SIMULASI FILTER KALMAN UNTUK ESTIMASI SUDUT DENGAN MENGGUNAKAN SENSOR GYROSCOPE

Transkripsi

1 SIMULASI FILR KALMAN UNUK SIMASI SUDU DNGAN MNGGUNAKAN SNSOR GYROSCOP Wahyudi *), Adhi Susanto **), Sasongo Pramono **), Wahyu Widada ***) Abstact he Kalman filter is a recursive solution to the process linear filtering problem that can remove the noise from signal and then the information can useful. he process that use Kalman filter must be approximated as two equations of linear system, state equation and output equation. Computation of Kalman filter is minimizes the mean of the square error. his paper explore the basic consepts of the Kalman filter algorithm and simulate its to filter data of gyroscope to get a rotation. he measurement noise covariance determines how much information from the sample is used. If measurement noise covariance is high show that the measurement isn t very accurate. he process noise covariance contributes to the overall uncertainty of the estimate as it is added to the error covariance matrix in each time step. If the error covariance matrix is small the Kalman filter incorporates a lot less of the measurement into estimate of rotation. Key words: Kalman filter, linear system, gyroscope Pendahuluan Pada tahun 960, R.. Kalman mempubliasian maalahnya yang merupalan solusi recursive tentang masalah filter pada proses yang linier, sehingga filter tersebut dienal dengan nama filter Kalman. Filter Kalman dapat menghi-langan noise dari suatu sinyal yang mengandung informasi dan mengambil informasi ter-sebut untu diproses lebih lanjut. Suatu proses yang menggunaan filter Kalman untu memfilter noise harus dapat disajian dalam dua persamaan, yaitu persamaan state dan persamaan eluaran. Masing-masing persamaan mempunyai noise dan saling bebas, sehingga tida ada orolasi silang antara edua noise. asil perhitungan optimal yang digunaan untu mendapatan nilai estimasi pada Kalman dilauan dengan meminimalan rerata uadrat error. Pada simulasi ini diperlihatan rotasi (sudut) pada derajat ebebasan yang dilauan dengan memberian nilai covarieance dari noise penguuran dan covariance dari noise proses yang berbeda-beda untu melihat pengaruh dari masing-masing noise. Data sinyal masuan yang diberian berupa ecepatan sudut yang nilainya onstan. Filter Kalman Filter Kalman digunaan untu menyelesaian permasalah estimasi state pada suatu proses yang dapat dinyataan dalam persamaan deferensial linear seperti pada persamaan. [5] x f x, u, w = + x = A x + B u + w +...() Noise pada proses diasumsian sebagai proses random berdistribusi normal seperti pada persamaan 2. *) Staf Pengajar Jurusan eni letro F Undip **) Staf Pengajar Jurusan eni letro F UGM ***) Staf Peneliti LAPAN Rumpin Bogor ( w) = 0 dan ( wi w ) Q = untu i =...(2) Nilai matri Q dapat dihitung dengan menggunaan persamaan 3 [,4] Q = S = w w w + + Q = A( +, ξ ) G ( ξ ) u( ξ ) dξ A( +, η ) G ( η ) u( η ) dη...(3) Dengan G merupaan fungsi alih yang menghubungan antara sinyal masuan ω dengan eluaran state x. Dari persamaan terlihat bahwa state x belum bisa diobservasi, sehingga untu melauan observasi diperluan model penguuran yang memetaan state e eluaran y yang dapat diobservasi seperti pada persamaan 4. y = h x, v y = x + v...(4) Noise pada penguuran diasumsian sebagai proses random berdistribusi normal seperti pada persamaan 5. ( v) = 0 dan ( viv ) R = untu i =....(5) Diasumsian pula bahwa proses random w dan v adalah saling bebas, sehingga nilai crosscorrelation adalah nol. = untu semua i dan....(6) 0 w i v Nilai estimasi state dari estimasi posteriori penguuran sebenarnya pada filter Kalman ditentuan y ( y ) ( x + v ) = x + K = + K serta selesih antara dan estimasi penguuran ˆ x seperti pada persamaan 7. ˆ...(7) KNIK Vol. 30 No. 2 ahun 2009, ISSN

2 Selisih nilai antara penguuran sebenarnya estimasi penguuran ˆ x dan disebut sebagai residual atau penguuran innovation. Jia nilai residual adalah nol, maa hal itu menunjuan bahwa hasil estimasi sama dengan hasil penguuran. Nilai adalah fator gain pada filter Kalman. Pada filter Kalman dipilih nilai K y K sehingga estimasi posteriori adalah optimal atau mempunyai error yang minimum. Nilai P minimum diperoleh jia nilai K dapat menyediaan estimasi yang mempunyai covariance minimum. Penyelesaian untu mendapatan P minimum adalah apabila nilai sebagai beriut. ( = P P + R K K )...(8) Nilai P minimun adalah sebagai beriut P = I K P...(9) Karena tida ada nilai orolasinya dengan noise yang lain w, maa nilai estimasi priori diberian pada persamaan 0 yang diperoleh dengan menghilangan w = A + noise dari persamaan, ˆ...(0) x + B u Nilai covariance dari error P = A P A + Q +...() Perancangan Keluaran sensor gyroscope adalah berupa tegangan yang menyataan besaran ecepatan sudut. Besar sudut dari eluaran sensor dapat dihitung dengan cara mengintegralan, sehingga hubungan antara sinyal ecepatan sudut dan eluaran sudut diperlihatan pada Gambar. s Gambar. ubungan antara sinyal ecepatan sudut dan sudut. Sinyal masuan (u) adalah ecepatan sudut dan eluaran (θ) adalah sudut. Sinyal ecepatan sudut disampling dengan periode sampling. ubungan antara ecepatan sudut dan sudut dalam transformasi Laplace diperlihatan pada persamaan 2. u( s) θ ( s) =...(2) s s θ ( s) = u() s...(3) Persamaan 3 diubah embali e awasan watu, sehingga menjadi : dθ ( t) = u() t...(4) dt Persamaan 4 diubah e dalam bentu disrit, sehingga menjadi: θ+ θ = u = u θ+ θ + = θ θ + u...(5) Noise pada sinyal ecepatan sudut ( ) adalah random variabel, maa persamaan 5 dapat ditulisan sebagai beriut θ + = θ +u + w w Didefinisian vetor state x berupa sudut x = θ Dari persamaan dan persamaan 4 dapat ditulisan suatu persamaan proses linier untu state dan penguuran eluaran adalah x + = x + u + w...(6) y = x + v...(7) Covariance dari noise proses dapat dihitung dengan menggunaan persamaan 3 dan dengan memperhatian pada Gambar, dengan state x = θ dan y = x. Jia G(s) adalah fungsi yang menghubungan u dan x, maa nilai G( s) = atau g ( t) =. s Q = ( x x )...(8) ( x x ) g( ξ ) w( ξ ) dξ g( η) w( η dη = ) x = σ w 2 ( x x ) = σ w. dξ 2 ( x ) dη Diagram blo hubungan antara proses, penguuran, dan filter Kalman yang diperlihatan pada Gambar 2 disusun berdasaran persamaan, persamaan 4, persamaan 7, persamaan 8, persamaan 9, persamaan 0, dan persamaan. [3,5] w A x x z v y A x ˆ x Gambar 2. ubungan antara proses, penguuran, dan filter Kalman. K z KNIK Vol. 30 No. 2 ahun 2009, ISSN

3 Bedasaran hubungan antara proses, penguuran, dan filter Kalman pada Gambar 2, maa dapat dibuat diagram alir program simulasi seperti pada Gambar 3. +, P + K,, P +, P + Gambar 3 Diagram alir program simulasi. Pada awal program dijalanan, ada empat parameter yang harus dimasuan yaitu durasi tampilan hasil perhitungan, watu sampling, standar deviasi dari noise proses, dan standar deviasi dari noise penguuran. Inisialisasi state awal diberi nilai nol dan ecepatan sudut dibuat tetap yaitu radian/deti. Covariance dari error penguuran dan covariance dari noise proses dapat ditulisan sebagai beriut R = devnoisepeng^2; Q = devnoiseproses^2*[dt^2]; Inisialisasi awal untu estimasi state dan matri covariace adalah sebagai beriut. xhat = x; P = Q; Nilai matri A, matri B, dan matri adalah. A = B = = Ketiga matri tersebut dapat ditulisan sebagai beriut a = []; b = [dt]; h = []; Perhitungan nilai state, eluaran proses, estimasi state, gain Kalman, dan matri covariance P adalah sebagai beriut. NoiseProses = devnoiseproses * [dt*randn]; x = a * x + b * u + NoiseProses; NoisePeng = devnoisepeng * randn; y = h * x + NoisePeng; xhat = xhat + K * Inn; K = P * h' * inv(s); P = P - K * h * P; Dengan nilai Inn dan s sebagai beriut Inn = y - h * xhat; s = h * P * h' + R; Perhitungan a priori adalah sebagai beriut. xht = a * xhat + b * u; P = a * P * a' + Q; asil dan Analisis asil pengujian terhadap program yang telah dibuat diperlihatan pada Gambar 4 sampai dengan Gambar 7. asil pengujian dilauan dengan durasi 20 deti dan watu sampling 0, diti, hal ini dilauan agar gambar hasil pengujian lebih mudah diamati. Pada semua pengujian dilauan dengan sinyal masuan yang sama, yaitu radian/det. Pengujian dilauan untu melihat pengaruh noise proses dan noise penguuran terhadap hasil penguuran dan hasil estimasi sudut, sehingga untu melihat hal tersebut dilauan dengan memberian nilai standar deviasi dari noise proses dan nilai standar deviasi noise penguuran yang berbeda-beda. Pada Gambar 4 diperlihatan hasil pengujian dengan nilai standar deviasi noise proses dan nilai standar deviasi noise penguuran masing-masing 0 radian/det dan 0 radian. Pada Gambar 5 diperlihatan hasil pengujian dengan nilai standar deviasi noise proses dan nilai standar deviasi noise penguuran masing-masing 0 radian/det dan radian. a. Sudut (nyata, penguuran, dan estimasi). b. c. rror penguuran dan estimasi sudut. d. Gambar 4 asil simulasi untu standar deviasi noise proses 0 radian/det dan standar deviasi noise penguuran 0 radian. KNIK Vol. 30 No. 2 ahun 2009, ISSN

4 a. Sudut (nyata, penguuran, dan estimasi). b. rror penguuran dan estimasi sudut. Gambar 6 asil simulasi untu standar deviasi noise proses radian/det dan standar deviasi noise penguuran 0 radian. b. rror penguuran dan estimasi sudut. Gambar 5 asil simulasi untu standar deviasi noise proses 0 radian/det dan standar deviasi noise penguuran radian. Pada saat diberi nilai standar deviasi noise proses 0 radian/det dan nilai standar deviasi noise penguuran 0 radian (Gambar 4), maa terlihat bahwa nilai error penguuran masimal sampai 28 radian dan error estimasi masimal sampai 6 radian. Pada standar deviasi noise proses yang sama sedangan nilai noise penguuran radian (Gambar 5), maa error penguuran masimal hanya 3,2 radian dan error periraan masimal hanya 2,3 radian. al ini dapat diataan bahwa jia semain ecil noise penguuran, maa error penguuran dan error estimasi aan lebih ecil. Noise penguuran yang ecil menyebaban hasil penguuran dan hasil estimasi mendeati dengan nilai sebenarnya. Dengan ata lain dapat diataan bahwa jia suatu sistem yang bai aan mempunyai noise penguuran yang ecil, arena hasil penguuran aan mendeati dengan nilai sebenarnya. Demiian juga dapat diataan bahwa hasil estimasi dengan menggunaan filter Kalman aan lebih bai jia instrumentasi tersebut mempunyai noise penguuran yang ecil. Pada Gambar 6 diperlihatan hasil pengujian dengan nilai standar deviasi noise proses dan nilai standar deviasi noise penguuran masing-masing radian/det dan 0 radian. Pada Gambar 7 diperlihatan hasil pengujian dengan nilai standar deviasi noise proses dan nilai standar deviasi noise penguuran masingmasing radian/det dan radian. Pada saat diberi nilai standar deviasi noise proses radian/det dan nilai standar deviasi noise penguuran 0 radian (Gambar 6), maa terlihat bahwa nilai error penguuran masimal sampai 23 radian dan error estimasi masimal sampai 2 radian. Pada standar deviasi noise proses yang sama sedangan nilai standar deviasi noise penguuran radian (Gambar 7), maa error penguuran masimal hanya 3 radian dan error periraan masimal hanya 0,8 radian. al ini dapat diataan bahwa jia semain ecil noise penguuran, maa error penguuran dan error estimasi aan lebih ecil. Noise penguuran yang ecil menyebaban hasil penguuran dan hasil estimasi mendeati dengan nilai sebenarnya. Dengan ata lain dapat diataan bahwa suatu instrumentasi yang bai aan mempunyai noise penguuran yang ecil, arena hasil penguuran aan mendeati dengan nilai sebenarnya. Demiian juga dapat diataan bahwa hasil estimasi dengan menggunaan filter Kalman aan lebih bai jia instrumentasi tersebut mempunyai noise penguuran yang ecil. a. Sudut (nyata, penguuran, dan estimasi). a. Sudut (nyata, penguuran, dan estimasi). KNIK Vol. 30 No. 2 ahun 2009, ISSN

5 b. rror penguuran dan estimasi sudut. Ga mbar 7 asil simulasi untu standar deviasi noise proses radian/det dan standar deviasi noise penguuran radian. Kesimpulan Dari hasil simulasi dengan berbagai perubahan standar deviasi noise penguuran dan standar deviasi noise proses dapat disimpulan sebagai beriut.. Penggunaan filter Kalman pada simulasi masuan gyroscope dapat meredusi noise yang ada pada sinyal masuan dan noise yang ada pada penguuran, sehingga hasil estimasinya mendeati dengan nilai nyata. rror pada estimasi sudut sangat ecil. 2. Nilai standar deviasi dari noise proses tida banya berpengaruh terhadap hasil penguuran dan hasil estimasi sudut, sedangan nilai standar deviasi dari noise penguuran sangat berpengaruh terhadap hasil penguuran dan hasil estimasi. 3. asil simulasi dengan deviasi standar dari noise penguuran besar memperlihatan hasil penguuran dan hasil estimasi menjauhi dari nilai nyata dan jia deviasi standar dari noise penguuran ecil, maa hasil penguuran dan hasil estimasi aan mendeati dengan nilai sebenarnya. 4. Suatu sistem yang bai aan mempunyai noise penguuran yang ecil, arena hasil penguuran aan mendeati dengan nilai sebenarnya dan aan memberian hasil estimasi yang lebih bai jia menggunaan filter Kalman. Daftar Pustaa. Brown, Robert Grover, 997, Introduction to Random Signals and Applied Kalman filtering, John Willey & Son, third edition, Canada. 2. Fresston, Leonie, 2002, Application of Kalman Filter Algorithm to Robot Localisation and World Modeling, lectrical ngineering Final Year Project, University of Newcastle, NSW, Australia. 3. Grewal, Mohinder S and Angus P. Andrews, 200, Kalman Filtering, John Willey & Son, third edition, Canada. 4. Kalman, R,960, A new a proach to linear filtering and prediction problem, ransactions of the ASM -Journal of basic engineering, series D,82, Simon, Dan, 200, Kalman Filtering, academic.csuohio.edu.welch, Greg and Gary Bishop, 2006, An Introduction to he Kalman Filter, Departement of Computer Science University of North CarolinaatChapelil KNIK Vol. 30 No. 2 ahun 2009, ISSN

6 KNIK Vol. 30 No. 2 ahun 2009, ISSN

7 KNIK Vol. 30 No. 2 ahun 2009, ISSN