2.1 Bilangan prima dan faktorisasi prima

BAB 2 BILANGAN PRIMA 2.1 Bilangan prima dan fatorisasi prima Definisi 2.1.1. Bilangan bulat p > 1 diataan prima jia ia hanya mempunyai pembagi p dan 1. Dengan ata lain bilangan prima tida mempunyai pembagi selain dari 1 dan dirinya sendiri. Berdasaran definisi ini, 1 buanlah bilangan prima. Bilangan prima terecil adalah 2 yang merupaan bilangan genap. Sedangan bilangan prima lainnya, seperti 3, 5, 7, 11, semuanya bilangan ganjil. Ingat, sebalinya bilangan ganjil belum tentu prima; misalnya 9 ganjil tapi buan prima. Bilangan buan prima seperti 4, 6, 8, 9, disebut bilangan omposit. Bila n omposit maa ia dapat dinyataan sebagai n = ab dimana a, b Z, 1 < a < n, 1 < b < n. Teorema 2.1.1. Misalan p prima dan a, b bilangan bulat sebarang. Maa berlau pernyataan beriut: (i) p membagi a, atau alau tida, a dan p oprima. (ii) jia p membagi ab maa p membagi a atau p membagi b. Buti. (i) Diperhatian gcd(a, p) haruslah pembagi positif p, jadi ia mesti 1 atau p. Untu asus gcd(a, p) = p maa disimpulan p membagi a. Kalau tida maa gcd(a, p) = 1, ini berarti a dan p oprima. (ii) Bila p tida membagi a maa haruslah gcd(a, p) = 1. Dengan identitas Bezout, terdapat u, v Z sehingga 1 = au + pv. Jadi, b = aub + pvb dan arena p b maa p aub ; dan juga jelas bahwa p pvb. Karena itu disimpulan p b := aub + pvb. Diperhatian bahwa p prima pada teorema ini merupaan syarat perlu agar teorema ini berlau. Bila p tida prima, pernyataan pada teorema ini dapat saja salah. Misalan ambil a = 6, b = 10 dan p = 4. Disini p ab tetapi p tida membagi a dan tida membagi b. 1

Teori Bilangan by J.Hernadi 2 Aibat 2.1.1. Jia p prima dan p membagi a 1 a n maa p membagi a i untu suatu i, 1 i n. Buti. Dibutian dengan indusi matematia. Untu n=1, berarti p a 1 maa secara otomatis p a 1. Andaian berlau untu n =, yaitu jia p a 1 a maa p a i untu suatu 1 i. Untu n = + 1, tulis a = a 1 a dan b = a +1. Berdasaran Teorema 2.1.1(ii), p a atau p b. Bila asus p a terjadi maa berdasaran hipotesis p a i untu suatu 1 i. Bila asus p b terjadi maa p a +1. Jadi p a i untu suatu 1 i + 1. Ini berarti berlau untu n = + 1. Aibat 2.1.2. Jia p, q 1, q 2 semuanya bilangan prima dan p q 1 q n maa p = q untu suatu, 0 n. Berangat dari hasil ini ita aan sampai pada hasil utama topi ini yaitu Teorema Fundamental Aritmatia (TFA) beriut. Teorema 2.1.2 (Teorema Fundamental Aritmatia). Setiap bilangan bulat n > 1 dapat disajian sebagai peralian bilangan prima berpangat, yaitu n = p e 1 1 p e, dimana p 1,, p bilangan prima berbeda dan e 1,, e bilangan bulat positif. Selanjutnya, representasi ini tunggal terlepas dari permutasi fator-fatornya. Sebelum dibutian, perhatian ilustrasi beriut: 200 = 2 3 5 2 = 5 2 2 3. Teorema ini mengataan bahwa bilangan prima merupaan balo-balo pembangun (building blocs) bilangan bulat. Inilah alasan mengapa bilangan prima sangat penting pada teori bilangan dan apliasinya. Buti. Dibutian dengan prinsip indusi uat. Untu n = 2, dapat ditulis n = 2 1 yaitu p 1 = 2 dan e 1 = 1. Andai teorema berlau untu semua bilangan bulat m, 1 < m < n yaitu m dapat disajian sebagai peralian bilangan-bilangan prima berpangat. Searang untu bilangan n, bila n prima maa n = n 1, beres. Tapi bila n omposit maa dapat ditulis n = ab dengan 1 < a, b < n. Karena berdasaran hipotesis a dan b dapat disajian sebagai peralian bilangan-bilangan prima berpangat, maa begitu juga dengan n. Terbuti bahwa setiap bilangan n > 1 dapat disajian sebagai peralian bilangan prima berpangat. Selanjutnya dibutian bahwa representasi ini tunggal. Misalan ada dua representasi beriut: n = p 1 p m = q 1 q t. (*) Disini terdapat emunginan fator prima yang sama dan dapat disusun ulang secara terurut sehingga p 1 p 2 p m dan q 1 q t, m t. (**)

Teori Bilangan by J.Hernadi 3 Karena p 1 n maa berdasaran Aibat 2.1.1 p 1 q j untu suatu j = 1,, t. Diarenaan urutan (**) maa diperoleh p 1 q 1 dan q 1 p 1, sehingga diperoleh p 1 = q 1. Selanjutnya, edua ruas (*) diansel p 1 dan q 1 diperoleh bentu p 2 p m = q 2 q t. Argumen yang sama, diperoleh p 2 = q 2 dan p 3 p m = q 3 q t. Bila cara ini diterusan dan seandainya m < t maa diperoleh bentu terahir 1 = q m+1 q t, dan hal ini tidalah mungin (ontradisi) arena q j > 1. Jadi haruslah m = t dan p 1 = q 1, p 2 = q 2,, p m = q m. Terbuti representasi ini tunggal. Contoh 2.1.1. 360 = 2 3 3 2 5, 4725 = 3 3 5 2 7, 17460 = 2 3 3 2 5 72. Kita dapat menggunaan TFA untu menyajian peralian, pembagian, pangat, gcd dan lcm dua bilangan bulat dalam bentu peralian bilanganbilangan prima berpangat. Misalan maa berlau a = p e 1 1 p e dan b = p f 1 1 p f, e i, f i 0 ab = p e 1+f 1 1 p e +f a/b = p e 1 f 1 1 p e f (asalan b a) a m = p me 1 1 p me gcd(a, b) = p min{e 1,f 1 } 1 p min{e,f } lcm(a, b) = p max{e 1,f 1 } 1 p max{e,f }. Contoh 2.1.2. Misalan a = 132 dan b = 400. Tentuan gcd dan lcm dari a dan b? Penyelesaian. Dengan menggunaan diagram pohon, anda dengan mudah mendapatan fatorisasi beriut: 132 = 2 2 3 11 dan 400 = 2 4 5 2. Agar bentunya ompatibel tulis dalam bentu: Sehingga diperoleh 132 = 2 2 3 5 0 11 dan 400 = 2 4 3 0 5 2 11 0. gcd(132, 400) = 2 min{2,4} 3 min{1,0} 5 min{0,2} 11 min{1,0} = 2 2 3 0 5 0 11 0 = 4 lcm(132, 400) = 2 max{2,4} 3 max{1,0} 5 max{0,2} 11 max{1,0} = 2 4 3 1 5 2 11 1 = 13200

Teori Bilangan by J.Hernadi 4 Latihan 2.1.1. Dengan menggunaan TFA, temuan gcd dari (132,1995), (400,1995) dan (132,400,1995). Bilangan bulat n diataan bilangan uadrat sempurna jia ada bilangan bulat m sehingga n = m 2. Contoh bilangan uadrat sempurna: 4, 9, 16. Bilangan 24 dan 54 tida ada yang uadarat sempurna tetapi hasil alinya 24 54 = 36 2 merupaan bilangan uadrat sempurna. Teorema 2.1.3. Bila m buan bilangan uadrat sempurna maa m bilangan irrasional. Penyelesaian. Dibutian ontraposisinya, yaitu jia m rasional maa m uadrat sempurna. Karena m rasional maa dapat ditulis m = a b dimana a dan b bulat positif. Kemudian diuadratan, diperoleh: m = a2 b 2. Misalan a dan b mempunyai fatorisasi prima sebagai beriut: maa berlau a = p e 1 1 p e dan b = p f 1 1 p f, e i, f i 0 m = a2 b = p2e1 1 p 2e = 2 p 2f 1 1 p 2f Ini berarti m bilangan uadrat sempurna. ( ) 2 p e 1 f 1 1 p e f. Contoh 2.1.3. Dengan Teorema ini ita memperoleh bahwa 2, 3, 6 bilangan irrasional. Latihan 2.1.2. Jia m dan n bilangan bulat positif, tentuan syarat agar m 1 n rasional. Petunju: perhatian ilustrasi beriut: adaah n bulat yang membuat 1 1 n, 2 1 n, 3 1 n, 7 1 n, 8 1 n, 9 1 n rasional. Ingat bilangan bulat juga bilangan rasional. 2.2 Distribusi bilangan prima Mungin muncul dibena ita pertanyaan beriut: apaah ada bilangan prima terbesar dan alau ada berapa bilangan prima tersebut? Jawaban terhadap pertanyaan ini aan terjawab melalui teorema beriut. Teorema 2.2.1. Terdapat taberhingga banya bilangan prima. Buti. Buti dengan ontradisi. Andai hanya terdapat berhingga banya bilangan prima, ataan merea adalah p 1, p 2,, p. Misalan m = (p 1 p ) + 1.

Teori Bilangan by J.Hernadi 5 Karena m > 1 maa berdasaran TFA maa m dapat dibagi oleh suatu bilangan prima, ataan bilangan prima tersebut p. Ini berarti p haruslah salah satu dari p 1, p 2,, p. Jadi diperoleh: p p 1 p, dan p m p m p 1 p = 1. Hal ini ontradisi arena p > 1 sehingga p 1 tidalah mungin. Dengan demiian ita dapat memastian bahwa tida ada bilangan prima terbesar. Beberapa bilangan prima terurut adalah p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7. Pertanyaan selanjutnya adalah bagaimana pola distribusi bilangan prima? Lebih spesifinya, ada berapa banya bilangan prima yang urang dari 10, antara 1 dan 1000, antara 1001 dan 2000, antara 2001 dan 3000, dan seterusnya? Aibat 2.2.1. Bila p n bilangan prima e-n maa ia memenuhi p n 2 2n 1 untu semua n 1. Buti. Butian dengan indusi matematia. Sesungguhnya estimasi ini terlalu lemah. Misalnya,untu n = 4 diperoleh 2 23 = 256 tetapi p 4 = 7, jadi masih terlalu lebar. Untu suatu bilangan real x, misalan π(x) menyataan banyanya bilangan prima yang urang dari atau sama dengan x. Misalnya π(1) = 0 arena tida ada bilangan prima yang dimasud, π(5) = π(5.5) = 3 arena bilangan prima yang dimasud adalah 2, 3, 5. Beraitan dengan aibat di atas, berlau estimasi beriut: π(x) lg lg x + 1 dimana lg x := 2 log x. Seali lagi estimasi ini terlalu longgar. Sebagai ilustrasi, untu x = 10 9 maa lg lg x +1 = 5 tetapi enyataannya banya bilangan prima yang urang dari 10 9 sangat banya, diperiraan 5 10 7. Gauss pada tahun 1793 memberian onjetur sebagai beriut: Ini berarti berlau π(x) π(x) x ln x x 2 dt ln t atau π(x) x 1, untu x. ln x. Konjetur ini ahirnya dibutian oleh Hadamard dan de la Valée Poussin pada tahun 1896. Dapat juga dinyataan bahwa perbandingan π(x) x 1 ln x 0. Dengan menggunaan pola ini maa dapat disimpulan bahwa distribusi bilangan prima semain lama semain jarang. Misalnya ada 168 prima diantara 1 dan 1000, ada 135 prima diantara 1001 dan 2000, emudian ada 127 prima diantara 2001 dan 3000, dan seterusnya. Coba perisa! Latihan 2.2.1. Temuan cara untu mendapatan semua bilangan prima diantara 1 dan 100.

Teori Bilangan by J.Hernadi 6 2.3 Bilangan Fermat dan prima Mersenne Diperhatian bilangan prima 3, 5, 7, 17, 31,,. Bilangan prima ini mempunyai bentu 2 n ± 1, ataan 3 = 2 2 1, 5 = 2 2 + 1, 7 = 2 3 1 dan lain-lain. Banya seali bilangan prima berbentu seperti ini. Tetapi tida semua bilangan dalam bentu 2 n ± 1 merupaan bilangan prima, misalnya 33 = 2 5 + 1 buan prima. Teorema 2.3.1. Jia 2 m + 1 prima maa m = 2 n untu suatu bilangan bulat n 0. Buti. Dibutian ontraposisinya. Dietahui m buan merupaan pangat dari 2. Berarti ia berbentu m = 2 n q dimana q > 1 ganjil. Ilustrasi: 7 = 2 0 7; 14 = 2 1 7; 24 = 2 4 3. Diperhatian fungsi f(t) = t q + 1 mempunyai nilai nol di t = 1, sebab q ganjil. Tegasnya, ia dapat difatoran sebagai t q + 1 = (t + 1)(t q 1 t q 2 + t q 3 t + 1). Jadi t+1 adalah salah satu fator sejati dari t q +1. Ambil t = x 2n, maa diperoleh g(x) := f(x 2n ) = ( x 2n ) q + 1 = x 2 nq + 1 = x m + 1. Dengan mengambil x = 2 ita dapatan bahwa 2 2n + 1 adalah fator sejati dari g(2) = x m + 1 sehingga x m + 1 buan prima. Bilangan F n := 2 2n + 1 disebut bilangan Fermat dan bilangan ini yang prima disebut bilangan prima Fermat. Konjetur Fermat mengataan bahwa F n prima untu setiap n > 0. Beberapa diantaranya untu n = 0, 1, 2, 3, 4 bilangan yang dimasud adalah F n = 3, 5, 17, 257, 65537 esemuanya adalah prima. Tetapi pada tahun 1732 Euler menunjuan bilangan Fermat beriutnya, yaitu F 5 = 2 25 + 1 = 4294967297 = 641 6700417 ternyata buan prima. Walaupun tida semua bilangan Fermat prima namun setiap pasang bilangan Fermat adalah oprima. Fata ini dapat digunaan sebagai buti alternatif mengenai etaberhinggaan banya bilangan prima. Latihan 2.3.1. Jia a 2 dan a m + 1 prima (misalnya 6 2 + 1 = 37) maa a genap dan m bilangan pangat dari 2. Teorema 2.3.2. Jia m > 1 dan a m 1 prima maa a = 2 dan m prima. Buti. Bilangan yang berbentu 2 p 1 dimana p prima disebut bilangan Mersenne dan bilangan ini yang prima disebut bilangan prima Mersenne, diembangan oleh ybs pada tahun 1644. Untu beberapa bilangan prima p = 2, 3, 5, 7, bilangan Mersenne yang bersesuaian adalah M p = 3, 7, 31, 127. Kelihatannya prima semua, tetapi M 11 = 2047 = 23 89 ternyata buan prima. Namun tida banya bilangan Mersenne yang prima. Pada saat itu baru ditemuan 32 buah bilangan prima Mersenne. Yang terahir ditemuan pada tahun 1996 oleh David Slowinsi and Joel Armengaud M 1257787 dan M 1398269 dengan bantuan omputer mutahir.

Teori Bilangan by J.Hernadi 7 2.4 Uji primalitas dan fatorisasi Dua pertanyaan yang semestinya muncul dibena ita beritan dengan teori yang baru saja ita bahas adalah sebagai beriut: (1) Bagaimana ita memastian suatu bilangan bulat n > 1 yang diberian adalah prima atau buan? (2) Bagaimana cara memperoleh fatorisasi prima berpangat dari bilangan bulat n? Pertanyaan (1) beraitan dengan uji primalitas, teorema beriut dapat digunaan sebagai acuan. Teorema 2.4.1. Bilangan bulat n > 1 omposit jia hanya jia ia dapat dibagi oleh bilangan prima p n. Buti. Contoh 2.4.1. 97 prima arena ia tida terbagi oleh semua prima 97, yaitu oleh 2, 3, 5 dan 7. Untu bilangan besar masih sulit mendetesi primalitasnya arena ita perlu memastian suatu bilangan bulat n dapat dibagi oleh banya bilangan prima. Untu itu diperhatian bentu desimal bilangan bulat n = a a 1 a 1 a 0 ditulis sebagai n = a 0 + a 1 10 + a 2 10 2 + + a 10, a 0, 0 a i 9. Dengan mudah dapat dipiiran bahwa 1. n habis dibagi 2 jia a 0 habis dibagi 2, yaitu a 0 = 2, 4, 6 atau 8. 2. n habis dibagi 5 jia a 0 = 0 atau 5. 3. n habis dibagi 3 jia jumlah anga-anganya habis dibagi 3, yaitu a 0 + a 1 + + a habis dibagi 3. Fata ini dapat ditunjuan dengan menggunaan formula binomial pada suu 10 i = (9+1) 1 dan diperoleh bentu 10 i = 9q+1. Coba selidii sendiri. 4. n habis dibagi 11 jia jumlahan beriut ( 1) a + ( 1) 1 a 1 + a 1 + a 0 habis dibagi 11. Fata ini dapat ditelusuri pada enyataan bahwa 10 i = (11 1) i = 11q + ( 1) i. Contoh 2.4.2. Selidiilah apaah 38203 habis dibagi 3?, apaah habis dibagi 11?

Teori Bilangan by J.Hernadi 8 Penyelesaian. Diperhatian 3 + 8 + 2 + 0 + 3 = 16, bilangan ini tida habis dibagi 3, jadi ia tida habis dibagi 3. Selanjutnya, dietahui = 4 sehingga diperoleh 3 8 + 2 0 + 3 = 0 habis dibagi 11, jadi ia habis dibagi 11. Fatanya 38203 = 11 3473. Latihan 2.4.1. Selidiilah apaah 8703585473 habis dibagi 3?, apaah habis dibagi 11? Latihan 2.4.2. Apaan bilangan beriut: 157, 221, 641, 1103 prima? Latihan 2.4.3. Temuan riteri suatu bilangan bulat habis dibagi 4, juga habis dibagi 6. Latihan 2.4.4. Fatoran 247 dan 6887. Latihan 2.4.5. Fatoran 3992003. Gunaan bantuan program omputer bila diperluan. Latihan Tambahan 1. For which primes p is p 2 + 2 also prime? 2. Show that if p > 1 and p divides (p 1)! + 1, then p is prime. 3. It has been conjectured that there are infinitely many primes of the form n 2 2. Exhibit five such primes. 4. Prove each of the assertions below: a. Any prime of the form 3n + 1 is also of the form 6m + 1. b. Each integer of the form 3n + 2 has a prime factor of this form. c. The only prime of the form n 3 1 is 7. [Hint: Write n 3 1 as (n 1)(n 2 + n + 1)]. d. The only prime p for which 3p + 1 is a perfect square is p = 5. e. The only prime of the form n 2 4 is 5. 5. If p > 5 is a prime number, show that p 2 + 2 is composite. [Hint: p taes one of the forms 6 + 1 or 6 + 5.] 6. Establish each of the following statements: a. Every integer of the form n 4 + 4, with n > 1, is composite. [Hint: Write n 4 + 4 as a product of two quadratic factors.] b If n > 4 is composite, then n divides (n1)!. c. Any integer of the form 8 n + 1, where n > 1, is composite. [Hint: (2 n + l) (2 3n + 1).]

Teori Bilangan by J.Hernadi 9 d. Each integer n > 11 can be written as the sum of two composite numbers. [Hint: If n is even, say n = 2, then n6 = 2(3); for n odd, consider the integer n 9.] 7. If p > q > 5 and p and q are both primes, prove that 24 (p 2 q 2 ). 8. Show that F 0 F 1...F n 1 = F n 2 for all n > 1. 9. Evaluate the Mersenne number M 17, and determine whether it is prime. 10. It has been conjectured that every even integer can be written as the difference of two consecutive primes in infinitely many ways. For example, 6 = 29 23 = 137 131 = 599 593 = 1019 1013. Express the integer 10 as the difference of two consecutive primes in 15 ways.