Tesis ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK UNSCENTED KALMAN FILTER UNTUK ESTIMASI KEADAAN PADA PERSAMAAN AIR DANGKAL. Oleh:

Transkripsi

1 Tesis ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK UNSCENTED KALMAN FILTER UNTUK ESTIMASI KEADAAN PADA PERSAMAAN AIR DANGKAL Oleh: Habib Hasbullah NRP Dosen Pembimbing: Dr. Erna Apriliani, M.Si

2 Abstra Unscented Kalman filter (UKF) adalah estimator non linear yang secara husus sesuai untu masalah sistem non linear omples. Dalam unscented Kalman filter (UKF), ovarian error diestimasi dengan mempropagasi e depan sebuah himpunan titi-titi sigma (sigma point) yang merupaan contoh ruang eadaan pada loasi terpilih secara cerdas. Untu sistem berdimensi besar, beban omputasi algoritma unscented Kalman filter (UKF) juga besar. Tesis ini mengaji sebuah versi aprosimasi dari unscented Kalman Filter (UKF), yaitu algoritma adaptive covariance ran unscented Kalman Filter. Dalam adaptive covariance ran unscented Kalman Filter, ovarian error direpresentasian dengan aprosimasi ran teredusi dan tida dalam uuran penuh. Teni redusi ran dilauan dengan membentu deomposisi nilai singular (singular value decomposition) dari matris aar uadrat ovarian error. Algoritma adaptive covariance ran unscented Kalman Filter digunaan untu estimasi eadaan pada persamaan (model) air dangal (shallow water equation) nonlinear berbentu saint Venant. Hasil simulasi yang dilauan menunjuan bahwa estimasi eadaan menggunaan adaptive covariance ran unscented Kalman Filter memberian hasil estimasi yang bai dan berimpit, bai dengan realnya maupun dengan full ran unscented Kalman filter. Redusi ran dapat dilauan sampai dengan ran e 20 dari full ran 40.

3 Latar Belaang Unscented Kalman filter (UKF) adalah salah satu metode ensemble filter yang diembangan untu menasir eadaan pada sistem non linear. Beberapa hasil penelitian, antara lain: Rudi (2007), Kandepu, d (2008), Baehaqi (2009), menunjuan bahwa estimasi eadaan menggunaan unscented Kalman filter (UKF) pada beberapa masalah sistem non linear memberian hasil yang estimasi aurat (bai) dibandingan dengan extended Kalman filter (EKF) maupun ensemble Kalman filter (EnKF). Tetapi watu omputasi UKF cenderung lebih lama dibanding EKF. Berdasaran hal-hal di atas penulis mengaji sebuah algoritma filter teredusi dari UKF yang diharapan lebih efesien dan efetif serta mudah diimplementasian, yaitu adaptive covariance ran unscented Kalman filter. Algoritma ini digunaan untu estimasi eadaan pada persamaan air dangal non linear berbentu saint Venant.

4 Perumusan Masalah 1. Bagaimanaah bentu algoritma adaptive covariance ran untu unscented Kalman filter? 2. Bagaimanaah efetifitas dan efesiensi algoritma adaptive covariance ran unscented Kalman filter untu estimasi eadaan pada persamaan (model) air dangal (shallow water equation)?

5 Batasan Masalah 1. Algoritma adaptive covariance ran untu unscented Kalman filter ini diterapan (disimulasian) untu estimasi variabel eadaan pada persamaan air dangal (shallow water equation) nonlinear satu dimensi. Bentu persamaan air dangal yang digunaan adalah bentu persamaan saint Venant. 2. Bentu simulasi yang dilauan dengan membandingan efetifitas dan efesiensi beberapa pengurangan (redusi) ran pada algoritma adaptive covariance ran unscented Kalman filter terhadap algoritma full ran unscented Kalman filter (UKF).

6 Tujuan Penelitian 1. Mengaji pembentuan algoritma filter teredusi untu unscented Kalman filter (UKF). 2. Mengetahui tingat aurasi dan efesiensi metode filter teredusi untu unscented Kalman filter (UKF), yaitu adaptive covariance ran unscented Kalman filter yang digunaan unt estimasi eadaan pada persamaan air dangal (shallow water equation) non linear satu dimensi dalam bentu saint Venant.

7 Manfaat Penelitian 1. Memperoleh sebuah algoritma filter teredusi yang diharapan dapat memperbaii inerja algoritma unscented Kalman filter (UKF), yaitu adaptive covariance ran unscented Kalman filter 2. Sebagai metode alternatif bagi para peneliti bidang estimasi dengan melihat esesuaian dengan masalah yang dihadapi.

8 Kajian Pustaa Unscented Kalman Filter Metode ini menggunaan transformasi unscented, yaitu suatu metode untu menghitung statisti (mean dan ovarian) yang mengalami transformasi nonlinear. Ide utama unscented Kalman filter (UKF) adalah untu mengaprosimasi mean eadaan dan ovariannya menggunaan matris titi-titi berbobot dari ruang eadaan yang disebut titi-titi sigma

9 Unscented Kalman Filter Misalan diberian sistem nonlinear watu disrit : x = f( x, u ) + w 1 z = hx (, ) + v dengan : x u = Keadaan sistem berdimensi = Input, L x w L w = Noise Sistem berdimensi dengan ovarian w R z v = Fungsi dari Penguuran = Noise Penguuran berdimensi dengan ovarian L v v R

10 Unscented Kalman Filter Implementasi dari unscented Kalman filter (UKF), secara husus memperhatian sebuah sistem yang diperbesar berdimensi x aug x = w v L= Lx + Lw + Lv Dengan ovariannya P x P 0 0 w = 0 R 0 v 0 0 R Tetapi untu asus dengan noise sistem dan noise penguuran semata-mata aditif, tida dibentu sistem diperbesar (augmented).

11 Algoritma Unscented Kalman Filter (UKF) Inisialisasi Kalulasi Sigma Point Predisi (Time Update) Koresi (Measurement Update)

12 HOME Inisialisasi x = E[ x ] 0 0 ; T Px = E ( x x )( x0 x ) ; x 0 aug x0 = 0 ; 0 aug aug aug aug T P ˆ ˆ 0 = E ( x0 x0 )( x0 x0 ).

13 HOME Kalulasi Sigma Point χ χ χ (0) = x aug 1 aug i = x + ( L+ λ) P, i = 1,..., L () i () 1 1 aug i = x ( L+ λ) P, i = 1,..., L ( i+ L) () 1 1 α = Parameter pensalaan yang menentuan penyebaran sigma point di seitar mean x dengan 0<α<1 L =Dimensi sistem diperbesar P () i =2 λ = α ( L+ κ) L, dengan κ = 0 1 Kolom e-i dari matris ovarian P

14 HOME Tahap Predisi (Time Update) 1) Forecast untu tiap-tiap sigma point dengan χ f ( x, w = f χ χ ) 2) Hitunglah forecast vetor eadaan dan ovariannya 2L f () i () i f = E[ f χ ] = ω χ i= 0 xˆ ( ) 2L f x () i () i f f () i f f T ˆ ˆ = ωc χ χ i= 0 P [( x )( x ) ] ω () i () i dengan bobot dan c didefinisian: ω (0) λ ω = L + λ (0) λ 2 ωc = + 1 α + β L + λ () i () i 1 ω = ωc =, i = 1,..., 2L 2( L + λ)

15 HOME Tahap Koresi 1) Memetaan sigma point forecast dalam ruang penguuran dengan forecast vetor penguuran 2) Menghitung ovarian 2L f () i () i = ω Z i= 0 2L zz () i () i f () i f T = ωc i= 0 P [( Z z )( Z z ) ] 2L xz () i () i f () i f T ˆ = ωc χ i= 0 P [( x )( Z z ) ] dengan matris bobot xz zz K = P ( P ) 1 3) Menghitung eadaan dan ovarian analisis. a f f xˆ = xˆ + K ( z z ) f P = P KP K a x zz T z Z = h( χ, χ ) () i x v 4) Membentu Keadaan dan Kovarian diperbesar untu iterasi beriutnya.

16 Deomposisi Nilai Singular Deomposisi nilai singular (SVD) adalah menulisan suatu matris dalam bentu peralian matris diagonal yang berisi nilai-nilai singularnya, dengan matris yang berisi vetor-vetor singular yang bersesuaian. Teorema (Golub & van Loan, 1993) m n Jia A R suatu matris real maa terdapat matris matris orthogonal m n U = [ u,..., u ] R dan 1 1 m n n V = [ v,..., v ] R sedemiian hingga n T U AV = diag( σ,..., σ ) dengan p = min[ m, n] dan σ σ... σ 1 p 1 2 p A R m n dapat dinyataan sebagai deomposisi matris, yaitu U, Σ,danV,sehingga A= UΣV T

17 Redusi Ran Redusi ran dilauan berdasaran pada teorema sebagai beriut (Golub & van Loan, 1993): m n T Misal SVD dari A R adalah A= UΣ V. Jia < r = ran( A) dan Maa A T = σ iuv i i i= 1 min ran ( A ) = + 1 dengan σ = nilai singular, u dan v vetor singula r. i A A = σ i Redusi ran dilauan pada matris diagonal Σ yang entri-entri diagonalnya berupa nilai-nilai singular. i

18 Persamaan Air Dangal Sema model air dangal dapat digambaran sebagai beriut: Persamaan air dangal non linear yang digunaan berbentu saint Venant. h u h B + A + ub = q t x x u u h q + u + g = gs ( 0 Sf ) u t x x A dengan syarat batas h x u = 0; u(0, t) = ut ( ); = 0; hlt (, ) = ht ( ) x x= 0 x= L

19 Metode Penelitian MERUMUSKAN MASALAH PENELITIAN MENGKAJI METODE KF, UKF, DAN MODEL SISTEM MENGKAJI PEMBENTUKAN ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK UKF SIMULASI DAN ANALISA APLIKASI ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK UKF PADA MODEL DISKRITISASI MODEL KESIMPULAN

20 Pembahasan Algoritma Adaptive Covariance Ran UKF Kovarian error forecast eadaan, Kovarian Cross eadaan dan Penguuran, dan Kovarian Penguuran disederhanaan notasinya: 2L f x () i () i f f () i f f T T [( ˆ )( ˆ ) ] ˆ ˆ T = ωc χ χ Ω i= 0 P x x A A AA 2L zz () i () i f () i f T T [( )( ) ] ˆ ˆ T = ωc ΖΩΖ ΖΖ i= 0 P Z z Z z 2L xz () i () i f () i f T T [( ˆ )( ) ] ˆ ˆ T = ωc χ ΩΖ Ζ i= 0 P x Z z A A dengan Aˆ = A Ω dan Ζ ˆ = Ζ Membentu deomposisi nilai singular Aˆ = U Σ V T, dengan Ω Lx Lx Lx (2L+ 1) = [ 1,..., L ], Σ = [ σ1,..., σ p,..., σr], U u u R R x 2L+ 1 2L+ 1 dan V = [ v1,..., v2l+ 1] R, r = min( Lx,(2L+ 1))

21 Pembahasan Algoritma Adaptive Covariance Ran UKF Meredusi ran matris Aˆ yang dinyataan dengan ˆ T A = U Σ V, dengan r r r r Aˆr u u u u σ p 1 p u 0 1 u2 u p u σ p Lx p p p Ur = R ; Σ = R ; Lx Lx Lx Lx u u2 up 1 u σ p p V r v1 v2 vp 1 v p v1 v2 vp 1 vp = L+ p R ; dengan p < r L+ 1 2L+ 1 2L+ 1 2L+ 1 v1 v2 vp 1 vp

22 Algoritma Adaptive Covariance Ran UKF Diperoleh Aprosimasi redusi ran ovarian error predisi: L f x () i () i f f () i f f T = ω ( χ ˆ )( χ ˆ c ) i= 0 P x x = AA ˆ ˆ T Aˆ Aˆ r T r = U Σ U p 2 T r ( r ) r, dengan ran Redusi ran dilauan pula pada ovarian noise sistem dan ovarian noise penguuran, sehingga diperoleh aprosimasinya: w T T w w 2 wt = r r = r ( Σr ) r, dengan ran w R Q Q Q Q U U p T T v v v v v v v 2 vt = r r = r ( Σr ) r, dengan ran v R R R R R U U p

23 Algoritma Adaptive Covariance Ran UKF Sedangan ovarian analisisnya : dengan

24 Algoritma Adaptive Covariance Ran UKF Sigma point yang diperluan dalam algoritma ini sebanding dengan redusi ran matris ovarian error, yaitu: Lr = p+ pw + pv Sigma Point dihitung dengan formula beriut: χ χ χ (0) = x aug 1 aug i = x + ( L + λ) S, i = 1,..., L () i () 1 r 1 r aug i = x ( L + λ) S, i = 1,..., L ( i+ L) () 1 r 1 r Dengan bobot diberian: (0) λ ω = Lr + λ (0) λ 2 ωc = + 1 α + β L + λ ω r 1 = ω =, i = 1,...,2L () i () i c r 2( Lr + λ)

25 PERBANDINGAN UKF DAN ADAPTIVE RANK UKF

26 PERBANDINGAN UKF DAN ADAPTIVE RANK UKF

27 PERBANDINGAN UKF DAN ADAPTIVE RANK UKF

28 PERBANDINGAN UKF DAN ADAPTIVE RANK UKF

29 Pendisritan Model Persamaan air dangal didisritan dengan metode beda hingga. Metode beda hingga yang digunaan adalah forward in time center in space. Diperoleh persamaan dalam bentu disrit: Dalam hal ini ruang eadaan di grid menjadi 20, sehingga terdapat 40 state. Artinya sistem berdimensi 40.

30 Selanjutnya dengan i=1,..., 20, diperoleh persamaan ruang eadaan watu disrit Persamaan penguurannya adalah: z = hx (, ) + v Dalam hal ini variabel etinggian (h) sebagai variabel yang diuur.

31 Hasil Simulasi

32 Hasil Simulasi Ran 36 Hasil Simulasi Ran 30 Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunaan UKF dan Adaptive Ran UKF 6 ACR-UKF Ran 36 nilai real UKF 5.5 Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunaan UKF dan Adaptive Ran UKF 6.5 ACR-UKF Ran 30 nilai real UKF 6 Ketinggian Aliran Ketinggian Aliran Posisi x i Posisi x i Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunaan UKF dan Adaptive Ran UKF ACR-UKF Ran 36 real UKF Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunaan UKF dan Adaptive Ran UKF 2.6 ACR-UKF Ran 30 real 2.4 UKF 2.2 Kecepatan Aliran Posisi x Kecepatan Aliran Posisi x i

33 Hasil Simulasi Ran 20 Hasil Simulasi Ran 18 Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunaan UKF dan Adaptive Ran UKF 7.5 ACR-UKF Ran 20 nilai real UKF 7 Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunaan UKF dan Adaptive Ran UKF 11 ACR-UKF Ran 18 nilai real 10 UKF 9 Ketinggian Aliran Ketinggian Aliran Posisi x i Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunaan UKF dan Adaptive Ran UKF 2.1 ACR-UKF Ran 20 2 real UKF Posisi x i Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunaan UKF dan Adaptive Ran UKF 12 ACR-UKF Ran 18 real 10 UKF Kecepatan Aliran Kecepatan Aliran Posisi x i Posisi x i

34 Nilai Singular Full Matris Kovarian Error Ke - Nilai Ke - Nilai 1 1.0e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 * e+004 *0.0000

35 Rata-Rata Error Estimasi ADAPTIVE COVARIANCE RANK UKF ALGORITMA KETINGGIAN KECEPATAN UKF 0, , Ran 36 0, ,25470 Ran 30 0, , Ran 20 0, , Ran 18 27, , Watu Komputasi Algoritma SIMULASI KE- UKF ACR-UKF RANK 36 RANK 30 RANK 20 RANK , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,54270 RATA-RATA 1, , , , ,55634

36 Kesimpulan 1. Algoritma adaptive covariance ran unscented Kalman filter merupaan algoritma filter teredusi dari unscented Kalman filter. Dalam adaptive covariance ran unscented Kalman filter, maris ovarian error dinyataan dalam bentu ran teredusi dan tida dalam uuran penuh. Teni redusi (pemotongan) ran yang digunaan adalah deomposisi nilai singular (singular value decomposition). 2. Hasil simulasi yang telah dilauan menggunaan algoritma adaptive covariance ran unscented Kalman filter dan unscented Kalman filter pada persamaan air dangal non linear dalam bentu saint venant dengan dimensi sistem 40 menunjuan bahwa nilai estimasi untu etinggian dan ecepatan aliran nilai selisihnya sangat ecil terhadap nilai realnya atau errornya sangat ecil. Redusi ran dapat dilauan sampai dengan 50% atau redusi ran 20 dengan hasil yang berimpit dengan estimasi menggunaan unscented Kalman filter. 3. Hasil simulasi algoritma adaptive covariance ran unscented Kalman filter pada persamaan air dangal non linear dengan dimensi sistem 40 (20 grid) tida mengurangi watu omputasi full ran unscented Kalman filter (UKF).

37 Daftar Pustaa Albab, I. (2009), Redusi Ran pada Aar Kuadrat Ensemble Kalman Filter, Tugas Ahir, Institut Tenologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Ambadan, J.T. dan Tang, Y. (2009), Sigma-Point Kalman Filter Data Assimilation Methods for Strongly Nonlinear Systems, Journal of The Atmospheric Sciences, Vol. 66, No. 2, hal Apriliani, E. (2002), A Ran Reduction on The Square-Root Information Filter and The Modified Reduced Ran Square Root Covariance Filter for A Vector Noise System, Disertasi Ph.D, Institut Tenologi Bandung, Bandung. Apriliani, E. dan Sanjaya, B. A. (2007), Redusi Ran pada Matris-Matris Tertentu, Laporan Penelitian, Institut Tenologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Baehaqi, A. (2009), Estimasi Variabel Keadaan pada Non Isothermal Continuous Stirred Tan Reactor dengan Metode Unscented Kalman Filter dan Ensemble Kalman Filter, Tesis Magister, Institut Tenologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Gloria, O.H. (2005), Numerical Simulation of Shallow Water Equations and Some Physical Models in Image Processing, Disertasi Ph.D, Universitat Pompeu Fabra, Barcelona. Golub, H. G. dan Loan, C. F. V. (1993), Matrix Computations (second edition), The John Hopins University Press, London. Grewal, M.S. dan Andreas, A.P. (2001), Kalman Filtering: Teory and Practice Using Matlab, John Wiley & Sons, Inc., New Yor. Julier, S. (2002), The Scaled unscented transformation, Proceedings of IEEE American Control Conference, Vol. 6, hal Julier, S.J, Uhlmann, J. K. dan Durrant-Whyte, H. (1995), A new approach for filtering nonlinear systems, Proceedings of the 14th IEEE American Control Conference, Seattle, WA, hal Julier, S.J. dan Uhlmann, J. K. (1997), "A New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems, Int. Symposium Aerospace/Defense Sensing, Simulation and Controls,Orlando, FL. Kalman, R. E. (1960), A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problem, Transactions of the ASME- Journal of Basic Engineering, Vol. 82 (Seri D), hal Kalnay, E. (2003), Atmospheric Modeling, Data Assimilation, and Predictability, Cambridge University Press, Cambridge. Kandepu, R., Foss, B. dan Imsland, L. ( 2008), Applying the unscented Kalman filter for nonlinear state estimation, Journal of Process Control, Vol. 18, hal Kleinbaurer, R.(2004), Kalman Filtering Implementation with Matlab, Study Report of Study Geodesy and Geoinformatics at Universitat Stuttgart, Helsini University of Technology, Helsini.

38 Daftar Pustaa Lee, D. J. (2005), Nonlinear Bayesian Filtering with Applications to Estimation and Navigation, Disertasi Ph.D, Texas A&M University, Texas. Magnus, J.R. dan Neudecer, H. (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, John Wiley and Sons Ltd., Chichester. Masdui, A. dan Apriliani, E. (2008), Estimation of Surabaya River Water Quality Using Kalman Filter Algorithm, The Journal for Technology and Science, Vol. 19, No. 3, hal Ortega, G. H. (2005), Numerical Simulation of Shallow Water Equations and Some Physical Models in Image Processing, Tesis Ph.D., Universitas Pompeu Fabra, Barcelona. Padilla, L. E. dan Rowley, C. W. (2010), An adaptive-covariance-ran algorithm for unscented Kalman filter, submitted to the 49 th IEEE Conference on Decision and Control, Department of Mechanical and Aerospace Engineering, Princeton University, Princeton. Que, Y.T. dan Xu, K., (2005), The Numerical Study of Roll-Waves in Inclined Open Channels, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 50, hal Rudi, (2007), Estimasi Variabel Keadaan Sistem dengan Model Penguuran Talinear Menggunaan Extended Kalman Filter dan Unscented Kalman Filter, Tesis Magister, Institut Tenologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Setiadji, (2008), Aljabar Linear, Graha Ilmu, Yogyaarta. van der Merwe, R. (2004), Sigma point Kalman filters for probabilistic inference in dynamic state space models, Disertasi PhD, Oregon Health and Science University, Oregon. van der Merwe, R. and Wan, E. A. (2001), Efficient Derivative-Free Kalman Filters for Online Learning, Prosiding European Symposium on ArtificialNeural Networs (ESANN 2011), hal Xiong, K, Liu, L. D. dan Zhang, H. Y. (2009), Modified unscented Kalman filtering and its application in autonomous satellite Navigation, Jurnal Aerospace Science and Technology, Vol. 13, hal

39 Terimaasih