RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK"

Transkripsi

1 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika, da IPA Uiversitas Idraprasta Abstrak. Ruag metrik dikataka mempuyai sifat bola tertutupya kompak jika setiap bola tertutup di dalamya merupaka himpua kompak. Dalam tulisa ii aka dibahas da dipelajari ruag metrik yag demikia, khususya masalah kekompaka, kelegkapa da separabel. Disampig itu juga aka dibahas fugsi jarak himpua terhadap titik da himpua dega hipua di dalam ruag metrik yag mempuyai sifat bola tertutupya kekompaka. Kata kuci: Kekompaka, kelegkapa da separabel Abstract. Metric spaces is said to have the properties of a compact closed ball (CCB) if every closed ball i it is a compact set. I this paper will be discussed ad studied i such a metric spaces, especially the compactess, completeess ad separable. Besides that it also covered the set distace fuctio to poit ad the set to the other set i metric spaces that have a compact closed ball. Keywords: compactess, completeess ad separable. PENDAHULUAN Perkembaga ilmu matematika bayak dimafaatka oleh para ilmuwa utuk keperlua pegembaga disipli ilmuya. Pemafaata matematika tidak terbatas pada kalaga matematikawa saja aka tetapi meliputi para ahli di luar bidag matematika, khususya para ahli rekayasa maupu para ahli di bidag aalisis. Cabag matematika teoritis yag cukup petig adalah bidag aalisis, da salah satu pedekata megeai pembahasa aalisis ii adalah megguaka metrik. Pedekata metrik utuk aalisis termasuk yag palig tua dalam matematika muri da sagatlah mearik utuk dibahas lebih medalam. Di dalam suatu ruag metrik sebarag cukup dikeal bahwa setiap himpua bagia yag kompak adalah tertutup da terbatas, aka tetapi utuk kodisi sebalikya belum tetu berlaku. Oleh karea itu perlu dicari suatu ruag metrik yag memeuhi peryataa di atas sehigga utuk kodisi sebalikya juga berlaku, yaitu setiap himpua yag tertutup da terbatas adalah kompak. Dalam hal ii teryata ada ruag metrik yag demikia yaitu ruag metrik dega sifat setiap bola tertutup di dalamya merupaka himpua kompak. Ruag metrik yag demikia oleh Aubi (1977, hal 258) diberi ama ruag bersifat Compact Closed Balls (CCB) da selajutya aka disigkat dega ruag bersifat CCB. Da salah satu cotoh ruag yag bersifat CCB ii adalah ruag Euclides R, dega N. Melalui ruag metrik yag bersifat CCB ii aka dipelajari da dibahas lebih lajut megeai sifat-sifat apa saja yag bisa dituruka dari ruag metrik ii

2 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat TINJAUAN PUSTAKA Metrik da Ruag Metrik Misalka X meyataka sebuah himpua da d: X x X R + sebuah fugsi dari X x X ke himpua bilaga real buka egatif R + yag memeuhi sifat-sifat berikut ii. Utuk semua x, y da z dalam X (i) d(x,y) = 0 jika da haya jika x = y (ii) d(x,y) = d(y,x) (iii) d(x,z) d(x,y) + d(y,z) Selajutya d disebut metrik atau jarak pada pada X, da d(x,y) disebut jarak dari x ke y. Himpua X yag dilegkapi dega metrik d disebut ruag metrik, diyataka (X,d). (Kusrii, Susiswo, 2005) Sekitar da Titik Limit Defiisi 1. Diberika ruag metrik (X,d). Jika p sebarag titik di dalam ruag metrik X, da bilaga r > 0, maka himpua N r (p) = {x X d(p,x)<r} diamaka daerah sekitar (Neighbourhood) titik p dega radius r. Titik p diamaka pusat sekitar N r (p). (Soematri,1993) Secara umum sekitar dalam ruag metrik X adalah himpua B r (p) ={x X d(p,x)< r} yag disebut bola terbuka yag berpusat di p dega radius r>0. Sedagka B r (p)={x X d(p,x) r} disebut bola tertutup dega pusat di p da radius r > 0. (Aubi,1977) Defiisi 2. Diberika (X,d) ruag metrik da E X. Titik p X disebut titik limit dari E jika setiap sekitar titik p memuat palig sedikit satu titik q p da q E atau p = titik limit > 0, p \ p Ε Ø (Soematri,1993) Ν ε Himpua Terbuka da Himpua Tertutup Defiisi 3. Diberika ruag metrik X. Semua titik da himpua yag disebut dalam defiisi berikut adalah titik didalam X da subset dari X. 1. Titik p disebut suatu titik iterior himpua E jika terdapat suatu sekitar dari p yag merupaka subset dari E atau ( p titik iterior E ) ( r> 0)(N r (p) E) 2. Himpua E disebut himpua terbuka jika setiap aggotaya merupaka titik iterior himpua E atau ( E himpua terbuka ) ( p E p titik iterior E ) 3. Himpua E disebut himpua tertutup jika semua titik limitya.termuat di dalam E atau ( E himpua tertutup) ( p titik limit E p E) Himpua semua titik limit himpua E diberika otasi E. Jadi E tertutup E E. (Soematri,1993) Teorema 4. Di dalam sebarag ruag metrik berlaku: E terbuka E c tertutup. ( ) Aka dibuktika jika E terbuka maka E c tertutup. Diketahui E terbuka. Diambil p titik limit E c, maka utuk setiap sekitar N r (p) berlaku (N r (p) \{p}) E c Ø berarti utuk setiap r>0 maka sekitar N r (p) E. Karea E terbuka da N r (p) E, r > 0 maka p E, jadi p E c dega kata lai E c tertutup. ( ) Aka dibuktika jika E c tertutup maka E terbuka. Diketahui E c tertutup. Diambil sembarag titik x E, berarti x E c. Jika x E c da E c tertutup maka x buka titik limit E c. Jadi terdapat r>0 sedemikia higga N r (x) E c = Ø atau N r (x) E. Dega kata lai x adalah titik iterior E. Terbukti E terbuka. Teorema 5. Diberika sembarag himpua A (berhigga atau tak berhigga). Utuk keluarga himpua-himpua terbuka { G a :a A} maka a A G a juga terbuka. Aka dibuktika bahwa sembarag titik x S = a A G a adalah titik iterior S

3 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Diambil sembarag titik x S, tetulah ada a A sehigga x G a. Karea G a terbuka maka ada sekitar N r (x) yag subset G a da tetulah juga subset S. Sehigga didapat utuk sembarag titik x S maka N r (x) S atau x titik iterior S, dega kata lai S terbuka. Teorema 6. Dalam sembarag ruag metrik, setiap sekitar adalah himpua terbuka. Diberika sembarag ruag metrik (X,d), p sembarag titik di dalam X, da N r (p) suatu sekitar dari p. Ambil q N r (p) maka d(p,q) < r. Dimisalka d(p,q) =h <r da ambil t = r-h >0. Dibuat sekitar N r (q), jika x N r (q) maka d(q,x)<t sehigga meurut ketaksamaa segitiga berlaku d(p,x) d(p,q) + d(q,x) < h + (r-h) = r berarti x N r (p). Jadi N r (q) N r (p) atau q titik iterior N r (p),terbukti utuk setiap q N r (p) maka q adalah titik iterior N r (p) dega kata lai N r (p) terbuka. Defiisi 7. Diberika sub-ruag (Y,d) dari ruag metrik (X,d) da E Y maka himpua E disebut terbuka relatif terhadap Y jika utuk setiap titik yag diberika p aggota E, dapat dicari r>0, sehigga utuk semua y Y dega d(p,y)<r maka y E. (Soematri, 1993) Teorema 8. Jika Y sub-ruag dari X da E subset Y, maka E terbuka relatif terhadap Y, jika da haya jika terdapat suatu himpua G yag terbuka terhadap X da E = G Y. ( ) Jika E terbuka relatif terhadap Y maka utuk setiap p E ada r>0 sehigga utuk semua y Y dega d(p,y)<r maka y Y. Kemudia utuk setiap p E dibetuk sekitar N r (p) = {x X: d(p,x)<r}, da G = p E N r (p). Meurut teorema 5 da 6 maka himpua G terbuka terhadap X. Jelas bahwa E G Y. Jika diambil y G Y maka terdapatlah suatu p E da y N r (p), jadi d(p,y)<r yag berarti y E. Karea E G Y da G Y E maka E=G Y ( ) Diadaika terdapat himpua G yag terbuka terhadap X da E = G Y. Jika diambil p E, maka jelas bahwa p G. Karea G terbuka terhadap X, maka terdapat r>0 sehigga utuk semua x X dega d(p,x)<r berakibat titik x G. Karea Y X, maka semua y Y dega d(p,y)<r berlaku y G Y=E. Jadi utuk setiap titik p E terdapat r>0 sehigga y E utuk semua y Y da d(p,y)<r. Terbukti E terbuka relatif terhadap Y. Himpua Terbatas Himpua E dalam ruag metrik X disebut terbatas jika terdapat titik p X da bilaga M > 0 sehigga utuk setiap x E maka jarak d(p,x) M. (Soematri,1993) Barisa Titik di dalam Ruag Metrik Diberika (X,d) ruag metrik. Barisa titik di dalam X adalah suatu fugsi dari N ke dalam X, ditulis f()=x da diotasika dega, N. Barisa dikataka koverge ke x X jika >0 N N sehigga utuk setiap N berlaku d(x, x}< da ditulis x da utuk setiap k N maka disebut sub barisa dari. (Soematri, 1993) Barisa disebut barisa Cauchy jika > 0 N N, m N berlaku d(x, x m ) <. Jika setiap barisa Cauchy di dalam ruag metrik ii koverge maka ruag metrik ii disebut ruag metrik legkap.(soematri, 1993) Teorema 9. Di dalam sebarag ruag metrik, setiap barisa Cauchy adalah terbatas. Dimisalka = 1 maka utuk sembarag barisa Cauchy terdapat bilaga bulat positif N sehigga utuk semua m, N berlaku d(x m, x ) < 1. Diambil m = N maka d(x N, x ) < 1 utuk semua N. Sekarag kita ambil M = maks {d(x N, x 1 ), d(x N, x 2 ),..., d(x N, x N-1 ), 1}. Dega demikia diperoleh hasil bahwa d(x N, x ) M utuk semua N. Jadi terbukti terbatas

4 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Peutup Himpua Defiisi 10. Jika X suatu ruag metrik da E meyataka himpua semua titik limit himpua E, maka peutup himpua (closure set) E diotasika dega adalah himpua E E (Soematri, 1993) Teorema 11. Jika (X,d) sebarag ruag metrik da E X, maka: (i) tertutup (ii) E tertutup =E (i) Utuk membuktika bahwa tertutup, maka harus diperlihatka bahwa ( c terbuka. Diambil x Karea = E E da x berarti x E da x E. Artiya ada N r (x) sekitar dari x, sehigga N r (x) E = Ø. Kemudia di dalam N r (x) tetu tidak ada titik limit E maka N r (x) = Ø sehigga N r (x) ( ) c, berarti ( ) c terbuka. Berdasarka teorema 4 maka tertutup. (ii) ( ) Jika E tertutup maka aka dibuktika bahwa = E Diketahui E tertutup maka E E berarti = E E =E. Jadi ( ) Jika maka aka dibuktika bahwa E tertutup. Meurut (i) tertutup da berarti E tertutup. Defiisi 12. Diberika X ruag metrik da E X. Himpua E dikataka rapat (dese) dalam X jika memeuhi salah satu peryataa dibawah ii: (i) (ii) utuk setiap p X terdapat barisa didalam E yag koverge ke p. (Soematri, 1993) Defiisi 13. X disebut separabel jika ada himpua terbilag D yag dese (rapat) dalam X. (Aubi,1977) Himpua Kompak Defiisi 14. Diberika ruag metrik X da E X. Keluarga semua himpua terbuka {G : A }, A himpua ideks. G disebut selimut terbuka (ope cover) utuk E jika utuk setiap x E, terdapat A sehigga x G da memeuhi E G. Misal G = {G: A} selimut terbuka utuk E, jika G 0 G dega G 0 masih mampu meyelimuti E maka G 0 disebut sub selimut terbuka utuk E. (Soematri,1993) Defiisi 15. Diberika (X,d) ruag metrik da K X. K disebut himpua kompak jika memeuhi salah satu syarat berikut: (i) Setiap selimut terbuka utuk K memuat subselimut berhigga yag masih meyelimuti K. (Soematri,1993) (ii) Setiap barisa tak higga dega x K mempuyai setidakya satu titik limit yag termuat di dalam K. (Aubi, 1977) Teorema 16. Jika K Y da Y sub ruag ruag metrik X, maka K kompak relatif terhadap Y jika da haya jika K kompak relatif terhadap X. ( ) Jika K kompak relatif terhadap Y da {G } sembarag selimut terbuka utuk K terhadap X maka keluarga {V } dega V = G Y merupaka selimut terbuka utuk K terhadap Y. Maka terdapat V 1, V 2,..., V, yag meyelimuti K, sebab K kompak relatif terhadap Y. Dega demikia keluarga berhigga G 1, G 2,..., G, merupaka sub selimut berhigga dari {G } yag meyelimuti K. Jadi K kompak relatif terhadap X. ( ) Jika K kompak relatif terhadap X da {V } keluarga himpua terbuka relatif terhadap Y da yag meyelimuti K. Meurut teorema 8 maka V = G Y dega G himpua terbuka terhadap X. Dega demikia {G } merupaka selimut terbuka utuk

5 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat K terhadap X. Karea K kompak relatif terhadap X, maka {G } memuat sub-selimut berhigga yag meyelimuti K. Himpua-himpua V yag terkait dega himpua G aggota sub-selimut tadi, merupaka sub-selimut berhigga dari {V } yag meyelimuti K. Jadi K kompak terhadap Y. (Soematri,1993) Defiisi 17. Ruag metrik X disebut kompak lokal jika utuk setiap titik x X ada sekitar N r (x) yag closureya kompak. (Royde, 1989) Teorema 18. Diberika (X,d) ruag metrik sembarag da K X. Jika K kompak maka K tertutup da terbatas. (a) Utuk membuktika bahwa K tertutup maka cukup ditujukka bahwa K c terbuka. Diambil p K c, kemudia utuk setiap titik x K dibuat sekitar V x dega pusat x da sekitar W x dega pusat p yag radiusya kurag dari Jadi V s W x = Ø utuk semua x K. Jelas bahwa keluarga (V x : x K ) adalah selimut terbuka utuk K. Karea K kompak maka dapat ditetuka x 1, x 2,..., x aggota K sehigga K V x1 V x2... V x = V Perhatika himpua W=W x1 W x2... W x. Himpua W merupaka suatu sekitar titik p da himpua bagia semua W xi utuk i = 1,2,3,...,. Jadi W V xi = Ø utuk semua i = 1,2,..., sehigga Dega demikia W K = Ø atau W K c. Terbukti p titik iterior K c sehigga K c terbuka. Berdasarka teorema 4 maka K tertutup. (b) Aka dibuktika bahwa K terbatas. Utuk setiap x K dibetuk sekitar N 1 (x) dega pusat x da radius 1. Keluarga { N 1 (x): x K } merupaka selimut terbuka utuk K. Karea K kompak maka terdapat x 1, x 2,x 3,...,x m K sehigga K N 1 (x 1 ) N 1 (x 2 )... N 1 (x m ). Dipilih p X, p =x 1 sebagai titik tetap. Dimisalka M-1 = maks {d(p,x 2 ), d(p,x 3 ),..., d(p,x m )}. Utuk sembarag y K terdapat x j K dega 1 j m sehigga y N 1 (x j ). Berarti d(y,x j ) 1. Dega ketaksamaa segitiga didapat: d(p,y) d(p,x j ) + d (x j, y) (M-1) + 1 M y K Jadi terbukti K terbatas. Teorema diatas telah membuktika bahwa jika K kompak dalam ruag metrik sebarag maka K merupaka himpua yag tertutup da terbatas. Tetapi utuk kodisi sebalikya belum tetu berlaku, seperti cotoh dibawah ii: Cotoh: Diberika ruag metrik Q dega jarak biasa, maka himpua A = {x Q: 2 < x 2 < 3} da A Q adalah tertutup da terbatas tetapi tidak kompak. Dega megguaka teorema berikut ii aka didapatka bahwa dalam ruag Euclides R utuk sebarag bilaga bulat positif, himpua tertutup da terbatas adalah kompak. Teorema 19. Jika barisa selag-selag tertutup dalam R, sedemikia higga I I +1 (=1,2,3,...), maka tidak kosog. Dimisalka I =[a,b ] da E = { a : N}. Maka E tidak kosog da terbatas ke atas, utuk semua bilaga a b 1. Karea R mempuyai sifat batas atas terkecil maka terdapatlah x didalam R sehigga x = sup E. Megigat I I +1 utuk semua, maka utuk sebarag p da q bulat positif berlaku a p a p+q b p+q b q

6 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Jadi utuk sebarag p N da sebarag q N berlaku a p b p, sehigga b q merupaka batas atas utuk E. Dega demikia maka sup E = x b utuk semua N. Jadi utuk semua berlaku a x b, sehigga x. Terbukti bahwa tidak kosog. (Soematri, 1993) Teorema 20. Di dalam R selag tertutup adalah kompak. Diberika selag tertutup I = {x: a x b}. Diadaika bahwa I tidak kompak. Jadi terdapat suatu selimut terbuka {G } tapa sub - selimut berhigga yag dapat meyelimuti I. Oleh titik c = selag ii terbagi mejadi dua sub-selag [a,c] da [c,b]. Karea {G } tidak memuat sub-selimut berhigga [a,b] maka palig sedikit satu dari kedua selag ii tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G }. Misalka I 1 = [a 1, b 1 ] adalah sub-selag yag tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G }. Kemudia I 1 ii dibagi lagi mejadi dua sub-selag [a 1,c 1 ] da [c 1, b 1 ] oleh titik c 1 = Salah satu dari kedua selag ii tetu tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari G.. Demikia proses ii dikerjaka terusmeerus sehigga diperoleh barisa selag tertutup dega sifat: (a) I I 1 I 2 I 3...; (b) I tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G }; (c) Jika x da y di dalam I maka x-y Megigat (a) da teorema 19 terdapatlah suatu titik p sehigga p I. Karea p [a,b] maka terdapatlah suatu sehigga p G. Karea G terbuka maka terdapatlah r > 0 sehigga selag terbuka (p-r, p+r) G. Dipilih bilaga asli yag cukup besar sehigga < r. Meurut (c) ii berarti bahwa I G, sebab I (p-r, p+r) G. Tetapi jika demikia berarti bahwa I dapat diselimuti oleh satu saja himpua terbuka aggota {G }. Terdapat kotradiksi dega (b). Jadi pegadaia di atas salah, da [a,b] harus kompak. (Soematri, 1993) Teorema 21. Jika barisa sel- di dalam R sedemikia higga I 1 I 2 I 3..., maka tidak kosog. Dimisalka I = {x = (x 1,x 2,...,x }: a j x j b j, 1 j }. Jadi utuk j tertetu (a j ) kita mempuyai barisa selag tertutup dega I j = {x: a j x j b j }, = 1,2,3,... meurut teorema 19, tidak kosog, jadi terdapatlah sehigga a j b j utuk semua = 1,2,3,... karea ii berlaku juga utuk semua j = 1,2,3,...,, maka aka diperoleh x * = ( ) sehigga x * I tidak kosog. Teorema 22. Utuk bulat positif, di dalam R sel- adalah kompak. Dimisalka I adalah suatu sel- yag merupaka himpua x = ( x 1, x 2,..., x ) dega a j < x j < b j. Jika h = b j a j j 1 2 maka utuk semua x da z di dalam I berlaku x - z < h. Diadaika I tidak kompak, maka terdapat suatu selimut terbuka {G a } utuk I yag tidak memuat sub-selimut berhigga utuk I. Diambil bilaga real C j = 2 1 (aj + b j ), j = 1,2,,. Maka terbetuklah selag tertutup [a j, c j ] da selag tertutup [c j, b j ], j = 1,2,. Selag-selag ii membetuk 2 sel- sebut V i (1 < i < 2 ) yag gabugaya sama dega I. Palig sedikit satu himpua V i tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G a }, himpua V i ii disebut I 1. Demikia proses ii kita kerjaka terus

7 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat meerus seperti pada bukti teorema 7.7, diperoleh dibarisa I dari sel-sel - k dega sifat sebagai berikut: (a) I I 1 I 2 I 3.; (b) I 1 tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G a }; (c) Jika x da z di dalam I maka x - z < 2 h. Selajutya dega memperhatika teorema 8.7 da (a) terdapatlah suatu titik p sehigga p I. Karea p [a j, b j ] maka terdapatlah suatu sehigga p G a. Karea G a terbuka maka terdapatlah r > 0 sehigga selag terbuka (p-r, p + r) G. Dipilih bilaga asli yag cukup besar sehigga 2 h< r. Meurut (c) ii berarti bahwa I G, sebab I (pr, p + r) G. Tetapi jika demikia berarti bahwa I dapat diselimuti oleh satu saja himpua terbuka aggota {G a }. Terdapat kotradiksi dega (b). Jadi pegadaia diatas salah, da [a j, b j ] harus kompak. (Soematri, 1993) Teorema 23. Setiap himpua bagia tertutup dari ruag metrik yag kompak adalah kompak. Diberika himpua kompak K da F sub himpua tertutup dari K. Diadaika {G } suatu selimut terbuka utuk F. Karea F tertutup maka F c terbuka. Perhatika keluarga {G } { F c }. Keluarga ii mejadi selimut terbuka utuk K, sebab himpua bagia K yag belum terselimuti oleh {G } sekarag diselimuti oleh F c. Karea K kompak maka selimut ii memuat sub selimut yag berhigga dega F c suatu aggota dalam sub selimut ii. Dimisalka sub selimut berhigga ii { G 1, G 2,.. G, F c }. Tetu saja G 1, G 2,.. G meyelimuti F da merupaka sub selimut berhigga selimut yag diberika utuk F. Jadi jika {G } suatu selimut terbuka utuk F maka {G } memuat sub selimut berhigga utuk F, sehigga F kompak. Teorema 24. Jika x suatu barisa di dalam ruag metrik X yag kompak maka x memuat sub barisa yag koverge ke suatu titik di dalam X. (a) Jika x barisa yag berhigga di dalam X. Karea x merupaka fugsi dega domai himpua tak berhigga N maka palig sedikit ada satu eleme x x sehigga x = x utuk tak berhigga bayak ideks, dega demikia kita dapat membetuk suatu barisa ( k: k N) sehigga 1 < 2 < 3 <.. da x 1 = x 2 = x 3 =.= x. Jadi yag kita peroleh ii merupaka suatu sub barisa yag koverge ke x X. (b) Jika x barisa tak berhigga di dalam X. Karea x sub himpua ruag metrik X kompak, maka x mempuyai titik limit p di dalam X. Dibetuk suatu barisa didalam x yag koverge ke p. Pilih 1 sehigga d(x 1, p) < 1 Pilih 2 sehigga d(x 2, p) < ½ : : : : Pilih k sehigga d(x k, p) < 1 / k dega 1 < 2 < < k Terbetuklah sub barisa x yag koverge ke p utuk k. Sebab jika diberika > 0 sembarag, dapat dicari N bilaga bulat positif sehigga utuk semua k p berlaku 1 / k <. Jadi d(x 1, p) < 1 / k < utuk semua k N berlaku 1 / k < da dega demikia lim k x k p

8 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Teorema 25. Jika X kompak da ke suatu titik didalam X. Meurut teorema sebelumya (teorema 24), karea x barisa cauchy di dalam X, maka x koverge x suatu barisa di dalam ruag metrik X yag kompak maka x memuat suatu sub barisa x yag koverge ke suatu titik x X. Karea suatu barisa koverge ke suatu titik jika da haya jika semua sub barisaya juga koverge ke titik tersebut, maka tiggal dibuktika bahwa x koverge ke x. Diberika > 0 sembarag. Karea x koverge ke x X, maka terdapat suatu N 1 N, sehigga d(x,x k ) < utuk setiap k 2 N 1. Karea x suatu barisa cauchy, maka terdapat N 2 N, sehigga d(x m, x ) < 2 utuk setiap, m N 2. Dipilih N = maks {N 1, N 2 }, maka utuk setiap N N 1 da N = m N N 2 berlaku d(x,x N ) < 2 da d(x, x N ) < 2 sehigga utuk setiap N berlaku: d(x,x) d(x,x N ) + d(x N, x) < = Jadi terbukti bahwa x koverge ke x X. Fugsi kotiu Defiisi 26. Diberika ruag metrik (X, d 1 ) da (Y, d 2 ). E X, p E da f fugsi dari E ke Y. Fugsi f dikataka kotiu di titik p jika utuk setiap > 0 terdapat suatu >0 sehigga utuk semua x E da d 1 (x, p) < berlaku d 2 (f(x). f(p)) <, asalka f terdefiisi di titik p. Jika f kotiu disetiap titik aggota E, maka dikataka bahwa f kotiu pada E. (Soematri, 1993) Defiisi 27. Diberika fugsi f dari ruag metrik (X,d 1 ) ke dalam (Y, d 2 ). Fugsi f dikataka kotiu seragam pada X jika utuk setiap >0 terdapat suatu > 0 sehigga utuk semua p da q di dalam X dega d 1 (p, q) < berlaku d 2 (f(p), f(q)) <. (Soematri, 1993) Jarak Himpua Defiisi 28. Diberika (X,d) ruag metrik dega A,B X. (i) Jarak titik x X ke himpua A didefiisika: d(x,a) = d({x}, A) = If y A d(x,y) (ii) Jarak dari himpua A ke himpua B didefiisika: d(a,b) = If x A If y B d(x,y) (Aubi,1977) Lemma 29. Diberika ruag metrik (X,d) da A tidak kosog, A X. Maka pemetaa fugsi jarak f: X R yag didefiisika f(x) = d(x,a) utuk setiap x X merupaka fugsi yag kotiu seragam pada X. Diambil z A utuk setiap x,y X, maka dega ketaksamaa segitiga berlaku d(x,z) d(x,y) + d(y,z) da d(y,z) d(y,x) + d(x,z) sedagka d(x, A) = if {d(x,z) ; z A

9 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat if { d(x,y) + d(y,z): z A} =d(x,y) + if {d(y,z);z A} =d(x,y) + d(y,a) Berarti d(x,a)-d(y, A) d(x,y) atau f(x)-f(y) d(x,y)...(1) Sebalikya d(y, A) = if {d(y,z) ; z A if { d(y,x) + d(y,z): z A} =d(y,x) + if {d(x,z);z A} =d(y,x) + d(x,a) Berarti d(y,a)-d(x, A) d(x,y) atau f(y)-f(x) d(x,y)...(2) Dari (1) da (2) didapat f(x)-f(y) d(x,y)<. Pilih = maka f(x)-f(y) )< < Sehigga terbukti fugsi jarak adalah kotiu seragam pada X. Ruag Berorma X ruag vektor berilai real, orma pada X adalah pemetaa x x, x X Pada R sedemikia higga: i. x 0, x = 0 x = 0 ii. x + y x + y, x,y X iii. x = x, x X R pasaga (X, ) disebut ruag berorma. (Aubi, 1977) Preposisi 30. Norma mempuyai sifat: i. -x = x ii. x - y x y i. -x = (-1) (x) = -1 x = x ii. x = x y + y x y + y x - y x y...(1) Karea y-x = (-1)(x-y) = -1 x - y = x - y maka y = y x + x y x + x = x y + x - x y x - y...(2) Dari (1) da (2) didapat x y x - y Proposisi 31. Jika (X, ) ruag berorma maka fugsi d didefisika sebagai: d(x,y) = x-y adalah jarak pada X yag memeuhi kodisi dibawah ii: i. d(x +z, y+z) = d (x,y) ii d( x, y) = d(x,y) Lebih dulu aka dibuktika bahwa d adalah metrik. 1. d(x,y) = 0 2. d(x,y) = 0 = 0 x y = 0 x = y 3. d(x,y) = = = d(x,z) + d(z,y) Jadi terbukti bahwa d adalah metrik. Selajutya aka dibuktika kedua kodisi di atas. i. d(x+z, y+z) =

10 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat = = d(x,y) ii. d( x, y) = = = = d (x,y) Dari preposisi ii dapat disimpulka bahwa setiap ruag berorma adalah ruag metrik. 11. Teorema F. Riesz. Ruag vektor berorma X adalah kompak lokal jika da haya jika X berdimesi berhigga. ( ) Dimisalka X ruag vektor berorma yag kompak lokal. Dibetuk bola tertutup B ( ) dega pusat da radius > 0 di dalam X maka B ( ) kompak. Jadi ada x 1, x 2, x 3..., x B ( ) sedemikia higga B ( ). Perhatika Y sub ruag berdimesi yag dibagkitka oleh titik-titik x i (1 i ). Selajutya aka ditujukka bahwa X=Y. Diadaika Y X. Maka ada x X da x Y, karea Y berdimesi berhigga maka Y legkap da tertutup. Kemudia didefiisika d(x 0, Y) = karea < + maka + buka batas bawah, artiya ada y 0 Y sedemikia higga - d(x 0, Y) d(x 0, Y) + = Misalka z 0 = tetu z 0 B ( ) sehigga = da = dimaa ( ). Betuk y = x 0 - = y 0 + x 1 Karea y 0, x 1 Y maka y Y, sehigga didapat = Terjadi kotradiksi, sehigga pastilah x 0 Y da X = Y. ( ) Jika X berdimesi berhigga maka X isomorfis ke ruag R. Karea sekitar N (x i ) dalam R adalah kompak maka R kompak lokal da X isomorfis R berarti X juga kompak lokal. PEMBAHASAN Ruag metrik X dikataka mempuyai sifat bola tertutupya kompak jika setiap bola tertutup dari ruag metrik ii merupaka himpua yag kompak. Selajutya ruag metrik X yag bersifat seperti ii oleh Aubi(1977) diberi ama Metric Spaces With Compact Closed Balls (CCB) atau ruag metrik dega sifat bola tertutupya kompak da selajutya aka disebut sebagai X bersifat CCB (Compact Closed Balls) atau ruag bersifat CCB. Tetapi ada juga yag meamaka ruag metrik ii dega Metric Spaces With Nice Closed Balls atau ruag metrik dega sifat bola tertutup rapi (Beer G, 1987). Sedagka salah satu cotoh ruag bersifat CCB ii adalah ruag Euclides berdimesi (R ) da ruag diskrit. Dimisalka B bola tertutup dalam R maka B aka tertutup da terbatas dalam sel- yag kompak. Jelas B kompak. Begitu juga dega ruag diskrit, dapat diperlihatka secara sederhaa bahwa ruag diskrit merupaka ruag bersifat CCB. Dalam tulisa diatas telah disebutka bahwa himpua yag kompak dalam suatu ruag metrik sebarag aka tertutup da terbatas, sebalikya belum tetu berlaku. Disiilah mearikya ruag metrik yag bersifat CCB ii, karea di dalam ruag metrik ii dapat

11 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat dibuktika bahwa setiap sub himpua yag tertutup da terbatas dari X merupaka himpua kompak. Pembahasa selajutya aka membuktika sifat diatas serta membicaraka sifat-sifat apa saja yag bisa dituruka dari ruag metrik tersebut da aka diyataka dalam betuk preposisi berikut ii. Preposisi 1. Ruag metrik X bersifat CCB jika da haya jika setiap sub himpua yag tertutup da terbatas dari X adalah kompak. ( ) Aka dibuktika jika X bersifat CCB maka sub himpua yag tertutup da terbatas dari X merupaka himpua kompak. Diambil himpua F yag tertutup da terbatas di dalam X, sedemikia higga F B dega B bola tertutup dalam X. Karea X bersifat CCB maka pastilah B kompak, jika B kompak da F B maka (meurut teorema 8.10) dapat disimpulka bahwa F kompak. ( ) Aka dibuktika jika sub himpua yag tertutup da terbatas di dalam X merupaka himpua yag kompak, maka X bersifat CCB. Diambil B bola tertutup dalam X, maka B pastilah terbatas. Karea B merupaka sub himpua tertutup dari X yag kompak maka B kompak. Da sesuai defiisi jelas bahwa X bersifat CCB. Preposisi 2. Pada ruag metrik sebarag maka setiap himpua yag kompak aka bersifat CCB. Diambil bola tertutup B di dalam X. Maka B merupaka himpua tertutup didalam X. Karea X kompak da B X maka meurut teorema 8.10 maka B pastilah kompak. Kesimpulaya X bersifat CCB. Preposisi 3. Setiap sub himpua tertutup dari ruag CCB adalah ruag CCB. Sedagka sub himpua terbuka dari ruag CCB pada umumya buka ruag CCB. Aka dibuktika bahwa setiap sub himpua tertutup dari ruag CCB adalah ruag CCB. Misalka diambil sebarag himpua tertutup F dari X yag bersifat CCB. Jika F berupa bola tertutup, da F didalam ruag CCB jelas bahwa F kompak. Sesuai preposisi 2 maka F bersifat CCB. Jika F buka bola tertutup dega kata lai F merupaka himpua tertutup biasa, maka diambil sebarag bola tertutup B didalam F. Karea F X maka B X. Karea X bersifat CCB maka pastilah B kompak.sehigga didapat B bola tertutup yag kompak di dalam F, dega kata lai F bersifat CCB. Sedagka utuk membuktika bahwa sub himpua terbuka dari ruag CCB pada umumya buka ruag CCB kita guaka cotoh. Cotoh: Diberika (R, d) sebagai ruag CCB. Diambil E = (0,2) da E R. Pilih B bola tertutup dalam E dega pusat da r =, maka: B = ( ) = {x E d(, x ) } = (0,1] Bola diatas aka tertutup relatif terhadap E tapi tidak tertutup dalam R sehigga meurut teorema 23 B tidak kompak dalam R. Karea B E da E R maka B tidak kompak dalam E sebab suatu himpua kompak dalam E jika da haya jika himpua tersebut kompak dalam R. Proposisi 4. Dimisalka (X, d ) ruag metrik. Jika X ruag yag bersifat CCB maka: (i) X legkap (ii) X kompak lokal, da (iii) X separabel

12 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat (i) Diambil sebarag barisa Cauchy x di dalam ruag metrik X yag bersifat (ii) CCB. Karea x barisa terbatas di dalam X, maka daerah jagkau E = {x } merupaka himpua terbatas didalam X. Dega demikia terdapat bola tertutup B di dalam X, sehigga E B. Karea X bersifat CCB da B X maka B kompak. Meurut teorema 25 x barisa cauchy di dalam himpua B yag kompak maka x koverge ke x B terbukti bahwa X legkap. Diambil sebarag sekitar N r (p) dega pusat p X da jari-jari r > 0. Maka Nr(p) X dimaa Nr(p) = {x X d(p,x) < r}. Peutup dari Nr(p) merupaka bola tertutup B sehigga B={ x X d(p,x) r } = closure (Nr(p)) = Nr ( p) Da B X, karea X bersifat CCB, maka B = Nr( p) kompak lokal. kompak. Terbukti X (iii) Diambil sebarag bola tertutup B di dalam X. Karea X bersifat CCB maka B kompak. Utuk setiap N, dimisalka D himpua berhigga di dalam B. Karea B kompak maka setiap x B terdapat y D sedemikia higga d(x,y) < pilih y = y 1 D d(x,y 1 ) < 1 pilih y = y 2 D d(x,y 2 ) < : : : : pilih y = y D d(x,y ) < maka N y D. Misal D = = {y 1,y 2,y 3,... }. Maka terdapat D yag terbilag. Utuk maka y x X dega kata lai D dese dalam X. Jadi terbukti X separabel. Proposisi 5. Diberika (X,d) ruag metrik yag bersifat CCB, maka: (i) Setiap himpua tertutup A dari X da x X, a A sehigga d(x,a) = d(x,a). (ii) Jika A sub himpua yag kompak pada X da B himpua tertutup dari X maka ada a A da b B sehigga d(a,b) = d(a,b). (i) Diambil A X da A tertutup. Karea X bersifat CCB maka ada bola tertutup B yag kompak sedemikia higga A B. Karea A tertutup da A B dega B kompak maka A juga kompak. Diambil x X maka d(x,a) = if {d(x,a) ;a A}. Artiya ada y k A sedemikia higga. Karea A kompak maka ada a A sehigga da fugsi d(x,a) kotiu berakibat d(x,a) = Terbukti ada a A sehigga d(x,a) = d(x,a). (ii) Diambil a A maka d(a,b) = meurut (i) ada b B sehigga d(a,b) = d(a,b).diambil ifium meliputi semua a A maka artiya ada y k A sedemikia higga d(y k,b) = d(a,b). Karea A kompak maka ada sub barisa, misalka diambil <y k > sedemikia higga y k a A. Sehigga. Jadi terbukti d(a,b) = d(a,b)

13 Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Proposisi 6. Ruag berorma adalah ruag bersifat CCB jika da haya berdimesi berhigga ( ) Dimisalka X ruag berorma yag bersifat CCB, aka dibuktika X berdimesi berhigga. Karea X ruag berorma yag bersifat CCB maka X ruag metrik yag bersifat CCB (preposisi 2) sehigga X kompak lokal (preposisi 4). Da meurut teorema F. Riesz maka X berdimesi berhigga. ( ) Misal X ruag berorma yag berdimesi berhigga maka meurut teorema F. Riesz maka X kompak lokal. Ambil sembarag bola tertutup B di dalam X maka B kompak. Jadi terbukti X ruag bersifat CCB. PENUTUP Kesimpula Pada ruag metrik (X,d) yag bersifat CCB berlaku, atara lai: 1. Setiap sub himpua yag tertutup da terbatas di dalam X adalah kompak. 2. Himpua yag kompak bersifat CCB. 3. bersifat CCB. Sedagka utuk sub himpua yag terbuka pada umumya buka ruag bersifat CCB. Sara Masih ada sifat-sifat lai yag mugki bisa dituruka da bisa dipelajari/ dibuktika lebih lajut megeai ruag metrik yag bersifat CCB ii, misalya di ruag R, apakah masih berlaku sifat CCB ii jika metrik yag diguaka adalah metrik Euclides d ( metrik yag didefiisika dari pegertia orma) da bagaimaa juga apabila diguaka metrik lai yag ekivale yaitu, masih berlaku atau tidak, atau jika (X, d) dipadag sebagai ruag metrik yag kompak lokal da separable kira-kira sifat apa yag bisa dituruka dari ruag metrik ii. DAFTAR PUSTAKA Aubi, J.P Applied Abstract Aalysis. New York: Wiley. Beer, G Metric Spaces with Nice Closed Balls ad Distace Fuctio for Closed Set. Bull. Australia Math, Soc. Ia Maturida, D., YD Sumato Himpua-himpua Kompak dalam Ruag Hausdorff. Thesis Uiv. Muhammadiyah Malag. Kuriasih, N Sifat-sifat Topologi Ruag Liear. ejural, umpwr. Kusrii, Susiswo Pegatar Topologi. Jakarta: Uiversitas Terbuka. Kustiawa, Cece Himpua Kompak pada Ruag Metrik. Jural Ifiity. Rohmawati, Laily Himpua Kompak dalam ruag Topologi. Thesis Uiv. Muhammadiyah Malag. Royde, H.L Real Aalysis. New York: Macmilla Publishig Compay. Soematri, R Aalisis Real I. Jakarta: Peerbit Karuika U.T. Sukmarigga, Deki Sifat Ruag Metrik Topologis. Skripsi Udip Semarag

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013 IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig

Lebih terperinci

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B. TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Muhammad Ahsar Karim 1 Faisal Yui Yulida 3 [1,,3] PS Matematika FMIPA Uiversitas

Lebih terperinci

FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI

FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI FOURIER Jui 04, Vol. 3, No., 4 6 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI Malahayati, Mutia Utami, Program Studi Matematika Fakultas Sais da tekologi

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 1-13 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 1-13 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Muhaad Ahsar Kari, Dewi Sri Susati, da Nurul Huda Progra Studi Mateatika Uiversitas Labug Magkurat Jl

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT

Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP DARI PEMETAAN KANNAN DI RUANG MODULAR (THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A FIXED POINT FOR

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2

PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2 J. Math. ad Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 3, No. 2, Nopember 206, -0 PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2 Suarsii, Mahmud Yuus 2, Sadjido 3, Auda Nuril Z 4,2,3,4 Jurusa Matematika,

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: irdaus_u@yahoo.com

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN : JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 SYARAT CUKUP AGAR SUATU FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK MUTLAK DI DALAM RUANG METRIK KOMPAK LOKAL Mauharawati Jurusa Matematika

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2. II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI 1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014 MATHuesa (Volume 3 No 3) 014 MINIMUM PENUTUP TITIK DAN MINIMUM PENUTUP SISI PADA GRAF KOMPLIT DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Yessi Riskiada Kusumawardai Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : 40-858 MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto Jurusa Matematika F-MIPA Uiversas Dipoegoro Semarag Abstrak Suatu matriks tak

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

Solved Problems (taken from tutorials)

Solved Problems (taken from tutorials) Lampira Kumpula Soal soal Tutorial da PR Aalisis Real Solved Problems (take from tutorials). Apakah f = { x = y } suatu fugsi? Jawab: Utuk meujukka bahwa f suatu fugsi, maka perlu diigat kembali

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi

Lebih terperinci

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar 1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 3

Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 3 Matematika Terapa Dose : Zaid Romegar Mair ST. M.Cs Pertemua 3 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Koloel Wahid Udi Lk. I Kel. Kayuara Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id Tel.

Lebih terperinci

TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Riesz Frechet Representation Theorem in Hilbert Space)

TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Riesz Frechet Representation Theorem in Hilbert Space) Jural Barekeg Vol. 5 No. Hal. 8 (0) TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Ries Frechet Represetatio Theorem i Hilbert Space) MOZART W TALAKUA, STENLY JONDRY NANURU Staf Jurusa Matematika

Lebih terperinci

HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G

HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G J Sais MIPA Desember 7 Vol 1 No Hal: 197 - ISSN 1978-187 ABSTRACT HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G Kristiaa Wijaya Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Jember

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dituliska beberapa aspek teoritis berupa defiisi, teorema da sifat-sifat yag berhubuga dega aljabar liear, struktur aljabar da teori kodig yag diguaka sebagai

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA

KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA 055400597 Taggal Sidag: 04 Februari 0 Periode Wisuda: Februari 0 Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri

Lebih terperinci

Pengertian Secara Intuisi

Pengertian Secara Intuisi Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN MATHuesa Jural Ilmiah Matematika Volume No Tahu 08 ISSN 30-95 INDEKS HARARY GRAF HAMILTON, SEMI-HAMILTON DAN HAMILTON-KUAT Fatimatus Zahro (S Matematika, FMIPA, Uiversitas Negeri Surabaya) e-mail: imatus0@gmailcom

Lebih terperinci

Bab IV Metode Alternating Projection

Bab IV Metode Alternating Projection Bab IV Metode Alteratig Projectio Metode alteratig projectio megubah masalah feasibility o koveks mejadi masalah feasibility koveks Pada bab ii aka dicari matriks defiit positif da simetri X,Y yag diguaka

Lebih terperinci

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS BRISN PNGKT TERURUT MTRIKS PD LJBR MX PLUS Nurwa Jurusa Matematika FMIP Uiversitas Negeri Gorotalo E-mail: urwa_mat@ug.ac.id bstrak Diberika matriks R yag memeuhi = λ. Matriks adalah k + c c k taktereduksi

Lebih terperinci

KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI. Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM

KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI. Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM. 06510003 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K)

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hal. 41-50 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRACT. I this

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY JMP : Volume 3 Nomor 1, Jui 2011 SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY Ari Wardayai da Suroto Prodi Matematika, Jurusa MIPA, Fakultas Sais da Tekik Uiversitas Jederal Soedirma (email

Lebih terperinci