Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Transkripsi

1 Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Tim Ilmu Komputasi Week 6: Separasi Variabel untuk Persamaan Gelombang Orde dua dan Koesien Fourier Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan

2 1 Motivasi 2 Persamaan Gelombang 1D orde dua 3 Separasi Variabel 4 Contoh 5 Koesien Fourier 6 Selanjutnya

3 Motivasi Gelombang melingkar Figure : Gelombang menyebar secara melingkar. (Source:

4 Motivasi Gelombang air Figure : Gelombang air. (Original Image Source:

5 Motivasi Gelombang acoustic pada gitar Figure : Gelombang acoustic pada gitar. (Original Image Source: and

6 Persamaan Gelombang 1D orde dua Persamaan Gelombang Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan.

7 Persamaan Gelombang 1D orde dua Persamaan Gelombang Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang.

8 Figure : Gangguan pada senar gitar. Persamaan Gelombang 1D orde dua Persamaan Gelombang Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang. Misalkan sebuah senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk kongurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut. Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada instrumen musik yaitu gitar.

9 Persamaan Gelombang 1D orde dua Persamaan Gelombang Dari model vibrasi senar di atas, model matematika vibrasi senar berupa persamaan gelombang. Diberikan masalah nilai awal dan nilai batas persamaan gelombang berikut 2 u = t 2 c 2 2 u, x (0, ), t > 0 (2.1) x 2 u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = g(x), x [0, ] (2.2) u(0, t) = 0, u(, t) = 0. t 0 (2.3) Selanjutnya akan dibahas mengenai solusi persamaan di atas menggunakan metode separasi variabel.

10 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi separasi untuk persamaan ( ) diberikan sebagai berikut u(x, t) = X (x)t (t).

11 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi separasi untuk persamaan ( ) diberikan sebagai berikut u(x, t) = X (x)t (t). Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat X (x)t (t) = c 2 X (x)t (t) (3.1)

12 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi separasi untuk persamaan ( ) diberikan sebagai berikut u(x, t) = X (x)t (t). Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat X (x)t (t) = c 2 X (x)t (t) (3.1) atau T (t) c 2 T (t) = X (x) X (x) (3.2)

13 Separasi Variabel Separasi variabel Seperti pada pembahasan persamaan panas 1D sebelumnya, persamaan (3.2) harus sama dengan suatu konstanta, yakni untuk λ R. T (t) c 2 T (t) = X (x) = λ (3.3) X (x)

14

15 Separasi Variabel Separasi variabel Dari (3.3), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa (PDB): X (x) + λx (x) = 0, (3.4) T (t) + λc 2 T (t) = 0. (3.5) Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!

16 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.4) Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen X (x) + λx (x) = 0, x (0, ), (3.6) X (0) = X () = 0. (3.7)

17 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.4) Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen X (x) + λx (x) = 0, x (0, ), (3.6) X (0) = X () = 0. (3.7) Solusi umum untuk persamaan di atas adalah X (x) = A cos( λx) + B sin( λx) (3.8)

18 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.4) Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen X (x) + λx (x) = 0, x (0, ), (3.6) X (0) = X () = 0. (3.7) Solusi umum untuk persamaan di atas adalah dengan adanya nilai batas maka X (x) = A cos( λx) + B sin( λx) (3.8) X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9) X () = 0 cos(0) + B sin( λ) = 0 (3.10)

19 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.4) Selanjutnya X () = 0 cos(0) + B sin( λ) = 0 (3.11)

20 Separasi Variabel Selanjutnya Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.4) X () = 0 cos(0) + B sin( λ) = 0 (3.11) yang diharapkan bernilai 0 adalah sin( λ) sehingga

21 Separasi Variabel Selanjutnya Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.4) X () = 0 cos(0) + B sin( λ) = 0 (3.11) yang diharapkan bernilai 0 adalah sin( λ) sehingga sin( λ) = 0 (3.12) λ = kπ, k = 1, 2... (3.13) kπ λ =, k = 1, 2... (3.14) ( ) kπ 2 λ =, k = 1, 2... (3.15)

22 Separasi Variabel Selanjutnya Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.4) X () = 0 cos(0) + B sin( λ) = 0 (3.11) yang diharapkan bernilai 0 adalah sin( λ) sehingga sin( λ) = 0 (3.12) λ = kπ, k = 1, 2... (3.13) sehingga solusi umumnya adalah kπ λ =, k = 1, 2... (3.14) ( ) kπ 2 λ =, k = 1, 2... (3.15) X k (x) = B k sin( kπx ), k = 1, 2... (3.16)

23 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.5) Dilain pihak, fungsi T (t) harus memenuhi T (t) + λ k c 2 T (t) = 0, (3.17) ( ) 2 T kπc (t) + Tk(t) = 0 (3.18)

24 Separasi Variabel Separasi variabel Solusi PDB persamaan (3.5) Dilain pihak, fungsi T (t) harus memenuhi T (t) + λ k c 2 T (t) = 0, (3.17) ( ) 2 T kπc (t) + Tk(t) = 0 (3.18) Sehingga solusi umumnya untuk T (t) dapat dibentuk menjadi ( ) ( ) kπct kπct T k (t) = C k cos + D k sin, (3.19) dengan C k, D k R merupakan konstanta sembarang.

25 Separasi variabel Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua Separasi Variabel Pada akhirnya, kita mendapatkan tak hingga solusi separasi dari persamaan gelombang ( ), u(x, t) = X (x)t (x) (3.20) ( ) ( ( ) ( )) kπx kπct kπct u k (x, t) = B k sin C k cos + D k sin, k = 1, 2,, u k (x, t) = sin k = 1, 2,, ( kπx ) ( E k cos ( kπct dengan E k = B k C k dan F k = B k D k. ) + F k sin ( kπct )), (3.21) (3.22)

26 Separasi variabel Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua Separasi Variabel Solusi separasi variabel dari persamaan gelombang, ( ) ( ( ) ( )) kπx kπct kπct u k (x, t) = sin E k cos + F k sin, k = 1, 2, (3.23) memenuhi kondisi awal ( ) ( ) kπx kπc kπx u k (x, 0) = E k sin dan (u k ) t (x, 0) = F sin k (3.24)

27 Separasi variabel Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua Separasi Variabel Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga merupakan sebuah solusi yakni, u(x, t) = N sin k=1 dengan kondisi awal u(x, 0) = N E k sin k=1 ( kπx ( kπx ) ( ) E k cos ( kπct dan u t (x, 0) = ) + F k sin N k=1 F k kπc ( kπct sin )), (3.25) ( kπx ). (3.26)

28 Contoh Contoh separasi variabel Contoh Diberikan masalah gelombang ( ) dengan c = 1, = 1, f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = sin(2πx).

29 Contoh Contoh separasi variabel Contoh Diberikan masalah gelombang ( ) dengan c = 1, = 1, f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = sin(2πx). Data awal dengan bentuk (3.26) diberikan sebagai berikut E 1 = 2, E k = 0, untuk k > 1 dan F 2 = 1 2π, F k = 0, untuk k 2

30 Contoh Contoh separasi variabel Contoh Diberikan masalah gelombang ( ) dengan c = 1, = 1, f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = sin(2πx). Data awal dengan bentuk (3.26) diberikan sebagai berikut E 1 = 2, E k = 0, untuk k > 1 dan F 2 = 1 2π, F k = 0, untuk k 2 Sehingga solusinya u(x, t) diberikan sebagai u(x, t) = 2 sin(πx) cos(πt) 1 sin(2πx) sin(2πt) 2π

31 Contoh Contoh separasi variabel Figure : Solusi u(x, t) pada contoh diatas untuk (x, t) ([0, 1] [0, 3]).

32 Contoh atihan Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua u tt u xx = 0 sebagai berikut, tentukanlah solusi umum persamaan gelombang! 1. f (x) = 3 sin(4πx) dan g(x) = 5 sin(7πx), x [0, 1]. 2. f (x) = 3 sin(4πx) + 2 sin(2πx) dan g(x) = 5 sin(7πx), x [0, 1]

33 Koesien Fourier Koesien Fourier Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan subuah konstanta?

34 Koesien Fourier Koesien Fourier Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut u(x, 0) = f (x) = 1, (5.1) u t (x, 0) = g(x) = 0 (5.2)

35 Koesien Fourier Koesien Fourier Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut Tentu saja dengan menggunakan solusi u(x, t) = tidak bisa. N sin k=1 ( kπx u(x, 0) = f (x) = 1, (5.1) u t (x, 0) = g(x) = 0 (5.2) ) ( E k cos ( kπct ) + F k sin ( kπct )), (5.3)

36 Koesien Fourier Koesien Fourier Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D, yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu u(x, 0) = f (x) = 1 = u t (x, 0) = g(x) = 0 = N E k sin k=1 N k=1 F k ckπ ( kπx sin ), (5.4) ( kπx ) (5.5)

37 Koesien Fourier Koesien Fourier Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D, yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu u(x, 0) = f (x) = 1 = u t (x, 0) = g(x) = 0 = N E k sin k=1 N k=1 F k ckπ ( kπx sin ), (5.4) ( kπx Sehingga tugas terakhir adalah mencari nilai koesien E k dan F k! ) (5.5)

38 Koesien Fourier Koesien Fourier Sama dengan proses mencari koesien Fourier pada kasus persamaan panas, didapat E k = 2 F k = 2 ckπ 0 f (x) sin 0 g(x) sin ( kπx ( kπx ), (5.6) ) (5.7)

39 Koesien Fourier Contoh Koesien Fourier Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua u tt u xx = 0 pada selang x [0, 1] seperti berikut u(x, 0) = f (x) = 1, (5.8) u t (x, 0) = g(x) = 0 (5.9) Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!

40 Koesien Fourier Contoh Koesien Fourier Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua u tt u xx = 0 pada selang x [0, 1] seperti berikut u(x, 0) = f (x) = 1, (5.8) u t (x, 0) = g(x) = 0 (5.9) Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! Pertama kita tentukan koesien Fourier 1 ( ) kπx E k = 2 1 sin, (5.10) 1 F k = 2 kπ sin ( kπx 1 ) (5.11)

41 Koesien Fourier Untuk Koesien E k : Contoh Koesien Fourier

42 Koesien Fourier Contoh Koesien Fourier Untuk Koesien E k : Pertama kita tentukan koesien Fourier 1 ( ) kπx E k = 2 1 sin, (5.12) 1 0 E k = 2 kπ [ cos (kπx)]1 0, (5.13) E k = 2 (1 cos (kπ)), kπ (5.14) E k = 4 kπ, k ganjil, E k = 0, k genap (5.15)

43 Koesien Fourier Contoh Koesien Fourier Untuk Koesien E k : Pertama kita tentukan koesien Fourier 1 ( ) kπx E k = 2 1 sin, (5.12) 1 Untuk Koesien F k 0 E k = 2 kπ [ cos (kπx)]1 0, (5.13) E k = 2 (1 cos (kπ)), kπ (5.14) E k = 4 kπ, k ganjil, E k = 0, k genap (5.15) didapatkan F k = 2 kπ sin ( kπx 1 ) = 0 (5.16)

44 Koesien Fourier Contoh Koesien Fourier Sehingga solusinya didapatkan u(x, t) = u(x, t) = u(x, t) = N sin k=1 ( kπx ) ( E k cos ( kπct ) + F k sin ( kπct )), (5.17) N ( ) ( ( ) ( )) kπx 4 kπct kπct sin kπ cos + 0 sin, k ganjil, k=1 (5.18) N ( ) ( ) 4 (2k (2k 1)π sin 1)πx (2k 1)πct cos, k=1 (5.19)

45 Koesien Fourier atihan Koesien Fourier Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua u tt 4u xx = 0 pada selang x [0, 3] seperti berikut u(x, 0) = f (x) = 10, (5.20) u t (x, 0) = g(x) = 0 (5.21) Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!

46 Koesien Fourier Homework Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua u tt u xx = 0 sebagai berikut f (x) = x(1 x) dan g(x) = 0. (5.22) Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! (Hint: Gunakan metode koesien Fourier untuk menentukan fungsi f (x) menjadi fungsi sinusoidal!)

47 Selanjutnya Next Selanjutnya, akan dibahas contoh soal-soal untuk menghadapi UTS.

48 End of presentation!