Metoda Pembuktian: Induksi Matematika

Transkripsi

1 Metoda Pembuktian: 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo January 14, 011

2 ILUSTRASI Figure: Ilustrasi Induksi

3 Reaksi Berantai Pada ilustrasi di atas, kartu-kartu disusun dalam jarak tertentu. Agar terjadi reaksi berantai, yaitu jatuhnya sebuah kartu akan menyebabkan robohkan kartu-kartu setelahnya maka haruslah memenuhi syarat berikut Minimal 1 kartu didorong sampai roboh Tinggi kartu tidak kurang dari jarak antar kartu, yaitu x < h.

4 Fungsi proposisi dengan domain N Misalkan P(n) fungsi proposisi dengan n N 0 N: himpunan bilangan asli. Example P(n): n n. Perhatikan P(), P(3) dan P(4) TRUE, tetapi P(n) FALSE untuk n lainnya. Kes: P(n) tidak bernilai benar untuk setiap bil asli n. Perhatikan contoh berikut ini. Example P(n) : n = n (n + 1). Coba periksa P(1), P(), P(3), semua bernilai TRUE. Bagaimana kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) TRUE untuk semua n N? Tidak mungkin dicoba satu per satu untuk semua bil asli.

5 Prinsip (PIM) Jika P(n 0 ) TRUE untuk suatu bilangan asli n 0 N. P(k) TRUE untuk sebarang k n 0 P(k + 1) TRUE maka P(n) TRUE untuk setiap n n 0. Example Buktikan n = n (n + 1) berlaku untuk setiap bil asli n. Proof. Di sini kita mempunyai P(n) : n = n (n + 1) n = 1 P(1) : 1 = 1 (1 + 1) 1 = 1 sehingga P(1) true. Asumsikan P(k) : k = k (k + 1) true. Untuk n = k + 1,

6 Lanj... P(k + 1) : k +(k }{{} + 1) = k (k + 1) + (k + 1) k (k+1) (k + 1) = (k + 1), yaitu P(k + 1) True. Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bil asli n. Perhatikan ketika membuktikan P(k + 1) salah satu ruas, mis ruas kiri dijabarkan sehingga sama dengan ruas kanan. Example Buktikan bahwa untuk setiap bil asli n, berlaku 1(1!) + (!) + + n(n!) = (n + 1)! 1

7 Lanj P(n) : 1(1!) + (!) + + n(n!) = (n + 1)! 1. Untuk n = 1, ruas kiri = 1(1!) = 1, dan ruas kanan= (1 + 1)! 1 = 1. Krn kedua ruas sama maka P(1) true. Skrg, asumsikan P(k) true untuk seb k; yaitu kita mempunyai 1(1!) + (!) + + k(k!) = (k + 1)! 1 Untuk n = k + 1, kita tunjukkan bahwa P(k + 1) true. Ruas kiri = 1(1!) + (!) + + k(k!) +(k + 1)(k + 1)! }{{} (k+1)! 1 = (k + 1)! 1 + (k + 1)(k + 1)! = (k + 1)!(1 + k + 1) 1 = (k + 1)!(k + ) 1 = (k + )! 1 = Ruas kanan

8 Prinsip Induksi Kuat Jika P(1) true P(1), P(),, P(k) true P(k + 1) true maka P(n) true untuk setiap bil asli n. Example Diberikan barisan yang didenisikan secara rekursif x 1 : = 1, x :=, x n+1 : = 1 (x n + x n 1 ) untuk n > 1 Buktikan 1 x n untuk setiap bil asli n.

9 Bukti... Proof. Di sini P(n) : 1 x n. Untuk n = 1, diperoleh x 1 = 1 sehingga P(1) true. Selanjutnya diasumsikan P(1), P(),, P(k) semuanya true, yaitu 1 x n untuk n = 1,,, n. Untuk n = k + 1 diperoleh x k + x k (x k + x k 1 ) 1 x k+1 yaitu berlaku P(k + 1).

10 Soal Latihan 1 Buktikan 7 n 1 selalu habis dibagi 6 untuk setiap bil asli n. Buktikan jika x > 1maka berlaku (1 + x) n 1 + nx untuk setiap bil asli n. 3 Buktikan n(n+1) = n n+1 untuk setiap bil asli n. 4 Buktikan bahwa ( 1) n+1 n = ( 1) n+1 n(n+1) untuk setiap bil asli n. 5 Berikan konjektur untuk rumus jumlah dari (n 1)(n+1), kemudian buktikan konjektur tsb dengan induksi matematika. 6 Buktikan n < n! untuk setiap n 4. 7 Buktikan n 3 n untuk setiap n 5. 8 Temukan bil asli terbesar m sehingga n 3 n dapat dibagi oleh m untuk setiap bil asli n.

11 Bukti Ekuvalensi (Dua arah) To prove a theorem that is a biconditional statement, that is, a statement of the form p q, we show that p q and q p are both true. The validity of this approach is based on the tautology (p q) [(p q) (q p)]. When we prove that a group of statements are equivalent, we can establish any chain of conditional statements we choose as long as it is possible to work through the chain to go from anyone of these statements to any other statement. For example, we can show that p 1, p and p 3 are equivalent by showing that p 1 p 3, p 3 p, and p p 1.

12 Contoh... Example Buktikan Teorema jika n bulat positif, maka n ganjil bila hanya bila n ganjil. Proof. Diketahui n bulat positif. Mis p : n ganjil dan q : n ganjil". Pertama, dibuktikan p q. Diketahui n ganjil, yaitu dapat ditulis n = k 1, k N. Diperoleh n = (k 1) = 4k 4k + 1 = (k k) +1 adalah ganjil. }{{} m Sebaliknya dibuktikan q p, yaitu n ganjil n ganjil. Ini dapat dibuktikan via kontraposisinya, yaitu n genap n genap. Tulis n = m maka diperoleh n = 4m juga genap. Terbukti p q.

13 Contoh Lanj... Example Buktikan p 1 p p 3 dimana p 1 : n genap, p : n 1 ganjil" dan p 3 : n genap. Proof. Cukup ditunjukkan dengan rute sbb: p 1 p, p p 3 dan p 3 p 1. Atau dengan menggunakan rute lainnya. Prinsipnya, subrute mudah dibuktikan dan semua terminal terakses. Terminal yang dimaksud adalah pernyataan.

14 Soal Latihan 1 Buktikan suatu bil bulat positif habis dibagi 9 bila hanya bila jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 9. Prove that m = n if and only if m = n or m = n. 3 Show that these statements about the real number x are equivalent: 1 x is rational, x/ is rational, and 3 3x 1 is rational. 4 Show that these statements about the real number x are equivalent: 1 x is irrational, 3x + is irrational, 3 x/ is irrational. 5 Prove that these four statements about the integer n are equivalent: (i) n is odd, (ii) 1 n is even, (iii) n 3 is odd, (iv) n + 1 is even.