) = HASIL DAN PEMBAHASAN METODE PENELITIAN = = 1 (48) d u d. du du. du du. du du

Transkripsi

1 9 ungsi sn u dikenal dalam matematik sebagai ungsi eliptik Jacobi[8,9,3]. Mirip dengan ungsi trigonometrik, dapat pula dideinisikan ungsi eliptik Jacobi cn u melalui hubungan: cn u = sn u = cosϕ (47) kemudian tinjau kembali integral eliptik versi Legendre pada persamaan (4), jelas terlihat: du = dϕ k sin ϕ (48) dan berdasarkan hubungan (48) dapat pula dideinisikan ungsi dn u melalui perumusan berikut ini yaitu: dϕ dn u = = k sn u du (49) dengan demikian, jelas bahwa ungsi ungsi tersebut memenuhi hubungan: cn u+ sn u = dn u+ k sn u = (5) (5) kemudian, untuk mengetahui turunan pertama bagi masing-masing ungsi terhadap variabel u, maka diperoleh hasil sebagai berikut: ( sn ) ( sinϕ ) d u d = = du du dϕ cosϕ = cn u dn u du d( cn u) d( cosϕ ) = = du du dϕ sinϕ = sn u dn u du d( dn u) d = ( k sinϕ ) = du du k sinϕ cosϕ dϕ = k sn ucn u k sinϕ du METODE PENELITIAN (5) (53) (54). Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Februari 9 sampai dengan bulan Desember 9. Dan tempat penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor (IPB).. Peralatan Pada penelitian kali ini alat yang digunakan berupa laptop milik pribadi dengan processor Intel (R) Core (TM) Duo CPU dengan memory GB dan menggunakan Windows Vista Home Basic. Lalu pada penelitian ini juga menggunakan bantuan Sotware Mapple dan Mathematica Metode Penelitian 3. Studi Pustaka Pada penelitian ini studi pustaka dimulai dari pemecahan solusi satu persamaan NLS melalui pendekatan analisis sistem dinamik. Kemudian dengan proses yang sama maka persamaan modus tergandeng yang didapatkan dari perluasan persamaan NLS dapat diselesaikan secara eksak pula. Dan dengan bantuan ketiga ungsi eliptik, maka dapat diketahui perilaku trayektori solusinya dalam bidang asa. 3. Penurunan Solusi Secara Eksak Proses ini dilakuakan untuk mengetahui perilaku persamaan 55 dan 56 secara analitik, melalui pendekatan sistem dinamik. 3.3 Analisa Solusi Dengan Mapple dan Mathematica 7 Proses ini dilakukan untuk menganalisis hasil visualisasi gambar trayektori solusi yang didapatkan oleh kedua sotware yang digunakan. Sebenarnya dalam menunjukan bentuk trayektori solusi beserta aliran trayektorinya akan lebih baik menggunakan sotware Mathematica, namun dalam teknis pengerjaannya lebih mudah dikerjakan pada sotware Mapple, karena dalam Mapple sintaks yang digunakan lebih sederhana. Berbeda sekali dengan sotware Mathematica yang menggunakan algoritma pemrograman. Namun demikian hasil gambar yang diperoleh akan sama saja bentuknya, perbedaanya hanya dari segi tampilannya saja. HASIL DAN PEMBAHASAN. Solusi Eksak Soliton Optik Nonlinier Melalui Metode Sistem Dinamik Adanya propagasi gelombang soliter dalam modulasi nonlinier kisi Bragg optik yang menimbulkan ketidakseragaman distribusi medan listrik melintang sepanjang sumbu x telah dipelajari sebelumnya untuk pilihan yang lebih spesiik pada sistem parameternya[] dengan mengabaikan eek pembendung yang disebabkan oleh kondisi batas konvensional yang nantinya sangat diperhitungkan dalam proses pemebentukan gelombang. Ketidakseragaman proses distribusi medan transversal muncul dari

2 istilah diraksi yang telah diperkenalkan sebelumnya dalam model. berikut ini akan ditinjau model persamaan dierensial parsial yang terkopel, berikut persamaannya[]: P U ηu + c U + b U U + b U U * * ˆ N b N b N b + b U + Ub U + bn Ub + U Ub = (55) df AD ( K) A c N B F * * dx η (59) PU ˆb b ηu b + c N U + b N U b U + b N U b U 3 + ba + b ( A B ) bnb( 3A B ) bnab F = Ub + U Ub + bn U + Ub U = d F BD (56) ( η + K ) B cn A F dx (6) persamaan (55) dan (56) merupakan set 3 + bb ( A + B ) + bna( A + 3B ) + bnba F = persamaan dierensial parsial yang terkopel, pada persamaan tersebut nilai P dan ˆ Pˆb Dari kedua persamaan tersebut, maka akan merupakan operator persamaan dierensial direduksi sehingga hanya menghasilkan yang dideinisikan oleh sebuah persamaan sebuah persamaan dierensial biasa orde dua. ˆ P / / dan sebuah persamaan = i + z D x Caranya dengan menyamakan kedua ˆ P /, dengan parameter x persamaan tersebut berdasarkan order b = i z+ D / x ungsinya masing-masing. Ketika ungsi dan z yang mengimplikasikan keadaan berorder F disamakan didapatkan hubungan transversal dan longitudinal pada sistem koordinat masing-masing. Sementara itu parameter D yang dirumuskan sebagai D= k /Nk B menunjukan kekuatan dari eek diraksi yang timbul. Sedangkan parameter η merupakan rekuensi spasial yang dirumuskan sebagai η =k / NkB. Kemudian parameter c N adalah parameter yang nilainya sebanding dengan besarnya komponen Fourier N th berdasarkan ungsi suseptibilitas linier. Sedangkan parameter nonlinier b, bn,dan bn mempunyai nilai sebanding dengan nilai th, N th, dan N th yang merupakan komponen Fourier gabungan dari ungsi suseptibilitas nonlinier. Untuk menyelesaikan persamaan (55) dan persamaan (56), maka akan diperkenalkan sebuah ungsi Ansatz yakni: b ik z U (57) = AF x e ik z U (58) b = BF x e Dimana F merupakan ungsi real, sedangkan untuk AB,, dan K merupakan parameter ( b) yang konstan. Untuk menemukan dua buah set persamaan dierensial biasa orde dua, misal dengan menggunakan hubungan Kb = K ternyata didapatkan solusi yang trivial artinya nilai c =, b =, dan b = akibatnya jika N N N menggunakan hubungan tersebut maka penyelesaian persamaan dierensial yang didapatkan akan bernilai nol. Untuk menghindari hal tersebut gunakan hubungan berikutnya yaitu K, ternyata b = K =K persamaan (55) dan (56) memilki solusi yang non-trivial[], dengan memasukan hubungan tersebut ke persamaan ungsi Ansatz (57) dan (58) lalu masukan ke persamaan (55) dan (56) maka didapatkan hasil: ( η ) ( η ) K A cnb F + K B cna F = AD BD (6) A B c N K = (6) AB 3 Sedangkan ketika ungsi berorder F didapatkan sebuah hubungan: ( ) N ( 3 ) 3 ba A B b B A B bnab F AD bb( A + B ) + bna( A + 3B ) + b BA F = BD (63) 3 N [ ] [ ] Ab + bn ± A b + bn 4b N ± B = bn (64) pada persamaan (64) untuk bagian yang berada dalam ungsi akar bisa dideinisikan sebagai berikut: [ ] b + bn 4b N =Γ (65) sehingga persamaan (64) bisa dituliskan menjadi sebagai berikut: ± [ b + bn ] ± Γ ± B = A (66) bn kemudian untuk membuat persamaan (66) terlihat lebih sederhana maka akan dimisalkan sebuah ungsi α yaitu: [ b b ] + N ± Γ α ± = bn (67)

3 sehingga persamaan (66) akan terlihat menjadi sebuah persamaan yang cukup sederhana yaitu: B = α A ± ± ( ) ( 3 ± N ) ± (68) setelah mendapatkan persamaan (68), maka substitusikan persamaan (68) ke persamaan (59) untuk order ungsi F 3 saja. Sehingga akan didapatkan persamaan sebagai berikut: b 3 3 α b α α bnα A F D (69) berdasarkan persamaan (69), akan dimisalkan sebuah parameter yang dirumuskan: ( ± ) ( 3 3 N ) b + α + b α + α + bnα A = D (7) kemudian substitusikan persamaan (68) ke persamaan (6) maka akan didapatkan: α c N K = (7) α ± setelah itu substitusikan persamaan (7) ke persamaan (59) untuk order ungsi F saja. Sehingga akan didapatkan persamaan: ( αη + α c N ) F (7) α ± D dan berdasarkan persamaan (7), akan dimisalkan sebuah parameter yang dirumuskan sebagai berikut: ( αη + α c N ) = (73) α ± D dengan demikian PDB orde dua yang didapatkan dan nantinya akan dianalisa secara sistem dinamik yaitu: d F 3 F F dx + = (74) dengan mengatur kembali persamaan (74) akan didapatkan persamaan: d F 3 F + F dx + = (75) dimana nilai / dapat dipandang sebagai eective diraction strength, sedangkan nilai / dapat dipandang sebagai eective cubic nonlinier coeisient atau disebut juga suseptibilitas orde ketiga ( 3) χ. Kemudian dengan memisalkan F = F dan F = F akan didapatkan sebuah set persamaan dierensial biasa orde satu yaitu: F = F 3 F = F F (76) (77) Setelah itu untuk mengetahui proses biurkasi apa yang terjadi, coba tinjau persamaan (77). Berdasarkan persamaan (77) didapatkan set titik kritis yaitu: F = (78) F =± (79) Dari kedua titik kritis tersebut, dapat dengan mudah dibuktikan bahwa untuk kasus <, > dan >, < hanya terdapat s atu buah titik kritis yaitu F = dengan persamaan linier yang terkait diberikan oleh: F = F λ = (8) dengan λ =, sedangkan untuk kasus <, < dan >, > terdapat tiga buah titik kritis yaitu F = dan F =± dengan persamaan liniernya diberikan oleh: F = F λ, = (8) untuk F =± dengan λ, = dan untuk F = dengan λ = memilki persamaan yang sama dengan persamaan (8). Berdasarkan persam aan (8), untuk kondisi <, > dan >, < titik kritis yang terkait merupakan titik Sadel yang bersiat stabil. Sedangkan untuk kondisi <, < dan >, > titik Sadel tersebut bersiat tidak stabil, tetapi di lain pihak untuk titik kritis F =± berdasarkan persamaan (8) keduanya bersiat stabil. Berikut ilustrasi diagram biurkasinya untuk satu dimensi: F, Gambar Diagram Biurkasi satu dimensi untuk Persamaan (77) sedangkan untuk diagram biurkasi dua dimensi dibagi tiga kondisi yakni untuk nilai >, < lalu, = dan yang terakhir

4 ketika, > perhatikan gambar -3 berikut ini. F Gambar Diagram Biurkasi dua dimensi untuk kasus >, < dan <, > F Gambar Diagram Biurkasi dua dimensi untuk kasus, = F F F F F F A= A = 3F F F (8) sedangkan set titik kritis yang didapat dari persamaan (76) dan (77) yaitu: F =, F = (83) F = ±, F = (84) untuk kasus > harga eigen yang terkait dengan masing- masing titik kritis diberikan oleh kedua nilai berikut: λ =± (85) λ =± (86) dari kedua nilai tersebut dapat dengan mudah disimpulkan bahwa titik kitis (83) merupakan sebuah titik Sade l, sedangkan titik kritis ( 84) m erupakan titik Center. Kemudian unt uk kasus < harga eigen yang terkait dengan masing-masing titik kritis diberikan oleh kedua nilai berikut: λ = ± (87) λ =± (88) Dari kedua nilai tersebut dapat dengan mudah disimpulkan bahwa titik kritis (83) merupakan titik Cen ter, sed angkan titik kritis (84) merupakan titik Sadel. Dengan demikian, dapat diperoleh bahwa kedua persamaan (76) dan(77) memilki hubungan simultan yang sama artinya jika < maka < begitu pula sebaliknya, sebab jika hubungannya kontradikti maka hanya menimbulkan satu buah titik kritis saja. ilustrasi gambar trayektori terkait dengan menggunakan Mathematica dan Mapple diberi kan pada gambar 4-7 Plot Bidang Fase 4 Gambar 3 Diagram Biurkasi dua dimensi untuk kasus, > dan, < berdasarkan gambar -3 tersebut, ternyata dari persamaan (77) biurkasi yang terjadi merupakan biurkasi Pitch-Fork. Kemudian untuk mengetahui bentuk aliran trayektori persamaan (76) dan (77) akan dibangun konstruksi matriks Jacobian yang sesuai dengan kedua persamaan tersebut yaitu: FHtL F HtL Gambar 4 Plot kasus <, < dengan menggunakan Mathematica

5 3 FHtL Gambar 5 Trayektori Kasus <, < dengan menggunakan Mapple Plot Bidang Fase F HtL Gambar 6 Plot untuk kasus >, > Dengan menggunakan Mathematica Gambar 7 Trayektori Kasus >, > dengan menggunakan Mapple. Analisa Sistem Dinamik Fungsi Eliptik Jacobi Pada Soliton Optik Nonlinear Pada pembahasan sebelumnya ungsi F tersebut masih berupa ungsi sembarang. Unt uk soliton spasial punya dua jenis tipe soliton yakni Bright Soliton dan Dark Soliton. Pada kasus Bright Soliton ungsi F merupakan ungsi sech ( ζ x). Sedangka n untuk Dark Soliton ungsi F merupakan ungsi tanh ( ζ x). Namun untuk penelitian kali ini akan digunakan ungsi F yang merupakan ungsi dari Jacobian Eliptik sn ( ζ x,, cn ( ζ x,, dandn ( ζ x,. Dimana parame ter k menunjukan modulus yang terkontrol, sedangkan parameter zeta ( ζ ) dapat dipandang sebagai rekuensi sudut. Untuk mendapatkan nilai kedua parameter tersebut, Pertama-tama substitusikan ungsi sn ζ x, k ke persamaan (74) maka diperoleh: sn ζ xk, ζ ζ k sn ζ xk, ζ k + = 3 sn ( ζ xk, ) + sn ( ζ xk, ) (89) dengan mengatur kembali persamaan (89) ma ka diperoleh: ( x ζ ζ k sn ζ, + sn ( ζ xk, ) = ζ k + sn ( ζ x, (9) berdasarkan persamaan (9), ternyata persamaan tersebut bisa dikelompokan menurut ungsi sn ( ζ x, k ) sehingga persamaan (9) menjadi: ζ k + sn ζx, k ζ ζ k = (9) dari persamaan (9) terlihat, bahwa dengan meyelesaikan persamaan (9) secara aljabar biasa maka akan diperoleh nilai dari koeisien zeta ζ dan koeisien k. Berikut hasilnya: k =± ζ 4 ζ =± (93) kemudian substitusikan persamaan (93) ke persamaan (9), dalam hal ini gunakan nilai bertanda positi, sehingga diperoleh: k = (9) (94)

6 4 Langkah berikutnya, substitusikan ungsi cn ζ x, k ke persamaan (74) maka akan didapatkan hasil: ( ζ xk, ) ζ k sn ( ζ xk, ) ζ cn ( ζ x, cn = + ( cn ( xk ζ, ) + sn ( ζ xk, ) ) (95) dengan mengatur kembali persamaan (95), maka akan diperoleh: ζ k sn ( ζ x, ζ cn ( ζ xk, ) = + sn ( ζ xk, ) (96) dari persamaan (96) dapat diperoleh, bahwa persamaan (96) ternyata bisa dikelompokan b erdasarkan ungsi sn ( ζ x, k ) sehingga persamaanya menjadi: ( x ζ k sn ζ, ζ + = (97) dengan demikian, dari persamaan (97) terlihat, bahwa dengan meyelesaikan persamaan (97) secara aljabar biasa maka akan diperoleh nilai dari koeisien zeta ( ζ ) dan koeisien k. Berikut hasilnya: k =± (98) ζ ζ = ± (99) kemudian substitusikan persamaan (99) ke persamaan (98), dalam hal ini gunakan nilai bertanda positi, sehingga diperoleh: k = () sn x, k Setelah ungsi ( ζ ) dan cn ( ζ x, k ), berikut akan disubstitusikan ungsi dn ( ζ x, k ) ke persamaan (74), sehingga diperoleh: dn ( ζ xk, ) ζ k sn ( ζ xk, ) ζ k dn ( ζ xk, ) = + dn ζ xk, + k sn ( ζ x, () dengan mengatur kembali persamaan (), ma ka akan diperoleh: ζ k sn ζ x, k ζ k dn ( ζ xk, ) = + k sn ( ζ x, () sama halnya dengan cara yang diterapkan pada kedua ungsi sebelumnya, ternyata persamaan () bisa pula dikelompokan b erdasarkan ungsi sn ( ζ x, k ) sehingga diperoleh hasil: ζ k k sn ζ x, k ζ k + = (3) dengan demikian, dari persamaan (3) terlihat, bahwa dengan meyelesaikan persamaan (3) secara aljabar biasa maka akan diperoleh nilai dari koeisien zeta ( ζ ) dan koeisien k. Berikut hasilnya: k =± ζ =± (5) kemudian substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), dalam hal ini gunakan nilai bertanda positi, sehingga diperoleh: ζ (4) k = (6) dengan didapatkannya keseluruhan nilai dari parameter k dan zeta ( ζ ) untuk keseluruhan ungsi sn ( ζx,,cn( ζx,, dandn ( ζ x,, maka akan bisa dianalisa secara satu per satu nilai kedua parameter tersebut yang cocok pada ungsinya masing-masing. Untuk ungsi sn ( ζ x, k ) nilai parameter keduanya harus memenuhi syarat, < agar nilai dari parameter k dan zeta ( ζ ) bernilai real, kemudian untuk ungsi cn ( ζ x, nilai dari parameter k dan zeta ( ζ ) harus me menuhi syarat, > < atau <, >. Sedangkan untuk ungsi dn ( ζx, syarat yang harus dipenuhi yaitu <, > atau, >. Dengan memasukan syarat tersebut ke parameter untuk ungsi masing masing, maka bisa ditinjau bentuk trayektori solusi dari masing-masing ungsi. Berikut ini tinjau kembali persama an (76) dan (77), Hamiltonian yang cocok dengan persamaan tersebut yaitu: H 4 F F = + 4 F (7) dimana persamaan (75) dan (76) memenuhi persamaan kanonik: H F = (8) F H F = F (9)

7 5 mengingat pada titik (,) merupakan titik Sadel untuk syarat, >, maka nilai Hamiltonian untuk trayektori yang terkait den gan titik kritis tersebut adalah H =. Dengan demikian, sambil memperhatikan kenyataan terdapat dua buah titik Center dan sebuah titik Sadel di titik asal, maka bentuk trayektori yang dimaksud diberikan pada gambar 8. Berikut ini tinjau kembali persamaan (7), dengan mensubstitusikan ungsi eliptik Jacobi sn ( ζx,,cn( ζx,, dandn ( ζ x, secara bergantian ke parameter F, kemudian turunan pertama dari masing-masing ungsi Jacobian eliptik secara bergantian ke parameter F, lalu pilih nilai x =. Maka akan didapatkan betuk trayektori solusi yang terkait ketiga ungsi eliptik tersebut. Untuk ungsi eliptikal Jacobi sn ( ζ x, k ) syarat parameter yang harus dipenuhi yaitu, <. Sehingga bentuk trayektori yang dapat diper oleh diberikan pada gambar 3. Gambar 8 Trayektori untuk H = Sedangkan untuk titik kritis (,) yang merupakan titik Center untuk syarat, <, maka nilai hamiltonian yang terkait d engan titik kritis tersebut yaitu H = /4. Dengan demikian, sambil memperhatikan kenyataan terdapat dua titik Sadel dan sebuah titik Center di titik asal, maka bentuk trayektori yang dimaksud diberikan pada gambar 9. G ambar 9 Trayektori untuk H = /4 G sn, ambar 3 Trayektori ungsi ( ζ x k ) d engan kondisi k < dan h> dari gambar 3, dapat diketahui ternyata sn ζ x, k berada di dalam trayektori ungsi yang terkait untuk Hamiltonian H = /4 yang ditunjukan pada gambar 9. Pada gambar 3 dapat diketahui pula kondisi yang dipenuhi dari gambar ketika nilai h >, nilai h disini menyatakan Fungsi hamiltonian ketika ungsi F dan F digantikan oleh ungsi eliptik. Kemudian untuk ungsi Jaco bi cn ( ζ x, syarat parameter yang harus dipenuhi yaitu, > <. Dimana dalam koeisien ada parameter yang bersiat bebas yaitu parameter A yang secara isis melambangkan amplitudo pada persamaan. Dengan demikian ketika parameter A dipilih secara bebas dan berpengaruh langsung terhadap parameter mengakibatkan muncul dua buah kondisi yaitu h > dan h <. Untuk kondisi h > ternyata gambar trayektori solusinya berada di luar

8 6 trayektori untuk H =, sedangkan kondisi h < gambar trayektori solusinya berada di dalam. Artinya dengan memvariasikan nilai parameter yang terkait dengan parameter bebas A maka akan didapatkan dua kondisi yang berbeda. Namun kondisi tersebut tidak bisa ditebak secara bebas artinya ketika nilai h > bukan berarti berada di luar trayektori solusi untuk gambar 8, sebab pada ungsi sn ζ x, k kondisi yang diperoleh berada di ( ) h > dan ternyata berada di dalam trayektori solusi untuk H = /4. Berikut ini ilustrasi yang didapat untuk kedua kondisi cn ζ x, k. tersebut pada ungsi Untuk ungsi Jacobi dn ( x, engan ungsi jacobi ( ζ x d cn, ζ sama halnya, namun syarat yang harus dipenuhi, > <. Untuk memahaminya, perhatikan ilustrasi ga mbar 33 dan 34 berikut. Gambar 33 Trayektori ungsi dn ( ζ x, dengan kondisi h < dan k < Gambar 3 Trayektori ungsi cn ( ζ x, dengan kondisi h < dan k > Gambar 34 Trayektori ungsi dn ( ζ x, dengan kondisi h > dan k > Gambar 3 Trayektori ungsi cn ( ζ x, dengan kondisi h > dan k < berdasarkan gambar 3-34, ternyata memiliki keunikan tersendiri yaitu untuk gambar 3-3 unt ungsi cn ζ x, k antara nilai h dan k uk memiliki hibungan terbalik, sedangka n untuk gam bar antara nilai h dan k memiliki hubungan kesebandingan (lurus).

9 7 Untuk lebih memahami bentuk dari ketiga ungsi eliptik, maka berikut ini akan diilustrasikan bentuk ungsi eliptik secara masing-masing terhadap sumbu x pada koordinat cartesian dengan memenuhi kondisi syaratnya masing-masing. Gambar 38 Plot Fungsi dn ( x, ζ terhadap sumbu x dengan kondisi h < dan k < Gambar 35 Plot Fungsi sn ( ζ x, k ) terhadap sumbu x dengan kondisi k < dan h> G ambar 39 Plot Fungsi dn ( x, ζ terhadap sumbu x dengan kondisi h > dan k > Gambar 36 Plot Fungsi cn ζ x, k terhadap sumbu x dengan kondisi h > dan k < terhadap sumbu x dengan kondisi h < dan k > Gambar 37 Plot Fungsi cn ( ζ x, berdasarkan gambar dapat dinyatakan pula bahwa untuk gambar 36 dan 39, ternyata plot yang dihasilkan berpotongan dengan sumbu x, sedangkan untuk gambar 37 dan 38 plot yang dihasilkan tidak berpotongan terha dap sumbu x. Dengan dem ikian untuk mendapatkan plot yang berpotongan dengan sumbu x maka kondisi yang harus dipenuhi yaitu ketika h >. Kemudian berdasarkan gambar 35 jika dilihat secara mendalam ternyata serupa dengan bentuk graik ungsi sinus pada ungsi trigonometri yang terkait dengan ungsi ganjil. Sedangkan untuk gambar 36 dan 39 ternyata serupa dengan graik ungsi cosinus pada ungsi trigonometri yang terkait dengan ungsi genap. Untuk lebih memahami bentuk trayektori solusi ketiga ungsi eliptik yang telah ditunjukan pada gambar sebelumnya, maka

10 8 berikut ini akan diilustrasikan pada gambar 4 bentuk trayektori solusi gabungan ketiga ungsi eliptik. Gambar tersebut didapatkan dengan cara memplotkan ketiga ungsi eliptik yang direpresentasikan pada sumbu x terhadap ungsi turunan pertama dari ketiga ungsi eliptik masing-masing pada sumbu y. Lalu untuk membedakannya digunakan warna yang berbeda-beda, yaitu ungsi sn ( ζ x, k ) berwarna biru, ungsi cn ( ζ x, berwarna hitam, dan dn ζ x, k berwarna merah. ungsi Gambar 4 Trayektori solusi untuk ungsi cn ζ x, k dan dn ζ x, k ketika k < Gambar 4 Gabungan Trayektori untuk sn ζx, k,cn ζx, k,dandn ζ x, k ungsi berdasarkan ilustrasi gambar 4, dapat diketahui bahwa untuk trayektori ungsi s n ( ζ x, k ) (biru) cocok dengan bentuk trayektori dua titik sadel dan satu titik Center di titik asal. Sedangkan untuk ungsi cn ( ζ x, dan dn ( ζ x, (hitam dan merah) terkait dengan bentuk trayektori dua titik Center dan satu titik Sadel yang berada di titik asal. Dengan demikian bentuk trayektori masing-masing ungsi cocok dengan bentuk trayektori gabungan yang diilustrasikan pada gambar 4 di atas. Kemudian berdasarkan gambar 4, ungsi cn ( ζ x, dan dn ( ζ x, dapat diklasiikasikan secara dua jenis, yaitu untuk jenis pertama terkait dengan kondisi k < yang diilustrasikan pada gambar 4. Sedangkan untuk jenis kedua terkait dengan kondisi k > yang ditunjukan pada gambar 4. Gambar 4 Trayektori solusi untuk ungsi cn ζ x, k dan dn ζ x, k ketika k > Berdasarkan gambar 4 untuk kondisi k < trayektori solusi ungsi cn ( ζ x, berada diluar trayektori gambar 8 yang ditunjukan oleh warna biru, sedangkan trayektori solusi ungsi dn ( ζ x, berada di dalam trayektori gambar 8 yang ditunjukan oleh warna merah. Kemudian untuk gambar 4 berlaku kebalikannya yakni ungsi cn ( ζ x, yang ditunjukan warna biru berada di dalam trayektori solusi gambar 8, sedangkan untuk ungsi dn ( ζ x, yang ditunjukan oleh warna merah berada di luar trayektori solusi gambar 8. Dengan demikian berdasarkan kedua

11 9 kondisi tersebut antara ungsi cn ( ζ x, dn ( x, berkeb dan ζ memiliki hubungan alikan, yang artinya untuk kondisi k berbeda maka trayektori solusinya akan saling bertukar tempat. Namun nantinya akan ada satu kondisi yang membuat kedua bentuk trayektori solusi memiliki bentuk yang sama. Kondisi yang dimaksud yakni ketika k =. KESIMPULAN DAN SARAN. Kesimpulan Pada penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal penting yakni, yang pertama biurkasi yang terjadi pada pe rsamaan (74) merupakan proses biurkasi Pitch-Fork, hal ini ditandai dengan kemunculan dua buah titik kritis bersiat stabil ketika kondisi >, > Kemudian yang kedua bentuk trayektori yang didapat memilki syarat simultan yang artinya nilai, > dan, <, sebab jika kedua parameter tersebut berbeda tanda maka hanya memilki satu buah titik kritis saja. Kemudian untuk trayektori solusi ungsi sn ( ζ x, k ) kondisi yang harus dipenuhi yaitu, < kemudian untuk ungsi cn ( ζ x, kondisi yang harus dipenuhi adalah, > uk ungsi <. dan unt dn ( ζ x, kondisinya sama dengan ungsi cn ( ζ x, yaitu, > <. Kemudian berdasarkan gambar 4 dapat dilihat bahwa trayektori ungsi sn ( ζ x, k ) terkait dengan titik Center yang berada di titik asal, sedangkan untuk ungsi cn ( ζ x, dan dn ( ζ x, terkait dengan titik Sadel yang berada di titik asal. Berdasarkan gambar trayektori solusi ketiga buah ungsi eliptik ada beberapa hal yang perlu diingat yaitu yang pertama ketiga ungsi memiliki kondisi h yang berbeda-beda. Dalam hal ini tidak selalu bisa dipastikan untuk h < berada di dalam trayektori solusi Hamiltonian, begitu pula sebaliknya. Faktor yang menyebabkan nilai h< atau h> berasal dari pemilihan parameter yang di dalamnya terkait dengan suatu parameter bebas yakni parameter A yang secara isis dapat dipandang sebagai amplitudo persamaan. Dan nilai A yang dipilih harus selalu lebih besar dari nol, andaikan bernilai negati hal itu terjadi bukan karena pemilihan nilai A, melainkan aktor paramet er lain di dalam yang bernilai negati. Kemudian yang kedua ( ζ x dan dn ( x, ungsi cn, ζ terkait dengan kondisi k yang berbeda yakni untuk k < ditunjukan pada gambar 4, sedangkan untuk kondisi k > ditunjukan pada gambar 4.. Saran Penelitian ini perlu dikembangkan leb ih lanjut, terutama secara kajian teoritik. Ada beberapa hal yang mungkin dilakukan yakni menggan ti ungsi Eliptik Jacobi den gan ungsi-ungsi khusus lainnya seperti ungsi Beta, Gamma, dan Bassel. Dan untuk lebih menarik lagi dalam proses penelusuran persamaan secara eksak, bisa digunakan persamaan untuk solion Temporal, sehingga dalam hal ini dapat dilihat pengaruh waktu dalam proses penjalaran gelombang soliton.