KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI. Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM

Transkripsi

1 KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011

2 KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011

3 KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI Diajuka Kepada : Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag Utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata Dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh : CHOIRUN NIKMAH NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011

4 KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM Telah disetujui oleh: Dose Pembimbig I Dose Pembimbig II Usma Pagalay, M.Si NIP Fachrur Rozi, M.Si NIP Taggal 13 Jauari 2011 Megetahui Ketua Jurusa Matematika Abdussakir, M.Pd NIP

5 KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM : Telah Dipertahaka di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diyataka Diterima Sebagai Salah Satu Persyarata Utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal: 22 Jauari 2011 Susua Dewa Peguji: Tada Taga 1. Peguji Utama : Hairur Rahma, S.Pd, M.Si NIP Ketua : Abdussakir, M.Pd NIP Sekretaris : Usma Pagalay, M.Si NIP Aggota : Fachrur Rozi, M.Si NIP Megetahui da Megesahka, Ketua Jurusa Matematika Abdussakir, M.Pd NIP

6 SURAT PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yag bertada taga di bawah ii: Nama : Choiru Nikmah NIM : Fakultas / Jurusa : Sais da Tekologi / Matematika Judul Peelitia : Karakteristik Fugsi Set-Valued yag Mooto Maksimal di Ruag Dual Meyataka dega sebear-bearya bahwa hasil peelitia saya ii tidak terdapat usur-usur pejiplaka karya peelitia atau karya ilmiah yag perah dilakuka atau dibuat oleh orag lai, kecuali yag secara tertulis dikutip dalam askah ii da disebutka dalam sumber kutipa da daftar pustaka. Apabila teryata hasil peelitia ii terbukti terdapat usur-usur jiplaka, maka saya bersedia utuk mempertaggug jawabka, serta diproses sesuai peratura yag berlaku. Malag, 2 Februari 2011 Yag Membuat Peryataa, Choiru Nikmah NIM

7

8 ! " # $ $ % &

9 KATA PENGANTAR Bismillaahirrahmairrahim Dega ketulusa hati yag palig dalam, peulis pajatka rasa syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT, yag telah melimpahka rahmat, taufik serta hidayah da iayah-nya sehigga, skripsi dega judul Karakteristik Fugsi Set- Valued yag Mooto Maksimal di Ruag Dual ii dapat diselesaika dega baik. Semoga skripsi ii dapat bermafaat bagi pembaca terutama dalam pegembaga ilmu matematika. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahka kepada jujuga abi kita Muhammad SAW yag maa beliau telah sukses megatarka mausia kepada jama yag terag bederag yaitu jama yag kaya aka ilmu pegetahua. Dalam keadaa yag peuh perjuaga da suka cita, peulis juga meyampaika ucapa terimakasih teririg do a Jazakumullahu Khairajaza. Peulisa skripsi ii disusu dega keterbatasa yag peulis miliki, tiada kata sempura yag melekat tapa bimbiga, pegaraha, da batua dari berbagai pihak baik berupa pikira, motivasi, teaga, maupu do a da restu. Oleh karea itu peulis megucapka terima kasih yag tiada terhigga kepada: 1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku Rektor Uiversitas Islam Negeri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag. 2. Prof. Drs. Sutima Bambag Sumitro, SU, DSc, selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag. 3. Abdussakir M.Pd, selaku Ketua Jurusa Matematika yag telah memberika iji da kemudaha kepada peulis utuk meyusu skripsi. 4. Usma Pagalay M.Si, selaku Dose Pembimbig yag dega sabar telah meluagka waktu demi memberika bimbiga da pegarahaya, serta petujukya sehigga peulisa skripsi ii dapat terselesaika dega baik. 5. Fachrur Rozi M.Si, selaku dose pembimbig agama yag telah memberika bimbiga da petujuk dalam meyelesaika skripsi ii.

10 6. Drs. Turmudi M.Si selaku wali dose Matematika yag telah memberika motivasi da bimbiga dega bear dari awal masuk kuliah sampai selesaiya peulisa skripsi ii. 7. Segeap dose jurusa Matematika yag telah berjasa memberika ilmuya, membimbig da memberika motivasi dalam meutut ilmu di UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag. 8. Kedua orag tua peulis yag tidak perah berheti memberika kasih sayag do a da doroga semagat kepada peulis saat ii. Semoga peulis dapat mejadi kebagga bagi bapak da ibu. 9. Sahabat-sahabat Matematika agkata Terimakasih atas semua pegalama da motivasiya dalam peyelesaia peulisa skripsi ii. 10. Tema-tema kos Serui. Terima kasih atas keceriaa yag telah diberika selama kebersamaa kita. 11. Semua pihak yag tidak dapat peulis sebutka satu persatu, yag telah bayak membatu peyelesaia skripsi ii. Kiraya skripsi ii masih jauh dari sempura, oleh karea itu peulis megharapka kritik da sara yag sifatya membagu. Akhirya peulis berharap semoga skripsi ii dapat bermafaat bagi peulis khususya da bagi pembaca pada umumya Alhamdulillaahirabbil alamii. Malag, 22 Jauari 2011 Peulis

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN SURAT KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii DAFTAR SIMBOL... v ABSTRAK... vi BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakag Rumusa Masalah Batasa Masalah Tujua Mafaat Peelitia Metode Peelitia Sistematika Peulisa... 8 BAB 2 KAJIAN PUSTAKA Ruag Metrik Ruag Vektor Ruag Berorma da Ruag Baach Ruag Dual Himpua Persekitara, Tertutup, Terbatas da Kompak Himpua Koveks Fugsi Set-Valued Kajia Himpua dalam Al-Qur a BAB 3 PEMBAHASAN... 62

12 3.1 Teorema Fugsi yag Mooto Karakteristik Fugsi yag Mooto Maksimal Cotoh Kajia Agama Megeai Pegelompoka Mausia BAB 4 PENUTUP Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA

13 DAFTAR SIMBOL it ( A ) = Bilaga real = Himpua semua titik iterior dari A = Ruag berorma Sup A A ' = Suprimum (batas atas terkecil) = Closure dari A = Himpua semua titik limit dari A cov ( A ) = Koveks Hull A cov S r = Koveks Hull S B = Bola terbuka, dimaa = pusat bola da r = jari-jari c F X D ( T ) R ( T ) T T + ( B) ( B) = Kompleme dari F = Ruag Dual dari X = Domai / daerah asal fugsi T = Rage / daerah hasil fugsi T = Ivers atas fugsi T = Ivers bawah fugsi T T : X X = Fugsi set-valued T Gr ( T ) = Grafik dari fugsi T V = Persekitara

14 ABSTRAK Nikmah, Choiru Karakteristik Fugsi Set-Valued yag Mooto Maksimal di Ruag Dual. Skripsi, Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Maulaa Malik Ibrahim Malag: Pembimbig 1. Usma Pagalay, M.Si. 2. Fachrur Rozi, M.Si. Kata kuci: kompak, koveks, fugsi set-valued, mooto maksimal, ruag Dual. Fugsi set valued adalah fugsi yag utuk setiap titik pada daerah rage dipasagka tepat satu atau lebih dari satu pada daerah asalya. Peraa fugsi setvalued yag mooto maksimal dalam ilmu aalisis da ilmu aplikasi diataraya adalah sebagai kosep dasar utuk masalah pertidaksamaa variasi da masalah equilibrium yag merupaka teori dasar dari tekik optimasi, liier programmig, trasportasi da ekoomi. Disampig itu, fugsi set valued yag mooto maksimal juga mempuyai peraa petig dalam aalisis solusi persamaa differesial oliier. Karea peraaya yag sagat bayak, maka karakteristik dari fugsi ii sagat petig utuk dibahas. Berdasarka teorema-teorema yag medukug kajia ii, didapatka beberapa karakteristik dari fugsi set-valued yag mooto maksimal di ruag Dual, yaitu: jika set-valued T : X X S D T koveks, sedemikia sehigga it 0 sehigga utuk setiap S, T ( ) A 1. Set-valued T mooto. mooto maksimal, himpua S /, da himpua A X terbatas, 0/, maka 2. Himpua it D( T ) da D ( T ) koveks. 3. Set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam it ( D( T )) tetapi tidak terbatas lokal di batas D( T ). 4. Utuk setiap D( T ), himpua T ( ) tertutup da koveks. Dega kata lai, set-valued T tertutup dalam X, sehigga grafik Gr ( T ) tertutup dalam X X. 5. Utuk setiap D( T ), himpua T ( ) tidak kompak di batas D( T ). it T kompak. Tetapi himpua

15 ABSTRAK Nikmah, Choiru The Characteristic of Maimal Mooto Set-Valued Fuctio at Dual Space. Thesis, Mathematics Departmet of Sais ad Techology Faculty, The State Islamic Uiversity Maulaa Malik Ibrahim of Malag: Advisor : 1. Usma Pagalay, M.Si. 2. Fachrur Rozi, M.Si Key Words: Compact, Cove, Set-Valued Fuctio, Maimal Mooto, Dual Space. Set valued fuctio is a fuctio that for each poit o the rage area matched eactly oe or more i its domai. Some roles of maimal mooto setvalued fuctio i aalysis ad applicatio are as a basic cocept for the problem of iequality variatios ad equilibrium problems, which are the basic theory of optimizatio techiques, liear programmig, trasportatio ad ecoomic. Besides that, maimal mooto set valued fuctio also have importat role i solutio aalysis of oliear differetial equatio. Because of its roles, the the characteristics of this fuctio is very importat to discuss. Base o cotributig theorems i this study, we had the followig characteristics of maimal mooto set-valued fuctio at dual space: if set-valued maimal mooto, the set S D( T ) is cove, that X bouded, such that for every S, T ( ) A 0/, the T : X X the set A 6. Set-valued T is mooto. 7. The set it D( T ) ad D ( T ) are cove. 8. Set-valued T local bouded at every poit i ubouded i D( T ). 9. For every D( T ), the set it S 0/, ad it D T but local T is closed ad cove. I other word, setvalued T is closed i X, such that the graph Gr ( T ) is closed i X 10. For every D( T ), the set T ( ) is compact. But the set compact i D( T ). it X. T is ot

16 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Setiap kompoe yag terdapat di alam semesta ii tersusu atas vektor-vektor da skalar-skalar yag membetuk suatu ruag vektor yag disimbolka dega V da suatu field yag disimbolka dega F. Vektorvektor da skalar-skalar yag terdapat di dalam ruag vektor aka membetuk suatu kombiasi liear. Dari kombiasi liear ii dapat diketahui apakah vektor-vektor tersebut merupaka vektor-vektor yag bebas liear atau bergatug liear (Kusumo, 1997). Karea Allah mempuyai sifat Maha, maka kebesara da keaguga- Nya lebih dari segala yag ada pada ciptaa-nya. Demikia pula halya dega dimesi Allah, Allah meempati da meguasai suatu ruag vektor dega dimesi yag Maha Besar pula. Sehigga dapat dikataka Allah meempati da meguasai suatu Maha ruag vektor, dimaa seluruh ruag vektor yag ada di alam semesta ii termuat di dalam Maha ruag vektor tersebut. Sehigga jarak atara ciptaa Allah yag merupaka kompoe dari suatu ruag vektor dega Allah adalah sama dega ol. Oleh sebab itu Allah meyataka bahwa Allah adalah dekat (Kusumo, 1997). Hal ii dikuatka oleh firma Allah yag lai di dalam Al Qur a surat Qaaf ayat 16:

17 Artiya: Da Sesugguhya Kami telah meciptaka mausia da megetahui apa yag dibisikka oleh hatiya, da Kami lebih dekat kepadaya daripada urat leherya. Dari uraia ayat di atas dapat disimpulka bahwa buyi ayat tersebut merupaka suatu himbaua kepada umat mausia utuk selalu beramal ma ruf ahi mukar. Karea sekecil apapu mausia meyembuyika kejeleka, pasti Allah SWT megetahuiya. Oleh sebab itu, jagalah sesekali berpalig dari Allah da mejadi gologa orag kafir yag iscaya aka diberi azab oleh Allah. Di sisi lai, Allah meciptaka mausia utuk meyembah kepada- Nya buka utuk mempersekutuka-nya, da juga utuk meghui alam semesta yag telah Dia ciptaka dega cara melestarikaya buka utuk dirusak. Sebab apapu yag terkadug di dalam alam semesta sagat bermafaat bagi kelagsuga kehidupa mausia. Oleh kareaya, hubuga timbal balik atara Allah dega makhlukya, makhluk dega ligkugaya sagat erat sekali. Dalam ilmu matematika hubuga atara makhluk dega Allah, hubuga atara makhluk dega makhluk laiya dapat diilustrasika sebagai fugsi. Fugsi yaitu suatu atura padaa yag meghubugka tiap objek dalam satu himpua, yag disebut daerah asal, dega sebuah ilai uik f ( ) dari himpua kedua (Purcell da Varberg, 1992). Ditijau dari perkawaaya, fugsi dibedaka mejadi 3, yaitu: fugsi ijektif, fugsi surjektif, da fugsi bijektif. Fugsi dari A ke B dikataka fugsi surjektif jika f ( A) = B artiya jika setiap usur B mucul sebagai bayaga dari sekurag-

18 kuragya satu usur dalam A. Misalya suatu fugsi didefiisika dega 0 f ( ) =, dimaa, 0 da dimisalka adalah mausia, maka diperoleh M1 M2 M3 1 0 Dari pegertia fugsi f ( ) = bisa juga diambil suatu perumpamaa bahwa ilai dari suatu bilaga apapu jika dipagkatka dega agka 0, maka ilaiya adalah 1. Dega kata lai mausia yag memiliki pagkat apapu, misalya: preside, jedral, koglomerat, dose, pegemis, da sebagaiya semua aka berada dalam kekuasaa Allah SWT da aka kembali pada Allah SWT. Ii dijelaska dalam Al-Qura, surat Al-Qashash ayat 70: &'% #$!" Artiya: Da dialah Allah, tidak ada Tuha (yag berhak disembah) melaika Dia, bagi-nyalah segala puji di duia da di akhirat, da bagi- Nyalah segala peetua da Haya kepada-nyalah kamu dikembalika. Maksud dari ayat di atas adalah Allah sedirilah yag meetuka segala sesuatu di permukaa bumi da ketetua-ketetua yag telah diracag oleh Allah itu pasti berlaku, lalu Dia pulalah yag mempuyai kekuasaa yag mutlak. Da apabila mausia sudah diberi hidayah oleh Allah SWT, maka hubuga atara mausia dega mausia laiya aka tercipta suasaa yag damai da tetram. Da juga hubuga atara mausia dega

19 makhluk lai seperti hewa da tumbuha aka medatagka keteaga da keyamaa. Sedagka secara umum fugsi dikelompokka mejadi dua kelompok yaitu fugsi berilai tuggal (sigle-valued fuctio) da fugsi berilai himpua (set-valued fuctio). Fugsi berilai tuggal adalah fugsi yag memiliki satu ilai utuk setiap titik pada daerah asalya. Sedagka fugsi set-valued adalah fugsi yag utuk setiap ilai dalam rageya dipasagka tepat satu atau lebih dari satu ilai pada daerah asalya. Dega demikia fugsi set-valued merupaka perumuma dari fugsi sigle-valued. Peraa fugsi set-valued yag mooto maksimal dalam ilmu aalisis da ilmu aplikasi di ataraya sebagai kosep dasar utuk masalah pertidaksamaa variasi da masalah equilibrium yag merupaka teori dasar dari tekik optimasi, liear programmig, trasportasi da ekoomi. Di sampig itu, fugsi set-valued yag mooto maksimal juga mempuyai peraa petig dalam aalisis solusi persamaa differesial oliier. Berdasarka uraia di atas fugsi set-valued yag mooto maksimal sagat petig utuk dibahas. Utuk megetahui lebih detail tetag fugsi setvalued yag mooto maksimal aka dibahas karakteristik fugsi set-valued yag mooto maksimal pada ruag dual. 1.2 Rumusa Masalah Masalah yag dibahas dalam skripsi ii adalah bagaimaa karakteristik fugsi set-valued yag mooto maksimal di ruag dual.

20 1.3 Batasa Masalah Dalam skripsi ii haya dibahas karakteristik fugsi set-valued yag mooto maksimal pada ruag dual. 1.4 Tujua Tujua yag aka dicapai dalam peulisa skripsi ii adalah memperoleh karakteristik fugsi set-valued yag mooto maksimal di ruag dual. 1.5 Mafaat Peelitia Peulis memfokuska permasalaha pada fugsi set-valued yag mooto maksimal, sehigga didapatka karakteristik dari fugsi tersebut pada ruag dual. Hasil peelitia ii diharapka agar dapat bermafaat bagi : a. Bagi peulis Sebagai pelajara yag sagat berharga dalam megaktualisasi diri sebagai isa akademik dega meerapka pegalama serta teori-teori ilmu pegetahua yag telah diperoleh selama mejalai perkuliaha, salah satuya adalah aalisis fugsioal khususya aalisis fugsi set-valued yag mooto maksimal pada ruag dual. b. Bagi pembaca 1. Sebagai titik awal pembahasa yag dapat dilajutka. 2. Wahaa dalam meambah khazaah keilmua. 3. Sebagai pembadig utuk peelitia yag aka datag.

21 c. Lembaga 1. Sebagai tambaha baha pustaka. 2. Sebagai tambaha rujuka utuk peeliti yag aka datag. 3. Sebagai tambaha rujuka materi kuliah. 1.6 Metode Peelitia Jeis peelitia yag diguaka adalah deskriptif kualitatif dega metode kepustakaa. Metode peelitia kepustakaa yaitu usaha medalami, mecermati, meelaah da megidetifikasi pegetahua yag ada dalam kepustakaa (sumber bacaa, buku-buku referesi atau hasil peelitia orag lai) sebagai literatur utuk megumpulka data-data da iformasi (Hasa, 2002:45). Lagkah-lagkah dalam peelitia ii adalah sebagai berikut: a. Merumuska masalah Sebelum melakuka peelitia, peulis merumuska masalah yag aka dijawab dalam peelitia ii, yaitu bagaimaa karakteristik fugsi setvalued yag mooto maksimal di ruag dual. b. Mecari sejumlah data pedukug yag diperoleh dega megguaka data sekuder, yag didapat dega cara membaca da mempelajari bukubuku teks, catata kuliah, makalah-makalah, jural-jural da lai sebagaiya.

22 Data yag dimaksud dalam peelitia ii adalah hasil pegamata yag dikumpulka berupa peryataa yag meujukka ilai karakteristik fugsi set-valued yag mooto maksimal. c. Megaalisa Data Lagkah-lagkah aalisis data sebagai berikut: 1. Meijau beberapa defiisi pada ruag metrik, ruag vektor, da kemudia dilajutka pada ruag berorma da ruag baach. 2. Megartika ruag dual da meujukka sifat khusus yag dimiliki ruag dual. 3. Meijau beberapa defiisi, lemma da teorema tetag himpua tertutup, terbatas, da kompak kemudia dilajutka pada himpua koveks. 4. Megguaka teorema megeai sifat fugsi set-valued yag mooto maksimal pada ruag dual. 5. Meyelidiki karakteristik dari set-valued T megguaka teoremateorema. 6. Membuat Kesimpula 7. Melaporka. 1.7 Sistematika Peulisa

23 Agar dalam pembahasa peelitia ii memperoleh gambara yag dapat dimegerti da meyeluruh megeai racaga isi dalam peulisa skripsi secara global, maka peulis meyusu sistematika pembahasa yag dapat dilihat di bawah ii: BAB I: PENDAHULUAN Pedahulua meliputi: latar belakag, rumusa masalah, batasa masalah, tujua, mafaat peelitia, metode peelitia, da sistematika peulisa. BAB II: KAJIAN PUSTAKA Kajia pustaka mejelaska tetag teori-teori yag medukug pada bab pembahasa. Adapu teori pedukugya adalah defiisi, teorema, serta cotoh pada ruag metrik, ruag vektor, ruag berorma da ruag baach, ruag dual, himpua tertutup, terbatas, da kompak, himpua koveks, da fugsi set-valued. BAB III: PEMBAHASAN Pembahasa berisi kajia tetag karakteristik fugsi set-valued yag mooto maksimal di ruag dual. BAB IV: PENUTUP Peutup berisi kesimpula da sara-sara.

24 BAB II KAJIAN PUSTAKA Sebagai kosep dasar utuk bab pembahasa atiya diberika beberapa defiisi sebagai berikut: 2.1 Ruag Metrik Defiisi Defiisi Misalka X adalah himpua objek-objek. Fugsi d : X X + disebut metrik atau fugsi jarak jika utuk setiap, y, z memeuhi aksioma-aksioma berikut: i. d (, y ) = 0 = y, ii. d (, y ) 0, iii. d (, y ) = d ( y, ), iv. d (, y ) d (, z ) + d ( z, y ) (Goffma da Pedrick, 1974). X Himpua objek-objek yag dilegkapi dega metrik disebut ruag metrik. Ruag X yag dilegkapi dega metrik d diotasika dega ( X, d ) (Heil, 2006). Cotoh 2.1.3

25 Peyelesaia: Misalka X himpua semua fugsi kotiu pada (, ), yag dilegkapi dega metrik ρ (, y ) = ma ( t ) y ( t ) ; < t <. Tujukka bahwa ( X, ρ ) merupaka ruag metrik 1. ρ (, y) = 0 = y ρ (, ) = ma ( t) ( t) ; < t < = ma [ 0] = 0 Sehigga terbukti bahwa ρ (, y) = 0 2. ρ(, y) 0, y X, y y ( t) t ρ (, y ) = ma ( t ) y ( t ) ; < t < ρ, y = ma ( t) y( t) ; < t < 0 Karea maka t y t t ρ ( y) ma ; < < =, 0 3. ρ(, y ) = ρ( y, ), y X ρ (, y ) = ma ( t ) y ( t ) ; < t < > 0 = ma y( t) ( t) ; < t < = ma y( t) ( t) ; < t < = ρ( y, ) 4. ρ(, z) ρ(, y) + ρ(, y);, y, z X

26 ρ (, z ) = ma ( t ) z ( t ) ; < t < = ma ( t) + y( t) y( t) z( t) ; < t < = ma ( t) y( t) + y( t) z( t) ; < t < ma ( t) y( t) ; < t < + ma y( t) z( t) ; < t < Sehigga ρ(, z) ρ(, y) + ρ( y, z) Karea syarat (i), (ii), (iii), (iv) terpeuhi maka, ( X, ρ ) dega ρ (, y ) = ma ( t ) y ( t ) ; < t < merupaka ruag metrik. Defiisi Barisa { } dalam ruag metrik ( X, d ) disebut koverge ke Cotoh Peyelesaia: X, jika utuk setiap ε > 0 terdapat N sedemikia sehigga utuk setiap N, berlaku d (, ) < ε (Va, 2006). Misalka (, d ) adalah ruag metrik dega metrik d (, y ) = y. Barisa { } yag didefiisika oleh = + 1 adalah barisa yag berada di ruag metrik. Tujukka bahwa barisa { } tersebut koverge ke 3.

27 Ambil ε > 0 aka ditujukka terdapat N, sedemikia sehigga utuk setiap N berlaku < ε Dari peryataa tersebut dapat disederhaaka mejadi = = = < Sekarag jika ketaksama 1 < ε terpeuhi, maka persamaa di atas juga terpeuhi. Jika K ( ε ) adalah bilaga asli dega K ( ε ) 1 >, maka ε utuk setiap N didefiisika K ( ε ), sehigga 1 K ( ε ) >, ε maka 1 1 ε < ε. Terbukti bahwa = koverge ke atau lim = Defiisi Barisa { } dalam ruag metrik ( X, d ) disebut barisa Cauchy, Cotoh jika utuk setiap ε > 0 terdapat N sedemikia sehigga utuk setiap m, N, berlaku d (, ) < ε (Goffma da Pedrick, 1974). m

28 Misalka (, d ) adalah ruag metrik, dega metrik d (, y ) = y. Barisa { } yag didefiisika oleh N ( b a) = a +, utuk Peyelesaia: setiap dega a, b sedemikia sehigga b adalah barisa Cauchy (Goffma da George, 1974). > α da setiap Ambil sembarag a, b sedemikia sehigga b > a da N sedemikia sehigga b a ε =, maka utuk setiap m, N N, sehigga d = berlaku m m ( b a) ( b a) m = a + a + m ( b a) ( b a) = m ( b a) ( b a) ( b a) + < 2 = 2ε m N d < ε m Karea ilai ε sembarag, maka utuk setiap m, N, m < ε. Akibatya, utuk setiap, ( b a) = a + adalah barisa Cauchy. Setiap barisa yag koverge adalah barisa Cauchy. Hal tersebut tercermi dalam Teorema Tetapi barisa Cauchy belum tetu barisa koverge. Hal tersebut ditujukka pada Cotoh Teorema

29 Jika barisa { } dalam ruag metrik ( X, d ) koverge maka barisa tersebut adalah barisa Cauchy (Goffma da Pedrick, 1974). Bukti: Misalka (, ) X d adalah ruag metrik da { } adalah barisa yag koverge ke X. Aka ditujukka { } adalah barisa Cauchy. Karea { } adalah barisa yag koverge ke X, maka utuk setiap ε > 0 terdapat N sedemikia sehigga utuk setiap N, berlaku d (, ) < ε, karea ε sembarag maka utuk setiap m, N berlaku: Cotoh ε ε d( m, ) < da d(, ) < 2 2 Karea ( X, d ) adalah ruag metrik maka, ε ε d ( m, ) d ( m, ) + d (, ) = d ( m, ) + d (, ) < + = ε. 2 2 Maka setiap barisa yag koverge adalah barisa Cauchy. Misalka utuk setiap ( b a), = a +, dimaa a, b sedemikia sehigga b > a adalah barisa yag termuat dalam ruag metrik ( a, b ]. Barisa tersebut adalah barisa Cauchy tetapi tidak koverge, karea tidak ada a ( a, b] koverge ke a., sedemikia sehigga

30 Defiisi Cotoh Jawab: Ruag metrik ( X, d ) disebut ruag metrik legkap (complete metric space), jika utuk setiap barisa Cauchy dalam X koverge (Bartle da Sherbert, 1992). Tujukka bahwa ruag metrik C [ a, b ] merupaka ruag metrik yag legkap (Goffma da Pedrick, 1974). Misalka { } adalah barisa adalah barisa Cauchy di [, ] C a b. Berarti utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga Ν sedemikia sehigga m, > Ν, berakibat (, ) d = < ε. (i) m m Utuk semua [ a, b] da m, Ν. Jadi utuk setiap, barisa adalah barisa Cauchy di da koverge di. Didefiisika adalah titik limit dari barisa, maka = utuk setiap [ a, b] lim dari persamaa (i) diperoleh utuk setiap [ a, b] ε da > Ν, maka. Akibatya barisa { } koverge ke [ a, b]. Sehigga dapat disimpulka bahwa ruag metrik C [ a, b ] adalah ruag metrik yag legkap. 2.2 Ruag Vektor

31 Defiisi Cotoh Peyelesaia: Misalka X adalah himpua. X disebut ruag vektor atau ruag liier jika utuk setiap, y X da skalar α, β memeuhi aksiomaaksioma berikut: i. + y X ii. α X iii. + y = y + iv. ( + y) + z = + ( y + z ) v. Terdapat vektor 0, sedemikia sehigga + 0 = vi. Terdapat X, sedemikia sehigga + ( ) = 0 vii. α( β ) = ( αβ ) viii. 1 = i. ( α + β ) = α + β da. α( + y) = α + α y (Ato, 2004). Tujukka bahwa himpua F dari semua matriks 2 2 dega aggota bilaga riil merupaka suatu ruag vektor jika pejumlaha vektor didefiisika sebagai pejumlaha matriks da perkalia skalar vektor didefiisika sebagai perkalia skalar matriks. Diberika u u u, = u21 u 22 v v v = v21 v 22, da w w w = w21 w 22 adalah objek dalam F.

32 i. Aka ditujukka bahwa u + v adalah suatu objek dalam F, atau dega kata lai, harus ditujukka bahwa u + v adalah suatu matriks 2 2. Hal ii dapat diperoleh dari defiisi pejumlaha matriks karea u11 u12 v11 v12 u11 + v11 u12 + v12 u + v = u u + v v = u + v u + v X ii. Dega cara serupa pada i berlaku juga bagi ii. Karea utuk bilaga riil sebarag a, kita memperoleh u11 u12 au11 au12 au = a u u = au au Sehigga au adalah matriks 2 2 da sebagai kosekuesiya merupaka objek pada F. iii. u11 u12 v11 v12 u11 + v11 u12 + v12 u + v = u u + v v = u + v u + v v11 + u11 v12 + u12 v11 v12 u11 u12 = v21 u21 v22 u = 22 v21 v + 22 u21 u = v + u Jadi terbukti komutatif. u11 u12 v11 v12 w11 w = u u + + v v w w iv. u ( v w) u11 u12 v11 + w11 v12 + w12 = u21 u + 22 v21 w21 v22 w u11 + v11 u12 + v12 w11 w12 = u21 v21 u22 v + 22 w21 w

33 =( u + v ) + w v. Utuk membuktika aksioma v, kita harus meetuka objek 0 pada F sedemikia rupa sehigga 0 + u = u + 0 = u utuk semua u pada F. Ii dapat dilakuka dega medefiisika 0 sebagai Dari defiisi ii u u u u u = u21 u = = 22 u21 u 22 u Dapat diperoleh kesimpula bahwa 0 + u = u vi. Ditujukka utuk setiap objek u pada F memiliki betuk egatif u ( u ) u 0 sedemikia rupa sehigga u ( u ) 0 + = da + =. Ii dapat dilakuka dega medefiisika egatif dari u sebagai u u u = u21 u 22 Dega defiisi ii u ( u ) u u u u = u21 u + = = 22 u21 u Maka ( u ) u 0 vii. ( u ) + =. u11 u12 βu11 βu12 α β α β α = u21 u = 22 β u21 β u 22 0 αβ u αβu = = αβu21 αβu 22 αβ u αβ u αβu αβu 21 22

34 u u = = u21 u ( αβ ) ( αβ ) u viii. Aksioma ii merupaka perhituga yag sederhaa: 1 1 u u u u u = u21 u = = 22 u21 u 22 u u u + = + u21 u 22 i. u α β α β αu11 αu12 βu11 βu12 = αu21 αu + 22 βu21 βu 22. ( u v ) u11 u12 u11 u12 = α β u u + u u = αu + βu u11 u12 v11 v12 α + = α u21 u + 22 v21 v 22 u u v v = + = α u v u21 u α α α 22 v21 v 22 Jadi F merupaka ruag vektor utuk operasi-operasi tersebut. 2.3 Ruag Berorma da Ruag Baach Defiisi Misalka F field yag merupaka salah satu dari atau. Ruag vektor berorma dari F adalah (., X ), dimaa X adalah ruag

35 vektor dari F da. : X + adalah fugsi jika utuk setiap, y X da skalar α memeuhi aksioma-aksioma berikut: i. 0 ii. = 0 = 0 iii. α = α da iv. + y + y Defiisi Cotoh Peyelesaia: Maka fugsi adalah orm dari X (Goffma da Pedrick, 1974). Ruag vektor yag dilegkapi dega orm disebut dega ruag berorma (ormed space) (Goffma da Pedrick, 1974). Diberika X C [ 0,1] = ruag vektor yag dilegkapi dega orm : [ 0,1] = maks t t Ambil sembarag, y C [ 0,1] adalah ruag berorma. da skalar α. Aka ditujukka aksioma ( i ) ( iv ) pada Defiisi terpeuhi. i. Aka ditujukka 0 Karea 0 ii. = 0 = 0 : [ 0,1] = maks t t, maka maks ( t) t [ ] : 0,1 0

36 Misalka = 0. Aka ditujukka = 0. Karea = 0, maka maks ( t) : t [ 0,1] = 0. Dari (i) berakibat 0 [ ] 0 maks t : t 0,1 = 0 t =. Jadi = 0 = 0. ( ) Misalka = 0. Aka ditujukka = 0. Karea = 0, maka maks ( t) t [ ] : 0,1 = 0 berakibat [ ] maks t : t 0,1 = = 0 Jadi = 0 = 0 iii. α = α : [ 0,1] α = maks α t t : [ 0,1] = α maks t t = α iv. + y + y, : [ 0,1] + y = maks + y t t : [ 0,1] = maks t + y t t : [ 0,1 ] : [ 0,1] maks t t + maks y t t = + y Defiisi 2.3.4

37 Ruag berorma X disebut ruag Baach, jika utuk setiap barisa Cauchy dalam X koverge (Goffma da Pedrick, 1974). Cotoh (Goffma da Pedrick, 1974). Peyelesaia: Ruag berorma = maks ( t) : t [ 0,1] ruag Baach, karea setiap barisa Cauchy dalam pada Cotoh adalah k koverge Misal { } adalah barisa dari maks ( t) : t [ 0,1] da merupaka 2.4 Ruag Dual > > da t [ 0,1] barisa Cauchy. Maka ε 0 N m, N berakibat, : [ 0,1] maks t t t < ε m (1) dega kata lai utuk setiap t, maka t merupaka barisa Cauchy pada bilaga riil da koverge di bilaga riil. Misalka didefiisika adalah titik limit dari barisa ( t ) = ( t ), t [ 0,1]. Dari persamaa (1) diperoleh t [ 0,1] lim da N, maka : [ 0,1] maks t t ε Akibatya { } koverge ke di C [ 0,1]. Sehigga ruag C [ 0,1] dega orm = maks ( t) : t [ 0,1] Defiisi ( Kreyszig, 1978) adalah ruag Baach Operator liier T adalah suatu operator sedemikia higga

38 Cotoh Peyelesaia: i. Domai dari T (ditulis D ( T ) ) adalah ruag liier da rage R ( T ) meretag dalam ruag liier atas field yag sama. ii. Utuk setiap, y D ( T ) da skalar α R berlaku a. T ( + y ) = T ( ) + T ( y ) b. T ( α ) = αt ( ) Operator idetitas I : X X pada ruag X yag didefiisika, I merupaka operator liier. = X X adalah ruag vektor dega 1, 2 defiisi a. I ( ) b. ( α ) I = α = α I ( ) = X Jadi I adalah operator liier X, maka X. Dari, maka I ( + ) = ( + ) Defiisi Suatu fugsioal liier f adalah operator liier dega domai berada di ruag liier X da rage berada di skalar field F. Jadi f : D ( f ) F

39 Cotoh Dimaa F bergatug dari X, jika X riil maka F juga harus riil, da jika X kompleks maka F juga komplek (Kreyszig, 1978). Didefiisika fugsi 3 f : R R f ( ) = α = ξ α + ξ α + ξ α Dega α = ( α j ) R. Fugsi ii merupaka fugsioal liier, sebab utuk sebarag R 1, 2 3 dega 1 = { ξ1, ξ2, ξ3}, 2 = { η1, η2, η3} da β R didapatka f ( + ) = ( ξ + η ) α + ( ξ + η ) α + ( ξ + η ) α = ξ1α 1 + η1α 1 + ξ2α 2 + η2α 2 + ξ3α 3 + η3α 3 = ξ1α 1 + ξ2α 2 + ξ3α 3 + η1α 1 + η2α 2 + η3α 3 = f ( ) + f ( ) 1 2 da f β 1 = βξ 1 α 1 + βξ 2 α 2 + βξ 3 α 3 = β ( ξ α + ξ α + ξ α ) Defiisi = βf ( 1) Diberika ruag liier X da fugsioal liier f : D ( f ) F dega D ( f ) X. Fugsi f disebut terbatas jika terdapat bilaga riil c sedemikia higga utuk semua D ( f )

40 f ( ) c ( Kreyszig, 1978). Hal ii meujukka bahwa ilai terkecil dari c adalah sup f. Nilai terkecil dari c biasa disebut orma da diotasika dega f Jadi f f ( ) = sup (2.1) D f 0 atau D f = 1 f = sup f Dari uraia di atas, maka betuk (2.1) dapat ditulis Defiisi f ( ) f (2.2) Misalka X adalah ruag berorma. Maka himpua dari semua fugsioal liier yag terbatas pada X diotasika dega B ( X, R ) atau X, merupaka ruag berorma dega orma f ( ) f = sup = f = sup f ( ), f B( X, R) 1 D ( f ) D ( f ) 0 1 = 1 dega adalah orma pada X (Kreyszig, 1978). 1 B( X, R ) disebut ruag dual dari X da biasa diotasika dega X *. Utuk meujukka ruag dual dari ruag berorma X diguaka kosep

41 dari isomorfisme. Namu terlebih dahulu aka didefiisika megeai pemetaa bijektif. Defiisi Pemetaa T : D ( T ) Y disebut pemetaa bijektif jika T merupaka pemetaa ijektif da surjektif. Pemetaa T disebut ijektif (satu-satu), jika setiap 1, 2 D ( T ) dega 1 2 maka T ( ) T ( ) 1 2 dikataka pemetaa surjektif jika y Y D ( T ) sedemikia higga y = T ( ) (Kreyszig, 1978). Cotoh Pemetaa idetitas I : X X yag didefiisika oleh merupaka pemetaa bijektif. Defiisi I ( ) =, X Isomorfisma dari ruag berorma X ke ruag berorma Y adalah operator liier bijektif T : X Y yag mempertahaka orma. T T = (Kreyszig, 1978). X isomorfis dega Y, sehigga X da Y disebut ruag berorma yag isomorfis. Dua ruag yag isomorfis diaggap idetik. Berdasarka defiisi di atas, jika X (ruag dual dari X ) isomorfis dega Y, maka ruag dual dari X adalah Y. 2.5 Himpua Persekitara, Tertutup, Terbatas da Kompak Defiisi 2.5.1

42 Defiisi Misalka X adalah ruag berorma. i. Bola terbuka (ope ball) pada X dega pusat da jari-jari r > 0 adalah himpua ii. Himpua A { } B ( ) = y X : y < r r X disebut terbuka jika utuk setiap A, terdapat r > 0 sedemikia sehigga B ( ) A. iii. Himpua F (Heil, 2006). X disebut tertutup jika r c F terbuka. Misalka X adalah ruag liear berorma da misalka A X i. Titik A dikataka titik iterior dari himpua A jika aggota dari himpua terbuka G yag termuat di dalam A yaitu G A. Atau bisa didefiisika titik A disebut titik iterior dari A X, jika terdapat r > 0 sedemikia sehigga B r ( ) A. Himpua semua titik iterior dari A diotasika dega it( A ). ii. Diberika G himpua terbuka pada ruag topologi yag memuat titik da A sebarag himpua bagia dari X. Titik dikataka titik limit dari himpua A X jika da haya jika setiap himpua terbuka G memuat suatu titik dari A yag berlaia dega. Dega kata lai jika G terbuka, G maka G A { } 0 /. Atau bisa didefiisika titik disebut

43 titik limit dari A X, jika utuk setiap r > 0, { } A ( B ( ) \ ) 0/. Himpua semua titik limit dari r A diotasika dega A '. iii. Closure dari suatu himpua A, yag diotasika dega A adalah uio dari A da titik limitya, atau A = A A '. iv. Himpua A disebut dese jika A = X Lemma Bukti: Himpua A terbuka jika da haya jika utuk setiap titik dalam A adalah titik iterior. Misalka himpua A terbuka. Aka ditujukka setiap titik dalam A adalah titik iterior. Ambil sembarag A. Aka ditujukka bahwa terdapat r > 0 sedemikia sehigga B ( ) A. Karea himpua A terbuka, maka terdapat r > 0 sehigga B r ( ) A. Dega demikia adalah titik iterior dari A. Karea adalah sembarag titik dalam A, maka setiap titik dalam A adalah titik iterior. ( ) Misalka semua titik pada A adalah titik iterior. Aka ditujukka himpua A terbuka, yaitu it( A ) { } r = A. Karea it( A ) = A : titik it, maka it( A) A. Lagkah selajutya aka ditujukka it( A ) A. Karea utuk setiap A adalah titik

44 Lemma Bukti: iterior dari A maka A it( A ) { A : titik it} demikia it( A ) =. Dega = A terbukti bahwa himpua A terbuka. A adalah himpua tertutup terkecil yag memuat A. Dega kata lai { : } A = F X F A da F tertutup. Lagkah pertama aka ditujukka bahwa himpua A tertutup. Meurut defiisi, himpua A tertutup jika himpua c A terbuka. Selajutya aka ditujukka c A terbuka. Jika c A, maka A. Karea A memuat semua titik limit dari A da A maka buka titik limit utuk A. Sehigga terdapat r > 0 sedemikia sehigga c B ( ) A da B ( ) A = 0/ karea B ( ) tidak memuat titik limit r r A, maka B ( ) A = 0/. Dega demikia himpua r r c A terbuka. Selajutya aka ditujukka bahwa { : } A = F X F A da F tertutup. Misalka F adalah himpua tertutup da F A. Karea himpua F tertutup maka meurut defiisi himpua c F terbuka. Misalka F terdapat r > 0 sedemikia sehigga B ( ) F r c c, maka meurut defiisi. Karea himpua c F terbuka da c F, maka A da B ( ) A = 0/. Sehigga r buka titik limit dari A. Karea A F maka F c c A da F c c A,

45 Lemma sehigga A F. Terbukti bahwa { : } A = F X F A da F tertutup. Misalka X adalah ruag berorma da F X. Himpua F tertutup jika da haya jika F memuat semua titik limitya (Goffma da Pedrick, 1974). Bukti: Jika himpua F tertutup, maka himpua F memuat semua titik limitya. Misalka himpua F tertutup. Adaika ada titik limit dari F yag tidak termuat dalam F, yaitu terdapat barisa { } F sedemikia sehigga koverge ke da F c. Aka ditujukka kotradiksi dega peryataa. Karea himpua F tertutup maka himpua c F terbuka, sehigga terdapat r > 0 c sedemikia sehigga B r ( ) F. Karea barisa koverge ke, maka B ( ), sehigga r F c. Karea barisa c F da F c, maka himpua c F tertutup. Hal tersebut kotradiksi dega peryataa. Sehigga pegadaia harus diigkari. ( ) Jika himpua F memuat semua titik limitya. Maka himpua F tertutup. Jika { } F sedemikia barisa koverge ke maka F. Misalka y c F sehigga utuk suatu 0 r >,

46 { } B ( y ) = 0/. Karea y buka titik limit F maka utuk setiap r y c F, terdapat 0 r > sedemikia sehigga B ( ) F r c. Dega demikia, himpua c F terbuka. Sehigga himpua F tertutup. Cotoh2.5.6 Misalka X adalah ruag berorma da X. Setiap B ( ) X, r dega r > 0 adalah himpua terbuka. Di sampig itu { } B ( ) = y X : y r adalah himpua tertutup. r Defiisi Diberika ( X, τ ) ruag topologi pada X. Suatu himpua V persekitara dari, jika terdapat suatu himpua U X τ sedemikia sehigga U V. Dega demikia V X persekitara dari X jika da haya jika V memuat suatu himpua terbuka yag memuat (Hairur, 2008). Sehigga jelas bahwa suatu himpua terbuka yag memuat pasti merupaka persekitara dari, tetapi persekitara tidak harus terbuka. Defiisi Misalka X adalah ruag berorma da C X. i. disebut selimut terbuka (ope cover) utuk C, jika utuk setiap C ada suatu A, sehigga A, himpua A terbuka da C A. A

47 ii. Misalka adalah selimut terbuka utuk C. β disebut subselimut (subcover) dari utuk C, jika utuk setiap C ada suatu B β, sehigga B himpua B terbuka da C B. B β (Nachbar, 2007 da Hutahaea, 1994). Defiisi Misalka X adalah ruag berorma C X. i. Himpua C disebut kompak (compact), jika utuk setiap selimut seatiasa dapat direduksi mejadi berhigga. Ii berarti misalka selimut bagi C, da misalka A α maka ada α dimaa j = 1, 2, 3,,, sehigga j C A A A 1 2 Teorema Dega kata lai Himpua C disebut kompak (compact), jika utuk setiap selimut terbuka utuk C memuat subselimut berhigga. ii. Himpua C disebut terbatas (bouded), jika terdapat M < da terdapat p X sedemikia sehigga utuk setiap C, p < M (Joha, 2010 da Heil, 2006). Misalka X adalah ruag berorma da himpua C kompak. Jika himpua F tertutup da F C, maka himpua F kompak (Goffma da Pedrick, 1974). Bukti:

48 Misalka adalah selimut terbuka utuk F. Berdasarka defiisi, F A A Aka ditujukka selimut terbuka memuat subselimut berhigga. Karea himpua F tertutup, maka himpua c F terbuka. Sehigga { F c } adalah selimut terbuka utuk C. Dega demikia berlaku c C F ( A ). Karea himpua C kompak, maka himpua C memuat subselimut berhigga. Jika β merupaka subselimut berhigga dari utuk C, maka C F c B B β. A Dega demikia F B atau selimut terbuka memuat B β subselimut berhigga yag meyelimuti F. Teorema Misalka X adalah ruag berorma da C ekivale: i. C kompak X. Peryataa berikut ii. C terbatas da tertutup (Goffma da Pedrick, 1974). Bukti: ( i ) ( ii ) Misalka himpua C kompak. Aka ditujuka C adalah himpua yag terbatas da tertutup. Karea himpua C kompak maka setiap selimut terbuka utuk C yag memuat selimut berhigga.

49 adalah sembarag selimut terbuka Misalka = { B ( ) : C, r > 0} r utuk C. Aka ditujukka terdapat M < da terdapat ρ X sedemikia sehigga utuk setiap C, p < M. Karea himpua kompak, maka terdapat subselimut berhigga dari utuk C. Misalka β = { B ( ) : C, i = 1,2,, }. Karea β adalah ri i i subselimut berhigga dari utuk C, maka dapat dipilih i da r i sedemikia sehigga C B ( ) i = 1 Berdasarka Defiisi (i), utuk setiap i = 1, 2,, B ( ) = { y X : y < r }. Dega demikia, dapat dipilih p ri i i i C sedemikia sehigga utuk setiap ri i C, p r <. Karea i berhigga, maka terdapat M < sedemikia sehigga i = 1 i r = M. Akibatya, utuk sembarag, i = 1 i C p < M. Selajutya aka ditujukka bahwa C tertutup. Utuk meujukka bahwa himpua C tertutup, cukup ditujukka bahwa c C adalah himpua terbuka. Karea himpua C kompak maka utuk setiap selimut terbuka utuk C memuat subselimut berhigga. Misalka utuk setiap selimut terbuka, β = { B ( ) : C, i = 1,2,, } ri i i adalah subselimut berhigga dari utuk C. Misalka utuk sembarag titik y c C, dipilih 0 S > sedemikia sehigga utuk setiap

50 C, tidak termuat dalam B ( y ). Karea β adalah subselimut S berhigga dari utuk C maka C B ( ) dari dimaa i = 1 ri i i = 1, 2,,. Selajutya β ( B ( y )) adalah subselimut berhigga S dari C sedemikia sehigga C B ( ) B ( y ). Dega i = 1 ri i S demikia, y adalah titik iterior dari semua titik pada terbuka. c C. Karea y sembarag, maka c c C adalah titik iterior. Sehigga C adalah himpua ( ii ) ( i ) Misalka himpua C terbatas da tertutup. Aka ditujukka himpua C kompak. Karea himpua C terbatas, maka terdapat M < da terdapat ρ X sedemikia sehigga utuk setiap C, p < M. Tetuka sembarag selimut terbuka, yaitu { B ( ) : C, r 0} λ = > sedemikia sehigga C B ( ). r B r ( ) Selajutya aka ditujukka selimut terbuka memuat subselimut berhigga. Karea himpua C tertutup, maka himpua r c C terbuka sehigga B r ( ) C B ( ) C r c. Akibatya { C c } adalah selimut terbuka utuk C. Berdasarka Lemma 2.5.5, himpua C memuat semua titik limitya. Karea himpua C terbatas da memuat semua titik limitya, maka dapat dipilih titik berhigga dalam C sedemikia sehigga C B ( ), dimaa i = 1, 2,,. i = 1 ri i

51 Akibat Bukti: Dega demikia β = { B ( ) : C, i = 1,2,, } adalah subselimut berhigga dari utuk C. ri i i Misalka X adalah ruag berorma da C kompak. Jika F tertutup maka F Cotoh C kompak. Berdasarka Teorema , jika himpua C kompak, maka himpua C tertutup da terbatas. Karea himpua F tertutup da irisa atar himpua tertutup adalah tertutup maka F himpua tertutup. Karea F , F C adalah himpua kompak. C adalah C subset C, maka meurut Teorema Misalka X adalah ruag berorma. Himpua B r (0) X, dimaa Cotoh r < adalah himpua terbatas. Selajutya himpua { } B (0) = y X : y r adalah himpua kompak. r Misalka A = { } himpua higga dari X, jika = { },,, 1 2 g G a selimut terbuka dari A. Karea setiap titik di A termuat dalam salah satu aggota selimut: 1 aggota dari G a 1

52 2 aggota dari aggota dari G a 2 G a Maka gabuga dari himpua koleksi { G, G,, G } yag memuat a1 a2 a A, merupaka subselimut berhigga dari g. Sehigga A adalah himpua kompak. 2.6 Himpua Koveks Defiisi Bukti: Misalka X adalah ruag berorma. Himpua A X disebut koveks (cove) jika utuk setiap p, q A da setiap 0 λ 1 berlaku λ p + (1 λ) q A (Goffma, da Pedrick, 1974). ( ) Misalka himpua A koveks. Aka ditujukka utuk setiap i = 1, 2,,, λ i 0 sedemikia sehigga λ 1 i = 1 i = da pi A berlaku λ i 1 i pi A. Jika 1 = = da p1 A, maka λ 1 = 1 da p1λ 1 = p1 A. Misalka utuk = k, peryataa tersebut bear, yaitu utuk setiap i = 1, 2,, k, λ i 0 sedemikia sehigga k λ 1 i = 1 i = da p1 A berlaku k i = 1 λ p i i A. Aka ditujukka bahwa utuk setiap

53 i = 1, 2,, k, k + 1, λ i 0 sedemikia sehigga k + 1 λ i 1 i pi A adalah = peryataa yag bear. Dega demikia, k + 1 λ 1 i p i i + λi + 1p = i + 1. Karea k k λ 1 i = 1 i =, maka λi i = 1 = λ sehigga i + 1 λ p = λ p + (1 λ p ) i = 1 i i i = 1 i i i = 1 i i + 1 Karea k λ i = 1 i = 1, maka k 1 = 0. Karea λ i = 1 i k i = 1 λ p i i A, maka k + 1 λ i 1 i pi A. = Misalka utuk setiap i = 1, 2,,, λ i 0 sedemikia sehigga λ 1 i = 1 i = da pi A berlaku λ i 1 i pi A terpeuhi. Aka = ditujukka himpua A koveks. Tetuka sembarag 0 λ 1. Pilih λ1 = λ da λ2 = (1 λ), sehigga 2 λ 1 i = 1 i = terpeuhi. Selajutya tetuka sembarag p1, p2 A sehigga 2 λ i 1 i pi A. = Karea λ sembarag, maka terbukti bahwa himpua A koveks. Cotoh Misalka X adalah ruag berorma. Utuk setiap r < 0 da setiap X, himpua B ( α ) adalah himpua koveks. Disampig itu, r himpua B ( α ) adalah himpua tertutup. Dega demikia, r himpua koveks tidak harus himpua terbuka atau tertutup. Utuk suatu u, u 0 X, himpua { αu + u X α } adalah himpua 0 : koveks da tidak terbatas. Dega demikia, himpua koveks tidak

54 Cotoh harus himpua yag terbatas. Sehigga himpua koveks tidak harus himpua kompak. Tujukka bahwa himpua A = [ 0, 3] adalah himpua koveks. Utuk meujukka himpua A = [ 0, 3] koveks adalah dega syarat utuk setiap 0 λ 1 berlaku λ + (1 λ) y A dimaa, y A. Misalka = y = 1 da 1 λ =, maka = 1 A Defiisi = 1, y = 3 da λ =, maka = 2 1 A Jadi himpua A adalah himpua koveks. Misalka X adalah ruag berorma. i. Separuh garis (half-lie) atau ray adalah himpua{ X : = αu, α 0}, utuk suatu u 0 X. Jika 0 adalah titik yag dilalui separuh garis, maka separuh garis yag melalui 0 dega arah u adalah himpua { X αu α } : = +, 0, utuk suatu u 0 X. 0 ii. Hyperplae adalah himpua { X : u, 0} =, utuk suatu u 0 X. Jika 0 merupaka titik dalam Hyperplae, maka Hyperplae yag melalui 0 dega arah u adalah himpua { X : u, 0 0} = utuk suatu u 0 X (Schutt, 2006).

55 Teorema Jika himpua C tidak kosog da koveks serta adalah titik batas C, maka terdapat supportig hyperplae pada C di, yaitu terdapat u 0 X sedemikia sehigga utuk setiap C berlaku u, u, (Kazimierz, 2003). Bukti: Misalka adalah titik batas C da barisa { } c y C, sedemikia sehigga y koverge ke. Karea himpua C koveks, maka C koveks da tertutup. Karea himpua C koveks maka terdapat u 0 X sedemikia sehigga utuk setiap C, u, 0 da u, y > 0. Misalka utuk setiap u =. Jika barisa y koverge ke da dipilih, u u subbarisa dalam { u } sedemikia sehigga subbarisa tersebut koverge ke suatu titik u X. Maka utuk setiap C, u, 0 < u, y atau u, u, y. Selajutya jika meuju, maka utuk setiap C, u, u,. Defiisi Misalka X ruag berorma da A X. Koveks Hull A adalah himpua koveks terkecil yag memuat A. Koveks Hull A diotasika dega co( A ) (schutt, 2006).

56 Lemma Misalka X ruag berorma. Irisa semua himpua koveks subset X adalah himpua koveks. Bukti: Misalka = { A X : utuk i, A himpua koveks}. Aka i i ditujukka I = A adalah himpua koveks. Ambil sembarag i = 1 i p, q I da sembarag 0 λ 1. Aka ditujukka λ p + (1 λ) q I. Karea p, q I da utuk setiap i, I Ai, maka setiap i, p, q Ai. Karea utuk setiap i, Ai koveks, maka utuk sembarag 0 λ 1, berlaku λ p + (1 λ) q Ai. Karea utuk setiap i, λ p + (1 λ) q Ai, maka λ p + (1 λ) q I. Lemma Bukti: Misalka A X. Himpua cov( A ) adalah irisa semua himpua koveks subset X yag memuat A. Misalka cov( A ) adalah koveks Hull A. Didefiisika koleksi semua himpua koveks subset X yag memuat A, yaitu himpua { C X : C adalah himpua koveks yag memuat A} = A A

57 Misalka I = C C A. Aka ditujukka bahwa I cov( A) A =, yaitu I cov( A) da cov( A) I. Karea himpua cov( A ) adalah himpua koveks yag memuat A, maka I cov( A). Selajutya aka ditujukka cov( A) I. Karea himpua cov( A ) adalah himpua koveks terkecil yag memuat A, maka utuk setiap C A C, cov( A) CA. Karea utuk setiap C A C, himpua C A koveks, maka meurut Lemma 2.6.7, himpua I koveks. Karea utuk setiap C A C, cov( A) CA maka cov( A) I. Terbukti bahwa I = cov( A) Cotoh Jika A 1 =,, maka cov( A ) = (0,1]. Selajutya, jika A 1 =, { 0 }, maka cov( A ) = [0,1]. 1.7 Fugsi Set-valued Defiisi Misalka X ruag Baach da X adalah ruag Dual dari X. T : X X disebut set-valued (fugsi berilai himpua) apabila aggota X, misalka a, b, c dipasagka tepat satu atau lebih pada aggota di X (Rockafellar, 1968).

58 Misalka T : X X adalah set-valued. Domai set-valued T { } adalah himpua D T X T ( ) T adalah himpua dimaa T ( ) Cotoh X = : 0/ da jagkaua (rage) set-valued Misalka X D( T ) [ 1,3] { } R( T ) = T : X = =. Fugsi T : X X yag didefiisika oleh {0}, = 1 da = 3 T ( ) = 0, 2, 1 < < 3 Peyelesaia: adalah fugsi set-valued Ambil ( = 1 da = 3) X sedemikia sehigga ilai T ( ) = 0. Da utuk iterval 1< < 3 ilai T ( ) adalah 0, 2 T = utuk 0 utuk 1 utuk 2 =, maka T ( ) =0, 2 0 = [ 0, 2] =, maka T ( ) =0, 2 1 = [ 0,1] =, maka T ( ) =0, 2 2 = [ 0, 0] karea ada T ( ) = A X da A 0/, yaitu T ( ) = { 0}, [ 0, 2] T ( ) = [ 0,1], T ( ) = [ 0, 0], maka adalah fugsi set-valued. T =, T yag didefiisika di atas

59 Defiisi Misalka T : X X fugsi set-valued. Grafik set-valued T adalah himpua { } Gr( T ) =, : T ( ) X X (Rockafellar, 1968). Grafik Gr( T ) set-valued T pada Cotoh adalah sebagai berikut: y Grafik Grafik Gr(T) dari set-valued T pada Cotoh Defiisi Misalka T : X X adalah set-valued da B X. Ivers atas (upper ivers) T pada B adalah himpua { } + T ( B) = X : T ( ) B 0/. Ivers bawah (lower ivers) T pada B adalah himpua Defiisi Lemma { } T ( B) = X : B T( ) (Borges, 1976). Set-valued T : X X disebut tertutup dalam X, jika utuk setiap D( T ), himpua T ( ) tertutup.

60 Set-valued T : X X disebut tertutup dalam X, jika da haya jika Gr( T ) tertutup dalam X X. Bukti: Misalka { } y T sedemikia sehigga y koverge ke y. Karea set-valued T tertutup dalam X maka y T ( ). Ambil sembarag barisa { y } (, ) Gr( T ) sedemikia sehigga (, y ) koverge ke (, y ). Karea y T ( ) da (, y ) koverge ke (, y ) maka koverge ke (, y) Gr( T ). Terbukti bahwa grafik Gr( T ) tertutup. Misalka { y } (, ) Gr( T ) sedemikia sehigga (, y ) koverge ke (, y ). Gr( T ) tertutup, maka (, y) Gr( T ). Dega demikia y T ( ). Terbukti bahwa set-valued T tertutup. Misalka X adalah ruag dual dega ier product.,. da D( T ) X. Didefiisika set-valued yag mooto sebagai berikut. Defiisi Cotoh Set-valued T : X X disebut mooto jika utuk setiap, y D( T ) da setiap T ( ), y T ( y) berlaku y, y 0 (Rockafellar, 1968 da Borwei, 2005).

61 Misalka X = da D( T ) =. Ier product pada didefiisika oleh, y = y, utuk setiap, y. Set-valued T : X yag didefiisika oleh { 2}, < 0 T ( ) = [ 1,1 ], = 0 {2}, > 0 adalah set-valued yag mooto. Peyelesaia: Ambil sembarag (,0), y (0, ) da sembarag T( ), y T( y). Aka ditujukka y, y 0. Berdasarka defiisi, T ( ) = 2 da T ( y ) = 2, sehigga = 2 T ( ) da y = 2 T( y). Dega demikia y, y = 2 2, y = 4, y Karea < y maka ( y) < 0 sehigga berakibat 4, y > 0. Misalka 0 = da ( 0, ) Berdasarka defiisi, [ 1,1] = [ 1,1 ] T( ) da y { 2 } T ( y ) Karea y, y. Aka ditujukka y, y 0. F = da F( y ) = {2}. Ambil sembarag =. < maka ( y ) 0 berakibat y, y > 0. < da y, y < da < maka 0

62 Misalka 0 = da y (,0). Berdasarka defiisi, T ( ) = [ 1,1] da T ( y ) = { 2}. Ambil sembarag [ ] { } y = 2 T ( y). Karea y <, maka ( y ) > 0 da y, berakibat y, y > 0 = 1,1 T( ) da y > da < maka 0 Misalka, y pada (,0) atau (0, ). Karea set-valued T berilai kosta pada (,0) atau (0, ), maka y, y = 0. Terbukti bahwa set-valued T mooto. Grafik Gr( T ) dari set-valued T pada Cotoh ditujukka oleh grafik berikut. y Cotoh Grafik Grafik Gr(T) dari set-valued T pada Cotoh 2.7.8

63 Misalka X D( T ) [ 1,1] = =. Ier product pada didefiisika oleh, y = y, utuk setiap, y. Set-valued T : X X yag didefiisika oleh Peyelesaia: {0}, = 1 da = 1 T ( ) = 2 +, 2, 1 1 adalah set-valued yag tidak mooto. Utuk membuktika bahwa set-valued T tidak mooto cukup dibuktika terdapat, y D( T ) da T( ), y T( y) sedemikia sehigga y, y < 0. Pilih = 1 da y = 1. Sehigga T ( 1) = T ( 1) = [ 1,1]. Pilih = 1 T ( 1) da y = 1 T ( 1 ) sehigga y, y = 1 1,1 1 = 2, 2 = 4 < 0 Terbukti bahwa set-valued T tidak mooto. Grafik Gr( T ) dari set-valued T pada Cotoh adalah sebagai berikut y

64 Grafik Grafik Gr(T) dari set-valued T pada Cotoh Jika D( T ) = X = da Set-valued T : D( T ) X mooto maka T adalah fugsi yag mooto aik, karea utuk setiap, y D( T ) sedemikia sehigga y da utuk setiap T( ), y T( y) berlaku y. Selajutya, set-valued T : D( T ) X adalah fugsi yag mooto turu, jika utuk setiap, y D( T ) sedemikia sehigga y, da setiap T( ), y T( y) berlaku y. Dega kata lai, set-valued T : D( T ) X mooto turu jika utuk setiap, y D( T ) T( ), y T( y) berlaku: y, y 0 da setiap Misalka fugsi sigle-valued t : K K koveks, yaitu utuk setiap, y K da setiap 0 λ 1 berlaku: ( λ ( λ) ) λ ( λ ) T + 1 y T ( ) + 1 T( y). Fugsi tersebut adalah fugsi yag tidak mooto. Karea terdapat, y D( T ) da terdapat T( ), y T( y) sedemikia sehigga y, y 0 tidak dipeuhi. Selajutya, set-valued T : D( T ) utuk setiap, y D( T ) da setiap 0 λ 1 berlaku: ( λ + ( λ ) ) λ + ( λ ) Adalah set-valued yag tidak mooto. Defiisi T 1 y T ( ) 1 T ( y) X disebut koveks jika

65 Misalka T : X X fugsi set-valued. Grafik Gr( T ) mooto jika set-valued T mooto (Borwei, 2005). Defiisi Misalka D C da T, G : D X fugsi set-valued. Set-valued T disebut relatif sama dega set-valued G ( set-valued G disebut relatif sama dega set-valued T ) pada D, jika Gr( T ) Gr( G) atau Gr( T ) Gr( G). Misalka E = { G : G set-valued yag mooto da relatif sama pada D }. Set-valued T disebut mooto maksimal, jika utuk setiap G E, Gr( G) Gr( T ). Defiisi Cotoh Misalka T : D( T ) mooto maksimal, jika X adalah set-valued. Grafik Gr( T) = Gr( G) (Phelps, 1993). G E Gr T disebut Berdasarka Defiisi , grafik Gr( T ) mooto maksimal, jika setvalued T mooto maksimal. Misalka ier product pada didefiisika oleh, y = y utuk setiap, y. Set-valued T : D( T ) didefiisika sebagai berikut D T = yag X dega [ 1,1]

66 Peyelesaia: [1, ), = 1 T ( ) = { 3 }, 1 < < 1 (, 1], = 1 adalah set-valued yag mooto maksimal. Lagkah pertama aka ditujukka set-valued T mooto. Ambil sembarag y ( 1,1), = 1 da sembarag T ( ), y T( y). Aka ditujukka y, y 0. Berdasarka defiisi, T ( ) = [1, ) da T ( y) y { y 3 } =. Maka [1, ) T ( ) <, maka ( y ) > 0 da y berakibat y, y > 0. = da { 3 y y } T ( y ) =. Karea <, maka 0 y > sehigga Misalka = 1 da y = 1. Aka ditujukka y, y 0. Berdasarka defiisi, T ( ) = [1, ) da T ( y ) = (, 1). Ambil sembarag = [1, ) T ( ) da y = (, 1) T ( y ). Karea y <, maka ( y ) 0 > da y <, maka 0 y > sehigga berakibat y, y > 0. Jika = ( 1,1) da 1 y = aka ditujukka y, y 0. 3 Berdasarka defiisi T ( ) = da T ( y ) = [ 1, ) 3 = da y [ ) T ( ). Ambil sembarag = 1, T ( y). Karea y <, maka

67 ( y ) 0 > da y y, y > 0. Misalka 1 = da ( 1,1) <, maka 0 y > sehigga berakibat y. Berdasarka defiisi, T ( ) = [1, ) da T ( y ) = (, 1). Ambil sembarag T ( ) = (, 1] da { 3 } y T ( y) = y. Karea y ( y) 0 <, maka ( y ) 0 < sehigga berakibat y, y > 0. Jika = y = 1 atau = y = 1 maka y, y = 0. < da < y, maka Misalka, y ( 1,1). Jika < y maka < y, sehigga y, y > 0. Terbukti bahwa set-valued T mooto. Lagkah selajutya aka ditujukka set-valued T mooto maksimal. Misalka T = { G : G set-valued mooto da relatif sama pada iterval [ 1,1] }. Tetuka sembarag G T dega D ( G ) [ 1,1]. Aka ditujukka Gr( G) Gr( T ). Karea set-valued T yag mooto, grafik Gr( T ) tertutup da R( T ) =, maka utuk setiap G T berlaku Gr( G) Gr( T ). Karea set-valued G sembarag, maka utuk setiap set-valued G T berlaku Gr( G) Gr( T ). Terbukti bahwa set-valued T mooto maksimal. Grafik Gr( T ) dari set-valued T pada Cotoh ditujukka oleh grafik berikut.

68 y Grafik grafik Gr(T) dari set-valued T pada Cotoh Cotoh Set-valued T pada Cotoh tidak mooto maksimal. Peyelesaia: Set-valued T pada Cotoh telah dibuktika mooto. Selajutya aka dibuktika tidak maksimal. Pilih set-valued G : (, 0] X yag mooto da relatif sama dega set-valued T pada yaitu { } [ ] 2, < 0 G( ) = 2,1, = 0 Aka ditujukka Gr( G) Gr( T ) {( 0, )} Gr( G) da ( ),. Karea utuk setiap [ 2,1] { } 0, Gr( T), maka Gr( G) Gr( T ). Terbukti bahwa Set-valued T tidak mooto maksimal. 2.8 Kajia Himpua dalam Al-Qur a Secara umum beberapa kosep dari disipli ilmu telah dijelaska dalam Al-Qur a salah satuya adalah matematika. Meurut Dedeg (dalam bukuya

69 Afzalur Rahma (2007: 111)), sumber kajia-kajia matematika, sebagaimaa sumber ilmu pegetahua laiya dalam Islam adalah kosep tauhid yaitu keesaa Allah. Dalam megkaji keagamaa tetag karakteristik fugsi set-valued yag mooto maksimal di ruag Dual, terlebih dahulu yag perlu dikaji adalah kosep himpua dalam Al-qur a meskipu tidak eksplisit. Di atara sekia bayakya piliha yag Allah SWT berika kepada makhluk-nya adalah sikap da prilaku mereka di alam semesta ii. Sebagaimaa telah Allah jelaska di awal surat Al-Baqarah. Di maa dalam ayat tersebut Allah mejelaska tipologi mausia ke dalam tiga kategori besar yaitu: Al-Mu mi yag terkadug dalam Surat Al-Baqarah ayat 1-5. %1 %0./ -, + * () ( 6 ( 6 2 %0./ 5 % #4 23! < ;" # (9 #4"#! + :! (9 8% 7!" Artiya: Alif laam mii. Kitab (Al Qura) Ii tidak ada keragua padaya; petujuk bagi mereka yag bertaqwa. (yaitu) mereka yag berima kepada yag ghaib, yag medirika shalat, da meafkahka sebahagia rezki yag kami augerahka kepada mereka. Da mereka yag berima kepada Kitab (Al Qura) yag Telah dituruka kepadamu da kitab-kitab yag Telah dituruka sebelummu, serta mereka yaki aka adaya (kehidupa) akhirat. Mereka Itulah yag tetap medapat petujuk dari Tuha mereka, da merekalah orag-orag yag berutug. Di situ dijelaska bahwa gologa orag mukmi adalah gologa yag bertaqwa kepada Allah, seatiasa ikhlas beribadah karea Allah semata, yag sesuai atara dhahir da batiya. Dega pegertia bahwa apapu yag

70 3 dikataka aka sesuai dega perbuataya. Kemudia Al-Kafir yag terdapat dalam Surat Al-Baqarah ayat 6-7 :! # %0 #$ #4 $? 4, # %? > =/ $% &(, '! '$! #4 &!%& # :! #4 :!#4 Artiya: Sesugguhya orag-orag kafir, sama saja bagi mereka, kamu beri perigata atau tidak kamu beri perigata, mereka tidak juga aka berima.allah Telah meguci-mati hati da pedegara mereka, da peglihata mereka ditutup da bagi mereka siksa yag amat berat. Gologa ii adalah gologa yag mecitai kekufura secara dhahir da batiya. Mereka tidak bisa meerima petujuk dari siapapu da segala macam asehat tidak aka berbekas di hatiya. Orag-orag seperti ii juga tidak dapat memperhatika da memahami ayat-ayat Al Qura yag mereka degar da tidak dapat megambil pelajara dari tada-tada kebesara Allah yag mereka lihat di permukaa bumi da pada diri mereka sediri. Selajutya gologa Al-Muafiq yag dijelaska dalam surat Al- Baqarah ayat 8-20 ;!(*E D.CA0 # " B $A? 6 )$A #,,*+-H #4 G %+)%F #4 ;!(E?./ 0* /* #4, ' %$$.>, '$! 4.- #4, - %+)%F $ % # #41 ;" 1 $?42 # #41?42? > 0 0* $? > A?

71 1#*$ 1 0* #4A, /0 $A? 0*?./ 5 % <%4 #4A,3 KL4 #I2 *J I1F 8%? I1 Artiya: Di atara mausia ada yag megataka: "Kami berima kepada Allah da hari kemudia," pada hal mereka itu Sesugguhya buka orag-orag yag berima. Mereka hedak meipu Allah da oragorag yag berima, padahal mereka Haya meipu diriya sediri sedag mereka tidak sadar. Dalam hati mereka ada peyakit, lalu ditambah Allah peyakitya; da bagi mereka siksa yag pedih, disebabka mereka berdusta. Da bila dikataka kepada mereka:"jagalah kamu membuat kerusaka di muka bumi". mereka mejawab: "Sesugguhya kami orag-orag yag megadaka perbaika." Igatlah, Sesugguhya mereka Itulah orag-orag yag membuat kerusaka, tetapi mereka tidak sadar. Apabila dikataka kepada mereka: "Berimalah kamu sebagaimaa orag-orag lai Telah berima." mereka mejawab: "Aka berimakah kami sebagaimaa orag-orag yag bodoh itu Telah berima?" Igatlah, Sesugguhya merekalah orag-orag yag bodoh; tetapi mereka tidak tahu. Da bila mereka berjumpa dega orag-orag yag berima, mereka megataka: "Kami Telah berima". da bila mereka kembali kepada syaita-syaita mereka, mereka megataka: "Sesugguhya kami sepediria dega kamu, kami hayalah berolok-olok." Allah aka (membalas) olok-oloka mereka da membiarka mereka terombag-ambig dalam kesesata mereka. Gologa ii merupaka gologa yag meyataka ima secara dhahir dega lidahya sedagka hatiya tidak ima (kafir). Kelompok ii adalah kelompok yag palig buruk dari kedua kelompok diatas, mereka kufur dega kekafira da yag lebih burukya lagi mereka meyembuyika kekafiraya. Dari pejelasa surat Al-Baqarah di atas dapat difahami bahwa keduduka orag mukmi di mata Allah sagatlah tiggi, sedagka yag palig redah di mata Allah adalah gologa orag muafik. Ii terbukti dari

72 peyebuta orag mukmi di awal surat tersebut, lalu diikuti dega orag kafir selajutya orag muafik Sebagai seorag muslim da sekaligus cedekiawa muslim seharusya mampu memahami, meghayati, da megaktualisasika diri ke dalam ketiga kelompok mausia di atas. Jika kelompok mausia tersebut sesuai dega ajara agama Islam, maka seharusya diamalka, karea dega begitu hidup mausia aka terasa yama. Da jika tidak sesuai dega ajara Islam, maka seharusya ditiggalka, karea aka merusak kepribadia seseorag. Selajutya jika pembicaraa dikaitka dega kosep relasi da operasi himpua himpua, maka kelompok yag diberi ikmat (orag mukmi) salig lepas (disjoit) dega kelompok yag dimurkai da sesat (orag kafir). Kelompok yag dimurkai salig beririsa atau bahka sama dega kelompok yag sesat. Dalam kasus yag sagat sederhaa, dapat dikataka bahwa gologa muafiq merupaka irisa atara gologa mu mi dega kafir (Abdusysyakir, 2007: 110)

73 BAB III PEMBAHASAN Set-valued yag aka dibahas pada bab ii adalah set-valued yag mooto maksimal dari X ke X, dimaa X adalah ruag dual riil. Set-valued selalu diotasika dega T : D ( T ) X, dimaa D( T ) bola terbuka dega pusat da jari-jari r. X. Sedagka B ( ) adalah Pembahasa selajutya lebih spesifik pada karakteristik set-valued yag mooto maksimal di ruag dual real. Adapu karakteristik tersebut diyataka dalam Lemma, Teorema da Akibat berikut. Lemma 3.1 Bukti: Jika himpua C mooto, maka terdapat X da { } himpua (, ) X kompak da koveks serta himpua * C sedemikia sehigga S mooto (Zagrody, 2008). Adaika kesimpula dari lemma tersebut salah, yaitu tidak ada { } da X sedemikia sehigga himpua (, ) S mooto. r * S X C C Adaika utuk setiap ( y, y ) S da setiap X, didefiisika himpua (, ) { ;, 0} U y y = C y y < (3.1)

74 Aka ditujukka kotradiksi dega peryata yaitu terdapat C { } da X sedemikia sehigga himpua (, ) Karea himpua C terbatas da utuk setiap ( y, y ) S mooto.. S, himpua U ( y, y ) memeuhi (3.1), maka himpua U ( y, y ) terbatas da terbuka subset C. Berdasarka (3.1) diperoleh { (, ) : (, ) } X = U y y y y S (3.2) { U y y y y S } Dega demikia koleksi (, ) :(, ) adalah selimut terbuka utuk C. Karea himpua C kompak, maka terdapat ( y1, y1 ),( y2, y2 ),,( ym, ym ) dalam S sedemikia sehigga C m = 1{ U ( yi, yi ) i= }. { U y y y y S} Dega kata lai, himpua (, ) :(, ) i i i i adalah subselimut berhigga utuk C. Misalka ϕ1, ϕ2,, ϕ adalah partisi utuk C sedemikia sehigga berkorespodesi satu-satu dega subselimut berhigga utuk C. Sehigga himpua { : 1, 2,, } ϕ i i = adalah selimut terbuka utuk C. Misalka β1, β2,, β adalah fugsi-fugsi riil yag kotiu pada ϕ1, ϕ2,, ϕ sedemikia sehigga utuk setiap i = 1, 2,, da setiap ϕi,0 βi ( ) 1, β 1 i ( ) = 1 da i= { C : β ( ) 0 } U ( y, y ) i i i >.

75 K = cov y C, utuk i = 1, 2,,. Karea himpua K Misalka { i } memuat semua titik limitya, maka himpua K tertutup. Karea himpua C kompak da K adalah himpua tertutup subset C, maka meurut Teorema , himpua K kompak. Sehigga himpua K kompak da koveks. Karea himpua K koveks, maka dapat didefiisika fugsi kotiu p : K K sedemikia sehigga utuk setiap K, p = y (3.3) βi i= 1 i Selajutya, diguaka teorema eksistesi titik tetap pada K, yaitu terdapat w K sedemikia sehigga p( w ) = w. Teorema tersebut aka dibuktika terlebih dahulu. Pilih w K sedemikia sehigga β ( w ) 1 1 =, utuk 1 i = da β i ( w ) 0 =, utuk i 1. Jika y1 utuk setiap i = 1, 2,, tetuka sembarag yi persamaa (3.3) diperoleh Jika p( w ) = w, maka βi ( ) βi ( )( i ) = i= 1 i =. p w w y w p w w, w y w = 0 i. Dari persama (3.3) da p( w ) i β = w diperoleh K. Maka dari ( w )( y w ), β ( w )( y w) i i j j j = w, da

76 ( w ) β ( w )( y w y w) β, 0 i, j i j i j (3.4) = = Selajutya, ier product pada persamaa (3.4) aka diselesaika terlebih dahulu. ( yi w, y j w) + ( y j w, yi w) ( yi w, yi w) ( yi y j, y j yi ) ( y j w, y j w) = + + Karea himpua M mooto, maka utuk setiap i, j = 1, 2,,, y y, y y 0. Sehigga y y, y y 0. i j i j Dega demikia diperoleh i j j i y w, y w + y w, y w i j j i y w, y w + y w, y w (3.5) i i j j Utuk peyederhaaa peulisa didefiisika a = y w y w i. j i, j Sehigga pertidaksamaa (3.5) mejadi a + a = a + y y, y y + a a + a i. j j, i i. i i i j j j, j i. i j, j Karea utuk setiap i, j = 1, 2,,, β ( w ) β ( w ) = β ( w ) β ( w ) maka i j j i β ( w ) β ( w ) a + β ( w ) β ( w ) a i j i, j i j j, i ai, j a j, i ai, j a + + j, i = βi ( w ) β j ( w ) + βi ( w ) β j ( w ) 2 2 Sehigga persamaa (3.4) mejadi a + a, i, j j, i β, 1 i w β j w ai, j = β 0 i j i, j 1 i w β j w = = = 2

77 da ai, i a + j, j β 0 i, j 1 i w β j w = (3.6) 2 Karea utuk setiap i = 1, 2,,, β i ( w ) > 0 da β j ( w ) > 0 maka β ( w ) β ( w ) > 0, sehigga i j (, i i ) ( j, j ) w U y y U y y Dari persamaa (3.1) diperoleh a i, i < 0 da a j, j < 0, sehigga ai, i a + j, j β 0 i, j 1 i w β j w = (3.7) 2 Dari pertidaksamaa (3.6) da (3.7) diperoleh bahwa utuk setiap i, j = 1, 2,,, β ( w ) β ( w ) = 0. Hal tersebut kotradiksi dega i j kekoveka pada C. Sehigga tidak mugki utuk setiap i = 1, 2,,, 0 β i w Lemma 3.2 Bukti: =. Haruslah i, j= 1 β ( w ) = 1. Dega demikia, peryataa (3.1) harus diigkari, sehigga himpua (, ) Diberika set-valued T : D( T ) i { } S mooto. X da himpua B X sedemikia { } sehigga R ( T ) B 0/. Misalka T ( B) X : B T ( ) { : 0} = da + T B = X B T /. Jika set-valued T mooto, maka setvalued T + da T mooto (Borges, 1976).

78 Misalka set-valued T : D( T ) X mooto, karea set-valued T Cotoh 3.3 mooto maka utuk setiap, y D( T ) da setiap T ( ), y T ( y) berlaku Diberika B y, y 0 X sedemikia sehigga T ( ) utuk setiap T ( ) da setiap y T ( y ) B da T ( y) B, serta berlaku y, y 0, maka set-valued T mooto pada B. Karea utuk setiap, y D( T ) sedemikia sehigga T ( ) B 0/ da T ( y) B 0 T ( ) B da setiap maka set-valued T + mooto pada R ( T ) /, serta utuk setiap y T y B berlaku y, y 0, B. * Misalka set-valued T : D( T ) X dega (, ) Fugsi T didefiisika dega 2, 0 T { 0 }, 0 D T = mooto. X = D T X = R T

79 Karea set-valued T mooto, maka utuk setiap = (, ) D( T ) da setiap [ 0, ) T ( ) = berlaku Defiisi 3.4 Diberika B, X, maka ambil sembarag 1 = 1, 2 = 2 D( T ) sedemikia sehigga T 1 = 1, T 2 = 4 B, maka set-valued T mooto pada B. Karea utuk setiap 1, 2 D( T ) sehigga T ( ) B / da T ( ) T ( ) B da setiap 2 B 0 maka set-valued T + mooto pada R ( T ) = = sedemikia 1 2 /, serta utuk setiap 4 T y B berlaku 1 2, 1 2 0, B. Set-valued T : D( T ) X disebut terbatas lokal (locally bouded) di Lemma 3.5 D F, jika terdapat 0 terbatas (Borges, 1976). ( r ) r > sedemikia sehigga himpua T B ( ) Jika Set-valued T : X X mooto da himpua B X terbatas sedemikia sehigga utuk setiap y D T, T y B 0/. Maka utuk setiap X, terdapat * X sedemikia sehigga utuk setiap y D( T ) da setiap y T y B berlaku y, y 0 (Borges, 1976). Bukti:

80 Misalka himpua B X terbatas sedemikia sehigga utuk setiap y D T, T y B 0/. Selajutya didefiisika fugsi ivers atas (upper iverse) T pada B, yaitu himpua { } + T B = y X : T y B 0 /. Meurut Lemma 3.2, T + adalah set-valued yag mooto dari R ( T ) B ke X + dega D ( T ) B. Karea set-valued T + mooto, maka meurut Defiisi grafik Gr ( T + ) adalah himpua mooto subset X B. Karea himpua B terbatas maka himpua cov( B ) kompak da koveks, sehigga B cov ( B). Jika B adalah sembarag himpua terbatas subset X sedemikia sehigga utuk setiap y D T, T y B 0/, maka berdasarka Lemma 3.1 terdapat cov B da X sedemikia sehigga himpua {(, + )} Gr ( T ) mooto. Karea himpua (, ) + { } Gr ( T ) mooto maka tekik pembuktia di atas dapat dikostruksi himpua * mooto (, ) i i { } Gr ( T + ), utuk setiap X. Akibatya, utuk setiap X, terdapat X * sedemikia sehigga utuk setiap y D( T ) da setiap y T y B berlaku y, y 0

81 Akibat 3.6 Bukti: Jika set-valued T : D( T ) X mooto da himpua B X terbatas. Maka utuk setiap X terdapat X sedemikia sehigga utuk setiap y T + ( B) da setiap (Rockafellar, 1968 da borwei, 2005). Misalka himpua B T + y T y B berlaku y, y 0 X terbatas. Jika R ( T ) B = 0/ + ( B) = / 0/. Karea himpua T ( B) = 0/ terpeuhi. Selajutya jika R ( T ) B 0 adalah set-valued yag mooto pada R ( T ) setiap y T + ( B), T ( y) B 0 Akibat 3.6 terpeuhi. /, maka /, maka kesimpula Akibat 3.6 = / maka meurut Lemma 3.2 T + B. Di sampig itu utuk /. Berdasarka Lemma 3.5, kesimpula Cotoh 3.7 Misalka T : X X dimaa D ( T ) X (, ) mooto yag didefiisika dega 2, 0 T { 0 }, 0 = = merupaka set-valued X = D T X = R T

82 Teorema 3.8 Misalka himpua B terdapat [ ) * X terbatas. Maka utuk setiap (, ) = 0, X sedemikia sehigga ambil sembarag 2 D ( T ) maka 4 T ( 2) B da berlaku 2, 4 0 = X, Jika T : D( T ) X mooto maksimal sedemikia sehigga utuk setiap, y D( T ) da setiap T ( ) maka y T ( y) berlaku (Rockafellar, 1968). y, y 0, Bukti: Misalka F = { G : G set-valued yag mooto da relatif sama pada D( T )}. Tetuka sembarag, y D( T ) sedemikia sehigga y, y 0 Misalka da sembarag T ( ). Aka ditujukka y T ( y). F y = { G : G F terdefiisi pada y }. Karea utuk setiap setvalued G F mooto, maka utuk setiap y G ( y) berlaku y y, y 0. Karea set-valued T mooto maksimal maka G ( y) T ( y) y G ( y) da G ( y ) T ( y ), maka y T ( y).. Karea

83 Cotoh 3.9 Jika T : X X dimaa X D( T ) [ 2, 2] defiisi sebagai berikut 1 = = mooto maksimal dega T = dega 2 2 X = D T X = R T Misalka F = { G : G set-valued yag mooto da relatif sama pada D( T )}. Ditetuka sembarag = [ 2, 2] D( T ) da sembarag [ 1] T ( ) = sedemikia sehigga, 0. Misalka = 1 da 2 2 =, karea utuk setiap 1 T 1 aka ditujukka 1 T ( 2 ). Misalka F 2 = { G : G F terdefiisi pada }. Karea utuk 2 setiap set-valued G F 2 1 G 2 berlaku mooto, maka utuk setiap Lemma , Karea set-valued T mooto maksimal maka G ( ) T ( ) 1 G ( 2 ) da G ( 2 ) T ( 2 ), maka 1 T ( 2 ) Karea Jika set-valued T : D( T ) X mooto maksimal, maka utuk setiap himpua B yag tertutup da terbatas subset X, himpua { : 0} + T B = X B T /

84 tertutup dalam X (Rockafellar, 1968). Bukti: Misalka himpua B X terbatas da tertutup (kompak) sedemikia sehigga R ( T ) B 0/. Aka ditujukka y T + ( B) persekitara U pada y, maka T ( U ) B 0. Jika utuk setiap /. Karea himpua B X tertutup da terbatas (kompak), maka berdasarka Akibat , himpua T ( U ) B kompak. Misalka B U adalah koleksi himpua T ( U ) B dega U adalah persekitara pada y, yaitu himpua B = { : U T U B X U persekitara pada y }. Karea utuk semua U persekitara pada y, T ( U ) B 0 /. Maka irisa himpua-himpua kompak eleme subkoleksi berhigga subset B U adalah himpua yag tidak kosog. Selajutya, irisa himpuahimpua kompak eleme koleksi B U adalah himpua yag tidak kosog. Sehigga terdapat beberapa y B sedemikia sehigga y termuat dalam T ( U ), utuk setiap U persekitara pada y. Selajutya aka ditujukka y T ( y). Misalka u X da u T ( u). Utuk setiap ε > 0, terdapat persekitara U pada y da persekitara U pada y sedemikia sehigga y, u ε (3.8)

85 ( U ) u y, y ε ( U ) (3.9) Karea himpua B terbatas maka y, ε ( U, B) (3.10) T U U B sedemikia sehigga dega pemiliha Misalka 0 y T U U B / karea set-valued T mooto, maka utuk U sedemikia sehigga T ( ) berlaku u, u 0 (3.11) Dega pertidaksamaa (3.8), (3.9), (3.10) da (3.11) diperoleh u y, u y = u, u + y, u + u y, u y y, Karea 0 0 ε ε ε = 3ε ε > sembarag maka utuk setiap u D( T ) u T u, u y, u y 0. da setiap

86 Karea set-valued T mooto maksimal, maka meurut Teorema 3.8, y T ( y). Karea T ( y) 0/ maka y T + ( B). Dega demikia, + himpua T ( B) tertutup dalam X. Lemma 3.11 Misalka set-valued T : X X koveks. Jika it covd ( T ) 0/ da it D ( T ) mooto maksimal da himpua D ( T ), maka himpua T ( ) memuat palig sedikit satu separuh garis (Rockafellar, 1968). Bukti: Karea it covd ( T ) 0/, maka D T memuat titik iterior. Karea it ( D ( T )) maka adalah titik batas D T. Berdasarka Teorema 2.6.5, terdapat supportig hyperplae pada ( covd ( T )) di, yaitu terdapat y 0 X sedemikia sehigga utuk setiap u D( T ), berlaku u, y, y atau Misalka T ( ) u, y 0 (3.12). Dega megguaka kemootoa pada T da pertidaksamaa (3.12), maka utuk setiap λ 0, + λ y berlaku ( λ ) u, u + y = u, u + u, λ y = u, u λ u, y

87 Utuk setiap u D( T ) da u T ( u) = u, u + λ u, y (3.13). Karea set-valued T mooto maksimal da memeuhi (3.13), maka meurut Terorema 3.8, + λ. Akibatya himpua T ( ) y T memuat separuh garis yaitu himpua { λ y : λ 0} +. Cotoh 3.12 Misalka set-valued T : X X, dimaa D ( T ) X (,3] mooto maksimal yag didefiisika dega, 0 3 T ( ) { 0 }, 0 Karea it covd ( T ) 0/, yaitu = = adalah ( ] { } it covd T = it,3 =, 3 berarti D( T ) memuat titik iterior. Karea 4 it D ( T ) = maka = 4 adalah titik batas D( T ). Berdasarka Teorema 2.6.5, terdapat supportig hyperplae pada ( ) c 0 X. Misal 1 1 berlaku covd T di = 4, yaitu terdapat = sedemikia sehigga utuk setiap D( T ) =, 1 1

88 Misalka T ( ) utuk setiap λ 0, + λc berlaku 1, c 0. Dega megguaka kemootoa pada T, maka ( λ ) u,1 + c = 1,1 + 1, λc = 1,1 λ 1, c Utuk setiap D( T ) da u T ( u) 1 = 1,1 + λ 1, c. Karea set-valued T mooto maksimal, maka meurut Teorema 3.8, λc T ( ) +. Akibatya himpua T ( ) memuat separuh garis yaitu himpua { λc : λ 0} +. Teorema 3.13 Misalka set-valued T : X X mooto maksimal. Adaika ada subset S D T da subset A X sedemikia sehigga utuk setiap S, A 0 T / da salah satu dari kedua kodisi tersebut terpeuhi: (i) it ( S ) 0/, (ii) it 0 cov S / da sup sup, S A < Maka (i) Himpua it ( D( T )) tidak kosog, terbuka, da koveks

89 (ii) Himpua D ( T ) tidak kosog, tertutup, da koveks (iii) Set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam it ( D( T )) da tidak terbatas lokal di batas D( T ) (Rockafellar, 1968). Bukti: Pilih himpua S D( T ) da himpua terbatas A X sedemikia sehigga utuk setiap S, T ( ) A 0/ da kodisi (i) terpeuhi. Jika it 0 S /, maka it cov S 0/. jika himpua A da S terbatas maka sup sup, S A < Sehigga kodisi (ii) terpeuhi. Pembuktia selajutya diasumsika kodisi (ii) terpeuhi. Karea it ( cov S ) 0/ maka himpua ( ) it 0 D T / da it cov S 0/. Meurut Lemma 2.5.3, himpua it ( D( T )) terbuka. Selajutya aka ditujukka himpua it ( D( T )) koveks. Utuk meujukka it ( D( T )) adalah himpua koveks, cukup ditujukka bahwa it ( D( T )) = it covd T 0/, yaitu it ( D( T )) it covd ( T ) 0/ da it ( D( T )) Pertama aka ditujukka bahwa it ( D( T )) it covd ( T ) sembarag ( ) it covd T. Karea himpua covd ( T ) it covd T.. Tetuka adalah

90 himpua koveks terkecil yag memuat D( T ) maka it covd ( T ). Karea adalah sembarag eleme dalam it ( D( T )), maka setiap eleme dalam ( ) dari it covd ( T ), akibatya it ( D( T )) it D T merupaka eleme it covd T. Selajutya aka ditujukka bahwa it ( D( T )) it covd T. Dalam hal ii aka ditujukka juga bahwa set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam it ( D( T )). Misalka ˆ adalah titik it ( covd ( T )). Aka ditujukka set-valued T terbatas lokal di ˆ da ˆ D( T ) set-valued T tidak terbatas lokal di batas D( T ). Jika kodisi (ii) terpeuhi yaitu it ( cov S ) 0/, maka himpua it ( cov S ) memuat suatu eleme. Tetuka sembarag, tetapi ˆ it ( cov S ) (3.14) Aka ditujukka set-valued T terbatas lokal di ˆ da ˆ D( T ). Misalka B adalah himpua terbatas subset X sedemikia sehigga utuk setiap u X, T ( u) B 0/ da utuk setiap X didefiisika himpua B { }, 0,, T = u u u X u T u B (3.15)

91 Selajutya, dega Lemma 3.5 da kemootoa pada T, diperoleh berlaku bahwa utuk setiap D( F ) 0 T T / (3.16) B Dari persamaa 3.15 diperoleh TB ( ) adalah himpua tertutup dalam X. Utuk meujukka set-valued T terbatas lokal di ˆ, didefiisika fugsi T : T ( ) B pada kasus dimaa B = A. Pilih persekitara V B yag koveks pada X sedemikia sehigga + 2V covs (3.17) Karea utuk setiap pemiliha persekitara V adalah himpua koveks. Sehigga + 2V adalah himpua koveks. Misalka Da utuk setiap u = sup sup, u < (3.18) µ S u A A, didefiisika { X :, u µ } = adalah himpua tertutup, koveks da memuat S. Sehigga himpua memuat covs. Selajutya dari (3.18) diperoleh bahwa utuk setiap covs da setiap u A berlaku:, u µ (3.19) Pilih ( ˆ + V ) da T ( ) utuk setiap u S da u T ( u) A berlaku: A. Dari (3.17) da (3.19) diperoleh bahwa

92 u, u, u u, u +, 2µ Selajutya { :, 2 } S u X u µ (3.20) Sehigga dari (3.17) da (3.20) diperoleh { } ˆ + V ˆ + 2 V cl cov S u X : u, 2µ Oleh karea itu utuk setiap v V berlaku v, 2µ sedemikia sehigga Dimaa ( 2µ 1) + 0 V adalah kutub persekitara di X yag merupaka himpua 2 1 V terbatas subset X. Sehigga X. Karea ˆ V + da T ( ) V 0 0 µ + adalah himpua terbatas subset A ( ˆ + ) = : ( ˆ + ), maka dari (3.16) diperoleh { } T V T V { T ( ˆ A : V )} + ( µ ) V 0 Karea himpua ( 2µ + 1) V terbatas, maka himpua T ( ˆ V ) Sehigga set-valued T terbatas lokal di ˆ. Selajutya aka ditujukka bahwa ˆ D( T ) koleksi semua himpua T ( ˆ) B 0 + terbatas.. Misalka T B adalah, dimaa B adalah himpua terbatas subset X yag memuat A. Utuk setiap himpua B, himpua T ( ˆ) tidak kosog da tertutup. Sehigga irisa (iterseksi) himpua- B

93 himpua dalam subkoleksi berhigga T B adalah himpua yag tidak kosog. Selajutya aka ditujukka irisa semua himpua dalam koleksi T B adalah himpua yag tidak kosog. Karea B adalah himpua terbatas subset X yag memuat A, maka utuk setiap himpua B, himpua T ( ˆ) termuat dalam T ( ˆ) tidak kosog. A B kompak (terbatas da tertutup) da. Sehigga irisa semua himpua dalam koleksi T B Misalka ˆ adalah sembarag eleme dari irisa semua himpua dalam koleksi T B. Dari (3.15) diperoleh bahwa utuk setiap u X da setiap u T u berlaku: u ˆ, u ˆ 0 Karea set-valued T mooto maksimal, maka meurut Teorema 3.7 ˆ T ( ˆ ). Karea T ( ˆ ) 0/ da ˆ T ( ˆ ) maka ˆ D ( T ) adalah sembarag eleme dalam it ( covs ), maka. Karea ˆ. it covs D( T ) Karea ˆ adalah titik iterior ( covs ), maka it ( covs ) it D( T ). Dega memafaatka pembuktia di atas, ditetuka sembarag ˆ it covd ( T ). Aka ditujukka set-valued T terbatas lokal di ˆ da ˆ it ( D( T )). Jika ˆ it covs it covd ( T ) (3.14) telah dibuktika. Selajutya jika ˆ it covd ( T ), maka meurut, utuk

94 da ' covs, aka dikostruksi himpua himpua S D( T ) himpua terbatas A ' X sedemikia sehigga utuk setiap S ' berlaku T ( ) ' A 0 ditetuka sembarag / da kodisi (ii) terpeuhi. Sehigga dapat ( cov S ) ' ˆ it (3.21) Dari bukti sebelumya, himpua D( T ) memuat it ( cov S ), yaitu himpua tidak kosog, terbuka da koveks serta set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam it ( cov S ). Dari hal tersebut dapat ditarik suatu perumuma, yaitu terdapat himpua yag tidak kosog, terbuka da koveks W D ( T ) himpua T ( W ) terbatas. sedemikia sehigga Misalka F adalah koleksi semua subset berhigga dari D( T ). Didefiisika himpua ( ( )) Ε = F it cov W F Maka himpua Ε tidak kosog, terbuka, da koveks serta himpua Ε memuat D( T ), sehigga it ( ) it covd T Ε = Ε Dega demikia ˆ Ε. Selajutya terdapat eleme-eleme 1, 2,, dalam D( T ) sedemikia sehigga

95 Jika utuk i 1, 2,, sehigga Maka himpua ( ( { 1 2 })) ˆ it cov W,,, (3.22) =, dipilih sembarag T ( ) { 1, 2,, } ' A = T W sedemikia ' A terbatas. Karea himpua W koveks da memeuhi (3.22) maka terdapat 0 persekitara U pada 0 i i W sedemikia sehigga utuk setiap ( ( { 1 2 })) ˆ it cov U,,, Diberika persekitara U pada 0 sedemikia U termuat dalam himpua W sedemikia sehigga { } =,,,. ' S U 1 2 D T Maka (3.21) terpeuhi da utuk setiap ' ' S, T ( ) A 0 /. Karea S ' D T da sehigga utuk setiap ' A adalah himpua terbatas subset X, sedemikia ' ' S, T ( ) A 0 / serta ' it cov S 0/, maka dega tekik pembuktia sebelumya set-valued T terbatas lokal di ˆ da ˆ it covd ( T ). Karea ˆ adalah sembarag eleme dalam it ( covd ( T )) da ˆ juga eleme dalam it D( T ) maka it D T it covd ( T ).

96 Dega demikia himpua it D( T ) koveks da set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam it D( T ). Selajutya karea himpua it D( T ) koveks, maka himpua it it ( ) D T = D T = covd F Adalah himpua tidak kosog, tertutup da koveks. Selajutya aka ditujukka bahwa set-valued T tidak terbatas lokal di batas D( T ). Misalka y titik pada batas D( T ). Adaika set-valued T terbatas lokal di y, yaitu terdapat U adalah persekitara pada y sedemikia sehigga himpua T ( U ) terbatas. Selajutya aka ditujukka kotradiksi dega peryataa. Jika B T ( U ) =, maka himpua B kompak (terbatas da tertutup). Berdasarka Lemma himpua T ( B) tertutup sehigga + D T U T B D T Da y D( T ). Karea y adalah titik batas D( T ) maka y D( T ) Berdasarka pembuktia sebelumya, ( D( T )) covd ( T ) it = it 0/. it Karea himpua it ( D( T )) da D ( T ) koveks, maka himpua D( T ) koveks. Berdasarka Lemma 3.11 himpua T ( y ) memuat palig sedikit satu separuh garis. Akibatya, himpua T ( y ) tidak terbatas. Di lai sisi, karea T ( y) T ( U ) da himpua T U terbatas, maka

97 Akibat 3.14 haruslah himpua T ( y ) terbatas. Sehigga y buka titik batas D( T ). Karea y D( T ) da buka titik batas maka y D( T ) it kotradiksi dega y adalah titik batas D( T ). Dega demikia, pegadaia harus di igkari. Misalka T : X X. Hal tersebut mooto maksimal. Jika terdapat D( T ) it sedemikia sehigga set-valued T terbatas lokal di, maka kesimpula dari Teorema 3.15 terpeuhi (Rockafellar, 1968). Bukti: Misalka D( T ) da U persekitara di sedemikia sehigga it U D ( T ) da himpua T ( U ) terbatas subset X. Jika S = U D( T ) =, maka kesimpula Teorema 3.15 terpeuhi. da A T ( U ) Cotoh 3.15 Misalka T : X X didefiisika dega dimaa X D ( T ) [ 0, 5] 2 T = = mooto maksimal = + 1 dega 0 5 X = D T

98 X = R T Misalka = D( T ) da [ 0, 5] 0, 5 it U = persekitara di sedemikia sehigga U D ( T ) da himpua Jika S = U D( T ) da A T ( U ) terpeuhi. T U terbatas subset X. =, maka kesimpula Teorema 3.13 Akibat 3.16 Misalka set-valued T : X X mooto (tidak harus maksimal) da himpua C D ( T ) terbuka. Jika set-valued T terbatas lokal di beberapa titik dalam C, maka set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam C (Rockafellar, 1968). Bukti: Misalka set-valued T : X X mooto da himpua B X terbatas sedemikia sehigga utuk setiap D T, T B 0/. Berdasarka Lemma 3.1, dapat dikostruksi fugsi set-valued ˆ T dari set-valued T sedemikia sehigga Gr ( Tˆ ) Gr ( T ). Dega demikia, grafik Gr ( Tˆ ) dapat dikostruksi mejadi grafik yag mooto maksimal, yaitu ( ˆ ) {(, ) :, 0} Gr T = X X u u.

99 Teorema 3.17 Bukti: Jika grafik Gr ( T ˆ) mooto maksimal, maka set-valued T ˆ mooto maksimal. Misalka U adalah himpua yag tidak kosog da terbuka subset dari C sedemikia sehigga himpua T ( U ) terbatas subset X. Jika set-valued ˆ T mooto maksimal S = U D( T ) da A T ( U ) =. Maka syarat cukup Teorema 3.13 dipeuhi. Dega demikia, set-valued T ˆ terbatas lokal di setiap titik dalam ( ˆ) it D T, karea C D( T ) maka set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam C. Jika set-valued T : X X mooto maksimal da himpua ( ) it covd T 0/ Maka kesimpula Teorema 3.13 terpeuhi (Rockafellar, 1968). Misalka C covd ( T ) Jika Maka it, = it 0/ da utuk setiap, didefiisika { : } S = D T da T sehigga. S 1 D T = = C cov S (3.23) = 1

100 Karea himpua C memeuhi (3.23), maka himpua C tidak kosog, terbuka da koveks subset ruag Baach. Sehigga utuk beberapa, Jika Akibat 3.18 Bukti: S ( ) it covs 0/ = S da A { X : } sehigga ( covs ) =, utuk suatu sedemikia it 0/, maka syarat cukup Teorema 3.13 terpeuhi. Sehigga kesimpula Teorema 3.13 terpeuhi. Misalka set-valued T : X X mooto maksimal da himpua D( T ) koveks. Jika D( T ) ( D ( T )) da set-valued T terbatas lokal di, maka it (Rockafellar, 1968). Misalka set-valued T : X X mooto maksimal da himpua D( T ) koveks. Karea himpua D( T ) koveks da it ( D( T )) D( T ) = it ( cov ( D( T ))). Maka himpua it D( T ) koveks. Jika D( T ) da set-valued T terbatas lokal di, maka terdapat persekitara U pada sehigga himpua T ( U ) terbatas. Pilih himpua terbuka W W 0/ da W D( T ) U, maka himpua T ( W ) terbatas. Karea, maka D( T ) it it 0/. Sehigga syarat cukup

101 Teorema 3.17 terpeuhi. Meurut Teorema 3.17, set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam it ( D( T )) da tidak terbatas lokal di batas D( T ). Di sampig itu meurut bukti Teorema 3.13 it D ( T ) Akibatya jika set-valued T terbatas lokal di D( T ) ( D ( T )) it.., maka Akibat 3.19 Bukti: Misalka set-valued T : X X mooto maksimal da himpua ( ( )) it cov D T 0/ it ( D ( T )) jika da haya jika D( T ) da terdapat L <, sedemikia sehigga utuk setiap T ( ), L (Rockafellar, 1968). it ( D( T )), maka D( T ) setiap it ( D ( T )). Berdasarka Teorema 3.17, utuk, terdapat persekitara U pada sedemikia sehigga himpua T ( U ) terbatas. karea T ( ) T ( U ) da himpua T ( U ) terbatas, maka himpua T ( ), maka himpua T ( ) terbatas. Sehigga terdapat L < sedemikia sehigga utuk setiap T ( ), L.

102 Misalka D( T ) da terdapat L < sedemikia sehigga utuk setiap T ( ), L. Dega demikia, set-valued T terbatas lokal di. Berdasarka Teorema 3.17 da Akibat 3.19, it ( D ( T )). Teorema 3.20 Bukti: Jika set-valued T : X X mooto maksimal, maka utuk setiap D( T ), himpua T tertutup da koveks. Dega kata lai setvalued T tertutup dalam X, sehigga grafik Gr ( T ) tertutup dalam X X (Borges, 1976). Tetuka sembarag D( T ). Misalka F = { G : G set-valued yag mooto da relatif sama pada D( T )}, da F = { G : G F terdefiisi pada }. Misalka barisa { } T ( ) sedemikia sehigga koverge ke. Aka ditujukka T ( ). Karea koleksi F memuat semua set-valued yag mooto da terdefiisi pada, maka terdapat G F sedemikia sehigga G ( ). Karea set-valued T mooto maksimal, maka G ( ) T ( ). Karea G ( ) da T ( ), maka T ( ). Meurut Lemma 2.5.5, himpua T ( ) G tertutup.

103 Karea utuk setiap D( T ), set-valued T tertutup, maka meurut Defiisi set-valued T tertutup dalam X. Karea setvalued T tertutup dalam X, maka meurut Lemma grafik Gr ( T ) tertutup dalam X X. Selajutya aka ditujukka bahwa utuk setiap D( T ) T ( ) koveks. Tetuka sembarag D( T ) da sembarag, z T. Misalka 0 λ 1. Aka ditujukka + ( 1 λ) tetuka sembarag y D( T ) λ z T y T. Jika λ = 0 da 1, himpua da sembarag λ =, maka z T ( ) atau T ( ). Selajutya aka ditujukka utuk λ 0 da λ 1. Karea set-valued T mooto maka Karea λ 0 da 0 < λ < 1, maka atau sehigga y, y 0 da y, z y 0 λ y, y 0 da ( λ ) y, λ λ y 0 1 y, z y 0 da ( λ ) ( λ ) y, 1 z 1 y 0 y, λ λ y + y, 1 λ z 1 λ y 0 Berdasarka sifat dari ier product diperoleh y, λ λ y + 1 λ z 1 λ y 0

104 Dega demikia diperoleh y, λ λ y + 1 λ z y 0 Karea set-valued T mooto maksimal, maka meurut Teorema 3.10, ( 1 λ) λ + z T. Teorema 3.21 Bukti: Jika set-valued T : X X mooto maksimal da ( cov( D( T ))) /, maka utuk setiap it D ( T ) it 0. Himpua T ( ) kompak. Jika titik batas D( T ), maka himpua T ( ) tidak kompak (Rockafellar, 1968). terdapat Meurut Teorema 3.13 da 3.17, utuk setiap it D ( T ) persekitara U pada sedemikia sehigga himpua T ( U ) terbatas. Karea U da T ( ) T ( U ), maka himpua Selajutya dega Teorema 3.20, utuk setiap D( T ) T terbatas., himpua T ( ) tertutup. Akibatya, utuk setiap it D ( T ), himpua T ( ) tertutup. Karea himpua T ( ) tertutup da terbatas, maka meurut Teorema , himpua T ( ) kompak. Misalka titik batas D( T ). Meurut Lemma 3.19 himpua T ( ) memuat palig sedikit satu separuh garis, sehigga meurut Teorema 3.15, himpua T ( ) tidak terbatas.

105 Karea himpua T ( ) tertutup tapi tidak terbatas maka himpua T ( ) tidak kompak. Berdasarka teorema-teorema di atas, jika set-valued T : X X mooto maksimal, himpua S D( T ) it 0 koveks, sedemikia sehigga S /, da himpua A X terbatas sedemikia sehigga utuk setiap S, T ( ) A 0 /, maka 1. Set-valued T mooto. 2. Himpua it ( D( T )) da D ( T ) koveks. 3. Set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam it ( D( T )) tetapi tidak terbatas lokal di batas D( T ). 4. Utuk setiap D( T ), himpua T tertutup da koveks. Dega kata lai, set-valued T tertutup dalam X, sehigga grafik Gr ( T ) tertutup dalam X X. 5. Utuk setiap it D ( T ), himpua T ( ) tidak kompak di batas D( T ). T kompak. Tetapi himpua Cotoh 3.22 Diberika set-valued T : X X [1, ), = 1 3 T ( ) =, 1< < 1 (, 1], = 1 dega [ 1,1] D T = sebagai berikut

106 Berdasarka Cotoh , set-valued T mooto maksimal. Selajutya, set-valued T aka diselidiki karakteristikya dega megguaka teorema-teorema diatas. Karea himpua ( cov( D( T ))) it 0/, maka meurut Teorema 3.15 da 3.19, himpua ( ) {[ ]} ( D( T )) cov D ( T ) it = it = it 1,1 = 1,1 Tidak kosog, terbuka da koveks serta himpua [ ] ( ) D T = it D T = it cov D T = 1,1 tidak kosog, tertutup da koveks. Di sampig itu, set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam ( 1,1) da tidak terbatas lokal di = 1 da = 1. Meurut Teorema 3.17, utuk setiap [ 1,1], himpua T ( ) tertutup da koveks. Sehigga set-valued T da grafik G ( T ) tertutup. Berdasarka Teorema 3.25, utuk setiap ( 1,1), himpua T ( ) kompak, tetapi utuk = 1 da = 1, himpua T ( ) tertutup. Tetapi tidak terbatas, sehigga T ( ) tidak kompak Kajia Agama Megeai Karakteristik Gologa Mausia Dari uraia pembahasa di atas megeai karakteristik fugsi setvalued yag mooto maksimal di ruag dual. Dalam subbab ii aka diulas sedikit megeai itegrasiya dalam bidag keagamaa. Sebagaimaa yag telah dijelaska pada Bab 2 tetag peggologa mausia ke dalam tiga

107 kelompok, yaitu: mu mi, kafir, da muafiq. Pada subbab ii peulis aka meguraika tetag karakteristik dari ketiga kelompok tersebut. 1. Karakteristik orag mu mi Setiap orag yag berima kepada Allah da rasul-nya, tetulah memiliki karakteristik yag harus dimiliki. Dalam hal ii Allah berfirma dalam surat At-Taubah ayat 71. Dalam ayat tersebut meeragka sekaligus megugkapka ciri-ciri (karakteristik) orag berima. Setiap mausia yag megaku berima, hedakya mereugka ayat di atas da megamalkaya. Dari ayat di atas terdapat lima kriteria megeai karakteristik orag mukmi, yaitu: a. Orag yag berima adalah sebagai peolog bagi yag laiya. Artiya salig tolog-meolog dalam ragka mejalaka ibadah kepada Allah. Dega adaya rasa tolog-meolog atara orag yag berima maka aka mewujudka suatu kebersamaa dalam meyelesaika problematika kehidupa. Sehigga apapu kesulita yag dihadapi umat, aka terasa mudah utuk diatasi. Pada surat Al-Maidah ayat 2. b. Orag berima harus seatiasa mewujudka amar ma`ruf da ahi mukar dimaapu da dalam kodisi apapu.

108 Karea sebearya perbuata ii merupaka kekuata yag efektif utuk memberatas kejahata di muka bumi ii. Pada surat Ali-Imra ayat 110. c. Orag berima harus seatiasa medirika shalat. Shalat adalah tiag agama da merupaka amal perbuata pertama yag aka dihisab di akhirat ati. Baik burukya orag berima dapat diukur dega kualitas shalatya. Seperti dalam surat A-Nisa` ayat 103. Shalat juga memiliki fugsi dalam kehidupa sehari-hari, yaitu: supaya kita seatiasa igat kepada Allah da shalat juga dapat mecegah diri dari perbuata keji. d. Orag berima hedaklah seatiasa meuaika zakat bagi keluarga dekat da orag-orag yag tidak mampu Kewajiba ii diperutukka bagi orag berima yag mampu dalam artia orag memiliki harta yag lebih atau ishab. Pada surat Al-Ma`arij ayat e. Orag berima harus seatiasa taat kepada Allah da rasul- Nya. Taat kepada Allah berarti percaya aka kebeara Al- Qur`a da mau megamalkaya. Sedagka taat kepada Rasul berarti percaya aka kebeara berita yag dibawa Nabi Muhammad SAW da mau megamalkaya. Pada surat A-Nisa` ayat 59.

109 2. K arakteristik orag kafir Di bawah ii ada beberapa ciri-ciri orag kafir, yaitu: a. Kelompok yag palig beci kepada abi Muhammad da umatya. Pada surat Al-Baqarah ayat 105 dijelaska bahwa disebut orag kafir karea tidak mempuyai sikap sopa satu kepada abi Muhammad. Mereka megataka bahwa abi itu orag jahat, padahal beliau adalah orag yag dipilih oleh Allah utuk mejadi Rosul da di beri wahyu pula. b. Kelompok yag pertama kali meyataka bahwa Allah berputra. Dalam surat Al-Baqarah ayat 116. Ayat di atas meeragka bahwa bahwa Uzair adalah aak Allah. Kepercayaa semacam ii adalah kepercayaa yag tumbuh di kalaga peyembah berhala. Mereka berkeyakia bahwa malaikat adalah putri Tuha. c. Seag megejek da mempermaika agama islam. Kriteria di atas dijelaska dalam surat Al-Maidah ayat 58 bahwa serua adza dijadika sasara ejeka. Ejeka yag mereka lakuka ii meujukka kebodoha mereka didalam memahami esesi dari agama Allah. Karea kalimat-kalimat adza merupaka pujia kepada Allah, Dzat yag berhak meerima pujia. d. Karea kedzalimaya mempersulit hati mereka meerima kebeara. Dalam firma Allah surat Ali-Imra ayat 86-87

110 meeragka bahwa sebearya orag kafir megakui serta bersaksi bahwa beliau adalah Rasul yag bear. Tetapi ketika Rasul ii bagkit dari luar gologa mereka, mereka mejadi degki atas kejadia ii. Karea itu mereka megigkariya da kafir kepadaya, padahal dulu mereka megakuiya. e. Kelompok yag mejadika agama sebagai alat kebohoga. Dalam firma Allah surat Ali-Imra ayat meeragka bahwa gologa orag kafir serig berhakim kepada Nabi Shallallahu Alaihi wa Sallam dega iat utuk memaluka keputusa-keputusa yag ditetapka beliau kepada mereka. Tetapi kalau putusa itu di luar yag mereka igika, lalu mereka meolakya da pergi meiggalka Nabi 3. K arakteristik Mausia Muafik Di bawah ii, dijumpai beberapa karakteristik mausia muafiq, atara lai: a. S akit hatiya da memadag orag mu mi tertipu agamaya Orag muafiq yag meampaka keimaa da meyembuyika kekafira karea lemah akidahya, meyagka bahwa orag mu mi tertipu agamaya, mereka masuk agama Islam yag hakekatya mereka tidak mampu.

111 b. T akut terbogkar ifaqya da memperolokka Allah da Rasul-Nya Orag muafiq merasa ketakuta aka diturukaya kepada orag mu mi suatu ayat yag megugkap kemuafika dalam hatiya, da mereka memperolok-oloka Allah da Rasulya, padahal Allah aka membukaka kemuafika mereka. c. M eyuruh mukar melarag ma ruf, kikir, tidak tha at, da fasiq Kemuafika bagi laki-laki da waita sama saja dalam keifakaya, mereka meyuruh orag lai kufur da maksiat, melarag ima da taat, meggeggamka tagaya utuk ifaq, mereka itu sempura dalam keragu-ragua. d. M emadag Allah da Rasulya peipu Orag yag ada di dalam hatiya sifat ifaq, berkata bahwa Allah da Rasulya tidak mejajika kepada kami kecuali kebathila da tipu daya. e. Igkar jaji da dusta Sebagia orag muafiq berjaji kepada Allah da Rasulya, jika diberi harta bayak aka sadaqah da mejadi orag shalih. Tapi ketika Allah memberiya, mereka mejadi kikir da

112 berpalig. Maka Allah meimbulka kemuafiqka pada hatiya, disebabka mereka igkar jaji da berdusta. Dari beberapa karakteristik peggologa umat mausia. Sebagai seorag muslim seharusya memikirka bahwa jika di kehidupa duia mereka memiliki karakteristik seperti tersebut di atas, maka di akhirat seseorag aka medapat balasa yag setimpal. Sesugguhya hikmah adaya kebagkita setelah mati adalah agar diberika balasa kepada setiap jiwa mausia sesuai perbuataya, da jika buka hal itu, iscaya peciptaa mausia mejadi sia-sia, tidak ada ilai, tidak ada hikmah, da tidak ada perbedaa di dalam kehidupa ii di atara mausia da biatag. Oleh kareaya, kelak di akhirat mausia aka dipisahka meurut gologaya. Orag berima aka dibagkitka dalam keadaa berjala tegak di jala yag lurus. Ia aka meuju surga yag peuh kebahagiaa. Sedagka orag kafir aka dibagkitka dega berjala di atas wajah mereka di eraka Jahaam da utuk orag muafik mereka aka digirig ke eraka jahaam yag palig dasar. Seperti yag tertera dalam surat Ash-Shoffaat: Dalam surat Ali-Imro: dijelaska tetag kosep Ulul Albab. Seorag yag sudah dalam tigkata Ulul Albab aka selalu memikirka semua yag diciptaka oleh Allah SWT. Dalam keadaa bagaimaapu da dimaapu. Ketika seorag mempelajari tetag matematika, kemampua itelektual semata tidak cukup, tetapi perlu didukug secara bersamaa dega kemampua emosioal da spiritual.

113 Seorag yag memahami matematika dega kosep Ulul Albab aka selalu memikirka setiap perbuata yag mereka lakuka dega teliti. Layakya ilmu matematika yag disebut ilmu pasti, maka dia aka melakuka sesuatu dega peuh kejujura da ketaata.

114 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpula Misalka X adalah ruag Dual. Jika set-valued T : X X mooto maksimal, maka karakteristik set-valued tersebut adalah sebagai berikut: 1. Set-valued T mooto 2. Himpua it ( D( T )) D( T ) = koveks 3. Set-valued T terbatas lokal di setiap titik dalam it D ( T ) terbatas lokal di batas D ( T ). 4. Utuk setiap D( T ), himpua, tetapi tidak T tertutup da koveks. Dega kata lai Set-valued T tertutup tertutup dalam X sehigga grafik Gr ( T ) tertutup dalam X X. 5. Utuk setiap it D ( T ), himpua T ( ) tidak kompak di batas D ( T ). T kompak. Tetapi himpua 4.2 Sara Berdasarka uraia di atas, disaraka utuk diadaka aalisis lajuta tetag karakteristik fugsi set-valued yag mooto maksimal di ruag Baach.

115 DAFTAR PUSTAKA Abdusysyakir Ketika Kyai Megajar Matematika. UIN-Malag Press: Malag. Ahmad, Imtiaz Nasehat Utuk Akal Yag Dahaga. Al-Rasheed Priter: Madiah. Al-Maraghi, Mustafa Karakter Yahudi Dalam Al-Qur a. CV Pustaka Matiq: Solo Bartle, Robert G da Doald R. Sherbert Itroductio To Real Aalisis. Easter Michiga Uiversity: New York. Borges, C. J. R A Study of Multivalued Fuctio. Pacific Joural Of Mathematics, vol. 23, o.3: Bot, Radu Ioa, Csetek, Ero Robert. A New Coditio For Maimal Mootoicity Via represetative Fuctios. Borwei, J.M da J.D Vaderwerff Cove Fuctios: Costructios, Characterizatios ad Coutereamples. Chambridge Uiversity Press Giuseppe da Ljubisa Boudedess I Topological Space Goffma, Casper da George Pedrick First Course i Fuctioal Aalisis. Departmet of Mathematics Purdue Uiversity: New Delhi. Heil, C Fuctioal Aalysis Lecture Note Chapter 3 Baach Space. Diakses pada taggal 23 November 2008 Hutahaea, E Fugsi Riil. Badug: ITB Kartatos, A.G A Ivariace Of Domai Result For Multi-valued Maimal Mootoe Operators Whose Domais Do Not Necessarily Cotai Ay Ope Set. America Mathematical Society, vol. 125, o 5: Kreyszig, Erwi Itroductory Fuctioal Aalysis With Applicatios. Republic of Sigapore: Caada. Kusumo, Adi Fajar. Dimaakah Allah? (Dalam Tijaua Secara Matematis). Taggal 18 Oktober 1997 Nachbar, J. Compactess. Diakses pada taggal 23 Desember 2008.

116 Pierre Aubi, J da Roger Stabel Approimatios of Set-Valued Maps. Leeburg, Austria Phelp, R. R Lecture o Maimal Mootoe Operator. arxiv: v1: Rahma, Hairur Idahya Matematika dalam Al-Qur a. UIN-Malag Press: Malag. Riato, Zaki Pegatar Aalisis Real I. Math.Web. ID Rockafellar, R. T Local Boudedess Of Noliier Mootoe Operators. Uiversity of Washigto. Seattle, Washigto: Rosidi, Dedeg Karakteristik Mausia Muafik. Ui Sua Guug Jati. Schutt, Cartse Cove Geometry. Va, Ree Hessel Dual spaces. Zagrody, Dariusz O Maimal Mootoe Operators With Relatively Compact Rage. Czechoslovak Mathematical Joural:

117 KEMENTERIAN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayaa No. 50 Dioyo Malag (0341) Fa. (0341) ========================================================== BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Nama : Choiru Nikmah NIM : Fakultas/ Jurusa : Sais Da Tekologi / Matematika Judul Skripsi : Karakteristik Fugsi Set-Valued Yag Mooto Maksimal Pembimbig I Pembimbig II Di Ruag Dual. : Usma Pagalay, M.Si : Fachrur Rozi, M.Si No Taggal HAL Tada Taga 1 27 Agustus 2010 Kosultasi Bab I & II Agustus 2010 Kosultasi Keagamaa Bab I 3 03 september 2010 Semiar proposal November 2010 Kosultasi Bab II November 2010 Kosultasi Bab II November 2010 Kosultasi Bab II &III Desember 2010 Kosultasi Bab III Desember 2010 Kosultasi Bab II & III Jauari 2011 Kosultasi Bab II, III Jauari 2011 Kosultasi keagamaa Bab I, II Jauari 2011 Kosultasi Bab III Jauari 2011 Kosultasi keagamaa Bab I, II, III 13 11Jauari 2011 Kosultasi bab II, III