Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

Transkripsi

1 Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: Saat megedarai motor, perahkah kalia megamati speedometer pada motor tersebut? Pada speedometer terdapat agka-agka 0, 0, 40, 60, 80, 00, da 0 yag meujukka kecepata motor saat kalia megedaraiya. Agka-agka ii beruruta mulai dari yag terkecil ke yag terbesar dega pola tertetu sehigga membetuk sebuah barisa aritmetika. Agar kalia lebih memahami tetag barisa aritmetika ii, pelajarilah bab berikut dega baik. Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 09

2 A. Barisa da Deret Aritmetika Niko Setera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0,,, 3,, 0. Setiap bilaga beruruta pada peggaris ii mempuyai jarak yag sama, yaitu cm. Jarak atar bilaga beruruta ii meujukka selisih atarbilaga. Jadi, selisih atara bilaga pertama da kedua adalah 0, selisih atara bilaga kedua da ketiga adalah, da seterusya higga selisih atara bilaga keduapuluh da keduapuluh satuya juga. Bilaga-bilaga beruruta seperti pada peggaris ii memiliki selisih yag sama utuk setiap dua suku berurutaya sehigga membetuk suatu barisa bilaga. Barisa bilaga seperti ii disebut barisa aritmetika dega selisih setiap dua suku berurutaya disebut beda (b). Barisa aritmetika adalah suatu barisa dega selisih (beda) atara dua suku yag beruruta selalu tetap. Betuk umum: U, U, U 3,..., U atau a, (a b), (a b),..., (a ( )b) Pada peggaris yag dimiliki Niko Setera, suku pertamaya 0, ditulis U 0. Adapu suku keduaya, U. Beda atara suku pertama da suku kedua ii adalah U U. Begitu seterusya, sehigga dapat dikataka beda suku ke- dega suku sebelumya adalah U U. Pada barisa aritmetika, berlaku U U b sehigga U U b Jika kalia memulai barisa aritmetika dega suku pertama a da beda b maka kalia medapatka barisa berikut. Mulai dega suku pertama a Jumlahka dega beda b Tuliska jumlahya b b b b a a b a b a 3b... a ( )b U U U 3 U 4 U Tampak bahwa, U a ( )b. 0 0 Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

3 Suku ke- barisa aritmetika adalah U a ( )b di maa U Suku ke- a Suku pertama b beda bayakya suku Cotoh Diketahui barisa 5,, 9, 6,, tetukalah: a. rumus suku ke- b. suku ke-5 Jawab: Selisih dua suku beruruta pada barisa 5,, 9, 6, adalah tetap, yaitu b 7 sehigga barisa bilaga tersebut merupaka barisa aritmetika. a. Rumus suku ke- barisa aritmetika tersebut adalah a ( ) b U 5 ( )(7) b. Suku ke-5 barisa aritmetika tersebut adalah U Jika setiap suku barisa aritmetika dijumlahka, maka diperoleh deret aritmetika. Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisa aritmetika. Betuk umum: U U U 3... U atau a (a b) (a b)... (a ( )b) S a (a b) (a b) (a ( )b) Persamaa Persamaa ii dapat pula ditulis sebagai berikut. S (a ( )b) (a b) (a b) a Persamaa Dega mejumlahka Persamaa da Persamaa, kalia medapatka S a (a b) (a ( )b) Persamaa S (a ( )b) (a ( )b) a Persamaa S a ( )b a ( )b a ( )b Catata Barisa dituliska sebagai berikut. a, a, a 3,..., a Deret dituliska sebagai berikut. a a a 3... a suku Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma

4 S (a ( )b) S (a ( )b) Oleh karea U a ( )b, maka S dapat juga diyataka sebagai berikut. S { a( ) b aa( ) b) au U Rumus jumlah suku pertama deret aritmetika adalah S [a ( )b] atau S (a U ) di maa S Jumlah suku ke- bayakya suku a Suku pertama b Beda U Suku ke- Cotoh. Suku kedua suatu deret aritmetika adalah 5. Jumlah suku keempat da suku keeam adalah 8. Tetukalah suku kesembilaya. Jawab: U 5, berarti a b 5 U 4 U 6 8, berarti: (a 3b) (a 5b) 8 (a b b) (a b 4b) 8 (5 b) (5 4b) 8 0 6b 8 6b 8 b 3 Dega mesubstitusi b 3 ke a b 5, didapat a 3 5 sehigga a. Jadi, suku kesembila deret aritmetika tersebut adalah U Saat diterima bekerja di peerbit Literatur, Meyli membuat kesepakata dega pimpia perusahaa, yaitu ia aka medapat gaji pertama Rp ,00 da aka megalami keaika Rp50.000,00 setiap dua bula. Jika ia mulai bekerja pada bula Juli 004, berapakah gaji yag diterimaya Sumber: Koleksi Peerbit pada bula Desember 005? Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

5 Jawab: Gaji Meyli megikuti pola barisa aritmetika dega suku pertama a Rp ,00 da beda b Rp50.000,00. Juli Agustus 004 September Oktober 004 November Desember 004 November Desember 005 U U U 3 U 9 U 9 a 8b Rp ,00 8 Rp50.000,00 Rp ,00 Jadi, gaji yag diterima Meyli pada bula Desember 005 adalah Rp ,00. Asah Kompetesi. Tetukalah suku yag dicatumka di akhir barisa da juga suku ke- dari setiap barisa berikut! a. 3, 9, 5,, U 3 b. (, 3), (3, ), (8, ),, U 0 c log, log, log 6 8 4,, U 4 d. 3 5,,,, U a. Suku pertama suatu deret aritmetika adalah 3 4, sedagka suku ke-54 adalah Tetukalah jumlah 50 suku pertama deret tersebut! b. Suku kedua suatu deret aritmetika adalah 5, sedagka suku ke-6 adalah 49. Tetukalah jumlah 0 suku pertama deret tersebut! c. Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah 38, sedagka suku ke-7 adalah 66. Tetukalah jumlah suku pertama deret tersebut! 3. Bayak suku suatu deret aritmetika adalah 5. Suku terakhir adalah 47 da jumlah deret 85. Tetukalah suku pertama deret tersebut! 4. Tetukalah jumlah deret berikut! a. Semua bilaga asli yag terletak di atara da 50 da habis dibagi 4 b. Semua bilaga bulat yag terletak di atara da 50 da tidak habis dibagi 3 c. Semua bilaga geap yag terletak di atara da 00 da habis dibagi 3 5. Dalam sebuah permaia, 8 ketag ditempatka pada sebuah garis lurus. Jarak dua ketag yag berdekata 6 meter. Jarak ketag pertama ke kerajag 6 meter. Seorag peserta mulai bergerak dari kerajag, megambil satu ketag sekali ambil da memasukkaya ke dalam kerajag. Tetukalah total jarak yag harus ditempuh peserta tersebut agar dapat meyelesaika permaia! Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 3

6 Ifo Math Tapa megguaka rumus, bagaimaakah cara meetuka jumlah 00 bilaga asli pertama? Caraya adalah sebagai berikut. Misalka, J Kalia juga dapat meuliska, J Sekarag, jumlahka kedua ilai J tersebut. J 3 00 J J J 00 0 J 0.00 J Jadi, jumlah 00 bilaga asli pertama adalah Betuk umum pejumlaha bilaga asli dari sampai : J 3... ( ) J ( ) ( )... J ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) J ( ) J GaMeMath Di balik huruf-huruf yag membetuk kata HITUNG berikut tersembuyi bilaga-bilaga dega pola tertetu. H I T U N G Jika huruf N, G, da T berturut-turut meyembuyika lambag bilaga 396, 48, da 35, tetukalah lambag bilaga yag tersembuyi di balik huruf H, I, da U! B. Barisa da Deret Geometri B.. Barisa Geometri Niko Setera mempuyai selembar kertas. bagia kertas 4 4 Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

7 Ia melipat kertas ii mejadi bagia yag sama besar. Kertas terbagi mejadi bagia yag sama besar Kertas yag sedag terlipat ii, kemudia dilipat dua kembali olehya. Kertas terbagi mejadi 4 bagia yag sama besar Niko Setera terus melipat dua kertas yag sedag terlipat sebelumya. Setelah melipat ii, ia selalu membuka hasil lipata da medapatka kertas tersebut terbagi mejadi bagia sebelumya. Sekarag, perhatika bagia kertas tersebut yag membetuk sebuah barisa bilaga U U U 3 Setiap dua suku beruruta dari barisa bilaga tersebut memiliki U perbadiga yag sama, yaitu U U3 U U. U Tampak bahwa, perbadiga setiap dua suku beruruta pada barisa tersebut selalu tetap. Barisa bilaga seperti ii disebut barisa geometri dega perbadiga setiap dua suku berurutaya diamaka rasio (r). Barisa geometri adalah suatu barisa dega pembadig (rasio) atara dua suku yag beruruta selalu tetap. Betuk umum: U, U, U 3,..., U atau a, ar, ar,..., ar U Pada barisa geometri, berlaku r sehigga U U r U Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 5

8 Jika kalia memulai barisa geometri dega suku pertama a da rasio r maka kalia medapatka barisa berikut. Mulai dega suku pertama a Kalika dega rasio r Tuliska hasil kaliya r r r r a ar ar ar 3... ar U U U 3 U 4 U Cotoh Diketahui barisa 7, 9, 3,,... Tetukalah: a. rumus suku ke- b. suku ke-8 Jawab : Rasio dua suku beruruta pada barisa 7, 9, 3,,... adalah tetap, yaitu r 3 geometri. sehigga barisa bilaga tersebut merupaka barisa a. Rumus suku ke- barisa geometri tersebut adalah U 7 ( (3 ) b. Suku ke-8 barisa geometri tersebut adalah U ) B.. Deret Geometri Jika setiap suku barisa geometri tersebut dijumlahka, maka diperoleh deret geometri. Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisa geometri. Betuk umum: U U U 3... U atau a ar ar... ar 6 6 Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

9 S a ar ar... ar Persamaa Dega megalika kedua ruas persamaa dega r, didapatka persamaa berikut. rs ar ar ar 3... ar Persamaa Sekarag, kuragka persamaa dega persamaa. S rs (a ar ar ar ) (ar ar ar 3 ar ) S ( r) a ar a( r ) S r Rumus jumlah suku pertama deret geometri adalah S a( r ), r r B. 3. Deret Geometri Tak Terhigga Deret geometri tak higga adalah deret geometri dega r <. Jumlah S dari dert geometri tak higga adalah a S lim S r Rumus pada deret geometri berlaku juga utuk tak terhigga. Adapu utuk tak terhigga terdapat dua kasus yag harus kalia perhatika, yaitu: Kasus Jika r, maka r meuju 0. a( 0) a Akibatya, S r r Deret geometri dega r ii disebut deret geometri koverge (memusat). Kasus Jika r atau r, maka utuk, ilai r maki besar. Utuk r, dega gajil didapat r Utuk r, dega geap didapat r Utuk r, didapat r a( ) Akibatya, S r Deret geometri dega r atau r ii disebut deret geometri diverge (memecar). Cotoh. Suatu deret geometri mempuyai suku ke-5 sama dega 64 da suku ke- sama dega 8. Tetukalah jumlah 0 suku pertama da jumlah suku pertama deret geometri tersebut! Jawab: U 8, berarti ar 8 U 5 64, berarti: ar 4 64 Catata Rumus jumlah suku pertama deret geometri. a( r ) S, r r ar ( ) S, r r Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 7

10 ar r r 3 64 r 3 8 Didapat r. Dega mesubstitusi r ke persamaa ar 8, kalia medapatka a 8 sehigga a 4. Jumlah suku pertama deret ii adalah S 4( ) Catata S a r S Sgajil Sgeap Sgajil a r Sgeap ar r r Sgajil Sgeap Jumlah 0 suku pertama deret ii adalah S Tetukalah ilai x agar deret geometri x x x 3 koverge. Jawab: Terlebih dahulu, kalia harus meetuka rasio dari deret tersebut. r x x Agar deret geometri tersebut koverge, haruslah r sehigga x. 3. Niko Setera memotog seutas tali mejadi 5 potog. Pajag kelima potog tali ii membetuk barisa geometri. Jika potoga yag palig pedek cm da potoga yag palig pajag 6 cm, berapakah pajag tali semula? Jawab: Pajag potoga yag palig pedek merupaka U, sedagka pajag potoga yag palig pajag merupaka U 5. Jadi, U cm da U 5 6 cm. Dari U cm, didapat a cm. Dari U 5 6 cm, didapat ar 4 6 cm. Oleh karea a cm, maka r 4 6 cm. Didapat, r 4 8. Jadi, r 3. Pajag tali semula merupaka jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut, yaitu: 5 ( 3 ) ( 43) S 5 4 cm 3 Jadi, pajag tali semula adalah 4 cm. 8 8 Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

11 Asah Kompetesi. Tetukalah suku yag dicatumka di akhir barisa da juga suku ke- dari setiap barisa berikut! a.,,,..., U c.,,,..., U 9 b. 8, 64, 3,..., U d.,,,..., U a a a 6. a. Suku kedua suatu deret geometri adalah 0, suku ke-4 adalah 40, da suku ke- adalah 60. Jika suku-suku deret geometri tersebut merupaka suku-suku positif, tetukalah jumlah suku pertama deret tersebut! b. Suku ke-5 suatu deret geometri adalah da suku ke-8 adalah 96. Tetukalah jumlah 8 suku pertama deret tersebut! c. Suku ke-5 suatu deret adalah geometri x 3 da suku ke-8 adalah x 4. Tetukalah jumlah 6 suku pertama deret tersebut! d. Suku pertama suatu deret geometri adalah x 4, suku ke-3 adalah x a, da suku ke-8 adalah x 5. Tetukalah ilai a da jumlah 0 suku pertama deret tersebut! 3. Tetuka ilai x agar deret geometri berikut koverge. a. (x ) (x ) (x ) c. x 3 4 x.... b. x x.... d. cos x cos x si x cos x si x Jika U meyataka suku ke- barisa geometri, a suku pertama, da r rasio, maka tetuka U U U. 5. Di atara bilaga 7 da 448 disisipka dua bilaga sehigga keempat bilaga tersebut membetuk barisa geometri. Tetuka rasio dari barisa tersebut! 6. Tetuka ilai x agar x Diketahui P 64 log (x ) 64 log (x ) 64 log 3 (x )... Agar P, tetukalah ilai x. Olimpiade Matematika SMU, Tiga orag membagi sebuah apel. Pertama, apel dibagi mejadi empat bagia sehigga setiap orag medapat bagia. Bagia keempat dibagi empat bagia da setiap orag medapat bagia, demikia seterusya. Berapa bagiakah yag didapat oleh mereka masig-masig? Perhatika gambar di sampig! Di dalam segitiga samasisi yag pajag sisiya 0 cm diisi ligkaraligkara yag jumlahya sampai tak higga. Tetukalah luas ligkara seluruhya! Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 9

12 Waktu : 90 meit ASAH KEMAMPUAN. Jika U meyataka suku ke-, S jumlah suku pertama, a suku pertama, da b beda barisa aritmetika, tetukalah: Bobot soal: 0 a. U 3 3U 3U U b. S S S. a. Di atara bilaga 3 da 57 disisipka 8 bilaga sehigga terbetuk barisa aritmetika. Tetukalah beda dari barisa tersebut! b. Di atara bilaga da 6 disisipka 9 bilaga sehigga terbetuk deret aritmetika. Tetukalah jumlah suku-suku deret tersebut! c. Di atara bilaga a da b disisipka 4 bilaga sehigga terbetuk barisa geometri dega rasio. Jika jumlah semua bilaga tersebut 53, tetukalah suku kedua dari barisa tersebut! 3. Tiga bilaga rasioal membetuk barisa aritmetika. Jumlah ketiga bilaga 4 da hasil kaliya.50. Tetukalah bilaga terkecilya! 4. U, U, U 3, U 4, da U 5 adalah 5 suku pertama deret geometri. Jika log U log U log U 3 log U 4 log U 5 5 log 3 da U 4, tetukalah U 5. Olimpiade Matematika SMU, Tiga bilaga merupaka barisa aritmetika. Jika suku tegah dikuragi 5, maka aka terbetuk barisa geometri dega rasio. Tetukalah jumlah barisa aritmetika da barisa geometri yag terbetuk! 6. Pada barisa bilaga 4, x, y, z diketahui tiga suku pertama membetuk barisa geometri da tiga suku terakhir membetuk barisa aritmetika. Tetukalah ilai x y. Olimpiade Matematika SMU, 00 Bobot soal: 0 Bobot soal: 0 Bobot soal: 0 Bobot soal: 0 Bobot soal: 0 C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika Notasi sigma yag dilambagka dega adalah sebuah huruf Yuai yag artiya pejumlaha. Notasi ii diguaka utuk merigkas peulisa pejumlaha betuk pajag dari jumlah suku-suku yag merupaka variabel berideks atau suku-suku suatu deret. 0 0 Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

13 Jika diketahui suatu barisa tak berhigga a, a, a 3,..., a, maka jumlah dari suku pertama barisa tersebut diyataka dega k 3 k a a a a... a k a k Jumlah suatu deret aritmetika da geometri (S ) dapat ditulis dalam otasi sigma, yaitu: Utuk deret aritmetika: Cotoh k 3... k S U U U U U S akbaaba b... ab k Utuk deret geometri: k... k S ar a ar ar ar Tetukalah betuk umum dari setiap deret berikut dega megguaka otasi sigma da hituglah hasil dari pejumlaha deret tersebut! a b ( ) c Jawab: a ) 5. ( Pada otasi sigma ii, disebut batas bawah, sedagka 5 disebut batas atas. Pejumlaha yag ditulis dalam otasi sigma ii merupaka pejumlaha 5 bilaga gajil pertama. b ( ) (k ). k Pada otasi sigma ii, k disebut batas bawah, sedagka disebut batas atas. Pejumlaha yag ditulis dalam otasi sigma ii merupaka pejumlaha bilaga gajil pertama. c k ( )( ). k Pada otasi sigma ii, k disebut batas bawah sedagka disebut batas atas. Pejumlaha yag ditulis dalam otasi sigma ii merupaka pejumlaha bilaga kuadrat pertama. Pada cotoh omor, kalia meyataka bahwa jumlah bilaga gajil pertama adalah. Adapu pada cotoh omor 3, kalia meyataka bahwa jumlah bilaga kuadrat pertama adalah ( )( ). Apakah rumus yag kalia tuliska tersebut bear? Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma

14 Utuk membuktikaya, kalia dapat megguaka iduksi matematika yag telah kalia pelajari di kelas X. Lagkah-lagkah pembuktia tersebut adalah sebagai berikut. a. Buktika rumus tersebut berlaku utuk. b. Misalka rumus tersebut berlaku utuk k, c. Buktikalah bahwa rumus tersebut berlaku juga utuk k. Dega iduksi matematika ii, kalia dapat membuktika cotoh omor da cotoh omor 3. Aka dibuktika ( ) Misalka, P() Utuk, P() Jadi, utuk, rumus berlaku sebab ruas kiri da ruas kaa persamaa meghasilka bilaga yag sama, yaitu. Misalka rumus berlaku utuk k, maka (k ) k Selidiki, apakah rumus berlaku utuk k? Utuk k, pada ruas kiri didapat, (k ) ((k ) ) k k (k ) k Pada ruas kaa persamaa, didapat (k ). Jadi, utuk k, ruas kiri da ruas kaa persamaa meghasilka bilaga yag sama, yaitu (k ). Dega demikia, ( ) berlaku utuk k da utuk k, sehigga dapat diambil kesimpula bahwa ( ) berlaku utuk semua bilaga asli. Sekarag, aka dibuktika ( )( ). Misalka P(). Utuk, pada ruas kiri persamaa P(). Pada ruas kaa didapat 6 ( )( ) 3. 6 Jadi, utuk rumus berlaku, sebab ruas kiri da ruas persamaa meghasilka bilaga yag sama, yaitu. Misalka rumus tersebut berlaku utuk k, maka k k(k )(k ). 6 Selidiki, apakah rumus berlaku utuk k? Utuk k, didapat ruas kiri persamaa, k (k ) k(k )(k ) (k ) 6 k(k )(k ) (k ) k 7k 6 6 (k )(k 7k 6) (k )(k )(k 3) Pada ruas kaa persamaa, juga didapat (k )(k )(k 3). 6 Jadi, utuk k, ruas kiri da ruas kaa persamaa meghasilka bilaga yag sama, yaitu (k )(k )(k 3). Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

15 Dega demikia, ( )( ) berlaku 6 utuk k da utuk k sehigga kalia dapat membuat kesimpula bahwa ( )( ) 6 di maa adalah bilaga asli. Berikut ii adalah sifat-sifat otasi sigma. Jika m da adalah bilaga asli, dega m da c R, maka berlaku:. ak a a a3... a k ak bk ak bk km km km cak c ak km km p ak ak p km kmp c m c km p ak ak ak km kp km m ak 0 km ak bk a k ak bk bk km km km km 8. Asah Kompetesi 3. Tetukalah betuk otasi sigma dari setiap deret berikut! a b c d e Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 3

16 . Nyatakalah betuk otasi sigma berikut dalam betuk deret! 6 5 a. c. 4 b. d Tetukalah betuk otasi sigma dari pejumlaha berikut! a. x x y x y... xy y b. y y y 3... y 0 c. a a b a b... ab b 4. Buktikalah! a b c. (a 0 ) (a ) (a )... (a ) 4 a D. Aplikasi Barisa da Deret Barisa da deret bayak diguaka dalam bidag ekoomi seperti perbaka, perdagaga, da lai sebagaiya. Lebih jelasya, perhatika cotoh berikut ii. Cotoh. Ria meaam modal sebesar Rp ,00 dega buga majemuk 5%. Berapakah besar modal setelah tahu? Jawab: Misalka M adalah modal awal, b adalah buga setiap tahu, adalah periode, da M adalah modal setelah ditambah buga majemuk. M Rp ,00 b 5% 0,05 M M( b) ( 0,05) (,05) Jadi, setelah tahu modalya mejadi Rp ,00.. Wagima membeli sebuah komputer seharga Rp ,00. Setiap satu bula kerja terjadi peyusuta sebesar 0% dari harga beli. Berapakah harga jual komputer tersebut pada akhir 9 bula kerja? 4 4 Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

17 Jawab: Misalka M adalah harga beli, p adalah peyusuta, adalah periode, da M adalah modal setelah ditambah harga majemuk. M Rp ,00 p 0 9 Harga komputer pada akhir periode adalah M M p 00 Maka harga jual komputer pada akhir 9 bula kerja adalah ( 0,) (0,9) , Jadi, harga jual komputer setelah 9 bula kerja adalah Rp.6.000,00. Asah Kompetesi 4. Pada setiap awal tahu Wisu meaamka modalya sebesar Rp ,00 dega buga majemuk 6% per tahu. Hituglah jumlah seluruh modal Wisu setelah 3 tahu!. Makmur membeli sebuah motor dega harga Rp ,00. Setiap tahu diperkiraka meyusut 5%. Tetukalah harga jual motor tersebut setelah tahu! Waktu : 90 meit ASAH KEMAMPUAN. Tuliska pejumlaha berikut dega otasi sigma. Kemudia, tetukalah hasil pejumlahaya a b c. Olimpiade Matematika SMU, 00 Bobot soal: 0 Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 5

18 d Olimpiade Matematika SMU, e Olimpiade Matematika SMU, 00. Tetukalah hasil pejumlaha yag dituliska dega otasi sigma berikut! Bobot soal: 0 a. 7 c. 0 k k ( ) e. k0 7 i i3 i ( ) (5 4 ) i b. 5 d. 6 i ( 3 ) i i 3. Buktikalah dega iduksi matematika! a. Utuk semua bilaga asli, berlaku: = b. Utuk semua bilaga asli, berlaku c. Utuk semua bilaga asli, berlaku ( h) h d. Utuk semua bilaga asli, 3 adalah kelipata 3 e. Utuk semua bilaga asli, ( ) ( ) selalu merupaka bilaga bulat 4. Ferdy membuka tabuga di bak pada bula Desember 003 sebesar Rp ,00. Pada bula Jauari 004, Ferdy meabug Rp50.000,00, kemudia pada bula Maret 004 meabug lagi sebesar Rp55.000,00. Pada bula-bula berikutya, Ferdy meabug Rp60.000,00, Rp65.000,00, da seterusya sampai bula Desember 004. Berapakah jumlah seluruh tabuga Ferdy sampai akhir tahu 004? (tidak termasuk buga bak). 5. Sebuah bola dijatuhka dari ketiggia meter. Setiap kali sesudah jatuh megeai latai, bola itu dipatulka lagi da mecapai tiggi 3 4 dari tiggi sebelumya. Tetukalah pajag seluruh jala yag dilalui bola itu sampai berheti! Bobot soal: 30 Bobot soal: 0 Bobot soal: Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

19 Adika igi megambil uag di ATM yag haya meyediaka pecaha uag Rp0.000,00 da Rp50.000,00. Kelipata berapakah uag yag dapat diambil Adika jika ia aka megambil kedua pecaha uag tersebut? Sumber : Matematika Diskrit Sumber: Ragkuma. Barisa adalah bilaga-bilaga yag diurutka meurut suatu atura tertetu. Betuk umum barisa dituliska sebagai berikut. U, U, U 3, U 4,..., U. Deret adalah pejumlaha dari suku-suku suatu barisa. Betuk umum deret dituliska sebagai berikut. U U U 3 U 4... U i U i 3. Barisa arimetika adalah barisa bilaga dega selisih setiap suku dega suku sebelumya selalu sama. Selisih dua suku berurutaya disebut beda (b). Betuk umum suku ke barisa aritmetika dituliska sebagai berikut. di maa U Suku ke a Suku pertama b Beda Bayakya suku U a ( )b 4. Deret aritmetika adalah pejumlaha dari suku-suku suatu barisa aritmetika. Betuk umum jumlah suku pertama deret aritmetika dituliska sebagai berikut. di maa S Jumlah suku ke Bayakya suku a Suku pertama b Beda U Suku ke S ab atau S au Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 7

20 5. Barisa geometri adalah barisa bilaga dega perbadiga setiap suku dega suku sebelumya selalu sama. Perbadiga setiap dua suku berurutaya disebut rasio (r). Betuk umum suku ke barisa geometri dituliska sebagai berikut. di maa U Suku ke a Suku pertama r Rasio Bayakya suku U ar 6. Deret geometri adalah pejumlaha dari suku-suku suatu barisa geometri. Betuk umum jumlah suku pertama deret geometri dituliska sebagai berikut. S a( r ), r r di maa S Jumlah suku ke a Suku pertama r Rasio Bayakya suku 7. Deret geometri tak terhigga terdiri dari dua kasus. Deret geometri koverge (memusat) a Jika r, maka S r Deret geometri diverge (memecar) Jika r atau r, maka S 8. Lagkah-lagkah pembuktia dega iduksi matematika: a. Buktika bahwa rumus berlaku utuk. b. Misalka rumus tersebut berlaku utuk k. c. Buktika bahwa rumus tersebut berlaku utuk k. 8 8 Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

21 Ulaga Bab 5 I. Pilihlah jawaba yag palig tepat!. Jumlah bilaga-bilaga bulat atara 50 da.000 yag habis dibagi 7 adalah.... A D B E C Jumlah tak higga suatu deret geometri adalah 8, da jumlah semua suku pada uruta geap adalah 8. Suku kelima deret 3 tersebut adalah.... A. D. 4 B. E. 5 C Jumlah suku-suku omor gajil suatu deret geometri tak terhigga adalah 4. Rasio deret tersebut adalah. Maka deret tersebut adalah.... A. 3, 3 4, 3 6,.... D ,,, B. 3,,, E ,, 4 6, C.,,, Jumlah suku pertama suatu deret aritmetika adalah S ( ). Suku ke-00 adalah.... A. D. 6 B. 94 E. 3 C. 5. Diketahui deret bilaga Jumlah bilaga dari deret bilaga yag habis dibagi tetapi tidak habis dibagi 5 adalah.... A..380 D B..500 E C Jumlah 0 suku pertama deret a a a log log log 3... x x x adalah.... A. 55 a log x D. a log x 45 B. a a log x E. log x C. 45 a log x 7. U adalah suku ke- suatu deret. Jika suku pertama deret itu 00 da U + U 6 utuk setiap, maka jumlah semua suku deret itu yag positif adalah.... A. 888 D. 864 B. 886 E. 846 C Hasil kali suku kedua da suku keempat dari suatu barisa geometri yag semua sukuya positif adalah 6. Jika jumlah tiga suku pertama adalah 7, maka suku pertamaya adalah.... A. 4 D. B. 3 E. 0 C. 9. Tiga bilaga memberika suatu deret geometri. Jika hasil kaliya adalah 6 da jumlahya adalah 6, maka rasio deret tersebut adalah.... A. atau D. 3 atau 3 B. 8 atau E. 4 atau 4 C. 36 da 0 Bab 5 Barisa, Deret, da Notasi Sigma 9

22 0. Diketahui barisa sepuluh bilaga a, a, a 3,..., a 0 Jika a p 5, a p q, a 3 3p 7, da a a utuk,, 3,..., 9, maka jumlah semua bilaga itu adalah.... A. 40 D. 80 B. 0 E. 60 C. 00 II. Jawablah pertayaa berikut dega jelas da tepat!. Sebuah ayua memiliki pajag tali 60 cm mulai berayu dari posisi terjauh ke keduduka seimbagya sebesar 5 rad. Posisi terjauh yag dicapaiya setiap kali berkurag sebesar 5 posisi dari sebelumya. Tetukalah pajag busur yag dijalai ujug ayua itu sampai berheti peuh! tali keduduka seimbag. Edwi meumpuk bata dalam betuk barisa. Bayakya bata pada baris pertama lebih bayak satu bata dari bayakya bata pada baris di atasya. Tumpuka bata dimulai dari 00 bata pada baris pertama da baris terakhir satu bata. Hituglah jumlah semua bata yag ditumpuk! 3. Berdasarka survei, populasi hewa P bertambah mejadi empat kali lipat setiap 5 tahu. Jika pada tahu 00 populasi hewa P adalah 640 ekor, berapakah populasi hewa tersebut pada tahu 990? 4. Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahu merupaka suatu garis lurus. Jika produksi pada tahu pertama 50 uit da pada tahu ketiga 90, tetukalah produksi tahu ke-0! 5. Riska membeli barag kredit seharga Rp ,00. Ia melakuka pembayara dega diagsur berturut-turut setiap bula sebesar Rp5.000,00, Rp7.000,00, Rp9.000,00, demikia seterusya. Berapa lamakah kredit barag tersebut aka luas? Matematika Aplikasi SMA da MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam