LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

Transkripsi

1 L - W (Lembar ktivitas Warga elajar) PERNDINGN FUNGSI, PERSMN, DN IDENTITS TRIGONOMETRI Oleh: Hj. IT YULIN, S.Pd, M.Pd MTEMTIK PKET C TINGKT V DERJT MHIR 1 SETR KELS X Created y Ita Yuliana 51

2 Perbandingan Fungsi, Persamaan, dan Identitas Trigonometri Kompetensi Dasar 1. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya Indikator 1. Warga belajar dapat menjelaskan arti derajat dan radian 2. Warga belajar dapat mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya 3. Warga belajar dapat menentukan sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut dengan perbandingan trigonometri segitiga siku-siku 4. Warga belajar dapat menentukan sinus, kosinus, dan tangen dari sudut khusus 5. Warga belajar dapat menentukan sinus, kosinus, dan tangen dari sudut di semua kuadran 6. Warga belajar dapat menentukan besarnya suatu sudut dengan sinus, kosinus, dan tangen yang diketahui 7. Warga belajar dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan bentuk trigonometri 8. Warga belajar dapat menggambarkan grafik fungsi sinus, kosinus, dan tangen 9. Warga belajar dapat menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana 10. Warga belajar dapat menggunakan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga 11. Warga belajar dapat menggunakan aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga 12. Warga belajar dapat menentukan luas segitiga dengan rumus perbandingan trigonometri 13. Warga belajar dapat merumuskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus, dan kosinus 14. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian dari model matematika 15. Warga belajar dapat memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah Kasus Setiap Jumat sore Rudi, Roni, dan Sinta mengikuti kegiatan ekstrakurikuler pramuka di kelompok belajarnya. Ketiga warga belajar tersebut diberi tugas oleh kakak pembina menentukkan tinggi tiang bendera di halaman sekolah. Mereka hanya membawa tongkat, penggaris, dan bususr derajat. Menurut kamu, bagaimana menyelesaikan masalah tersebut? pakah hanya dengan peralatan sederhana tersebut mereka dapat menyelesaikannya? Kamu akan menemukan jawabannya setelah mempelajari bab ini. Created y Ita Yuliana 52

3 Ringkasan Materi. Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 1. Ukuran sudut dalam derajat esar sudut derajat adalah ukuran sudut yang besarnya sama dengan penuh esar 1 putaran = putaran = derajat = 60 menit (1 0 = 60 ) 1 menit = 60 detik (1 = 60 ) 1 derajat = 3600 detik putaran 2. Ukuran sudut dalam radian esar sudut 1 radian adalah besar sudut pusat suatu lingkaran yang menghadap busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran itu. O r P Q Sudut POQ = 1 radian = 1 rad Karena 1 putaran = keliling lingkaran = 2 r Jadi 1 putaran = rad = 2 rad 3. Hubungan antara derajat dan radian esar sudut 1 putaran jika dinyatakan delam derajat = dan jika dinyatakan dalam radian = 2 radian 2 rad = rad = rad = x radian = Contoh: 1. Ubahlah satuan sudut di bawah ini ke dalam satuan radian a b a = (60 x ) radian = radian b = (150 x ) radian = radian 2. Ubahlah satuan sudut di bawah ini ke dalam satuan derajat a. radian b. radian a. radian = x = 45 0 b. radian = x = Created y Ita Yuliana 53

4 ktivitas 1 1. Nyatakan ukuran derajat berikut ke dalam ukuran radian a d b e c f Nyatakan ukuran radian berikut ke dalam ukuran derajat a. radian d. radian b. radian e. radian c. radian f. radian. Perbandingan Trigonometri 1. Perbandingan trigonometri suatu sudut dalam segitiga siku-siku c β a Sisi a atau sisi C disebut sisi di depan Sisi b atau sisi C disebut sisi di samping Sisi c atau sisi disebut hipotenusa/sisi miring α b C erdasarkan C di atas, perbandingan trigonometri didefinisikan sbb. sin 0 = = cot 0 = = cos 0 = = sec 0 = = tan 0 = = cosec 0 = = berdasarkan definisi tersebut dapat diturunkan rumus kebalikannya sbb. sin 0 = sec 0 = cos 0 = cosec 0 = tan 0 = tan 0 = cot 0 = cot 0 = Created y Ita Yuliana 54

5 contoh: Diketahui, 0 sudut lancip dan sin 0 =. Tentukan perbandingan trigonometri yang lainnya. Jawab Nilai b dapat dicari dengan dalil Pythagoras c = 5 α b β a=3 C b = b = b = b = b = 4 maka nilai perbandingan trigonometri yang lain adalah 1) cos 0 = = 4) sec 0 = = 2) tan 0 = = 5) cosec 0 = = 3) cot 0 = = 2. Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa erikut adalah tabel perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa a sinus a cosinus a tangen a tidak terdefinisi cotangen a 0 tidak 1 terdefinisi 0 secan a 0 1 cosecan a 0 tidak terdefinisi Contoh: Hitunglah a. sin tan 45 0 b. cos sin tan sin 90 0 Jawab 2 a. sin tan 45 0 = + = ) 2 tidak terdefinisi 1 b. cos sin tan sin 90 0 = = + Created y Ita Yuliana 55

6 3. Perhitungan dalam segitiga siku-siku Dalam suatu segitiga siku-siku terdapat 6 unsur yang perlu diketahui, 3 unsur sudut (salah satu besarnya 90 0 ) dan 3 unsur sisi, yaitu: a. Jika besar sudut lancip diketahui, maka besar sudut lancip yang lain dapat ditentukan dengan memakai hubungan = b. Jika panjang dua sisi diketahui maka panjang sisi yang lain dapat ditentukan dengan memakai teorema pythagoras a 2 + b 2 = c 2 Contoh: Sebuah besi dirangkai sehingga menjadi sebuah segitiga siku-siku dengan salah satu besar sudutnya 45 0 dan panjang salah satu sisinya 6 cm. Carilah panjang sisi yang membentuk sudut siku-siku lainnya. Jawab Misalkan segitiga C dengan = 45 0 dan panjang C = 6 cm. C =...? tangen = C = C x tan C = 6 x tan 45 0 C = 6 x = 3 C 6cm Jadi panjang sisi C adalah 3 cm C. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran Sumbu X dan sumbu Y pada suatu koordinat cartesius membagi bidang datar menjadi empat bagian yang disebut kuadran. dapun pembagiannya sbb. Kuadran II Kuadran I sin (+) semua (+) cosec (+) Kuadran III Kuadran IV tan (+) cos (+) cotan (+) secan (+) cara lain untuk menyajikan tanda-tanda perbandingan trigonometri dengan memakai tabel sbb. Created y Ita Yuliana 56

7 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di kuadran I II III IV sin + + cos + + tan + + cosec + + secan + + cotan + + Contoh: Titik P mempunyai koordinat (3, 4) a. Hitunglah R atau OP b. Jika XOP = 0, hitunglah sin, cos, tan, cosec, secan, cotan 0 a. r = OP = = = = 5 Y P(3,4) b. sin 0 = = cosec 0 = = cos 0 = = secan 0 = = tan 0 = = cotan 0 = = 4 O r 3 X D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut erelasi a. Perbandingan trigonometri untuk sudut 0 dan (90 ) 0 Kuadran I sin (90 ) 0 = cos 0 cos (90 ) 0 = sin 0 tan (90 ) 0 = cot 0 cot (90 ) 0 = tan 0 b. Perbandingan trigonometri untuk sudut 0 dan (180 ) 0 Kuadran II sin (180 ) 0 = sin 0 cos (180 ) 0 = cos 0 tan (180 ) 0 = tan 0 cot (180 ) 0 = cot 0 c. Perbandingan trigonometri untuk sudut 0 dan (90 + ) 0 Kuadran II sin (90 + ) 0 = cos 0 cos (90 + ) 0 = sin 0 tan (90 + ) 0 = cot 0 cot (90 + ) 0 = tan 0 Created y Ita Yuliana 57

8 d. Perbandingan trigonometri untuk sudut 0 dan (180 + ) 0 Kuadran III sin (180 + ) 0 = sin 0 cos (180 + ) 0 = cos 0 tan (180 + ) 0 = tan 0 cot (180 + ) 0 = cot 0 e. Perbandingan trigonometri untuk sudut 0 dan (360 ) 0 Kuadran IV atau sin (360 ) 0 = sin 0 cos (360 ) 0 = cos 0 tan (360 ) 0 = tan 0 cot (360 ) 0 = cot 0 sin ( ) 0 = sin 0 cos ( ) 0 = cos 0 tan ( ) 0 = tan 0 cot ( ) 0 = cot 0 f. Perbandingan trigonometri untuk sudut 0 dan ( + (n x 360)) 0 Sudut adalah sudut satu putaran penuh, maka perbandingan trigometri sudut ( + (n x 360)) 0 sama dengan perbandingan trigonometri sudut 0 sehingga diperoleh rumus sbb. sin ( + (n x 360)) 0 = sin 0 cos ( + (n x 360)) 0 = cos 0 tan ( + (n x 360)) 0 = tan 0 cot ( + (n x 360)) 0 = cot 0 contoh: Tentukan nilai dari : 1. Sin tan cos sin = sin ( ) 0 = sin 30 0 = 2. tan = sin (360 45) 0 = tan 45 0 = 3. cos = cos (180 30) 0 = cos 30 0 = Created y Ita Yuliana 58

9 ktivitas 2 1. Carilah nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut pada gambar berikut. a. b. p C q r C 2. Tentukan nilai dari a. 2 sin cos tan 45 0 b. 3. Soni berdiri di samping tiang bendera. Tinggi Soni 148 cm dan panjang bayangannya 120 cm. Jika panjang bayangan tiang sama dengan 6 m, berapa meterkah tinggi tiang bendera itu? 4. Tentukan nilai dari a. sin (-150) 0 c. cos (-675) 0 e. tan (-780) 0 b. sin d. cos f. tan E. Identitas Trigonometri Identitas atau kesamaan adalah suatu persamaan yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabel atau persamaan trigonometri yang bernilai benar untuk semua variabel. Identitas trigonometri adalah identitas yang memuat perbandingan trigonometri. Untuk menunjukkan kebenaran suatu identitas trigonometri, dapat dilakukan dengan mengubah salah satu atau kedua ruas persamaan sehingga menjadi bentuk yang sama atau dengan kata lain mengubah ruas kiri sehingga sama dengan ruas kanan atau mengubah ruas kanan sehingga sama dengan ruas kiri. 1. Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan kebalikan sin 0 = cosec 0 = cos 0 = tan 0 = cot 0 = Created y Ita Yuliana 59

10 2. Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan perbandingan tan 0 = cot 0 = 3. Identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan Pythagoras Contoh: sin cos 2 0 = tan 2 0 = sec cot 2 0 = cosec 2 0 uktikan + = Jawab : ukti ruas kiri = + = = = ruas kanan (terbukti) ktivitas 3 uktikan : 1. sin cos = tan 2 0 = sec 2 0 Created y Ita Yuliana 60

11 F. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya 1. Perbandingan trigonometri sebagai fungsi Perhatikan gambar pemetaan berikut x 0 f Sinx 0 x 0 f cosx 0 x 0 f tanx 0 sinus kosinus tangen untuk setiap x 0 dipasangkan dengan tepat satu nilai sin x 0, cos x 0, dan tan x 0, dituliskan f : x sin x 0, f : x cos x 0, dan f : x tan x 0. entuk demikian disebut dengan fungsi, rumus fungsinya f (x 0 ) = sin x 0, f (x 0 ) = cos x 0, dan f (x 0 ) = tan x 0 2. Grafik fungsi trigonometri Langkah-langkah melukis grafik dengan menggunakan tabel yaitu: a. membuat tabel yang menyatakan hubungan antara x dan f (x 0 ); pilihlah sudut x tertentu sehingga nilai y = f (x 0 ) mudah ditentukan. b. titik-titik (x, y) yang diperoleh pada langkah pertama digambar pada bidang kartesius c. hubungan titik-titik (x, y) dengan kurva mulus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi trigonometri yang diminta contoh: Gambarlah grafik fungsi y = sin x 0 untuk 0 0 < x 0 < membuat tabel yang menyatakan hubungan antara x dan y = sin x 0 x y = sin x menggambar titik-titik yang diperoleh pada tabel di atas bidang kartesius menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus sehingga diperoleh grafik fungsi y = sin x Created y Ita Yuliana 61

12 ktivitas 4 Lengkapi tabel berikut untuk membuat grafik fungsi y = cos x x y= cos x 0 (x, y) (0, 0) x y= cos x (x, y) Gambarkan grafiknya G. Persamaan Trigonometri Sederhana Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri dalam x (ukuran derajat datau radian) Contoh persamaan trigonometri yang sederhana, seperti berikut ini: sin x 0 = sin 60 0 tan x 0 = Rumus-rumus penyelesaian persamaan trigonometri sederhana Jika sin x 0 = sin 0 maka x 0 = 0 + k x atau x 0 = (180 0 ) + k x ; k Created y Ita Yuliana 62

13 Jika cos x 0 = cos 0 maka x 0 = 0 + k x atau x 0 = 0 + k x ; k Jika tan x 0 = tan 0 maka x 0 = 0 + k x ; k contoh: 1. Tentukan HP tan x 0 =, 0 0 x tan x 0 = tan x 0 = tan 60 0 x 0 = 60 + k untuk k = -1 x 0 = 60 + (-1) = (tidak memenuhi) untuk k = 0 x 0 = = 60 0 untuk k = 1 x 0 = = untuk k = 2 x 0 = = (tidak memenuhi) Jadi, HP = {60 0, } 2. Tentukan HP cos 3x = cos 0, 0 x 2 cos 3x = cos 0, maka 3x = 0 + k. 2 atau 3x = -0 + k. 2 untuk k = 0 x = 0 untuk k = 1 x = untuk k = 2 x = untuk k = 3 x = 2 jadi, HP = {0,,, 2 } x = k atau x = k ktivitas 5 1. Tentukan HP dari persamaan berikut untuk 0 0 x a. 2 cos x 0 1 = 0 b. 2 sin 2x 0 = c. tan x 0 = 1 2. Tentukan HP dari persamaan berikut untuk 0 x 2 a. cos x = b. sin 2x 0 = 0 c. tan 2x + 1 = 0 Created y Ita Yuliana 63

14 H. turan Sinus dan turan Cosinus 1. turan Sinus a. Dalam setiap segitiga, perbandingan panjang sisi dengan sisi sudut yang menghadap sisi itu sama untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga. b. Pada setiap segitiga C aturan sinus ditulis : = = Contoh : Seorang antara akan menjalankan tugas untuk menaksir tinggi sebuah pohon. Dari titik C, dia melihat titik puncak pohon dengan sudut elevasi Jika jarak dari titik ke pohon adalah 5 meter, berapakah tinggi pohon tersebut? Sudut = ( ) = 45 0 = = c b Jadi tinggi pohon adalah 5 meter 45 a = 5 m 2. turan Cosinus Pada segitiga C sembarang berlaku aturan cosinus yang dinyatakan dengan pernyataan sbb: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos atau cos = b 2 = a 2 + c 2 2ac cos atau cos = c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C atau cos C = contoh: Diketahui segitiga C sembarang dengan C = 60 0, a = 5 cm, dan b = 8 cm. Tentukan panjang sisi c,, dan a. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C = cos 60 0 = = c 2 = 49 c = 7 5 cm 60 0 C Created y Ita Yuliana 64

15 b. cos 0 = c. cos = = = cos 0 = = 0,79 cos 0 = = 0,14 0 = arc cos 0 0 = arc cos 0 = arc cos 0,79 = 38,2 0 = arc cos 0,14 = 81,8 0 ktivitas 6 1. Tulislah aturan sinus dan cosinus pada setiap segitiga berikut a. P K q R p Q L m k M 2. Seorang tukang ukur tanah mengukur sebidang tanah. atas tanah diukur panjangnya 440 m. Tonggak batas C diukur dari arah dan sehingga sudut C = 75 0 dan sudut C Hitunglah jarak tonggak batas C dari dan dari 3. Puncak monumen P diamati oleh dua pengamat dari titik dan yang letaknya segaris dengan N (bagian bawah monumen). Jika jarak titik dan sama dengan 350 m, sudut P = 45 0 dan sudut P = Tentukan jarak titik puncak P dengan titik Created y Ita Yuliana 65

16 I. Luas Segitiga 1. Luas segitiga dengan dua sisi dan satu sudut yang diketahui Luas segitiga sembarang dapat dicari dengan menggunakan bantuan perbandingan trigonometri sebagai berikut. L C = x 2 sisi yang diketahui x sinus sudut apitnya L C = x ab sin C atau L C = x ac sin atau L C = x bc sin Contoh : Pekarangan rumah Pak Kadir berbentuk segitiga. Rencananya pekarangan itu mau dijual untuk biaya sekolah anaknya. kan tetapi ia tidak tahu berapa luas pekarangannya itu. Kemudian dia mengukur panjang sisi pekarangan tersebut sehingga diketahui panjang = 15 m, C = 10 m, dan = erapa luas pekarangan tersebut? = 15 m maka c = 15 C = 10 m maka a = 10 = 30 0 L C = x ac sin = x sin 300 = x = 37,5 Jadi, luas pekarangan tersebut adalah 37,5 m 2 2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang diketahui L = L = L = Contoh: Sebuah taman yang berbentuk segitiga akan dibangun di tengah-tengah kota. Diketahui 2 sudutnya 37 0 dan 62 0, sedangkan panjang salah satu sisinya adalah 6 m. Hitunglah luas daerah segitiga seperti pada gambar berikut. Created y Ita Yuliana 66

17 C Jawab : Misalkan segitiga tersebut adalah segitiga C dengan = 37 0, = 62 0, dan b = 6 m Cari besar C lebih dulu C = ( ) 0 = 81 0 L = L = log L = log ( ) log L = log 36 + log sin log sin 81 0 log 2 log 62 0 log L = 1, (9, ) + (9, ) 0,3010 (9, ) log L = 0,9861 L = 9,69 Jadi, luas taman tersebut adalah 9,69 m 2 3. Luas segitiga dengan dua sisi dan sebuah sudut yang diketahui Jika dalam sebuah segitiga diketahui panjang dua buah sisi dan besar satu sudut di hadapan salah satu sisinya, maka luas segitiga itu dapat ditentukan dengan langkahlangkah sbb. 1. Menentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan menggunakan aturan sinus 2. Setelah sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan salah satu dari rumus pada nomor 1 di atas Contoh : Sebuah pesawat luar angkasa berbentuk segitiga dengan panjang sisinya 15 m, 10 m, dan sudut yang berhadapan dengan sisi yang berukuran 15 m sebesar Gambarlah sketsanya dan hitunglah luas pesawat luar angkasa tersebut. Created y Ita Yuliana 67

18 Jawab : = c = 10 m C = b = 15 m = 30 0 L = bc sin L = sin 30 0 L = b = 15 L = 37, 5 Jadi luas pesawat luar angkasa itu adalah 37,5 m 2 C c = Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui Luas segitiga C jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi a, sisi b, sisi c) dapat ditentukan dengan rumus: L = ) ) ) dengan s = (a + b + c) Contoh : Sebuah lempeng terbuat dari besi berbentuk segitiga dengan panjang sisi-sisnya adalah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm. Hitunglah berapa luas lempeng tersebut. Misalkan panjang sisi segitiga adalah a = 13 cm, b = 14 cm, dan c = 15 cm, maka: s = (a + b + c) = ( ) = 21 L = ) ) ) L = ) ) ) L = ) ) ) L = L = 84 Jadi, luas daerah segitiga tersebut adalah 84 cm 2 ktivitas 7 1. Hitunglah luas segitiga C jika a = 30 cm, b = 13 cm, dan C = Hitunglah luas segitiga yang panjang sisinya masing-masing 5 cm, 7 cm, dan 8 cm. 3. Segitiga C mempunyai luas 60 cm 2. Jika panjang sisi C dan masingmasing adalah 12 cm dan 20 cm, tentukan besar sudut C (dua kemungkinan) Created y Ita Yuliana 68

19 J. Merancang Model Matematika Yang erkaitan dengan Perbandingan Trigonometri, Rumus Sinus, dan Cosinus Cara pemecahan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang memuat ekspresi trigonometri (perbandingan trigonometri, penggunaan rumus sinus atau cosinus), yaitu: 1. tetapkan besaran yang ada dalam masalah, seperti variabel yang berkaitan dengan ekspresi trigonometri 2. rumuskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri, rumus sinus, atau rumus cosinus 3. tentukan penyelesaian dari model matematika 4. berikan tafsiran terhadap hasil-hasil yang diperoleh contoh: Dari sebuah titik di permukaan tanah, tinggi gedung bertingkat terlihat dengan sudut elevasi Jarak horozontal dari titik itu ke gedung bertingkat sama dengan 15 m. erapa meterkah tinggi gedung tersebut? Misalnya, tinggi gedung bertingkat adalah t m erdasarkan sketsa gambar diperoleh hubungan perbandingan trigonometri tangen C, yaitu tan C = tan 30 0 = = t = x 15 = = 8,660 Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 8,660 m C t m ktivitas 8 1. Seorang anak yang tingginya 1,4 m bermain layang-layang di tanah lapang yang datar. Jika tali layang-layang yang telah diulurkan sepanjang 60 m dan membentuk sudut 54 0 dengan tanah, tentukan tinggi layang-layang dari tanah. 2. Sebuah tiang dengan tinggi 4 m ditopang oleh 4,5 m kawat yang terletak di depan sebuah kapal layar. erapa besar sudut yang terbentuk antara kawat dengan arah horizontal? Created y Ita Yuliana 69