ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI. Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM

Transkripsi

1 ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 03

2 ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Diajuka Keada: Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag utuk Memeuhi Salah Satu Persarata dalam Memeroleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 03

3 ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM Telah Dieriksa da Disetujui utuk Diuji Taggal: 9 Jui03 Dose Pembimbig I, Dose Pembimbig II, Hairur Rahma, M.Si Abdul Aziz, M.Si NIP NIP Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Abdussakir, M.Pd NIP

4 ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM Telah Diertahaka di Dea Dewa Peguji Skrisi da Diataka diterima sebagai Salah Satu Persarata utuk Memeroleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal: Setember 03 Peguji Utama Ketua Peguji Sekretaris Peguji Aggota Peguji : Drs. H. Turmudi, M.Si NIP : Dr. Usma Pagala, M.Si NIP : Hairur Rahma, M.Si NIP : Abdul Aziz, M.Si NIP Megesahka, Ketua Jurusa Matematika Abdussakir, M.Pd NIP

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saa ag bertada taga di bawah ii: Nama : Akhmad Sarifuddi Fauqaori NIM : Jurusa : Matematika Fakultas : Sais da Tekologi Judul : Ortogoalitas ada Ruag Berorma meataka dega sebeara bahwa skrisi ag saa tulis ii bear-bear meruaka hasil kara sediri, buka meruaka egambilaliha data, tulisa atau ikira orag lai ag saa akui sebagai hasil tulisa atau ikira saa sediri, kecuali dega mecatumka sumber culika ada daftar ustaka. Aabila di kemudia hari terbukti atau daat dibuktika skrisi ii hasil jilaka, maka saa bersedia meerima saksi atas erbuata tersebut. Malag, 3 Juli 03 Yag membuat Perataa, Akhmad Sarifuddi Fauqaori NIM

6 MOTTO Bekerjalah utuk Duiamu seaka-aka kamu aka hidu selamaa. Beribadahlah utuk Akhiratmu seakaaka kamu aka mati esok (Al-Hadits) Whe life chages to be harder, chage ourself to be stroger (aomous)

7 PERSEMBAHAN Bismillahirrahmaairrahiim... Skrisi ii diersembahka utuk: Ibuda tercita Lailatul Qadariah Aahada tercita Achmad Fadlillah Muchtar Adik-adik tercita Fitriah Nurrahmah, Nurussakiah, da Miftahul Huda

8 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr.Wb. Sukur Alhamdulillah eulis ajatka ke hadirat Allah SWT ag telah melimahka rahmat, taufik, hidaah, da iaah-na sehigga skrisi ag berjudul Ortogoalitas ada Ruag Berorma daat diselesaika dega baik. Shalawat da salam semoga tercurahka keada Nabi Muhammad SAW ag telah megatarka umat mausia meuju jala kebeara. Keberhasila eulisa skrisi ii tidak leas dari bimbiga, araha, da batua dari berbagai ihak, baik berua ikira, motivasi, teaga mauu do a. Karea itu, eulis megucaka terima kasih keada:. Prof. Dr. H. Mudjia Raharjo, M.Si, selaku Rektor Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag.. Dr. drh. Hj. Baiatul Muchtaromah, M.Si, selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. 3. Abdussakir, M.Pd, selaku Ketua Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag serta embimbig akademik ag telah memberika motivasi da bimbiga keada eulis semasa erkuliaha. 4. Hairur Rahma, M.Si, selaku dose embimbig skrisi ag telah meluagka waktua da dega sabar memberika bimbiga da araha keada eulis dalam eelesaia skrisi ii. viii

9 5. Abdul Aziz, M.Si selaku dose embimbig agama ag telah memberika bimbiga da araha keada eulis dalam eelesaia skrisi ii. 6. Para dose Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag ag telah megajar, medidik, da membimbig eulis selama meemuh edidika di Jurusa Matematika. 7. Para staf da karawa Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag ag telah memberika elaaa admiistrasi dega baik. 8. Reka-reka mahasiswa Jurusa Matematika agkata 009 ag telah memberika baak masuka, motivasi, da egalama-egalama berharga selama masa erkuliaha. 9. Ibuda Lailatul Qadariah da aahada Achmad Fadlillah Muchtar ag jasa-jasaa dalam kehidua eulis tidak daat diuraika satu-ersatu. 0. Adik-adik eulis Fitriah Nurrahmah, Nurussakiah, da Miftahul Huda ag tidak erah berheti memberika do a da dukuga keada eulis.. Achmad Wahudi, Agus Maulaa, Agga Debb Fraudha, Alfi Sahri Yui, Lailatul Urusiah, Misbakhul Choeroi, Mochammad Fajar Wilda, Muhamad Imam Mutamaqi, Qosimil Juaidi, Sefiaa Noor Cholidah, da Yusuf Arifuddi ag telah memberika baak masuka da dukuga keada eulis.. Semua ihak ag tidak daat eulis sebutka satu ersatu, terima kasih atas batuaa sehigga eulis daat meelesaika skrisi ii. i

10 Akhira, eulis memoho keada Allah SWT semoga segala kebaika ag telah diberika dibalas oleh-na. Semoga skrisi ii memberika mafaat. Ami Ya Robbal Alami. Wassalamu alaikum Wr. Wb. Malag, Setember 03 Peulis

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... i DAFTAR SIMBOL... ii DAFTAR GAMBAR... iii ABSTRAK... iv ABSTRACT... v... vi الملخص BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag.... Rumusa Masalah Tujua Peelitia Batasa Masalah Mafaat Peelitia Metode Peelitia Sistematika Peulisa... 6 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Ruag Vektor Ruag Berorma Ruag Hasilkali Dalam Ruag Semi Hasilkali Dalam Ortogoalitas Kajia Agama tetag Ortogoalitas BAB III PEMBAHASAN 3. Ortogoalitas-P Ortogoalitas-I Ortogoalitas-BJ Ortogoalitas-g BAB IV PENUTUP 4. Kesimula Sara DAFTAR PUSTAKA i

12 . : Norma (orm) DAFTAR SIMBOL,, : Hasilkali Dalam (Ier Product) : Semi Hasilkali Dalam (Semi Ier Product) : Ortogoalitas I P : Ortogoalitas-I (Isosceles Orthogoalit) : Ortogoalitas-P (Phtagorea Orthogoalit) : Ortogoalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogoalit) BJ g : Ortogoalitas-g ii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar. Grafik Fugsi Gambar. Grafik Fugsi u Gambar.3 Grafik Fugsi c 4 Gambar.4 Grafik Fugsi v 3 f Gambar.5 Grafik Fugsi u v Gambar.6 Ilustrasi ada Ketaksamaa Youg... 3 Gambar 3. Ilustrasi Ortogoalitas-P ada Ruag Berorma... 6 Gambar 3. Ilustrasi Ortogoalitas-I ada Ruag Berorma iii

14 ABSTRAK Fauqaori, Akhmad Sarifuddi. 03. Ortogoalitas ada Ruag Berorma. Skrisi Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. Pembimbig: (I) Hairur Rahma, M.Si (II) Abdul Aziz, M.Si Kata Kuci: Ruag Vektor, Ruag Berorma, Ruag Hasilkali Dalam, da Ortogoalitas. Ortogoalitas meruaka salah satu kose etig ada ruag hasilkali dalam, karea ortogoalitas berhubuga dega besar sudut atara dua vektor. Dua vektor da ada ruag hasilkali dalam jika da haa jika, 0. Berdasarka eelitia terdahulu ag dilakuka oleh J.R. Partigto ada tahu 986 megeai ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam, diketahui bahwa ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam memeuhi beberaa sifat dasar atara lai: sifat odegeerasi, simetri, homogeitas, aditif kaa, resolvabilitas, da kotiuitas. Hal ag alig serig dikaji ada ruag berorma adalah megeai ajag vektor da jarak atara dua vektor. Terdaat beberaa defiisi ortogoalitas ada ruag berorma, atara lai: ortogoalitas-p (Phtagorea Orthogoalit), ortogoalitas-i (Isosceles Orthogoalit), ortogoalitas-bj (Birkhoff-James Orthogoalit), da ortogoalitas-g. Peelitia ii bertujua utuk megkaji sifat-sifat ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam ag daat dikembagka ada ruag berorma. Metode ag diguaka ada eelitia ii adalah eelitia keustakaa, aitu dega megumulka data da iformasi ag berhubuga dega eelitia dega batua buku-buku, jural, artikel, da sumber-sumber lai ag releva. Berdasarka hasil embahasa daat disimulka bahwa ortogoalitas-p (Phtagorea Orthogoalit) ada ruag berorma riil memeuhi sifat odegeerasi, simetri, homogeitas, da aditif kaa. Ortogoalitas-I (Isosceles Orthogoalit) ada ruag berorma riil memeuhi sifat odegeerasi, simetri, da aditif kaa. Ortogoalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogoalit) ada ruag berorma riil memeuhi sifat odegeerasi, da homogeitas. Ortogoalitas-g ada ruag semi hasilkali dalam memeuhi sifat odegeerasi, homogeitas, da aditif kaa. Disaraka utuk eelitia selajuta daat megkaji sifat-sifat dasar ortogoalitas ag berlaku ada ruag berorma- bahka higga ruag berorma-. Selai itu, juga masih terdaat beberaa defiisi ortogoalitas lai ada ruag berorma, seerti ortogoalitas-r da ortogoalitas-d, sehigga masih membuka kemugkia utuk melakuka eelitia. iv

15 ABSTRACT Fauqaori, Akhmad Sarifuddi. 03. Orthogoalit o Normed Sace. Thesis. Deartmet of Mathematics Facult of Sciece ad Techolog Maulaa Malik Ibrahim State Islamic Uiversit of Malag. Advisors: (I) Hairur Rahma, M.Si (II) Abdul Aziz, M.Si Kewords: Vector Sace, Normed Sace, Ier Product Sace, ad Orthogoalit Orthogoalit is oe of the imortat cocets o ier roduct sace, because orthogoalit associated with the agle betwee two vectros. Two vectors ad i ier roduct sace are called orthogoal if ol if, 0. Based o revious research coducted b J.R. Partigto i 986 cocerig orthogoalit o ier roduct sace, it is kow that the orthogoalit i ier roduct sace satisf some basic roerties such as: odegeerac, smetr, homogeeit, right additivit, resolvabilit, ad cotiuit. The most ofte studied o ormed sace are the legth of vector ad the distace betwee two vectors. There are several defiitios of orthogoalit o ormed sace, such as: P-orthogoalit (Phatogerea Orthogoalit), I-orthogoalit (Isosceles Orthoalit), BJ-orthogoalit (Birkhoff-James Orthogoalit), ad g-orthogoalit. Based o these issues, the aim of this research is to eamie the roerties of orthogoalit i the ier roduct sace which ca be develoed o a ormed sace. The method which is used i this research is librar research, b collectig data ad related iformatio to the research with the hel of books, jourals, articles, ad other sources are relevat. Based o the discussio, it ca be coclude that the P-orthogoalit o real ormed sace satisf odegeerac, smetr, homogeeit, ad right additivit. I- orthogoalit o real ormed sace satisf odegeerac, smetr, ad right additivit. BJ-orthogoalit o real ormed sace satisf odegeerac ad homogeeit. G- orthogoalit o semi ier roduct sace satisf odegeerac, homogeeit, ad right additivit. Suggested for the et research to eamie the fudametal roerties that al to the orthogoalit -ormed sace eve u -ormed sace. I additio, there are several other defiitios of orthogoalit o ormed sace, such as R-orthogoalit ad D-orthogoalit, so it s still oe to the ossibilit of doig research. v

16 المخلصة فوق النوري احمد شریف الد ین. ٢٠١٣.التعامد في الا ماكن الوحدة الطبیة النرویجیة. أطروحة.قسم الریاضیات كلیة العلوم والتكنولوجیا في الجامعة الا سلامیة مولانا مالك إبراھیم مالانج الدولة.المشرف مستشار : ١. خیر الرحمن الماجستیر ٢. عبد العز یز الماجستیر كلمات البحث : فضاءات المتجھ ومساحات الوحدة الطبیة النرویجیة ومساحات المنتج الداخلیة والتعامدیة التعامد ھي واحدة من المفاھیم الھامة في الفضاء المنتج الداخلیة بسبب التعامد المرتبطة الزاویة بین اثنین من ناقلات.متجھین و في الفضاء المنتج الداخلیة إذا وفقط إذا., 0 استنادا إلى الا بحاث السابقة التي أجرتھا J.R. Partigto سنة ١٩٨٦ بشا ن التعامد في المساحات الداخلیة المنتج فمن المعروف أن التعامد في المساحات الداخلیة المنتج تلبیة بعض الخصاي ص الا ساسیة مثل :طبیعة غیر الانحطاط والتماثل والتجانس والمضافات الحق وإعادة الملاءة المالیة والاستمراریة. وغالبا ما درسھ في الفضاء الوحدة الطبیة النرویجیة ھو طول الموجھ والمسافة بین متجھین.ھناك عدة تعریفات للالتعامد في الا ماكن الوحدة الطبیة النرویجیة من بین أمور أخرى :التعامد- P Phtagorea ) التعامدیة) التعامد- I (التعامدیة متساوي الساقین) BJ التعامد Birkhoff-James) التعامدیة) والتعامد- G. وبناء على ھذه القضایا وتھدف ھذه الدراسة إلى دراسة خصاي ص التعامد في الفضاء المنتج الداخلیة التي یمكن تطویرھا على مساحة الوحدة الطبیة النرویجیة. الطریقة المستخدمة في ھذه الدراسة ھو البحث في المكتبة من خلال جمع البیانات والمعلومات المتعلقة بھذا البحث مع مساعدة من الكتب والمجلات والمقالات والمصادر الا خرى ذات الصلة. واستنادا إلى المناقشة یمكن أن نخلص إلى أن التعامد- P Phtagorea ) التعامدیة) على مساحة الوحدة الطبیة النرویجیة حقیقي یلبي غیر الانحطاط والتماثل والتجانس والمضافات الحق. التعامد- I (التعامدیة متساوي الساقین) على مساحة الوحدة الطبیة النرویجیة حقیقي یلبي غیر الانحطاط والتماثل والمضافات الحق. -BJ التعامدیة Birkhoff-James) التعامدیة) على مساحة الوحدة الطبیة النرویجیة حقیقي یلبي غیر الانحطاط والتجانس. التعامد- G على مساحات الوحدة الطبیة النرویجیة الحقیقیة تلبیة خصاي ص غیر الانحطاط والتجانس والمضافات الحق. واقترح إجراء المزید من البحوث لدراسة الخصاي ص الا ساسیة التي تنطبق على التعامد الوحدة الطبیة النرویجیة الفضاء -حتى مساحة تصل N -الوحدة الطبیة النرویجیة.وبالا ضافة إلى ذلك ھناك عدة تعریفات أخرى من التعامد في الا ماكن الوحدة الطبیة النرویجیة مثل التعامد- R والتعامد- D لذلك ما زال مفتوحا أمام إمكانیة القیام البحوث. vi

17 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Aalisis fugsioal meruaka cabag aalisis ag meggabugka atara aljabar liier da aalisis. Pembahasa ada aalisis fugsioal meliuti ruag vektor ada dimesi tak higga serta emetaa-emetaa di atara ruag vektor. Selai itu juga dibahas tetag kose kekotiua da kekovergea ada ruag vektor. Objek-objek ada aalisis fugsioal meliuti ruag berorma, ruag hasilkali dalam, da oerator-oerator liier kotiu ada ruag vektor. Kose dasar dari ruag berorma da ruag hasilkali dalam adalah ruag vektor. Pada dasara ruag-ruag matematika membetuk suatu hierarki, aki ruag-ruag aak daat mewarisi karakteristik iduka. Misala, semua ruag hasilkali dalam meruaka ruag berorma, karea hasilkali dalam megiduksi orma ada ruag hasilkali dalam. Secara umum ruag berorma didefiisika sebagai ruag vektor ag dilegkai dega fugsi orma dega memeuhi sifat-sifat ruag berorma. Istilah orma (orm) ada suatu vektor didefiisika sebagai ajag dari vektor atau jarak atara dua vektor. Istilah ajag da jarak sebeara telah dijelaska dalam Al-Qur a baik ag dijelaska secara lagsug mauu secara tidak lagsug. Istilah ajag telah dijelaska secara lagsug dalam Al-Qur a surat Al-Haqqah aat 3 ag berbui sebagai berikut:

18 Artia: Kemudia belitlah Dia dega ratai ag ajaga tujuh uluh hasta (Q.S Al-Haqqah: 3). Pada surat Al-Haqqah aat 3, terdaat satua ajag tradisioal, aitu hasta. Satua ukura ajag ag diguaka adalah satua ag tidak baku (Abdussakir, 007:3). Al-Qur a secara tidak lagsug juga telah mejelaska kose jarak, seerti ag terdaat dalam surat Al-Isra aat ag berbui sebagai berikut: Artia: Maha Suci Allah ag telah memerjalaka hamba-na ada suatu malam dari Al Masjidil Haram ke Al Masjidil Aqsha ag telah Kami berkahi sekeliliga agar Kami erlihatka keadaa sebagai tadatada (kebesara) Kami. Sesugguha Dia adalah Maha Medegar lagi Maha Megetahui (Q.S Al-Isra : ). Surat Al-Isra aat mejelaska tetag eristiwa Isra Mi raj. Peristiwa Isra Mi raj meruaka salah satu eristiwa etig bagi umat Islam da wajib diakii kebearaa. Isra atau erjalaa malam meruaka erjalaa ag dilakuka Nabi Muhammad SAW dari Masjidil Haram ke Baitul Muqaddas, sedagka mi raj meruaka erjalaa aika Nabi Muhammad SAW ke lagit duia ag terdekat kemudia ke Mustawa (Al Maraghi, 993:6). Secara tidak lagsug kose jarak ag dijelaska ada surat Al-Isra aat, aitu megeai jarak atara dua temat, aitu Masjidil Haram ag daat diaalogika sebagai titik awal da Masjidil Aqsha atau Baitul Muqaddas ag

19 3 daat diaalogika sebagai titik akhir (tujua). Dega adaa titik awal da titik akhir maka daat ditetuka jarak atara dua titik. Selai surat Al-Isra aat, dalam Al-Qur a juga terdaat aat ag secara lagsug mejelaska tetag kose jarak, seerti ag terdaat ada Al- Qur a surat A-Najm aat 9 ag berbui sebagai berikut: Artia: Maka jadilah Dia dekat (ada Muhammad sejarak) dua ujug busur aah atau lebih dekat (lagi) (Q.S A-Najm: 9). Surat A-Najm aat 9 secara lagsug telah mejelaska tetag kose egukura ajag atau jarak megguaka satua ukur ujug busur aah (Abdussakir, 007:3). Hasilkali dalam ada ruag vektor riil V meruaka fugsi ag megasosiasika suatu bilaga riil dega seasag vektor ada V, sehigga memeuhi aksioma-aksioma ruag hasilkali dalam. Jika u da v vektor-vektor ada ruag vektor rill V maka hasilkali dalam atara vektor u da v diotasika dega u, v. Ruag vektor riil ag dilegkai dega fugsi hasilkali dalam disebut ruag hasilkali dalam riil (Ato & Rorres, 004:30). Ortogoalitas meruaka salah satu kose etig ada ruag hasilkali dalam, karea ortogoalitas berhubuga dega besar sudut atara dua vektor. Dua vektor u da v ada ruag hasilkali dalam V dikataka ortogoal jika da haa jika u, v 0 (Ato & Rorres, 004:37).

20 4 Berdasarka eelitia terdahulu ag dilakuka oleh J.R Partigto ada tahu 986 diketahui bahwa ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam memeuhi beberaa sifat, atara lai sifat odegeerasi, simetri, homogeitas, aditif kaa, resolvabilitas, da kotiuitas. Hal ag alig serig dikaji ada ruag berorma adalah megeai ajag vektor da jarak atara dua vektor. Pada ruag berorma terdaat beberaa defiisi ortogoalitas, atara lai ortogoalitas-p (Phtagorea Orthogoalit), ortogoalitas-i (Isosceles Orthogoalit), ortogoalitas-bj (Birkhoff-James Orthogoalit), da ortogoalitas-g ag dikembagka oleh Milicic. Secara umum telah diketahui bahwa tidak semua ruag berorma meruaka ruag hasilkali dalam, sehigga eulis tertarik utuk megkaji ortogoalitas ada ruag berorma di maa tidak semua sifat-sifat ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam daat dikembagka ada ruag berorma. Oleh karea itu, eulis megambil judul Ortogoalitas ada Ruag Berorma.. Rumusa Masalah Berdasarka uraia latar belakag di atas, eulis merumuska masalah aitu, bagaimaakah sifat-sifat dasar ortogoalitas ag berlaku ada ruag berorma?.3 Tujua Peelitia Berdasarka rumusa masalah di atas, maka tujua eelitia ii aitu megetahui sifat-sifat ortogoalitas ag berlaku ada ruag berorma..4 Batasa Masalah Adau ag mejadi batasa masalah ada eelitia ii, atara lai:

21 5. Sifat-sifat dasar ortogoalitas ag dikaji, aitu ada ortogoalitas-p (Phtagorea Orthogoalit), ortogoalitas-i (Isosceles Orthogoalit), ortogoalitas-bj (Birkhoff-James Orthogoalit), da ortogoalitas-g ada ruag berorma.. Ruag berorma ag dikaji ada eelitia ii adalah ruag berorma-..5 Mafaat Peelitia Adau mafaat dari eelitia ii atara lai:. Mafaat bagi Peulis Utuk memerdalam da megembagka wawasa disili ilmu ag telah dielajari, aitu ilmu matematika khususa megeai aalisis. Selai itu, eelitia ii juga mejadi saraa utuk meelesaika edidika di tigkat strata satu.. Mafaat bagi Istasi Medaatka sumbaga emikira sebagai kotribusi ata terhada Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. 3. Mafaat bagi Pembaca Sebagai tambaha wawasa, referesi, da iformasi tetag sifat-sifat ortogoalitas, aitu ortogoalitas-p (Phtagorea Orthogoalit), ortogoalitas-i (Isosceles Orthogoalit), ortogoalitas-bj (Birkhoff-James Orthogoalit), da ortogoalitas-g ada ruag berorma.

22 6.6 Metode Peelitia Metode ag diguaka dalam eelitia ii adalah eelitia keustakaa (librar research), aitu dega megumulka data da iformasi ag berhubuga dega eelitia dega batua buku-buku, jural, artikel, da sumber-sumber lai ag releva. Adau lagkah-lagkah dalam eelitia ii adalah sebagai berikut:. Medefiisika ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam serta sifat-sifat dasar ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam.. Medefiisika hubuga atara ruag hasilkali dalam da ruag berorma. 3. Medefiisika ortogoalitas ada ruag berorma, aitu ortogoalitas-p (Phtagorea Orthogoalit), ortogoalitas-i (Isosceles Orthogoalit), ortogoalitas-bj (Birkhoff-James Orthogoalit), da ortogoalitas-g. 4. Membuktika sifat-sifat ortogoalitas, aitu ortogoalitas-p (Phtagorea Orthogoalit), ortogoalitas-i (Isosceles Orthogoalit), ortogoalitas-bj (Birkhoff-James Orthogoalit), da ortogoalitas-g ada ruag berorma melalui defiisi ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam..7 Sistematika Peulisa Sistematika eulisa eelitia ii dibagi mejadi emat bab, dega sistematika sebagai berikut: Bab I Pedahulua Pada bab ii aka membahas beberaa sub bahasa, aitu latar belakag, rumusa masalah, tujua eelitia, batasa masalah, mafaat eelitia, metode eelitia, da sistematika eulisa.

23 7 Bab II Kajia Pustaka Pada bab ii aka membahas beberaa sub bahasa ag berisi tetag teori-teori ag ada kaitaa dega hal-hal ag eulis bahas, aitu ruag vektor (vector sace), ruag berorma (ormed sace), ruag hasilkali dalam (ier roduct sace), ruag semi hasilkali dalam, ortogoalitas, da kajia agama tetag ortogoalitas. Bab III Pembahasa Pada bab ii aka membahas beberaa sub bahasa tetag ortogoalitas- P, ortogoalitas-i, ortogoalitas-bj, da ortogoalitas-g ada ruag berorma serta sifat-sifat dasar ortogoalitasa. Bab IV Kesimula Pada bab ii berisi kesimula eelitia da sara utuk eelitia selajuta.

24 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Ruag Vektor Defiisi. Ruag vektor (vector sace) atas laaga (field) adalah himua tak kosog V ag dilegkai dega dua fugsi, aitu fugsi ag memetaka V V ke V da fugsi ag memetaka V ke V, diotasika dega higga utuk setia,, da., ag secara berturut-turut da, utuk setia, V da, sedemikia z z.,, z V berlaku:. Terdaat objek 0 V sedemikia higga Terdaat objek V 4.,, oerasi erkalia skalar. 5. +, - sedemikia higga - 0. dalam hal ii meruaka eleme idetitas ada. Jika atau secara berturut-turut maka V meruaka ruag vektor riil atau ruag vektor komleks. Aggota dari disebut skalar, sedagka aggota dari V disebut vektor. Oerasi + disebut ejumlaha vektor (vector additio), sedagka oerasi disebut erkalia skalar (scalar multilicatio) (Re & Yougso, 008:3). 8

25 9 Cotoh. Buktika bahwa ruag vektor, jika u, u,..., u u da v v, v,..., v meruaka vektor-vektor sebarag ada dega oerasioerasi stadar ejumlaha da erkalia skalar ag didefiisika sebagai u v + u v, u v,..., u v da jika adalah sebarag skalar, maka erkalia skalar didefiisika sebagai Peelesaia: u,,...,. u u u Utuk membuktika bahwa meruaka ruag vektor maka erlu ditujukka vektor-vektor ada. + = + u v v u da memeuhi sifat-sifat berikut: u v w u v w utuk setia u, v, w. Karea u u u v v v u + v,,...,,,..., da u v, u v,..., u v v u, v u,..., v u v + u u, u,..., u v, v,..., v w, w,..., w u v w u, u,..., u v w, v w,..., v w u v, u v,..., u v w, w,..., w u v w, u v w,..., u v w u v w.

26 0. Terdaat objek 0 ag didefiisika sebagai sedemikia higga u 0 u. Karea u, u,..., u 0,0,...,0 u 0 u 0, u 0,..., u 0 u. u, u,..., u 0 0,0,...,0. 3. Terdaat objek -u ag didefiisika sebagai sedemikia higga. u -u 0 Karea u, u,..., u u, u,..., u u -u 4. -u,,...,. u u u,,..., u u u u u u u u, u u,..., u u 0. 0,0,...,0 u u da. u u, u,..., u u, u,...,u u da u, u,..., u Karea

27 u u, u,..., u u, u,..., u u. 5. u v u v da, Karea da u v u v, u v,..., u v u v, u v,..., u v u v, u v,..., u v u, u,..., u v, v,..., v u v u u, u,..., u Teorema.,,..., u u u u, u,..., u u, u,..., u u u, u u,..., u u u u. u = u u utuk da u, v. Misalka V suatu ruag vektor, meruaka suatu vektor ada V da k adalah suatu skalar maka berlaku: k Jika k 0 maka k 0 atau 0. (Ato & Rorres, 004:33).

28 Bukti:. Diketahui bahwa 0 meruaka suatu skalar, maka vektor 0 daat ditulis sebagai vektor a a berlaku 0 0. a a a a, di maa a adalah sebarag skalar sehigga. Diketahui bahwa k meruaka sebarag skalar da 0 meruaka vektor ol. Vektor k0 daat ditulis sebagai vektor k 0. k0 k - k k - k k 3. Berdasarka teorema. bagia diketahui 0 sebagai vektor 0, sehigga berlaku -, sehigga berlaku 0. Vektor 0 daat ditulis sehigga dieroleh Utuk k 0 da 0 maka k 0, sedagka utuk k 0 da 0 maka k 0. Daat disimulka jika k 0 maka k 0 atau 0.

29 3. Ruag Berorma Defiisi. Misalka X meruaka suatu ruag vektor atas. Suatu orma ada X meruaka suatu fugsi : X, sedemikia higga utuk semua, X da berlaku: jika da haa jika (Re & Yougso, 008:3). Defiisi.3 Secara umum, fugsi orma ada utuk didefiisika dega i i. Fugsi orma ada utuk didefiisika dega. Fugsi orma ada utuk didefiisika dega i i.3 Fugsi orma ada.3 disebut sebagai orma Euclid, sedagka utuk fugsi orma ada didefiisika dega

30 4 ma,,...,.4 (Debath & Mikusiski, 990:). Cotoh. Misalka X, di maa, X k l dega k 3, 4 da 6, 8 l. Fugsi orma ada X didefiisika seerti ada ersamaa.3. Tujukka aakah vektor-vektor ada X memeuhi sifat-sifat ruag berorma. Peelesaia:. k 0. Karea k i k k k 3 4 i k 0, jika da haa jika k 0. Jika k 0 maka k i k 0. k i k 0 0

31 5 Jika k 0 maka k k 0 atau k k k, Ambil. Karea k i k k k 3 4 i ki i k k k l k l. Karea k k i k k k 3 4 i

32 l i l l l 6 8 i k l ki li i i k l k l , Jadi, vektor k 3,4 da 6, 8 sifat-sifat ruag berorma. l ada ruag vektor X memeuhi

33 7 Defiisi.4 Diberika himua A. Liut terbuka (oe cover) dari A adalah koleksi dari himua terbuka sehigga G di ag termuat ada himua A, G a Jika A G.5 a a. G ' meruaka koleksi bagia dari himua G sedemikia higga gabuga dari himua G ' ag juga termuat ada himua A, maka G ' disebut liut bagia (subcover) dari G. Jika maka G ' memuat berhigga himua, G ' disebut liut bagia berhigga (fiite subcover) dari G. Himua K dikataka komak (comact) jika setia liut terbuka (oe cover) dari K memiliki liut bagia (subcover) berhigga (Bartle & Sherbert, 000:39-30). Iterval 0,3 ada himua bilaga riil meruaka cotoh himua komak (comact set). Misal A 0,3, liut terbuka (oe cover) dari himua bilaga riil ag juga termuat di A, aitu O,. Berdasarka liut terbuka (oe cover) O, dieroleh liut bagia (subcover) ag juga termuat di A, aitu O ',, 0,,,3.

34 Karea liut buka (oe cover) dari iterval 0,3 memiliki liut bagia (subcover) ag baaka berhigga, sehigga iterval 0,3 dari himua bilaga riil meruaka himua komak (comact set). Diberika ruag komak (comact sace) K da C K meruaka suatu ruag vektor dari fugsi-fugsi kotiu f di K. Fugsi orma ada C K didefiisika dega 8 f su f : K..6 Dalam hal ii suremum meruaka batas atas terkecil da K meruaka suatu iterval tertutu ada bilaga riil (Alsia, dkk., 003:6). Cotoh.3 Tujukka aakah fugsi f da g 3 ada C 0, memeuhi sifat-sifat ruag berorma. Peelesaia:. f 0. Karea f su 0, su 0, su 0, f su 0, 0.

35 9. f 0 jika da haa jika f 0. Jika f 0 maka f su 0, su 0, su 0 0. f Sebalika, jika f 0 maka f 0. Jadi, terbukti bahwa f 0 jika da haa jika f f f. Ambil 3. Karea f f su 0, su 0, f su, 0 su 3, 30 su 3, 0 3 su s 0, u 0, 3 su, 0 3 su, f

36 0 4. f g f g. Karea f g su 0, su 0, su 0, su 0, su s 0, f u 3 0, su 0, 3 g su 0,3 3 0, 0, 3 f g su f g su, 3 su 0 30 su 0, su 0,. Jadi, fugsi f da g 3 ada 0, ruag berorma. C memeuhi sifat-sifat

37 Defiisi.5 Ruag L didefiisika sebagai ruag dari fugsi kotiu ada iterval tertutu a, b sedemikia higga Fugsi orma ada Cotoh orma ada Peelesaia: L didefiisika dega L b f t dt..7 a f f t dt..8 b Misalka f L, dega a f. Tetuka f. f b a f d d Diberika fugsi f. Gambar.: Fugsi f

38 Berdasarka gambar. didaatka, 0 0, 0, 0 Sehigga itegral tetu dari fugsi ilai mutlak daat ditulis mejadi 0 d d d Ruag L didefiisika sebagai ruag dari fugsi kotiu berilai riil ada iterval a, b sedemikia higga Fugsi orma ada (Alsia, dkk., 003:6). Cotoh.4 L didefiisika dega b f t dt..9 a b f f t dt.0 a Tujukka aakah fugsi u da v 3 ada L, memeuhi sifat-sifat ruag berorma.

39 3 Peelesaia:. u 0. Karea u u d d. Diberika suatu fugsi u. Berdasarka gambar. didaatka Gambar.: Fugsi u,, Sehigga itegral tetu dari suatu fugsi ilai mutlak daat ditulis mejadi d d d

40 u 0 jika da haa jika u 0. Jika u 0 maka u u d 0. 0 d 0 d Jika u 0 maka u u u. Ambil, maka dieroleh u u d 4 d d d Diberika suatu fugsi c 4

41 5 Gambar.3: Fugsi c 4 Berdasarka gambar.3 dieroleh 4, 4 4 4, 4 Sehigga itegral tetu dari suatu fugsi ilai mutlak daat ditulis mejadi 4 d 4d 4 d 9 0 u u d d

42 6 d d d d 4. u v u v. Karea u d u d d d

43 7 v v d 3 d Diberika suatu fugsi v 3 Gambar.4: Fugsi v 3 Berdasarka gambar.4 dieroleh 3, 3 3 3, 3 Sehigga itegral tetu dari suatu fugsi ilai mutlak daat ditulis mejadi 3 3 d 3 d 3 d

44 8 u v u v 3 d 5 d Diberika suatu fugsi u v 5 Gambar.5: Fugsi u v 5 Berdasarka gambar.5 didaatka 5, 5 5 5, 5 Sehigga itegral tetu dari suatu fugsi ilai mutlak daat ditulis mejadi 5 5 d 5 d 5 d

45 Jadi, fugsi u da v 3 ada, sifat-sifat ruag berorma. Defiisi.6 9 L memeuhi Ruag l didefiisika sebagai ruag vektor ag aggotaa meruaka barisa-barisa tak higga dari bilaga riil atau komleks ag daat ditulis dega,,... sedemikia higga i i, utuk setia. i. Fugsi orma ada ruag l didefiisika dega. i. i Cotoh orma ada l Misalka l dega i,0,0,.... Tetuka. Peelesaia: i i Sedagka ruag l didefiisika sebagai ruag vektor ag aggotaa meruaka barisa-barisa dari bilaga riil atau komleks ag daat ditulis dega,,... sedemikia higga i i, utuk setia i..3

46 30 Fugsi orma ada ruag l didefiisika dega i..4 i Cotoh orma ada l Misalka l dega i 0,,0,0,.... Tetuka. Peelesaia: i i (Kreszig, 978:6). Teorema. Ketaksamaa Youg Misalka, q sedemikia higga, maka berlaku q q a b ab, q utuk semua, 0 a b.5 Bukti: Perhatika gambar.6, diberika fugsi, dega 0. Daerah A ag dibatasi oleh kurva, 0, da a. Daerah A ag dibatasi kurva, 0, da b.

47 3 b A A a Gambar.6: Ilustrasi ada Ketaksamaa Youg (sumber: Fabia, dkk., 00:5) Berdasarka ilustrasi gambar jelaslah bahwa a a a A d a Jika maka atau. q Sehigga dieroleh b q b q b q A d q q

48 3 b q q. Berdasarka erhituga dieroleh q a b ab A A q (Fabia, dkk., 00:5). Teorema.3 Ketaksamaa Holder Misalka, q sedemikia higga da. Maka utuk q semua a, b di maa k,,3,..., berlaku k k q q a b a b k k k k i i i.6 Bukti: Asumsika bahwa ak, bk 0 dega a k da b k keduaa tak ol. Kemudia utuk k,,3,...,. k A da B k didefiisika dega A k k a a k k bk da Bk q q bk k.7 Karea Ak k k q Bk..8 Berdasarka teorema. utuk k,,..., dieroleh q Ak B k Ak Bk..9 q

49 33 Jumlahka ketaksamaa ada.9 sehigga dieroleh Substitusika ersamaa. q q q Ak Bk Ak Bk k k k.0.7 ada.0 sehigga dieroleh a k k k q q ak bk k k b Persamaa. daat ditulis mejadi.. q q akbk ak bk k k k (Fabia, dkk., 00:4-5). Cotoh.5 Misalka u da v vektor-vektor ada 3, di maa 4,,6 u da v =,3,3. Tujukka aakah vektor u da v ada Holder, jika diketahui 3. Peelesaia: q Utuk 3 maka q 3 q 3 3 memeuhi ketaksamaa

50 34 3 q Karea 3 uivi uv uv u3v3 i u 3 i u u u3 i , vi v v v3 i , , ui vi u u u3 v v v3 i i 6, , , Berdasarka erhituga dieroleh bahwa uivi ui vi i i i,

51 35 sehigga vektor u 4,,6 da,3,3 v = ada 3 memeuhi ketaksamaa Holder. Teorema.4 Ketaksamaa Cauch-Schwarz Ketaksamaa Cauch-Schwarz meruaka salah satu ketaksamaa ag etig dalam cabag aljabar da aalisis. Ketaksamaa Cauch-Schwarz meruaka kose egembaga dari ketaksamaa Holder dega sarat da q, sehigga ketaksamaa Cauch-Schwarz daat ditulis mejadi akbk ak b k k k k. Bukti: Utuk a a a a da b b b,,..., k b,,..., k di maa a, b dega k,,...,. Ambil fugsi ag didefiisika dega a k bk..3 k Fugsi ada ersamaa.3 daat ditulis mejadi Berdasarka ersamaa kuadrat. Misalka a k akbk bk.4 k.4, diketahui bahwa fugsi k k meruaka suatu k k k k k k k.5 A a, B a b, C b.

52 36 Persamaa.4 daat ditulis mejadi betuk 0..6 A B C Karea ersamaa kuadrat ada.6 selalu berilai ositif atau ol, ag megimlikasika bahwa ersamaa kuadrat ada.6 tidak memiliki akar-akar riil atau memiliki akar riil kembar, sehigga ilai diskrimiaa harus lebih kecil atau sama dega ol. Substitusika ilai A, B, da C ada fugsi diskrimia, D B AC 4 0 akbk ak bk i i i 4 0 akbk ak bk i i i Masig-masig ruas ada ersamaa.7 dibagi dega 4, sehigga dieroleh (Cohe, 003:88). Cotoh.6 akbk ak bk i i i Misalka a da b meruaka vektor-vektor ada, di maa a 3, 4 da b,. Tujukka bahwa vektor a da b ada memeuhi ketaksamaa Cauch-Schwarz. Peelesaia: Ketaksamaa Cauch-Schwarz berlaku utuk ilai q. Karea

53 37 aibi ab ab i ai a a i bi b b i 4 5. Berdasarka erhituga dieroleh bahwa aibi ai bi i i i, sehigga vektor a 3,4 da, b ada memeuhi ketaksamaa Cauch-Schwarz. Teorema.5 Ketaksamaa Mikowski Misalka da. Maka utuk semua a, b, k,,..., dieroleh k k ak bk ak bk k k k.8

54 38 Bukti: Asumsika bahwa, da, q sedemikia higga. q Asumsika juga bahwa a, b 0, dega megguaka ketaksamaa Holder ada teorema.3 da q dieroleh k a b a b a b k k k k k k k k = k a b a a b b k k k k k k k k q q ak bk ak k k q q ak bk bk k k q ak bk ak k k q k k k k k Masig-masig ruas ada utuk dieroleh q a b b.8 q k k da k.8 dibagi dega a b q ak b k ak bk ak b k k k k k q q ak bk ak bk k k

55 39 q ak bk ak bk k k k ak bk ak bk k k k (Fabia, dkk., 00:5)..3 Ruag Hasilkali Dalam Defiisi.7 Jika diketahui V sebagai ruag vektor riil. Hasilkali dalam ada V adalah fugsi, : V V sedemikia higga utuk semua,, z V da, memeuhi sifat-sifat berikut:., 0.., 0, jika da haa jika 0. 3., z, z, z. 4.,,. (Re & Yougso, 008:5). Defiisi.8 Jika diketahui V sebagai ruag vektor komleks. Hasilkali dalam ada V adalah fugsi, : V V sedemikia higga utuk semua,, z V da, memeuhi sifat-sifat berikut:., da, 0.., 0 jika da haa jika 0. 3., z, z, z.

56 40 4.,,. (Re & Yougso, 008:53). Cotoh.7 Tujukka aakah vektor-vektor u, v, da w ada K memeuhi sifatsifat ruag hasilkali dalam, jika K dilegkai dega fugsi hasilkali dalam ag didefiisika dega u, v u v u v 3u v 3 3 Peelesaia: Utuk u, v, w K da, berlaku:. u, u 0. Karea u, u u u u u 3u u 3 3 u u 3u 0, 3 karea u i selalu berilai ositif, utuk i,,3.. u, u 0 jika da haa jika u 0. Jika u 0 maka u, u u u u u 3u u 3 3 u u 3u Jika u, u 0 maka u u u3 0 atau u u v, w u, w v, w u v, w u v w u v w 3 u v w 3 3 3

57 4 4. u, v v, u. uw vw uw vw 3 u w 3v w u w u w 3 u w v w v w 3v w u w u w 3u w v w v w 3v w u, w v, w u, v u v u v 3u v 3 3 v u v u 3v u 3 3 v, u. Jadi, vektor-vektor u, v da w ada K memeuhi sifat-sifat ruag hasilkali dalam. Defiisi.9 Fugsi hasilkali dalam ada ruag berorma Ca, b, aitu ruag dari himua fugsi kotiu ada iterval a, b didefiisika dega (Cohe, 003:55 ). Cotoh.8 b f, g f g d.30 Tujukka aakah fugsi f, g, a da h ada C, memeuhi sifat-sifat ruag hasilkali dalam, jika fugsi hasilkali dalam ada C, didefiisika dega

58 4 f, g f g d. Peelesaia:. f, f 0. Karea f, f 4 d 5 5 f f d f, f 0 jika da haa jika f 0. Jika f 0 maka f, f f f d 0. 0 f d d Jika, 0 f f maka f 0.

59 43 3. f g, h f, h g,h. Ambil da 3. Karea f g, h f f h d d 3 d 3 d 6 d f, h g, h f h d g h d 4. f, g g,f. Karea f h d 3 g h d 3 d 3 d f, g f g d d

60 44 3 d g, f g f d d 3 d Jadi, fugsi f, g, da h memeuhi sifat-sifat ruag hasilkali dalam. Teorema.6 ada C, Misalka H meruaka ruag hasilkali dalam, di maa,, z H da,, maka berlaku:. 0,, 0 0.., z,, z. 3.,,,,,. (Re & Yougso, 008:56). Bukti:. Vektor 0 daat ditulis sebagai ejumlaha vektor -, utuk 0,, - H berlaku

61 0, -,. Sehigga berdasarka sifat-sifat ruag hasilkali dalam dieroleh 0, -,, -, 45,, 0 da, 0, - -,, -,,, 0.. Berdasarka defiisi.8 dieroleh, z z,, z,,, z. 3. Berdasarka defiisi.8 dieroleh,,,,,,,,,,,,,,,,,

62 46,,,,,,,,. Defiisi.0 Ruag hasilkali dalam meruaka ruag vektor ag dilegkai dega fugsi hasilkali dalam. Fugsi orma ada suatu ruag hasilkali dalam didefiisika dega (Debath & Mikusiski, 990:90). Teorema.7,.3 Utuk setia da ada suatu ruag hasilkali dalam H berlaku,..3 Persamaa, berlaku jika da haa jika da bergatug liier. Bukti: Jika 0 maka ersamaa.3 tereuhi karea kedua ruas samasama berilai ol 0. Asumsika bahwa 0 maka dieroleh 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,..33

63 47 Ambil,,, substitusika ada ersamaa.33 sehigga dieroleh 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,., Kemudia kalika kedua ruas dega, sehigga dieroleh,, 0,,,,,,,,. Atau daat ditulis dega,,,,,,,,,. Sehigga didaatka, (Debath & Mikusiski, 990:90). Teorema.8 Utuk setia da ada suatu ruag hasilkali dalam H berlaku..34

64 48 Bukti: Jika diambil maka ersamaa.33 daat ditulis sebagai,,,,,,,,,, Re,,,,,,, Ketaksamaa Schwarz. Sehigga dieroleh (Debath & Mikusiski, 990:9). Teorema.9 Hukum Jajara Gejag (Parallelogram Law) Utuk setia da ada suatu ruag hasilkali dalam H berlaku (Debath & Mikusiski, 990:9-9). Bukti: Berdasarka defiisi.0 dieroleh (.35),,,,,,,,,

65 ,,.36,,,,,,,,,,,.37 Jumlahka ersamaa.36 da.37, sehigga dieroleh,, +,, 49 Cotoh.9 Misalka u da v meruaka vektor-vektor ada ruag vektor dilegkai dega fugsi orma, Tujukka bahwa vektor u da v ada Peelesaia: Karea u da v meruaka vektor-vektor ada ag di maa u 3, 4 da 6,8 v. memeuhi hukum jajara gejag. maka berlaku u i u i u u

66 50 v i v i v v u + v i u i v u v u v i u - v i u i v u v u v i Berdasarka erhituga dieroleh u v 50 da u v u v 50, sehigga vektor 3,4 u da 6,8 v ada memeuhi hukum jajara gejag.

67 5 Cotoh.0 Misalka f da g meruaka fugsi-fugsi kotiu ada C 0,, di maa f da g, utuk setia 0,. Tujukka aakah fugsifugsi ada C 0, memeuhi hukum jajara gejag. Peelesaia: f g su 0, su. su 0, su f 0, su 0, g Sehigga dieroleh 0, f g 4. f g su f g su 0, f g su f g su. Sehigga dieroleh f g f g 5.

68 Berdasarka erhituga dieroleh bahwa f g f g f g sehigga fugsi-fugsi f da g, ada C 0, tidak memeuhi hukum jajara gejag. Teorema.0 Idetitas Polarisasi (Polarizatio Idetit) Utuk setia da vektor-vektor ada suatu ruag hasilkali dalam H 5 berlaku.38 4, i i i i Bukti: Berdasarka defiisi.0 dieroleh,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

69 53 i i i i, i i, i i, i i,, i i, i, i. Karea - sehigga i i i,, i i, i, i - i,, i i, i, i i i i i,,,, i, i, i,, i,, i i i i i, i i, i i, i i,, i i, i, i. Karea - sehigga i i i,, i i, i, i i, i, i,, i,, i. Berdasarka erhituga dieroleh (Re & Yougso, 008:58). i i i i 4,

70 54.4 Ruag Semi Hasilkali Dalam Defiisi. Diberika ruag vektor riil V. Semi hasilkali dalam ada V adalah fugsi u, v ada V V ag memeuhi aksioma berikut:. k, k,,. u v w u w v w. u, u 0, utuk u 0. 3.,,, u v u u v v. 4.,, u v v u. Utuk semua u, v, w V da utuk semua k. Ruag vektor ag dilegkai dega fugsi semi hasilkali dalam disebut ruag semi hasilkali dalam (Alimi, 009:8). Cotoh. Misalka u,0,, v 3,,, da 0, 4, 6 w meruaka vektorvektor ada ruag vektor riil X. Aabila fugsi semi hasilkali dalam didefiisika dega, uv uv 3u3v3 u v. Tujukka aakah vektor-vektor u, v, da w memeuhi sifat-sifat ruag hasilkali dalam. Peelesaia:. k, k,, u v w u w v w. Ambil k, maka

71 55 ku v, w,0, 3,,, 0, 4,6,0, 3,,, 0, 4,6 4,,, 0, 4, k u, wv, w,0,, 0, 4,6 3,,, 0, 4, u, u 0, utuk u 0.. u, u,0,,,0, ,,, u v u u v v. u, v,0,, 3,,

72 56 u, uv, v,0,,,0, 3,,, 3,, ,, u v v u u, v,0,, 3,, v, u 3,,,,0, Jadi, vektor-vektor u, v, da w ada ruag vektor riil X memeuhi sifatsifat ruag semi hasilkali dalam..5 Ortogoalitas Kose sudut atara vektor meruaka erkembaga dari kose hasilkali dalam. Berdasarka ketaksamaa Schwarz ada teorema.7, jika da meruaka vektor-vektor tak ol ada ruag hasilkali dalam H maka berlaku,,.39 da sudut atara vektor da didefiisika dega, cos.40 (Re & Yougso, 008:60).

73 57 Defiisi. Misal H meruaka ruag vektor ag dilegkai dega fugsi hasilkali dalam. Vektor, H dikataka ortogoal jika, 0. Jika vektor da salig ortogoal daat ditulis Defiisi.3 (Re & Yougso, 008:60). Misalka X,, sebagai ruag hasilkali dalam, utuk setia,, z X memeuhi sifat-sifat berikut:. Sifat Nodegeerasi, jika maka 0.. Sifat Simetri, jika maka. 3. Sifat Homogeitas, jika maka, utuk setia,. 4. Sifat Aditif Kaa, jika da z maka z. 5. Sifat Resolvabilitas, jika, X maka terdaat sedemikia higga. 6. Sifat Kotiuitas, jika, da, utuk semua maka. (Guawa dkk., 005:). Cotoh. Jika diketahui da sebagai vektor-vektor ada 3, di maa,0, da,0, dega fugsi hasilkali dalam ada 3 ag didefiisika dega,. 3 3 Buktika bahwa vektor da ortogoal di 3.

74 58 Peelesaia: Karea, Cotoh.3 Sehigga terbukti bahwa vektor da salig ortogoal di Jika diketahui fugsi u si da v cos 3., di maa u, v L, maka buktika bahwa u da v ortogoal di L,. Peelesaia: Hasilkali dalam (ier roduct) ada L, didefiisika dega Secara trigoometri diketahui bahwa si cos si. u, v si cos d. Sehigga ersamaa u, v daat ditulis mejadi

75 59 u, v si d si d cos cos cos 0 0. Karea sehigga vektor u da v ada L,.6 Kajia Agama tetag Ortogoalitas u, v si cos d 0 salig ortogoal (Redd, 997:9). Secara bahasa ortogoal daat diartika sebagai hubuga salig tegak lurus atara dua garis. Ortogoalitas meruaka salah satu kose etig ada ruag hasilkali dalam. Melalui kose ortogoalitas daat diketahui besara sudut atara dua vektor. Dua vektor u da v dikataka salig ortogoal ada ruag hasilkali dalam V jika da haa jika u, v 0 (Ato & Rorres, 004:37).

76 60 Secara tidak lagsug kose ortogoalitas telah dikaji dalam Al-Qur a. Hal ii tercatum ada Al-Qur a surat Ali Imra aat ag berbui sebagai berikut: Artia: Mereka diliuti kehiaa di maa saja mereka berada, kecuali mereka beregag keada tali (agama) Allah da tali (erjajia) dega mausia da mereka kembali medaat kemurkaa dari Allah da mereka diliuti keredaha ag demikia itu karea mereka kafir keada aat-aat Allah da membuuh ara Nabi taa alasa ag bear, ag demikia itu disebabka mereka durhaka da melamaui batas (Q.S Ali Imra: ). Al-Qur a surat Ali Imra aat memberika doroga keada umat mausia, khususa keada kaum muslim agar seatiasa beregag keada tali (agama) Allah da tali (erjajia) dega mausia. Beregag teguh keada tali (agama) Allah daat dimakai sebagai suatu betuk ketaata seorag hamba keada Tuhaa, aitu Allah SWT dega mejalaka segala eritah-na da mejauhi segala laraga-na, melalui seragkaia ibadah ag daat dilakuka. Ragkaia ibadah seerti shalat, uasa, zakat, da haji meruaka sebagia cotoh dari seragkaia ibadah ag berhubuga lagsug keada Allah SWT, ag dalam hal ii daat diaalogika sebagai suatu vektor ag bergerak secara vertikal. Sedagka beregag ada tali (erjajia) dega mausia daat diartika sebagai suatu usaha utuk mejali hubuga ag baik atar sesama mausia. Hal ii sejala dega kodrat mausia sebagai makhluk sosial ag

77 6 tidak daat hidu sediri da harus beriteraksi dega makhluk lai. Berdasarka kedua aalogi tetag vektor ag bergerak secara vertikal da horizotal didaatka hubuga atara dua vektor, aitu salig tegak lurus (ortogoal).

78 BAB III PEMBAHASAN 3. Ortogoalitas-P (Phtagorea Orthogoalit) Defiisi 3. Pada ruag berorma riil X,., suatu vektor dikataka ortogoalitas- P ke atau daat ditulis jika da haa jika berlaku, utuk setia, X. Pada ruag hasilkali dalam, ortogoalitas-p ekuivale dega ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam. Ortogoalitas-P ada suatu ruag berorma ditujukka ada gambar 3. Gambar 3.: Ilustrasi Ortogoalitas-P ada Ruag Berorma Asumsika bahwa, sehigga berlaku,,,,,,, 6

79 63,,,,,,,,, Teorema 3. Diberika X,. ruag berorma atas laaga bilaga riil, utuk setia,, z X da, berlaku:. Sifat Nodegeerasi, jika maka 0, utuk X.. Sifat Simetri, jika maka, utuk setia, X. 3. Jika maka -, utuk setia, X. 4. Sifat Homogeitas, jika maka, utuk setia, da, X. 5. Sifat Aditif Kaa, jika z da,, z X. Bukti:. Berdasarka defiisi 3. dieroleh z maka z, utuk setia 0 0. Berdasarka teorema.6 dieroleh, 0 jika da haa jika 0.

80 64. Karea da Sehigga dieroleh hubuga jika maka, utuk setia, X 3. Berdasarka defiisi 3. dieroleh - jika da haa jika - -.,,,,,,,, -,,,,,,,,. Asumsika bahwa atau, 0 sehigga dieroleh,,,,,,,,

81 65,,,,,,,,, - da,,, -, Utuk setia, X da, sedemikia higga ada, X. Berdasarka defiisi 3. dieroleh,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Asumsika bahwa atau, 0 sehigga dieroleh

82 66,,,,,,,,. Karea sehigga, utuk setia, da, X. 5. Berdasarka defiisi 3. dieroleh z jika da haa jika z z da z jika da haa jika z z., z z z,, z z z z, z, z, z,, z -z, z,,,, z, z,, z, z z, z,,,,, z, z, z, z z, z,,,, z, z z, z. Asumsika bahwa z atau, z 0 da z atau, z 0 sehigga dieroleh

83 67 z,,, z, z, z z. Karea z z sehigga,, z X. Cotoh 3. z, utuk setia Misalka ada X l, ag dilegkai dega orma i. i Ambil 3,6,0,0,... da 8, 4,0,0,... ortogoalitas-p ke. Peelesaia: Berdasarka defiisi 3. diketahui bahwa. Tujukka bahwa vektor P jika da haa jika sehigga dieroleh i i

84 68 - i i i i i Karea, sehigga vektor ortogoalitas-p ke. 3. Ortogoalitas-I (Isosceles Orthogoalit) Defiisi 3. Pada ruag berorma riil X,., suatu vektor dikataka ortogoalitas-i ke atau daat ditulis I jika da haa jika berlaku, utuk setia, X. Pada ruag hasilkali dalam, ortogoalitas-i I ekuivale dega ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam. Ortogoalitas-I ada suatu ruag berorma ditujukka ada gambar 3.

85 69 Gambar 3.: Ilustrasi Ortogoalitas-I ada Ruag Berorma Asumsika bahwa, sehigga dieroleh,,,,,,,,,,, -,,,, -,,,. Karea sehigga berlaku. Teorema 3. Diberika X,. ruag berorma atas laaga bilaga riil, utuk setia,, z X da berlaku:. Sifat Nodegeerasi, jika I maka 0, utuk X.. Sifat Simetri, jika I maka I, utuk setia, X. 3. Jika I maka I, utuk setia da, X.

86 4. Sifat Aditif Kaa, jika I z da I,, z X. Bukti:. Berdasarka defiisi 3. dieroleh 0 0 z maka I 70 z, utuk setia 0. Berdasarka teorema.6 dieroleh, 0 jika da haa jika 0.. Berdasarka Defiisi 3. dieroleh,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, da

87 7,,,,,,,, -,,,,,,,,,,,, Karea sehigga dieroleh jika I maka I, utuk, X. 3. Utuk, X da sedemikia higga ada X. Berdasarka defiisi 3. dieroleh,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.

88 7 Asumsika bahwa atau, 0 sehigga ersamaa di atas daat ditulis mejadi,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Sehigga dieroleh. Karea sehigga dieroleh hubuga jika maka I, utuk setia da I, X. 4. Berdasarka defiisi 3. dieroleh da I z jika da haa jika z z I z jika da haa jika z z.

89 73, z z z,, z z z z, z, z, z,, z z, z,,,, z, z,, z, z z, z,,,,, z, z, z, z z, z,,,, z, z z, z Asumsika bahwa z atau, z 0 da z atau, z 0 sehigga dieroleh z,,,, z, z z, z,,,, z, z z, z,,,,, z, z, z, z z, z,,,, z, z,, z, z z, z, z,, z -z, z z, z, z,, z z z z, z z.

90 74 Karea z z sehigga berlaku jika I z da I z z. maka I Cotoh 3. Misalka ada X l, ag dilegkai dega orma i. i Ambil,,0,0,... da,,0,0,.... Tujukka bahwa vektor ortogoalitas-i ke. Peelesaia: Berdasarka defiisi 3. diketahui bahwa sehigga dieroleh + - i I jika da haa jika i i i i i Karea sehigga vektor ortogoalitas-i ke.

91 Ortogoalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogoalit) Defiisi 3.3 Pada ruag berorma riil X,., suatu vektor dikataka ortogoalitas- BJ ke atau daat ditulis BJ jika da haa jika berlaku t, utuk setia t. Pada ruag hasilkali dalam, ortogoalitas-bj BJ ekuivale dega ortogoalitas ada ruag hasilkali dalam. Ekuivalesi ada ortogoalitas- BJ ditujukka sebagai berikut: Asumsika atau, 0, utuk setia t berlaku t t, t, t t, t,, t t, t, t, t, t, t,, t, t, t, t. Karea t, t t, sehigga dieroleh t.

92 76 Teorema 3.3 Diberika X,. ruag berorma atas laaga bilaga riil, utuk setia, X da,,t maka berlaku:. Sifat Nodegeerasi, jika BJ maka 0, utuk X.. Sifat Homogeitas, jika BJ maka BJ, utuk setia, skalar da, X. 3. Jika BJ maka I, utuk setia, X. Bukti:. Berdasarka defiisi 3.3 dieroleh t t, t, t t, t,, t t, t, t, t, t, t, t t t t t t t t t. Ketaksamaa di atas berlaku jika da haa jika 0. Berdasarka teorema.6, 0 berlaku jika da haa jika 0.

93 77. Asumsika BJ, di maa, 0 da t, sehigga dieroleh Berdasarka ersamaa di atas berlaku t t, di maa.. Sehigga terbukti jika BJ maka BJ, utuk setia, skalar da, X. 3. Berdasarka defiisi 3.3 dieroleh t t, t, t t, t,, t t, t, t, t, t, t,, t, t, t, t. Asumsika bahwa atau, 0 sehigga ersamaa di atas daat ditulis mejadi t t, t, t, t,, t, t, t, t t t t,,,, t t t,, t, t

94 78 t, t t sehigga dieroleh t t. Karea t da t t, sehigga dieroleh t. Cotoh 3.3 Misalka ada X l, ag dilegkai dega orma i. i Ambil,0,0,0... da,,0,0,.... Tujukka bahwa vektor ortogoalitas-bj ke. Peelesaia: Berdasarka defiisi 3.3 diketahui bahwa t, utuk setia t sehigga dieroleh i i i + t i t i i t t t t t t 0 0

95 79 Utuk t 0 dieroleh + t i t t 0 0 t t t. t i i t t t t Utuk t 0 dieroleh + t i t t 0 0 t t t. t i i t t t t Utuk t 0 dieroleh + t i t t t i i t t t t Karea t sehigga vektor ortogoalitas-bj ke. 3.4 Ortogoalitas-g Defiisi 3.4 Misalka g adalah suatu semi hasilkali dalam ada X, di maa X meruaka ruag berorma riil da, X, sehigga dikataka ortogoal-g ke, ditulis jika da haa jika g g, 0.

96 80 Diberika g sebagai suatu fugsioal ag didefiisika dega g : X di maa g,,, dega t. t, lim t 0 Utuk meujukka bahwa g meruaka suatu fugsioal ag diotasika dega g : X daat ditujukka sebagai berikut: Berdasarka defiisi 3.4 berlaku g,,, di maa:, lim t 0 t t. Karea g t t lim lim t0 t t0 t,,, t lim t0 t lim t0 t t t lim t0 t, t, lim t0 t,, t, lim t0 t

97 8 lim t0 t lim t0,, t t, t di maa telah diketahui sebeluma bahwa suatu hasilkali dalam ag diotasika dega, : X X. Teorema 3.4 Misalka g meruaka suatu semi hasilkali dalam ada X da, X maka berlaku:. g,, utuk semua X.. g g,,, utuk semua, X da,. 3. g g 4. g,,, utuk semua, X.,, utuk semua, X. Bukti:. Berdasarka defiisi 3.4 berlaku di maa:, lim t 0 t. t g,,,

98 8 g,,, t t lim lim t0 t t0 t t lim t0 t t0 lim t0 t lim t0 t, t, lim t0 t, t, lim t0 t,, t, lim t0 t, t lim t0 t t lim t t, t,.. Berdasarka defiisi 3.4 berlaku di maa:, lim t 0 g,,, t, utuk,. t

99 83 g,,, t t lim lim t0 t t0 t t lim t0 t lim t0 lim t0 lim t0 t t t lim t0 t, t, lim t0 t t lim t0 t0,, t, t, t t t0, t lim, lim,, g,. 3. Berdasarka defiisi 3.4 berlaku di maa: g,,, t, lim. t0 t

100 84 g,,, lim t0 t t0 t0 t0 t lim t t t lim t0 t lim t lim t0 t, t t, lim t0 t,, t, t, lim t0 t lim t lim t0 t lim t0 t0 t t, t, t t, t, t,, t lim,, lim, lim, t0 t0,, g,. 4. Diketahui g Jika, 0,,, di maa,. maka g,,, jika da haa jika

101 85, g,,. Sehigga dieroleh g,,. Teorema 3.5 Misalka g meruaka suatu hasilkali dalam ada X, di maa,, z X da, sehigga berlaku:. Sifat Nodegeerasi, jika g maka 0.. Sifat Homogeitas, jika g maka g. 3. Sifat Aditif Kaa, jika g da g z maka g z. Bukti:. Berdasarka teorema 3.4 dieroleh g,. Jika atau g g, 0 maka 0. Berdasarka teorema.6 dieroleh, 0 jika da haa jika 0.. Berdasarka teorema 3.4 dieroleh g g,,. Jika atau g g, 0 maka

102 86 g, g, Berdasarka teorema 3.4 dieroleh g g,,. Jika atau g g, 0 da g z atau g, z 0 maka g, z, g, z Cotoh 3.4 Misalka da meruaka barisa-barisa ada l, di maa,,0,0,... da,,0,0,.... Fugsioal g didefiisika dega Tujukka bahwa barisa Peelesaia: g k k k, sg da ada l salig ortogoalitas-g. Igat kembali megeai fugsi sigum ag didefiisika dega sehigga dieroleh sg, 0 0, 0, 0

103 87 sg k k sg sg sg 3 3 sg 4 4 k sg sg sg 0 0 sg Karea g, 0, sehigga vektor da salig ortogoalitas-g.

104 BAB IV PENUTUP 4. Kesimula Dari uraia ada BAB III daat disimulka bahwa ortogoalitas-p (Phtagorea Orthogoalit) ada ruag berorma riil memeuhi sifat odegeerasi, simetri, homogeitas, da aditif kaa. Ortogoalitas-I (Isosceles Orthogoalit) ada ruag berorma riil memeuhi sifat odegeerasi, simetri, da aditif kaa. Ortogoalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogoalit) ada ruag berorma riil memeuhi sifat odegeerasi, da homogeitas. Ortogoalitas-g ada ruag berorma riil memeuhi sifat odegeerasi, homogeitas, da aditif kaa. 4. Sara Pada skrisi ii, eulis haa memfokuska masalah ada ruag berorma-. Disaraka utuk eelitia selajuta daat megkaji sifat-sifat dasar ortogoalitas ag berlaku ada ruag berorma- bahka higga ruag berorma-. Selai itu, juga masih terdaat beberaa defiisi ortogoalitas lai ada ruag berorma, seerti ortogoalitas-r da ortogoalitas-d, sehigga ag masih membuka kemugkia utuk melakuka eelitia. 88