Eigen Mathematics Journal

Transkripsi

1 VOLUME 1 NO 1 JUNI 218 e- ISSN: p-issn: Eige Mathematics Joural Homepage jural: Aalisis Esistesi Iimum Image Dari Fugsi Lower Semi-Cotiuous dari Atas Qurratul Aii a * a PS Matematia FMIPA Uiversitas Mataram, Mataram, 83125, Idoesia qurratulaiiaii@uramacid A B S T A C T I some cases i applied mathematics, the cotiuous uctio is ot used, but rather the weaer uctio, ie lower semicotiuous uctio rom above Oe o the basic properties o the uctio that eeds to be ow is the eistece o the iimum value o the uctio image I the case o a cotiuous uctio, the eistece o iimum is assured by several assumptios, oe o which is the uctio domai which is a closed set ad the uctio is a bouded uctio I this paper, we describe the properties that esure the eistece o iimum o the image o a lower semi-cotiuous uctio rom above Based o the results, it is oud that the eistece o iimum o the image o a lower semi-cotiuous uctio rom above is assured i the domai which is a compact set ad also assured i the uctio is a cove uctio Keywords : ugsi lower semi-cotious dari atas Pedahulua Pada bidag matematia, terutama dalam bidag matematia terapa hususya dalam masalah optimasi tida aa terlepas dari ugsi da siat-siatya Secara umum, dalam masalah optimasi biasaya dideiiia suatu ugsi otiu Siat-siat ugsi otiu dijabara dega jelas dalam materi aalisis real, ruag metri, ruag topologi da beberapa ruag laiya dalam teori matematia Siat-siat ugsi dalam masalah optimasi beraita dega esitesi iimum da supremum image dari ugsi, yag emudia dapat diaita dega solusi dari masalah optimasi tersebut Permasalahaya, teryata dalam beberapa asus tida megguaa ugsi otiu, melaia megguaa ugsi yag lebih lemah yaitu lower semi-cotiuous atau ugsi lower semi-cotiuous dari atas Oleh area ugsi lower semi-cotiuous atau ugsi lower semi-cotiuous dari atas merupaa ugsi yag lebih lemah dari ugsi otiu, maa siat-siat ugsi tersebut juga aa berbeda dega ugsi otiu, termasu siat megeai esistesi iimum image ugsi tersebut Oleh area itu, aa diaalisis siat yag mejami esistesi iimum image dari ugsi lower semi-cotiuous dari atas Fugsi Lower Semi-Cotiuous Sebelum dibahas megeai ugsi lower semi-cotiuous dari atas, perlu dietahui terlebih dahulu megeai deiisi dari ugsi lower semi-cotiuous Beriut diberia deiisi dari epigraph ugsi da ugsi lower semicotiuous, serta hubuga eduaya pada ruag topologis Deiisi 1 Diberia tida osog da : ugsi real Epigraph dari ugsi, ditulis epi( ), adalah himpua dega deiisi sebagai beriut epi( ) = {(, t) : ( ) t} Deiisi 2 Diberia ruag topologis Fugsioal : diataaa lower semi-cotiuous di jia utu setiap et { } dega, berlau : ( ) lim ( ) * Correspodig author : qurratulaiiaii@uramacid

2 EIGEN MATHEMATICS JOUNAL VOL 1 NO 1 JUNI 218 Deiisi 3 Diberia ruag topologis Fugsioal : diataa lower semi-cotiuous pada jia lower semi-cotiuous di setiap Teorema 1 Diberia ruag topologis Fugsioal lower semi-cotiuous pada jia da haya jia epi( ) merupaa himpua tertutup : Buti: epi( ) Aa ditujua merupaa himpua tertutup Ambil sebarag {(, t)} epi( ) dega (, t ) (, t) Karea (, t ) epi( ), maa utu setiap I Karea ugsi lower semi-cotiuous, maa diperoleh: ( ) t ( ) lim ( ) limt = t Aibatya diperoleh Artiya (, t) epi( ) Dega ata lai tertutup Aa ditujua ugsi lower semi-cotiuous pada Adaia tida lower semi-cotiuous pada Artiya terdapat sehigga tida lower semi-cotiuous di, maa terdapat et { } dega, tetapi lim ( ) ( ) Dibetu barisa bilaga real, dega y = ( ) utu setiap I Aibatya barisa terbatas terhadap ( ) y ( ) t epi( ) Meurut Teorema Bolzao Weierstrass, barisa { y } mempuyai barisa bagia yag overge, ataa y overge e y, dega y ( ) Meurut, epi merupaa himpua Aibatya diperoleh Timbul otradisi Pegadaia yag dietahui, erea tertutup, maa y ) epi ( ) ( ) y ( ) y salah Dega demiia terbuti bahwa ugsi lower semi-cotiuous pada Fugsi Lower Semi-Cotiuous dari Atas merupaa Deiisi 5 Diberia ruag topologis Fugsioal : diataa lower semi cotiuous dari atas pada jia lower semi cotiuous dari atas di setiap Teorema 2 Diberia ruag topologis Jia ugsi : merupaa ugsi lower semi-cotiuous pada, maa merupaa ugsi lower semi cotiuous dari atas pada Buti : Dietahui ugsi lower semi-cotiuous pada Aa ditujua ugsi lower semi cotiuous dari atas pada Ambil sebarag et da sedemiia sehigga da ( ) ( ) utu Karea ugsi lower semi-cotiuous pada, maa berlau : Karea berlau : lim lim lim lim maa beraibat : lim Dega ata lai terbuti dari atas pada ugsi lower semi cotiuous Pada Teorema di atas, utu asus sebaliya tida berlau Jadi dapat disimpula bahwa siat lower semi cotiuous dari atas lebih lemah dibadiga siat lower semi-cotiuous Hal tersebut dapat ditujua oleh cotoh peyagal di bawah ii Cotoh 1 Diberia ugsi : dega deiisi sebagai beriut : Beriut diberia deiisi ugsi lower semi-cotiuous dari atas da hubugaya dega ugsi lower semicotiuous Deiisi 4 Diberia ruag topologis Fugsioal : diataa lower semi cotiuous dari atas di jia utu setiap et { } dega da utu, beraibat : ( ) ( ) lim Fugsi di dalam Cotoh 1 lower semi cotiuous dari atas di titi, tetapi tida lower semi-cotiuous di titi 24

3 EIGEN MATHEMATICS JOUNAL VOL 1 NO 1 JUNI 218 Esistesi Iimum Image Fugsi Lower Semi- Cotiuous dari Atas Beriut dijabara siat-siat yag mejami esistesi iimum dari image ugsi lower semi-cotiuous dari atas Esistesi iimum dari ugsi lower semi-cotiuous dari atas terjami jia domai ugsi merupaa himpua ompa da terjami pula apabila ugsi tersebut merupaa ugsi oves Beriut adalah deiisi himpua ompa da deiisi ugsi oves, serta pembutia dari siat-siat tersebut, T Deiisi 6 Diberia ruag topologis diataa ompa jia setiap liput terbua A utu F terdapat liput bagia utu F, yaitu terdapat { A1, A2,, A } A sedemiia sehigga berlau : (i) Himpua F F A i= 1 (ii) uag topologis himpua ompa i (, T) diataa ompa jia { } D sedemiia sehigga utu suatu, serta ( ) ( ) 1 utu da 2 ( ) i ( ) Meurut yag dietahui bahwa D ugsi lower semi cotiuous dari atas, maa diperoleh : D Aibatya diperoleh : Terbuti = ( ) i D Teorema 4 Diberia ruag Baach relesi atas lapaga da : D( ) ugsi proper lower semi cotiuous dari atas da oves Jia lim ( ) =+, maa terdapat dega : D Deiisi 7 Dietahui V ruag vetor atas Diberia himpua A V oves da F : A Fugsi F diataa oves jia utu setiap u, v A, berlau : F( u + (1 ) v) F( u) + (1 ) F( v),,1 Beriut diberia satu cotoh ugsi oves yag disajia dalam Cotoh 2 sebagai beriut Cotoh 2 : 2 (1) Fugsi (2) Fugsi (3) Fugsi ) e (4) Fugsi ( ) 1 iterval (, + ) = merupaa ugsi oves = merupaa ugsi oves = merupaa ugsi oves = merupaa ugsi oves pada Teorema 3 Diberia ruag topologis da D ompa Jia ugsi : D lower semi cotiuous dari atas da terbatas e bawah (bouded rom below) pada D, maa terdapat D sehigga berlau: = ( ) i D Buti : Dietahui D ompa da ugsi terbatas dari bawah (bouded rom below), artiya terdapat barisa Buti : Diambil D( ) utu = 1,2,3,, sedemiia sehigga berlau bahwa : = i D Meurut yag dietahui, area lim =+, maa barisa { } di atas terbatas Oleh area itu, area merupaa ruag Baach relesi, tapa meguragi eumuma, dapat diasumsia bahwa w y Megigat y co{ : } utu = 1,2,3,, maa terdapat barisa bilaga bulat positi { } sedemiia sehigga : da 12 25

4 EIGEN MATHEMATICS JOUNAL VOL 1 NO 1 JUNI 218 y co{,, } i, dimaa 1 i da 2 dega Dari pembetua barisa { } di atas, diperoleh bahwa { ( y )} = 1 merupaa barisa mooto turu Aibatya meurut yag dietahui bahwa merupaa ugsi lower semi-cotiuous atas diperoleh bahwa : ( ) lim ( ) i D( ) y y y y = (41) Sebaliya, area y D i, maa diperoleh bahwa : (42) D( ) = i ( ) D( ) Dari (41) da (42), diperoleh Terbuti Aibat 1 Diberia lapaga ruag Baach relesi atas ugsi proper lower lim =+, sedemia sehigga : da : D( ) semi-cotiuous da oves Jia maa terdapat D = i D Teorema 5 Diberia ruag Baach relesi atas lapaga, M tertututp lemah da ugsi : M { + } lower semi-cotiuous pada M Jia lim ( ) =+, maa terdapat u M sedemiia sehigga berlau : = ( u) u i um Buti : Diambil sebarag barisa { u } M sedemiia sehigga ( u ) i ( u) Karea um lim ( ) =+, barisa terbatas da relesi, maa terdapat barisa bagia { u } { u } w u u u M sedemiia sehigga, utu suatu Karea ugsi lower semi-cotiuous pada M, maa diperoleh bahwa : u u lim u i u Dega ata lai terbuti um Teorema 6 Diberia ruag berorma atas lapaga Jia ugsi : lower semi cotiuous dari atas da oves, maa terdapat g * da b sedemiia sehigga utu setiap, berlau : Buti : Diambil D( ) terdapat r Aa ditujua bahwa sedemiia sehigga berlau : Adaia peryataa di atas tida bear, maa terdapat barisa B (, r) D( ) dega, sedemiia sehigga berlau : 1 2 ( ) lower semi- Berdasara yag dietahui bahwa ugsi cotiuous atas, maa beraibat bahwa : ( ) a Timbul otradisi Artiya, ada sehigga ( ) a + 1 utu setiap B (, r) D( ) Aibatya diperoleh bahwa (, a ) epi ( ) Artiya terdapat sehigga diperoleh l ( ) l a Karea epi ( ) merupaa himpua oves tertutup, maa terdapat g * sedemiia sehigga berlau : l utu setiap diperoleh : g g o Aibatya utu setiap + + g la g l Dega membagi edua ruag dega utu setiap da Jadi, terdapat: l, maa diperoleh : b = g + l a, sedemiia sehigga berlau: ( ) g ( ) + b Dega ata lai terbuti bahwa terdapat g * da berlau b sehigga utu setiap g + b 26

5 EIGEN MATHEMATICS JOUNAL VOL 1 NO 1 JUNI 218 Dari Teorema 6 di atas, dapat diturua aibat sebagai beriut Aibat 2 Diberia ruag berorma atas lapaga Jia ugsi : oves lower semi-cotiuous, maa terdapat da sehigga utu, berlau : setiap g * ( ) g ( ) + b b DAFTA PUSTAKA Brucer, A, M, Brucer, J, B, ad Thomso, B, S, 1997, eal Aalysis, Pretice Hall Ic, Uited States o America Che, Y, Q, ad Cho, Y, J, 24, Noliear Operator Theory I Abstract Spaces Ad Applicatios, Nova Sciece Publishers Ic, New Yor Coway, C, B, 199, A Course i Fuctioal Aalysis, Haderberg Berli Ic, New Yor Eelad, I, ad Temam,, 1976, Cove Aalysis Ad Variatioal Problems, America Alsevier Publishig Compay Ic, New Yor Mures, J,, 2, Topologi, Pretice Hall Ic, Uited States o America 27