Bab. Barisan dan Deret. Di unduh dari: ( Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab. Barisan dan Deret. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)"

Transkripsi

1 Bab IV Barisa da Deret 53 Tujua Pembelajara Setelah mempelajari bab ii, diharapka kalia dapat. mejelaska ciri barisa aritmetika da barisa geometri;. merumuska suku ke da jumlah suku deret aritmetika da deret geometri; 3. meetuka suku ke- da jumlah suku deret aritmetika da deret geometri;. mejelaska ciri deret geometri tak higga yag mempuyai jumlah; 5. meghitug jumlah deret geometri tak higga; 6. meuliska suatu deret aritmetika da geometri dega otasi sigma; 7. mejelaska karakteristik masalah yag model matematikaya berbetuk deret aritmetika atau geometri; 8. merumuska da meyelesaika deret yag merupaka model matematika dari masalah; 9. mejelaska rumusrumus dalam hitug keuaga dega deret aritmetika atau geometri; 0.meetuka buga tuggal, buga majemuk, da auitas. Barisa da Deret Sumber: Motivasi Perahkah kalia megamati ligkuga sekitar? Di sekelilig kalia tetulah bayak terjadi hal-hal yag bersifat ruti. Kejadia ruti adalah kejadia yag mempuyai pola atau keteratura tertetu. Amati pola susua biji pada buga matahari. Amati pola pertumbuha populasi makhluk hidup tertetu. Kedua cotoh itu sebearya membetuk pola keteratura tertetu berupa barisa. Kita dapat memperkiraka suku pada waktu tertetu. Salah satuya adalah keteratura populasi makhluk hidup. Utuk meghitug da memperkirakaya, diperluka suatu cara tertetu agar lebih mudah meyelesaikaya, yaitu dega kosep barisa da deret.

2 5 Khaz Matematika SMA 3 IPS Peta Kosep Barisa da Deret mempelajari Barisa Deret Notasi Sigma terdiri atas membahas Aritmetika Geometri terdiri atas Sifat-Sifat Notasi Sigma Aritmetika Geometri Hitug Keuaga Geometri Tak Berhigga meliputi Buga Tuggal Buga Majemuk Auitas Kata Kuci agsura buga majemuk pola bilaga auitas buga tuggal rasio barisa deret sigma barisa berhigga deret tak higga suku batas atas jumlaha Riema suku awal batas bawah koverge suku ke- beda modal suku tetap buga periode buga

3 Barisa da Deret 55 Sebelumya, kalia perah belajar barisa da deret ketika duduk di bagku SMP. Pada pokok bahasa ii aka dibahas secara medalam tetag barisa da deret, serta hal-hal yag terkait dega barisa da deret. Kemudia, aka dijelaska tetag keguaa barisa da deret dalam kehidupa sehari-hari. Sebelum kalia mempelajari materi ii secara medalam, perlu kalia igat kembali tetag pola bilaga yag telah kalia pelajari. Utuk itu, kerjaka soal-soal berikut berikut terlebih dahulu. Prasyarat Kerjaka di buku tugas. Tetuka rumus umum suku ke- dari pola bilaga berikut. a.,, 7, 0, 3,... b., 7,, 7,.... Jika diketahui rumus suku ke- adalah U = + 7, tetuka 5 suku pertamaya. 3. Meurutmu, apa bedaya barisa da deret? A. Barisa da Deret. Barisa Bilaga Setelah kalia mampu mejawab soal-soal di atas, mari kita lajutka ke materi berikut. Kalia tetu perah berpikir tetag omor rumah di sisi kiri jala yag beromor gajil, 3, 5, 7, da seterusya, sedagka omor rumah di sisi kaa jala beromor geap,, 6, 8, da seterusya. Mugki juga kalia perah berpikir dari maa para pakar meyataka bahwa 0 tahu ke depa peduduk Idoesia aka mejadi x juta jiwa. Dua cotoh di atas berkaita dega barisa da deret dari suatu bilaga. Misalka seorag aak diberi uag saku orag tuaya setiap miggu Rp0.000,00. Jika setiap miggu uag sakuya bertambah Rp500,00 maka dapat dituliska uag saku dari miggu ke miggu berikutya adalah Rp0.000,00, Rp0.500,00, Rp.000,00, Rp.500,00,... Susua bilaga-bilaga yag sesuai dega cotoh di atas adalah 0.000, 0.500,.000,.500,

4 56 Khaz Matematika SMA 3 IPS Perhatika bahwa dari bilaga-bilaga yag disusu berbetuk 0.000, 0.500,.000,.500,... mempuyai keteratura dari uruta pertama, kedua, ketiga, keempat, da seterusya, yaitu bilaga berikutya diperoleh dari bilaga sebelumya ditambah 500. Bilaga-bilaga yag disusu urut dega atura tertetu seperti itulah dikeal dega ama barisa bilaga. Secara matematis, barisa bilaga merupaka ilai fugsi dega daerah defiisiya adalah bilaga asli. Misalka barisa bilaga ditulis lambag U utuk meyataka uruta suku-sukuya maka bilaga pertama ditulis U() atau U, bilaga kedua ditulis U() atau U, da seterusya. Jika kita buat korespodesi, aka terlihat seperti berikut b b b b b b U U U 3 U... U Jadi, betuk umum barisa bilaga adalah U, U, U 3,..., U,... Dalam hal ii, U = f() disebut rumus umum suku ke- dari barisa bilaga. Cotoh : Diketahui barisa bilaga dega suku ke- berbetuk U =. Tuliska 5 suku pertama dari barisa tersebut. Rumus suku ke- adalah U =. Suku pertama dapat dicari dega meyubstitusika = da diperoleh U = () =. Suku kedua dicari dega meyubstitusika = da diperoleh U = () = 0. Dega cara yag sama, diperoleh sebagai berikut. Suku ketiga = U 3 = 3 (3) = 3. Suku keempat = U = () = 8. Suku kelima = U 5 = 5 (5) = 5. Jadi, lima suku pertama dari barisa itu adalah, 0, 3, 8, 5. Misalka diberika suatu barisa bilaga dega suku ke- dari barisa bilaga tersebut tidak diketahui. Dapatkah kita meetuka rumus suku ke-? Hal ii tidak selalu dapat ditetuka, tetapi pada beberapa barisa kita dapat melakukaya dega memerhatika pola suku-suku barisa tersebut.

5 Barisa da Deret 57 Cotoh : Diketahui barisa bilaga, 7,, 9,... a. Tetuka rumus suku ke-. b. Suku keberapa dari barisa tersebut yag berilai 99? Barisa bilaga:, 7,, 9,... a. Suku ke- = U = = + 3 Suku ke- = U = 7 = + 3 Suku ke-3 = U 3 = = Suku ke- = U = 9 = + 3 M M Suku ke- = U = + 3 Jadi, rumus suku ke- barisa tersebut adalah U = + 3. b. Diketahui suku ke- = 99, berarti U = = 99 = 96 Karea = 96 maka = atau = (dipilih ilai positif). Megapa tidak dipilih =? Jadi, suku yag ilaiya 99 adalah suku ke-.. Deret Bilaga Misalka kita mempuyai barisa bilaga U, U, U 3,..., U da S adalah jumlah dari suku-suku barisa itu. S = U + U + U U disebut deret. Jadi, deret adalah jumlaha suku-suku dari suatu barisa. Mari Berdiskusi Berpikir Kritis Apakah deret suatu bilaga dapat disebut suatu barisa? Apa perbedaa barisa dega deret? Jika pola suku dari deret suatu bilaga diketahui, dapatka rumus sukuya diketahui? Soal Kompetesi Kerjaka di buku tugas. Tuliska lima suku pertama dari barisa bilaga berikut. a. U = 5 d. U = ( ) + b. U = e. U = + 5 c. U = ( ) f. U = +

6 58 Khaz Matematika SMA 3 IPS. Diketahui rumus suku ke- dari suatu barisa adalah U = 3. a. Tetuka empat suku pertama barisa tersebut. b. Suku keberapa dari barisa tersebut yag berilai 30? 3. Tetuka rumus suku ke- dari barisa berikut, kemudia tetuka suku ke-0 da suku ke-30. a. 3, 5, 7, 9,... b. 3,, 37, 8,... c., 0, 8, 8,... d. 3,,,, e. 3,,,, Diketahui suku ke- dari suatu barisa bilaga adalah U = a + b. Jika U 3 = 8 da U 5 = 8, tetuka U Diketahui rumus suku ke- barisa bilaga adalah U = a + b, U + U = 50, da U 0 U 5 = 50. Tetuka a. U ; d. U + ; b. U 50 ; e. jumlah 0 suku pertama; c. U + U ; f. jumlah 5 suku pertama. 6. Diketahui rumus suku ke- dari suatu barisa adalah U = + 3. a. Tetuka lima suku pertama dari barisa tersebut. b. Suku keberapa dari barisa tersebut yag berilai 393? c. Suku keberapa dari barisa tersebut yag berilai.93? 7. Diketahui rumus suku ke- barisa bilaga adalah U = a + b. Jika U = 3 da U = 7, tetuka a. U ; d. jumlah suku pertama; b. U 0 ; e. U +. c. U 5 + U 7 ; 8. Diketahui rumus suku ke-( + ) dari suatu barisa bilaga adalah U + = a + b. Jika U = da U + U 7 = 7, tetuka a. rumus U + ; b. rumus U ; c. rumus U ; d. jumlah 5 suku pertama; e. U 0 + U 5. U

7 Barisa da Deret Tetuka rumus suku ke- dari barisa berikut, kemudia tetuka suku ke-0 da ke-. a. 0, 5,,,... b.,, 8,,... c., 5, 6, 3, Diketahui U = a 3 + b. Jika U = 50 da U 3 U = maka tetuka a. ilai a da b; b. rumus U ; c. rumus U ; d. rumus U + ; e. U da U 5. B. Barisa da Deret Aritmetika. Barisa Aritmetika Idah meyisihka sebagaia uag yag dimilikiya utuk disimpa. Pada bula ke-, ia meyimpa Rp0.000,00. Bula berikutya ia selalu meaikka simpaaya Rp500,00 lebih besar dari bula sebelumya. Besar simpaa (dalam rupiah) Idah dari pertama da seterusya dapat ditulis sebagai berikut. Bula Ke- Bula Ke- Bula Ke-3 Bula Ke Jika kalia amati, selisih suku barisa ke suku berikutya selalu tetap, yaitu 500. Barisa seperti ii diamaka barisa aritmetika. Jadi, dapat disimpulka sebagai berikut. Barisa aritmetika adalah suatu barisa bilaga yag selisih setiap dua suku berturuta selalu merupaka bilaga tetap (kosta). Bilaga yag tetap tersebut disebut beda da dilambagka dega b. Perhatika juga barisa-barisa bilaga berikut ii. a.,, 7, 0, 3,... b., 8,, 0,... c. 30, 5, 0, 5,...

8 60 Khaz Matematika SMA 3 IPS Barisa-barisa tersebut merupaka cotoh dari barisa aritmetika. Mari kita tijau satu per satu. a.,, 7, 0, 3, Pada barisa ii, suku berikutya diperoleh dari suku sebelumya ditambah 3. Dapat dikataka bahwa beda sukuya 3 atau b = 3. b., 8,, 0, Pada barisa ii, suku berikutya diperoleh dari suku sebelumya ditambah 6. Dapat dikataka bahwa beda sukuya 6 atau b = 6. c. 30, 5, 0, 5, Pada barisa ii, suku berikutya diperoleh dari suku sebelumya ditambah 5. Dapat dikataka bahwa beda sukuya 5 atau b = 5. Secara umum dapat dikataka sebagai berikut. Jika U adalah suku ke- dari suatu barisa aritmetika maka berlaku b = U U. Rumus umum suku ke- barisa aritmetika dega suku pertama (U ) dilambagka dega a da beda dega b dapat ditetuka seperti berikut. U = a U = U + b = a + b U 3 = U + b = (a + b) + b = a + b U = U 3 + b = (a + b) + b = a + 3b U 5 = U + b = (a + 3b) + b = a + b M U = U + b = a + ( )b Jadi, rumus suku ke- dari barisa aritmetika adalah U = a + ( )b Keteraga: U a b = suku ke- = suku pertama =beda = bayak suku

9 Barisa da Deret 6 Cotoh : Tetuka suku ke-8 da ke-0 dari barisa 3,, 7,,... 3,, 7,, Suku pertama adalah a = 3 da bedaya b = ( 3) = 5. Dega meyubstitusika a da b, diperoleh U = 3 + ( )5. Suku ke-8 : U 8 = 3 + (8 )5 = 3. Suku ke-0 : U 0 = 3 + (0 )5 = 9. Cotoh : Diketahui barisa aritmetika,,, 7,..., 0. Tetuka bayak suku barisa tersebut. Diketahui barisa aritmetika,,, 7,..., 0. Dari barisa tersebut, diperoleh a =, b = ( ) = 3, da U = 0. Rumus suku ke- adalah U = a + ( )b sehigga 0 = + ( )3 0 = = 5 Karea 3 = 5, diperoleh = 5. Jadi, bayakya suku dari barisa di atas adalah 5. Problem Solvig Suku ke-0 da suku ke- dari barisa aritmetika berturutturut adalah 7 da 5. Tetuka suku pertama, beda, da suku ke-0 barisa tersebut. Diketahui U 0 = 7 da U = 5. Dari rumus suku ke- barisa aritmetika U = a + ( )b, diperoleh persamaa, yaitu U 0 = 7 sehigga diperoleh a + 9b = 7... () U = 5 sehigga diperoleh a + 3b = 5... () Utuk meetuka ilai a da b, kita guaka metode campura atara elimiasi da substitusi. Dari persamaa () da (), diperoleh a + 9b = 7 a + 3b = 5 b = 6 b = Dega meyubstitusika b = ke persamaa (), diperoleh a + 9() = 7 a = Dega demikia, diperoleh suku ke- adalah U = + ( ). Jadi, suku ke-0 adalah U 0 = + (0 ) = 7.

10 6 Khaz Matematika SMA 3 IPS Soal Kompetesi Kerjaka di buku tugas. Pada barisa bilaga berikut, maa yag merupaka barisa aritmetika? Berika alasa. a.,, 6, 8, 0,... b. 5, 0, 5, 0,... c., 3,, 8,... d. 7, 5 6, 6,,... e., +, +, 3+,... f. a, ab, ab, ab 3,... g. a, a + k 3, a + k 3, a + 3k,... h.,0,, 3 3 3,.... Carilah suku-suku yag dimita pada barisa berikut ii. a. Suku ke- dari barisa, 3, 8,... b. Suku ke-9 dari barisa 0, 7,,,... c. Suku ke- dari barisa,, 5 5 5,,... d. Suku ke- dari barisa 6, 5,, Tetuka usur-usur yag ditayaka pada barisa aritmetika berikut. a. a = 8, b = 5; U 0 =... b. a = 3, U 5 = 3; b =... c. b =5, U = 95; a =... d. a =, b =, U = 3 6 ; =... e. U 0 = 3, U 7 = 6; a =... f. U 5 = 3, U = 8, a =...; b =... g. U =, U 8 U 3 = 5, a =...; b =... h. 3x +, 5x 3, 6x,...; x =... i. x + 6, x + 7, x + 0,...; x =.... Sisipka beberapa bilaga agar membetuk barisa aritmetika. a. Empat bilaga di atara 0 da 5 b. Eam bilaga di atara 6 da 9 c. Tiga bilaga di atara 67 da 7 d. Lima bilaga di atara da 6

11 Barisa da Deret Misalka a, a, da a 3 merupaka barisa aritmetika. Buktika bahwa a = a + a Diketahui U = suku ke- barisa aritmetika sehigga U = U b. Nyataka U,..., U 3, U, U, dalam U, b, da. 7. Pada suatu barisa aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 35 da suku ke-9 adalah 3. Tetuka suku ke-35 da suku ke Peomora kursi palig piggir di sebuah gedug bioskop membetuk barisa aritmetika. Jika baris ke- beromor 37 da baris ke-0 beromor 09, terletak di baris ke berapakah omor 33? 9. Jika suku kelima dari barisa aritmetika adalah 3 da suku kedua belas barisa aritmetika adalah 5 3. Tetuka suku pertama, beda, da suku kedua puluh satu barisa itu. 0. Diketahui suatu sistem persamaa liear berikut. x+ y= 9 x y= 8 Misalka x 0 da y 0 merupaka peyelesaia dari persamaa liear tersebut. Nilai x 0 merupaka suku kedua dari barisa tersebut da y 0 merupaka suku kelima barisa tersebut. Tetuka suku ke-7 da ke-5 dari barisa itu. Jedela Iformasi Iformasi lebih lajut Pola Kuadrat dari Bilaga 9 Apakah hasil kuadrat bilaga yag disusu dari agka 9 memiliki pola tertetu? Betul sekali. Hasil kuadratya haya tersusu dari agka 9, 8,, da 0. Jika bilaga terdiri atas digit agka 9 ( bilaga bulat kurag dari 0) maka kuadrat bilaga tersebut adalah bilaga yag tersusu dari agka 9 sebayak, diikuti agka 8, kemudia agka 0 sebayak, da diakhiri agka. Perhatika pola berikut. 9 = 8 99 = = = = = Setelah memerhatika pola di atas, coba kalia tetuka hasil dari a b c

12 6 Khaz Matematika SMA 3 IPS. Deret Aritmetika Dari sembarag barisa aritmetika, misalya, 5, 8,,,... dapat dibetuk suatu deret yag merupaka pejumlaha berurut dari suku-suku barisa tersebut, yaitu Terlihat bahwa barisa aritmetika dapat dibetuk mejadi deret aritmetika dega cara mejumlahka suku-suku barisa aritmetika sehigga dapat didefiisika secara umum. Misalka U, U, U 3,..., U merupaka suku-suku dari suatu barisa aritmetika. U + U + U U disebut deret aritmetika, dega U = a + ( )b. Seperti telah kalia ketahui, deret aritmetika adalah jumlah suku pertama barisa aritmetika. Jumlah suku pertama dari suatu barisa bilaga diotasika S. Dega demikia, S = U + U + U U. Utuk memahami lagkah-lagkah meetuka rumus S, perhatika cotoh berikut. Cotoh : Diketahui suatu barisa aritmetika, 5, 8,,. Tetuka jumlah kelima suku barisa tersebut. Jumlah kelima suku, 5, 8,, dapat dituliska sebagai berikut. S 5 = S 5 = S 5 = S 5 = S 5 = S 5 = 0 Jadi, jumlah kelima suku barisa tersebut adalah 0. Setelah kalia amati cotoh di atas, kita dapat meetuka rumus umum utuk S sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke- dari barisa aritmetika adalah U = a + ( )b. Oleh karea itu, U = a = a U = a + b = U (a )b U 3 = a + b = U ( 3)b M M M U = a + ( )b = U

13 Barisa da Deret 65 Dega demikia, diperoleh S = a + (a + b) + (a + b) (a + ( )b) = a + (U ( ) b) + (U ( 3) b) U... () Dapat pula diyataka bahwa besar setiap suku adalah b kurag dari suku berikutya. U = U b U = U b = U b U 3 = U b = U 3b Demikia seterusya sehigga S dapat dituliska S = a + (U ( )b) + + (U b) + (U b) + U... () Dari persamaa da jika kita jumlahka, diperoleh S = a + (U ( )b) + (U ( 3)b) U S = U + (U b) + (U b) a S = (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) (a + U ) + Kuis Kerjaka di buku tugas Sebuah deret aritmetika mempuyai suku ketiga da jumlah dua puluh suku yag pertama 30. Jumlah sepuluh suku pertama deret itu adalah... a. 0 d. 5 b. 35 e. 0 c. 30 (UMPTN 999) suku Dega demikia, S = (a + U ) S = (a + U ) S = (a + (a + ( )b)) S = (a + ( )b) Jadi, rumus umum jumlah suku pertama deret aritmetika adalah S = (a + U ) atau S = [a + ( )b] Keteraga: S = jumlah suku pertama a = suku pertama b =beda U = suku ke- = bayak suku Cotoh : Carilah jumlah 00 suku pertama dari deret Diketahui bahwa a =, b = =, da = 00. S 00 = 00 {() + (00 )} = 50 { + 98} = 50 (0) = 0.00 Jadi, jumlah 00 suku pertama dari deret tersebut adalah 0.00.

14 66 Khaz Matematika SMA 3 IPS Cotoh 3: Hituglah jumlah semua bilaga asli kelipata 3 yag kurag dari 00. Bilaga asli kelipata 3 yag kurag dari 00 adalah 3, 6, 9,,..., 99 sehigga diperoleh a = 3, b = 3, da U = 99. Terlebih dahulu kita cari sebagai berikut. U = a + ( )b 99 = 3 + ( )3 3 = 99 = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah S = (a + U ) S 33 = 33(3 + 99) =.683 Jadi, jumlah bilaga asli kelipata 3 yag kurag dari 00 adalah.683. Problem Solvig Dari suatu deret aritmetika diketahui suku pertamaya, bedaya, da jumlah suku pertamaya adalah 00. Tetuka bayakya suku dari deret tersebut. Diketahui a =, b =, da S = 00. Dari rumus umum jumlah suku pertama, diperoleh S = (a + ( )b) Tugas: Eksplorasi Kerjaka di buku tugas Misalka jumlah suku pertama dari deret aritmatika adalah S. Berapakah ilai S + 3 3S + + 3S + S? 00 = [() + ( )] 00 = ( + ) 00 = ( + 8) = 0 Jika setiap suku dibagi, persamaa tersebut mejadi = 0 ( 8)( + 5) = 0 5 = 8 atau = (diambil positif karea bilaga asli) Jadi, bayak suku deret tersebut adalah 8.

15 Barisa da Deret 67 Tugas: Eksplorasi Kerjaka di buku tugas Tujukka bahwa U = S S Petujuk: S = U + U + U U +U da S = U + U +U U Meetuka Suku ke- jika Rumus Jumlah Suku Pertama Diberika Misalka diberika suku ke- barisa aritmetika S. Rumus suku ke- dapat ditetuka dega U = S S Selai dega megguaka rumus itu, ada cara lai yag sagat efektif. Misalka jumlah suku pertama deret aritmetika adalah S = p + q. Suku ke- dapat ditetuka dega dega beda p. U = p + (q p) Cotoh: Jumlah suku pertama dari deret aritmetika adalah S =. Tetuka suku ke- deret tersebut da bedaya. Tetuka pula U 9. S = p =, q = U = p + (q p) = + ( ) = 6 Beda = p = () = Suku ke-0 dapat ditetuka dega U 9 = S 9 S 8 S 9 = (9 ) (9) = 6 S 8 = (8 ) (8) = 96 Jadi, U 9 = 6 96 = 30. Soal Kompetesi 3 Kerjaka di buku tugas. Hituglah jumlah deret aritmetika berikut ii. a (0 suku) b (5 suku) c (30 suku) d. + 3, , ( suku). Tetuka usur-usur yag dimita. a. a = 5, U 5 =, S 0 =... b. b =, S 0 = 500, a =... c. a = 5, b = 3, S =, =... d. a = 3, U = 87, U 6 + U 7 = 39, S =...

16 68 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tataga Eksplorasi Kerjaka di buku tugas Seorag salesma berkelilig meawarka produkya dega megguaka sepeda motor. Misalka pada miggu pertama ia melakuka perjalaa sejauh.50 km da setiap miggu berikutya jarakya berkurag 75 km. Berapa uag yag harus ia keluarka utuk megisi besi sampai dega akhir bula ke-3 jika harga besi per literya Rp.500,00 da tiap literya dapat meempuh jarak 30 km? 3. Tetuka ilai m jika a m = 0; b m = Tetuka beda da suku yag dimita utuk deret berikut. a. S = 3 9; U 8 b. S = ( ) ; U c. S = + ; U Tetuka jumlah semua bilaga berikut. a. Bilaga asli gajil kurag dari 00. b. Bilaga asli kurag dari 500 yag habis dibagi 5. c. Bilaga kelipata atara 5 da 00. d. Bilaga asli kurag dari 300 yag tidak habis dibagi 6. e. Bilaga kelipata 3 atara 5 da Seorag pemilik kebu memetik jeruk setiap hari, kemudia mecatat bayak jeruk yag dipetik. Teryata, pada hari pertama ia memperoleh hasil 75 buah. Hari kedua ia memperoleh 5 buah. Tetuka jumlah jeruk yag ia petik selama 0 hari pertama jika jumlah jeruk yag dipetik megikuti pola barisa aritmetika. 7. Di sebuah pabrik getig, seorag pekerja mampu meghasilka 5 lusi getig dalam waktu hari. Jika tiap hari ia diharuska dapat meambah produksiya sebayak lusi, dalam berapa harikah ia dapat meghasilka.60 buah getig? 8. Baga di sampig adalah baga suatu auditorium. Baris pertama memuat 0 kursi, baris kedua 5 kursi, barisa ketiga memuat 30 kursi, da seterusya. Berapa jumlah kursi yag ada jika dalam auditorium itu terdapat baris? Gambar. 9. Dia da Ferdi mulai meabug di bak pada saat yag sama. Pada awal meabug Dia meabug Rp80.000,00 da tiap bula meabug Rp.500,00 lebih bayak dari uag yag ditabugka bula berikutya. Ferdi pada awalya meabug Rp00.000,00 da bula berikutya meabug Rp.000,00 lebih bayak dari bula sebelumya. Tetuka pada bula keberapakah jumlah tabuga mereka tepat sama. 0. Seorag pedagag memijam modal x rupiah di Bak Wagsa dega buga tuggal % sebula. Setelah satu tahu, ia megembalika pijama da buga semuaya Rp30.000,00. Tetuka berapa rupiah modal yag dipijam oleh pedagag tersebut.

17 Barisa da Deret 69 Jedela Iformasi Iformasi lebih lajut Pythagoras Sumber: segue.middlebury.edu Teorema yag Megharuka Apakah kamu tahu teorema yag dikemukaka Pierre de Fermat (60 665)? Teorema ii dikembagka dari teorema Pythagoras yag sagat masyur itu. Meurut teorema Pythagoras, ada bayak pasaga bilaga a, b, da c yag memeuhi c = a + b, seperti 5, 3, da (beserta kelipataya); 3,, da 5 (beserta kelipataya); 5,, da 7 (beserta kelipataya); da seterusya. Pierre de Fermat megklaim, tidak ada bilaga bulat a, b, da c yag memeuhi c = a + b, utuk >. Namu, pembuktiaya saat itu masih dipertayaka. Bayak ilmuwa yag peasara dega teorema yag dilotarka Fermat. Paul Wolfskehl, profesor matematik asal Jerma, awal tahu 900- a berusaha membuktika teorema tersebut, amu gagal. Rasa frustrasi meyelimutiya, ditambah kekecewaa pada kekasihya membuat ia beriat buuh diri. Ketika waktu utuk buuh diri sudah dekat, ia masih peasara da mecoba lagi membuktika Teorema Fermat membuat dia lupa utuk buuh diri. Sampai akhir hayatya, teorema ii belum juga terbuktika. Wolfskehl berwasiat, ia meyediaka uag mark bagi orag pertama yag mampu membuktika teorema itu. Tahu 995, Dr. Adrew Wiles, matematikawa dari Uiversitas Priceto, Iggris, berhasil membuktika teorema Fermat dega gemilag. Ia akhirya medapat hadiah dolar dari Yayasa Raja Faisal di Arab Saudi pada tahu 997. Sumber: C. Barisa da Deret Geometri. Barisa Geometri Coba kalia amati barisa,,, 8, 6, 3,... Terlihat, suku berikutya diperoleh dega megalika pada suku sebelumya. Barisa ii termasuk barisa geometri. Jadi, secara umum, barisa geometri adalah suatu barisa bilaga yag setiap sukuya diperoleh dari suku sebelumya dikalika dega suatu bilaga tetap (kosta). Bilaga yag tetap tersebut diamaka rasio (pembadig) da diotasika dega r. Perhatika cotoh barisa-barisa berikut. a. 3, 6,,,... b.,,,... c.,, 8, 6,...

18 70 Khaz Matematika SMA 3 IPS Kuis Kerjaka di buku tugas Tiga bilaga merupaka barisa geometri dega rasio lebih besar dari satu. Jika bilaga ketiga dikuragi 3 maka aka terbetuk barisa aritmetika dega jumlah 5. Selisih suku ketiga dega suku pertama barisa aritmetika tersebut adalah... a. 8 d. b. 0 e. 6 c. Kompetisi Matematika DKI, 000 Barisa di atas merupaka cotoh barisa geometri. Utuk barisa di atas berturut-turut dapat dihitug rasioya sebagai berikut. a. b. 6 3 = 6 = = = =... =. Jadi, r =. =. Jadi, r =. 8 c. = =. Jadi, r =. Dega demikia, dapat disimpulka jika U, U,...U barisa geometri dega U adalah rumus ke-, berlaku r = U U Rumus umum suku ke- barisa geometri dega suku pertama (U ) diyataka a da rasio r, dapat dituruka sebagai berikut. U = a U = U r = ar U 3 = U r = ar U = U 3 r = ar 3 M M U = U r = ar r = ar Dega demikia, diperoleh barisa geometri a, ar, ar,..., ar,... Jadi, rumus umum suku ke- (U ) barisa geometri adalah U = ar Keteraga: a = suku pertama r = rasio = bayak suku Cotoh: Carilah suku pertama, rasio, da suku ke-7 dari barisa geometri berikut. a., 6, 8, 5,... b. 9, 3,, 3,... a., 6, 8, 5,... Dari barisa geometri di atas, diperoleh ) suku pertama: a = ; U ) rasio: r = U = = 3 6

19 Barisa da Deret 7 Karea rumus suku ke- barisa geometri adalah U = ar maka U 7 = (3 7 ) = 79 =.58 b. 9, 3,,,... 3 Dari barisa ii, diperoleh ) suku pertama: a = 9; ) rasio: r = U 3 U = 9 = 3 ; 3) suku ke-7: U 7 = 9 ( 3 )7 = 9( 3 )6 = 9 =. ( 3) 6 8 Kuis Kerjaka di buku tugas Problem Solvig Jika k + 3, 5k 9, k + 9 membetuk barisa geometri maka jumlah semua ilai k yag memeuhi adalah... a. b. c d. e (UMPTN 00) Tiga bilaga membetuk barisa geometri. Jumlah ketiga bilaga itu da hasil kaliya 6. Tetuka ketiga bilaga itu. Pemisala yag mudah utuk barisa geometri adalah a, a, r da ar. Jumlah ketiga bilaga itu adalah maka r a + a + ar =. Hasil kali ketiga bilaga adalah 6 maka r a a ar = 6 a 3 = 6 Karea a 3 = 6, diperoleh a = 6. Kemudia, substitusika ilai a = 6 ke persamaa a + a+ ar = sehigga diperoleh r hasil sebagai berikut r =... (kedua ruas dikalika dega r) r 6 + 6r + 6r = r 6 5r + 6r = 0... (kedua ruas dibagi 3) r 5r + = 0 (r )(r ) = 0

20 7 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tugas: Ivestigasi Kerjaka di buku tugas Adakah cara lai utuk megerjaka cara ii? Bagaimaa jika kalia megguaka pemisala a, ar, da ar utuk ketiga bilaga itu? Coba kerjaka. Apa kesimpula kalia? r = 0 atau r = 0 r = atau r = Dari persamaa di atas, diperoleh r = da r =. Utuk r = da a = 6, ketiga bilaga tersebut, 6, da 3. Utuk r = da a = 6, ketiga bilaga tersebut 3, 6, da. Jedela Iformasi Iformasi lebih lajut Pola Bilaga yag Idah Perhatika pola bilaga berikut. 8 + = = = = = = Badigka dega pola bilaga berikut = 9 + = = = = = = Dari kedua pola bilaga di atas, dapatkah kalia meemuka betuk umumya? Dega memerhatika betuk umum kedua pola bilaga di atas, tetu kalia dapat dega mudah meetuka hasil dari pertayaa berikut. a =... b =... c =... d =... e =... Coba kalia kerjaka.

21 Barisa da Deret 73 Soal Kompetesi Kerjaka di buku tugas. Tetuka suku-suku sesuai yag dimita. a. Suku ke-8 dari barisa 7,, 63, 89,... b. Suku ke-6 dari barisa 5, 8, 6,... c. Suku ke-7 dari barisa d. Suku ke-0 dari barisa, 3, 3, 3 3,.... Tetuka usur yag dimita pada barisa geometri berikut. U U U3 U Gambar. a. a = 3, U = 9 ; r =... b. U 3 = 8, U = 3; a =... c. U = 50, U = 6.50; a =... d. U =, U 5 = 3; r =... e. k, k 6, k + 3,...; k = Sisipka beberapa bilaga agar membetuk barisa geometri. a. Tiga bilaga atara da 3 b. Lima bilaga atara da 5.65 c. Empat bilaga atara 3 da 0 3 Petujuk: Meyisipka p bilaga di atara bilaga m da agar membetuk barisa geometri berarti suku pertama m da suku ke-(p + ) adalah.. Tiga bilaga membetuk barisa geometri. Jika hasil kali ketiga bilaga itu adalah 5 da jumlahya 8. Tetuka ketiga bilaga itu. 5. Misalka bakteri membelah mejadi bagia tiap 0 meit. Jika pada pukul 5.00 ada 00 bakteri, tetuka bayak bakteri pada pukul 0.00 pada hari yag sama. 6. Selembar kertas yag tebalya 0,0 cm dilipat sehigga sebagia terletak di atas yag lai. a. Berapa tebal lipata itu jika melipatya dilakuka higga 0 kali? b. Berapa kali palig sedikit harus melakuka lipata agar tebal lipata kertas tidak kurag dari 5 cm? 7. Perhatika Gambar.. Jari-jari ligkara pertama adalah cm da U, U, U 3,... merupaka barisa geometri. Jika luas ligkara kedua 6 cm, tetuka jari-jari ligkara keempat.

22 7 Khaz Matematika SMA 3 IPS 8. Dari suatu barisa geometri diketahui hasil kali suku kedua dega suku kesembila adalah 8 da hasil kali suku keempat dega suku kesepuluh adalah 9. Tetuka suku keeam barisa tersebut. 9. Pada barisa geometri, diketahui: U + U + U 3 = 0 U + U 3 + U 5 = 6 U 3 + U + U 5 = 8 Tetuka U, U 3, da U Tiga bilaga membetuk barisa geometri. Jumlah ketiga bilaga adalah 3. Jika bilaga ke- ditambah maka barisa itu aka mejadi barisa aritmetika. Tetuka hasil kali ketiga bilaga semula.. Deret Geometri Kuis Kerjaka di buku tugas Ada barisa bilaga, x, y, z diketahui tiga suku pertama membetuk barisa geometri da tiga suku terakhir membetuk barisa aritmetika. Nilai x + y =... a. atau b. atau c. 0 atau 5 d. atau 7 e. atau 0 Olimpiade 00 Jika U, U, U 3,... U merupaka barisa geometri maka U + U + U U adalah deret geometri dega U = ar. Rumus umum utuk meetuka jumlah suku pertama dari deret geometri dapat dituruka sebagai berikut. Misalka S otasi dari jumlah suku pertama. S = U + U U S = a + ar ar + ar... () Jika kedua ruas dikalika r, diperoleh rs = ar + ar + ar ar + ar... () Dari selisih persamaa () da (), diperoleh rs = ar + ar + ar ar + ar S = a + ar + ar + ar ar rs S = a + ar (r )S = a(r ) a( r ) S = r Jadi, rumus umum jumlah suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

23 Barisa da Deret 75 S = a( r ), utuk r > r S = a( r ) r, utuk r < Keteraga: S = jumlah suku pertama a = suku pertama r = rasio = bayak suku Apa yag terjadi jika r berilai? Cotoh : Tetuka jumlah dari deret geometri berikut. a (8 suku) b , (6 suku) a Dari deret tersebut, diperoleh a = da r = = (r > ). Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti = 8. a( r ) ( S = 8 ) S r 8 = = (56 ) = 50 Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 50. b , Dari deret itu, diperoleh a = da r = = (r < ). Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti = 6. a( r ) S = r S 6 = ( 6 ( ) ) = ( 6 ) = 3 5 8

24 76 Khaz Matematika SMA 3 IPS Kuis Cotoh : Kerjaka di buku tugas Suku ke-5 dari barisa geometri k, 3k, 8k +,... adalah... a. 8 d. 68 b. 6 e..96 c. 3 Kompetisi Matematika DKI, 000 Diketahui deret = 363. Tetuka a. suku pertama; c. bayak suku. b. rasio; Deret = 363 a. Suku pertama: a = 3 b. U 3 Rasio: r = = U 3 = 3 c. Utuk S = 363 Karea r = 3 >, kita guaka rumus a( r ) S = r 3(3 ) 363 = 3 76 = = = 3 6 Dega demikia, diperoleh + = 6 atau = 5. Jadi, bayak suku dari deret tersebut adalah 5. Cotoh 3: Carilah terkecil sehigga S >.000 pada deret geometri Dari deret tersebut, diketahui a = da r = (r > ) sehigga jumlah suku pertamaya dapat ditetuka sebagai berikut. S = ar ( ) ( ) = = r 3 Nilai yag megakibatka S >.000 adalah >.000 > Jika kedua ruas dilogaritmaka, diperoleh log > log 3.00 log > log 3.00 > log log 3.00 > 5,78 (Guaka kalkulator utuk meetuka ilai logaritma) Jadi, ilai terkecil agar S >.000 adalah 6.

25 Barisa da Deret 77 Problem Solvig Tetuka rumus jumlah dari deret Jika kalia perhatika sekilas, deret ii buka merupaka deret aritmetika maupu geometri. Namu, coba perhatika pejabara berikut = 9( ) 9 = ( ) 9 = (0 ) + (00 ) + (.000 ) + (0.000 ) +... ) 9 = 9 (( ) 3 ( )) deret geometri = 0 ( 0 ) 9 ( ) 0 = = deret kosta Soal Kompetesi 5 Kuis Kerjaka di buku tugas Diketahui bilaga a +, a, a + 3 membetuk barisa geometri. Agar ketiga suku ii membetuk barisa aritmetika maka suku ketiga harus ditambah dega... a. 8 b. 6 c. 5 d. 6 e. 8 Kompetisi Matematika DKI, 000 Kerjaka di buku tugas. Tetuka jumlah deret geometri di bawah ii. a ; S 0 b ; S 5 c Tetuka usur yag dimita pada deret geometri berikut. a. a =, r = 5; S 5 =... b. r =, S = 55; a =... c. r = 3, = 5, S =.80; a =... d. a = 9, r =, S = 567; =... e. a =, S = 0; r =... f. U = k, r = ; S =...

26 78 Khaz Matematika SMA 3 IPS 3. Tetuka ilai. a = 50 b. a = 3 da r = sehigga S > 0 8 c. 8( ) k = k 7 6 Kuis Kerjaka di buku tugas Besar suku ke-p dari suatu deret geometri adalah p, sedagka suku ke-p adalah p. Jumlah p suku pertama deret itu adalah... p a. p b. p p c. p d. + e. Kompetisi Matematika DKI, 000 d. 3 = 0(3 + 3) k = k. Suatu tali dibagi mejadi 5 bagia dega pajag bagiabagiaya membetuk barisa geometri. Jika yag terpedek cm da terpajag 3 cm, tetuka pajag tali semula. 5. Sebuah bola dijatuhka dari ketiggia 8 meter. Setiap megeai latai, bola mematul kembali secara vertikal setiggi 3 dari ketiggia sebelumya. Berapa pajag litasa bola itu sampai megeai latai yag keeam kaliya? 6. Jumlah peduduk di suatu daerah jiwa. Setiap tahuya pertambaha peduduk mecapai 5%. Tetuka jumlah peduduk 5 tahu ke depa (dega asumsi selama lima tahu itu tidak terjadi kematia maupu perpidaha peduduk). 7. Seorag pedagag membuka rekeig tabuga di sebuah bak. Pada awal meabug, ia meabug sebesar Rp00.000,00. Teryata usahaya sukses sehigga tiap bula ia dapat meabug kali dari tabuga bula sebelumya. Berapakah jumlah tabugaya setelah tahu? 8. Kereta api bergerak dega kecepata awal 0 km/jam. Tiap jam kecepataya bertambah aik, kali lipat dari kecepata sebelumya. Tetuka: a. kecepata kereta api setelah 5 jam berjala; b. jarak seluruhya yag ditempuh kereta api selama 5 jam perjalaa. 9. Akar persamaa kuadrat x 0x + (7k ) = 0 merupaka suku pertama da suku ke- suatu deret geometri yag rasioya lebih besar. Jika kedua akar berbadig da 3, tetuka a. suku ke-3; b. suku ke-5; c. jumlah kelima suku pertama.

27 Barisa da Deret Deret Geometri Tak Berhigga 0. Pada suatu deret geometri ditetuka jumlah suku pertama da suku kedua adalah, U + U = 08, da jumlah suku pertama adalah. Tetuka rasio deret geometri tersebut. Deret geometri yag tidak dapat dihitug bayak seluruh sukuya disebut deret geometri tak berhigga. Perhatika deret geometri berikut. a c b d Deret-deret di atas merupaka cotoh deret geometri tak berhigga. Dari cotoh a da b, rasioya berturut-turut adalah da. Jika deret tersebut diteruska maka ilaiya aka maki besar da tidak terbatas. Deret yag demikia disebut deret diverge, dega r >. Sebalikya, dari cotoh c da d, rasio masigmasig deret da. Dari cotoh c da d, dapat kita hitug 3 pedekata jumlahya. Deret tersebut diamaka deret koverge dega r <. Pada deret koverge, jumlah suku-sukuya tidak aka melebihi suatu harga tertetu, tetapi aka medekati harga tertetu. Harga tertetu ii disebut jumlah tak berhigga suku yag diotasika dega S. Nilai S merupaka ilai pedekata (limit) jumlah seluruh suku (S ) dega medekati tak berhigga. Oleh karea itu, rumus deret tak berhigga dapat dituruka dari deret geometri dega suku pertama a, rasio r, da. S = lim S = lim a ( r ). r Karea deret koverge ( r < ), utuk maka r 0 sehigga S = lim ( ) a r a ar a a = lim = 0. r r r = r Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhigga adalah S = a r, dega r <

28 80 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tataga Eksplorasi Cotoh : Kerjaka di buku tugas Sebuah bola teis dijatuhka dari ketiggia 75 m da mematul kembali dega ketiggia kali ketiggia semula. Pematula 5 terjadi terus-meerus sampai bola berheti. Tetuka pajag seluruh litasa bola sampai berheti Kompetisi Matematika DKI, 000 Tetuka jumlah tak berhigga suku dari deret berikut. a b a Dari deret tersebut diketahui a = da r = sehigga S = b. a r = = = Perhatika deret Dari deret tersebut, diperoleh a = da r =. S = a = r = Jadi, = = 6. Cotoh : Suku pertama suatu deret geometri adalah da jumlah sampai tak berhigga adalah. Carilah rasioya. Dari soal di atas, usur-usur yag diketahui adalah a = da S =. Kita substitusika ke dalam rumus S. S = a r = r r = r = Jadi, rasioya adalah.

29 Barisa da Deret 8 Cotoh 3: Sebuah bola jatuh dari ketiggia 0 m da mematul kembali dega ketiggia 3 kali tiggi sebelumya. Pematula berlagsug terus-meerus sehigga bola berheti. Tetuka jumlah seluruh litasa bola. (UMPTN 995) U 0 = 0 m; r = 3 U = 3 0 m = 30 m Tataga Pealara Kerjaka di buku tugas Sebuah bola dijatuhka ke latai dari tempat yag tiggiya meter. Setiap kali setelah bola itu mematul, bola itu mecapai ketiggia seperlima dari tiggi sebelumya. Tetuka pajag litasa bola sampai berheti. S = 0 + S U = 0 + r 30 = = = 70 m Dega cara lai: Misalya suatu beda dijatuhka dari ketiggia H 0 secara vertikal da mematul ke atas dega tiggi patula a b kali dari ketiggia semula maka pajag litasa patula (H) higga berheti dirumuska dega: H = b+ a b a H 0 (Coba kalia buktika rumus tersebut.) Dega megguaka cara ii, diketahui a = 3, b =, da H 0 = 0 m. b+ a Jadi, H = b a H 0 3 = = 7 0 = 70 m

30 8 Khaz Matematika SMA 3 IPS Mari Berdiskusi Eksplorasi Diketahui deret geometri tak berhigga berikut. a + ar + ar + ar 3 + ar +... Deret suku-suku gajilya adalah a + ar + ar +... Deret suku-suku geapya adalah ar + ar 3 + ar a Tujukka bahwa jumlah suku-suku gajilya adalah r ar jumlah suku-suku geapya adalah r ; Soal Kompetesi 6 Kerjaka di buku tugas. Tetuka batas-batas ilai x agar barisa geometri:, (3 x), (3 x), (3 x) 3,... koverge.. Tetuka jumlah dari deret geometri tak berhigga berikut. a b c d e Tetuka usur-usur yag ditayaka pada deret geometri di bawah ii. a. S = 8, r = ; a =... b. S = 36, a = 8; r =... 3 c. U = ; S =... d. S =, r =, a =... e. a = 0, r = 3, S =... f. a = 0, r =, S =...

31 Barisa da Deret 83 A Kuis Kerjaka di buku tugas Segita ABC sama sisi da luasya satua. Di dalam segitiga ABC dibuat segitiga dega titik sudutya berimpit dega pertegaha sisi-sisi segitiga pertama. Selajutya, dibuat segitiga sama sisi dega titik sudut pertegaha sisi-sisi segitiga tersebut. Proses ii dilajutka terus-meerus. Luas segitiga yag ke-6 adalah... satua luas. a. b. c. P K C M Q d. e. L R 6 3 B (Olimpiade 000). Tetuka jumlah suku-suku gajil da jumlah suku-suku geap dari deret berikut. a b Sebuah ayua di sebuah rumah diguaka utuk maia aak. Dega sekali ayu, pajag litasa pertama 0 cm, 7 pajag litasa berikutya dari pajag litasa 0 sebelumya. Berapa pajag litasa seluruhya higga ayua berheti? 6. Seorag aak bermai gasig di halama rumahya. Pada detik pertama, gasig berputar sebayak 6 kali. Detik berikutya, gasig haya berputar 8 5 kali dari bayak putara pada detik sebelumya. Berapa bayak putara sampai gasig berheti berputar? 7. Sebuah bola teis dijatuhka dari ketiggia 0 m da mematul kembali dega ketiggia 3 kali ketiggia 7 semula. Pematula terjadi terus-meerus sampai bola berheti. Tetuka jumlah seluruh litasa bola yag terjadi. 8. Diketahui deret geometri dirumuska dega U = 5. Tetuka jumlah tak berhigga dari deret tersebut. 9. Jumlah semua suku dari deret geometri tak berhigga adalah. Jumlah suku-suku beromor geap adalah. Tetuka suku ke-7 dari suku-suku beromor gajil. 0. Dari suatu deret geometri koverge, diketahui selisih U da U 3 adalah 8 da 3 log U + 3 log U + 3 log U 3 = 3. Tetuka jumlah tak berhigga suku deret geometri tersebut. (Igat kembali materi logaritma di kelas X). Jedela Iformasi Small is beautiful, demikia salah satu sloga yag dipegag bayak matematikawa dalam membuktika teoriteori matematis. Thomas Aquio, pada abad XIII sudah melihat hubuga atara keidaha da matematika. Dia megataka, Idra itu seag dega sesuatu yag proporsiya tepat. Proporsi yag tepat itu dapat diterjemahka dalam keserasia, keteratura, keselarasa, keseimbaga, da keutuha. Keidaha Matematika dalam Deret Iformasi lebih lajut

32 8 Khaz Matematika SMA 3 IPS Jika kita jeli, alam meyediaka bayak sekali keidaha matematis. Coba kalia perhatika, spiral geometris pada cagkag sarag siput (Nautilus), susua sel segi eam pada sarag tawo madu, susua mahkota buga aster, susua mahkota da biji buga matahari, da masih bayak yag laiya. Susua-susua objek di atas berkaita barisa atau deret matematis. Sumber: Happy with Math, 007 (a) Cagkag siput Sumber: (b) Buga aster Sumber: (c) Sarag tawo madu Sumber: (d) Buga matahari Sumber: D. Peerapa Kosep Barisa da Deret Cotoh : Kaidah barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu usaha. Utuk meyelesaika persoala tersebut, kita harus dapat membedaka apakah persoala tersebut termasuk barisa aritmetika, barisa geometri, deret aritmetika ataupu deret geometri. Kemudia, kita dapat meyelesaika persoala tersebut megguaka rumus-rumus yag berlaku. Ketika awal bekerja, seorag karyawa sebuah perusahaa digaji Rp ,00 per bula. Setahu berikutya, gaji per bulaya aka aik sebesar Rp5.000,00. Demikia seterusya utuk tahu-tahu berikutya. Berapa gaji karyawa itu per bula utuk masa kerjaya sampai pada tahu ke-9?

33 Barisa da Deret 85 Kasus ii adalah aplikasi dari barisa aritmetika. Suku awal a = Beda b = = 9 Jadi suku ke-9, dapat ditetuka sebagai berikut. U = a + ( )b U 9 = (9 ) = = Jadi, gaji per bula karyawa itu pada tahu ke-9 adalah Rp ,00. Tataga Pealara Cotoh : Kerjaka di buku tugas Setiap tahu, jumlah peduduk suatu kota bertambah mejadi tiga kali lipat dari jumlah peduduk tahu sebelumya. Meurut taksira, jumlah peduduk pada tahu 009 peduduk kota tersebut aka mecapai 3, juta jiwa. Berdasarka iformasi ii, tetuka jumlah peduduk pada tahu 959. Setiap awal bula Nyoma meabug Rp50.000,00 di suatu bak yag memberika buga % per bula. Pada tiap akhir bula, bugaya ditambahka pada tabugaya. Berapakah uag Nyoma di bak itu pada akhir tahu ke- jika ia tidak perah megambil tabugaya sampai akhir tahu ke-? Misalka tabuga awal adalah Rp50.000,00. Pada akhir bula ke- Jumlah uag Nyoma adalah sebagai berikut. Buga yag ia peroleh = % = ,0 Jumlah uag Nyoma = ( ,0) = ( + 0,0) = (,0) Pada akhir bula ke- Uag yag sudah dimasukka sejak bula ke- adalah jumlah uag pada akhir bula ke- ditambah buga sehigga diperoleh (,0) + (50.000(,0) %) = (,0)( + 0,0) = (,0) Uag yag dimasukka pada awal bula ke- mejadi ( %) = ( + 0,0) = (,0) Jadi, jumlah uag Nyoma pada akhir bula ke- adalah (,0) (,0).

34 86 Khaz Matematika SMA 3 IPS Pada akhir bula ke-3 Uag yag sudah dimasukka sejak bula ke- adalah (,0) + (50.000(,0) %) = (,0) ( + 0,0) = (,0) (,0) = (,0) 3 Uag yag dimasukka pada awal bula ke- mejadi (,0) + (50.000(,0) %) = (,0)( + 0,0) = (,0)(,0) = (,0) Uag yag sudah dimasukka pada awal bula ke-3 mejadi ( %) = ( + %) = (,0) Jadi, jumlah uag Nyoma pada akhir bula ke-3 adalah (,0) (,0) (,0) 3 Demikia seterusya, sampai akhir bula ke-. Dari hasil perhituga sampai bula ke-3, dapat disimpulka bahwa jumlah uag tabuga Nyoma adalah (,0) (,0) (,0) (,0) = {,0 + (,0) + (,0) (,0) } Deret,0 + (,0) (,0) merupaka deret geometri dega a =,0, r =,0, da =.,0((,0) ) S =,0 =,0(0,7) 0,0 =,83 Oleh karea itu, jumlah uag Nyoma setelah tahu adalah {,0 + (,0) (,0) } = ,83 = Jadi, jumlah uag Nyoma setelah tahu adalah Rp6.500,00. Soal Kompetesi 7 Kerjaka di buku tugas. Suatu perusahaa memproduksi TV sebayak uit pada awal tahu pediriaya. Teryata, tiap tahu perusahaa tersebut dapat meambah produksiya sebesar 500 uit. Jika perusahaa tersebut didirika tahu 99, berapa uit TV-kah yag telah diproduksi perusahaa itu sampai akhir tahu 008?

35 Barisa da Deret 87. Selama tahu berturut-turut jumlah peduduk di Kota A membetuk deret aritmetika. Jumlah peduduk pada tahu ke- adalah 7 juta jiwa. Selisih peduduk pada tahu ke- da ke- adalah 0 juta jiwa. Tetuka berapa jiwakah jumlah peduduk pada akhir tahu ke-3? 3. Seorag buruh pabrik medapat gaji permulaa Rp ,00 per bula. Tiap tahu ia medapat keaika gaji Rp50.000,00. Tetuka jumlah pedapataya setelah 0 tahu bekerja di pabrik tersebut.. Populasi seragga di suatu tempat pada taggal 5 Februari 008 adalah ekor. Tiap 3 hari sekali bertambah 5% dari jumlah semula. Berapa bayak seragga tersebut pada taggal 6 Maret 009? 5. Tia medapatka hadiah dari orag tuaya setiap ulag tahu berupa tabuga di bak sebesar Rp00.000,00. Jika bak itu memberika buga majemuk sebesar % setiap tahuya, berapakah uag Tia setelah ia berumur 5 tahu? 6. Harga suatu mesi pada saat pembelia adalah ,00. Setiap tahu meyusut 5% terhadap ilai awal permulaa tahu. Berapa harga mesi tersebut pada akhir tahu ke-8? 7. Suatu bola dilempar dari ketiggia 00 meter. Setiap meyetuh latai, bola aka mematul kembali dega ketiggia 5 kali dari ketiggia sebelumya. Berapa Gambar.3 Bola pematul jarak yag ditempuh bola sampai bola berheti? 8. Jumlah bagua di sebuah kota tiap sepuluh tahu mejadi dua kali lipat. Meurut perhituga pada tahu 00 ati aka mecapai,8 juta bagua. Tetuka jumlah bagua kota tersebut pada saat perhituga pertama yaitu tahu Pada taggal Jauari 000, Robi meabug di bak Rp00.000,00 dega suku buga % per tahu. Demikia juga pada Jauari tahu-tahu berikutya sampai 0 kali. Tetuka jumlah tabuga Robi pada tahu Wey mempuyai pita rambut yag pajagya 0 m. Utuk merigkas peyimpaaya, ia melipat pita itu mejadi bagia da seterusya sehigga pajag pita yag ia peroleh 5,65 cm. Berapa kali Wey harus melipat pita tersebut?

36 88 Khaz Matematika SMA 3 IPS E. Notasi Sigma. Pegertia Notasi Sigma Salah satu ciri matematika adalah diguakaya lambag utuk megugkapka suatu peryataa secara sigkat, jelas, da kosiste yag jika diugkapka dega kalimat biasa cukup pajag. Salah satu lambag yag petig adalah (dibaca: sigma). Lambag ii diguaka utuk meuliska pejumlaha secara sigkat. Perhatika pejumlaha bilaga-bilaga di bawah ii Jika semua suku-sukuya ditulis, cara peulisa pejumlaha tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika bayak bilaga yag dijumlahka maki besar. Dega megguaka otasi sigma, peulisa dipersigkat me-jadi k 50 (dibaca: sigma k mulai dari k = sampai dega k = 50). Atau, boleh dibaca sigma k, utuk k = higga 50. Huruf k diguaka sebagai variabel suku yag aka bergerak mulai da bertambah sampai mecapai 50. Bilaga disebut batas bawah da 50 disebut batas atas pejumlaha. Secara umum, otasi sigma diyataka sebagai berikut. U k = U + U U Keteraga: k U k = batas bawah = batas atas = ideks = suku ke-k Batas bawah tidak harus berilai. Jika batas bawah pejumlaha da batas atasya maka pejumlaha terdiri atas suku, sedagka jika batas bawahya r da batas atasya maka pejumlaha terdiri dari ( r + ) suku. Cotoh : Nyataka dalam betuk pejumlaha 5 k = kk ( + ).

37 Barisa da Deret 89 5 k ( k + ) = ( + ) + ( + ) + 3(3 + ) + ( + ) + 5(5 + ) = = Cotoh : Tulislah betuk pejumlaha berikut dalam otasi sigma. a b c. ab 5 + a b + a 3 b 3 + a b a = = ( ) 5 = k 3 b. + + = ( ) + ( ) ( ) ( ) + = k k ( ). k + c. ab 5 + a b + a 3 b 3 + a b = a b 6 + a b 6 + a 3 b a b 6 = a k b 6 k. Meetuka Nilai Pejumlaha yag Diyataka dega Notasi Sigma Cotoh: Nilai pejumlaha yag diyataka dega otasi sigma dapat dicari, atara lai dega terlebih dahulu meyataka ke dalam betuk legkapya, kemudia dijumlahka. Perhatika cotoh-cotoh berikut ii. Tetuka ilai-ilai otasi sigma berikut. 0 a. p b. p= = 3 6

38 90 Khaz Matematika SMA 3 IPS 0 a. p = p= 6 = 55 b. = (3 ) + ( ) + (5 ) + (6 ) = 3 = = 7 3. Sifat-Sifat Notasi Sigma Utuk mempermudah perhituga yag berhubuga dega otasi sigma, dapat diguaka sifat-sifat yag berlaku pada otasi sigma. Sifat apakah yag berlaku pada otasi sigma? Lakuka Aktivitas berikut. Aktivitas Tujua : Meemuka sifat-sifat yag berlaku pada otasi sigma. Permasalaha : Sifat-sifat apakah yag berlaku pada otasi sigma? Kegiata : Kerjaka soal-soal berikut.. Nyataka otasi sigma berikut dalam betuk pejumlaha biasa. 6 a. U k 6 b. U i i= c. Badigka hasil atara a da b. Apa kesimpulamu?. Tetuka ilai pejumlaha yag diyataka dalam otasi sigma berikut. 7 a. Apakah 5 hasilya sama k = 3 dega (7 3 + ) 5? 5 b. 3k k =

39 Barisa da Deret 9 c. 3 5 k k = d. Badigka hasil atara c da d. Apa kesimpulamu? Kesimpula : Sifat-sifat apakah yag kalia temuka? Dari Aktivitas di atas diperoleh sifat-sifat berikut. q a. U k = U p q q i = p i b. c = (q p + )c, c = kostata, c R p q c. cu k = cu p q i = p k Sifat-sifat lai yag berlaku pada otasi sigma adalah sebagai berikut. Utuk U k da V k adalah rumus umum suku ke-k da p, q B, berlaku q q q k p p p d. ( Uk ± Vk) = Uk ± V e. Uk + Uk = U q p + p q f. ) U = U p q k q q+ a ka p+ a ) Uk = U p p g. U k = U p p q qa k+ a pa h. ( U k ± Vk ) = U k ± U kvk + V p q p k q p q k p Bukti: Pada kali ii, aka dibuktika sifat b da e saja.

40 9 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tugas: Eksplorasi Kerjaka di buku tugas Coba kalia buktika kebeara sifat-sifat otasi sigma di atas selai sifat b da e. Sifat b: q c = c + c + c + c c p Sifat e: U ( q p+ ) suku = (q p +)c... (terbukti) + U k k p + q =(U p + U p U ) + (U + + U U q ) = U p + U p U + U U q = U k... (terbukti) p Sekarag, mari kita guaka sifat-sifat di atas utuk meyelesaika permasalaha otasi sigma, seperti cotoh-cotoh berikut. Cotoh : Hituglah ilai dari ( k k). Ada cara yag dapat diguaka utuk meyelesaika soal di atas. Cara : ( k Cara : ( k k) =( ()) + ( ()) + (3 (3)) + ( ()) = ( ) + ( 8) + (9 ) + (6 6) = = 0 k) = k k = k k =( ) ( ) = ( ) (0) = 30 0 = 0

41 Barisa da Deret 93 Cotoh : Dega megguaka sifat otasi sigma, buktika bahwa ( k ) = k = k = k k. ( k ) = (k 6k + 6) = k 6k + 6 = k 6 k + 6 k =.... (terbukti) Cotoh 3: Ubahlah batas bawah sigma mejadi dari otasi sigma berikut. 5 a. ( k + ) 3 b. ( 3 k) k = a. ( k + ) = ( k + ) + = ( k + 3) 3 k = b. ( 3 k) = ( 3( k )) = ( 3 k+ ) = ( 5 k) Cotoh : Ubahlah batas bawah sigma mejadi dari otasi sigma berikut. a. k k 0 b. ( k 6 + )

42 9 Khaz Matematika SMA 3 IPS a. k k 6 = + + k 6 k = 6 ( k 6) 0 k 6 = k = k b. ( k + ) = ( k + ) 6 = 6 k 8 + = ( k + k + 5). Meyataka Suatu Deret dalam Notasi Sigma Notasi sigma dapat mempermudah kita dalam meuliska jumlah bilaga-bilaga yag terpola, misalya Seperti kalia ketahui, deret aritmetika da deret geometri merupaka deret dega suku-sukuya terpola tetap. Deret-deret seperti ii dapat kita sajika dalam otasi sigma. Agar lebih paham, perhatika cotoh berikut. Cotoh: Suatu deret diyataka dega otasi sigma berikut. 0 a. ( + ) b. = 6 = Deret apakah itu? Kemudia, tetuka ilaiya. 0 a. ( + ) = (() + ) + (() + ) + ((3) + ) = ((0) + ) = ( + ) + ( + ) + (6 + ) (0 + ) = Tampak bahwa deret itu memiliki suku-suku yag selisihya tetap, yaitu. Jadi, deret itu adalah deret aritmetika dega suku awal a = 3, beda b =, da U 0 =. 0 Nilai ( + ) sama dega ilai jumlah suku = pertama, S 0. Dega megguaka jumlah 0 suku pertama yag kalia ketahui, diperoleh

43 Barisa da Deret 95 S = (a + U ) = (0)(3 + ) = 0 0 Jadi, ( + ) = 0. 6 = b. = = = Tampak bahwa deret itu memiliki rasio tetap, yaitu r =. Jadi, deret ii termasuk deret geometri dega suku awal a = da rasio r =. Oleh karea itu r = >, kita guaka rumus berikut. a( r ) ( 6 ) S = S r 6 = 6 Jadi, = 6. = (6 ) = = 6 6 = = S6. Karea Soal Kompetesi 8 Kerjaka di buku tugas. Tulislah otasi sigma berikut dalam betuk legkap atau pejumlaha biasa. 5 3 a. j d. j = 7 k k = 3 k + 6 b. 0 5k 3 c. (3 + ) k 5 e. ( ) f. ( ). Nyataka pejumlaha berikut dalam betuk sigma. a b c d. xy + x y 3 + x 3 y + x y 5 + x 5 y 6 + x 6 y 7 = k+ x k y k

44 96 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tataga Pealara Kerjaka di buku tugas Tetuka ilai otasi sigma berikut. Adakah yag termasuk deret koverge? 5 a. ( 3 ) k = 6 b. ( i + i ) i= 0 c. 3 3 = 0 6 i= 5 d. 3. Hituglah hasil pejumlaha berikut (jika perlu guaka sifat otasi sigma). 0 a. 8 5 b. (k ) 6 c. i d. i = 6 6 ( ) ( ) k e. ( i + 3)( i + ) i = 5 (3 + )( + 3) f. ( ) = +. Dega megguaka sifat-sifat otasi sigma, buktika peryataa berikut. a. (k ) = k k k = b. 3k = 3 k + 30 k c. ( k + ) = k + 8 k + 0( ) Jika diketahui x i = 5 da y i 0 i = 50, hituglah ilaiilai sigma berikut. 0 i= = 0 a. ( i = x i + ) 0 b. (3 i = y i ) 0 c. (x i y i i = + 5) 0 d. (7y i x i ) i =

45 Barisa da Deret Ubahlah otasi sigma berikut ke dalam batas bawah b yag ditetuka. a. + 3 ; b = 0 = 6 0 ( + 5) k = 5 b. k c. b = 3 d. 0 p + p= 0 8 ; b = ; b = 5 p 3 e. ( i i + 5) ; b = i = 7. Tetuka ilai otasi sigma berikut. 5 a. k 5 k = b. 3k k = 5 c. k k0 = 8. Diketahui U 8 = = p, tetuka ilai otasi sigma berikut. 8 a. ( U + ) = 8 b. ( 3U ) = F. Deret dalam Hitug Keuaga Perahkah kalia megamati kegiata ekoomi yag terjadi di sekitarmu? Kegiata ekoomi pada umumya melibatka terjadiya rotasi uag. Misalya, terjadiya trasaksi jual beli, hutag-piutag, pijam-memijam, da lai-lai. Pada trasaksitrasaksi tersebut, biasaya dihubugka dega buga. Berkaita dega hal itu, pada pembahasa kali ii, kita aka membicaraka buga tuggal, buga majemuk, da auitas. Utuk mempermudah proses perhituga buga tuggal, buga majemuk, da auitas, kalia dapat megguaka batua kalkulator.

46 98 Khaz Matematika SMA 3 IPS. Buga Tuggal Gambar. Aktivitas perbaka Sumber: Dukume Peerbit Pada suatu kegiata (usaha) yag berhubuga dega uag, misalya pijam-memijam, biasaya jumlah omial uag yag dibayarka oleh seorag pemijam aka lebih besar daripada jumlah omial uag yag dipijamya. Selisih jumlah omial uag yag dipijam da jumlah yag dikembalika itu diamaka buga. Buga pijama merupaka beba gati rugi bagi pemijam. Hal ii disebabka pemijam megguaka uag pijama tersebut utuk usaha. Besarya buga dipegaruhi oleh besar uag yag dipijam, jagka waktu pemijama, da tigkat suku buga (persetase). Buga yag dibayarka oleh pemijam pada akhir jagka waktu pemijama tertetu dega besar pijama dijadika dasar perhituga da buga pada periode berikutya. Jika besarya buga sebagai jasa pemijama yag dibayarka tetap utuk setiap periode, buga itu diamaka buga tuggal. Misalka uag sebesar Rp00.000,00 dibugaka atas dasar buga tuggal dega tigkat suku buga 0%. Jumlah uag da buga sampai akhir bula pertama: Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 = Rp00.000,00 ( + 0%) Jumlah uag da buga sampai akhir bula kedua: Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 = Rp00.000,00 ( + 0%) Jumlah uag da buga sampai akhir bula ketiga: Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 = Rp00.000, 00 ( + 3 0%) Jumlah uag da buga sampai akhir bula ke-t: Rp00.000,00 + 0% Rp00.000, % Rp00.000,00 = Rp00.000,00 ( + t 0%) Secara umum, dapat kita kataka sebagai berikut. Misalka modal sebesar M 0 dibugaka atas dasar buga tuggal selama t periode waktu dega tigkat suku buga (persetase) r. Buga (B) da besar modal pada akhir periode (M t ) adalah B = M 0 t r M t = M 0 ( + t r)

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL Peserta didik memiliki kemampua memahami kosep pada topik barisa da deret aritmetika da geometri. Peserta didik memilki kemampua

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih -- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku. BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku

Lebih terperinci

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

E-learning matematika, GRATIS 1

E-learning matematika, GRATIS 1 E-learig matematika, GRATIS Peyusu Editor : Teag Idriyai, S.P ; Taufiq Rahma, S.P : Drs. Keto Susato, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Idra Guawa, S.Si.. Pegertia Barisa da Deret Barisa bilaga adalah

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi. MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

BAB 12 BARISAN DAN DERET

BAB 12 BARISAN DAN DERET BAB 1 BARISAN DAN DERET TIPE 1: Jika dari barisa aritmetika diketahui suku ke-m adalah um u b. m Cotoh: Diketahui barisa aritmetika, suku ke-5 adalah 4 da suku ke-8 adalah 6. Tetuka beda barisa aritmetika

Lebih terperinci

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA

Lebih terperinci

Kompetisi Statistika Tingkat SMA

Kompetisi Statistika Tingkat SMA . Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka

Lebih terperinci

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2...

SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2... SOAL-SOAL SPMB 006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 006 Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri aik. Jika jumlahya 6 da hasikaliya 6, maka rasio deretya adalah A. B. C. D. 4 E. 5.

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com http://meetabied.wordpress.com SMAN Boe-Boe, Luwu Utara, Sul-Sel Setiap pria da waita sukses adalah pemimpipemimpi besar. Mereka berimajiasi tetag masa depa mereka, berbuat sebaik mugki dalam setiap hal,

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Tujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat

Tujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal Majemuk Anuitas, Matematika 4:00 PM Pernahkah kalian mengamati

Lebih terperinci

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug, 0 Model Pertumbuha BeefitAsurasi Jiwa Berjagka Megguaka Deret Matematika Edag Sri Kresawati Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Sriwijaya edagsrikresawati@yahoocoid

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

BAB 2 : BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN

BAB 2 : BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN Jl. Raya Wagu Kel. Sidagsari Kta Bgr Telp. 0251-8242411, email: prhumasi@smkwikrama.et, website : www.smkwikrama.et BAB 2 : BUNGA, PERTUBUHAN DAN PELURUHAN PENGERTIAN BUNGA Buga adalah jasa dari simpaa

Lebih terperinci

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah

Lebih terperinci

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran

RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1 Satua Pedidika Mata Pelajara Kelas/Semester Materi Pokok Waktu : SMA N 6 YOGYAKARTA : Matematika : XII IPS/ : Barisa da Deret : 6 jam pelajara 1. Stadar Kompetesi 4.

Lebih terperinci

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan Bab Sumber: www.medeciepharmacie.uiv-fcomte.fr Pola Bilaga, Barisa, da Deret Pola bilaga, barisa, da deret merupaka materi baru yag aka kamu pelajari pada bab ii. Terdapat beberapa masalah yag peyelesaiaya

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan dan Deret Bilangan Bab 3 Barisa da Deret Bilaga Sumber: www.lombokgilis.com Setelah mempelajari bab ii, diharapka Ada dapat meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah, yaitu megidetifikasi pola, barisa, da deret

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan dan Deret Bilangan Bab 3 Barisa da Deret Bilaga Sumber: www.lombokgilis.com Setelah mempelajari bab ii, diharapka Ada dapat meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah, yaitu megidetifi kasi pola, barisa, da deret

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN 47 49 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Nama Sekolah Program keahlia Mata Pelajara : SMK PGRI Salatiga : Akutasi : Matematika Kelas/ Semester : XI/ 3 Materi Pokok Alokasi Waktu : Barisa da Deret : 4 x 4

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 10

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 10 SMA IPA Kelas 0 A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA. Betuk umum: a, ( a b), ( a b) ( a b). Rumus suku ke- (U ) U a ( ) b a : suku pertama b : beda. Jumlah suku pertama (S ) S ( a U ) atau S (a ( ) b) Dega

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Buku Padua Belajar Maajeme Keuaga Chapter 0 KONSEP NILAI WAKTU UANG. Pegertia. Nilai Uag meurut waktu, berarti uag hari ii lebih baik / berharga dari pada ilai uag dimasa medatag pada harga omial yag sama.

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013

PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013 http://asyikyabelajar.wordpress.com PEMBAHAAN ALAH ATU PAKET OAL UN MATEMATIKA MA PROGRAM IP TAHUN PELAJARAN 0/0. Igkara dari peryataa emua makhluk hidup memerluka air da oksige adalah... A. emua makhluk

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

SILABUS PEMBELAJARAN

SILABUS PEMBELAJARAN SILABUS PEMBELAJARAN Sekolah :... Kelas : IX (Sembila) Mata Pelajara : Matematika Semester : II (dua) BILANGAN Stadar : 5. Memahami sifat-sifat da betuk akar serta pegguaaya dalam pemecaha masalah sederhaa

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

ANUITAS. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmanto,S.Si.

ANUITAS. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmanto,S.Si. ANUITAS 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 1 OVERVIEW Auitas adl suatu pembayara dalam jumlah tertetu, yag dilakuka setiap selag waktu da lama tertetu, secara berkelajuta. Suatu auitas yg pasti dilakuka

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam

Lebih terperinci

UJIAN MASUK BERSAMA PERGURUAN TINGGI (UMB - PT) Mata Pelajara : Matematika Dasa Taggal : 06 Jui 009 Kode Soal : 0 0 www.olieschools.ame. Produksi beras propisi P tahu 990 adalah 00 ribu to da sampai tahu

Lebih terperinci

Soal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa

Soal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa Soal-soal Latiha:. Misalka kita aka meyusu kata-kata yag dibetuk dari huru-huru dalam kata SIMALAKAMA, jika a. huru S mucul setelah huru K (misalya, ALAMAKSIM). b. huru A mucul berdekata. c. tidak memuat

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1. ialah barisan aritmatika,jika: -U 2. =.= U n

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1. ialah barisan aritmatika,jika: -U 2. =.= U n BARIAN DAN DERET A. BARIAN DAN DERET ARITMATIKA I. TJAN etelah mempelaji topik siswa dapat:. Meetuka suku ke suatu bisa itmatika. Meetuka rumus suku ke di bisa itmatika. Meetuka suku pertama da beda suatu

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret)

LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) DOSEN FEBRIYANTO, SE., MM. www.febriyato79.wordpress.com 1 MATEMATIKA BISNIS Matematika Bisis memberika pemahama ilmu megeai kosep matematika dalam bidag bisis. Sehigga suatu

Lebih terperinci

SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi.

SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi. SOL-SOL HOTS. LJBR Pagkat Bulat Positif, Betuk kar, da Logaritma 1. Jumlah bakteri pada saat mula-mula adalah M 0. Karea suatu hal, setiap selag satu hari jumlah bakteri aka leyap r%. Jika M0 1.0 da r

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

UKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN

UKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL DATA KELOMPOK. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL UKURAN PENYEBARAN JANGKAUAN HAMPARAN RAGAM / VARIANS SIMPANGAN BAKU

Lebih terperinci

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET A RINGKASAN MATERI. Notasi Sigma Diberia suatu barisa bilaga, a, a,..., a. Lambag deret tersebut, yaitu: a = a + a +... + a a meyataa jumlah suu pertama barisa Sifat-sifat

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI (Deret)

MATEMATIKA EKONOMI (Deret) LOGO MATEMATIKA EKONOMI (Deret) DOSEN FEBRIYANTO, SE., MM. www.febriyato79.wordpress.com MATEMATIKA EKONOMI Matematika Ekoomi memberika pemahama ilmu megeai kosep matematika dalam bidag bisis da ekoomi.

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus

1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret

Notasi Sigma, Barisan, dan Deret I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Notasi Sigma, Barisa, da Deret Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Puji Iryati, M.Sc.Ed. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

Lebih terperinci