Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Transkripsi

1 BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab ii kita aka mempelajari ukura peyebara data Ukura ii diguaka utuk megetahui variasi atau dispersi data, yaitu derajat peyebara data terhadap rata-rata Diatara ukura peyebara yag serig diguaka adalah rage, rata-rata deviasi, rage semiiterkuartil, rage percetil 10-90, da stadar deviasi 41 Rage Rage atau jagkaua suatu kelompok data didefiisika sebagai selisih atara ilai terbesar da ilai terkecil, yaitu rage := ilai terbesar ilai terkecil Cotoh 411 Rage atau jagkaua kumpula data 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 adalah 12-2 = 10 Di sii 12 adalah ilai terbesar da 2 adalah ilai terkecil Utuk data dalam betuk tabel distribusi frekuesi, rage dihitug dega dua pedekata berikut, yaitu: a selisih atara tada kelas pada iterval kelas teratas da tada kelas pada iteval kelas teredah b selih atara batas atas kelas pada iterval kelas teratas da batas bawah pada iteval kelas teredah Cotoh 412 Diperhatika tabel distribusi berikut 1

2 Statistika Dasar by JHeradi 2 Kelas Tada Kelas (X) Frekuesi (f) f = 100 Rage dihitug berdasarka kedua pedekata ii adalah: a Metoda 1: rage = = 12 b Metoda 2: rage = = Rata-rata deviasi Pada Bab III telah didefiisika deviasi atau peyimpaga suatu data terhadap rata-rata Jumlah semua deviasi data terhadap rata-rata berilai ol Pada bagia ii simpaga data terhadap rata-rata diambil sebagai ilai mutlakya, yaitu X j X Jadi simpaga mutlakya tidak perah egatif Selajutya, rata-rata deviasi didefiisika sebagai rata-rata deviasi (RD) := 1 N X j X j=1 Cotoh 421 Diketahui data 2, 3, 6, 8, 11 Maka rata-rata deviasiya dihitug sebagi berikut: Selajutya, RD = x = 1 ( ) = = = 28 Bila pada kumpula data tersebut terdapat f 1 data berilai X 1, sebayak f 2 berilai X 2, da seterusya terdapat f k berilai X K maka rata-rata deviasi dapat dihitug dega cara berikut: RD = 1 N K f j X j X j=1 43 Deviasi kuartil Deviasi kuartil atau retag semi-iterkuartil didefiisika sebagai DK := Q 3 Q1 2

3 Statistika Dasar by JHeradi 3 dimaa Q 1 da Q 2 masig-masig kuarti ke 1 da kuartil ke 3 Ada juga ukura peyebara yag disebut retag persetil 10-90, yaitu RP10-90 := P 90 P Deviasi stadar da variasi Iilah kedua ukura peyebara data yag palig serig diguaka da palig jelas iterpretasiya Deviasi stadar atau simpaka baku didefiisika sebagai S := j=1 (X i X) 2 Kadagkala, simpaga baku didefiisika dega megguaka pembagi 1 buka seperti diatas, yaitu: S := j=1 (X i X) 2 1 Formula kedua diguaka utuk sampel, sdegaka formula sebelumya diguaka utuk populasi atau sampel yag berukura cukup besar Pejelasa teoritis megeai kedua formula ii aka dibahas pada statistika matematika Kuadrat dari simpaga baku disebut variasi Jadi variasi didefiisika sebagai: var := S 2 j=1 = (X i X) 2 Argume yag sama utuk pembagiya megguaka 1 Dega mudah dapat dibuktika bahwa S 2 = X 2 (X) 2 45 Sifat-sifat deviasi stadar 1 Jumlah deviasi kuadrat terhadap bilaga a didefiisika sebagai (X i a) 2 j=1 j=1 (X i X) 2 Jumlah ii aka mejadi miimum jika diambil a := X Jadi deviasi stadar s := merupaka akar dari rata-rata jumlah kuadrat deviasi (simpaga) miimum 2 Utuk data berdistribusi ormal, deviasi stadar dapat diguaka utuk megetahui peyebara data, yaitu:

4 Statistika Dasar by JHeradi 4 Gambar 41: Jarak 1 deviasi stadar dari mea Gambar 42: Jarak 2 deviasi stadar dari mea a 6827% data tersebar diatara X s da X + s b 9545% data tersebar diatara X 2s da X + 2s c 9973% data tersebar diatara X 3s da X +3s Terlihat pada Gam- Gambar 43: Jarak 3 deviasi stadar dari mea bar 43 bahwa jika suatu kumpula data membetuk distribusi ormal maka hampir semua data tersebar pada retag 6 deviasi stadar 3 Bila ada dua kelompok data, masig-masig berukura 1 da 2 dega variasi S 2 1 da S 2 2 da diasumsika keduaya mempuyai rata-rata yag

5 Statistika Dasar by JHeradi 5 sama maka variasi gabuga kedua kelompok data ii diberika oleh S 2 = 1S S Teorema Chebyshev megataka bahwa utuk k > 1, palig tidak ada (1 1 ) 100% data terletak diatara X ks da X + ks Utuk k = k 2 2 maka lebih dari(1 1 ) 100% = 75% data terletak di dalam iterval 4 [X 2s, X + ks] Pada teorema ii tidak disyaratka bahwa data harus berdistribusi ormal seperti pada sifat 2 di atas Utuk data yag telah tersaji dalam distribusi frekuesi, maka deviasi stadarya dihitug berdasarka rumus: s := fx 2 ( fx ) 2 dimaa X adalah tada kelas Cotoh 451 Diperhatika data Dega megguaka peritah pada excel maka diperoleh beberapa ukura peyebara berikut: rata-rata deviasi(avedev)=2442 deviasi stadar(stdev)= variasi sampel(var)= variasi populasi(varp)=84452 Utuk melihat bagaimaa pola data ii meyebar, kita buat tabel distribusi da histogram dega ukura kelas S 30 da X 66 Diperoleh Tabel da gambar berikut Kelas Frekuesi (f) total 75

6 Statistika Dasar by JHeradi 6 Gambar 44: Histogram dega ukura kelas deviasi stadar Diperhatika bayakya data yag terletak diatara X S da X + S adalah sebayak = 44 data atau sekitar 58% data Kemudia, semua data terletak diatara X 2S da X + 2S Fakta ii tidak bertetaga dega sifat 2 diatas karea data kita tidak persis ormal Sedagka teorema Chebyshev terpeuhi Satu lagi iformasi yag dapat diketahui melalui deviasi stadar adalah semaki kecil deviasi stadar semaki bayak data yag megumpul di sekitar rata-rata 46 Skor Z atau ilai stadar Misalka kumpula data X i mempuyai rata-rata X da deviasi stadar S maka Z i yag didefiisika sebagai Z i := X i X S disebut skor Z atau ilai stadar dari X i Cotoh 461 Diperhatika kembali data pada cotoh di atas Nilai stadar dari data 70 adalah = Semaki dekat ilai data ke ilai ratarataya maka semaki dekat ke ol ilai stadarya Dalam bebebrapa kebu tuha aalisis data diperluka utuk metrasformasi data ke dalam ilai stadarya Soal-soal Latiha 1 Utuk data pada cotoh 451, tetuka bayak data yag terletak pada retag:

7 Statistika Dasar by JHeradi 7 a X ± RD b X ± DK 2 Soal latiha 44 3 Soal latiha Soal latiha Soal latiha Soal latiha Soal latiha Soal latiha Soal latiha Soal latiha 482