Studi Perbandingan Perpindahan Panas Menggunakan Metode Beda Hingga dan Crank-Nicholson

Transkripsi

1 1 Studi Perbandingan Perpindahan Panas Menggunaan Metode Beda Hingga dan Cran-Nicholson Durmin, Drs. Luman Hanafi, M.Sc Jurusan Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Tenologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Haim, Surabaya Abstra Di dalam suatu benda yang memilii perbedaan temperatur maa aan terjadi perpindahan energi atau perpindahan panas dari bagian yang bertemperatur tinggi e bagian yang bertemperatur lebih rendah. Proses perpindahan panas tersebut dapat dietahui oleh distribusi temperaturnya. Perhitungan distribusi temperatur melibatan persamaan diferensial parsial.salah satu teni yang digunaan untu menyelesaian persamaan diferensial parsial adalah dengan metode numeri.metode numeri adalah teni yang digunaan untu menyelesaian permasalahan yang diformulasian secara matematis dengan operasi aritmatia biasa (tambah, urang, bagi dan ali).secara matematis persamaan perpindahan panas adalah termasu dalam persamaan paraboli. Persamaan panas satu dimensi ini emudian diselesaian dengan menggunaan pendeatan metode Beda Hingga sema Esplisit dan Cran Nicholson dan membandingan edua metode tersebut, untu penyelesaian sistem persamaan yang terbentu dari metode Cran-Nicholson yang berbentu matris tridiagonal digunaan metode sapuan ganda Cholesi. Dari hasil perhitungan yang diperoleh dietahui bahwa panas berpindah menuju bagian tengah benda dan temperatur menurun sebagai fungsi watu arena adanya perpindahan panas. Kata Kunci Metode Beda Hingga, Metode Cran- Nicholson, Persamaan Diferensial Parsial, Perpindahan Panas I. PENDAHULUAN Perpindahan panas yang terjadi di dalam bumi merupaan persoalan omples arena melibatan banya parameter.sehingga penyelesaian persoalan perpindahan panas di alam ini memerluan asumsiasumsi untu menyederhanaan permasalahan. Perpindahan panas (heat transfer) adalah ilmu untu mengamati perpindahan energi yang terjadi arena adanya perbedaan suhu diantara benda atau material[]. Energi ini tida dapat diuur atau diamati secara langsung tetapi arah perpindahannya dan pengaruhnya dapat diamati dan diuur. Banya model matematia perpindahan panas yang merupaan persamaan diferensial parsial.penyelesaian persamaan diferensial parsial dapat dilauan dengan beberapa metode.pemilihan metode pendeatan berdasaran pada tujuan dan omplesitas masalah. Pada Tugas Ahir ini aan diaji proses perpindahan panas satu dimensi dimana obje penelitiannya adalah suatu simulasi domain bidang yang pada batas-batas dan titi-titi tertentu dietahui temperaturnya[9]. Pendeatan yang dipaai adalah dengan membandingan metode Beda Hingga dan metode Cran-Nicholson. A. Perpindahan Panas II. TINJAUAN PUSTAKA Panas mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi e benda bertemperatur lebih rendah. Laju perpindahan panas yang melewati benda padat sebanding dengan gradien temperatur atau beda temperatur persatuan panjang. Meanisme perpindahan panas sendiri dapat terjadi secara ondusi, onvesi, dan radiasi. Perpindahan panas secara ondusi adalah proses perpindahan panas dari daerah bersuhu tinggi e daerah bersuhu rendah dalam satu medium (padat, cair atau gas), atau antara medium medium yang berlainan yang bersinggungan secara langsung. Dinyataan dengan: q = A dt (1) dx dimana: q A = Laju perpindahan panas (w), = Luas penampang dimana panas mengalir(m ), dt/dx= Gradien suhu pada penampang, atau laju perubahan suhu T terhadap jara dalam arah aliran panas x, = Kondutivitas thermal bahan (w/m 0 C).

2 Perpindahan panas secara onvesi adalah perpindahan energi dengan erja gabungan dari ondusi panas, penyimpanan, energi dan geraan mencampur. Proses terjadi pada permuaan padat (lebih panas atau dingin) terhadap cairan atau gas (lebih dingin atau panas). Dinyataan dengan: q = ha T () dimana : q = Laju perpindahan panas onvesi (w), h = Koefisien perpindahan panas onvesi(w/m 0 C), A = Luas penampang (m ), T = Perubahan atau perbedaan suhu ( 0 C; 0 F). Perpindahan panas secara radiasi adalah proses perpindahan panas dari benda bersuhu tinggi e benda yang bersuhu lebih rendah, bila benda benda itu terpisah didalam ruang (bahan dalam ruang hampa sealipun). Dinyataan dengan: q = δa T T (3) dimana: δ = Konstanta Stefan-Boltzman 5,669 x10-8 w/m 4, A T = Luas penampang, = Temperatur. B. Persamaan Diferensial Parsial Banya permasalahan dalam bidang ilmu terapan, fisia, dan teni dimodelan secara matematis dengan menggunaan persamaan deferensial parsial [6]. Persamaan deferensial parsial memilii bentu umum: A xx + B xy + C yy = f x, y,, x, y, (4) dimana A, B, dan C adalah onstan yang disebut dengan quasilinear. Terdapat tiga tipe dari persamaan quasilinear yaitu: a. If B 4AC < 0, persamaan disebut dengan persamaan elips. b. If B 4AC = 0, persamaan disebut dengan persamaan paraboli. c. If B 4AC > 0, persamaan disebut dengan persamaan hiperboli. Salah satu persamaan paraboli adalah model satu dimensi untu perpindahan panas pada sebuah batang yang diisolasi dengan panjang L(gambar 1). Persamaan panas dengan temperatur u(x, t) dalam batang pada posisi x dan watu tdinyataan dengan: ĸu xx (x, t) = σρu t (x, t), 0 < x < L, 0 < t <,(5) dengan distribusi temperatur awal pada t = 0adalah u(x, 0) = f(x),t = 0,0 x L, dan nilai batas pada ujung-ujung batang u(0, t) = c 1 untux = 0dan 0 t <, u(l, t) = c untux = L dan 0 t <. Konstanta ĸ adalah oefisien dari ondutifitas thermal bahan, σ adalah panas spesifi, ρ berat jenis material batang, dan c onstan. Untu penyelesaian persamaan diferensial parsial jenis paraboli ini persamaan perpindahan panas berdimensi satu diatas (persamaan (5)) disederhanaan menjadi: u t x, t = c u xx x, t (6) berlau untu daerah 0 x L, watu t 0, dengan syarat-syarat batasnya adalah[5]: u t (x, t) = u xx (x, t),0 x 1, t 0, u(x, 0) = f(x), (syarat awal), u 0, t = u 1, t = 0, (syarat batas). Gambar 1. Model persamaan panas untu temperatur dalam sebuah batang yang diisolasi C. Metode Beda Hingga Untu dapat menggunaan metode beda hingga dibutuhan Deret Taylor. Deret Taylor fungsi satu variabel diseitar x diberian sebagai: f x + h = f x + f x h + f (x) h +! atau f x h = f x f x h + f (x) h! (7) Deret Taylor inilah yang merupaan dasar pemiiran metode beda hingga untu menyelesaian persamaan diferensial parsial secara numeri. Dari deret Taylor ini dienal tiga pendeatan beda hingga. Pendeatan beda maju (forward difference): f x + h f(x) f x (8) h Pendeatan beda mundur (bacward difference): f x f(x h) f x (9) h Pendeatan beda pusat (center difference): f x + h f(x h) f x (10) h Untu turunan edua ditinjau deret Taylor hingga nilai h yang berderajat dua. Pemotongan dilauan pada h yang berderajat tiga.

3 3 D. Metode Beda Hingga untu Persamaan Panas Metode Beda Hingga sangat sering dipaai untu mencari solusi suatu persamaan diferensial parsial (PDP). Hal ini disebaban mudahnya mendeati PDP dengan pendeatan deret Taylor-nya dan diperoleh persamaan beda. Idenya adalah membawa domain PDP e dalam domain omputasi yang berupa grid. Untu menyederhaan penulisan, sering ditulisan dengan notasi indes.indes subscript pertama sebagai variabel ruang dan subscript edua sebagai variabel watu. Jadi u x, y ~u i,j, u x, t ~u i x, j t ~u i,j. 1. Metode FTCS (Forward Time Center Space) Metode FTCS sering disebut dengan metodeesplisit bagi persaman difusi. Pada metode ini, Beda Maju terhadap watu (forward time) diterapan pada u t dengan aurasi O t.dan metode Beda Pusat (Bacward Difference) diterapan pada u xx dengan aurasi O x dengan x = hdan t =.. Sema Esplisit onvergen dan stabil jia 0 c h 1, sehingga nilai harus memenuhi pertidasamaan beriut 1 h c.. Metode Implisit BTCS (Bacward Time Center Space) Metode BTCS memilii aurasi O t, x. Dengan x = hdan t =, persamaan beda untu persamaan panas dengan menggunaan metode BTCS adalah dengan menerapan Beda Mundur terhadap watu (bacward time) pada u t dan dengan metode Beda Pusat diterapan pada u xx. Gambar 3.Sema Implisit untu persamaan panas Gambar.Sema Esplisit untu persamaan panas Penerapan Beda Maju terhadap u t di titi i, j,lihat gambar, diperoreh u t x, t = u i,j +1 u i,j, (11) penerapan Beda Pusat terhadap u xx diperoleh u xx x, t = u i+1,j u i,j + u i 1,j h, (1) sehingga dari persamaan (6) diperoleh persamaan beda beriut: u t x, t = c u xx x, t, u i,j +1 u i,j = c u i+1,j u i,j + u i 1,j h, dengan menulisan ruas iri pada titi i, j + 1, yang merupaan titi yang belum dietahui nilainya, menjadi u i,j +1 = u i,j + c h u i+1,j u i,j + u i 1,j, dengan substitusi r = c h, menjadi u i,j +1 = 1 r u i,j + r u i+1,j + u i 1,j. (13) Dengan menerapan Beda Mundur terhadap u t dititi i, j + 1, lihat gambar 3, diperoleh u t x, t = u i,j +1 u i,j, (14) dan dengan menerapan Beda Pusat terhadap u xx, diperoleh u xx x, t = u i+1,j +1 u i,j +1 + u i 1,j +1 h, (15) sehingga dari persamaan (6) u t x, t = c u xx x, t, diperoleh persamaan beda u i,j +1 u i,j = c u i+1,j +1 u i,j +1 + u i 1,j +1 h, dengan menulisan ruas iri pada titi i, j, yang merupaan titi yang sudah dietahui nilainya, menjadi u i,j = c h u i+1,j +1 + u i,j +1 u i 1,j +1 +u i,j +1, dengan substitusi r = c h, u i,j = ru i+1,j +1 + ru i,j +1 ru i 1,j +1 +u i,j +1, disederhanaan menjadi

4 4 u i,j = 1 + r u i,j +1 r u i+1,j +1 + u i 1,j +1. (16) 3. Metode Cran-Nicholson Dari persamaan (6), dengan menerapan Beda Pusat terhadap watu (center time) untu menghampiri u t di titi grid i, j + 1, dengan x = hdan t =, lihat gambar 4, diperoleh u t (x, t) = u i,j +1 u i,j ( 1 ), disederhanaan menjadi u t x, t = u i,j +1 u i,j. (17) j+1 j j u Gambar 4.Sema Cran-Nicholson untu persamaan panas u Sedangan u xx di titi grid i, (j + 1 ) dihampiri dengan pendeatan suu derivatif ruang pada watu j + 1 dianggap sebagai nilai rata-rata derivatif pada watu jdan j + 1. Dengan menerapan Beda Pusat terhadap u xx dititi i, j + 1 (pada watu j + 1), diperoleh u xx x, t = c u i+1,j +1 u i,j +1 + u i 1,j +1 h, dan untu u xx di titi i, j (pada watuj) (18) u xx x, t = c u i+1,j u i,j + u i 1,j h, (19) sehingga diperoleh persamaan beda untu metode Cran-Nicholson yaitu u i,j +1 u i,j = c u i+1,j +1 u i,j +1 + u i 1,j +1 h + u i+1,j u i,j + u i 1,j h. (0) Persamaan (0) disederhanaan menjadi u i+1,j u i,j = c h u i+1,j +1 u i,j +1 + u i 1,j +1 + u i+1,j u i,j + u i 1,j, dengan substitusi r = c h, menjadi (u i+1,j u i,j ) = r u i+1,j +1 u i,j +1 + u i 1,j +1 + u i+1,j u i,j + u i 1,j, dengan mengumpulan watu j + 1 e ruas iri dan watu j e ruas anan, menjadi + r u i,j +1 r u i+1,j +1 + u i 1,j +1 = r u i,j + r u i+1,j + u i 1,j. (1) Dengan demiian metode Cran-Nicholson memilii aurasi O t, x. III. PEMBAHASAN Untu menerapan metode tersebut dalam perhitungan dibuat suatu simulasi domain bidang yaitu sebuah benda logam batang yang diisolasi secara membujur dengan panjang 1 emudian pada ujungujung batang dipertahanan temperaturnya 0 0 C. Temperatur awal pada batang diberian oleh fungsi f x, t = 4x 4x, lihat gambar 5, dengan ata lain dari persamaan (6) dengan ondisi awal u x, 0 = f x = 4x 4x, untu t = 0 dan 0 x 1 dan ondisi batasu(0, t) = u(1, t) = 0 untu x = 0 danx = 1,dan 0 t 0.0. Disini ita mengambil uuran x = h = 0. dan t = = 0.0 dan untu nilai c = 1, maa r = 0.5, dimana r = c h.agar lebih mudah untu perhitungan gambar 5 dapat dibuat grid dengan isiisi berinterval sama seperti gambar 6 [4]. Jadi dengan h = 0. titi-titi grid menjadi n = 6 olom dan dengah = 0.0 titi-titi grid menjadi m = 11 baris. Gambar 5. Batang logam yang diisolasi A. Penyelesaian dengan Metode Esplisit Pada sema esplisit, variabel pada watu j + 1dihitung berdasaran variabel pada watujyang sudah dietahui. Penerapan metode Esplisit, dengan menggunaan persamaan (13)dengan r = 0.5, menghasilan u i,j +1 = 0.5u i+1,j + 0.5u i 1,j, () untuj = 0 berlau ondisi awal, j = 0, i berjalan dari i = 0 sampai i = 5, i = 0,1,,3,4,5 (gambar 6), yaitu untu ondisi awal: j = 0 i = 0,u 0,1 = f x = 4x 4x = (0.00) = 0.00 i = 1,u 1,1 = f x = 4x 4x = (0.0) = 0.64 i =,u,1 = f x = 4x 4x = (0.40) = 0.96 i = 3,u 3,1 = f x = 4x 4x = (0.60) = 0.96

5 5 i = 4,u 4,1 = f x = 4x 4x = (0.80) = 0.64 i = 5,u 5,1 = f x = 4x 4x = (1.00) = Untu selanjutnya hitungan dilauan dengan memasuan nilai dari titi-titi yang sudah dietahui e persamaan () untu mendapatan nilai dari titititi beriutnya, dan hitungan dilauan dari i = 1 sampai dengan i = 4 dan dari j = 1 sampai j = 10 arena adanya syarat batas.dari perhitungan eseluruhan dengan Metode Esplisit didapat Tabel 1. Gambar 6. Grid untu gambar 5 B. Penyelesaian dengan Metode Cran-Nicholson Sema Cran-Nicholson merupaan pengembangan dari sema Esplisit dan sema Implisit. Pada sema Esplisit, pendeatan solusi u i,j +1 dihitung menggunaan jaringan titi i, j. Sedangan pada sema Implisit pendeatan solusi u i,j dihitung menggunaan jaringan titi i, j + 1, pada sema Cran-Nicholson pendeatan solusi u i,j +1 dihitung menggunaan jaringan titi i, j dan jaringan titi i, j + 1. Penerapan metode Cran-Nicholson, dengan menggunaan persamaan (1) dengan r = 0.5, menghasilan: 0.5u i 1,j u i,j u i+1,j +1 = 0.5u i 1,j +u i,j + 0.5u i+1,j. 3 Untu j = 0 berlau ondisi awal, sama halnya dengan penyelesaian pada sema Esplisit, untu j = 0, i berjalan dari i = 0 sampai i = 5, i = 0,1,,3,4,5, dan j = 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,10, sehingga diperoleh nilai awal yang sama dengan penyelesaian pada metode Esplisit. Selanjutnya perhitungan dilauan dengan memasuan nilai awal dan nilai batas pada persamaan (3), untu j = 1,,3,4,5,6,7,8,9,10, dan i = 1,,3,4, untu i = 0 dan i = 5 tida perlu dihitung arena nilainya sudah dietahui dari nilai batas. Misal untu j = 1 dan i = 1,,3,4 diperoleh sistem persamaan, empat persamaan dengan 4 variabel yang tida dietahui: 3u 1, 0.5u, = 1.1, 0.5u 1, + 3u, 0.5u 3, = 1.76, 0.5u, + 3u 3, 0.5u 4, = 1.76, 0.5u 3, + 3u 4, = 1.1. (4) Sistem persamaan (4) dapat ditulis dalam bentu matris tridiagonal, yang emudian penulis selesaian dengan menggunaan metode sapuan ganda Cholesi, sehingga diperoleh nilai titi-titi yang dicari. Dengan cara yang sama emudian dilauan perhitungan untu j =,3,4,5,6,7,8,9,10, dengan i = 1,,3,4, sehingga diperoleh nilai seluruh titi grid yang dicari.hasil perhitungan disajian pada Tabel. Tabel. Hasil perhitungan distribusi temperatur menggunaan metode Cran-Nicholson dengan r = 0.5 Tabel 1. Hasil perhitungan distribusi temperatur menggunaan metode Esplisit dengan r = 0.5

6 6 Untu grafi perbandingan metode Esplisit dan Cran-Nicholson diberian beriut ini: Gambar 7. Grafi nilai temperaturu(x, t) A. Kesimpulan IV. KESIMPULAN DAN SARAN Metode beda hingga sema Esplisit lebih mudah penyelesaiannya daripada metode beda hingga sema Cran-Nicholson, arena untu mendapatan nilai suatu titi u(x, t) dapat dietahui secara langsung dengan memasuan nilai-nilai dari ondisi awal, dan ondisi batasnya, berbeda dengan metode beda hingga sema Cran-Nicholson yang harus menyelesaian sistem persamaan yang terbentu yang berbentu matris tridiagonal, sehingga diperluan metode lagi untu penyelesaian dari matris tridiagonal tersebut. Metode beda hingga sema Cran-Nicholson memilii aurasi perhitungan yang lebih bai daripada metode beda hingga sema Esplisit. B. Saran Tugas Ahir ini merupaan penelitian dengan ajian literatur tentang metode beda hingga sema Esplisit dan Cran-Nicholson untu mencari solusi dari persamaan panas satu dimensi, maa penulis menyaranan agar penelitian ini dilanjutan untu asus perpindahan panas dua dimensi. DAFTAR PUSTAKA eterangan: * : dengan Metode Esplisit o : dengan Metode Cran-Nicholson Gambar 8. Grafi nilai temperatur u(x, t) jara (x) terhadap [1] Captra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineering, second edition, McGraw-Hill, New Yor. [] Holman, J.P., 1997, Heat Transfer, America: eight edition, McGraw-Hill Companies. [3] Incropera, F.P., et. al., 1981, Fundamental of Heat Transfer, John Wiley & Sons, Inc. [4] James, M.L., et.al., 1993, Applied Numerical Methods fordigital Computation, HarperCollins College Publishers. [5] Kreyszig, E., 1988, Advance Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, Inc. [6] Mathew, J.H., Fin, K.D., 004, Numerical Methods using Matlab, fourth edition, Pearson Education, Inc. [7] Nahle, H., Asmar, 1985, Partial Differential Equations, Prentice-Hall. [8] Smith, G.D., 1985, Numerical Solution of Partial Defferential Equations: Finite Difference Methods, third edition, Oxford University Press. [9] Supriyono, 005, Apliasi Metode Elemen Hingga untu Perhitungan Perambatan Panas pada Kondisi Tuna, Prosiding Seminar Nasional Apliasi Tenologi Informasi. [10] Triatmodjo, Bambang, 00, Metode Numeri dilengapi dengan Program Komputer, Yogyaarta: Beda Offset. eterangan: * : dengan Metode Esplisit o : dengan Metode Cran-Nicholson Gambar 9. Grafi nilai temperatur u(x, t) terhadap watu (t)