BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
|
|
- Suparman Setiawan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 24, 2012
2 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor prima yang tidak melebihi n. Diasumsikan n bulat ganjil. Metoda Fermat didasarkan pada ide penemuan bilangan bulat x dan y sehingga n = x 2 y 2. Karena dapat ditulis n = (x + y)(x y) maka (x + y) dan (x y) adalah faktor-faktor dari n. Sebaliknya bila n = ab, a b 1, maka dapat ditulis ( ) a + 2 ( ) b a 2 b n =. 2 2 Karena n ganjil maka a dan b harus ganjil (mengapa?), oleh karena itu a+b dan a b taknegatif. 2 2 Bilangan bulat dapat difaktorkan bhb ia dapat disajikan sebagai selisih kuadrat bil taknegatif
3 Algoritma 1 Tulis x 2 n = y 2 2 Tentukan k bilangan bulat pertama dimana k 2 n 3 Urutkan bilangan berikut Example k 2 n, (k + 1) 2 n, (k + 2) 2 n, (k + 3) 2 n, hingga langkah ke m sehingga (k + m) 2 n adalah bilangan kuadrat. Faktorkan bilangan n = Penyelesaian. Menentukan k sehingga k Cek! = , = Ambil k = 346. Urutkan bilangan (k + m) 2 n,m = 0,1,2,. Hasilnya sebagai berikut:
4 Algoritma (lanjutan...) n = n = n = n = n = n = n = 4761 Ternyata sampai pada m = 6 sudah menghasilkan bil kuadrat yaitu ( ) = 4761 = Diperoleh x = 352,y = 69. Faktorisasi yang diperoleh adalah = (x + y)(x y) = ( )(352 69) =
5 Ciri bilangan kuadrat: Angka terakhirnya kemungkinannya 0,1,4,5,6 dan 9 (mengapa?) Dua angka terakhirnya ada 22 kemungkinan, temukan angka berapa saja! Petunjuk: Gunakan modulo 10 untuk mendeteksi kemungkinan 1 angka terakhir, dan modulo 100 untuk 2 angka terakhir. Latihan 1: Faktorkan bilangan dengan metoda Fermat! Lengkapi keterangan setiap langkahnya! Metoda faktorisasi Fermat akan sangat efektif jika selisih magnitud kedua faktornya kecil. Example Faktorkan bilangan n = Mulailah dengan k = 154 maka hanya dibutuhkan 2 langkah, diperoleh faktorisasi yang dimaksud adalah =
6 Generalisasi metoda faktorisasi Fermat Pada metoda sebelumnya, bilangan bulat x dan y memenuhi n = x 2 y 2. Sekarang x dan y lebih umum, yaitu cukup memenuhi x 2 y 2 (mod n). Misalkan d = gcd(x y,n) atau d = gcd(x + y,n), maka d n. Permasalahannya, apakah d faktor sejati, yaitu 1 < d < n? Dengan asumsi n = pq, p,q prima dengan p < q maka kemungkinan d adalah 1,p,q atau pq. x 2 y 2 (mod n) pq (x y)(x + y) Lemma Euclid p dan q membagi salah satu faktornya. Bila yang terjadi adalah p (x y) dan q (x y) pq (x y) x y(mod n), atau p (x + y) dan q (x + y) pq (x + y) x y(mod n). Situasi dimana x ±y(mod n) dikesampingkan. Jadi, d adalah salah satu p atau q.
7 Example Kita ingin memfaktorkan n = 2189 dengan memperoleh (mod 2189). Hitung gcd masing-masing, yaitu gcd(579 18,2189) = gcd(561,2189) = 11 gcd( ,2189) = gcd(597,2189) = 199 maka diperoleh 2189 = Bagaimana mendapatkan (mod 2189)? Jelaskan langkah-langkahnya?
8 Metoda Kraitchik (1920) Idenya adalah mencari bilangan x 1,x 2,,x k sehingga (x 1 n) (x k n) bil kuadrat, katakan y 2. Akibatnya dapat ditulis (x 1 x k ) 2 y 2 (mod n). Ini menghasilkan faktor taksejati n seperti sebelumnya. Example Kita akan memfaktorkan n = Inspeksi awal = Dimulai dari k = 112. Tidak diurutkan seperti metoda Fermat, tetapi cukup n = (mod 12499) n = (mod 12499) n = (mod 12499) Kita kalikan hasil-hasil ini diperoleh ( ) ( ) 2 (mod ) (mod 12499) gagal?
9 Example (lanjutan) Ambil kemungkinan lain, mis (mod 12499) (mod 12499) maka diperoleh ( ) 2 ( ) 2 (mod 12499) (mod 12499). Karena 1852 ±990(mod 12499) maka kita berhasil. Hitung gcd masing-masing seperti sebelumnya diperoleh faktorisasi =
10 Teorema Litle Fermat Theorem Misalkan p prima dan andaikan p a maka a p 1 1(mod p). Ilustrasi: p = 3 maka untuk a = 5 berlaku (mod 3), tetapi untuk a = 6 tidak berlaku bahwa = 36 1(mod 3). Proof. Kumpulkan p 1 kelipatan pertama a, yaitu V = {a,2a,3a,,(p 1)a}. Diperoleh fakta Tidak ada anggota V yang kongruen satu sama lainnya (mengapa?) Tidak ada anggota V yang kongruen dengan nol (mengapa?) Maka setiap anggota V pasti kongruen modulo p terhadap salah satu 1,2,,p 1. Kalikan semua kongruensi ini diperoleh a 2a 3a (p 1)a (p 1)(mod p) a p 1 (p 1)! (p 1)!(mod p) a p 1 1(mod p) (Why?).
11 Akibat Teorema Fermat Corollary Bila p prima maka a p a(mod p)untuk sebarang bil bulat a. Proof. Ada 2 kemungkinan: bila p a maka pernyataan otomatis berlaku. Bila p a maka mk dg Teorema Fermat diperoleh a p 1 1(mod p). Kalikan kedua ruas dengan a, Akibat ini terbukti. Example Kita akan membuktikan (mod 11). Ambil p = 11, a = (mod 11). Dengan fakta 5 2 3(mod 11) maka diperoleh 5 38 = = (5 10 ) 3 (5 2 ) (mod 11) 4(mod 11).
12 Uji Primalitas dengan Teorema Fermat Bila kongruensi a n a(mod n) tidak berlaku untuk suatu a maka dipastikan n komposit. Example Misalkan n = 117. Ambil a = 2. Tulis = ( 2 7) Karena 2 7 = (mod 117) maka berlaku (121) (mod 117). Tetapi 2 21 = ( 2 7) = (mod 117). Akhirnya diperoleh (mod 117). Jadi disimpulkan 117 komposit, faktanya 117 = 9 13.
13 The Wilson Theorem Historical notes: Announced in 1770 by Edward Waring ( ), conjecture by John Wilson (his former student), proved by Lagrange in Theorem p prime (p 1)! 1(mod p), or written as p (p 1)! + 1. Proof. Cases p = 2 and p = 3 as being evident. For p > 3, dene set E = {1,2,,p 1}. For any a E, the congruence ax 1(mod p) always has a unique solution a (why?). Since a solution then 1 a p 1 and aa 1(mod p). The following statement holds For aa 1(mod p): a = 1 or a = p 1 a = a. (why?)
14 Proof (cont...) Equivalently, for aa 1(mod p): a 1 and a p 1 a a. Deleting these elements from E, dene E 1 = {2,3,,p 2} consist of p 3 elements, an even integer (why?). There are p 3 2 pairs (a,a ) where a,a E 1 and a a such that aa 1(mod p). Multiply together and rearrange the factors, we obtain (p 2) 1(modp). (why???) Finally, multiply both sides by p 1, theorem is proved. (why??) Convers of Wilson's theorem also holds: Theorem (n 1)! 1(mod n) n prime. Proof. Supposed n composite, n has a factor d where 2 d n 1. It must be satised d (n 1)!. On the other hand, n (n 1)! + 1. It implies d (n 1)! + 1 (why???). Since d (n 1)! + 1 and d (n 1) then it neccesary d 1 (why???). The last statement is contra.
15 Primality test using the Wilson's theorem is more theoretical than practical, because as n increases, (n 1)! rapidly becomes unmanageable in size. Example Take p = 13 and E 1 = {2,3,,11}, then we have p 3 2 = 5 pairing of numbers where each product is congruent to 1 modulo 13, i.e (mod 13), 3 9 1(mod 13), (mod 13), 5 8 1(mod 13), (mod 13). Finally, it holds 11! 1(mod 13).
16 Application of Wilson Theorem Quadratic Congruences: ax 2 + bx + c 0(mod n), where a 0(mod n). Theorem x (mod p), p odd prime has solution p 1(mod 4).
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo May 25, 2014 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciBAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 11, 2012 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum kita membahas mengenai uji primalitas, terlebih dahulu kita bicarakan beberapa definisi yang diperlukan serta beberapa teorema dan sifat-sifat yang penting dalam teori bilangan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sejak tiga abad yang lalu, pakar-pakar matematika telah menghabiskan banyak waktu untuk mengeksplorasi dunia bilangan prima. Banyak sifat unik dari bilangan prima yang menakjubkan.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinciMatematika Diskrit. Reza Pulungan. March 31, Jurusan Ilmu Komputer Universitas Gadjah Mada Yogyakarta
Matematika Diskrit Reza Pulungan Jurusan Ilmu Komputer Universitas Gadjah Mada Yogyakarta March 31, 2011 Teori Bilangan (Number Theory) Keterbagian (Divisibility) Pada bagian ini kita hanya akan berbicara
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan prima, bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas (square free), keterbagian,
Lebih terperinciDisajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul
Disajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul Training of Trainer (TOT) Olimpiade Matematika Tingkat Sekolah Menengah Atas Untuk Guru-guru Sekolah Menengah Atas di Kabupaten Bantul
Lebih terperinciMetoda Pembuktian: Induksi Matematika
Metoda Pembuktian: 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo January 14, 011 ILUSTRASI Figure: Ilustrasi Induksi Reaksi Berantai Pada ilustrasi di atas, kartu-kartu disusun
Lebih terperinciMateri Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN
Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Oleh. Nikenasih B 1.1 SIFAT HABIS DIBAGI PADA BILANGAN BULAT Untuk dapat memahami sifat habis dibagi pada bilangan bulat, sebelumnya perhatikan
Lebih terperinciTeori Bilangan (Number Theory)
Bahan Kuliah ke-3 IF5054 Kriptografi Teori Bilangan (Number Theory) Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 3. Teori Bilangan Teori bilangan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi
Lebih terperinciBAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima
BAB II KETERBAGIAN 2.1 Pendahuluan Pada pertemuan minggu ke-3, dan 4 ini dibahas konsep keterbagian, algoritma pembagian dan bilangan prima pada bilangan bulat. Relasi keterbagian pada himpunan semua bilangan
Lebih terperinci3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang?
Pada bab ini dipelajari aritmatika modular yaitu aritmatika tentang kelas-kelas ekuivalensi, dimana permasalahan dalam teori bilangan disederhanakan dengan cara mengganti setiap bilangan bulat dengan sisanya
Lebih terperinciR. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Induksi Matematika Induksi matematika adalah : Salah satu metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik
Lebih terperinciBAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP
BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut. (1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan masing-masing
Lebih terperinciBAB III PENGEMBANGAN TEOREMA DAN PERANCANGAN PROGRAM
BAB III PENGEMBANGAN TEOREMA DAN PERANCANGAN PROGRAM 3.1 Pengembangan Teorema Pada penelitian dan perancangan algoritma ini, akan dibahas mengenai beberapa teorema uji primalitas yang telah ditemukan baru
Lebih terperinciBAB I INDUKSI MATEMATIKA
BAB I INDUKSI MATEMATIKA 1.1 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Dalam pembahasan
Lebih terperinciMENENTUKAN PRIMALITAS SEMUA BILANGAN YANG TERDAPAT PADA SELANG TERTENTU SECARA BRUTE FORCE
MENENTUKAN PRIMALITAS SEMUA BILANGAN YANG TERDAPAT PADA SELANG TERTENTU SECARA BRUTE FORCE E.Z. Adnan Kashogi 13505094 Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciMETODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 1 (2015), hal 85 94 METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Sari Puspita, Evi Noviani, Bayu Prihandono INTISARI Bilangan prima
Lebih terperinciTEORI BILANGAN. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0.
TEORI BILANGAN Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo October 29, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinciPemfaktoran prima (2)
FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian
Lebih terperinciAPOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 2 Nomor 2 Juli 2016 p 63-75 ISSN 2407-8840 BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE Moh Affaf Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN
Lebih terperincin suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritma Pembagian............................. 3 1.2 Pembagi persekutuan terbesar......................... 6 1.3 Algoritma Euclides............................... 11
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Universitas Sumatera Utara
5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kriptografi Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana mengirim pesan secara rahasia sehingga hanya orang yang dituju saja yang dapat membaca pesan rahasia tersebut.
Lebih terperinciBAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب
Lebih terperinciNama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS
Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan
Lebih terperinciTeori bilangan. Nama Mata Kuliah : Teori bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 sks. Deskripsi Mata Kuliah. Tujuan Perkuliahan.
Nama : Teori bilangan Kode /SKS : MAT- / 2 sks Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) TEORI BILANGAN Oleh : RINA AGUSTINA, M.Pd. NEGO LINUHUNG, M.Pd Mata kuliah ini masih merupakan
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan. Kuliah 10
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 10 Materi Kuliah Chinese Remainder Theorem (Teorema Sisa Cina) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Pengantar Chinese Remainder Theorem (Teorema sisa Cina) adalah hasil
Lebih terperinciJurnal Apotema Vol.2 No. 2 62
Jurnal Apotema Vol.2 No. 2 62 Sudjana. 2005). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito. Sugianto, D. 2014). Perbedaan Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw Dan Sta Ditinjau Dari Kemampuan Penalaran
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo January 12, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinciMAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER
MAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER Disusun : NIM : 12141424 Nama : Ristiana Prodi : Teknik Informatika B SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN ILMU KOMPUTER EL RAHMA YOGYAKARTA 2016 1. Pendahuluan
Lebih terperinciTEORI BILANGAN (3 SKS)
BAHAN AJAR: TEORI BILANGAN (3 SKS) O l e h Drs. La Misu, M.Pd. (Dipakai dalam Lingkungan Sendiri) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI
Lebih terperinciBilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika
Pembaharuan Terakhir: 28 Maret 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 5): Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika M. Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan
Lebih terperinciDAFTAR ISI 3 TEORI KONGRUENSI 39 4 TEOREMA FERMAT DAN WILSON 40
DAFTAR ISI 1 TEORI KETERBAGIAN 1 1.1 Algoritma Pembagian............................. 2 1.2 Pembagi persekutuan terbesar........................ 5 1.3 Algoritma Euclides.............................. 12
Lebih terperinciLembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan
Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA BENTUK PANGKAT (EKSPONEN)
Nama Siswa Kelas PETA KONSEP: LEMBAR AKTIVITAS SISWA BENTUK PANGKAT (EKSPONEN) Latihan :. :. 3. A. PANGKAT BULAT POSITIF Jika a R dan bilangan bulat positif n, maka a n didefinisikan sbg berikut: a n =
Lebih terperinciManusia itu seperti pensil Pensil setiap hari diraut sehingga yang tersisa tinggal catatan yang dituliskannya. Manusia setiap hari diraut oleh rautan
Manusia itu seperti pensil Pensil setiap hari diraut sehingga yang tersisa tinggal catatan yang dituliskannya. Manusia setiap hari diraut oleh rautan umur hingga habis, dan yang tersisa tinggal catatan
Lebih terperinci1.6 RULES OF INFERENCE
1.6 RULES OF INFERENCE 1 Argumen Argumen dalam logika adalah kumpulan sejumlah proposisi. Seluruh proposisi dalam suatu argumen, kecuali proposisi terakhir, disebut premis. Sedangkan proposisi terakhir
Lebih terperinciInduksi Matematika. Fitriyanti Mayasari
Induksi Matematika Fitriyanti Mayasari Pendahuluan Induksi Matematika merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang menegaskan bahwa suatu p(n) adalah benar
Lebih terperinciPENGKONSTRUKSIAN BILANGAN TIDAK KONGRUEN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 27 33 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENGKONSTRUKSIAN BILANGAN TIDAK KONGRUEN RATI MAYANG SARI Program Studi Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciNama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS
Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan
Lebih terperinciUji Keprimaan Probalistik Solovay-Strassen dan Rabin-Miller
Uji Keprimaan Probalistik Solovay-Strassen dan Rabin-Miller Maria Yus Trinity Irsan 1), Loeky Haryanto 2), Amir Kamal Amir 3) 1), 2), 3) Universitas Hasanuddin Abstrak Banyak skema kriptografi publik mengandalkan
Lebih terperinciPENGUJIAN BILANGAN CARMICHAEL. (Skripsi) Oleh SELMA CHYNTIA SULAIMAN
PENGUJIAN BILANGAN CARMICHAEL Skripsi Oleh SELMA CHYNTIA SULAIMAN JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG 2016 ABSTRAK PENGUJIAN BILANGAN CARMICHAEL Oleh SELMA
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH (2 sks) MX 127 Teori Bilangan
DIKTAT KULIAH ( sks) MX 17 Teori Bilangan (Revisi Terakhir: Juli 009 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, S.Si., M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana KATA
Lebih terperinciTEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa :
TEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa : 1 Menggunakan algoritma Euclid untuk menyelesaikan masalah. 2 Menggunakan notasi kekongruenan. 3 Menggunakan teorema Fermat dan teorema
Lebih terperinciMODUL PERSIAPAN OLIMPIADE. Oleh: MUSTHOFA
MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE Oleh: MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2007 1 TEORI BILANGAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan
Lebih terperinciKEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT ABSTRACT
KEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT Apriadi, Sri Gemawati 2, Musraini 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinci1.6 RULES OF INFERENCE
1.6 RULES OF INFERENCE 1 Argumen Argumen dalam logika adalah kumpulan sejumlah proposisi. Seluruh proposisi dalam suatu argumen, kecuali proposisi terakhir, disebut premis. Sedangkan proposisi terakhir
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
HANDOUT TEORI BILANGAN MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2011 1 RELASI KETERBAGIAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan
Lebih terperinci1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
1 TEORI KETERBAGIAN Bilangan 0 dan 1 adalah dua bilangan dasar yang digunakan dalam sistem bilangan real. Dengan dua operasi + dan maka bilangan-bilangan lainnya didenisikan. Himpunan bilangan asli (natural
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciHASIL DAN PEMBAHASAN. Algoritma Modular Exponentiation mempunyai kompleksitas sebesar O((lg n) 3 ) (Menezes et al. 1996).
pengukuran running time dari setiap perlakuan. Ulangan setiap perlakuan dilakukan sebanyak 10 kali untuk masing-masing RSA dan RSA-. Lingkungan Penelitian Perangkat keras dan perangkat lunak yang digunakan
Lebih terperinciBAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT
BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT. Pendahuluan Well-Ordering Principle Jika S himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, maka S memiliki sebuah unsur terkecil. Unsur
Lebih terperinciBab 2 Daerah Euclid. 2.1 Struktur Daerah Euclid
Bab 2 Daerah Euclid Pada bab ini akan dijelaskan mengenai daerah Euclid beserta struktur lain yang terkait nya. Beberapa struktur aljabar tersebut selanjutnya akan digunakan untuk melihat struktur gelanggang
Lebih terperinciPERANCANGAN PROGRAM APLIKASI UJI PRIMALITAS BERDASARKAN TEOREMA POCKLINGTON
PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI UJI PRIMALITAS BERDASARKAN TEOREMA POCKLINGTON Andy Sumantri Harsono NIM : 0992980008 ABSTRAK Di era globalisasi seperti saat ini, arus dan perkembangan teknologi sangatlah
Lebih terperinciBAHAN AJAR TEORI BILANGAN
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN PENYUSUN NURYADI, S.PD.SI, M.PD. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MERCU BUANA YOGYAKARTA 2014 FKIP UMB-Yogyakarta Page 1 KETERBAGIAN
Lebih terperinciContents. List of Tables. List of Figures. 1 Mathematics Proof Method Metode Pembuktian Matematis Direct Proof Bukti Langsung...
Contents Contents iv List of Tables v List of Figures vi 1 Mathematics Proof Method Metode Pembuktian Matematis 1 1.1 Direct Proof Bukti Langsung............................. 3 1.2 Indirect Proof Bukti
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan
Pengantar Teori Bilangan I Bilangan Bulat dan Operasinya Pembekalan dan pemahaman dasar tentang bentuk bilangan pada suatu kelompok/set/himpunan salah satunya adalah bilangan bulat (yang lazim disebut
Lebih terperinciTIF APPLIED MATH 1 (MATEMATIKA TERAPAN 1) Week 3 SET THEORY (Continued)
TIF 21101 APPLIED MATH 1 (MATEMATIKA TERAPAN 1) Week 3 SET THEORY (Continued) OBJECTIVES: 1. Subset and superset relation 2. Cardinality & Power of Set 3. Algebra Law of Sets 4. Inclusion 5. Cartesian
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinci2.1 Bilangan prima dan faktorisasi prima
BAB 2 BILANGAN PRIMA 2.1 Bilangan prima dan fatorisasi prima Definisi 2.1.1. Bilangan bulat p > 1 diataan prima jia ia hanya mempunyai pembagi p dan 1. Dengan ata lain bilangan prima tida mempunyai pembagi
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan. Kuliah 4
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 4 Materi Kuliah Bilangan Prima dan Distribusinya Teorema Fundamental Aritmatika Saringan Eratosthenes 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Bilangan Prima dan Komposit
Lebih terperinciSTUDI SEJARAH DAN PERKEMBANGAN BILANGAN PRIMA
STUDI SEJARAH DAN PERKEMBANGAN BILANGAN PRIMA Jansen - NIM : 13506028 Jurusan Teknik Informatika ITB, Bandung email: if16028@students.if.itb.ac.id Abstract Makalah ini membahas tentang perkembangan salah
Lebih terperinciStrategi Pembuktian. Finding proofs can be a challenging business
Strategi Pembuktian Finding proofs can be a challenging business Matematikawan memformulasikan conjecture dan kemudian mencoba membuktikan bahwa conjecture tersebut benar atau salah. Ketika dihadapkan
Lebih terperinciYurnalis 1. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
SIFAT MULTIPLICATIVE PADA HIIMPUNAN SISA Yurnalis 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
Lebih terperinciBILANGAN. Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit. Bilangan Asli
BILANGAN A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan,
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Kriptografi Kriptografi pada awalnya dijabarkan sebagai ilmu yang mempelajari bagaimana menyembunyikan pesan. Namun pada pengertian modern kriptografi adalah ilmu yang bersandarkan
Lebih terperinciPARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11 ABSTRACT
PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11 Abdul Akhyar 1, Syamsudhuha 2, Sri Gemawati 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan
Lebih terperinciFAST EXPONENTIATION. 1. Konsep Modulo 2. Perpangkatan Cepat
FAST EXPONENTIATION 1. Konsep Modulo 2. Perpangkatan Cepat Fast Exponentiation Algoritma kunci-publik seperti RSA, Elgamal, Rabin-Williams Cryptosystem, DSA, dan sebagainya, sederhana dalam perhitungannya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Kriptografi Kriptografi berasal dari bahasa Yunani. Menurut bahasa tersebut kata kriptografi dibagi menjadi dua, yaitu kripto dan graphia. Kripto berarti secret (rahasia) dan
Lebih terperinciAnalisis dan Implementasi Serangan Kunci secara Konkuren pada Algoritma RSA
Analisis dan Implementasi Serangan Kunci secara Konkuren pada Algoritma RSA Rezan Achmad / 13508104 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciOLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN
OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN Disajikan pada Pembimbingan Kompetisi Guru-Guru Matematika dalam pemecahan soal-soal OSN di lingkungan Sekolah Menengah Atas Kota
Lebih terperinciBAHAN AJAR TEORI BILANGAN
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN PENYUSUN NURYADI, S.PD.SI, M.PD. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MERCU BUANA YOGYAKARTA 2014 FKIP UMB-Yogyakarta Page 1 KETERBAGIAN
Lebih terperinciPERKONGRUENAN POLINOMIAL MODULO m
PERKONGRUENAN POLINOMIAL MODULO m Nunung Fajar Kusuma Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sebelas Maret Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan Jebres Surakarta, e-mail: nfjar@yahoo.com
Lebih terperinciBab 2: Kriptografi. Landasan Matematika. Fungsi
Bab 2: Kriptografi Landasan Matematika Fungsi Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi f dari A ke B adalah sebuah fungsi apabila tiap elemen di A dihubungkan dengan tepat satu elemen di B. Fungsi juga
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, penjelasan, dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang diberikan diantaranya adalah definisi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciMembangkitkan Bilangan Prima Mersenne di atas 512 Digit Menggunakan Kombinasi Eratosthenes dan Fermat Little Theorem Untuk Pendukung Kunci Publik RSA
Membangkitkan Bilangan Prima Mersenne di atas 512 Digit Menggunakan Kombinasi Eratosthenes dan Fermat Little Theorem Untuk Pendukung Kunci Publik RSA Muhammad Khoiruddin Harahap Magister Teknik Informatika,
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada
II. LANDASAN TEORI Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor bilangan bulat dan kekongruenan. 2.1
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciPERANGKAT PEMBELAJARAN
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : TEORI BILANGAN KODE : MKK206515 DOSEN : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN
Lebih terperinciContoh-contoh soal induksi matematika
Contoh-contoh soal induksi matematika Buktikan bahwa 2 n > n + 20 untuk setiap bilangan bulat n 5. (i) Basis induksi : Untuk n = 5, kita peroleh 2 5 > 5 + 20 adalah suatu pernyataan yang benar. (ii) Langkah
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciBILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT
BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya
Lebih terperinciHAPUS SALAH SATU BILANGAN DAN BERIKAN ALASAN, KENAPA BILANGAN ITU ANDA HAPUS.
15, 20, 23, 25 HAPUS SALAH SATU BILANGAN DAN BERIKAN ALASAN, KENAPA BILANGAN ITU ANDA HAPUS. Dst. KESIMPULAN : (hubungkan dengan SIKAP yang harus Anda miliki untuk memilih dan memberikan alasan) PROBLEM
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER. Sangadji *
FUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER Sangadji * ABSTRAK FUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER. Dalam makalah ini dibahas fungsi-fungsi
Lebih terperinciSOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar.
SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan hal-hal yang berhubungan dengan masalah dan bagaimana mengeksplorasinya dengan logaritma diskret pada menggunakan algoritme Exhaustive Search Baby-Step
Lebih terperinciKegunaan Chinese Remainder Theorem dalam Mempercepat dan Meningkatkan Efisiensi Peforma Sistem Kriptografi RSA
Kegunaan Chinese Remainder Theorem dalam Mempercepat dan Meningkatkan Efisiensi Peforma Sistem Kriptografi RSA Shauma Hayyu Syakura NIM : 13507025 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro
Lebih terperinciPERSAMAAN DIOPHANTINE KUADRATIK QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATION. Orgenes Tonga
PERSAMAAN DIOPHANTINE KUADRATIK x 2 (t 2 + t)y 2 (6t + 4)x + (6t 2 + 6t)y = 0 (t ) QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATION x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 (t ) Orgenes Tonga Pascasarjana Matematika, Universitas
Lebih terperinci