III PEMBAHASAN. 3.1 Analisis Metode. dan (2.52) masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan

Transkripsi

1 6, 1 (2.52) Berdasarkan persamaan (2.52), maka untuk 0 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:, 0,0, 0, 1,1, 1. Sehingga menurut persamaan (2.51) persamaan (2.52) diperoleh bahwa fungsi, 0, 1 masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan, 0,0 0, 1,1 0. Dengan demikian peningkatan nilai dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai, dari ke. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi. III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas kegunaan metode homotopi untuk penyelesaian suatu masalah taklinear. Metode ini akan digunakan untuk menyelesaikan model yang akan dinyatakan dalam bentuk persamaan KdV. Suatu contoh kasus akan diberikan penyelesaian numeriknya akan dibandingkan berdasarkan orde-orde yang digunakan untuk menjamin validitas metode ini. Metode homotopi yang diterapkan dalam tulisan ini mengikuti pustaka ( Song & Tao, 200 ). 3.1 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang diberikan pada persamaan (2.36). Masalah nilai awal tersebut dapat dinyatakan secara umum dalam bentuk persamaan (2.37). Perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang telah diuraikan pada landasan teori memerlukan fungsi, ; yang bergantung pada,, parameter. Tinjau persamaan taklinear berikut:, 0, (3.1) dengan suatu operator turunan yang taklinear,, fungsi yang akan ditentukan bergantung pada peubah t. Selanjutnya,, akan diperoleh dari penyelesaian persamaan deformasi orde nol berikut: 1, ;,, ;, (3.2) dengan 0,1, ; adalah fungsi yang merupakan pemetaan dari,,, adalah penduga awal dari,, adalah parameter tak nol, adalah operator linear. Jika 0 1, maka dari persamaan (3.2) akan diperoleh:, ; 0,, (3.3), ; 1 0. (3.) Selanjutnya, karena parameter q bernilai dari 0 sampai 1, maka, ; memetakan dari penduga awal, ke penyelesaian eksak,. Dengan menggunakan teorema Taylor,, ; dapat diuraikan menjadi:, ;,,,, 1, ;!. (3.5) (3.6) Selanjutnya, penurunan m kali persamaan (3.2) terhadap q, dengan 0 dibagi m! akan diperoleh bentuk persamaan orde ke-m berikut:,,,, (3.7)

2 7, 1, ; 1!, (3.) 0, 1 1, 1, (3.9) Jika persamaan (3.5) dengan 1, maka diperoleh:,,. (3.10) dengan, adalah dugaan awal, diperoleh dari penyelesaian persamaan (3.7). Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan suatu masalah yang dinyatakan dalam masalah nilai awal berikut: 10, (3.11) dengan syarat awal 0 0. Penyelesaian eksak masalah nilai awal (3.11) adalah: Berikut ini akan dicari solusi masalah nilai awal (3.11) dengan menggunakan metode homotopi. Misalkan 1, sehingga dengan menggunakan persamaan (3.7), diperoleh:. (3.12) dengan diberikan pada persamaan (3.). Karena u 0 () t = φ (;0) t, dipilih pendekatan awal u () t = t, 0 maka 1 2, Dengan demikian, diperoleh serangakaian penyelesaian,, Jika dipilih 1, maka penyelesaian masalah nilai awal (3.11) tersebut adalah: (lihat lampiran 1) Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (3.11) secara eksak penyelesaian dengan metode homotopi diberikan pada Gambar 1. Pada Gambar 1, terlihat bahwa penyelesaian eksak penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi cukup dekat untuk daerah t tertentu. Penambahan daerah kekonvergenan bergantung pada parameter h uhtl t Gambar 1. Perbandingan penyelesaian eksak metode homotopi dari masalah nilai awal (3.11) 3.2 Aplikasi Metode Persamaan KdV adalah persamaan diferensial parsial yang berbentuk taklinear berikut: 6 0, (3.13) x t adalah koordinat ruang waktu. Persamaan (3.13) telah diturunkan pada landasan teori. Untuk menggunakan metode homotopi, maka misalkan, sehingga persamaan (3.13) menjadi: eksak homotopi 6 0, (3.1)

3 c a berturut-turut menyatakan kecepatan amplitudo gelombang. Misalkan untuk, ~, (3.15) dengan 0 B adalah konstanta. Jika persamaan (3.15) turunan-turunannya disubstitusikan ke persamaan (3.1), maka diperoleh:. (3.16) Misalkan, maka persamaan (3.1) menjadi : 6 0.(3.17) (lihat lampiran 2) Kemudian asumsikan nilai awalnya berbentuk: 0 1, 0 0, 0. (3.1) Penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (3.1) menggunakan fungsi basis berupa fungsi eksponensial, dengan himpunan basisnya sebagai berikut: exp 1,2,3,, (3.19) atau dinyatakan dalam bentuk: exp, (3.20) adalah koefisien yang akan ditentukan. Berikut ini akan ditentukan penyelesaian dari masalah nilai awal (3.17), dengan menggunakan pendekatan metode homotopi. Operator taklinear yang dipilih adalah: Φ, Φ 6ΦΦ Φ (3.21) operator linear adalah: Φ; Φ;, (3.22) Jika metode koefisien tak tentu digunakan pada persamaan diferensial biasa untuk Φ;, yaitu 0, maka diperoleh: exp exp 0,(3.23),, adalah konstanta. (lihat lampiran 3) Selanjutnya,, dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan berikut: 1 Φ; ; Φ;,, (3.2) dengan 0,1 merupakan suatu parameter, ; adalah fungsi yang bergantung pada, A adalah fungsi yang bergantung pada nilai awal berikut: Φ0; 1,Φ 0; 0,Φ ; 0 (3.25) Berdasarkan persamaan (3.2), maka untuk 0 diperoleh, 0 0 yang masing-masing menunjukkan penyelesaian pendekatan awal dari. Selanjutnya, untuk 1, diperoleh, 1 1. Berdasarkan nilai awal (3.1) persamaan (3.20), dugaan awal yang dipilih berbentuk: 2exp exp 2. (3.26) Pemilihan pendekatan awal tersebut menjamin aya fungsi Φ, yang dapat diturunkan hingga m kali terhadap q. Turunan ke-m dari fungsi Φ, A terhadap q di 0 masing-masing dinotasikan sebagai berikut:!! ;, (3.27). (3.2) Deret Taylor dari fungsi Φ; di sekitar 0 masing-masing adalah: Φ; Φ, 0 (3.29)

4 9 A 0 (3.30) Berdasarkan persamaan (3.29), (3.30) Φ. 1,1, Φ, 0, 0, maka untuk 1, diperoleh:,. (3.31) (3.32) Hal ini menunjukkan hubungan antara solusi persamaan KdV (3.1) solusi pendekatan awal. Berikut ini akan ditentukan. Jika kedua ruas persamaan (3.2) persamaan (3.25) diturunkan terhadap q hingga m kali dihitung di 1 kemudian dibagi m!, maka akan diperoleh bentuk persamaan orde ke-m berikut:,, (3.33) dengan nilai awal: 0 0 0, (3.3), 1 1! Φ, (3.35),,,,, (3.36) (lihat lampiran ) Persamaan (3.35) dapat dinyatakan dalam bentuk:, 6. (3.3) (lihat lampiran 5) Jika persamaan (3.3) disustitusikan ke persamaan (3.33) berdasarkan persamaan (3.22), maka penyelesaian persamaan (3.33) dapat dinyatakan dalam bentuk: exp exp, (3.39) adalah penyelesaian khusus dari persamaan (3.33) dengan akan ditentukan berikut. Jika persamaan (3.39) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.3), maka diperoleh: 0, 0, (3.0) 0 0 0, (3.1) (lihat lampiran 6) Berdasarkan persamaan (3.0) persamaan (3.1), dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan (3.1). Untuk memahami penjelasan di atas, maka berikut ini diberikan suatu ilustrasi. Misalkan penyelesaian pendekatan awalnya 2exp exp2, maka dari persamaan (3.33) dengan pada persamaan (3.3), diperoleh:,,,,. (3.37)

5 Kemudian dari persamaan (3.1) diperoleh: (lihat lampiran 7) 3.3 Hasil Numerik Pada bagian ini akan ditentukan penyelesaian persamaan KdV (3.11) dengan menggunakan metode homotopi. Parameter yang dipilih adalah 1 misalkan gelombang yang ditinjau memiliki kecepatan 1. Berdasarkan persamaan (2.50) diperoleh penyelesaian persamaan KdV (3.13) dalam bentuk gelombang soliter, yaitu:, 2 2. Berdasarkan uraian pada bagian aplikasi metode, berikut ini algoritma untuk menentukan penyelesaian persamaan KdV: 1. Misalkan diberikan penyelesaian pendekatan awal dari persamaan KdV (3.11) sebagai berikut: 2exp exp2. 2. Menentukan penyelesaian pendekatan untuk orde ke-m dari persamaan KdV (3.9) dengan menggunakan software Mathematica. i. Menentukan, dari persamaan (3.3). ii. Menentukan dari persamaan (3.33) (3.39). iii. Menentukan dari persamaan (3.0) (3.1). iv. Menentukan penyelesaian persamaan (3.1) berdasarkan persamaan (3.31) (3.32). v. Penyelesaian persamaan KdV (3.13) diberikan dalam bentuk:,,. Gambar 2 berikut ini menunjukkan grafik fungsi, yang merupakan penyelesaian persamaan KdV untuk tertentu. U Orde 1 Orde 2 Orde 3 Eksak Gambar 2. Grafik fungsi U terhadap x dengan orde yang berbeda Berdasarkan Gambar 2, diperoleh bahwa untuk kecepatan gelombang 1 satuan yang ditinjau memberikan amplitudo sebesar 0,5 satuan, segkan dengan metode homotopi juga menghasilkan amplitudo yang sama. Semakin tinggi orde yang digunakan, amplitudo dengan metode homotopi semakin mendekati amplitudo gelombang soliter. x