik. Jika jumlahya 6 da hasikaliya 6, maka rasio deretya adalah A. B. C. D. 4 E. 5.

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1 Satua Pedidika Mata Pelajara Kelas/Semester Materi Pokok Waktu : SMA N 6 YOGYAKARTA : Matematika : XII IPS/ : Barisa da Deret : 6 jam pelajara 1. Stadar Kompetesi 4.

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan dan Deret Bilangan Bab 3 Barisa da Deret Bilaga Sumber: www.lombokgilis.com Setelah mempelajari bab ii, diharapka Ada dapat meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah, yaitu megidetifikasi pola, barisa, da deret

Lebih terperinci

Kompetisi Statistika Tingkat SMA

Kompetisi Statistika Tingkat SMA . Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan dan Deret Bilangan Bab 3 Barisa da Deret Bilaga Sumber: www.lombokgilis.com Setelah mempelajari bab ii, diharapka Ada dapat meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah, yaitu megidetifi kasi pola, barisa, da deret

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi. MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain.

BARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain. BARIAN DAN DERET A. Barisa Barisa adalah uruta bilaga yag memilii atura tertetu. etiap bilaga pada barisa disebut suu barisa yag dipisaha dega lambag, (oma). Betu umum barisa:,, 3, 4,, dega: = suu pertama

Lebih terperinci

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET A RINGKASAN MATERI. Notasi Sigma Diberia suatu barisa bilaga, a, a,..., a. Lambag deret tersebut, yaitu: a = a + a +... + a a meyataa jumlah suu pertama barisa Sifat-sifat

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret)

LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) DOSEN FEBRIYANTO, SE., MM. www.febriyato79.wordpress.com 1 MATEMATIKA BISNIS Matematika Bisis memberika pemahama ilmu megeai kosep matematika dalam bidag bisis. Sehigga suatu

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

DERET Matematika Industri 1

DERET Matematika Industri 1 DERET TIP FP UB Pokok Bahasa Barisa Deret Deret aritmetik Deret geometrik Deret pagkat dari bilaga-bilaga asli Deret tak berhigga Nilai-ilai limit Deret koverge da deret diverge Uji kovergesi Deret secara

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya

Lebih terperinci

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug, 0 Model Pertumbuha BeefitAsurasi Jiwa Berjagka Megguaka Deret Matematika Edag Sri Kresawati Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Sriwijaya edagsrikresawati@yahoocoid

Lebih terperinci

UKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN

UKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL DATA KELOMPOK. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL UKURAN PENYEBARAN JANGKAUAN HAMPARAN RAGAM / VARIANS SIMPANGAN BAKU

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013

PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013 http://asyikyabelajar.wordpress.com PEMBAHAAN ALAH ATU PAKET OAL UN MATEMATIKA MA PROGRAM IP TAHUN PELAJARAN 0/0. Igkara dari peryataa emua makhluk hidup memerluka air da oksige adalah... A. emua makhluk

Lebih terperinci

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1. ialah barisan aritmatika,jika: -U 2. =.= U n

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1. ialah barisan aritmatika,jika: -U 2. =.= U n BARIAN DAN DERET A. BARIAN DAN DERET ARITMATIKA I. TJAN etelah mempelaji topik siswa dapat:. Meetuka suku ke suatu bisa itmatika. Meetuka rumus suku ke di bisa itmatika. Meetuka suku pertama da beda suatu

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan Bab Sumber: www.medeciepharmacie.uiv-fcomte.fr Pola Bilaga, Barisa, da Deret Pola bilaga, barisa, da deret merupaka materi baru yag aka kamu pelajari pada bab ii. Terdapat beberapa masalah yag peyelesaiaya

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

Buku Padua Belajar Maajeme Keuaga Chapter 0 KONSEP NILAI WAKTU UANG. Pegertia. Nilai Uag meurut waktu, berarti uag hari ii lebih baik / berharga dari pada ilai uag dimasa medatag pada harga omial yag sama.

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI (Deret)

MATEMATIKA EKONOMI (Deret) LOGO MATEMATIKA EKONOMI (Deret) DOSEN FEBRIYANTO, SE., MM. www.febriyato79.wordpress.com MATEMATIKA EKONOMI Matematika Ekoomi memberika pemahama ilmu megeai kosep matematika dalam bidag bisis da ekoomi.

Lebih terperinci

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GUNADARMA POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN BAHAN AJAR. Oleh : Muhammad Imron H. Modul Barisan dan Deret Hal. 1

UNIVERSITAS GUNADARMA POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN BAHAN AJAR. Oleh : Muhammad Imron H. Modul Barisan dan Deret Hal. 1 BAHAN AJAR POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN Oleh : Muhammad Imo H 0 Modul Baisa da Deet Hal. BARISAN DAN DERET A. POLA BILANGAN. Pegetia Baisa Bilaga Baisa bilaga adalah uuta bilaga-bilaga dega atua tetetu.

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DIKTAT Oleh: Rippi Maya Eliva Sukma Cipta PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 016 Kata Pegatar Diktat ii disusu sebagai

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

IV. METODE PENELITIAN

IV. METODE PENELITIAN IV. METODE PENELITIAN 4.1. Lokasi da Waktu Peelitia Daerah peelitia adalah Kota Bogor yag terletak di Provisi Jawa Barat. Pemiliha lokasi ii berdasarka pertimbaga atara lai: (1) tersediaya Tabel Iput-Output

Lebih terperinci

RESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015

RESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015 RESPONSI STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 015 A. PENYAJIAN DAN PERINGKASAN DATA 1. PENYAJIAN DATA a. Sebutka tekik peyajia data utuk data kualitatif! Diagram kueh, diagram batag, distribusi

Lebih terperinci

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Notasi Sigma, Barisa, da Deret Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Puji Iryati, M.Sc.Ed. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

ANUITAS. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmanto,S.Si.

ANUITAS. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmanto,S.Si. ANUITAS 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 1 OVERVIEW Auitas adl suatu pembayara dalam jumlah tertetu, yag dilakuka setiap selag waktu da lama tertetu, secara berkelajuta. Suatu auitas yg pasti dilakuka

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO PETA KONSEP RETURN da RISIKO PORTOFOLIO RETURN PORTOFOLIO RISIKO PORTOFOLIO RISIKO TOTAL DIVERSIFIKASI PORTOFOLIO DENGAN DUA AKTIVA PORTOFOLIO DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3. BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. a = suku pertama (U 1 ) n = banyaknya suku b = beda/selisih = U 2 U 1 = U 3 U 2

BARISAN DAN DERET. a = suku pertama (U 1 ) n = banyaknya suku b = beda/selisih = U 2 U 1 = U 3 U 2 www.plusido.wodpess.com BARIAN DAN DERET A. Baisa Baisa adalah uuta bilaga yag memiliki atua tetetu. etiap bilaga pada baisa disebut suku baisa yag dipisahka dega lambag, (koma). Betuk umum baisa:,,,,

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

: XII (Dua Belas) Semua Program Studi. : Gisoesilo Abudi, S.Pd

: XII (Dua Belas) Semua Program Studi. : Gisoesilo Abudi, S.Pd R e f r e s h Program Diklat K e l a s M a t e r i Pegajar : M A T E M A T I K A : XII (Dua Belas) Semua Program Studi : S t a t i s t i k a : Gisoesilo Abudi, S.Pd Kajia Materi Peyampaia Data Diagram

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakag Dalam keadaa dimaa meghadapi persoala program liier yag besar, maka aka berusaha utuk mecari peyelesaia optimal dega megguaka algoritma komputasi, seperti algoritma

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci