BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA"

Transkripsi

1 MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010

2

3 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI A. Kompetesi yag diharapka 1. Meetuka suku ke- (atau pola) suatu barisa bilaga. Meetuka suku ke- suatu barisa aritmatika da jumlah suku pertama suatu deret aritmatika 3. Meetuka suku ke- suatu barisa geometri da jumlah suku pertama suatu deret geometri 4. Meghitug jumlah deret geometri tak higga 5. Meuliska suatu deret aritmetika da suatu deret geometri dega otasi sigma 6. Meyelesaika masalah matematika yag berkaita dega barisa da deret B. Idikator 1. Meetuka pola atau rumus suku ke- suatu barisa bilaga. Mejelaska pegertia suatu barisa bilaga 3. Mejelaska cara-cara meuliska suatu barisa bilaga 4. Mejelaska pegertia barisa aritmetika da barisa geometri 5. Meetuka rumus suku ke- suatu barisa aritmetika 6. Meetuka rumus suku ke- suatu barisa geometri 7. Mejelaska pegertia suatu deret bilaga 8. Meuliska deret aritmetika da deret geometri dega otasi sigma 9. Meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret aritmetika 10. Meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret geometri 11. Meghitug jumlah deret geometri tak higga yag koverge 1. Meyelesaika masalah yag berkaita dega barisa da deret. C. Pola Bilaga da Barisa Bilaga Utuk membahas tetag barisa da deret bilaga kita mulai dega permasalahapermasalaha sebagai berikut. 1. Meata tempat duduk. Di sekelilig sebuah meja persegi dapat ditem-patka empat kursi. Di sekelilig dua meja persegi yag dijajarka merapat dapat ditempatka eam kursi, da seterusya seperti terlihat pada gambar di bawah ii. Ada berapa kursi yag dapat ditata jika terdapat 10 meja?. Perhatika pola pada gambar di bawah ii yag masig-masig disusu dega megguaka beberapa persegi berukura 1 1 cm. Apabila gambar tersebut dilajutka, pada gambar ke berapakah yag mempu-yai kelilig 40 cm?

4 3. Perhatika pola geometri di bawah ii. Apabila pola tersebut dilajut-ka tapa berakhir aka dihasilka sebuah fraktal yag disebut segitiga Sierpiski. Apabila gambar tersebut dilajutka, terdapat berapa segi-tiga berwara pada gambar ke-10? 4. Berikut adalah gambar beberapa ligkara yag disusu dega megi-kuti pola tertetu. Apabila gambar tersebut dilajutka, berapakah bayakya ligkara pada gambar ke-10? Marilah kita bahas satu per satu permasalaha-permasalaha di atas. Utuk mejawab setiap masalah, kita dapat membuat tabel yag sesuai. 1. Utuk masalah pertama, kita buat tabel sebagai berikut. Bayakya meja Bayakya kursi 4 6=x+ 8=x Dega memperhatika pola susua meja da kursi, teryata terdapat hubuga atara bayakya meja da bayakya kursi, yaki jika terdapat meja, maka terdapat + kursi. Jadi, jika terdapat 10 meja, maka terdapat kursi.. Utuk masalah kedua juga kita buat tabel sebagai berikut. Gambar ke Bayakya persegi Kelilig bagu 4=4x1 8=4x3-x 1=4x5-x4 4 ( 1) ( ) Dega memperhatika pola gambar da tabel di atas, dapat disimpulka bahwa kelilig gambar ke- adalah 4 ( 1) ( ) = 4. Jadi, bagu yag mempuyai kelilig 40 adalah gambar ke-10. Catata: Perhituga kelilig di atas diperoleh dari mejumlahka kelilig semua persegi dikuragi pajag sisi-sisi yag tidak dihitug. Ada mugki dapat lagsug meyimpulka rumus kelilig bagu dega memperhatika pola bilaga pada baris ketiga pada tabel di atas. 3. Lagi-lagi, utuk meyelesaika soal omor tiga kita juga dapat membuat tabel sebagai berikut. Gambar ke Bayakya setitiga berwara 1= 3 0 3= 3 1 9= 3 7= Perhatika bahwa bilaga-bilaga pada baris kedua membetuk suatu pola tertetu, yaki pada gambar ke- bayakya segitiga berwara adalah 3 1. Jadi, pada gambar ke- 10 terdapat 3 9 segitiga berwara. 4. Sekali lagi, utuk meyelesaika soal omor 4 kita dapat membuat tabel sebagai berikut. Gambar ke Bayakya ligkara 1= 1 3= 3 6= = ( + 1)

5 Dega demikia, bayakya ligkara pada gambar ke-10 adalah 55. Dari cotoh-cotoh soal di atas kita dapat meuliska barisa bilaga yag sesuai sebagai berikut. 1. Bayakya kursi : 4, 6, 8,.... Kelilig bagu : 4, 8, 1, Bayakya segitiga berwara : 1, 3, 9, 7, Bayakya ligkara : 1, 3, 6, 10,... Bilaga-bilaga pada masig-masig cotoh tersebut membetuk suatu barisa bilaga dega pola tertetu. Tada tiga titik (...) meujukka adaya bilaga-bilaga berikutya, sebayak tak higga. Selai itu, setiap bilaga pada masig-masig barisa selalu dikaitka dega suatu bilaga asli yag meujukka posisi bilaga tersebut (dalam koteks cotohcotoh di atas, posisi meujukka gambar ke-). Jadi, kita dapat mema-dag suatu barisa sebagai suatu fugsi yag domaiya berupa himpua bilaga-bilaga asli. Defiisi: Suatu barisa bilaga adalah suatu fugsi yag mempuyai domai (daerah asal) himpua bilaga-bilaga asli berturua mulai dari 1. Barisa yag mempuyai domai himpua bilaga asli berhigga {1,, 3,, }, utuk suatu bilaga asli, disebut barisa berhigga. Barisa yag mempuyai domai himpua semua bilaga asli {1,, 3, } disebut barisa tak berhigga. Setiap bilaga (kawa suatu bilaga asli) dalam suatu barisa disebut suku barisa tersebut. Suku ke- (serig disebut juga suku umum) suatu barisa adalah kawa bilaga asli, da biasa ditulis dega simbol a, u, s, t da sebagaiya, sehigga suatu barisa biasa diyataka dega simbol seperti {a }. Apabila retag ilai tidak ditulis, diaggap barisaya tak berhigga. Suatu barisa dapat ditulis dega berbagai cara, yaki sebagai berikut. 1. Dega meuliska semua sukuya (khusus utuk barisa berhigga), misalya: a. 1,, 3,, 4, 5, 6, 7, 5, 10. b. 1, -1,, -, 3, 4, 5, -5, 1. c. 1, 1, 1,,,, 3, 3, 3, 5, 6, 7.. Dega meuliska beberapa suku pertama, seperti cotoh-cotoh sebelumya. Cotoh yag lai adalah sebagai berikut: a. 1, -1,, -, 3, -3,... b. 1, 1,, 3, 5, 8,... c. 1, 1/, 1/3, 1/4,... d. 1,, 4, 8, 16, Dega meuliska rumus suku ke- (suku umumya), misalya: a. a = ( + 1), = 1,, 3, b. a = 4, = 1,, 3, c. a = 3 1, = 1,, 3, d. a = (+1), = 1,, 3, 3

6 4. Dega meuliska hubuga atara dua suku berturua (hubuga rekursif), asalka salah satu suku diketahui, misalya: a. a 1 = 4; a = a 1 +, =, 3, 4, b. a 1 = 4; a = a 1 + 4, =, 3, 4, c. a 1 = 1; a = 3a 1, =, 3, 4, d. a 1 = 1; a = a 1 +, =, 3, 4, 5. Dega meyebutka sifat-sifat bilaga pada barisa, misalya: a. Barisa bilaga geap positif:, 4, 6, 8,... b. Barisa bilaga gajil positif: 1, 3, 5, 7,... c. Barisa bilaga prima kurag dari 0:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. d. Barisa bilaga kuadrat: 1, 4, 9, 14, 5,... e. Barisa bilaga segitiga: 1, 3, 6, 10, 15,... Dari cotoh-cotoh di atas dapat diketahui bahwa terdapat barisa bilaga yag tidak berpola da terdapat barisa bilaga yag mempuyai pola. Barisa yag tidak berpola haya dapat diketahui dega meuliska semua sukuya, sedagka barisa yag bepola dapat diketahui dega berbagai cara seperti dijelaska di atas. Pola bilaga dalam suatu barisa juga meujukka atura pembetuka barisa tersebut. Selajutya kita haya aka membahas barisa dega pola tertetu, yaki barisa aritmetika da barisa geometri. Sebelum berlajut, silaka Ada kerjaka soal-soal latiha di bawah ii. Latiha 1: Nyataka setiap barisa di bawah ii dega cara: a) meuliska rumus suku ke- b) meuliska hubuga atar dua suku berturuta c) dega meyebutka sifat-sifat bilagaya 1. 1, 4, 7, 10, 1.,, 3, 4, , 7, 10, 13, 4. 1, 3, 5, 7, 11, 5. 11, 14, 17, 0, 6. 4, 6, 8, 10, 7., 7,, 43, 70, , 1, 5, 4, 63, , 6, 99, 44, 10.,, 6,, 10, D. Barisa da Deret Aritmetika Defiisi: Barisa aritmetika adalah barisa bilaga yag mempuyai suatu pola tertetu, yaki selisih setiap dua suku berturuta sama atau tetap. Dega kata lai, setiap suku kecuali suku pertama pada barisa aritmetika diperoleh dari suku sebelumya dega cara meambah/ meguragiya dega suatu bilaga tetap. Bilaga tetap tersebut diamaka beda atau selisih (biasaya disimbolka dega b). Jadi, jika a adalah suku ke- suatu barisa aritmetika, maka a +1 a = b atau a +1 = a + b utuk = 1,, 3, dega b suatu bilaga (kostata) tertetu.

7 Suatu deret adalah jumlah suku-suku suatu barisa. Apabila barisa yag dijumlahka mempuyai tak berhigga bayak suku, maka deretya disebut deret tak higga. Jika bayakya suku berhigga, maka deretya disebut deret berhigga. Hasil jumlaha suatu deret berhigga yag terdiri atas suku biasaya dituliska dega simbol S, yaki S = a 1 + a + a a. Deret berhigga tersebut juga dapat dipadag sebagai(diamaka) jumlah parsial ke- dari deret tak higga a 1 + a + a a + a +1 +, karea merupaka jumlah suku pertamaya saja. Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku suatu barisa aritmetika. Latiha : Dari cotoh-cotoh da soal-soal tetag barisa di atas, maakah yag merupaka barisa aritmetika? Jelaska! Kapa suatu barisa aritmetika dapat ditetuka? Pada bagia sebelumya, kita sudah membahas bahwa suatu barisa dapat diyataka dega berbagai cara. Apa saja? Suatu barisa aritmetika dapat diketahui (atau ditetuka) oleh dua hal, yaki: 1) dua suku barisa tersebut, atau ) salah satu suku da bedaya, atau 3) salah satu suku da jumlah beberapa suku pertama yag memuat suku yag diketahui tersebut, atau 4) jumlah beberapa suku pertama da bedaya. Hal itu berarti: 1) Apabila diketahui dua suku, maka beda da jumlah suku pertama barisa aritmetika dapat dihitug; ) Jika diketahui salah satu suku da beda, maka suku ke- da jumlah suku pertama dapat dihitug; 3) Jika diketahui satu suku da jumlah beberapa suku pertama yag memuat suku yag diketahui tersebut, maka suku ke- da beda dapat dihitug; 4) Jika diketahui jumlah suku pertama da beda, maka suku ke- dapat diketahui. 1. Kasus I: diketahui dua suku barisa aritmetika Misalka diketahui a m da a k adalah dua suku suatu barisa aritmetika dega k > m. Selajutya, misalka b adalah beda barisa aritmetika tersebut. Meurut defiisi barisa aritmetika, berlaku: a m+1 = a m + b, a m+ = a m+1 + b = a m + b,, a k = a m + (k m)b, sehigga diperoleh: b = a k a m k m. Suku ke- barisa aritmetika tersebut adalah: a = a k + ( k)b, = 1,, 3,... 5

8 Khususya, a 1 = a k + (1 k)b atau a k = a 1 + (k 1)b. Apabila hasil terakhir dimasukka ke dalam rumus a, maka diperoleh hubuga atara suku pertama (a 1 ), suku ke- (a ), da beda (b) suatu barisa aritmetika sebagai berikut: a = a 1 + ( 1)b, =, 3, 4, Cotoh 1: Jika diketahui suku ke- da ke-3 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah da 5, maka bedaya adalah 3, da barisa aritmetikaya adalah: 1,, 5, 8, 11, atau a = + 3( ) = ( ) + 3( ) = 1 + 3( 1). Cotoh : Jika diketahui suku ke-5 da suku ke-10 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah 3 da 8, maka beda barisa aritmetika tersebut adalah 8 3 = 5 = 5, sehigga barisa aritmetikaya adalah: 17, 1, 7,, 3, 8, 13, 18, 3, 8,... atau a = 3 + ( 5)5 = ( ) + ( 5)5 = 17 + ( 1)5. Cotoh 3 (Sifat suku tegah pada barisa aritmetika): Misalka suku-suku a m da a k (dega k > m) megapit sebayak gajil suku-suku lai pada suatu barisa aritmetika. Jadi, (k m) da (k + m) merupaka bilaga-bilaga geap (habis dibagi ). Suku yag terletak di tegah-tegah atara a m da a k adalah: am+k = a m + m+k m b dega b = a k a m, atau k m k m a m+k = a m + a k a m k m = a m + a k. Jadi, pada barisa aritmetika, ilai suku yag terletak di tegah-tegah atara dua suku yag megapit sebayak gajil suku-suku lai sama dega rata-rata kedua suku tersebut. Suku tegah merupaka rata-rata aritmetika kedua suku yag megapitya.. Kasus II: diketahui salah satu suku da beda Misalka diketahui a k adalah suku ke-k suatu barisa aritmetika yag mempuyai beda b. Misalka a adalah suku ke-. Dari hasil pada kasus I diperoleh bahwa: a = a k + ( k)b, = 1,, 3,. Khususya juga, a 1 = a k + (1 k)b atau a k = a 1 + (k 1)b. Persis seperti hasil sebelumya pada kasus I, diperoleh hubuga atara suku pertama (a 1 ), suku ke- (a ), da beda (b) suatu barisa aritmetika sebagai berikut: a = a 1 + ( 1)b, =, 3, 4, Cotoh 4: Diketahui suatu barisa aritmetika mempuyai suku ke-5 adalah 10 da beda 3. Tetuka suku ke 15! Jawab: Diketahui a 5 = 10, b = 3. Meurut rumus yag sudah diperoleh, a 15 = a 5 + (15 5)b = = Kasus III: diketahui salah satu suku da jumlah suku pertama

9 Sebelum membahas kasus ketiga, kita cari jumlah suku pertama barisa aritmetika. Sebelumya sudah diperkealka otasi S yag meyataka jumlah suku pertama suatu barisa, yaki S = a 1 + a + a a. Utuk barisa aritmetika sudah diketahui rumus suku ke- dapat diyataka dega suku pertama (a 1 ) da beda (b), yaki: a = a 1 + ( 1)b utuk =, 3, 4,. Dega demikia jumlah suku pertama suatu barisa aritmetika dega suku pertama (a_1) da beda (b) adalah: S = a 1 + (a 1 + b) + (a 1 + b) + + (a 1 + [ 1]b). Utuk medapatka ilai deret tersebut, suku-sukuya kita tulis dari suku terakhir ke suku pertama sebagai berikut: S = (a 1 + [ 1]b) + (a 1 + [ )b) + (a 1 + [ 3]b) + + a 1 Selajutya, jika keduaya dijumlahka hasil adalah: S = {a 1 + [ 1]b} + {a 1 + [ 1]b} + + {a 1 + [ 1]b} dega ruas kaa terdiri atas suku berilai sama dalam tada {}, sehigga S = {a 1 + [ 1]b} atau S = {a 1 + [ 1]b} = (a 1 + a ). Jadi, jumlah suku pertama suatu barisa aritmetika dapat diyataka dega salah satu suku da beda atau suku pertama da suku ke-. Sekarag misalka suatu barisa aritmetika diketahui suku ke-k adalah a k da jumlah suku pertama adalah S. Dari hasil sebelumya diketahui bahwa a 1 = a k + (1 k)b, sehigga S = {(a k + (1 k)b) + [ 1]b} = a k + ( k + 1)b. Dari persamaa terakhir dapat dicari ilai b da selajutya rumus suku ke- barisa aritmetikaya. Cotoh 5: Jika diketahui suku ke- da ke-3 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah da 5, tetuka jumlah 10 suku pertama. Jawab: Dari data yag diketahui, diperoleh beda barisa aritmetika tersebut adalah b = 5 = 3, sehigga a 1 = 3 = 1 da a 10 = = 6. Jadi, S 10 = 5 ( 1 + 6) = 15. Cotoh 6: Jika diketahui suku ke-5 da suku ke-10 suatu barisa aritmetika berturut-turut adalah 3 da 8, tetuka jumlah 15 suku pertamaya. Jawab: Barisa aritmetika tersebut mempuyai beda b = 5 (lihat Cotoh ), sehigga a 1 = 3 + ( 4)5 = 17 da a 15 = = 53. Jadi, S 15 = 15 ( ) = 40. Cotoh 7: Diketahui suatu barisa aritmetika mempuyai suku ke-5 adalah 10 da beda 3. Tetuka jumlah 15 suku pertama! Jawab: 7

10 Dari data tersebut dapat dicari a 1 = = da a 15 = = 40, sehigga S 15 = 15 ( + 40) = 85. Cotoh 8: Tetuka barisa aritmetika yag mempuyai suku ke-5 adalah 10 da jumlah 50 suku pertamaya adalah 550. Jawab: Dega megguaka rumus pada hasil terakhir diperoleh persamaa 550 = S 50 = 50 a (50 9)b = b, sehigga b = =. Jadi, a 105 = 10 + ( 5) =, yaki, 4, 6, 8, 10, Kasus IV: diketahui jumlah suku pertama da beda Dari hasil pada kasus III diperoleh hubuga atara jumlah suku pertama, salah satu suku, da beda suatu barisa aritmetika. Dega demikia, apabila diketahui jumlah suku pertama da beda, maka dapat dicari salah satu sukuya (misalya suku pertama). Setelah diperoleh salah satu suku, maka suku ke- dapat ditetuka utuk setiap bilaga asli. Cotoh 9: Jika suatu barisa aritmetika mempuyai beda 4 da jumlah 16 suku pertama adalah 58, tetuka barisa aritmetika tersebut. Jawab: Diketahui S 16 = 58 da b = 4. Dega megguaka rumus terakhir pada hasil kasus III, diperoleh persamaa 58 = S 16 = 16a 1 + 8(16 1)b = 16a , sehigga a 1 = = 3. Jadi, a 16 = 3 + 4( 1) = 4 1, yaki 3, 7, 11, 15, 19, Cotoh 10: Misalka jumlah 8 suku pertama suatu barisa aritmetika adalah 74 sedagka jumlah 4 suku pertama adalah 70. Tetuka barisa aritmetika tersebut. Jawab: Diketahui S 8 = 74 da S 4 = 70. Utuk megetahui barisaya, kita perlu mecari ilai beda. Dega megguaka rumus S diperoleh dua persamaa: (1) 74 = S 8 = 8 (a 1 + 7b) = 8a 1 + 8b () 70 = S 4 = 4 (a 1 + 3b) = 4a b. Selajutya, elimiir a 1 dari kedua persamaa tersebut utuk medapatka b, yaki ()- 3(1): 480 = 19b atau b = 5,sehigga a 1 = = 1. Jadi atau Latiha 3: a = 1 + ( 1) 5 = 5, 8 1, 3, 5 1, 8, 10 1, 1. Diketahui suku ke- suatu barisa adalah a = 3. a) Tujukka bahwa barisa tersebut merupaka barisa aritmetika. b) Tetuka suku terkecil pada barisa tersebut yag ilaiya lebih besar daripada 450. c) Tetuka jumlah suku pertama barisa tersebut.

11 . Tetuka ilai k pada setiap barisa aritmetika yag terdiri atas tiga bilaga sebagai berikut: a) 3, k, 3 b) k + 1, k + 1, 13 c) 5, k, k 8 3. Tetuka suku ke- dalam betuk yag palig sederhaa jika diketahui dua suku barisa aritmetika: a) a 7 = 41, a 13 = 77 b) a 5 =, a 13 = 77 c) a 7 = 1, a 15 = Tetuka (tulis suku-suku) barisa aritmetika dega cara: a) Meyisipka tiga bilaga atara 5 da 10. b) Meyisipka eam bilaga atara -1 da Jumlah 5 buah bilaga yag membetuk barisa aritmetika adalah 75. Jika hasil kali bilaga terkecil da terbesar adalah 161, tetuka selisih bilaga terbesar da bilaga terkecil. 6. Suku pertama suatu deret aritmetika adalah 5, suku terakhirya adalah 3, da selisih suku ke-8 dega suku ke-3 adalah 10. Tetuka bayak suku dalam deret itu. 7. Jumlah suku pertama suatu deret aritmetika adalah S = 6. Tetuka suku ke- deret tersebut. 8. Jumlah dari 33 suku pertama dari deret aritmetika adalah 891. Jika suku pertama deret tersebut adalah 7, tetuka suku ke Lima belas bilaga membetuk deret aritmetika dega beda positif. Jika jumlah suku ke- 13 da ke-15 sama dega 188 da selisih suku ke-13 da ke-15 sama dega 14, tetuka jumlah lima suku terakhir. 10. Tetuka jumlah bilaga di atara 5 da 100 yag habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi Suku tegah suatu deret aritmetika adalah 5. Jika bedaya adalah 4 da suku ke-5 adalah 1, tetuka jumlah semua suku barisa tersebut. 1. Sebuah deret aritmetika mempuyai suku ketiga -11 da jumlah dua puluh suku yag pertama 30, tetuka jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut. 13. Pada barisa aritmetika 1, 3, 5, 7,... a) Tetuka suku ke- b) Buktika bahwa S = c) Periksa hasil tersebut dega meghitug S 1, S, S 3, S Sisipka sejumlah bilaga atara 1 da 50 sehigga membetuk barisa aritmetika yag jumlahya Akar-akar persamaa x 4 + 4x 3 84x 176x = 0 membetuk suatu barisa aritmetika. Tetuka akar-akar tersebut. 16. Suatu deret aritmetika mempuyai jumlah parsial ke- S = (7 + 5). Tetuka: a) jumlah parsial ke berapa yag ilaiya 45, b) suku ke Suatu deret aritmetika mempuyai jumlah parsial ke- 100a 1 da suku ke- 9a 1 dega a 1 0. Tetuka ilai. 18. Suatu deret aritmetika mempuyai beda 3, suku ke- 93 da jumlah parsial ke Tetuka ilai. 19. Jumlah parsial ke- suatu deret aritmetika adalah S = Tetuka beda barisa aritmetika tersebut. 0. Suatu deret aritmetika mempuyai suku ke-3 sama dega -7 da suku ke-7 sama dega 9. Tetuka jumlah parsial ke Berapakah hasil pejumlaha ? 9

12 E. Barisa da Deret Geometri Defiisi: Suatu barisa geometri adalah suatu barisa bilaga yag mempuyai pola tertetu, yaki tiap suku (kecuali suku pertama) diperoleh dega cara megalika suku sebelumya dega dega suatu bilaga tetap selai ol. Dega kata lai, pada suatu barisa geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dega suku sebelumya selalu sama. Bilaga pegali atau hasil bagi tersebut diamaka pembadig atau rasio atau ada yag meyebut rasio bersama da biasaya disimbolka dega huruf r. Jadi, barisa a 1, a, a 3, merupaka suatu barisa geometri apabila terdapat r 0 sedemikia higga: a +1 = a r atau a +1 = r utuk = 1,, 3, Sutau deret geometri adalah jumlah suku-suku barisa geometri. 1. Rumus Suku ke- Barisa Geometri a Misalka barisa a 1, a, a 3, merupaka suatu barisa geometri. Meurut defiisi, berarti terdapat r 0 sedemikia higga: a = a 1 r a 3 = a r = a 1 r a 4 = a 3 r = a 1 r 3 a = a 1 r = a 1 r 1. Jadi, apabila suku pertama suatu barisa geometri adalah a da rasioya r, maka suku ke- adalah a = ar 1. Bagaimaa jika yag diketahui dua suku yag tidak berturuta? Misalka a m da a k adalah berturut-turut suku ke-m da suku ke-k suatu barisa geometri. Aggap m > k. Misalka suku pertamaya adalah a da rasioya adalah r. Dari hasil di atas diperoleh: (1) a k = ar k 1 () a m = ar m 1 = ar k 1 r m k = a k r m k Dari () dapat dihitug r, kemudia dari (1) dapat dihitug a, da barisa geometriya dapat ditetuka. Cotoh 11: Jika suku ke-1 satu barisa geometri adalah 7 da suku ke-4 sama dega 1, tetuka barisa geometri tersebut. Jawab: Diketahui a 1 = 7 da a 4 = 1. Meurut rumus suku ke- barisa geometri diperoleh 1 = a 4 = a 1 r 3 = 7r 3, sehigga r = 1. Jadi, barisa geometri yag dimaksud adalah 3 7, 9, 3, 1, 1 3, atau a = 7r 1, = 1,, 3, Cotoh 1 (Hubuga barisa geometri da barisa aritmetika): Perhatika barisa geometri

13 a, ar, ar, ar 3,. yag mempuyai suku pertama a da rasio r. Logaritma suku-suku barisa geometri tersebut membetuk barisa log a, log ar, log ar, log ar 3,. atau log a, (log a + log r), (log a + log r), (log a + 3 log r), yag teryata membetuk barisa aritmetika dega suku pertama log a da beda log r. Jadi, logaritma suku-suku barisa geometri membetuk barisa aritmetika. Latiha 4 1. Dalam suatu kejuaraa basket, setiap tim pertadig melawa salah satu tim lai pada setiap putara. Tim yag kalah bertadig tidak maju pada babak berikutya. Apabila pada babak pertama terdapat 18 tim. Tetuka bayakya pertadiga sampai kejuaraa tersebut selesai.. Tetuka rasio, suku umum, da suku ke-10 barisa geometri yag diketahui: a) suku pertama 8 da suku ke-6 adalah 1 4 b) suku pertama 3 da suku ke-5 adalah 43 c) suku ke-3 adalah 1 da suku ke-6 adalah 96 d) suku ke-4 adalah 16 da suku ke-6 adalah Tiga bilaga membetuk barisa geometri. Jika hasilkaliya adalah 16 da jumlahya 6, tetuka rasio deret tersebut. 4. Suku pertama da suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah r da r x. Jika suku ke-5 deret tersebut adalah r 18, tetuka ilai x. 5. Diketahui x 1 da x adalah akar-akar persamaa kuadrat x + ax + b = 0. Jika tiga bilaga 1, x 1, x membetuk suatu barisa aritmetika da tiga bilaga x 1, x, 4 membetuk suatu barisa geometri, tetuka diskrimia persamaa kuadrat tersebut.. Jumlah suku pertama barisa geometri Jumlah suku pertama suatu barisa geometri merupaka deret geometri, yaki S = a 1 + a 1 r + a 1 r + + a 1 r 1 dega a 1 suku pertama da r 1 adalah rasioya. Jika kedua ruas dikalika r, maka diperoleh rs = a 1 r + a 1 r + + a 1 r 1 + a 1 r, sehigga: S rs = a 1 a 1 r atau (1 r)s = a 1 (1 r ). (1) Apabila r 1, maka diperoleh S = a 1 (1 r ) = a 1 (r 1). 1 r r 1 () Utuk r = 1, a 1 = a = a = = a sehigga S = a 1. Kometar: Ada yag megataka/meuliska bahwa rumus S = a 1 (1 r ) berlaku utuk 0 < r < 1 da 1 r rumus S = a 1 (r 1) berlaku utuk ilai r yag lai. Hal ii tidak sepeuhya bear, karea r 1 kedua rumus adalah idetik da berlaku utuk semua r 1. (Apakah rumus tersebut berlaku utuk r = 0?) Cotoh 13: Diketahui deret geometri Tetuka rasio deret tersebut. Tetuka suku ke-1 11

14 3. Tetuka jumlah 9 suku pertama pada deret tersebut Jawab: a. Rasio deret tersebut adalah: 6 = 18 = 54 = b. Karea suku pertama a = da rasioya r = 3, maka suku ke- adalah a = 3 1, sehigga suku ke-1 adalah a 1 = 3 0. c. S 9 = 39 1 = = Latiha 5: 1. Tiga bilaga merupaka suku-suku berturuta suatu deret aritmetika. Selisih bilaga ketiga dega bilaga pertama adalah 6. Jika bilaga ketiga ditambah 3 maka ketiga bilaga tersebut merupaka deret geometri. Tetuka jumlah dari kuadrat bilaga tersebut.. Persamaa x + x + k = 0 mempuyai akar-akar x 1 da x. Apabila bilaga-bilaga 1 x 1, x, (x 1x ) membetuk suatu barisa geometri, tetuka suku keempat deret tersebut. 3. Suatu deret geometri terdiri atas 7 suku dega suku tegah da terakhir masig-masig adalah 40 da 190. Tetuka jumlah deret geometri tersebut. 4. Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri. Jika hasil kaliya adalah 16 da jumlahya 6, tetuka rasio deret tersebut. 5. Jika rasio deret geometri adalah 3 da suku ke-8 adalah 10935, tetuka suku ke-5 deret tersebut. 6. Hituglah jumlah parsial ke-11 pada deret geometri Tujuka bahwa = Suatu deret geometri mempuyai suku ke-8 sama dega 640 da suku ke-3 sama dega 0. Hituglah jumlah parsial ke Perbadiga jumlah tiga suku pertama suatu deret geometri da jumlah suku-suku ke-4, ke-5, da ke-6 adalah 8:7. Apabila suku ke-3 sama dega 8, tetuka rasio deret geometri tersebut. 3. Deret Geometri Tak Berhigga Berpakah jumlah deret geometri sampai tak berhigga suku? Sebearya tidaklah mugki meghitug deret tak berhigga tersebut, karea kita tidak tahu berapa suku terakhirya. Aka tetapi dalam matematika kita dapat megguaka kosep limit. Sebelumya kita sudah medapatka rumus jumlah suku pertama suatu deret geometri yag rasioya selai 1, yaki S = a 1 (1 r ). Apabila ilai medekati tak 1 r berhigga berarti kita mejumlahka deret tak berhigga, da ii biasaya dituliska sebagai: S = a 1 + a 1 r + a 1 r + a 1 r 3 +. = lim S a = lim 1(1 r ) 1 r = a 1 lim 1 r (1 r ) = a 1 (1 lim 1 r r )

15 = a 1 (1 0), jika r < 1 1 r = a 1, jika r < 1. 1 r Perhatika bahwa keberadaa ilai jumlah tak berhigga suatu deret geometri sagat tergatug pada ilai rasioya, yaki r. (1) Utuk r > 1, lim r tidak mempuyai ilai (hasilya ± ), sehigga S tidak dapat dihitug. Dalam hal deret geometri tersebut dikataka diverge. () Utuk 1 < r < 1, lim r = 0, sehigga Cotoh 14: Suatu deret geometri tak berhigga mempuyai suku pertama 1 da jumlah suku-suku yag beromor gajil adalah. Apabila deret tersebut mempuayi rasio positif, tetuka jumlah deret tersebut. Jawab: Misalka deret geometriya adalah: 1 + r + r + r 3 + r 4 + Jumlah suku-suku beromor gajil adalah: 1 + r + r 4 + merupaka suatu deret geometri dega suku pertama 1 da rasio r. Karea diketahui = 1 + r + r 4 + r 6 + = 1 1 r, maka 1 r = 1 atau r = 1. Karea diketahui r > 0, maka r = 1. Jadi, jumlah deret semula adalah S = 1 + r + r + r 3 + r 4 + = 1 1 r = =. Latiha 6: 1. Suku-suku suatu barisa geometri tak berhigga adalah positif, jumlah suku pertama da kedua adalah 45 da jumlah suku ketiga da keempat adalah 0. Tetuka jumlah suku-suku barisa tersebut.. Suatu deret geometri tak berhigga mempuyai rasio 7 log(3x ). Jika deret ii mempuyai jumlah (koverge), tetuka ilai x. 3. Tetuka jumlah deret tak berhigga: 1 ta 30 o + ta 4 30 o ta 6 30 o + + ( 1) ta 30 o Suatu deret geometri koverge mempuyai limit (jumlah tak berhigga) 1, sedagka suku ke- da ke-4 berturut-turut adalah da 8. Tetuka suku pertamaya Suatu deret geometri tak berhigga mempyai suku-suku positif, jumlah suku-suku a 1 + a = 45 da a 3 + a 4 = 0. Tetuka jumlah deret tersebut. 6. Jika jumlah semua suku deret geometri tak higga adalah 96 da jumlah semua sukuya yag berideks gajil adalah 64, tetuka suku ke-4 deret tersebut. 7. Hituglah Tetuka ilai x agar deret geometri + (x + 1) + (x ) + koverge 9. Suatu deret geometri yag suku-sukuya positif mempuyai jumlah tak berhigga sama dega 4 1. Apabila suku ke- sama dega tetuka suku pertama da rasio deret 6 3 tersebut. 10. Tujukka bahwa deret geometri (5) 5 + (5) 4 + (5) 3 + (5) + koverge, kemudia tetuka jumlah parsial ke-. 13

16 F. Notasi Sigma ( ) Di dalam matematika bayak diguaka berbagai simbol utuk meyigkat da meyederhaaka peulisa ekspresi-ekspresi yag pajag da rumit. Demikia juga, utuk meuliska suatu deret dapat diguaka otasi sigma ( ) yag merupaka huruf besar "S" dalam alfabet Yuai, yag berarti "jumlah". Deret a 1 + a + a a dapat disigkat mejadi. Jadi, k=1 a k a k = a 1 + a + a a. k=1 Pada otasi sigma, kita mejumlahka ekspresi yag tertulis disebelah kaa utuk semua ilai ideks mulai ilai ideks yag tertulis di bawah tada sampai ilai ideks yag tertulis di atas tada. Apabila otasi sigma ditulis di tegah suatu kalimat, biasaya retag ilai ideks ditulis buka di bawah da di atasya, tapi di pojok kaa bawah da kaa atas. Hal ii bertujua utuk meghidari spasi kosog yag terlalu lebar atar baris (lihat cotohcotoh tampila di atas). Berikut adalah cotoh-cotoh pegguaa otasi sigma. Cotoh 15: i=5 i = = 6 (5 + 10) = k=1 k 10 = = (1 + ) (Megapa?) 3. k=1 = = 10 = suku k=1 3x k = 3x + 3x + 3x x =1 a = a 1 + a + a 3 + Berikut adalah beberapa sifat aljabar yag berlaku utuk otasi sigma. 1. Utuk setiap barisa {a k } da {b k } berlaku (a k ± b k ) = a k ± b k. k=1. Utuk setiap kostata p yag tidak tergatug ilaiya pada ideks i, berlaku k=1 k=1 pa i i=1 = p a i. i=1 Pertayaa: Apakah berlaku k=1 a k b k = k=1 a k k=1 b k? Megapa? Dega megguaka hasil-hasil da sifat-sifat di atas, kita dapat meemu-ka rumus jumlah parsial deret aritmetika. Seperti sudah diketahui, suku ke-k deret aritmetika yag mempuyai

17 suku pertama a da beda b adalah a k = a + (k 1)b. Dega demikia kita dapat meuliska deret aritmetika dega megguaka otasi sigma sebagai berikut. a + (a + b) + (a + b) + + (a + [ 1]b) = (a + [k 1]b) k=1 = a + (k 1)b k=1 k=1 = a + b (k 1) k=1 = a + b k b 1 = a + b (1 + ) b = [a + (b(1 + ) b] = [a + ( 1)b] = S. Demikia pula, deret geometri dapat diyataka dega megguaka otasi sigma sebagai berikut: Latiha 7: 1 k=1 a + ar + ar + ar ar 1 = ar k = a r k 1. Nyataka 0 suku pertama deret dega meggua-ka otasi. 4. Hituglah: a. 4 =1 3() 1 6 b. 3 1 k= 3 k+ k=0 1 k=0 k=1 c. 1 1 k=1 5 k 1 3. Tetuka ilai jika diketahui 8 1 k=1 k = G. Aplikasi Barisa da Deret Barisa da deret mempuyai peerapa dalam berbagai persoala dalam matematika. Berikut adalah beberapa cotoh soal yag peyelesaiaya megguaka barisa/deret aritmetika da geometri. Cotoh 16 (Bayak jabata taga): Dalam sebuah pertemua setiap tamu laki-laki berjabat taga dega setiap tamu laki-laki lai, da setiap tamu perempua berjabat taga dega setiap tamu perempua lai. 15

18 a. Apabila terdapat 10 tamu laki-laki da 7 tamu perempua, berapakah bayak jabata taga? b. Apabila terdapat tamu laki-laki da m tamu perempua, berpakah bayak jabata taga? Jawab: a. Bayak jabata taga di atara 10 tamu laki-laki adalah = 9 (9 + 1) = 45. Bayakya jabat taga di atara 7 tamu perempua adalah = 6 (6 + 1) = 1. Jadi, total bayakya jabat taga adalah 45+1=66. b. Dari hasil a) dapat disimpulka bahwa bayakya jabat taga di aatara tamu lakilaki adalah ( 1), da bayakya jabat taga di atara m tamu perempua adalah (m 1)m Cotoh 17:. Jadi total bayakya jabat taga adalah 1 [( 1) + (m 1)m]. Diketahui sebuah persegi berukura 4 4 cm. Setiap titik tegah suatu sisi dihubugka dega titik tegah sisi-sisi yag berdekata sehigga terbetuk persegi baru. Proses ii dilajutka terus. a. Apabila proses dilajutka 9 kali, berapakah jumlah semua persegi yag terbetuk? b. Apabila proses dilajutka tapa berheti, berapakah jumlah semua persegi yag terbetuk? Jawab: Proses tersebut meghasilka barisa persegi yag luasya 16, 8, 4,, 1, 1, da merupaka barisa geometri dega suku pertama 16 da rasio ½. Jadi, a. Jika prosesya 9 kali, maka jumlah luas persegi yag terbetuk adalah = 1 1 = cm. b. Jika prosesya tapa berheti,maka julmlah luas persegi yag terbetuk adalah = = 3 cm. Cotoh 18 (meabug sekali): Pada awal bula seseorag meabug sejumlah A di salah satu bak. Bak memberika buga p per bula (bersih sudah dipotog pajak da bea admiistrasi) yag dibayar setiap awal bula, mulai bula berikutya. Maka: 1. Pada awal bula ke-, jumlah tabuga adalah: A = A + pa = A(1 + p).. Pada awal bula ke-3, jumlah tabuga adalah: A 3 = A + pa

19 = A(1 + p) + pa(1 + p) = A(1 + p)(1 + p) = A(1 + p) 3. Secara umum, apabila tidak perah diambil, jumlah tabuga pada awal buka ke- adalah Cotoh 19 (meabug ruti): A = A(1 + p) 1, Setiap awal bula seseorag meabug sejumlah A di salah satu bak. Bak memberika buga p per bula (bersih sudah dipotog pajak da bea admiistrasi) yag dibayar setiap awal bula, mulai bula berikutya. Maka: 1. Pada awal bula ke-, jumlah tabuga adalah: A = A + (A + pa) = A + A(1 + p).. Pada awal bula ke-3, jumlah tabuga adalah: A 3 = A + (A + pa ) = A + [A + A(1 + p) + p A + A(1 + p) ] = A + [A + A(1 + p) + pa + pa(1 + p)] = A + A(1 + p) + A(1 + p) 3. Secara umum, apabila tidak perah diambil, jumlah tabuga pada awal buka ke- adalah Latiha 8: A = A[1 + (1 + p) + (1 + p) + + (1 + p) 1 ] = A (1 + p) k 1. Sebuah bola jatuh dari ketiggia 10 m da mematul kembali dega ketiggia 3 kali 4 tiggi sebelumya. Pematula ii berlagsug terus meerus higga berheti. Tetuka jumlah seluruh litasa bola.. Seorag karyawa meabug dega teratur setiap bula. Uag yag ditabug setiap bula selalu lebih besar dari bula sebelumya dega selisih yag sama. Jika jumlah seluruh tabugaya selama 1 bula pertama adalah 19 ribu rupiah da selama 0 bula pertama adalah 480 ribu rupiah, tetuka besar uag yag ditabug pada bula kesepuluh. 3. Tigkat pertumbuha peduduk di suatu daerah pemukima baru adalah 10% per tahu. Tetuka keaika jumlah peduduk dalam waktu 4 tahu. 4. Jumlah peduduk kota A selama lima bula berturut-turut membetuk sutu deret geometri. Pada tahu terakhir jumlah pedudukya 4 juta, sedagka jumlah tahu pertama da ketiga sama dega 1 1 juta. Tetuka jumlah peduduk kota A pada tahu keempat Keutuga seorag pedagag bertambah setiap bula dega jumlah yag sama. Jika keutuga sampai bula keempat 30 ribu rupiah, da sampai bula kedelapa 17 ribu rupiah, tetuka keutuga sampai bula ke-18. I. Ragkuma 1. Barisa, Deret, da Notasi Sigma a. Barisa adalah fugsi yag domaiya himpua bilaga asli. b. Setiap bilaga dalam suatu barisa merupaka kawa suatu bilaga asli da diamaka suku. c. Jumlah suku-suku suatu barisa disebut barisa. 1 k=0 17

20 d. Jumlah suku pertama suatu barisa disebut jumlah umum atau jumlah parsial ke-, biasaya diyatka dega S. e. Setiap deret dapat diyataka dega megguaka otasi sigma ( ): k=1 a k = a 1 + a + a a f. Notasi sigma mempuyai sifat: i. k=1 (a k ± b k ) = k=1 a k + k=1 b k ii. k=1 pa k = p k=1 a k. Barisa da Deret Aritmetika a. Barisa bilaga a 1, a, a 3, merupaka barisa aritmetika jika terdapat suatu bilaga b sedemikia higga a a 1 = b utuk setiap bilaga asli. Bilaga b disebut beda atau selisih. b. Suku umum barisa aritmetika yag mempuyai suku pertama a da beda b adalah a = a + ( 1)b utuk setiap 1. c. Suku tegah suatu barisa aritmetika merupaka rata-rata dua suku yag megapitya, yaki a = 1 (a k + a +k ) utuk setiap bilaga-bilaga asli > k 1. d. Jumlah parsial ke- deret aritmetika yag mempuyai suku pertama a da beda b adalah S = a + (k 1)b = [a + ( 1)b] = (a + a ). k=1 e. Suatu barisa aritmetika dapat diketahui (atau ditetuka) oleh dua hal, yaki: 1) dua suku barisa tersebut: b = (a a m ), utuk > m 1 ( m) ) salah satu suku da bedaya: a = a k + ( k)b, 1 3) salah satu suku da jumlah beberapa suku pertama yag memuat suku yag diketahui tersebut: S = {(a k + (1 k)b) + [ 1]b} = a k + ( k + 1)b, > k 1. 4) jumlah beberapa suku pertama da bedaya. 3. Barisa da Deret Geometri a. Barisa bilaga a 1, a, a 3, merupaka barisa geometri jika terdapat suatu bilaga r 0 sedemikia higga a = r utuk setiap bilaga asli. Bilagar r a 1 disebut rasio. b. Suku umum barisa geometri yag mempuyai suku pertama a da rasio r adalah a = ar 1 utuk setiap 1. c. Jumlah parsial ke- deret geometri yag mempuyai suku pertama a da rasio r adalah S = ar (k 1) k=1 = a(1 r ) (1 r) = a(r 1), r 1. (r 1) d. Apabila suatu deret geometri mempuyai rasio r dega r < 1, maka deretya koverge da mempuyai jumlah tak berhigga S = lim S = a, dega a adalah suku pertama. 1 r II. Daftar Pustaka

21 Beecher, Pea, Bittiger (006). Algebra ad Trigoometry, 3rd ed. New York: Pearso Addiso-Wesley (Pearso Educatio Ic) FHSS Authors (008). The Free High School Sciece Texts: Textbooks for High School Studets Studyig the Sciece, Mathematics Grades Jerald Murdock, Elle Kamischke, Eric Kamischke (004). Discoverig Advaced Algebra: a Itroducatio. Emryville, CA: Key Curriculum Press Paul Urba et. al. (004). Mathematics for the Iteratioal Studets, HL Core. Adelaide: Hase & Harris Pubs. 19

22

23 Barisa Tak Berhigga A. Defiisi Barisa (Megulag) Suatu barisa bilaga a 1, a, a 3, merupaka suatu susua bilaga-bilaga meurut uruta yag sesuai dega uruta bilaga asli. Dega kata lai, suatu barisa merupaka fugsi yag domaiya himpua bilaga asli, dimulai dari 1. Setiap bilaga pada suatu barisa disebut suku barisa. Jadi, utuk setiap bilaga asli pada domai barisa terdapat suatu bilaga a yag disebut suku ke-. Utuk mempersigkat peulisa, barisa a 1, a, a 3, biasaya ditulis dega {a } =1 atau cukup dega {a }. Cotoh-cotoh: 1. Barisa dega rumus suku ke- a =, 1, adalah: 1,, 3, 4, Barisa dega rumus suku ke- a = 1 + ( 1) 1, 1, adalah: 0, 3,, 5, 4, Barisa dega rumus suku ke- a = ( 1) +1, 1, adalah:, 3, 4, 5, Barisa dega rumus suku ke- a = 3, 3, adalah: 0,1,, 3, 4, 5. Barisa dega rumus suku ke- a = cos π 3, 1, adalah:, 1, 0, 1, 3, Barisa dega rumus suku ke- a = ( 1) 1 +, 1, adalah: 3, 4, 5, 6, Secara geometris barisa-barisa di atas dapat digambar sebagai berikut a = + 1 a = 1 + ( 1) a 0.75 a Gb1a. Deret { +1 } ( 1) Gb 1b. Deret {1 + } 0.4 a = ( 1) : a = p 3; a a Gb 1c. Deret {( 1). +1 } Gb 1d. Deret 3 3 =3

24 a = cos ¼ a a a = ( 1) 1 : Gb 1e. Deret cos ( π )} Gb 1f. Deret {( 1) } B. Macam-macam perilaku Barisa Terdapat beberapa tipe yag meujukka perilaku suatu barisa berdasarka ilai sukusukuya. Kita dapat megelompokka suatu barisa berdasarka perilaku suku-sukuya sebagai berikut. 1. Barisa mooto Barisa yag suku-sukuya tidak aik atau tidak turu disebut barisa mooto. Cotoh: 1). 3,, 1, 1, 1, 1,... ). 1, 1, 1,,, 3, 3, 3,... Barisa yag suku-sukuya aik da turu merupaka barisa yag tidak mooto. Cotoh: 1). 1, -1, 1, -1, 1, -1,... ). 1, -, 3, -4, 5, -6,... a. Barisa mooto aik: barisa yag suku-sukuya tidak perah turu, yaki a a +1 utuk setiap. Cotoh: 1). 1, 1,,, 3, 3,... Jikai a < a +1 utuk setiap, barisaya disebut mooto aik muri. Cotoh: 1). 1,, 3, 4, 5,... ). 1,, 3, 4, 5, b. Barisa mooto turu: barisa yag suku-sukuya tidak perah aik, yaki a a +1 utuk setiap. Cotoh: 1). 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3 3 Jikai a > a +1 utuk setiap, barisaya disebut mooto turu muri. Cotoh: 1). 1, 1, 1, 1, 1, 3 4 5

25 . Barisa terbatas: barisa yag semua sukuya terletak di atara dua bilaga riil, artiya terdapat dua bilaga riil m da M sedemikia higga m a M utuk semua. Dega kata lai, terdapat suatu bilaga rill R sedemikia higga a P utuk semua. Cotoh: 1). { } adalah barisa terbatas, karea 1 1 utuk setiap ). {cos( π )} adalah barisa terbatas, karea 1 cos 6 π 1 utuk setiap. 6 a. Barisa terbatas ke atas: yaki suatu barisa yag semua sukuya kurag daripada suatu ilai tertetu. Artiya, terdapat bilaga riil M sedemikia higga a M utuk semua. Cotoh: 1). { } adalah barisa terbatas ke atas, karea 0 utuk semua bilaga asli. b. Barisa terbatas ke bawah: yaki suatu barisa yag semua sukuya lebih besar daripada suatu ilai tertetu. Artiya, terdapat bilaga riil m sedemikia higga a m utuk semua. Cotoh: 1). { 3} adalah barisa terbatas ke bawah, karea 3 0 utuk semua 3 Barisa yag terbatas adalah barisa yag terbatas ke atas da ke bawah. Pertayaa: 1). Apakah semua barisa pasti terbatas, terbatas ke atas, atau terbatas ke bawah? Berika cotohya! ). Apakah semua barisa mooto pasti terbatas? Berika cotohya! 3). Apakah semua barisa terbatas pasti mooto? Berika cotohya! C. Limit da Kekovergea Barisa Utuk setiap barisa tak berhigga, kita dapat memperhatika bagaimaa kecederuga suku-sukuya, apakah maki lama ilaiya meuju ke suatu ilai tertetu atau tidak. Apabila suku-suku suatu barisa ilaiya maki lama meuju ke suatu ilai (bilaga) tertetu, maka barisa tersebut dikataka koverge. Sebalikya, apabila maki lama ilai suku-suku suatu barisa tidak meuju ke suatu ilai (bilaga) tertetu, barisa tersebut dikataka diverge. Perhatika, utuk megetahui apakah suatu barisa koverge atau tidak kita haya memperhatika suku-suku yag di "belakag", buka suku-suku yag di "depa". Secara matematis, kekovergea suatu barisa didefiisika sebagai berikut: Suatu barisa {a } dikataka koverge apabila lim a ada ilaiya. Selajutya, dikataka barisa {a } koverge ke A, atau lim a = A (dega A adalah suatu bilaga yata), apabila utuk setiap bilaga positif ε, terdapat bilaga asli N, sedemikia higga utuk setiap N berlaku a A < ε. Sebalikya, apabila lim a tidak ada ilaiya, barisa tersebut dikataka diverge. Ilustrasi pegertia limit barisa ditujukka pada Gb. Perhatika, jika dibadigka dega limit fugsi, perbedaa lim a = A da lim x f(x) = A adalah bahwa harus bilaga asli. Dega demikia, kita dapat merumuska hasil sebagai berikut. Teorema: Jika lim x f(x) = A da a = f(), maka lim a = A. 3

26 a A + ² A A ² a M a 1 a a +1 a M a 1 a 3 a 5 a A-ε A A+ε 6 a 4 a Cotoh: Gb. Ilustrasi lim ( ) a = A Barisa 1,, 3, 4, koverge ke 1, yaki lim ( ) a = 1. Hal ii dapat ditujukka bahwa utuk setiap ε > 0, terdapat bilaga asli M, sedemikia higga jika > M berlaku a 1 = 1 = 1 < ε atau > 1 1. Jadi, dalam hal M dapat dipilih bilaga asli yag lebih ε besar atau sama dega ( 1 1). ε Mucul pertayaa mearik, yaki jika memperhatika perilaku suatu barisa, kapa suatu barisa koverge? Dega kata lai, apa syarat suatu barisa mempuyai limit?

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku. BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih -- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai

Lebih terperinci

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL Peserta didik memiliki kemampua memahami kosep pada topik barisa da deret aritmetika da geometri. Peserta didik memilki kemampua

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com http://meetabied.wordpress.com SMAN Boe-Boe, Luwu Utara, Sul-Sel Setiap pria da waita sukses adalah pemimpipemimpi besar. Mereka berimajiasi tetag masa depa mereka, berbuat sebaik mugki dalam setiap hal,

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

Bab. Barisan dan Deret. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)

Bab. Barisan dan Deret. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Bab IV Barisa da Deret 53 Tujua Pembelajara Setelah mempelajari bab ii, diharapka kalia dapat. mejelaska ciri barisa aritmetika da barisa geometri;. merumuska suku ke da jumlah suku deret aritmetika da

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2...

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2... SOAL-SOAL SPMB 006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 006 Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri aik. Jika jumlahya 6 da hasikaliya 6, maka rasio deretya adalah A. B. C. D. 4 E. 5.

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan Bab Sumber: www.medeciepharmacie.uiv-fcomte.fr Pola Bilaga, Barisa, da Deret Pola bilaga, barisa, da deret merupaka materi baru yag aka kamu pelajari pada bab ii. Terdapat beberapa masalah yag peyelesaiaya

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi. MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah

Lebih terperinci

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya

Lebih terperinci

BAB 12 BARISAN DAN DERET

BAB 12 BARISAN DAN DERET BAB 1 BARISAN DAN DERET TIPE 1: Jika dari barisa aritmetika diketahui suku ke-m adalah um u b. m Cotoh: Diketahui barisa aritmetika, suku ke-5 adalah 4 da suku ke-8 adalah 6. Tetuka beda barisa aritmetika

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug, 0 Model Pertumbuha BeefitAsurasi Jiwa Berjagka Megguaka Deret Matematika Edag Sri Kresawati Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Sriwijaya edagsrikresawati@yahoocoid

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1. ialah barisan aritmatika,jika: -U 2. =.= U n

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1. ialah barisan aritmatika,jika: -U 2. =.= U n BARIAN DAN DERET A. BARIAN DAN DERET ARITMATIKA I. TJAN etelah mempelaji topik siswa dapat:. Meetuka suku ke suatu bisa itmatika. Meetuka rumus suku ke di bisa itmatika. Meetuka suku pertama da beda suatu

Lebih terperinci

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah

Lebih terperinci

DERET Matematika Industri 1

DERET Matematika Industri 1 DERET TIP FP UB Pokok Bahasa Barisa Deret Deret aritmetik Deret geometrik Deret pagkat dari bilaga-bilaga asli Deret tak berhigga Nilai-ilai limit Deret koverge da deret diverge Uji kovergesi Deret secara

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Kompetisi Statistika Tingkat SMA

Kompetisi Statistika Tingkat SMA . Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m

Lebih terperinci

UKURAN PEMUSATAN DATA

UKURAN PEMUSATAN DATA Malim Muhammad, M.Sc. UKURAN PEMUSATAN DATA J U R U S A N A G R O T E K N O L O G I F A K U L T A S P E R T A N I A N U N I V E R S I T A S M U H A M M A D I Y A H P U R W O K E R T O DEFINISI UKURAN PEMUSATAN

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DIKTAT Oleh: Rippi Maya Eliva Sukma Cipta PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 016 Kata Pegatar Diktat ii disusu sebagai

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

Himpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia

Himpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia Himpua Suatu himpua atau gugus adalah merupaka sekumpula obyek. Pada umumya aggota dari gugus tersebut memiliki suatu sifat yag sama. Suatu himpua bagia atau aak gugus merupaka sekumpula obyek yag aggotaya

Lebih terperinci

RESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015

RESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015 RESPONSI STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 015 A. PENYAJIAN DAN PERINGKASAN DATA 1. PENYAJIAN DATA a. Sebutka tekik peyajia data utuk data kualitatif! Diagram kueh, diagram batag, distribusi

Lebih terperinci

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Notasi Sigma, Barisa, da Deret Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Puji Iryati, M.Sc.Ed. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN 47 49 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Nama Sekolah Program keahlia Mata Pelajara : SMK PGRI Salatiga : Akutasi : Matematika Kelas/ Semester : XI/ 3 Materi Pokok Alokasi Waktu : Barisa da Deret : 4 x 4

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3. BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag

Lebih terperinci

PERTEMUAN 3 CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI UKURAN PEMUSATAN DATA

PERTEMUAN 3 CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI UKURAN PEMUSATAN DATA PERTEMUAN 3 CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI UKURAN PEMUSATAN DATA Cara Peyajia Data dega Tabel Distribusi Frekuesi Distribusi Frekuesi adalah data yag disusu dalam betuk kelompok baris berdasarka

Lebih terperinci

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT. Deret Taylor Misal fugsi f() aalitik pada - < R ( ligkara dega pusat di da jari-jari R ). Maka utuk setiap titik pada ligkara itu, f() dapat diyataka sebagai : f

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL)

BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) Setiap peelitia selalu berkeaa dega sekelompok data. Yag dimaksud kelompok disii adalah: Satu orag mempuyai sekelompok data, atau sekelompok orag mempuyai satu

Lebih terperinci

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET A RINGKASAN MATERI. Notasi Sigma Diberia suatu barisa bilaga, a, a,..., a. Lambag deret tersebut, yaitu: a = a + a +... + a a meyataa jumlah suu pertama barisa Sifat-sifat

Lebih terperinci

1 4 A. 1 D. 4 B. 2 E. -5 C. 3 A.

1 4 A. 1 D. 4 B. 2 E. -5 C. 3 A. . Seorag pedagag membeli barag utuk dijual seharga Rp. 0.000,00. Bila pedagag tersebut meghedaki utug 0 %, maka barag tersebut harus dijual dega harga A. Rp. 00.000,00 D. Rp. 600.000,00 B. Rp. 00.000,00

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smart Solutio UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 202/203 Disusu Sesuai Idikator Kisi-Kisi UN 203 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusu oleh : Pak Aag SKL 5. Memahami kosep it, turua da itegral dari fugsi

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci