BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

Transkripsi

1 MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010

2

3 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI A. Kompetesi yag diharapka 1. Meetuka suku ke- (atau pola) suatu barisa bilaga. Meetuka suku ke- suatu barisa aritmatika da jumlah suku pertama suatu deret aritmatika 3. Meetuka suku ke- suatu barisa geometri da jumlah suku pertama suatu deret geometri 4. Meghitug jumlah deret geometri tak higga 5. Meuliska suatu deret aritmetika da suatu deret geometri dega otasi sigma 6. Meyelesaika masalah matematika yag berkaita dega barisa da deret B. Idikator 1. Meetuka pola atau rumus suku ke- suatu barisa bilaga. Mejelaska pegertia suatu barisa bilaga 3. Mejelaska cara-cara meuliska suatu barisa bilaga 4. Mejelaska pegertia barisa aritmetika da barisa geometri 5. Meetuka rumus suku ke- suatu barisa aritmetika 6. Meetuka rumus suku ke- suatu barisa geometri 7. Mejelaska pegertia suatu deret bilaga 8. Meuliska deret aritmetika da deret geometri dega otasi sigma 9. Meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret aritmetika 10. Meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret geometri 11. Meghitug jumlah deret geometri tak higga yag koverge 1. Meyelesaika masalah yag berkaita dega barisa da deret. C. Pola Bilaga da Barisa Bilaga Utuk membahas tetag barisa da deret bilaga kita mulai dega permasalahapermasalaha sebagai berikut. 1. Meata tempat duduk. Di sekelilig sebuah meja persegi dapat ditem-patka empat kursi. Di sekelilig dua meja persegi yag dijajarka merapat dapat ditempatka eam kursi, da seterusya seperti terlihat pada gambar di bawah ii. Ada berapa kursi yag dapat ditata jika terdapat 10 meja?. Perhatika pola pada gambar di bawah ii yag masig-masig disusu dega megguaka beberapa persegi berukura 1 1 cm. Apabila gambar tersebut dilajutka, pada gambar ke berapakah yag mempu-yai kelilig 40 cm?

4 3. Perhatika pola geometri di bawah ii. Apabila pola tersebut dilajut-ka tapa berakhir aka dihasilka sebuah fraktal yag disebut segitiga Sierpiski. Apabila gambar tersebut dilajutka, terdapat berapa segi-tiga berwara pada gambar ke-10? 4. Berikut adalah gambar beberapa ligkara yag disusu dega megi-kuti pola tertetu. Apabila gambar tersebut dilajutka, berapakah bayakya ligkara pada gambar ke-10? Marilah kita bahas satu per satu permasalaha-permasalaha di atas. Utuk mejawab setiap masalah, kita dapat membuat tabel yag sesuai. 1. Utuk masalah pertama, kita buat tabel sebagai berikut. Bayakya meja Bayakya kursi 4 6=x+ 8=x Dega memperhatika pola susua meja da kursi, teryata terdapat hubuga atara bayakya meja da bayakya kursi, yaki jika terdapat meja, maka terdapat + kursi. Jadi, jika terdapat 10 meja, maka terdapat kursi.. Utuk masalah kedua juga kita buat tabel sebagai berikut. Gambar ke Bayakya persegi Kelilig bagu 4=4x1 8=4x3-x 1=4x5-x4 4 ( 1) ( ) Dega memperhatika pola gambar da tabel di atas, dapat disimpulka bahwa kelilig gambar ke- adalah 4 ( 1) ( ) = 4. Jadi, bagu yag mempuyai kelilig 40 adalah gambar ke-10. Catata: Perhituga kelilig di atas diperoleh dari mejumlahka kelilig semua persegi dikuragi pajag sisi-sisi yag tidak dihitug. Ada mugki dapat lagsug meyimpulka rumus kelilig bagu dega memperhatika pola bilaga pada baris ketiga pada tabel di atas. 3. Lagi-lagi, utuk meyelesaika soal omor tiga kita juga dapat membuat tabel sebagai berikut. Gambar ke Bayakya setitiga berwara 1= 3 0 3= 3 1 9= 3 7= Perhatika bahwa bilaga-bilaga pada baris kedua membetuk suatu pola tertetu, yaki pada gambar ke- bayakya segitiga berwara adalah 3 1. Jadi, pada gambar ke- 10 terdapat 3 9 segitiga berwara. 4. Sekali lagi, utuk meyelesaika soal omor 4 kita dapat membuat tabel sebagai berikut. Gambar ke Bayakya ligkara 1= 1 3= 3 6= = ( + 1)

5 Dega demikia, bayakya ligkara pada gambar ke-10 adalah 55. Dari cotoh-cotoh soal di atas kita dapat meuliska barisa bilaga yag sesuai sebagai berikut. 1. Bayakya kursi : 4, 6, 8,.... Kelilig bagu : 4, 8, 1, Bayakya segitiga berwara : 1, 3, 9, 7, Bayakya ligkara : 1, 3, 6, 10,... Bilaga-bilaga pada masig-masig cotoh tersebut membetuk suatu barisa bilaga dega pola tertetu. Tada tiga titik (...) meujukka adaya bilaga-bilaga berikutya, sebayak tak higga. Selai itu, setiap bilaga pada masig-masig barisa selalu dikaitka dega suatu bilaga asli yag meujukka posisi bilaga tersebut (dalam koteks cotohcotoh di atas, posisi meujukka gambar ke-). Jadi, kita dapat mema-dag suatu barisa sebagai suatu fugsi yag domaiya berupa himpua bilaga-bilaga asli. Defiisi: Suatu barisa bilaga adalah suatu fugsi yag mempuyai domai (daerah asal) himpua bilaga-bilaga asli berturua mulai dari 1. Barisa yag mempuyai domai himpua bilaga asli berhigga {1,, 3,, }, utuk suatu bilaga asli, disebut barisa berhigga. Barisa yag mempuyai domai himpua semua bilaga asli {1,, 3, } disebut barisa tak berhigga. Setiap bilaga (kawa suatu bilaga asli) dalam suatu barisa disebut suku barisa tersebut. Suku ke- (serig disebut juga suku umum) suatu barisa adalah kawa bilaga asli, da biasa ditulis dega simbol a, u, s, t da sebagaiya, sehigga suatu barisa biasa diyataka dega simbol seperti {a }. Apabila retag ilai tidak ditulis, diaggap barisaya tak berhigga. Suatu barisa dapat ditulis dega berbagai cara, yaki sebagai berikut. 1. Dega meuliska semua sukuya (khusus utuk barisa berhigga), misalya: a. 1,, 3,, 4, 5, 6, 7, 5, 10. b. 1, -1,, -, 3, 4, 5, -5, 1. c. 1, 1, 1,,,, 3, 3, 3, 5, 6, 7.. Dega meuliska beberapa suku pertama, seperti cotoh-cotoh sebelumya. Cotoh yag lai adalah sebagai berikut: a. 1, -1,, -, 3, -3,... b. 1, 1,, 3, 5, 8,... c. 1, 1/, 1/3, 1/4,... d. 1,, 4, 8, 16, Dega meuliska rumus suku ke- (suku umumya), misalya: a. a = ( + 1), = 1,, 3, b. a = 4, = 1,, 3, c. a = 3 1, = 1,, 3, d. a = (+1), = 1,, 3, 3

6 4. Dega meuliska hubuga atara dua suku berturua (hubuga rekursif), asalka salah satu suku diketahui, misalya: a. a 1 = 4; a = a 1 +, =, 3, 4, b. a 1 = 4; a = a 1 + 4, =, 3, 4, c. a 1 = 1; a = 3a 1, =, 3, 4, d. a 1 = 1; a = a 1 +, =, 3, 4, 5. Dega meyebutka sifat-sifat bilaga pada barisa, misalya: a. Barisa bilaga geap positif:, 4, 6, 8,... b. Barisa bilaga gajil positif: 1, 3, 5, 7,... c. Barisa bilaga prima kurag dari 0:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. d. Barisa bilaga kuadrat: 1, 4, 9, 14, 5,... e. Barisa bilaga segitiga: 1, 3, 6, 10, 15,... Dari cotoh-cotoh di atas dapat diketahui bahwa terdapat barisa bilaga yag tidak berpola da terdapat barisa bilaga yag mempuyai pola. Barisa yag tidak berpola haya dapat diketahui dega meuliska semua sukuya, sedagka barisa yag bepola dapat diketahui dega berbagai cara seperti dijelaska di atas. Pola bilaga dalam suatu barisa juga meujukka atura pembetuka barisa tersebut. Selajutya kita haya aka membahas barisa dega pola tertetu, yaki barisa aritmetika da barisa geometri. Sebelum berlajut, silaka Ada kerjaka soal-soal latiha di bawah ii. Latiha 1: Nyataka setiap barisa di bawah ii dega cara: a) meuliska rumus suku ke- b) meuliska hubuga atar dua suku berturuta c) dega meyebutka sifat-sifat bilagaya 1. 1, 4, 7, 10, 1.,, 3, 4, , 7, 10, 13, 4. 1, 3, 5, 7, 11, 5. 11, 14, 17, 0, 6. 4, 6, 8, 10, 7., 7,, 43, 70, , 1, 5, 4, 63, , 6, 99, 44, 10.,, 6,, 10, D. Barisa da Deret Aritmetika Defiisi: Barisa aritmetika adalah barisa bilaga yag mempuyai suatu pola tertetu, yaki selisih setiap dua suku berturuta sama atau tetap. Dega kata lai, setiap suku kecuali suku pertama pada barisa aritmetika diperoleh dari suku sebelumya dega cara meambah/ meguragiya dega suatu bilaga tetap. Bilaga tetap tersebut diamaka beda atau selisih (biasaya disimbolka dega b). Jadi, jika a adalah suku ke- suatu barisa aritmetika, maka a +1 a = b atau a +1 = a + b utuk = 1,, 3, dega b suatu bilaga (kostata) tertetu.

7 Suatu deret adalah jumlah suku-suku suatu barisa. Apabila barisa yag dijumlahka mempuyai tak berhigga bayak suku, maka deretya disebut deret tak higga. Jika bayakya suku berhigga, maka deretya disebut deret berhigga. Hasil jumlaha suatu deret berhigga yag terdiri atas suku biasaya dituliska dega simbol S, yaki S = a 1 + a + a a. Deret berhigga tersebut juga dapat dipadag sebagai(diamaka) jumlah parsial ke- dari deret tak higga a 1 + a + a a + a +1 +, karea merupaka jumlah suku pertamaya saja. Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku suatu barisa aritmetika. Latiha : Dari cotoh-cotoh da soal-soal tetag barisa di atas, maakah yag merupaka barisa aritmetika? Jelaska! Kapa suatu barisa aritmetika dapat ditetuka? Pada bagia sebelumya, kita sudah membahas bahwa suatu barisa dapat diyataka dega berbagai cara. Apa saja? Suatu barisa aritmetika dapat diketahui (atau ditetuka) oleh dua hal, yaki: 1) dua suku barisa tersebut, atau ) salah satu suku da bedaya, atau 3) salah satu suku da jumlah beberapa suku pertama yag memuat suku yag diketahui tersebut, atau 4) jumlah beberapa suku pertama da bedaya. Hal itu berarti: 1) Apabila diketahui dua suku, maka beda da jumlah suku pertama barisa aritmetika dapat dihitug; ) Jika diketahui salah satu suku da beda, maka suku ke- da jumlah suku pertama dapat dihitug; 3) Jika diketahui satu suku da jumlah beberapa suku pertama yag memuat suku yag diketahui tersebut, maka suku ke- da beda dapat dihitug; 4) Jika diketahui jumlah suku pertama da beda, maka suku ke- dapat diketahui. 1. Kasus I: diketahui dua suku barisa aritmetika Misalka diketahui a m da a k adalah dua suku suatu barisa aritmetika dega k > m. Selajutya, misalka b adalah beda barisa aritmetika tersebut. Meurut defiisi barisa aritmetika, berlaku: a m+1 = a m + b, a m+ = a m+1 + b = a m + b,, a k = a m + (k m)b, sehigga diperoleh: b = a k a m k m. Suku ke- barisa aritmetika tersebut adalah: a = a k + ( k)b, = 1,, 3,... 5

8 Khususya, a 1 = a k + (1 k)b atau a k = a 1 + (k 1)b. Apabila hasil terakhir dimasukka ke dalam rumus a, maka diperoleh hubuga atara suku pertama (a 1 ), suku ke- (a ), da beda (b) suatu barisa aritmetika sebagai berikut: a = a 1 + ( 1)b, =, 3, 4, Cotoh 1: Jika diketahui suku ke- da ke-3 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah da 5, maka bedaya adalah 3, da barisa aritmetikaya adalah: 1,, 5, 8, 11, atau a = + 3( ) = ( ) + 3( ) = 1 + 3( 1). Cotoh : Jika diketahui suku ke-5 da suku ke-10 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah 3 da 8, maka beda barisa aritmetika tersebut adalah 8 3 = 5 = 5, sehigga barisa aritmetikaya adalah: 17, 1, 7,, 3, 8, 13, 18, 3, 8,... atau a = 3 + ( 5)5 = ( ) + ( 5)5 = 17 + ( 1)5. Cotoh 3 (Sifat suku tegah pada barisa aritmetika): Misalka suku-suku a m da a k (dega k > m) megapit sebayak gajil suku-suku lai pada suatu barisa aritmetika. Jadi, (k m) da (k + m) merupaka bilaga-bilaga geap (habis dibagi ). Suku yag terletak di tegah-tegah atara a m da a k adalah: am+k = a m + m+k m b dega b = a k a m, atau k m k m a m+k = a m + a k a m k m = a m + a k. Jadi, pada barisa aritmetika, ilai suku yag terletak di tegah-tegah atara dua suku yag megapit sebayak gajil suku-suku lai sama dega rata-rata kedua suku tersebut. Suku tegah merupaka rata-rata aritmetika kedua suku yag megapitya.. Kasus II: diketahui salah satu suku da beda Misalka diketahui a k adalah suku ke-k suatu barisa aritmetika yag mempuyai beda b. Misalka a adalah suku ke-. Dari hasil pada kasus I diperoleh bahwa: a = a k + ( k)b, = 1,, 3,. Khususya juga, a 1 = a k + (1 k)b atau a k = a 1 + (k 1)b. Persis seperti hasil sebelumya pada kasus I, diperoleh hubuga atara suku pertama (a 1 ), suku ke- (a ), da beda (b) suatu barisa aritmetika sebagai berikut: a = a 1 + ( 1)b, =, 3, 4, Cotoh 4: Diketahui suatu barisa aritmetika mempuyai suku ke-5 adalah 10 da beda 3. Tetuka suku ke 15! Jawab: Diketahui a 5 = 10, b = 3. Meurut rumus yag sudah diperoleh, a 15 = a 5 + (15 5)b = = Kasus III: diketahui salah satu suku da jumlah suku pertama

9 Sebelum membahas kasus ketiga, kita cari jumlah suku pertama barisa aritmetika. Sebelumya sudah diperkealka otasi S yag meyataka jumlah suku pertama suatu barisa, yaki S = a 1 + a + a a. Utuk barisa aritmetika sudah diketahui rumus suku ke- dapat diyataka dega suku pertama (a 1 ) da beda (b), yaki: a = a 1 + ( 1)b utuk =, 3, 4,. Dega demikia jumlah suku pertama suatu barisa aritmetika dega suku pertama (a_1) da beda (b) adalah: S = a 1 + (a 1 + b) + (a 1 + b) + + (a 1 + [ 1]b). Utuk medapatka ilai deret tersebut, suku-sukuya kita tulis dari suku terakhir ke suku pertama sebagai berikut: S = (a 1 + [ 1]b) + (a 1 + [ )b) + (a 1 + [ 3]b) + + a 1 Selajutya, jika keduaya dijumlahka hasil adalah: S = {a 1 + [ 1]b} + {a 1 + [ 1]b} + + {a 1 + [ 1]b} dega ruas kaa terdiri atas suku berilai sama dalam tada {}, sehigga S = {a 1 + [ 1]b} atau S = {a 1 + [ 1]b} = (a 1 + a ). Jadi, jumlah suku pertama suatu barisa aritmetika dapat diyataka dega salah satu suku da beda atau suku pertama da suku ke-. Sekarag misalka suatu barisa aritmetika diketahui suku ke-k adalah a k da jumlah suku pertama adalah S. Dari hasil sebelumya diketahui bahwa a 1 = a k + (1 k)b, sehigga S = {(a k + (1 k)b) + [ 1]b} = a k + ( k + 1)b. Dari persamaa terakhir dapat dicari ilai b da selajutya rumus suku ke- barisa aritmetikaya. Cotoh 5: Jika diketahui suku ke- da ke-3 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah da 5, tetuka jumlah 10 suku pertama. Jawab: Dari data yag diketahui, diperoleh beda barisa aritmetika tersebut adalah b = 5 = 3, sehigga a 1 = 3 = 1 da a 10 = = 6. Jadi, S 10 = 5 ( 1 + 6) = 15. Cotoh 6: Jika diketahui suku ke-5 da suku ke-10 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah 3 da 8, tetuka jumlah 15 suku pertamaya. Jawab: Barisa aritmetika tersebut mempuyai beda b = 5 (lihat Cotoh ), sehigga a 1 = 3 + ( 4)5 = 17 da a 15 = = 53. Jadi, S 15 = 15 ( ) = 40. Cotoh 7: Diketahui suatu barisa aritmetika mempuyai suku ke-5 adalah 10 da beda 3. Tetuka jumlah 15 suku pertama! Jawab: 7

10 Dari data tersebut dapat dicari a 1 = = da a 15 = = 40, sehigga S 15 = 15 ( + 40) = 85. Cotoh 8: Tetuka barisa aritmetika yag mempuyai suku ke-5 adalah 10 da jumlah 50 suku pertamaya adalah 550. Jawab: Dega megguaka rumus pada hasil terakhir diperoleh persamaa 550 = S 50 = 50 a (50 9)b = b, sehigga b = =. Jadi, a 105 = 10 + ( 5) =, yaki, 4, 6, 8, 10, Kasus IV: diketahui jumlah suku pertama da beda Dari hasil pada kasus III diperoleh hubuga atara jumlah suku pertama, salah satu suku, da beda suatu barisa aritmetika. Dega demikia, apabila diketahui jumlah suku pertama da beda, maka dapat dicari salah satu sukuya (misalya suku pertama). Setelah diperoleh salah satu suku, maka suku ke- dapat ditetuka utuk setiap bilaga asli. Cotoh 9: Jika suatu barisa aritmetika mempuyai beda 4 da jumlah 16 suku pertama adalah 58, tetuka barisa aritmetika tersebut. Jawab: Diketahui S 16 = 58 da b = 4. Dega megguaka rumus terakhir pada hasil kasus III, diperoleh persamaa 58 = S 16 = 16a 1 + 8(16 1)b = 16a , sehigga a 1 = = 3. Jadi, a 16 = 3 + 4( 1) = 4 1, yaki 3, 7, 11, 15, 19, Cotoh 10: Misalka jumlah 8 suku pertama suatu barisa aritmetika adalah 74 sedagka jumlah 4 suku pertama adalah 70. Tetuka barisa aritmetika tersebut. Jawab: Diketahui S 8 = 74 da S 4 = 70. Utuk megetahui barisaya, kita perlu mecari ilai beda. Dega megguaka rumus S diperoleh dua persamaa: (1) 74 = S 8 = 8 (a 1 + 7b) = 8a 1 + 8b () 70 = S 4 = 4 (a 1 + 3b) = 4a b. Selajutya, elimiir a 1 dari kedua persamaa tersebut utuk medapatka b, yaki ()- 3(1): 480 = 19b atau b = 5,sehigga a 1 = = 1. Jadi atau Latiha 3: a = 1 + ( 1) 5 = 5, 8 1, 3, 5 1, 8, 10 1, 1. Diketahui suku ke- suatu barisa adalah a = 3. a) Tujukka bahwa barisa tersebut merupaka barisa aritmetika. b) Tetuka suku terkecil pada barisa tersebut yag ilaiya lebih besar daripada 450. c) Tetuka jumlah suku pertama barisa tersebut.

11 . Tetuka ilai k pada setiap barisa aritmetika yag terdiri atas tiga bilaga sebagai berikut: a) 3, k, 3 b) k + 1, k + 1, 13 c) 5, k, k 8 3. Tetuka suku ke- dalam betuk yag palig sederhaa jika diketahui dua suku barisa aritmetika: a) a 7 = 41, a 13 = 77 b) a 5 =, a 13 = 77 c) a 7 = 1, a 15 = Tetuka (tulis suku-suku) barisa aritmetika dega cara: a) Meyisipka tiga bilaga atara 5 da 10. b) Meyisipka eam bilaga atara -1 da Jumlah 5 buah bilaga yag membetuk barisa aritmetika adalah 75. Jika hasil kali bilaga terkecil da terbesar adalah 161, tetuka selisih bilaga terbesar da bilaga terkecil. 6. Suku pertama suatu deret aritmetika adalah 5, suku terakhirya adalah 3, da selisih suku ke-8 dega suku ke-3 adalah 10. Tetuka bayak suku dalam deret itu. 7. Jumlah suku pertama suatu deret aritmetika adalah S = 6. Tetuka suku ke- deret tersebut. 8. Jumlah dari 33 suku pertama dari deret aritmetika adalah 891. Jika suku pertama deret tersebut adalah 7, tetuka suku ke Lima belas bilaga membetuk deret aritmetika dega beda positif. Jika jumlah suku ke- 13 da ke-15 sama dega 188 da selisih suku ke-13 da ke-15 sama dega 14, tetuka jumlah lima suku terakhir. 10. Tetuka jumlah bilaga di atara 5 da 100 yag habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi Suku tegah suatu deret aritmetika adalah 5. Jika bedaya adalah 4 da suku ke-5 adalah 1, tetuka jumlah semua suku barisa tersebut. 1. Sebuah deret aritmetika mempuyai suku ketiga -11 da jumlah dua puluh suku yag pertama 30, tetuka jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut. 13. Pada barisa aritmetika 1, 3, 5, 7,... a) Tetuka suku ke- b) Buktika bahwa S = c) Periksa hasil tersebut dega meghitug S 1, S, S 3, S Sisipka sejumlah bilaga atara 1 da 50 sehigga membetuk barisa aritmetika yag jumlahya Akar-akar persamaa x 4 + 4x 3 84x 176x = 0 membetuk suatu barisa aritmetika. Tetuka akar-akar tersebut. 16. Suatu deret aritmetika mempuyai jumlah parsial ke- S = (7 + 5). Tetuka: a) jumlah parsial ke berapa yag ilaiya 45, b) suku ke Suatu deret aritmetika mempuyai jumlah parsial ke- 100a 1 da suku ke- 9a 1 dega a 1 0. Tetuka ilai. 18. Suatu deret aritmetika mempuyai beda 3, suku ke- 93 da jumlah parsial ke Tetuka ilai. 19. Jumlah parsial ke- suatu deret aritmetika adalah S = Tetuka beda barisa aritmetika tersebut. 0. Suatu deret aritmetika mempuyai suku ke-3 sama dega -7 da suku ke-7 sama dega 9. Tetuka jumlah parsial ke Berapakah hasil pejumlaha ? 9

12 E. Barisa da Deret Geometri Defiisi: Suatu barisa geometri adalah suatu barisa bilaga yag mempuyai pola tertetu, yaki tiap suku (kecuali suku pertama) diperoleh dega cara megalika suku sebelumya dega dega suatu bilaga tetap selai ol. Dega kata lai, pada suatu barisa geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dega suku sebelumya selalu sama. Bilaga pegali atau hasil bagi tersebut diamaka pembadig atau rasio atau ada yag meyebut rasio bersama da biasaya disimbolka dega huruf r. Jadi, barisa a 1, a, a 3, merupaka suatu barisa geometri apabila terdapat r 0 sedemikia higga: a +1 = a r atau a +1 = r utuk = 1,, 3, Sutau deret geometri adalah jumlah suku-suku barisa geometri. 1. Rumus Suku ke- Barisa Geometri a Misalka barisa a 1, a, a 3, merupaka suatu barisa geometri. Meurut defiisi, berarti terdapat r 0 sedemikia higga: a = a 1 r a 3 = a r = a 1 r a 4 = a 3 r = a 1 r 3 a = a 1 r = a 1 r 1. Jadi, apabila suku pertama suatu barisa geometri adalah a da rasioya r, maka suku ke- adalah a = ar 1. Bagaimaa jika yag diketahui dua suku yag tidak berturuta? Misalka a m da a k adalah berturut-turut suku ke-m da suku ke-k suatu barisa geometri. Aggap m > k. Misalka suku pertamaya adalah a da rasioya adalah r. Dari hasil di atas diperoleh: (1) a k = ar k 1 () a m = ar m 1 = ar k 1 r m k = a k r m k Dari () dapat dihitug r, kemudia dari (1) dapat dihitug a, da barisa geometriya dapat ditetuka. Cotoh 11: Jika suku ke-1 satu barisa geometri adalah 7 da suku ke-4 sama dega 1, tetuka barisa geometri tersebut. Jawab: Diketahui a 1 = 7 da a 4 = 1. Meurut rumus suku ke- barisa geometri diperoleh 1 = a 4 = a 1 r 3 = 7r 3, sehigga r = 1. Jadi, barisa geometri yag dimaksud adalah 3 7, 9, 3, 1, 1 3, atau a = 7r 1, = 1,, 3, Cotoh 1 (Hubuga barisa geometri da barisa aritmetika): Perhatika barisa geometri

13 a, ar, ar, ar 3,. yag mempuyai suku pertama a da rasio r. Logaritma suku-suku barisa geometri tersebut membetuk barisa log a, log ar, log ar, log ar 3,. atau log a, (log a + log r), (log a + log r), (log a + 3 log r), yag teryata membetuk barisa aritmetika dega suku pertama log a da beda log r. Jadi, logaritma suku-suku barisa geometri membetuk barisa aritmetika. Latiha 4 1. Dalam suatu kejuaraa basket, setiap tim pertadig melawa salah satu tim lai pada setiap putara. Tim yag kalah bertadig tidak maju pada babak berikutya. Apabila pada babak pertama terdapat 18 tim. Tetuka bayakya pertadiga sampai kejuaraa tersebut selesai.. Tetuka rasio, suku umum, da suku ke-10 barisa geometri yag diketahui: a) suku pertama 8 da suku ke-6 adalah 1 4 b) suku pertama 3 da suku ke-5 adalah 43 c) suku ke-3 adalah 1 da suku ke-6 adalah 96 d) suku ke-4 adalah 16 da suku ke-6 adalah Tiga bilaga membetuk barisa geometri. Jika hasilkaliya adalah 16 da jumlahya 6, tetuka rasio deret tersebut. 4. Suku pertama da suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah r da r x. Jika suku ke-5 deret tersebut adalah r 18, tetuka ilai x. 5. Diketahui x 1 da x adalah akar-akar persamaa kuadrat x + ax + b = 0. Jika tiga bilaga 1, x 1, x membetuk suatu barisa aritmetika da tiga bilaga x 1, x, 4 membetuk suatu barisa geometri, tetuka diskrimia persamaa kuadrat tersebut.. Jumlah suku pertama barisa geometri Jumlah suku pertama suatu barisa geometri merupaka deret geometri, yaki S = a 1 + a 1 r + a 1 r + + a 1 r 1 dega a 1 suku pertama da r 1 adalah rasioya. Jika kedua ruas dikalika r, maka diperoleh rs = a 1 r + a 1 r + + a 1 r 1 + a 1 r, sehigga: S rs = a 1 a 1 r atau (1 r)s = a 1 (1 r ). (1) Apabila r 1, maka diperoleh S = a 1 (1 r ) = a 1 (r 1). 1 r r 1 () Utuk r = 1, a 1 = a = a = = a sehigga S = a 1. Kometar: Ada yag megataka/meuliska bahwa rumus S = a 1 (1 r ) berlaku utuk 0 < r < 1 da 1 r rumus S = a 1 (r 1) berlaku utuk ilai r yag lai. Hal ii tidak sepeuhya bear, karea r 1 kedua rumus adalah idetik da berlaku utuk semua r 1. (Apakah rumus tersebut berlaku utuk r = 0?) Cotoh 13: Diketahui deret geometri Tetuka rasio deret tersebut. Tetuka suku ke-1 11

14 3. Tetuka jumlah 9 suku pertama pada deret tersebut Jawab: a. Rasio deret tersebut adalah: 6 = 18 = 54 = b. Karea suku pertama a = da rasioya r = 3, maka suku ke- adalah a = 3 1, sehigga suku ke-1 adalah a 1 = 3 0. c. S 9 = 39 1 = = Latiha 5: 1. Tiga bilaga merupaka suku-suku berturuta suatu deret aritmetika. Selisih bilaga ketiga dega bilaga pertama adalah 6. Jika bilaga ketiga ditambah 3 maka ketiga bilaga tersebut merupaka deret geometri. Tetuka jumlah dari kuadrat bilaga tersebut.. Persamaa x + x + k = 0 mempuyai akar-akar x 1 da x. Apabila bilaga-bilaga 1 x 1, x, (x 1x ) membetuk suatu barisa geometri, tetuka suku keempat deret tersebut. 3. Suatu deret geometri terdiri atas 7 suku dega suku tegah da terakhir masig-masig adalah 40 da 190. Tetuka jumlah deret geometri tersebut. 4. Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri. Jika hasil kaliya adalah 16 da jumlahya 6, tetuka rasio deret tersebut. 5. Jika rasio deret geometri adalah 3 da suku ke-8 adalah 10935, tetuka suku ke-5 deret tersebut. 6. Hituglah jumlah parsial ke-11 pada deret geometri Tujuka bahwa = Suatu deret geometri mempuyai suku ke-8 sama dega 640 da suku ke-3 sama dega 0. Hituglah jumlah parsial ke Perbadiga jumlah tiga suku pertama suatu deret geometri da jumlah suku-suku ke-4, ke-5, da ke-6 adalah 8:7. Apabila suku ke-3 sama dega 8, tetuka rasio deret geometri tersebut. 3. Deret Geometri Tak Berhigga Berpakah jumlah deret geometri sampai tak berhigga suku? Sebearya tidaklah mugki meghitug deret tak berhigga tersebut, karea kita tidak tahu berapa suku terakhirya. Aka tetapi dalam matematika kita dapat megguaka kosep limit. Sebelumya kita sudah medapatka rumus jumlah suku pertama suatu deret geometri yag rasioya selai 1, yaki S = a 1 (1 r ). Apabila ilai medekati tak 1 r berhigga berarti kita mejumlahka deret tak berhigga, da ii biasaya dituliska sebagai: S = a 1 + a 1 r + a 1 r + a 1 r 3 +. = lim S a = lim 1(1 r ) 1 r = a 1 lim 1 r (1 r ) = a 1 (1 lim 1 r r )

15 = a 1 (1 0), jika r < 1 1 r = a 1, jika r < 1. 1 r Perhatika bahwa keberadaa ilai jumlah tak berhigga suatu deret geometri sagat tergatug pada ilai rasioya, yaki r. (1) Utuk r > 1, lim r tidak mempuyai ilai (hasilya ± ), sehigga S tidak dapat dihitug. Dalam hal deret geometri tersebut dikataka diverge. () Utuk 1 < r < 1, lim r = 0, sehigga Cotoh 14: Suatu deret geometri tak berhigga mempuyai suku pertama 1 da jumlah suku-suku yag beromor gajil adalah. Apabila deret tersebut mempuayi rasio positif, tetuka jumlah deret tersebut. Jawab: Misalka deret geometriya adalah: 1 + r + r + r 3 + r 4 + Jumlah suku-suku beromor gajil adalah: 1 + r + r 4 + merupaka suatu deret geometri dega suku pertama 1 da rasio r. Karea diketahui = 1 + r + r 4 + r 6 + = 1 1 r, maka 1 r = 1 atau r = 1. Karea diketahui r > 0, maka r = 1. Jadi, jumlah deret semula adalah S = 1 + r + r + r 3 + r 4 + = 1 1 r = =. Latiha 6: 1. Suku-suku suatu barisa geometri tak berhigga adalah positif, jumlah suku pertama da kedua adalah 45 da jumlah suku ketiga da keempat adalah 0. Tetuka jumlah suku-suku barisa tersebut.. Suatu deret geometri tak berhigga mempuyai rasio 7 log(3x ). Jika deret ii mempuyai jumlah (koverge), tetuka ilai x. 3. Tetuka jumlah deret tak berhigga: 1 ta 30 o + ta 4 30 o ta 6 30 o + + ( 1) ta 30 o Suatu deret geometri koverge mempuyai limit (jumlah tak berhigga) 1, sedagka suku ke- da ke-4 berturut-turut adalah da 8. Tetuka suku pertamaya Suatu deret geometri tak berhigga mempyai suku-suku positif, jumlah suku-suku a 1 + a = 45 da a 3 + a 4 = 0. Tetuka jumlah deret tersebut. 6. Jika jumlah semua suku deret geometri tak higga adalah 96 da jumlah semua sukuya yag berideks gajil adalah 64, tetuka suku ke-4 deret tersebut. 7. Hituglah Tetuka ilai x agar deret geometri + (x + 1) + (x ) + koverge 9. Suatu deret geometri yag suku-sukuya positif mempuyai jumlah tak berhigga sama dega 4 1. Apabila suku ke- sama dega tetuka suku pertama da rasio deret 6 3 tersebut. 10. Tujukka bahwa deret geometri (5) 5 + (5) 4 + (5) 3 + (5) + koverge, kemudia tetuka jumlah parsial ke-. 13

16 F. Notasi Sigma ( ) Di dalam matematika bayak diguaka berbagai simbol utuk meyigkat da meyederhaaka peulisa ekspresi-ekspresi yag pajag da rumit. Demikia juga, utuk meuliska suatu deret dapat diguaka otasi sigma ( ) yag merupaka huruf besar "S" dalam alfabet Yuai, yag berarti "jumlah". Deret a 1 + a + a a dapat disigkat mejadi. Jadi, k=1 a k a k = a 1 + a + a a. k=1 Pada otasi sigma, kita mejumlahka ekspresi yag tertulis disebelah kaa utuk semua ilai ideks mulai ilai ideks yag tertulis di bawah tada sampai ilai ideks yag tertulis di atas tada. Apabila otasi sigma ditulis di tegah suatu kalimat, biasaya retag ilai ideks ditulis buka di bawah da di atasya, tapi di pojok kaa bawah da kaa atas. Hal ii bertujua utuk meghidari spasi kosog yag terlalu lebar atar baris (lihat cotohcotoh tampila di atas). Berikut adalah cotoh-cotoh pegguaa otasi sigma. Cotoh 15: i=5 i = = 6 (5 + 10) = k=1 k 10 = = (1 + ) (Megapa?) 3. k=1 = = 10 = suku k=1 3x k = 3x + 3x + 3x x =1 a = a 1 + a + a 3 + Berikut adalah beberapa sifat aljabar yag berlaku utuk otasi sigma. 1. Utuk setiap barisa {a k } da {b k } berlaku (a k ± b k ) = a k ± b k. k=1. Utuk setiap kostata p yag tidak tergatug ilaiya pada ideks i, berlaku k=1 k=1 pa i i=1 = p a i. i=1 Pertayaa: Apakah berlaku k=1 a k b k = k=1 a k k=1 b k? Megapa? Dega megguaka hasil-hasil da sifat-sifat di atas, kita dapat meemu-ka rumus jumlah parsial deret aritmetika. Seperti sudah diketahui, suku ke-k deret aritmetika yag mempuyai

17 suku pertama a da beda b adalah a k = a + (k 1)b. Dega demikia kita dapat meuliska deret aritmetika dega megguaka otasi sigma sebagai berikut. a + (a + b) + (a + b) + + (a + [ 1]b) = (a + [k 1]b) k=1 = a + (k 1)b k=1 k=1 = a + b (k 1) k=1 = a + b k b 1 = a + b (1 + ) b = [a + (b(1 + ) b] = [a + ( 1)b] = S. Demikia pula, deret geometri dapat diyataka dega megguaka otasi sigma sebagai berikut: Latiha 7: 1 k=1 a + ar + ar + ar ar 1 = ar k = a r k 1. Nyataka 0 suku pertama deret dega meggua-ka otasi. 4. Hituglah: a. 4 =1 3() 1 6 b. 3 1 k= 3 k+ k=0 1 k=0 k=1 c. 1 1 k=1 5 k 1 3. Tetuka ilai jika diketahui 8 1 k=1 k = G. Aplikasi Barisa da Deret Barisa da deret mempuyai peerapa dalam berbagai persoala dalam matematika. Berikut adalah beberapa cotoh soal yag peyelesaiaya megguaka barisa/deret aritmetika da geometri. Cotoh 16 (Bayak jabata taga): Dalam sebuah pertemua setiap tamu laki-laki berjabat taga dega setiap tamu laki-laki lai, da setiap tamu perempua berjabat taga dega setiap tamu perempua lai. 15

18 a. Apabila terdapat 10 tamu laki-laki da 7 tamu perempua, berapakah bayak jabata taga? b. Apabila terdapat tamu laki-laki da m tamu perempua, berpakah bayak jabata taga? Jawab: a. Bayak jabata taga di atara 10 tamu laki-laki adalah = 9 (9 + 1) = 45. Bayakya jabat taga di atara 7 tamu perempua adalah = 6 (6 + 1) = 1. Jadi, total bayakya jabat taga adalah 45+1=66. b. Dari hasil a) dapat disimpulka bahwa bayakya jabat taga di aatara tamu lakilaki adalah ( 1), da bayakya jabat taga di atara m tamu perempua adalah (m 1)m Cotoh 17:. Jadi total bayakya jabat taga adalah 1 [( 1) + (m 1)m]. Diketahui sebuah persegi berukura 4 4 cm. Setiap titik tegah suatu sisi dihubugka dega titik tegah sisi-sisi yag berdekata sehigga terbetuk persegi baru. Proses ii dilajutka terus. a. Apabila proses dilajutka 9 kali, berapakah jumlah semua persegi yag terbetuk? b. Apabila proses dilajutka tapa berheti, berapakah jumlah semua persegi yag terbetuk? Jawab: Proses tersebut meghasilka barisa persegi yag luasya 16, 8, 4,, 1, 1, da merupaka barisa geometri dega suku pertama 16 da rasio ½. Jadi, a. Jika prosesya 9 kali, maka jumlah luas persegi yag terbetuk adalah = 1 1 = cm. b. Jika prosesya tapa berheti,maka julmlah luas persegi yag terbetuk adalah = = 3 cm. Cotoh 18 (meabug sekali): Pada awal bula seseorag meabug sejumlah A di salah satu bak. Bak memberika buga p per bula (bersih sudah dipotog pajak da bea admiistrasi) yag dibayar setiap awal bula, mulai bula berikutya. Maka: 1. Pada awal bula ke-, jumlah tabuga adalah: A = A + pa = A(1 + p).. Pada awal bula ke-3, jumlah tabuga adalah: A 3 = A + pa

19 = A(1 + p) + pa(1 + p) = A(1 + p)(1 + p) = A(1 + p) 3. Secara umum, apabila tidak perah diambil, jumlah tabuga pada awal buka ke- adalah Cotoh 19 (meabug ruti): A = A(1 + p) 1, Setiap awal bula seseorag meabug sejumlah A di salah satu bak. Bak memberika buga p per bula (bersih sudah dipotog pajak da bea admiistrasi) yag dibayar setiap awal bula, mulai bula berikutya. Maka: 1. Pada awal bula ke-, jumlah tabuga adalah: A = A + (A + pa) = A + A(1 + p).. Pada awal bula ke-3, jumlah tabuga adalah: A 3 = A + (A + pa ) = A + [A + A(1 + p) + p A + A(1 + p) ] = A + [A + A(1 + p) + pa + pa(1 + p)] = A + A(1 + p) + A(1 + p) 3. Secara umum, apabila tidak perah diambil, jumlah tabuga pada awal buka ke- adalah Latiha 8: A = A[1 + (1 + p) + (1 + p) + + (1 + p) 1 ] = A (1 + p) k 1. Sebuah bola jatuh dari ketiggia 10 m da mematul kembali dega ketiggia 3 kali 4 tiggi sebelumya. Pematula ii berlagsug terus meerus higga berheti. Tetuka jumlah seluruh litasa bola.. Seorag karyawa meabug dega teratur setiap bula. Uag yag ditabug setiap bula selalu lebih besar dari bula sebelumya dega selisih yag sama. Jika jumlah seluruh tabugaya selama 1 bula pertama adalah 19 ribu rupiah da selama 0 bula pertama adalah 480 ribu rupiah, tetuka besar uag yag ditabug pada bula kesepuluh. 3. Tigkat pertumbuha peduduk di suatu daerah pemukima baru adalah 10% per tahu. Tetuka keaika jumlah peduduk dalam waktu 4 tahu. 4. Jumlah peduduk kota A selama lima bula berturut-turut membetuk sutu deret geometri. Pada tahu terakhir jumlah pedudukya 4 juta, sedagka jumlah tahu pertama da ketiga sama dega 1 1 juta. Tetuka jumlah peduduk kota A pada tahu keempat Keutuga seorag pedagag bertambah setiap bula dega jumlah yag sama. Jika keutuga sampai bula keempat 30 ribu rupiah, da sampai bula kedelapa 17 ribu rupiah, tetuka keutuga sampai bula ke-18. I. Ragkuma 1. Barisa, Deret, da Notasi Sigma a. Barisa adalah fugsi yag domaiya himpua bilaga asli. b. Setiap bilaga dalam suatu barisa merupaka kawa suatu bilaga asli da diamaka suku. c. Jumlah suku-suku suatu barisa disebut barisa. 1 k=0 17

20 d. Jumlah suku pertama suatu barisa disebut jumlah umum atau jumlah parsial ke-, biasaya diyatka dega S. e. Setiap deret dapat diyataka dega megguaka otasi sigma ( ): k=1 a k = a 1 + a + a a f. Notasi sigma mempuyai sifat: i. k=1 (a k ± b k ) = k=1 a k + k=1 b k ii. k=1 pa k = p k=1 a k. Barisa da Deret Aritmetika a. Barisa bilaga a 1, a, a 3, merupaka barisa aritmetika jika terdapat suatu bilaga b sedemikia higga a a 1 = b utuk setiap bilaga asli. Bilaga b disebut beda atau selisih. b. Suku umum barisa aritmetika yag mempuyai suku pertama a da beda b adalah a = a + ( 1)b utuk setiap 1. c. Suku tegah suatu barisa aritmetika merupaka rata-rata dua suku yag megapitya, yaki a = 1 (a k + a +k ) utuk setiap bilaga-bilaga asli > k 1. d. Jumlah parsial ke- deret aritmetika yag mempuyai suku pertama a da beda b adalah S = a + (k 1)b = [a + ( 1)b] = (a + a ). k=1 e. Suatu barisa aritmetika dapat diketahui (atau ditetuka) oleh dua hal, yaki: 1) dua suku barisa tersebut: b = (a a m ), utuk > m 1 ( m) ) salah satu suku da bedaya: a = a k + ( k)b, 1 3) salah satu suku da jumlah beberapa suku pertama yag memuat suku yag diketahui tersebut: S = {(a k + (1 k)b) + [ 1]b} = a k + ( k + 1)b, > k 1. 4) jumlah beberapa suku pertama da bedaya. 3. Barisa da Deret Geometri a. Barisa bilaga a 1, a, a 3, merupaka barisa geometri jika terdapat suatu bilaga r 0 sedemikia higga a = r utuk setiap bilaga asli. Bilagar r a 1 disebut rasio. b. Suku umum barisa geometri yag mempuyai suku pertama a da rasio r adalah a = ar 1 utuk setiap 1. c. Jumlah parsial ke- deret geometri yag mempuyai suku pertama a da rasio r adalah S = ar (k 1) k=1 = a(1 r ) (1 r) = a(r 1), r 1. (r 1) d. Apabila suatu deret geometri mempuyai rasio r dega r < 1, maka deretya koverge da mempuyai jumlah tak berhigga S = lim S = a, dega a adalah suku pertama. 1 r II. Daftar Pustaka

21 Beecher, Pea, Bittiger (006). Algebra ad Trigoometry, 3rd ed. New York: Pearso Addiso-Wesley (Pearso Educatio Ic) FHSS Authors (008). The Free High School Sciece Texts: Textbooks for High School Studets Studyig the Sciece, Mathematics Grades Jerald Murdock, Elle Kamischke, Eric Kamischke (004). Discoverig Advaced Algebra: a Itroducatio. Emryville, CA: Key Curriculum Press Paul Urba et. al. (004). Mathematics for the Iteratioal Studets, HL Core. Adelaide: Hase & Harris Pubs. 19

22

23 Barisa Tak Berhigga A. Defiisi Barisa (Megulag) Suatu barisa bilaga a 1, a, a 3, merupaka suatu susua bilaga-bilaga meurut uruta yag sesuai dega uruta bilaga asli. Dega kata lai, suatu barisa merupaka fugsi yag domaiya himpua bilaga asli, dimulai dari 1. Setiap bilaga pada suatu barisa disebut suku barisa. Jadi, utuk setiap bilaga asli pada domai barisa terdapat suatu bilaga a yag disebut suku ke-. Utuk mempersigkat peulisa, barisa a 1, a, a 3, biasaya ditulis dega {a } =1 atau cukup dega {a }. Cotoh-cotoh: 1. Barisa dega rumus suku ke- a =, 1, adalah: 1,, 3, 4, Barisa dega rumus suku ke- a = 1 + ( 1) 1, 1, adalah: 0, 3,, 5, 4, Barisa dega rumus suku ke- a = ( 1) +1, 1, adalah:, 3, 4, 5, Barisa dega rumus suku ke- a = 3, 3, adalah: 0,1,, 3, 4, 5. Barisa dega rumus suku ke- a = cos π 3, 1, adalah:, 1, 0, 1, 3, Barisa dega rumus suku ke- a = ( 1) 1 +, 1, adalah: 3, 4, 5, 6, Secara geometris barisa-barisa di atas dapat digambar sebagai berikut a = + 1 a = 1 + ( 1) a 0.75 a Gb1a. Deret { +1 } ( 1) Gb 1b. Deret {1 + } 0.4 a = ( 1) : a = p 3; a a Gb 1c. Deret {( 1). +1 } Gb 1d. Deret 3 3 =3

24 a = cos ¼ a a a = ( 1) 1 : Gb 1e. Deret cos ( π )} Gb 1f. Deret {( 1) } B. Macam-macam perilaku Barisa Terdapat beberapa tipe yag meujukka perilaku suatu barisa berdasarka ilai sukusukuya. Kita dapat megelompokka suatu barisa berdasarka perilaku suku-sukuya sebagai berikut. 1. Barisa mooto Barisa yag suku-sukuya tidak aik atau tidak turu disebut barisa mooto. Cotoh: 1). 3,, 1, 1, 1, 1,... ). 1, 1, 1,,, 3, 3, 3,... Barisa yag suku-sukuya aik da turu merupaka barisa yag tidak mooto. Cotoh: 1). 1, -1, 1, -1, 1, -1,... ). 1, -, 3, -4, 5, -6,... a. Barisa mooto aik: barisa yag suku-sukuya tidak perah turu, yaki a a +1 utuk setiap. Cotoh: 1). 1, 1,,, 3, 3,... Jikai a < a +1 utuk setiap, barisaya disebut mooto aik muri. Cotoh: 1). 1,, 3, 4, 5,... ). 1,, 3, 4, 5, b. Barisa mooto turu: barisa yag suku-sukuya tidak perah aik, yaki a a +1 utuk setiap. Cotoh: 1). 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3 3 Jikai a > a +1 utuk setiap, barisaya disebut mooto turu muri. Cotoh: 1). 1, 1, 1, 1, 1, 3 4 5

25 . Barisa terbatas: barisa yag semua sukuya terletak di atara dua bilaga riil, artiya terdapat dua bilaga riil m da M sedemikia higga m a M utuk semua. Dega kata lai, terdapat suatu bilaga rill R sedemikia higga a P utuk semua. Cotoh: 1). { } adalah barisa terbatas, karea 1 1 utuk setiap ). {cos( π )} adalah barisa terbatas, karea 1 cos 6 π 1 utuk setiap. 6 a. Barisa terbatas ke atas: yaki suatu barisa yag semua sukuya kurag daripada suatu ilai tertetu. Artiya, terdapat bilaga riil M sedemikia higga a M utuk semua. Cotoh: 1). { } adalah barisa terbatas ke atas, karea 0 utuk semua bilaga asli. b. Barisa terbatas ke bawah: yaki suatu barisa yag semua sukuya lebih besar daripada suatu ilai tertetu. Artiya, terdapat bilaga riil m sedemikia higga a m utuk semua. Cotoh: 1). { 3} adalah barisa terbatas ke bawah, karea 3 0 utuk semua 3 Barisa yag terbatas adalah barisa yag terbatas ke atas da ke bawah. Pertayaa: 1). Apakah semua barisa pasti terbatas, terbatas ke atas, atau terbatas ke bawah? Berika cotohya! ). Apakah semua barisa mooto pasti terbatas? Berika cotohya! 3). Apakah semua barisa terbatas pasti mooto? Berika cotohya! C. Limit da Kekovergea Barisa Utuk setiap barisa tak berhigga, kita dapat memperhatika bagaimaa kecederuga suku-sukuya, apakah maki lama ilaiya meuju ke suatu ilai tertetu atau tidak. Apabila suku-suku suatu barisa ilaiya maki lama meuju ke suatu ilai (bilaga) tertetu, maka barisa tersebut dikataka koverge. Sebalikya, apabila maki lama ilai suku-suku suatu barisa tidak meuju ke suatu ilai (bilaga) tertetu, barisa tersebut dikataka diverge. Perhatika, utuk megetahui apakah suatu barisa koverge atau tidak kita haya memperhatika suku-suku yag di "belakag", buka suku-suku yag di "depa". Secara matematis, kekovergea suatu barisa didefiisika sebagai berikut: Suatu barisa {a } dikataka koverge apabila lim a ada ilaiya. Selajutya, dikataka barisa {a } koverge ke A, atau lim a = A (dega A adalah suatu bilaga yata), apabila utuk setiap bilaga positif ε, terdapat bilaga asli N, sedemikia higga utuk setiap N berlaku a A < ε. Sebalikya, apabila lim a tidak ada ilaiya, barisa tersebut dikataka diverge. Ilustrasi pegertia limit barisa ditujukka pada Gb. Perhatika, jika dibadigka dega limit fugsi, perbedaa lim a = A da lim x f(x) = A adalah bahwa harus bilaga asli. Dega demikia, kita dapat merumuska hasil sebagai berikut. Teorema: Jika lim x f(x) = A da a = f(), maka lim a = A. 3

26 a A + ² A A ² a M a 1 a a +1 a M a 1 a 3 a 5 a A-ε A A+ε 6 a 4 a Cotoh: Gb. Ilustrasi lim ( ) a = A Barisa 1,, 3, 4, koverge ke 1, yaki lim ( ) a = 1. Hal ii dapat ditujukka bahwa utuk setiap ε > 0, terdapat bilaga asli M, sedemikia higga jika > M berlaku a 1 = 1 = 1 < ε atau > 1 1. Jadi, dalam hal M dapat dipilih bilaga asli yag lebih ε besar atau sama dega ( 1 1). ε Mucul pertayaa mearik, yaki jika memperhatika perilaku suatu barisa, kapa suatu barisa koverge? Dega kata lai, apa syarat suatu barisa mempuyai limit?