MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO

Transkripsi

1 MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007

2 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam Modul ii Ada aka mempelajari lebih medalam tetag Kosep Barisa da Deret. Peulis tetuya memajatka puji da syukur kepada Tuha Yag Maha Kuasa, oleh karea berkat Cita-NYa sehigga Peulis dapat meyelesaika modul ii dega baik. Tetuya sebagai mausia yag peuh dega kekuraga da kelemaha, sudah tetu Peulis meyadari bahwa dalam peyusua modul matematika ii ada begitu bayak kekuraga da kesalaha, oleh karea itu Peulis sagat megharap kritika da sara yag bersifat membagu dari semua pihak demi kesempuraa peyusua modul berikutya. Akhirya Peulis tak lupa megucapka terima kasih kepada semua pihak baik tema-tema mahasiswa maupu Dose mata kuliah ii, yag telah membatu Peulis dalam peyusua modul ii. Harapa Peulis biarlah Modul Matematika ii dapat meambah wawasa kita semua. Todao, Februari 2008 Peulis

3 DAFTAR ISI Halama Halama Fracis.. Kata Pegatar. Daftar Isi. Peta Kosep Glosarium... Peta keduduka Modul Bab I Pedahulua A. Deskripsi... B. Prasyarat... C. Petujuk Pegguaa Modul... D. Stadar Kompetesi E. Kompetesi Dasar F. Idikator Hasil belajar... G. Kompetesi... H. Cek Kemampua... Bab II Pembelajara... A. Recaa Belajar Peserta Didik... B. Kegiata Belajar Kegiata Belajar Kegiata Belajar Kegiata Belajar Kegiata Belajar 4... Bab III Evaluasi A. Evaluasi Kompetesi... B. Kuci Evaluasi/Sistem Peilaia... Bab IV Peutup... Daftar Pustaka...

4 GLOSARIUM Tetu saja dalam Modul ii Ada aka meemuka simbol-simbol yag belum Ada dapatka sebelumya. Oleh karea itu Ada harus memperhatika dega seksama glosarium ii. : suku U : Suku ke - S : Jumlah suku ke - b : beda r : rasio

5 PETA MODUL Sebelum Ada mempelajari Modul ii, Ada harus memperhatika Peta Modul ii yag meggambarka kegiata-kegiata belajar yag Aka Ada pelajari secara bertahap. Barisa da Deret Sub Kompetesi 2 Meetuka rumus suku ke- da rumus jumlah suku ke deret aritmetika Sub Kompetesi 3 Meetuka rumus suku ke- da rumus jumlah suku ke deret geometri

6 BAB I PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Modul turua ii terdiri atas 3 bagia proses pembelajara sesuai dega sub kompetesiya, yaitu : 1. Dalam kegiata belajar 1 aka membahas tetag pegertia barisa da meetuka rumus suku ke suatu barisa bilaga 2. Dalam kegiata belajar 2 aka dibahas tetag bagaimaa meetuka rumus suku ke da rumus jumlah suku ke deret aritmetika 3. Dalam kegiata belajar 3 aka membahas tetag bagaimaa meetuka rumus suku ke da rumus jumlah suku ke deret geometri B. PRASYARAT Kemampua dasar yag harus dimiliki utuk mempelajari modul ii adalah 1. Terampil dalam operasi pada betuk aljabar 2. Memahami kosep sigma C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL a. Pejelasa Bagi Peserta Didik 1. Bacalah modul ii dega seksama mulai dari kata pegatar sampai dega cek kemampua, kemudia pahami bear seluruh iformasi yag termuat di dalamya. 2. Setelah Ada megisi cek kemampua, pastika apakah Ada termasuk kategori orag yag masih harus mempelajari modul ii atau orag yag tidak lagi mempelajariya karea sudah meguasaiya. 3. Laksaaka semua tugas-tugas yag terdapat di dalam modul ii agar kompetesi Ada berkembag dega baik.

7 4. Setiap mempelajari satu sub kompetesi, Ada harus mulai dari meguasai pegertia-pegertia dalam uraia materi, melaksaaka tugas-tugas da megerjaka lembar latiha. 5. Dalam megerjaka lembar latiha, Ada tidak diperkeaka melihat kuci jawaba terlebih dahulu, sebelum Ada meyelesaika lembar latiha. 6. Cocokka jawaba Ada dega kuci jawaba, hitug ilai yag Ada peroleh. Kemudia kerjaka sara-sara sesuai dega hasil latiha Ada. b. Peraa Guru 1. Membatu siswa dalam merecaaka proses belajar. 2. Meegaska kembali tetag tujua akhir yag harus dicapai setelah mempelajari modul ii. 3. Membatu peserta didik dalam meetuka da megakses sumber tambaha lai yag diperluka utuk belajar. 4. Melaksaaka peilaia serta mecatat pecapaia kemajua peserta didik 5. Mejelaska kepada peserta didik megeai bagia yag perlu utuk dibeahi da merudigka recaa pembelajara selajutya. D. STANDAR KOMPETENSI Setelah mempelajari modul ii diharapka siswa dapat: KOGNITIF Siswa dapat megguaka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah. AFEKTIF Siswa meyadari petigya matematika sehigga selalu meujukka apresiasi yag positif setiap kali belajar matematika khususya dalam mempelajari materi dalam modul tetag kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah.

8 PSIKOMOTOR Siswa selalu meujukka kierja yag baik dalam setiap kegiata belajar matematika khususya dalam mempelajari materi tetag meetuka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah. E. KOMPETENSI DASAR Setelah mempelajari materi tetag geometri diharapka siswa dapat: KOGNITIF Siswa dapat meetuka da megguaka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah. AFEKTIF Dega seag meujukka kesiapa belajar secara bertaggug jawab sehigga meujukka sifat yag positif dalam mempelajari materi meetuka da megguaka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah. PSIKOMOTOR Selalu meujukka kemahiraya setiap kali megerjaka tugastugas yag membutuhka keterampila dalam mempelajari materi tetag meetuka da megguaka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah. F. TUJUAN AKHIR (INDIKATOR HASIL BELAJAR) Dalam mempelajari materi tetag meetuka da megguaka kosep barisa da deret dalam memecahka masalah maka diharapka: KOGNITIF 1 Siswa dapat memahami pegertia barisa bilaga 2 Siswa dapat mejelaska rumus suku ke- deret aritmetika 3 Siswa dapat mejelaska rumus jumlah suku ke deret aritmetika

9 4 Siswa dapat mejelaska rumus suku ke- deret geometri 5 Siswa dapat mejelaska rumus jumlah suku ke deret geometri AFEKTIF 1. Siswa dapat meujukka kesiapa siswa dalam belajar 2. Siswa selalu memperhatika pejelasa guru 3. Siswa dapat dega serius memperhatika pejelasa guru. 4. Siswa dapat selalu bertaya apabila ada pejelasa yag tidak dimegerti. 5. Siswa selalu kritis dega materi yag diajarka. 6. Siswa selalu seag megerjaka tugas yag diberika oleh guru. 7. Siswa dapat teku dalam megerjaka setiap tugas yag diberika. 8. Siswa dapat meyelesaika tugas dega teliti. PSIKOMOTOR 1. Siswa dapat meuliska simbol-simbol matematika dega tepat. 2. Siswa dapat megerjaka tugas dega tepat. 3. Siswa dapat terbiasa meampilka posisi bada yag baik dalam belajar. F. KOMPETENSI : Meerapka Kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Sub Kriteria Ligkup Materi pokok Pembelajara kompetesi kierja belajar Afektif kogitif Psikomotor 1. Medeskrip Pegertia Atura Cermat Meetuka Dapat sika barisa pembe da teliti atura meuliska pegertia bilaga tuka dalam pembetuka simbol-simbol barisa diperoleh barisa megurut barisa dega tepat bilaga dari bilaga ka bilaga da megea barisa meetuka i bilaga sesuai rumus suku yag dega

10 ke diurutka atura barisa dega pembet bilaga atura uka tertetu 2. Meetuka Diperoleh Rumus Cermat Meghitug Megerjaka rumus suku jika suku- suku da teliti rumus suku tugas dega ke- da suku ke- dalam ke- da tepat da jumlah suku telah da meetu jumlah suku bear ke- deret terurut jumlah ka ke- deret aritmetika da beda suku rumus aritmetika telah di ke- suku ke- ketahui deret da aritmeti jumlah ka suku ke- deret aritmetika 3. Meetuka Diperoleh Rumus Cermat Meghitug Megerjaka rumus suku jika suku- suku da teliti rumus suku tugas dega ke- da suku ke- dalam ke- da tepat da jumlah suku telah da meetu jumlah suku bear ke- deret terurut jumlah ka ke- deret geometri da rasio suku rumus geometri telah di ke- suku ke- ketahui deret da geomet jumlah ri suku ke- deret geometri

11 G. CEK KEMAMPUAN No Pertayaa Ya Tidak 1 Apakah Ada telah memahami pegertia barisa? 2 Dapatkah Ada mejelaska atura pembetuka suatu barisa bilaga? 3 Dapatkah Ada meetuka suku ke- dega megguaka rumus suku ke- suatu barisa bilaga? 4 Dapatkah Ada meuliska rumus suku ke- suatu bilaga? 5 Dapatkah Ada meuliska rumus suku ke- deret aritmetika? 6 Dapatkah Ada meghitug suku ke- deret aritmetika dega megguaka rumus suku ke- deret aritmetika? 7 Dapatkah Ada meuliska rumus jumlah suku ke- deret aritmetika? 8 Dapatkah Ada meghitug jumlah suku ke- deret aritmetika dega megguaka rumus jumlah suku ke- deret aritmetika?

12 9 Dapatkah Ada meuliska rumus suku ke- deret geometri? 10 Dapatkah Ada meuliska rumus jumlah suku ke- deret geometri? 11 Dapatkah Ada meghitug jumlah suku ke- deret geometri dega megguaka rumus jumlah suku ke- deret geometri? Jika Ada mejawab TIDAK pada salah satu pertayaa di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ii. Apabila Ada mejawab YA pada semua pertayaa, maka lajutkalah dega megerjaka tugas, tes formatif da evaluasi yag ada pada modul ii.

13 BAB II PEMBELAJARAN A. RANCANGAN BELAJAR SISWA N o Sebagaimaa telah diiformasika dalam pedahulua, bahwa modul ii haya sebagia dari sumber belajar yag dapat Ada pelajari utuk meguasai kompetesi meerapka kosep Turua. Utuk megembagka kompetesi ada dalam Substasi No Istruksioal, Ada perlu latiha. Aktivitas-aktivitas yag diracag dalam modul ii selai megembagka kompetesi matematika, juga megembagka kompetesi Substasi No Istruksioal. Utuk itu, maka dalam megguaka modul ii Ada harus melaksaaka tugas-tugas yag telah diracag. 1. buatlah recaa belajar Ada berdasarka racaga pembelajara yag telah disusu oleh guru, utuk meguasai kompetesi Kosep Turua dega megguaka format sebagai berikut. Kegiata Pecapaia Alasa Perubaha Paraf Tgl. Jam Tempa t bila diperluka Siswa Guru Megetahui..., Guru pembimbig Peserta Didik (...) (...)

14 2. Rumuska hasil belajar Ada sesuai stadar bukti belajar yag telah ditetapka. a. Utuk peguasaa pegetahua, Ada dapat membuat suatu rigkasa meurut pegertia Ada sediri terhadap kosepkosep yag berkaita dega kompetesi yag telah dipelajari. Selai rigkasa, Ada juga dapat melegkapiya dega klipig terhadap iformasi-iformasi yag releva dega kompetesi yag sedag Ada pelajari. b. Tahapa pekerjaa Ada dapat dituliska/digambarka dalam diagram alir yag dilegkapi dega pejelasaya (siapa peaggug jawab setiap tahapa pekerjaa, siapa yag terlibat, kapa direcaaka, kapa direalisasika, da hasilya apa). c. Produk hasil praktek dalam kegiata ii dapat Ada kumpulka berupa cotoh beda kerja, atau dalam betuk visualisasiya (gambar, foto, da lai-lai). d. Setiap tahapa proses aka diakhiri dega peilaia, lakukalah diskusi dega guru pembimbig utuk medapatka persetujua, da apabila ada hal-hal yag harus diperbaiki/dilegkapi, maka Ada harus melaksaaka sara guru pembimbig Ada.

15 B. KEGIATAN BELAJAR 1. KEGIATAN BELAJAR 1 Pegertia Barisa bilaga da meetuka suku ke- suatu barisa bilaga Barisa da Deret Sub Kompetesi 1 Pegertia Barisa bilaga da meetuka suku ke- suatu barisa bilaga ANDA BERADA DI SINI Sub Kompetesi 2 Notasi Sigma Sub Kompetesi 3 Meetuka rumus suku ke- da rumus jumlah suku ke deret aritmetika

16 a. Tujua Kegiata Belajar 1 Setelah mempelajari uraia kegiata belajar ii, Ada diharapka : 1. Dapat memahami pegertia barisa bilaga 2. Dapat meetuka suku ke- suatu barisa bilaga b. Uraia Materi A. Barisa Bilaga 1. Megeal pegertia barisa suatu bilaga Perhatika ilustrasi berikut! Seorag karyawa pada awalya memperoleh gaji sebesar Rp ,00. Selajutya, setiap bula berikutya gaji yag diperoleh bertambah Rp.5.000,00. jika kita susu gaji karyawa itu mulai bula pertama adalah sebagai berikut. Rp ,00, Rp ,00, Rp ,00, Rp ,00,... Susua yag demikia diamaka barisa. Bilaga pertama disebut suku pertama (U 1 ), bilaga kedua disebut suku kedua (U 2 ), da seterusya. Suku ke- dari suatu barisa bilaga diotasika dega U. Dega demikia, dapat disimpulka sebagai berikut. Barisa bilaga adalah bilaga-bilaga yag diurutka dega atura atau pola tertetu. Suku dari barisa bilaga adalah setiap bilaga pada barisa bilaga tersebut. 2. Meetuka da meghitug suku ke- suatu barisa bilaga. Seperti yag telah kalia ketahui bahwa suatu barisa selalu memiliki pola yag teratur sehigga suku ke- dapat ditetuka. Jika pola barisa bilaga telah diketahui kalia dapat dega mudah meetuka suku ke- barisa tersebut. Perhatika cotoh berikut! 1. Maakah suku yag harus digati dari barisa di bawah ii?

17 2,3,5,7,9,13,17,19,23,29,... Jawab: Jika dipadag sekilas tampakya suku pertama yag harus digati sebab buka bilaga gajil. Namu, dega meggati suku pertama teryata belum mejadi barisa yag bear (lihat suku ke-6,ke-7, ke-8, ke-9, da ke-10). Jadi, maakah yag harus kita gati? Teryata semua bilaga pada barisa di atas adalah bilaga prima, kecuali suku ke-5 sehigga suku ke-5 itulah yag harus digati dega Jika U = 2-1, tetuka suku-suku dari barisa itu da betuklah barisaya! Jawab: U = 2-1 U 1 = 1 2-1= 1-1=0 U 2 = 2 2-1= 4-1=3 U 3 = 3 2-1= 9-1=8 U 4 = 4 2-1= 16-1=15 U 5 = 5 2-1= 25-1=24, da seterusya. Jadi barisa bilaga tersebut adalah 0, 3, 8, 15, 24, Jika U = 5-3, tetuka suku-suku dari barisa itu da betuklah barisaya! Jawab: U = 5-3 U 1 = 5(1) - 3= 5-1=2 U 2 = 5(2) - 3= 10-1=7 U 3 = 5(3) - 3= 15-1=12 U 4 = 5(4) - 3= 20-1=19 U 5 = 5(5) - 3= 25-1=24, da seterusya.

18 Jadi barisa bilaga tersebut adalah 2, 7, 12, 17, 22,... Jika bilaga bilaga diurutka dega atura tertetu, maka aka diperoleh suatu barisa bilaga. Tiap-tiap bilaga yag terdapat pada barisa bilaga disebut suku dari barisa itu. Jika atura suatu barisa telah diketahui, maka suku berikutya dari barisa tersebut dapat ditetuka. Cotoh: 1. 2, 6, 10, 14, Atura pembetukaya adalah ditambah 4 Dua suku berikutya adalah 18 da , 2, 5, 10, Atura pembetukaya adalah ditambah bilaga gajil beruruta Dua suku berikutya adalah 17 da , 1, 2, 3, 5,... Atura pembetukaya adalah suku berikutya adalah dega mejumlahka dua suku di depaya Dua suku berikutya adalah = 8 da = 13 Barisa bilaga 1, 1, 2, 3, 5, 8,... disebut barisa Fiboacci Suku ke- dari suatu barisa bilaga dapat di tulis U. Dega demikia suku ke-1 dapat di tulis U 1 da suku ke-100 dapat ditulis U 100. A. Barisa dega atura di tambah bilaga yag sama. Jika atura suatu barisa di tambah b, maka suku ke- aka memuat b x yaitu U = b x +...atau U = b x -...

19 Cotoh 4. a. 5, 8, 11, 14,... Karea aturaya di tambah 3, maka rumus suku ke- memuat 3, yaitu U 1 = 5 = 3 x ditetuka sediri agar hasilya U 2 = 8 = 3 x sama dega yag dimaksud Jadi U = 3 x + 2 = Cotoh: 1. 3, 6, 9, 12, U 1 = 3 = 3 x 1 U 3 = 9 = 3 x 3 U 2 = 6 = 3 x 2 U 4 = 12 = 3 x 4 Jadi suku ke- = U = 3 x = , 8, 12, 16, U 1 = 4 = 4 x 1 U 3 = 12 = 4 x 3 U 2 = 8 = 4 x 2 U 4 = 16 = 4 x 4 Jadi suku ke- = U = 3 x = 3 Dari kedua cotoh di atas, diperoleh hubuga sebagai berikut. (i) jika atura barisa ditambah dega 3, maka rumus suku ke- memuat 3 x (ii) jika atura barisa ditambah dega 4, maka rumus suku ke- memuat 4 x

20 Jika atura suatu barisa ditambah dega b, maka suku ke- aka memuat b x yaitu U = b x +... atau U = b x -... Cotoh: 1. 5, 8, 11, 14, karea aturaya ditambah 3, maka rumus suku ke- memuat 3, yaitu U 1 = 5 = 3 x ditetuka sediri agar hasilya sama seperti barisa yag dimaksud U 2 = 8 = 3 x Jadi, U = 3 x + 2 = guaka rumus di atas utuk megecek suku ke-4, maka: U = U 4 = 3 x = 14 sesuai dega suku ke-4 pada barisa di atas B. Barisa dega atura dikali atau di pagkatka Utuk meetuka suku ke- barisa seperti ii, maka harus di tetuka hubuga atara masig-masig suku dega betuk bilaga berpagkat. Cotoh 4. a. 2, 4, 8, 16,... U 1 = 2 = 2 1 U 2 = 4 = 2 2, U 3 = 8 = 2 3, U 4 = 16 = 2 4 Bilaga pokok selalu 2 da pagkat sesuai dega uruta suku, maka U = 2.

21 b. 4, 9, 16, 25,... U 1 = 4 = 2 2 U 2 = 9 = 3 2, U 3 = 16 = 4 2, U 4 = 25 = 5 2 = (1 +1) 2 = (2+1) 2 = (3 + 1) 2 = (4+1) 2 Pagkat selalu 2, da bilaga pokok adalah uruta suku ditambah 1, maka U = ( + 1) 2. Latiha : Tetuka atura pembetuka dari barisa :,,,! Tuliska atura pembetuka dari barisa 5, 10, 20, 40, 80, Tuliska atura pembetuka dari barisa 8, 5, 2, -1, -2,... c. Ragkuma Kegiata Belajar 1 1. Jika bilaga bilaga diurutka dega atura tertetu, maka aka diperoleh suatu barisa bilaga. Tiap-tiap bilaga yag terdapat pada barisa bilaga disebut suku dari barisa itu. 2. Barisa bilaga 1, 1, 2, 3, 5, 8,... disebut barisa Fiboacci 3. Jika atura suatu barisa di tambah b, maka suku ke- aka memuat b x yaitu U = b x +...atau U = b x -... d. Tugas Kegiata Belajar 1 Diskusika soal-soal LKS tetag kosep barisa da deret, utuk dipresetasika. e. Tes Formatif 1. Tuliska rumus suku ke- dari barisa 0, 2, 4, 8, U 1 adalah bilaga yag ke- ( - 1) dari suatu barisa bilaga. Apabila U 1 = ( - 1), maka U 3 = Pada barisa aritmetika : 64, 60, 56, 52,...ilai ol adalah suku ke...

22 4. Bila 4, A 1, A 2, A 3, 28 membetuk barisa aritmetika, maka ilai A 3 adalah Dari barisa 6, 14, a, 30,...ilai a yag memeuhi adalah Diberika suatu barisa -2, 2, 6,...Apabila suku ke- barisa itu sama dega 34, maka =...Tetuka atura pembetukaya. 7. Suku ke-211 dari barisa aritmetika 3, 8, 13, 18,...adalah...da tetuka atura pembetuka barisaya. Cocokka hasil ulaga Ada dega kuci jawaba yag tersedia di halama belakag Modul ii. Hitug skor yag Ada peroleh. Kerjaka sara-sara yag sesuai dega skor yag Ada peroleh. Igat!!! Jaga melihat kuci sebelum Ada selesai megerjaka. Bobot soal ditetuka sebagai berikut! Nomor soal Bobot Keteraga 3,4, 5 da 6 1, Skor Maksimal = 20

23 f. LKS 1 Lembar Kerja Siswa (LKS) Nama : Taggal : Materi Pokok : Barisa da deret Alokasi Waktu : 15 Meit 1. Di berika suku ke- dari suatu barisa U = 2 +, Tuliska barisa itu da tetuka atura pembetukaya. 2. Tuliska 5 suku yag pertama dari barisa 2-1 da tetuka atura pembetukaya. 3. Tetuka atura pembetuka dari barisa bilaga : a. 15, 12, 9, 6,... b. 9, 13, 17, 21,...

24 g. Tigkat Peguasaa Rumus : Tigkat Peguasaa = jumlah skor yag diperoleh 100% 20 Sara-sara yag harus Ada lakuka, sesuai dega tigkat peguasaa yag telah Ada capai sebagai berikut : 1. > 80 % Bagus! pertahaka prestasi yag telah Ada capai da Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar % Ada masih perlu membaca kembali teks sub kompetesi ii dega lebih seksama, terutama bagia yag belum Ada kuasai 3. < 60 % Ada belum belajar bersugguh-sugguh, Ada harus megejar ketiggala da bertayalah pada guru mata pelajara tetag kesulita Ada

25 Kegiata Belajar 2 : Notasi Sigma Barisa da Deret Sub Kompetesi 1 Pegertia Barisa bilaga da meetuka suku ke- suatu barisa bilaga ANDA BERADA DI SINI Sub Kompetesi 2 Notasi Sigma Sub Kompetesi 3 Meetuka rumus suku ke- da rumus jumlah suku ke barisa da deret aritmetika

26 Tujua Kegiata Belajar 2 : Kogitif Setelah mempelajari uraia kegiata belajar ii, Ada diharapka mampu : 1. Dapat mejelaska pegertia sigma 2. Dapat megetahui sifat-sifat otasi sigma Afektif Dalam megikuti pembelajara matematika tetag rumus sius da kosius dua sudut, selisih dua sudut, da sudut gada utuk meghitug sius da kosius sudut tertetu maka siswa : 1. Memperlihatka kesiapa dalam megikuti pembelajara. 2. Memperhatika dega baik setiap materi yag diberika. 3. Megikuti pembelajara dega serius da teliti. 4. Meujuka keaktifa dalam kegiata pembelajara. Psikomotor

27 a. Uraia Materi 1. Pegertia otasi sigma Perahkah kalia mejumlahka bilaga seperti berikut ii? atau Utuk meyederhaaka peulisa pejumlaha yag pajag, diberika otasi sigma sebagai berikut = = (3k 2) 12 k 1 Lambag (baca sigma) diambil dari huruf besar Yuai utuk S yag berarti Sum atau jumlah. Cotoh Nyatakalah pejumlaha berikut ii ke dalam otasi sigma! a b c d e f g x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4

28 Jawab: a = b = (2 1) 5 1 c = (3 1) 6 1 d = (4 2) 5 1 e = (6 5) 4 1 f = (5 2)( 1) 5 1 g x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 = (kx 5 1 k 1 ) Pada cotoh di atas, semua pejumlaha dimulai dega suku ke-1, padahal bisa saja suatu deret suku pertamaya a o (berideks 0), sehigga ditulis sebagai berikut. m k 0 a = a 0 +a 1 +a a m k Selai itu, jika suatu deret dimulai tidak dari suku pertama, misalya ketiga, maka ditulis sebagai berikut. m k 3 a = a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 k

29 b. Sifat-sifat otasi sigma a. C = C k 1 b. Ca k = k 1 C a k k 1 c. ( a k b k ) = a k b k 1 Bukti: k 1 a. C dega a k = C k 1 k 1 k = a1 a 2 a 3... a k = C C C... C = C sebayak kali b. Sifat b merupaka suatu sifat distributif otasi sigma. Jika setiap suku dalam suatu pejumlaha mempuyai faktor C maka dapat difaktorka di luar pejumlaha itu. Jadi, Ca k = k 1 C a k k 1 c. ( a k b k ) = ( a1 b1) (a 2 b 2 ) (a 3 b3 )... (a b ) k 1 = a a a... a ) (b b b... b ) ( = a k b k 1 k 1 k

30 Cotoh Hituglah (3k Jawab: 4 k 1 4 k 1 2 2k 7) 4 (3k 2 2k 7) = 2 3 k 2k 7 k 1 4 k 1 4 k 1 = 3( ) + 2( ) = = 138 c. Ragkuma Kegiata Belajar 1 1) Lambag (baca sigma) diambil dari huruf besar Yuai utuk S yag berarti Sum atau jumlah. 2) a. C = C k 1 b. Ca k = k 1 C a k k 1 c. ( a k b k ) = a k b k 1 k 1 k 1 k d. Tugas Kegiata Belajar 2 Diskusika soal LKS tetag otasi sigma, utuk dipresetasika

31 e. Tes Formatif 1. Jelaska pegertia sigma! 2. Tuliska 2i 1 5 i 1 dalam suku suku pejumlahaya, kemudia hituglah ilaiya! 3. Tuliska deret Dega meuliska tiap otasi sigma berikut dalam suku-suku pejumlaha, tujukka bahwa 4 4 1i 1 j 1 u i u j Kuci Jawaba Cocokka hasil ulaga Ada dega kuci jawaba yag tersedia di bawah ii. Hitug skor yag ada peroleh, kerjaka sara-sara yag sesuai dega skor yag ada peroleh Igat!! Jaga melihat kuci sebelum ada selesai megerjaka. 1. Suatu deret u1 + u2 + u u dapat ditulis dega megguaka otasi u i i 1 sigma sebagai i 1 i = {2 (1) 1)} + {2 (3) - 1} + {2 (5) - 1} = = ; dega suku ke-i adalah u i = ui ui u2 u3 u4 i 1

32 4 j 1 u j u i u 2 u 3 u 4 Bobot Soal ditetuka sebagai berikut : Semua Soal diberi bobot 2.5 jadi skor maksimal adalah 5 x 2 =10 Tigkat Peguasaa Rumus : Sara-sara yag harus Ada lakuka, sesuai dega tigkat peguasaa yag telah Ada capai sebagai berikut: 1. > 80 % Bagus! Pertahaka prestasi yag telah Ada capai da Ada dapat meeruska dega kegiata belajar % Ada masih perlu membaca kembali teks sub kompetesi ii dega lebih seksama, terutama bagia yag belum ada kuasai. 3. < 60 % Ada belum belajar bersugguh-sugguh, Ada harus megejar ketiggala da bertayalah pada guru mata pelajara tetag kesulita Ada.

33 1. Kegiata Belajar 3 : Meetuka rumus suku ke- da rumus jumlah suku ke deret aritmetika Barisa da Deret Sub Kompetesi 1 Pegertia Barisa bilaga da meetuka suku ke- suatu barisa bilaga Sub Kompetesi 2 Notasi Sigma ANDA BERADA DI SINI Sub Kompetesi 3 Meetuka rumus suku ke- da rumus jumlah suku ke deret aritmetika

34 a. Tujua Kegiata Belajar 3 Setelah mempelajari uraia kegiata belajar ii, Ada diharapka : 1. Dapat meetuka rumus suku ke- barisa da deret aritmetika 2. Dapat meetuka rumus jumlah suku ke- barisa da deret aritmetika b. Uraia Materi a. Suku ke Barisa aritmetika Jika pada barisa aritmetika suku pertamaya U 1 = a da beda = b maka: U 2 -U 1 = b U 2 = U 1 + b U 3 -U 2 = b U 3 =U 2 + b = U 1 + 2b U 4 -U 3 = b U 4 =U 3 + b = U 1 + 3b... U U -1 = b U = U -1 + b = U 1 + (-1)b Rumus suku ke- barisa aritmetika adalah: U = a + (-1)b U = suku ke- a = suku pertama b = beda

35 Cotoh Tetukalah suku ke -100 barisa aritmetika 5, 8, 11,...! Jawab: = 100; a = 5; da b =11 8 = 8 5 = 3 U = a + (-1)b U 100 =5 + (100-1).3 = 5 + (99). 3 = = 302 Jadi, suku ke-100-ya adalah 302. c. U = a+(-1)b 147 = -1+(-1)2 147 = = 150 = 75 Jadi, U = 147 terjadi pada = 75.

36 b. Suku tegah barisa aritmetika Suku tegah dari barisa aritmetika terjadi jika bayakya suku gajil. Rumus suku tegah dari barisa aritmetika adalah: Ut = 2 1 (a + U ) Bukti: Misalya barisa aritmetika gajil adalah a, U t, U maka: U t a = U-Ut 2U t = a + U U t = 2 1 (a + U ) Cotoh Tetukalah suku tegah barisa aritmetika jika suku pertamaya 3, bedaya 4, da bayakya suku 29! Jawab: a = 3; b = 4 ;da = 29 U t = 2 1 (a + U ) U t = 2 1 [a + {a + ( -1) b}] U t = 2 1 (2a + ( -1) b) U t = 2 1 {2(3) + (29-1) 4}

37 = 2 1 ( ) = 2 1 (6+112) = 59 Jadi, suku tegahya adalah Rumus jumlah suku pertama Jika suku pertama dari barisa aritmetika dijumlahka da diyataka dega S, maka: S =U 1 +U U -2 +U -1 +U atau S =U +U -1 +U U 2 +U 1 Sehigga S = U +U -1 +U U 2 +U 1 S = U 1 +U U -2 +U -1 +U + 2S=(U 1 +U ) + (U 1 +U ) (U 1 +U ) 2S = (U l + U ) S = 2 (Ul + U ) atau S = 2 (a+u ) karea U = a + ( - 1)b, maka:

38 S= 2 [a+a+(-1)b] S = 2 [2a + ( -1)b] Cotoh Hituglah jumlah deret aritmetika berikut ii! a sampai6Osuku b sampai 20 suku Jawab: a U 60 a = 1, b = 2, da = 60 S = 2 [2a + ( - 1)b] 60 = [2(1) + (60-1) 2] 2 60 = [2 + (59) 2] 2 = 30 [ ] = 3600 b U 20 a = 8, b = 3, da = 20 S = 2 [2a + ( -1)b] 20 = [2(8) + (20-1) 3] 2

39 = 10 f16+(19)3] = 10 (73) = 730 Deret aritmetika Pegertia deret aritmetika, suku, da beda Dalam suatu barisa bilaga, jika suku-suku dari barisa bilaga itu dijumlahka, maka pejumlaha berturut-turut dari suku barisa itu disebut deret. Cotoh: No Barisa bilaga deret 1 1, 2, 3, 4, 5, ,4,6,7,8,10, ,4,7,10,13, , 6, 12, 24, 48, , 4, 9,16,25,36, Pada barisa bilaga, tiap tiap bilaga yag terdapat pada barisa bilaga disebut suku. Hal ii juga berlaku utuk deret, yaitu setiap bilaga pada suatu deret disebut suku. Pada deret , maka: Suku ke-1= 1, ditulis U 1 =1, Suku ke-2= 5, ditulis U 2 =5,dst Barisa bilaga diyataka dega U 1,U 2,U 3,...,U. da deret yag bersesuaia dega barisa bilaga itu diyataka dega U 1 +U 2 + U U. Pada suatu deret, jika hasil dari U 2 -U 1,U 3 -U 2,U 4 -U 3 atau U -U -1 selalu tetap atau selalu sama, maka deret tersebut disebut deret aritmetika atau deret hitug. Bilaga yag selalu tetap itu disebut beda.

40 Deret aritmetika atau deret hitug adalah deret yag mempuyai beda yag tetap atau U -U -1 selalu tetap. Betuk umum dari deret aritmetika atau deret hitug adalah U 1 +U 2 + U U. Cotoh: Selidikilah bahwa adalah deret aritmetika Jawab: U 1 =2,U 2 =5,U 3 =8,U 4 =11,U 5 =14 U 2 -U 1 =5-2=3 U 3 -U 2 =8-5=3 U 4 -U 3 =11-8=3 U 5 -U 4 =14-11=3 Karea bedaya selalu tetap yaitu 3, maka adalah aritmetika deret Deret aritmetika aik da turu. Suatu deret aritmetika yag mempuyai beda lebih dari ol atau positif disebut aritmetika aik, sedagka deret aritmetika yag mempuyai beda kurag dari ol atau egatif disebut deret aritmetika turu. Cotoh: Tetuka jeis deret aritmetika berikut, aik atau turu! Jawab: U 2 -U 1 =7-5=2 U 3 -U 2 =9-7=2 U 4 -U 3 =11-9=2

41 Karea beda adalah 2 maka adalah aritmetika aik U 2 -U 1 =7-10=-3 U 3 -U 2 =4-7=-3 U 4 -U 3 =1-4=-3 Karea beda adalah -3 maka adalah aritmetika turu Rumus suku ke- deret aritmetika Dalam deret aritmetika U 1 +U 2 + U U. Dega beda b ditetuka : U 2 = U 1 + b = U 1 + b = U 1 + (2-1)b maka dapat U 3 = U 1 + b + b = U 1 + 2b = U 1 + (3-1)b U 4 = U 1 + b + b + b = U 1 + 3b = U 1 + (4-1)b ` U 5 = U 1 + b + b + b + b = U 1 + 4b = U 1 + (5-1)b U = U 1 + (-1)b Rumus suku ke- utuk deret aritmetika adalah U = U 1 + (-1)b U = suku ke- =bayakya suku U 1 = suku pertama b=beda Cotoh: Dalam deret aritmetika diketahui U 1 =5 da U 7 =29.tetuka besar bedaya! Jawab: U 1 =5 da U 7 =29, =7 U = U 1 + (-1)b

42 U 7 = 5 + (7-1)b 29= 5 + (7-1)b 29-5=(7-1)b 24=6b b=4 Jadi beda deret itu = 4 Sisipa dari deret aritmetika Di atara dua bilaga yata x da y dapat disisipka beberapa buah bilaga sehigga bilaga mula-mula dega bilaga yag disisipka membetuk deret aritmetika. Karea membetuk deret aritmetika, maka perlu diketahui besarya beda dalam deret tersebut. Misal beda dalam deret baru itu adalah b 1 da bayakya bilaga yag disisipka k buah bilaga, maka dapat ditulis deret aritmetikaya sebagai berikut: X + (x + b 1 )( x + 2b 2 ) (x + kb 1 ) + y b 1 =y- (x + kb 1 ) b 1 =y- (x + kb 1 ) b 1 + kb 1 = y x b 1 (1 + k)=y x b y x 1 = k 1 Jadi besarya beda dalam deret aritmetika yag didapat dega meyisipka k buah bilaga di atara dua bilaga x da y dapat ditetuka dega rumus sebagai berikut. Besar beda yag baru dari deret yag telah medapat sisipa adalah : y x b b 1 = atau b 1 = k 1 k 1 b = beda dari dua bilaga mula-mula yaitu x da y k = bayak bilaga yag disisipka

43 Suku tegah Suku tegah suatu deret aritmetika adalah suku yag terletak di tegahtegah atara suku pertama da terakhir. Jika suatu deret aritmetika ditetuka dega U 1 +U 2 + U U maka sebagai suku tegahya adalah U t dega : U t = U1 U 2 Suku tegah dari suatu deret aritmetika adalah : U t = U1 U 2 Rumus jumlah suku pertama Jika suku pertama dari deret aritmetika diyataka dega S,maka : S = U 1 +U 2 + U U U 2 = U 1 + b U 3 = U 1 +2b U -1 = U - b U -2 = U - 2b Jadi S = U 1 + (U 1 + b) + (U 1 +2b)+...+( U -b)+( U -2b)+(U ) Jika uruta suku-suku pada pejumlaha di atas dibalik urutaya maka susuaya mejadi S = U + ( U -b)+ ( U -2b) (U 1 + b) +(U 1 +2b) +( U 1 ) S = U 1 + (U 1 + b) + (U 1 +2b)+...+( U -b)+( U -2b)+(U ) S = U + ( U -b)+ ( U -2b) (U 1 + b) +(U 1 +2b) +( U 1 ) 2S = (U 1 +U 2 )+(U 1 +U )+(U 1 +U )+...+ (U 1 +U 2 )+(U 1 +U )+(U 1 +U ) pejumlaha berulag dari (U 1 +U 2 ) sebayak suku maka 2S = (U 1 +U 2 ) S = (U 1 +U 2 ):2

44 S = 2 1 (U1 +U 2 ) Atau S = 2 1 (U1 +U 1 +(-1)b Rumus jumlah suku pertama dari deret aritmetika adalah: S = 2 1 (U1 +U 2 ) Atau S = 2 1 (U1 +U 1 +(-1)b) c. Ragkuma Kegiata Belajar 3 1. Deret aritmetika atau deret hitug adalah deret yag mempuyai beda yag tetap atau U -U -1 selalu tetap. 2. Suatu barisa u 1, u2, u3,..., u disebut barisa aritmetika jika utuk sebarag ilai berlaku hubuga: u u 1 b, dega b adalah suatu tetapa (kostata) yag tidak tergatug pada. 3. Jika Rumus suku ke- barisa aritmetika adalah: U = a + (-1)b U = suku ke- a = suku pertama b = beda 4. Rumus suku tegah dari barisa aritmetika adalah: Ut = 2 1 (a + U ) 5. Rumus jumlah suku pertama S = 2 (a+u )

45 Ut = 2 1 (a + U ) 6. Betuk umum dari deret aritmetika atau deret hitug adalah U 1 +U 2 + U U. 7. Suatu deret aritmetika yag mempuyai beda lebih dari ol atau positif disebut aritmetika aik, sedagka deret aritmetika yag mempuyai beda kurag dari ol atau egatif disebut deret aritmetika turu. 8. Rumus suku ke- utuk deret aritmetika adalah U = U 1 + (-1)b 9. Besar beda yag baru dari deret yag telah medapat sisipa adalah y x b 1 = k 1 b atau b 1 = k 1 10.Suku tegah dari suatu deret aritmetika adalah U t = U1 U Rumus jumlah suku pertama dari deret aritmetika adalah: S = 2 1 (U1 +U 2 ) Atau S = 2 1 (U1 +U 1 +(-1)b) d. Tugas Kegiata Belajar 3 Diskusika soal-soal LKS tetag kosep barisa da deret, utuk dipresetasika. d. Tes Formatif 1. Jelaska pegertia barisa aritmetika! 2. Tetuka suku pertama, beda, da suku ke-6 dari barisa aritmetika 4, 1, -2, -5, Suku ketiga suatu barisa aritmetika sama dega 11, sedagka suku kesepuluh sama dega carilah suku pertama da beda barisa itu 5. carilah rumus suku ke-

46 6. Diketahui barisa aritmetika 3, 5, 7, 9,..., 95. bayak suku pada barisa itu adalah gajil. a. carilah suku tegahya b. suku ke berapakah suku tegahya itu c. berapakah bayak suku barisa itu? Hituglah suku kesembila dari barisa :,,,? Berapakah suku ke- dari barisa bilaga : U 3, U 4, U 5, U 6...dega b = U 4 - U 3 = U 5 - U 4 = U 6 - U 5? 9. Tuliska rumus suku ke- dari barisa 5, 10, 20, 40, 80, Pada suatu deret aritmetika diketahui S = 5 +. Tetuka ilai U 11.Tetuka jumlah deret dari Pada suatu deret aritmetika diketahui S = Jumlah suku pertama suatu deret aritmetika adalah 120, da jumlah 3 suku pertama adalah 30. Tetuka beda deret tersebut. Cocokka hasil ulaga Ada dega kuci jawaba yag tersedia di halama belakag Modul ii. Hitug skor yag Ada peroleh. Kerjaka sara-sara yag sesuai dega skor yag Ada peroleh. Igat!!! Jaga melihat kuci sebelum Ada selesai megerjaka. Bobot soal ditetuka sebagai berikut! Nomor soal Bobot Keteraga 1, 2, 3, 4, 5, 6 da Skor Maksimal = 20

47 f. LKS 1 Lembar Kerja Siswa (LKS) Nama : Taggal : Materi Pokok : Barisa da deret Alokasi Waktu : 15 Meit 1. Suatu deret aritmetika memiliki U = Tetuka rumus S 2. Suatu deret aritmetika memiliki U = D + E, di maa D da E adalah kostata.. Tetuka rumus S 3. Perhatika kelompok kelompok bilaga berikut ii ; (1), (2, 3, 4, 5, 6), (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15),... Tetuka : a) Suku tegah kelompok ke-70 b) Jumlah bilaga bilaga pada kelompok

48 h. Tigkat Peguasaa Rumus : Tigkat Peguasaa = jumlah skor yag diperoleh 100% 20 Sara-sara yag harus Ada lakuka, sesuai dega tigkat peguasaa yag telah Ada capai sebagai berikut : 1. > 80 % Bagus! pertahaka prestasi yag telah Ada capai da Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar % Ada masih perlu membaca kembali teks sub kompetesi ii dega lebih seksama, terutama bagia yag belum Ada kuasai 3. < 60 % Ada belum belajar bersugguh-sugguh, Ada harus megejar ketiggala da bertayalah pada guru mata pelajara tetag kesulita Ada

49 1. Kegiata belajar 4 : Meetuka rumus suku ke- da rumus jumlah suku ke deret geometri Barisa da Deret Sub Kompetesi 1 Pegertia Barisa bilaga da meetuka suku ke- suatu barisa bilaga Sub Kompetesi 2 Notasi Sigma Sub Kompetesi 3 Meetuka rumus suku ke- da rumus jumlah suku ke deret aritmetika ANDA BERADA DI SINI Sub Kompetesi 4 Meetuka rumus suku ke da rumus jumlah suku ke deret geometri

50 a. Tujua Kegiata Belajar 4 Setelah mempelajari uraia kegiata belajar ii, Ada diharapka : 1. Dapat meetuka rumus suku ke- deret geometri 2. Dapat meetuka rumus jumlah suku ke- deret geometri b. Uraia Materi 1. Pegertia barisa geometri Sebuah barisa bilaga U 1, U 2, U 3,..., U disebut barisa geometri jika berlaku: U U 2 1 U U 3 2 U U 4 3 U U 1 Kostata Kostata itu disebut ratio, diyataka dega r, dirumuska sebagai: r = U U 1 Cotoh Tetuka rasio dari barisa geometri berikut ii! a. 3, 9, 27, 81,... b. 2, 8, 32,128,... c. 100, 50, 25, ,... d ,,,, e. 16, -8, 4, -2,... Jawab: a. r = b. r = c. r = d. r =

51 e. r = Rumus Suku ke Pada barisa geometri U 1, U 2, U 3,..., U, jika U 1 = a maka berlaku: U 2 r U 2 = U 1 r = ar U1 U3 r U 3 = U 2 r = ar 2 U2 U4 r U 4 = U 3 r = ar 3 U3 U r U = U -1 r = ar -1 U 1 Dari uraia di atas, didapat betuk barisa geometri: a, ar, ar 2, ar 3,..., ar -1 Suku ke- barisa geometriya adalah: U = ar -1 Cotoh Tetuka rumus suku ke- dari barisa geometri berikut iil a. 2, 4, 8, 16, b. 3,,,, Jawab: a. Barisa geometri 2, 4, 8, 16,... U 1 = a = r = =2 2 4 U = ar -1 = = 2 Jadi, suku ke--ya adalah U = 2. b. Barisa 3, U 1 = a = 3 3, 2 3, 4 3,... 8

52 3 r = 2 1 = 3 2 U = ar = 3 2 Cotoh Tetuka suku yag ditayaka dari barisa geometri berikut ii! a. 1, 2, 4, 8,... suku ke-20 1 b. 1,, 2 1, 4 1,... suku ke-8 8 Jawab: a. a = l, r = 2, da = 20 U = ar -1 U 20 = = b. a = 1, r = 2 1,da = 8 U = ar -1 U 8 = = = 128 Cotoh Diketahui suku ke-3 barisa geometri adalah 36 da suku ke-5-ya adalah 81. Tetuka suku pertama da rasioya! Jawab: U 5 = ar 4 = 81 U 3 = ar 2 = 36 : r 2 = 4 9 r = 2 3 ar 2 = 36 9 a = a = 36 9 a =16

53 Jadi, suku pertamaya 16 da rasioya 2 3. Dalam bisis da maajeme, barisa geometri serig diguaka utuk mempermudah perhituga pertambaha da peyusuta. Misal uag sebesar M o disimpa di Bak dega buga majemuk P % per tahu. Pada akhir tahu pertama: P P M 1 = M o + Mo =M o (1+ ) Pada akliir tahu kedua: P P P M 2 = M 1 + M1 =M 1 (1+ ) P P = M o (1+ )(1+ ) P = M o (1+ ) Dega cara yag sama, diperoleh bahwa pada akhir tahu ke- uag tersebut mej adi: P M = M o (1+ ) 100 Cotoh Uag sebesar Rp ,00 disimpa di Bak selama eam tahu dega suku buga majemuk 15% per tahu. Hituglah jumlah uag setelah akhir tahu keeam! Jawab: P M = M o (1+ ) 100 M6 = (1 + 0,15) 6 = (1,15) 6 = (2,3131) = ,00 Jadi, setelah 6 tahu uag tersebut mej adi Rp , Rumus Jumlah Suku pertama deret geometri Jika U 1 + U 2 + U U dega U 1 = a da rasio = r, maka jumlah suku pertamaya adalah S. 2 1 S = a + ar + ar 2 + ar ar -1 rs = ar + ar 2 + ar ar -1 + ar S rs = a ar S (1-r)=a(1-r )

54 a(1 r ) S = da r 1 1 r sehigga dapat dirumuska: a(1 r ) S =, r < 1 1 r a(r 1) S =, r > 1 r 1 Cotoh Hituglah jumlah 10 suku yag pertama dari deret geometri Jawab: a = 2, r = 2, da = l0 a(r 1) S = r 1 2(2 10 1) S 10 = 2 1 = 2(1023) = 2046 Cotoh Diketahui deret geometri Jika jumlah deret tersebut 1.092, berapakah? Jawab: a = 3, r = 3, da S = a(r 1) S = r 1 3(3 1) 1.092= =3(3-1) 728=3-1 3 = 729 = 6 Jadi, bayakya suku adalah 6. Cotoh Hituglah jumlah sampai 8 suku dari deret geometri Jawab:

55 a= 16, r = 2 1, da =8 a(1 r ) S = 1 r 1 16(1 ) 8 S 8 = (1 ) = = = 31,875 Jadi, jumlah sampai 8 sukuya adalah 31,875. Cotoh Pak Rizal setiap awal bula meabug di bak sebesar Rp ,00. Jika bak memberika suku buga sebesar 1% per bula da bugaya setiap akhir bula ditambahka pada tabugaya, berapa uag Pak Rizal pada akhir tahu kedua jika ia tidak perah megambil tabugaya? Jawab: Faktor pertumbuha 1 + 1% = 1,01 Tabuga bula pertama mejadi M 24 = M o x 1,01 24 Tabuga bula kedua, M 23 = Mo x 1,01 23 Tabuga bula ke-24, M 1 = M o x 1,01 Ii merupaka deret geometri dega: a = Mo x 1,01 = (1,01) = = 24 sehigga: a(r 1) S = r ( S 24 = = ,34 1)

56 Jadi, pada akhir tahu kedua jumlah tabuga Pak Rizal mejadi Rp , Suku tegah (U t ) barisa geometri Suku tegah pada barisa geometri terjadi jika jumlah sukuya gajil. Rumus suku tegahya adalah: U t = a.u Bukti: Barisa geometri a, U t, da U. Pada barisa geometri tersebut, tetuya memeuhi sifat: U t U a U U t = t a.u Cotoh Diketahui baris geometri 2, 4, 8, , tetuka suku tegahya! Jawab: a = 2, r = 2 da U = 512 U t = a.u Ut = = 2.2 = ± 2 5 = 32 (rasioya positif) Jadi, suku tegahya adalah Rumus Deret geometri tak higga Di atas telah kita bahas bahwa jumlah suku deret geometri diyataka dega: a(1 r ) S =, r < 1 1 r da a(r 1) S =, r > 1 r 1 Sekarag marilah kita perhatika deret geometri di bawah ii! 1) ) )

57 4) Pada 1) da 2), ilai suku-sukuya semaki besar karea r > 1 disebut diverge. Pada 3) da 4) ilai suku-sukuya semaki kecil karea r < 1 atau -1 < r < 1. Deret geometri yag suku-sukuya semaki kecil da bayak sukuya tak berhigga disebut deret geometri turu tak berhigga (deret koverge). Pada deret koverge, jumlah seluruh suku-sukuya tidak aka melebihi suatu harga tertetu, walaupu bayak suku-sukuya terus ditambah sampai tak terhigga. Harga tertetu itu disebut jumlah tak higga (S ~ ). Sekarag marilah kita babas deret geometri yag rasioya -1 < r < 1 atau r < 1. Jika meuju bilaga yag cukup besar maka r medekati ol, ditulis ~ maka r 0 atau l im r = 0 sehigga: S ~ = l im = = = S ~ l im ~ l im ~ a 1 r S ~ = ~ a(1 r ) 1 r a ar -l im 1 r ~ 1 r ar -l im ~ 1 r a 1 r Cotoh Hituglah jumlah sampai tak higga deret berikut ii! a b c Jawab: 1 a. a= 1 da r= 2 Jadi, S ~ = a 1 r = 1 =

58 b. a= 1, da r = 3 1 Jadi, S ~ = a 1 r = c. a=1 da r = 4. Jadi, S ~ = diverge 1 3 = Cotoh Sebuah bola teis dijatuhka dari tempat yag tiggiya 1 meter. Setiap kali setelah bola itu mematul, ia mecapai ketiggia yag sama dega dua pertiga yag dicapai sebelum pematula terakhir. Berapakah pajag litasa bola sampai terakhir? Jawab: m m m a= ; r =, maka: 3 3 m da seterusya. 2 2 a S ~ = = 3 = 3 =2 1 r Jarak tempuh = S ~ = 1 + 2(2) = 5 meter. Deret geometri Suatu deret yag memiliki rasio (perbadiga) yag tetap atau hasil dari U 2, 3 U1 U 2 ukur. U U, 4 U,..., selalu tetap di sebut deret geometri atau deret U 3 U 1

59 Deret geometri aik da turu Suatu deret geometri yag ilai suku berikutya lebih dari ilai suku sebelumya, Atau U +1 > U disebut deret geometri aik, sedagka jika ilai suku berikutya kurag dari ilai suku sebelumya atau U +1 < U disebut deret geometri turu. Rumus suku ke pada deret geometri Dalam deret geometri U 1 +U 2 + U U dega rasio r dapat diperoleh hubuga- hubuga berikut ii U 2 = U 1 +r = U 1 +r 2-1 U 3 = U 1 +r 2 = U 1 +r 3-1 U 4 = U 1 +r 3 = U 1 +r 4-1 U 5 = U 1 +r 4 = U 1 +r 5-1 U = U 1 +r -1 Berdasarka uraia di atas,maka diperoleh rumus suku ke utuk deret geometri berikut ii: Rumus suku ke suatu deret geometri adalah: U = U 1 +r -1 U = suku ke U 1 = suku pertama = bayak suku r = rasio Suku tegah pada deret geometri Dalam deret geometri, agar terdapat suku tegah, maka bayak suku pada deret tersebut harus gajil. Selajutya perhatika hubuga atara suku tegah dega suku pada deret geometri berikut ii.

60 1.Pada deret U 1 +U 2 +U 3,suku tegahya adalah U 2 U 2 = U 1 r = U 2 1 r 2 = U... 1 x U 1 r 2 = U... 1 x U 3 2. Pada deret U 1 +U 2 +U 3 +U 4 +U 5,suku tegahya adalah U 2 U 2 =U 1 r 2 =... U 2 1 r 4 = U... 1 x U 1 r 4 = U... 1 x U 5 3. Pada deret U 1 +U 2 +U 3 +U 4 +U 5,suku tegahya adalah U 2 U... 2 =U 1 r 3 = U 2 1 r 6 = U... 1 x U 1 r 6 = U... 1 x U 7 dari hasil di atas, teryata suku tegah dari deret geometri adalah akar dari hasil kali pertama da suku terakhir. Rumus suku tegah utuk deret geometri adalah: U t = U 1 U. Sisipa pada deret geometri Di atara dua suku yag beruruta dalam deret geometri dapat disisipka beberapa buah bilaga. Bilaga-bilaga semula da bilaga yag disisipka aka membetuk deret geometri yag baru. Utuk megetahui hubuga atara rasio yag baru dega bayak bilaga yag disisipka, Perhatika rumus berikut ii. Rasio deret geometri setelah disisipka beberapa buah bilaga adalah: r 1 = k 1 x da y adalah dua suku mula-mula y x

61 y Jika k merupaka bilaga gajil, maka r 1 =± k 1 x Jumlah suku pertama deret geometri Betuk umum deret geometri adalah: U 1 +U 2 + U U Jika S merupaka hasil pejumlaha deret geometri maka: S = U 1 +U 2 + U U S = U 1 +U 2 + U U S = U 1 + (U 1 r) + (U 1 r 2 )+...+( U 1 r -1 )...(1) Persamaa satu dikalika dega r, maka: r S = (U 1 r) + (U 1 r 2 )+...+( U 1 r -1 )+( U 1 r ) S = U 1 + (U 1 r) + (U 1 r 2 )+...+( U 1 r -1 ) r S - S = -U 1 r S - S = U 1 r -U 1 (r-1) S = U 1 r -U 1 S = U 1 r -U 1 : (r-1) Rumus jumlah suku pertama utuk deret geometri S = U 1 r -U 1 : (r-1) Latiha : 1. Tetuka rumus suku ke- dari deret geometri : 4, 8, 16, 32, 64, Sebuah barisa geometri memiliki U = Tetuka rasioya Jika 3 bilaga a, b, c membetuk barisa geometri, maka... a b b c 4. Dari deret geometri diketahui U 4 x U 6 = P da U 2 x U 8 = P 1, maka ilai U 1 =...

62 c. Ragkuma Kegiata Belajar 4 1. Suatu deret yag memiliki rasio (perbadiga) yag tetap atau hasil dari U 2, 3 U1 U 2 U U, 4 U,... U 3 U 1, selalu tetap di sebut deret geometri atau deret ukur. 2. Rumus suku ke suatu deret geometri adalah U = U 1 +r Rumus suku tegah utuk deret geometri adalah U t = U 1 U. 4. Rasio deret geometri setelah disisipka beberapa buah bilaga adalah: r 1 = k 1 y, di maa x da y adalah dua suku mula-mula x 5. Jika k merupaka bilaga gajil, maka r 1 =± k 1 6. Rumus jumlah suku pertama utuk deret geometri : y x S = U 1 r -U 1 : (r-1) d. Tugas Kegiata Belajar 4 Diskusika soal-soal LKS tetag kosep turua, utuk dipresetasika. e. Tes Formatif 1. Jika suku pertama deret geometri adalah 3 m dega m > 0 sedag suku ke-5 adalah m 2, maka suku ke-21 adalah Tiga bilaga membetuk barisa geometri dega rasio 3. Jika suku kedua ditambah 8, maka terbetuk sebuah barisa aritmetika. Tuliska ketiga bilaga tersebut. 3. Sebuah barisa geometri memiliki U = tuliska tiga suku pertama barisa itu. 4. Sebuah deret geometri memiliki S = Aq + B. Jika A da B adalah kostata, tetuka rumus U

63 5. Sebuah deret geometri memiliki S = Aq + B. Jika A da B adalah kostata, tetuka rasioya 6. Sebuah deret geometri memiliki S = Tetuka rasioya. 7. Pada sebuah deret geometri di ketahui : U 2 + U 4 + U 6 = 9 U 1 + U 3 + U 5 = 7 Tetuka ilai dari U 2 Cocokka hasil ulaga Ada dega kuci jawaba yag tersedia di halama belakag Modul ii. Hitug skor yag Ada peroleh. Kerjaka sara-sara yag sesuai dega skor yag Ada peroleh. Igat!!! Jaga melihat kuci sebelum Ada selesai megerjaka. Bobot soal ditetuka sebagai berikut! Nomor soal Bobot Keteraga 4,5 da 6 2 da 7 1 da Skor Maksimal = 20

64 f. LKS 1 Lembar Kerja Siswa (LKS) Nama : Taggal : Materi Pokok : Barisa da deret Alokasi Waktu : 15 Meit 1. Tetuka jumlah suku pertama dari deret geometri : a) 1, 3, 9, 27,... b) 64, 16, 4, 1,... c) 1, -2, 4, -8, 16, Tetuka rumus suku ke- dari deret geometri : ,...

65 i. Tigkat Peguasaa Rumus : Tigkat Peguasaa = jumlah skor yag diperoleh 100% 20 Sara-sara yag harus Ada lakuka, sesuai dega tigkat peguasaa yag telah Ada capai sebagai berikut : 1. > 80 % Bagus! pertahaka prestasi yag telah Ada capai da Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar selajutya % Ada masih perlu membaca kembali teks sub kompetesi ii dega lebih seksama, terutama bagia yag belum Ada kuasai 3. < 60 % Ada belum belajar bersugguh-sugguh, Ada harus megejar ketiggala da bertayalah pada guru mata pelajara tetag kesulita Ada

66 BAB III EVALUASI Evaluasi Kompetesi (waktu : 2 45 meit) 1. Tetuka suku ke-30 dari barisa aritmetika : 1, 4, 7, 10, 13, 16, Tetuka suku ke-100 dari barisa aritmetika : 5, 11, 17, 23, 29, 35, Tetuka suku ke-50 dari barisa aritmetika : 97, 94, 91, 88, 85, Tetuka bayakya bilaga pada barisa aritmetika : a) 15, 20, 25, 30, 35,...,2005 b) 12, 15, 18, 21, 24,...,2004 c) 24, 28, 32, 36,..., Perhatika barisa aritmetika berikut : 200, 196, 192, 188,...Tetuka bayakya suku yag positif Suku ke- suatu barisa aritmetika diberika oleh rumus U = Tetuka beda barisa tersebut 8. Tetuka jumlah dari deret aritmetika : Tetuka jumlah semua bilaga kelipata 7 atara 100 da 200

67 10.Suatu deret aritmetika memiliki S = Tetuka U 11.Diketahui 3 bilaga,, da membetuk barisa geometri. Maka 4 2 ilai dari Tetuka jumlah dari deret geometri ; (x) + (x + 1) +(x + 3) 13.Tiga bilaga positif membetuk barisa geometri dega rasio 5. Jika suku kedua di tambah 16, maka terbetuk sebuah barisa aritmetika dega beda Pada barisa aritmetika berikut : 1, 6, 11, 16,... Di atara tiap dua suku disisipka 4 suku sehigga terbetuk sebuah barisa aritmetika yag baru. Berapakah beda barisa yag baru itu? 15.Diketahui sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membetuk deret geometri. Tetuka rasioya.

68 SISTEM PENILAIAN Program : IPA Mata Pelajara : Matematika Kompetesi : Megguaka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Alokasi Waktu : 20 Jam Sub Metode Peilaia Total Kompetesi Kode Peilaia Istrume Nilai Nilai K -1 Pemberia Tes Tugas Tes Formatif Uraia Objektif K -2 Pemberia Tes Tugas Tes Formatif Uraia Objektif K -3 Pemberia Tugas Uraia Objektif Tes 3 Tes Formatif -3 Jumlah Ulaga Blok Evaluasi Belajar Satu kompetesi Jumlah N I L A I A K H I R 100

69 BAB IV PENUTUP Sebagai tidak lajut seluruh kegiata belajar dalam Modul Turua ii adalah : 1. Jika hasil evaluasi terhadap peguasaa kompetesi mecapai 75 % atau lebih, maka siswa dapat melajutka ke modul berikutya. 2. Siswa dapat melajutka ke modul berikutya setelah memperoleh rekomedasi dari guru mata pelajara matematika. 3. Peserta didik yag masih belum mecapai peguasaa kompetesi 75 %, maka siswa harus megulag secara keseluruha atau bagiabagia tahap kegiata belajar yag belum dikuasai dega baik. 4. Kemugkia diberikaya pembelajara remedial bagi yag memperoleh ilai yag lebih kecil dari 6, terutama terhadap siswa yag memperoleh ilai teredah. 5. Pegayaa serta akselerasi bagi siswa yag berprestasi juga dimugkika sesuai dega ketersediaa waktu

70 DAFTAR PUSTAKA Willa, Adria Matematika Biligual utuk SMA kelas XII IPA. Badug : Yrama Widya. Cuayah, Cucu Kompetesi Matematika utuk SMA kelas XII IPA. Badug : Yrama Widya. Tim Peyusu Matematika Matematika utuk SMU Kelas 3. Surabaya : Kedag Sari Cholik. M, A Matematika utuk SMA kelas 3. Jakarta : Erlagga Johaes, S.Pd Kompetesi Matematika utuk SMA kelas 3. Jakarta : Yudhistira.