Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Transkripsi

1 Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika biasaya berbetuk umerik. Misalya, sekumpula dari tabulasi data yag diberika da simpula-simpula yag dimiliki gambar dari data tersebut atau suatu sistem persamaa liear yag diberika da suatu peyelesaia dari sistem tersebut biasaya berbetuk umerik. Tujua dari metode umerik adalah memberika metode-metode yag efisie utuk memperoleh jawaba umerik dari bermacam-macam problem. Utuk meyelesaika suatu masalah biasaya dimulai dega sebarag data awal, kemudia dihitug, da selajutya dega memakai lagkahlagkah (pegolaha) tertetu maka akhirya diperoleh suatu peyelesaia dalam betuk umerik. Data umerik adalah suatu aproksimasi (pedekata) yag bear sampai dua, tiga atau lebih bilaga. Kadag-kadag metode yag diguaka pu adalah suatu aproksimasi sehigga kekelirua dalam hasil perhituga, mugki saja disebabka oleh kekelirua data atau kekelirua di dalam metodeya atau kedua-duaya. Dalam bagia ii, aka dibicaraka ide dasar tetag kekelirua da aalisisya. Selajutya, pada bagia kedua dari modul ii aka dibahas tetag selisih terhigga biasa. Perlu diketahui pula oleh para pembaca modul ii bahwa pada modul ii dikemukaka beberapa teorema dalam kalkulus yag sudah dipelajari dalam kalkulus, hal ii dimaksudka bahwa ke semua teorema tersebut aka dipakai pada pembicaraa tetag metode umerik. Setelah mempelajari modul ii diharapka Ada dapat megaalisis kekelirua dalam perhituga umerik da selisih terhigga biasa. Secara khusus, kompetesi yag hedak dicapai setelah mempelajari modul ii, adalah Ada diharapka dapat:

2 1. Metode Numerik 1. membulatka suatu bilaga ke bayakya agka sigifika;. membulatka suatu bilaga ke bayakya agka desimal; 3. meetuka ketelitia relatif dari suatu pegukura; 4. meetuka kekelirua relatif dari suatu perubaha suatu fugsi; 5. meetuka bayakya suku suatu deret fugsi sehigga jumlah sukusuku tersebut merupaka ilai fugsi itu dega ketelitia sampai agka tertetu; 6. meetuka selisih tertetu dari suatu poliom; 7. meetuka selisih ke- dari suatu poliom berderajat ; 8. meetuka suku berikutya dari suatu barisa yag beberapa sukuya diketahui; 9. meetuka ilai dari suatu selisih pembagi dari suatu data yag diberika; 10. meetuka poliom dari suatu data yag diberika dega megguaka formula selisih pembagi Newto; 11. meetuka ilai dari suatu data tertetu dega iterpolasi, apabila ilai yag dicari tersebut terletak di atara data-data yag diketahui. Selamat belajar, semoga berhasil!

3 PEMA456/MODUL Kegiata Belajar 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik A. BILANGAN DAN KETELITIAN Ada dua macam bilaga dalam perhituga matematika, yaitu bilaga eksak da bilaga aproksimasi (pedekata). Cotoh-cotoh bilaga eksak adalah 1,, 3,..., 1, 3,...,,, e,..., da seterusya. Bilagabilaga aproksimasi diyataka dega bilaga yag mempuyai derajat ketelitia. Misalya, ilai aproksimasi dari adalah 3,1416 atau dega pedekata yag lebih baik dari adalah 3, Tetapi kita tidak dapat meulis secara eksak ilai dari. Agka-agka yag meyataka suatu bilaga disebut agka-agka sigifika. Jadi bilaga-bilaga 3,1416; 0,66667; da 4,0687 masigmasig memuat lima agka sigifika, sedagka bilaga 0,0003 haya memiliki dua agka sigifika, yaitu da 3 karea ol haya meetuka tempat dari titik desimal. Serig kali kita igi meyigkat peulisa bilaga-bilaga yag besar, da hal tersebut dapat dilakuka dega memotog sampai beberapa agka dari bilaga itu yag kita igika. Proses pemotoga bilaga seperti itu, disebut pembulata. Dalam modul ii bilaga-bilaga yag dibulatka megikuti atura berikut: Utuk membulatka bilaga sampai ke- agka sigifika, hilagka setiap bilaga yag ada di sebelah kaa agka ke-, da jika bilaga yag dihilagka tersebut: 1. kurag dari 5 (setegah satua) maka agka ke- tidak berubah (tetap);. lebih besar dari 5 (setegah satua) maka agka ke- bertambah satu (satu satua); 3. tepat 5 (setegah uit) maka agka ke- bertambah satu (satu satua) jika agka ke- gajil, sedagka yag laiya tetap. Bilaga yag dibulatka itu disebut teliti sampai agka sigifika.

4 1.4 Metode Numerik Cotoh 1.1. Bilaga-bilaga berikut dibulatka sampai empat agka sigifika: 1,6583 ke 1,658 30,0567 ke 30,06 0, ke 0,8594 3,14159 ke 3,14 B. BEBERAPA TEOREMA DALAM KALKULUS Dalam bagia ii dikemukaka beberapa teorema tapa pembuktia yag bayak diguaka di dalam pembicaraa kita Teorema 1.1 Jika f() kotiu di dalam a b da f(a) dega f(b) berlawaa tada maka f() = 0 utuk suatu bilaga sedemikia higga a b. Teorema 1. (Teorema Rolle) Jika (i) f() kotiu di dalam a b (ii) f() ada dalam a b, da (iii) f(a) = f(b) = 0 maka ada palig sedikit satu ilai, sebutlah, sedemikia higga f() = 0 dega a b. Teorema 1.3 (Teorema Nilai Tegah utuk Derivatif) Jika (i) f() kotiu di dalam a b (ii) f() ada dalam a b maka ada palig sedikit satu ilai =, sedemikia higga f() = f (b) f (a), dega a b. b a Jika b = a + h, teorema 1.3. dapat diyataka dega betuk: f(a h) f(a) hf '(a h), dega 0 1.

5 PEMA456/MODUL Teorema 1.4 (Deret Taylor utuk Fugsi dega Satu Variabel) Jika f() kotiu da memiliki turua ke- yag kotiu dalam suatu iterval yag memuat = a maka di dalam iterval tersebut berlaku: f() = f(a) + ( a)f(a) + ( a)! f(a) ( a) + f ( 1) (a) + R(), ( 1)! dega R() suku sisa yag dapat diyataka dalam betuk: ( a) R() = f () (), a.! Teorema 1.5 (Ekspasi Maclauri) f() = f(0) + f(0) +! f(0) ! f (0) +... Teorema 1.6 (Deret Taylor utuk Fugsi dega Dua Variabel) f( 1 + 1, + ) = f( 1, ) + + f f 1 f f f ( 1) 1 ( ) Teorema 1.7 (Deret Taylor utuk Fugsi Variabel Bayak) f f f( 1 + 1, +,..., + ) = f( 1,, 3,..., ) f 1 f f + ( 1)... ( ) 1 f f

6 1.6 Metode Numerik C. KEKELIRUAN DAN ANALISISNYA Di dalam aalisis umerik, ada tipe kekelirua, yaitu berikut ii. 1. Kekelirua Ihere (Iheret Errors) Sebagia besar dari perhituga umerik adalah tidak eksak. Hal tersebut terjadi karea data yag diperoleh adalah data aproksimasi atau keterbatasa dari alat Komputasi, seperti tabel matematika, kalkulator atau komputer digital. Karea keterbatasa tersebut, bilaga-bilaga yag diperoleh adalah hasil pembulata sehigga kita ketahui apa yag disebut kekelirua pembulata. Di dalam perhituga, kekelirua ihere dapat diperkecil oleh data yag besar, oleh pemeriksaa kekelirua yag jelas dalam data, da oleh pegguaa alat komputasi dega ketelitia yag tiggi.. Kekelirua Pemepata (Trucatio Errors) Kekelirua pemepata adalah kekelirua yag tak dapat dihidarka, jadi memag disegaja. Kekelirua ii disebabka oleh pegguaa rumus (formula) aproksimasi dalam perhituga. D. KEKELIRUAN MUTLAK, KEKELIRUAN RELATIF, DAN PERSENTASE KEKELIRUAN Kekelirua mutlak adalah selisih umerik atara besar ilai sebearya dega ilai aproksimasiya. Jadi, apabila besar ilai yag sebearya, da 1 ilai pedekataya (aproksimasiya) maka kekelirua mutlak E A adalah: E A = 1 =... (1.1) Kekelirua relatif E R didefiisika oleh E E R = A =... (1.) da persetase kekelirua E P adalah: E p = 100 E R... (1.3) Jika adalah suatu bilaga sedemikia higga 1... (1.4)

7 PEMA456/MODUL maka disebut batas atas pada besara dari kekelirua mutlak atau ukura ketelitia mutlak, sedagka besar 100% 100% 1 disebut ukura ketelitia relatif. Cotoh 1.: Jika adalah bilaga yag dibulatka ke-n tempat desimal maka N = Jika = 0,51 maka teliti sampai tempat desimal sehigga = 1 10 = 0,005, da ketelitia relatif-ya adalah: 0, % = 100% 0,98%. 0,51 E. FORMULA KEKELIRUAN UMUM Misalya, u = f( 1,,..., ) adalah fugsi dega variabel bayak dalam i (i = 1,,..., ), da misalka kekelirua dari tiap i adalah i maka kekelirua u dalam u diberika oleh: u + u = f( 1 + 1, +,..., + ). Perluasa ruas kaa dari kekelirua umum tersebut oleh deret Taylor f (lihat Teorema 1.7), meghasilka u + u = f( 1,,..., ) + i + i1 i suku-suku yag memuat ( i ), da seterusya. i Kita aggap bahwa kekelirua dalam i adalah kecil da 1, da i juga kuadrat da pagkat tertiggi dari i dapat diabaika maka dari hubuga di atas diperoleh: f u i i1 i f f f = (1.5) i

8 1.8 Metode Numerik Jika kita perhatika formula 1.5 maka terlihat bahwa betukya sama dega diferesial total dari u. Formula utuk kekelirua relatif adalah sebagai berikut. E R = u u = u 1 1 u + u u u u... (1.6) Cotoh berikut adalah ilustrasi dari pegguaa formula (rumus) tersebut. Cotoh 1.3: Misal u = u = u y u z = = 5y z 5y 3 3 z 10y 3 z 15y 4 z maka da u = u. + u y. y + u z. z. = 5y z y 3 z 15y y z. 4 z Umumya, kekelirua, y, da z, mugki positif atau egatif karea itu kita berika ilai mutlak pada suku-suku di ruas kaa sehigga diperoleh: 5y 10y 15y (u) maks y z z z z Jika = y = z = 0,001 da = y = z = 1 maka u = 5.

9 PEMA456/MODUL ( u)maks 5.(0, 001) 10.(0, 001) 15.(0, 001) 0,03 Sehigga kekelirua relatif maksimum (E R ) maks adalah ( u) (E R ) maks = maks = 0,03 = 0,006. u 5 F. KEKELIRUAN DAN APROKSIMASI DERET Kekelirua yag dibuat dalam aproksimasi suatu deret dapat dievaluasi oleh sisa sesudah suku-suku ke-. Deret Taylor utuk f() pada = a diberika oleh: 1 ( a) ( a) f() = f(a) + ( a) f(a) + f (a)... f 1 (a) R (),! ( 1)! Dega R () = ( a)! f ( ), a b. Utuk suatu barisa yag koverge, suku sisa aka medekati ol utuk. Jadi, jika kita megaproksimasi f() oleh suku pertama dari deret tersebut maka kekelirua maksimum yag dibuat dalam aproksimasi tersebut diberika oleh suku sisa. Cotoh 1.4: Ekspasi Maclauri utuk e diberika oleh: 3 1 e = 1 + +! + 3! e, 0. ( 1)!! Aka dicari, yaitu bayakya suku-suku, sedemikia higga jumlahya sama dega e, teliti sampai 8 tempat desimal pada = 1. Teryata suku sisa dari ekspasi tersebut adalah e d sehigga! kekelirua sukuya adalah e, da utuk = memberika! kekelirua mutlak maksimum. Dega demikia, kekelirua relatif

10 1.10 Metode Numerik. e maksimumya =! e = 1 maka kita peroleh: =. Jika dihitug teliti sampai 8 desimal di! 1! ! >. 10 yag memberika = 1. Jadi, kita perluka 1 suku dari deret ekspoesial dalam uruta itu yag jumlahya teliti sampai 8 desimal. LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1) Bulatka bilaga-bilaga berikut kedua tempat desimal: a) 56,3416 b) 3,385 c) 3,384 d) 4,715 e) 34,519 f) 71,155 ) Bulatka bilaga-bilaga berikut ke-4 agka sigifika: a) 78, b) 1, c) 0, d), e) 0, f) 0, ) Jika u 3v 6v, carilah persetase kekelirua dalam u pada v = 1 jika kekelirua dalam v adalah 0,05! 4) Tetuka bayakya suku-suku dari deret ekspoesial sedemikia higga jumlahya adalah ilai dari e, teliti sampai lima tempat desimal utuk semua ilai dalam 0 1.

11 PEMA456/MODUL ) Ekspasi dari fugsi f() = ta -1 adalah ta -1 = (-1) ( 1) Tetuka sedemikia higga deret ta -1 dapat ditetuka, teliti sampai 8 agka sigifika! Petujuk Jawaba Latiha 1) a. 56,3 aaaaa c. 3,38 aaaaa e. 34,5 b. 3,39 d. 4,7 f. 71,16 ) a. 78,36 aaaaa c. 0, aaaaa e. 0,1059 b. 1,10 d.,106 f. 0,0107 3) 7 u 3v 6v u 36 3 u (1v 6) v (16). 0,05 0,75. Persetase kekelirua u 0, % =. 100% u 3 = 5%. 4) Peyelesaia hampir sama dega Cotoh 1.4 sehigga diperoleh 1 5 bayakya suku adalah sedemikia higga 1 10, yag! memberika = 9. 5) Sama dega jawaba No. 4, tetapi 1 ( 1)!

12 1.1 Metode Numerik RANGKUMAN 1. Jika suatu bilaga yag dibulatka sampai N tempat desimal N maka ketelitia mutlakya = 1 10 da ketelitia relatif-ya.. Jika u = f( 1,, 3,..., ) da u + u = f( 1 + 1, +,..., + f ) maka u i, da i1 i u u E R = =. 1 u +. u u 1 u u u TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! 1) Besarya pedekata dari si 45 dibulatka kelima tempat desimal adalah... A. 0,7071 B. 0,70710 C. 0,70711 D. 0,70716 ) Bilaga aproksimasi 0, mempuyai... A. 8 agka sigifika B. 7 agka sigifika C. 6 agka sigifika D. 3 agka sigifika 3) Jika u = v 3 + v maka persetase kekelirua dalam u pada v = da kekelirua dalam v = 0,05, adalah... A. 4% B. 1,9% C. 6,94% D. 4,808%

13 PEMA456/MODUL ) Jika e = ! + 3! ( 1)! Bayakya suku pertama yag diperluka agar ilai e pada 0 1 teliti ke 3 tempat desimal adalah... A. = 3 B. = 5 C. = 7 D. = 8 5) Ketelitia relatif dari bilaga aproksimasi 4,101 adalah... A B. 0,001 C. 0,01 D. 0,1 Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif 1 yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 1. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 100% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar 1, terutama bagia yag belum dikuasai.

14 1.14 Metode Numerik J Kegiata Belajar Selisih Terhigga Biasa ika diberika suatu fugsi f() da suatu daftar yag terdiri dari ilaiilai fugsi f(a), f(a+h), f(a+h),..., dega variabel bebas bertambah pada jarak iterval yag sama maka selisih atara dua ilai yag beruruta disebut selisih iterval da ditulis dega huruf h. Operator selisih didefiisika oleh persamaa f() = f(+h) f()... (1.7) Lambag f() disebut selisih pertama dari f(), da f() adalah suatu fugsi dari sehigga, kita dapat megulagi kembali operasi selisih tersebut utuk memperoleh selisih kedua dari f(), yaitu f() = [f()] = f(+h) f()... (1.8) Umumya, selisih ke- dari f() didefiisika oleh f() = [ -1 f()] = -1 f(+h) -1 f()... (1.9) Cotoh 1.5. Misalya, f() = , dimulai dega = 0 sebagai ilai awal maka ilai-ilai fugsi utuk = 0()8 = 0,, 4, 6, 8 diperlihatka pada Tabel 1.1. Dalam cotoh ii, formula aalitik utuk f() adalah: f() = ( + ) 3 3( + ) + 5( + ) + 7 ( ) = formula aalitik utuk f() adalah: f() = [f()] f() = 6( + ) + 6 (6 + 6) = da 3 f() = [ f()] 3 f() = 4( + ) + 4 (4 + 4) = 48 Teryata bahwa 4 f() = 5 f() =... = 0.

15 PEMA456/MODUL Jadi, selisih ketiga 3 f() dari f() = adalah suatu kostata utuk semua ilai. Tabel selisih terhigga dari f() = utuk = 0()8 diperlihatka oleh Tabel 1.1 berikut. Tabel 1.1 Tabel Selisih Fugsi f() = , dega = 0()8 f() f() f() 3 f() Catata: 1. = 0 ()8, artiya ilai dimulai dari 0, kemudia ditambah utuk ilai berikut-ya sampai ilai terakhir adalah 8. Sehigga ilai = 0,, 4, 6, 8.. Jadi, apabila ilai y = 0(5)30 maka y = 0, 5, 10, 15, 0, 5, 30. Dari defiisi (1.7), teryata operator memeuhi hukum-hukum: (i). [f() + g()] = f() + g()... (1.10) (ii) [cf()] = cf(), c kostata... (1.11) Dega megguaka relasi-relasi (1.10) da (1.11), dapat diyataka teorema berikut.

16 1.16 Metode Numerik Teorema 1.8: Jika f() suatu poliom berderajat yaitu f() = adalah suatu kostata a!h. i a i maka f() i0 Bukti: Utuk = 1, f() = a 1 + a 0 da f() = a 1 h. Jadi, teorema tersebut berlaku utuk =1. Misalka teorema tersebut berlaku utuk semua derajat 1,,..., 1, da i perhatika poliom berderajat, f() = a i. i0 Dega megguaka relasi (1.10) da (1.11) maka kita peroleh: f() = ai i i0 Utuk i maka i adalah selisih ke- dari suatu poliom berderajat kurag dari, da oleh iduksi matematika, i, haruslah hilag. Jadi, f () a -1 a -1 a h a h g dega g() adalah poliom berderajat kurag dari 1. Jadi, dega megguaka hipotesis iduksi lagi, kita peroleh: f() = a -1 (h -1 ) = a (h)( 1)!h -1 = a!h. Cotoh 1.6: Carilah selisih keempat dari poliom f() = , utuk = 0(1)5!

17 PEMA456/MODUL Jawab: Poliom berderajat 4 maka utuk meetuka selisih keempat megguaka teorema 1.8. = 4, a = 3, h = 1. Sehigga selisih keempat dari poliom tersebut, utuk = 0(1)5 adalah 4 f() = a!h = 3.4!(1) 4 = 7. LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1) Buatlah tabel selisih dari f() = , utuk = -(1)4! ) Utuk h = 1, carilah selisih ekspresi aalitik utuk f(), f(), da 3 f(), jika f() = ! 3) Carilah dua suku berikutya dari barisa berikut: u 0 = 5, u 1 = 11, u =, u 3 = 40, u 4 = 74, u 5 = 140, u 6 = 61, u 7 = 467. Guaka selisih terhigga utuk mecariya, da derajat berapakah poliom yag ilai-ilaiya seperti itu? 4) Carilah u, u, da 3 u utuk fugsi-fugsi: a) u = a 3 b + c b) u = 1, ambillah h = 1. 5) Tetuka selisih kelima dari poliom f() = utuk ilai-ilai = 0()0! Petujuk Jawaba Latiha 1) Betuk tabelya, seperti berikut (isi sediri!) f() f() f() 3 f() 4 f()

18 1.18 Metode Numerik ) f() = ( + 1) 3 7( + 1) + ( + 1) + 3 ( ) = f() = 3( + 1) 11( + 1) 4 (3 11 4) = f() = 6( + 1) 8 (6 8) = 6. 3) Buatlah tabel selisih fugsi u. Tabel Selisih Fugsi u Sehigga dua suku berikutya adalah 795 da 189 berderajat empat. 4) a) u = a ( + 1) 3 b ( + 1) + c (3a 3 b + c) = 3a + 3a + a b. u = 3a ( + 1) + 3a ( + 1) + a-b (3a + 3a + a b) = 6a + 6a 3 u = 6a ( + 1) + 6a (6a + 6a) = 6a b) u = 1 ( 1) u = u = ) Guaka teorema 1.8, didapat: ( 1)( ) 6 ( 1)( )( 3) 5 5 f () 4. 5!

19 PEMA456/MODUL RANGKUMAN 1. Selisih ke- dari f() didefiisika oleh: f() = [ -1 f()] = -1 f(+h) -1 f().. Selisih ke- dari poliom berderajat : f() = i f() = a!h. 0 i a i adalah TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! 1) Jika f() = da ilai-ilai = 0(1)8 maka f() adalah... A B C D ) Selisih keempat dari f() = utuk ilai-ilai = 0(3)15 adalah... A. 34!3 4 B. 4!3 4 C. -4!3 4 D. -3 4!3 4 3) Poliom u yag ilai-ilaiya u 1 = 0, u = 5, u 3 =, u 4 = 57, u 5 = 116, da u 6 = 05, berderajat... A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4) Perhatika soal No.3. u 7 da u 8 dari poliom tersebut berturut-turut adalah... A. 300 da 490 B. 305 da 495 C. 330 da 497 D. 330 da 495

20 1.0 Metode Numerik 5) Selisih kelima dari poliom f() = 3 5, utuk h = 1 adalah... A. -40 B. 40 C. -40 D. 40 Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 100% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

21 PEMA456/MODUL M Kegiata Belajar 3 Selisih Pembagi isalka diberika ilai-ilai fugsi u utuk = a, b, c, d,..., dega iterval-iterval b-a, c-b, d-c,... tidak perlu sama. Kita defiisika selisih pembagi dari u a ke b oleh persamaa berikut: ub ua u a =... (1.1) b b a Tabel utuk selisih pembagi dari fugsi tersebut di atas adalah u u u 3 u a u a b c d u b u c u d b c d u a u b u c u a bc u a cd bcd 3 u a ub ua Notasi formula (1.1): u a = adalah suatu formula yag tidak b b a berlaku umum. Utuk meghitug selisih pembagi yag berderajat lebih tiggi, kita lakuka perhituga berikut. ub ua c b u a = bc c a uc ub ub u a = c b b a c a ua ub uc = (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)

22 1. Metode Numerik Dega cara yag sama diperoleh: ub ua 3 cd bc u a = bcd d a ua ub (a b)(a c)(a d) (b c)(b d)(b a) uc ud (c b)(c d)(c a) (d a)(d b)(d c) Dari kedua cotoh di atas diperoleh teorema berikut, yag dapat dibuktika dega cara iduktif. Teorema 1.9. Jika a, b, c,... adalah ilai-ilai dari argume maka r ua uk u a =... (a b)(a c) (a k) bcd jk (k a)(k b) (k j) Cotoh 1.7: Buatlah tabel selisih pembagi, utuk u dega u - = 5, u 0 = 3, u 3 = 15, u 4 = 47, da u 9 = 687! Jawab: u u u 3 u

23 PEMA456/MODUL Dari tabel di atas terlihat bahwa: u u0 u u u - = 1, u 1 0 ( ) 0,3 3 ( ) 5 3,4 u 0 = 3 3,4,9 u 0 = da seterusya. u u = u 3 u0 4,9 3, = 7, Cotoh 1.8: Buatlah tabel selisih pembagi utuk u, jika u 3 = 15, u - = 5, u 0 = 3, u 9 = 687, u 4 = 47! Jawab: Dari Cotoh 1.7 da Cotoh 1.8, dapat kita lihat bahwa selisih pembagi ketiga dari fugsi tersebut adalah kosta yaitu +1, da memag ilaiilai fugsi tersebut diperoleh dari u = Dari kedua cotoh itu pula dapat kita peroleh teorema berikut: Teorema Jika u suatu poliom berderajat maka u adalah sebuah kostata.

24 1.4 Metode Numerik Bukti: ( h) h = = h h h = suatu poliom berderajat ( 1). 1 Kita ketahui bahwa adalah suatu operator liear, yaitu (f+g) = f + g, da cf = c f (c kostata). Jadi, selisih pembagi pertama dari poliom u = a 0 + a a adalah suatu poliom berderajat ( 1). Akibatya, selisih pembagi kedua adalah suatu poliom berderajat ( ), da selisih pembagi ke- dari poliom tersebut adalah kosta, sedagka semua selisih pembagi yag lebih besar dari dari poliom tersebut adalah ol. Dari pembicaraa di atas dapat pula disimpulka bahwa Corollary (dalil akibat) dari Teorema 1.11 adalah yag biasa disebut sebagai sifat kesimetria, seperti pada teorema berikut: Teorema Jika diketahui selisih pembagiya adalah r u a, maka perubaha bc jk selisih pembagi tersebut diberika oleh suatu permutasi dari huruf-huruf a, b, c,..., j, k. Teorema 1.11 segera dapat dibuktika, jika kita perhatika ekspresi Teorema 1.9 yag merupaka fugsi simetri dari semua (r + 1) huruf a, b, c,, j, k. Sebagai ilustrasi, dari cotoh 1.7 dapat dicari u - = 1, dalam cotoh 1.8, dapat dicari pula 0,3 u 3 = 1,0 Formula Selisih Pembagi Newto Perhatika fugsi u utuk argume-argume, a, b, c, d,, j, k maka u ua u = u a =, da peyelesaia utuk u adalah: a a u = u a + ( a) u a... (1.13)

25 PEMA456/MODUL Dari sifat simetri, kita peroleh a u u b b a u a = u = b u u a a b ; da dega megguaka sifat simetri diperoleh: u a = u a + ( b) b u a, b Jika persamaa terakhir ii disubstitusika ke persamaa (1.13) maka diperoleh: u = u a + ( a) u a + ( a) ( b) u a... (1.14) b b Akhirya, 3 u a = 3 u = bc abc a bc ab u u c = a bc ab u u c ab u = u = u a + ( c) 3 u a ; b bc bc da substitusi persamaa ii ke persamaa (1.14) diperoleh ekspresi berikut: u = u a + ( a) u a + ( a) ( b) u b a + ( a) ( b) ( c) 3 bc u a ; (1.15) bc Apabila proses (1.13), (1.14), da (1.15) dilajutka utuk ilai-ilai argume, a, b, c,, j, k, da disubstitusika ilai-ilai a = A, b = B,, j = J, k = K, maka diperoleh formula berikut: u = u a + A u a + AB u a + ABC 3 u a ABC... J u a b bc bcd bc... k yag disebut formula selisih pembagi Newto. Cotoh 1.9: Guaka formula selisih pembagi Newto utuk memperoleh aproksimasi poliom u dari data berikut. b ab da = u

26 1.6 Metode Numerik Jawab: Tabel selisih pembagi dari data di atas adalah: Dega megguaka formula Newto da ilai dari tabel di atas, aproksimasi utuk poliom u yag dimita adalah: u = u 10 + ( 10) u 10 + ( 10)( 0) u 10 + ( 10)( 0)( 8) 3 u , 8 0,8, 1 = ( 10) (36) + ( 10) () (19) + ( 10) () ( 8) () = LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1) Buatlah tabel selisih pembagi dari data berikut. X u ) Berdasarka tabel pada soal No.1, carilah u 3, u -, u -, da 3 u , 0,9,0

27 PEMA456/MODUL ) Perhatika tabel ta 30 30,5 3 3,5 0, , ,6487 0,6973 Jika dimisalka u = ta, carilah aproksimasi poliom u dega megguaka metode selisih pembagi Newto! 4) Guaka jawaba No. 3 utuk megaproksimasi ilai dari ta 31 da ta 31,5. (Selajutya mecari ilai ta 31 da ta 31,5 dari data yag diberika seperti itu disebut megiterpolasi ilai-ilai tage). Petujuk Jawaba Latiha 1) Tabel selisih pembagi: a. u 3 = b. u - = 6 c. 9 u - = 7 9,0 d. 3 u 3 = 1,9,0

28 1.8 Metode Numerik ) Tabel selisih pembagi dari ta adalah: u = ta u u 3 u 30 30,5 3 0, , , , , , , , , , 0,6973 Berdasarka tabel di atas maka aproksimasi poliom u adalah: u = 0, ( 30) (0,0340) + ( 30) ( 30,5) (0,0004) + ( 30) ( 30,5) ( 3) (0,000005) 3) Nilai ta 31 berdasarka jawaba soal No.3 adalah: u 31 = 0, (31 30) (0,0340) + (31 30) (31 30,5) (0,0004) + (31 30) (31 30,5) (31 3) (0,000005) = 0, Utuk ilai ta 31,5, guakalah u 31,5. RANGKUMAN 1. Jika a, b, c,... adalah ilai-ilai argume dari u maka r ua uk u =... (a b)(a c) (a k) bc... jk (k a)(k b) (k j). Formula selisih pembagi Newto adalah u = u a + A u a + AB u a + ABC 3 u a ABC... J b bc bcd bc... k dega A = a B = b K = k u a

29 PEMA456/MODUL TES FORMATIF 3 Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! Perhatika tabel ilai u utuk yag bersagkuta u ) Dari tabel di atas, ilai u 0 =... A. 1 5 B. 3 C. 15 D. 33 ) Dari tabel di atas, ilai A. 6 B. -6 C. - D. 5,3 u 0 =... 3) Dari tabel di atas, ilai 3 u -1 =... A. 1 0,5,3 B. -1 C. D. - 4) Perhatika tabel ilai u dega ilai yag bersagkuta u 4,37 49,8 16,86 40,50

30 1.30 Metode Numerik Jika diguaka formula selisih pembagi Newto utuk megaproksimasi poliom u dari data pada tabel di atas maka berikut ii yag bear adalah... A. u = 4,37 + ( 0) (11,456) + ( 0) ( ) (0,419) + ( 0) ( ) ( 9) (0,4) B. u = 4,37 + ( 0) (11,456) + ( 0) ( ) (0,965) + ( 0) ( ) ( 9) (0,419) C. u = 4,37 + ( 0) (1,455) + ( 0) ( ) (16,6) + ( 0) ( ) ( 9) (0,9650) D. u = 4,37 + ( 0) (1,455) + ( 0) ( ) (0,419) + ( 0) ( ) ( 9) (0,0455) 5) Hasil iterpolasi ilai u 8 dari tabel pada soal No. 4 adalah... A. 14,1 B. 134,1 C. 141,94 D. 154,1 Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif 3 yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 3. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 100% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar 3, terutama bagia yag belum dikuasai.

31 PEMA456/MODUL Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C. si 45 0 = 0, ) C. 3) C. Diperoleh u = 18; u = (6v + 1) v = 1,5 ; da v 1,5.100% 100% 6, 94% v 18 4) C. Peyelesaiaya sama dega cotoh 1.4, diperoleh atau! yag memberika = 7.! 5) A. = 4,101, diteliti sampai tiga tempat desimal maka ,0005. Ketelitia relatif = 0,0005 0, ,101 Tes Formatif 3 3 1) D. f () ( 1) ( 1) 5 ( 5) f () 6( 1) 4( 1) 1 (6 4 1) ) C. Guaka Teorema 1.8, 4 4 f (). 4! (3). 3) A. Buatlah tabel selisih fugsi u seperti latiha omor 3. 4) C. Guaka tabel pada jawaba omor 3 di atas ) A. Guaka Teorema 1.8 f (). 5! 1 40.

32 1.3 Metode Numerik Tes Formatif 3 Tabel selisih pembagi dari data adalah: 1) C u ) A Lihat tabel! 3) A Lihat tabel! Tabel selisih pembagi dari data adalah: 4) D Lihat tabel! 5) C Masukka ilai = 8 pada jawaba omor 4.

33 PEMA456/MODUL Daftar Pustaka Dio, Charles. (1974). Numerical Aalysis. Lodo: Blackie. Sastry, SS. (1983). Itroductory Methods of Numerical Aalysis. New Delhi: Pretice Hall of Idia. Stato, Ralph G. (1985). Numerical Methods for Sciece ad Egieerig. New Delhi: Pretice Hall of Idia.