(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
|
|
- Sudirman Indradjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
2 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks 6 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) 7 Solusi (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
3 Definisi matriks Matriks Definisi (Matriks) Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau persegi. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf kapital A, B, C, D,... Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb. A m n = [ a ij ]m n = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn a ij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j. i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. m n = ukuran atau ordo matriks A. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
4 Matriks Mendefinisikan matriks Cara mendefinisikan matriks: Soal dituliskan seluruh elemennya didefinisikan elemennya Tentukan matriks A yang elemennya didefinisikan sebagai berikut: 1 A = ( { 1, i = j a ij )3 3, a ij = i, i = j 2 A = ( { 1 + i, i < j a ij )4 5, a ij = i j, i j SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
5 Submatriks Matriks Definisi (Submatriks) Submatriks dari matriks A adalah suatu matriks baru yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan beberapa baris atau kolomnya. Catatan: A adalah submatriks A sendiri. Soal Tentukan submatriks dari matriks A = ( a. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 2 dan kolom 1. b. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2. SOLUSI ) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
6 Matriks khusus Matriks 1 Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Catatan: 1 Khusus untuk matriks segi, ordo n n, biasa ditulis ordo n. 2 Jika A = (a ij ) n n maka elemen a 11, a 22,..., a nn disebut elemen diagonal utama matriks A. 2 Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. 3 Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. 4 Matriks identitas: Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan I n. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
7 Operasi Matriks Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar Definisi (Penjumlahan dan pengurangan) Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran m n dan a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn, B = b 11 b b 1n b 21 b b 2n b m1 b m2... b mn Penjumlahan/pengurangan matriks A dan B ditulis A ± B didefinisikan sebagai berikut: a 11 ± b 11 a 12 ± b a 1n ± b 1n a A ± B = 21 ± b 21 a 22 ± b a 2n ± b 2n a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
8 Operasi Matriks Definisi (Perkalian skalar) Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis ka, didefinisikan sebagai berikut: ka 11 ka ka 1n ka ka = 21 ka ka 2n ka m1 ka m2... ka mn Catatan: A = ( 1) A (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
9 Operasi Matriks Hukum penjumlahan dan perkalian skalar Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k adalah skalar, maka 1 (A + B) + C = A + (B + C) 2 A + ( A) = A A = O 3 A + B = B + A 4 k(a + B) = ka + kb 5 0A = O dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
10 Operasi Matriks Definisi (Perkalian matriks) Misalkan A = ( ) a ij m p dan B = ( ) b ij adalah dua matriks yang p n berturut-turut berukuran m p dan p n. Perkalian matriks A dan B, ditulis AB, didefinisikan sebagai berikut: dengan c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj = j = 1, 2,..., n. p a ik b kj. i = 1, 2,..., m, k=1 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
11 Operasi Matriks Hukum perkalian matriks Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka 1 Hukum asosiatif (AB)C = A(BC) 2 Hukum distributif kiri A(B + C) = AB + AC 3 Hukum distributif kanan (B + C)A = BA + CA 4 k(ab) = (ka)b = A (kb) Catatan: secara umum AB = BA. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
12 Operasi Matriks Putaran (transpos) matriks Definisi (Putaran (transpos) suatu matriks) Misalkan A = (a ij ) adalah matriks berukuran m n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis A T, adalah matriks berukuran n m yang didefinisikan sebagai berikut: (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
13 Operasi Matriks Sifat matriks putaran 1 (A ± B) T = A T ± B T 2 (A T ) T = A 3 (ka) T = k ( A T),dengan k skalar 4 (AB) T = B T A T (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
14 Operasi Matriks Soal operasi matriks Soal Diketahui matriks A, B, C, dan D sebagai berikut: ( ) ( A = B = ( ) ( ) C = 5 1 D = ) Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak, berikan alasannya. a. 2A + B b. (2A + B)C c. C T D SOLUSI d. (AC) T e. AA T f. 3A + BD (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
15 Determinan matriks Definisi (Determinan matriks berukuran 1 x 1) Diberikan matriks A berukuran 1 x 1, yaitu A = (a 11 ). Didefinisikan determinan matriks A, yaitu det(a) = A = a 11. Catatan: Determinan matriks A, biasa juga ditulis A (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
16 Determinan matriks Definisi (Determinan matriks berukuran n x n) Misalkan A = (a ij ) n n dan A ij adalah submatriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor elemen a ij, notasi M ij, didefinisikan sebagai Maka M ij = det(a ij ), dan kofaktor elemen a ij, notasi α ij didefinisikan 1 det (A) = 2 det (A) = n j=1 n i=1 α ij = ( 1) i+j M ij. a ij α ij, untuk sebarang i, i = 1, 2,..., n a ij α ij, untuk sebarang j, j = 1, 2,..., n. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
17 Determinan matriks Metode ini dikenal dengan nama metode minor-kofaktor. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
18 Determinan matriks Contoh (Determinan matriks ukuran 2 x 2) Dengan menggunakan metode minor kofaktor, matriks A berukuran 2 x 2 ( ) a b A = c d, maka tunjukkan det(a) = ad bc. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
19 Determinan matriks Contoh (Determinan matriks ukuran 3 x 3) Jika matriks A berukuran 3 x 3 ( a11 a 12 a 13 ) A = a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 maka det(a) = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32 ). Metode ini dikenal dengan nama metode Sarrus. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
20 Determinan matriks Soal determinan matriks Soal Tentukan determinan matriks berikut: ( ) A = 3 1 ( ) B = C = SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
21 Determinan matriks Sifat-sifat Determinan 1 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(a) = 0. 2 Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. 3 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(a) = 0. Soal Tentukan determinan matriks-matriks berikut: A = ( ), B = ( ), dan C = SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
22 Matriks invers Matriks Invers Definisi (Matriks invers) Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan memiliki invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I n. Matriks B disebut invers matriks A. Notasi: B = A 1 (dibaca: invers matriks A) Sifat matriks invers: 1 Invers suatu matriks bersifat tunggal. 2 Jika matriks A dan B memiliki invers, maka (A 1 ) 1 = A (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
23 Matriks Invers Metode matriks adjoin Teorema (Metode matriks adjoin) Misalkan A = (a ij ) adalah matriks segi berordo n. Jika det(a) = 0 dan matriks C = (α ij ), dengan α ij adalah kofaktor elemen a ij, maka invers matriks A adalah A 1 1 = det (A) CT C T disebut matriks adjoin dari matriks A. Catatan: Jika det (A) = 0, A tidak memiliki invers dan disebut singular. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
24 Matriks Invers Contoh Dengan menggunakan metode matriks adjoin, dapat ditunjukkan jika matriks A berukuran 2 x 2 ( ) a b A = c d, det (A) = 0, ad bc = 0 maka A 1 = 1 ad bc ( d b c a ). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
25 Matriks Invers Soal Dengan menggunakan metode matriks adjoin, tentukan invers matriks-matriks berikut ( ) ( ) A = 2 1, B = SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
26 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Operasi baris dasar (OBD) 1 Tukarkan baris ke-i dan ke-j Notasi: E ij 2 Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k = 0 Notasi: E i(k) 3 Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j, k = 0, i = j Notasi: E ij(k) Catatan: Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E 1, E 2,..., E n yang dikenakan pada matriks A ditulis E n... E 2 E 1 (A). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
27 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Soal operasi baris dasar Soal Jika diketahui A = ( Tentukan matriks B = E 2( 1) E 13(2) E 12 (A). SOLUSI ). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
28 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Ekuivalen baris Definisi Matriks A dikatakan ekuivalen baris dengan matriks B, notasi A B, apabila terdapat serangkaian operasi baris dasar E 1, E 2,..., E n, sehingga B = E n... E 2 E 1 (A). A E1 A 1 E2... En B (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
29 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Soal Tentukan serangkaian operasi baris dasar terhadap matriks A, A = ( sehingga A ekuivalen baris dengan matriks segitiga atas kemudian tentukan determinan dari matriks segitiga atas tersebut. SOLUSI ) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
30 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Pangkat matriks Definisi (Pangkat matriks) Misalkan A matriks berordo m n. Pangkat atau rank matriks A, notasi: p (A) (dibaca: pangkat matriks A), didefinisikan sebagai ordo terbesar submatriks segi A yang determinannya tidak nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
31 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Soal Tentukan pangkat matriks berikut. ( ) A = ( ) B = ( ) C = SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
32 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Menentukan pangkat matriks menggunakan OBD Teorema (Menentukan pangkat matriks) Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkat matriks asal. Catatan: Jika A B, maka p (A) = p (B). Prosedur: 1 Lakukan operasi baris dasar terhadap matriks sehingga berbentuk matriks mirip segitiga atas ( a ij = 0, i > j ). 2 Pangkat matriks adalah banyaknya baris matriks hasil OBD yang tidak semua elemennya nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
33 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Soal Dengan menggunakan operasi baris dasar, tentukan pangkat matriks berikut. ( ) A = ( ) B = SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
34 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Persamaan Linear Definisi (Persamaan linear) Suatu persamaan dalam n variabel x 1, x 2,..., x n dikatakan linear bila dapat dituliskan dalam bentuk c 1 x 1 + c 2 x c n x n = k di mana c 1, c 2,..., c n dan k adalah konstanta real. Contoh: 1 2x = 5 adalah persamaan linear. 2 3x + 6y + 2z = 10 adalah persamaan linear. 3 4xy + 6z = 7 bukan persamaan linear. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
35 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Sistem Persamaan Linear Definisi (Sistem persamaan linear) Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
36 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks di mana a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Catatan: 1 A disebut matriks koefisien AX = B X = x 1 x 2. x n B = 2 (A B) disebut matriks yang diperbesar atau matriks gandeng 3 Jika B = O, SPL disebut SPL homogen 4 Jika B = O, SPL disebut SPL takhomogen b 1 b 2. b n (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
37 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal 1 Periksa apakah persamaan di bawah ini linear atau tidak. 1 2x 1 + x 2 x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 0 3 sin x 1 + x 2 + 3x 3 = 2 4 x 1 + x 2 2x 3 = x Tuliskan SPL berikut ke dalam bentuk perkalian matriks AX = B dan matriks yang diperbesar A B. 2x 3y + 2z = 0 2x y z = 1 3x 2y + z = 1 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
38 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal Tuliskan SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar berikut SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
39 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Penyelesaian SPL Definisi (Penyelesaian SPL) Penyelesaian atau solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan (s 1, s 2,..., s n ) yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. (s 1, s 2,..., s n ) berkorespondensi secara berurutan dengan (x 1, x 2,..., x n ). Penyelesaian SPL: tidak ada tunggal banyaknya takhingga (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
40 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Ilustrasi: Kemungkinan solusi SPL berikut ada tiga, yaitu: l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 l 2 : a 2 x + b 2 y = c 2 Tidak ada Penyelesaian tunggal Banyak penyelesaian (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
41 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Kekonsistenan SPL Definisi (Kekonsistenan SPL) Suatu SPL dikatakan konsisten bila sekurang-kurangnya memiliki satu penyelesaian dan dikatakan takkonsisten bila tidak memiliki penyelesaian. Teorema (Kekonsistenan SPL) Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m n, konsisten jika dan hanya jika p(a) = p(a B). Jika SPL konsisten dan 1 p(a) = n, maka SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal. 2 p(a) < n, maka SPL tersebut memiliki banyak penyelesaian. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
42 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal 1 Tentukan kekonsistenan SPL berikut. 2x + y 2z + 3w = 1 3x + 2y z + 2w = 4 3x + 2y + 3z 3w = 5 2 Tentukan α agar SPL berikut: a. konsisten b. takkonsisten x 3y + 2z = 4 2x + y z = 1 3x 2y + z = α SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
43 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A berordo m n. Konsep dasar: 1 Jika (A B) (C D), maka penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (A B) dan penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (C D) adalah sama. 2 Jika C berbentuk matriks segitiga atas atau mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (C D) seperti pada gambar: (1) (2) C matriks segitiga atas C mirip matriks segitiga atas maka SPL AX = B konsisten. 3 Jika C berbentuk mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (C D) seperti pada gambar: (3) maka SPL AX = B takkonsisten. Catatan: Bagian yang tidak diarsir semua elemennya nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
44 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Prosedur Penyelesaian SPL Prosedur: 1 Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar (A B). 2 Lakukan serangkaian operasi baris dasar sehingga (A B) (C D), dengan (C D) merupakan matriks seperti pada gambar (1),(2), atau (3). 3 Jika (C D) merupakan matriks seperti pada (3), maka SPL takkonsisten. 4 Jika (C D) merupakan matriks seperti pada (1) atau (2), lakukan substitusi mundur pada SPL CX = D. 5 Penyelesaian pada langkah 4 merupakan penyelesaian SPL AX = B. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
45 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal Tentukan penyelesaian SPL berikut. 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 2 x 1 + x 2 + 2x 3 = 15 x 1 + x 3 = 10 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 25 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
46 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Penerapan SPL (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
47 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal Seorang petani yang sukses memiliki 3 buah kebun, yaitu kebun A, B dan C, yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebun A diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untuk memanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor dan 2 mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan 10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orang kuli, 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut, tentukan luas masing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebut termanfaatkan seluruhnya. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
48 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal Sebuah perusahaan distributor barang akan mendistribusikan barang dari 2 gudang yang terletak di kota A yang memuat 40 satuan barang, sedangkan gudang yang kedua terletak di kota B yang memuat 30 satuan barang. Barang-barang tersebut akan didistribusikan ke kota C dan D yang masing-masing membutuhkan 20 dan 50 satuan barang. Ongkos pengangkutan dari kota A ke kota C sebesar Rp 2.000,00; dari kota A ke kota D sebesar Rp 1.000,00; dari kota B ke kota C sebesar Rp 3.000,00 dan dari kota B ke kota D sebesar Rp 1.000,00. Biaya minimum pengangkutan barang-barang tersebut sebesar Rp ,00. Tentukan banyaknya barang yang diangkut dari kedua gudang ke kota C dan D agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
49 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Tentang Slide Penyusun: Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDFL A TEX) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
50 Solusi Solusi Matriks A dengan elemen yang didefinisikan tersebut: ( 1 1 ) 1 1 A = A = Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
51 Solusi Solusi Submatriks ( ) dari matriks A adalah: 0 1 a. A a = 1 5 b. A b = ( 2 2 ) Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
52 Solusi Solusi ( Operasi matriks ) a ( ) 1 20 b. 7 7 ( ) 4 c. 7 ( ) 6 5 d ( ) 5 11 e. 4 3 f. Tidak terdefinisi karena ukuran A adalah 2 x 3 sedangkan ukuran BD adalah 2 x 1. Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
53 Solusi Solusi C = , determinant 1 Soal = (( ) ( )) (( ) ( )) = = 1 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
54 Solusi Solusi A = 0 B = 6 C = 0 Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
55 Solusi Solusi A 1 = ( ) B 1 = ( ) Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
56 Solusi Solusi B = ( ) Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
57 Solusi Solusi A = ( ) dan determinan matriks B adalah 8. Soal ( ) ( ) = B (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
58 Solusi Solusi 1 Pangkat = 2 2 Pangkat = 2 3 Pangkat = 3 Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
59 Solusi Solusi Penentuan pangkat matriks dengan operasi baris dasar. ( ) ( ) A = Pangkat = B = Soal ( ) ( ). Pangkat = 3 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
60 Solusi Solusi 1 Persamaan sebelumnya adalah: 1 Linear. 2 Tidak linear, karena terdapat perkalian x 2 x 3. 3 Tidak linear, karena terdapat fungsi trigonometri. 4 Linear. 2 SPL dalam bentuk perkalian matriks yang diperbesar: ( ) Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
61 Solusi Solusi SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar tersebut adalah: x + y + 2z = 1 5x + 4y + 9z = 2 2x 3z = 1 y 4z = 7 Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
62 Solusi Solusi penyelesaian. 2 Penentuan nilai α Konsisten dan memiliki banyak ( α 5 ) Agar SPL tersebut konsisten, haruslah α = 5. Jika α = 5, maka SPL tersebut tak konsisten. Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
63 Solusi Solusi 1 Penyelesaian SPL ( ) Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan penyelesaian tunggal dengan nilai x 3 = 2, x 2 = 1, x 1 = 1. 2 Penyelesaian SPL ( Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan banyak penyelesaian. Misal x 3 = s, maka x 2 = 5 s dan x 1 = 10 s Soal ) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
64 Solusi Solusi Misal x, y, z adalah luas kebun A, B dan C. Setiap baris merepresentasikan kuli, mandor dan mobil pengangkut. x y z Ketersediaan Kuli Mandor Mobil x + 5y + 10z = 74 2x + 3y = 18 x + 2y + 3z = 20 x, y, z 0 Diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar adalah: E 21( 2) E 31( 8) ( ) ( E 13 ( ) E 32( 11) ) ( (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
65 Solusi Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan 52z = 156 = z = 3 y 6z = 22 = y 18 = 22 = y = 4 x + 2y + 3z = 20 = x = 20 = x = 3 solusi z = 3, y = 4, x = 3. Solusi Jadi, agar aset petani tersebut dapat termanfaatkan seluruhnya, luas kebun A adalah 3 hektar, luas kebun B adalah 4 hektar, dan luas kebun C adalah 3 hektar. Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
66 Solusi Solusi Misal diberikan variabel sebagai berikut: w adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke C. x adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke D. y adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke C. z adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke D (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
67 Solusi Dari hasil penyederhanaan tersebut, banyaknya distribusi barang agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi adalah sebagai berikut: Solusi Banyaknya barang dari gudang A ke C adalah 20 barang. Banyaknya barang dari gudang A ke D adalah 20 barang. Tidak ada barang dari gudang B ke C. Banyaknya barang dari gudang B ke D adalah 30 barang. Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS)
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 10 Sesi N MATRIKS A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan
Lebih terperincia 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2
Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciMATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita
MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,
Lebih terperinciMatriks. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar
Bab 1 Matriks Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2.1 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat
Lebih terperinciBAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS (WAJIB)
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS (WAJIB) Nama Siswa Kelas : : Kompetensi Dasar (Kurikulum 2013): 3.1 Menganalisis konsep, nilai determinan dan sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam menentukan invers
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciMATRIKS. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATRIKS Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 15 Matriks Kompetensi Dasar 1. Menggunakan
Lebih terperinciMATRIKS. kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 1 Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciMatriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers
Matriks B B 3. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Sumber: www.smanela-bali.net Pernahkah kalian mengamati
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinciKAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 279 284. KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS Adrianus Sumitro, Nilamsari Kusumastuti, Shantika Martha
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinci& & # = atau )!"* ( & ( ( (&
MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan
Lebih terperinciBAB 4 MATRIK ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
BAB MATRIK. Operasi Penjumlahan Pada Matriks Dan Sifat-Sifatnya Masalah. Dua orang bersaudara laki-laki dan perempuan membuka dua cabang toko kue di Padang dan di Medan. Toko kue itu menyediakan jenis
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinci3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 10 Oktober 2016 Selain metode Sarrus dan Minor-Kofaktor, ada satu metode lain yang dapat
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciPengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS B. UKURAN ATAU ORDO SUATU MATRIKS
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 09 Sesi N MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut
Lebih terperinciMatriks. Pada Kelas X, Anda telah mempelajari cara menyelesaikan sistem
Bab Sumber: www.badminton.com Matriks Pada Kelas X, Anda telah mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan gabungan substitusi-eliminasi.
Lebih terperinci