KOMPETENSI. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "KOMPETENSI. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut."

Transkripsi

1 TRIGONOMETRI

2 KOMPETENSI SK Menerapkan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah KD Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut. Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub Menerapkan aturan sinus dan kosinus Menentukan luas suatu segitiga Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut Menyelesaikan persamaan trigonometri

3 TOPIK PEMBAHASAN Apa itu trigonometri Sudut dan satuannya Segitiga siku-siku dan fungsi trigonometri Fungsi trigonometri sudut istimewa Koordinat dan fungsi trigonometri Fungsi trigonometri di berbagai kuadran Kuadran dan relasi I Komplemen dan relasi II Sudut negatif dan relasi III Sudut putaran dan relasi IV Lingkaran dan fungsi trigonometri Grafik fungsi trigonometri Tabel fungsi trigonometri dan kalkulator Koordinat kartesian dan koordinat kutub Aturan sinus dan aturan kosinus Rumus luas segitiga Jumlah dan hasilkali trigonometri Identitas trigonometri Persamaan trigonometri sederhana

4 Apa itu trigonometri Hipparchus at-tusi Regiomontanus Trigonometri mula-mula dipelajari untuk kegiatan astronomi. Dimulai di Babilonia, Yunani, Mesir, India, Arab, lalu ke Eropa. Dalam bentuk awal, trigonometri mempelajari tentang penentuan tali busur (chord). Sering dikatakan Hipparchus ( SM) adalah Bapak trigonometri, karena ia orang yang pertama kali menulis tabel tali busur yang dikenal. Tabel setengah tali-busur muncul di India, antara lain oleh Aryabhata I sekitar tahun 500. Di tangan orang Arab, studi trigonometri mulai jelas. Nashirudin at-tusi ( ) dikenal sebagai orang pertama yang menulis studi trigonometri lepas dari astronomi dalam buku Treatise on the quadrilateral. Sebagai alternatif, ia juga dikenal sebagai Bapak trigonometri. Regiomontanus atau John Muller ( ) menulis De triangulis omnimodis yang dipercaya sebagai buku lengkap pertama yang membahas trigonometri bidang.

5 Apa itu trigonometri Hipparchus at-tusi Regiomontanus Mungkin yang pertama kali menulis tentang perbandingan trigonometri dari sebuah segitiga siku-siku pada lingkaran adalah Rheticus (murid Copernicus) dalam buku Opus palatinum de triangulis (1596) Kata trigonometry mula-mula muncul dalam bukunya Pitiscus berjudul Trigonometria yang dipublikasi tahun Kata trigonometri gabungan dari kata tri (tiga), gonos (bidang/sisi), dan metros (ukuran/ilmu). Secara ethimologi, trigonometri adalah ilmu tentang segitiga (khususnya segitiga siku-siku). Trigonometri sendiri adalah cabang besar matematika yang mempelajari hubungan sudut dan sisi segitiga, khususnya segitiga siku-siku, dan sifat-sifat dari hubungan itu. Hubungan itu yang dikenal dengan nama fungsi trigonometri. Beberapa cabang trigonometri: trigonometri bidang datar, trigonometri bola, analisis trigonometri, trigonometri analitik. Trigonometri muncul dalam berbagai cabang ilmu antara lain: teori musik, optik, elektronik, statistik, biologi, kimia, meteorologi, komputer grafik, geodesi, arsitektur, bahkan ekonomi.

6 Sudut dan satuannya Sudut adalah suatu bukaan (unsur geometri) yang dibentuk oleh dua buah sinar dari sebuah titik atau dua buah garis yang bertemu di sebuah titik. (definisi statis) Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk dari perputaran sebuah sinar terhadap titik asalnya atau perputaran sebuah garis terhadap titik ujungnya. (definisi dinamis) Pada konsep bukaan dikenal sudut lancip dan sudut tumpul, juga sudut reflektif. Pada konsep putaran dikenal sudut positif dan sudut negatif. Satuan sudut antara lain: derajat, radian, gradian (gon), mil. 1 putaran penuh = 360 o = 2 radian = 400 grad = 6400 mil (NATO). Satuan derajat menggunakan sistem seksagesimal (warisan Babilonia dan diinspirasi dari 1 tahun 360 hari). Untuk satuan yang lebih kecil berturut-turut digunakan istilah menit ( ) dan detik ( ). Satuan ini sering digunakan sehari-hari. Satuan radian, murni menggunakan sistem desimal dan merupakan bilangan biasa (bebas dari satuan fisis). Mengapa satuan radian biasanya tidak dituliskan? Perhatikan bahwa bila kita membagi panjang busur di depan sudut dengan jari-jari maka tidak ada satuan fisis yang terjadi (tidak berdimensi fisik, dimensionless). Dengan alasan ini dan penulisan dalam desimal, maka satuan radian sering digunakan dalam studi ilmiah.

7 Sudut dan satuannya Bagaimana definisi satuan radian? Kita tahu bahwa panjang keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah 2 r. Bila dipilih jari-jari 1 satuan, maka keliling lingkaran adalah 2. Bilangan inilah yang selanjutnya dipilih sebagai satuan radian untuk 1 putaran penuh. Dari pemilihan ini, diperoleh antara lain bahwa 1 radian adalah besar sudut pusat lingkaran dengan panjang busur sama dengan jari-jari lingkaran. Jadi, seharusnya jelas perbedaan antara = 180 o dan = 3, Satuan gradian (grade, gon) menetapkan besar sudut siku-siku = 100 grad = 100 g. Mula-mula digunakan di Perancis. Sekarang, secara internasional ditetapkan dengan nama gon. Pemakaiannya terbatas di beberapa negara dan khususnya untuk kegiatan pengukuran tanah. Satuan mil dipergunakan dalam kemiliteran. NATO menggunakan 1 mil = 1 / 6400 putaran penuh, Rusia menggunakan 1 mil = 1 / 6000 putaran penuh, dan pada beberapa alat teleskopik 1 mil = 1 / 6283 putaran penuh. Bandingkan dengan 1 putaran penuh = 2000 miliradian 6283,185 milirad.

8 Segitiga siku-siku dan fungsi trig. Perbandingan trigonometri berkaitan dengan perbandingan (panjang) sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan-perbandingan inilah yang kemudian disebut dengan perbandingan trigonometri. Dari sini, istilah fungsi trigonometri sudut pada segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan-perbandingan tersebut. Dikenal ada 6 fungsi trigonometri terkait dengan 6 permutasi 2 sisi dari 3 sisi. Keenam fungsi trigonometri itu adalah sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Berturut-turut disingkat: sin, cos, tan, sec, csc atau cosec, dan cot. Funsgi-fungsi yang berkebalikan adalah sin & cosec, cos & sec, serta tan & cot. (dengan sifat resiprokal ini, sec, cosec, & cot dapat pula didefinisikan) Dari definisi juga jelas bahwa tan sin cos cos cot sin Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh identitas: sin 2 + cos 2 = 1 tan = sec cot 2 = cosec 2

9 Fungsi trigonometri sudut istimewa Biasanya yang dimaksud sudut-sudut istimewa adalah 0 o, 30 o, 45 o, 60 o, dan 90 o. Untuk sementara kita tidak dapat berbicara mengenai fungsi trigonometri sudut 0 o dan 90 o. Mengapa? Karena untuk sudut-sudut itu, tidak ada segitiga siku-siku yang memenuhi. Dengan lain kata, kita berhadapan dengan segitiga siku-siku asimtotik. Kita perlu memperluas definisi fungsi trigonometri! Untuk sudut 30 o dan 60 o, kita dapat melihat pada segitiga samasisi. Untuk sudut 45 o kita dapat menggunakan segitiga siku-siku samakaki. Apa itu sesungguhnya sudut istimewa? Tidak jelas. Jika yang dimaksud sudut dari bangun datar istimewa di mana nilai fungsi trigonometri dapat mudah dinyatakan sebagai perbandingan, maka 0 o dan 90 o tidak termasuk sudut istimewa. Lagi pula, dari segilima beraturan kita dapat menurunkan sudut istimewa yang lain: 18 o dan 72 o. Jika yang dimaksud sudut di mana nilai fungsi trigonometrinya dapat dinyatakan dengan tepat dengan menggunakan tanda akar, maka 15 o seharusnya merupakan sudut istimewa. Lebih detil, semua sudut kelipatan 3 o juga sudut istimewa. (tahun 2001, penulis telah menyusun daftar fungsi trig. sudut kelipatan 3 o. Sebagai contoh, o 1 ) Sin

10 Koordinat dan fungsi trigonometri Definisi fungsi trigonometri dari perbandingan pada segitiga siku-siku mengandung beberapa kelemahan: (1) tidak dapat atau sulit mendefinisikan fungsi trig. pada sudut 0 o dan 90 o, (2) untuk sudut yang lebih besar dari 90 o tidak dapat didefinisikan nilai fungsi trig.nya. Ada beberapa cara memperluas definisi fungsi trig., salah satunya menggunakan koordinat kartesian dengan pusat di titik sumbu koordinat. Pada cara ini, sebuah sudut ditentukan oleh sumbu-x positif dan ruas garis dari titik sumbu ke sebuah titik pada bidang koordinat. Tentu absis dan ordinat dapat bernilai negatif, tetapi panjang garis dari titik pusat ke sebuah titik pada bidang koordinat tetaplah positif. Selanjutnya fungsi-fungsi trigonometri didefinisikan menggunakan perbandingan dengan mengganti sisi di depan sudut dan sisi penyiku berturut-turut dengan ordinat dan absis. Berbagai variasi tanda fungsi-fungsi trgonometri dapat dibedakan ke dalam 4 kuadran bidang koordinat.

11 Fungsi trig. di berbagai kuadran Titik pada kuadran I (0 o 90 o ) (mirip pada segitiga siku-siku) P(a,b) P(a,b) Titik pada kuadran II (90 o 180 o ) sinus positif, yang lain negatif. c c Titik pada kuadran I (180 o 270 o ) tangen positif, yang lain negatif. Titik pada kuadran I (270 o 360 o ) c c kosinus positif, yang lain negatif. P(a,b) P(a,b) Mnemonik tanda positif fungsi trigonometri: se-sin-ta-kos atau cukup semua sintaks Bagaimana dengan sudut 0 o, 90 o, 180 o, 270 o dan 360 o?

12 Kuadran dan relasi I Berdasarkan perluasan definisi fungsi trigonometri di atas, maka mudah diperoleh beberapa hubungan sudut-sudut pada berbagai kuadran dengan sudut di kuadran I. Bila 90 o 180 o (Pada kuadran II) Misal = 180 o maka adalah sudut lancip. Perhatikan: + = 180 o, 2 sudut jumlahnya 180 o disebut saling bersuplemen. Jadi, diperoleh dari gambar: sin = sin (180 o ) = sin cos = cos (180 o ) = cos tan = tan (180 o ) = tan Bila 180 o 270 o (Pada kuadran III) Misal = 180 o Jadi, diperoleh dari gambar: maka adalah sudut lancip. sin = sin ( 180 o ) = sin cos = cos ( 180 o ) = cos tan = tan ( 180 o ) = tan

13 Kuadran dan relasi I Bila 270 o 360 o (Pada kuadran IV) Misal = 360 o maka adalah sudut lancip. Jadi, diperoleh dari gambar: sin = sin (360 o ) = sin cos = cos (360 o ) = cos tan = tan (360 o ) = tan

14 Komplemen dan relasi II Terdapat relasi khusus yang disebut komplemen. Dua sudut berkomplemen bila jumlahnya 90 o. Perhatikan gambar. Pada dua sudut berkomplemen, status sisi x dan y saling bertukar tempat. Dengan sifat ini mudah diperoleh bahwa: Untuk pada kuadran I: sin = cos (90 o ), cos = sin (90 o ) tan = cot (90 o ), cot = tan (90 o ) sec = cosec (90 o ), cosec = sec (90 o ) catatan: di sinilah arti penamaan co yang berarti complement. Sifat komplemen ini dapat diperluas pada sudut di kuadran II, III, dan IV. Bila 90 o 180 o (Pada kuadran II) maka sin = cos ( 90 o ), cos = sin ( 90 o ) tan = cot ( 90 o ), cot = tan ( 90 o ) sec = cosec ( 90 o ), cosec = sec ( 90 o )

15 Komplemen dan relasi II Bila 180 o 270 o (Pada kuadran III) maka sin = cos (270 o ), cos = sin (270 o ) tan = cot (270 o ), cot = tan (270 o ) sec = cosec (270 o ), cosec = sec (270 o ) Bila 270 o 360 o (Pada kuadran IV) maka sin = cos ( 270 o ), cos = sin ( 270 o ) tan = cot ( 270 o ), cot = tan ( 270 o ) sec = cosec ( 270 o ), cosec = sec ( 270 o )

16 Sudut negatif dan relasi III Kita mendefinisikan sudut negatif adalah sudut dalam arah yang searah dengan jarum jam. Perhatikan gambar! 360 o - Jika 0 o 360 o maka diperoleh bahwa posisi titik P(a,b) sama baik ditentukan oleh ( ) maupun (360 o ). Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai fungsi trigonometri sudut negatif sama dengan jumlah sudut itu dan 360 o. Oleh karena itu, mudah ditunjukkan bahwa: sin ( ) = sin cos ( ) = cos tan ( ) = tan cot ( ) = cot sec ( ) = sec cosec ( ) = cosec perhatikan bahwa sudut besarnya sebarang (tidak dibatasi yang lancip)

17 Sudut putaran dan relasi IV Kita sudah memperkenalkan sudut positif sebagai putaran berlawanan jarum jam dan sudut negatif sebagai sudut putaran dengan arah jarum jam. Bagaimana bila terus diputar melebihi satu putaran penuh? Misalnya sudut 500 o? Perhatikan seberapapun diputar maka posisi titik P(a,b) akan dapat ditentukan dalam besar sudut kurang dari 360 o. Perhatikan gambar! Mudah ditunjukkan bahwa: sin ( + n.360 o ) = sin perhatikan bahwa n adalah sebarang bilangan bulat, dan fungsi sinus dapat diganti dengan fungsi trgonometri yang mana saja.

18 Lingkaran dan fungsi trigonometri Pada penggunaan koordinat untuk mendefinisikan fungsi trigonometri, oleh karena perbandingan tetap di mana pun titik pada koordinat selama sudut yang terbentuk tetap, maka kita dapat mengasumsikan titik-titik pada bidang koordinat terletak pada sebuah lingkaran. Lebih khusus lagi, bila kita memilih lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Dengan sifat-sifat penggunaan lingkaran itu, fungsi-fungsi trigonometri dikenal pula dengan istilah fungsi sirkular. Berikut diagram hubungan keenam fungsi trigonometri pada lingkaran satuan.

19 Grafik fungsi trigonometri Sekarang kita dapat menggambar grafik fungsi trigonometri pada sumbu koordinat. Cara yang dapat dilakukan dengan mencacah titik demi titik. Tetapi ada cara yang lebih mudah: menggunakan representasi fungsi trigonometri pada lingkaran satuan. Contoh.

20 Grafik fungsi trigonometri Berikut grafik sinus dan komplemennya (kosekan): Grafik y = sin x Grafik y = cosec x

21 Grafik fungsi trigonometri Berikut grafik kosinus dan komplemennya (sekan): Grafik y = cos x Grafik y = sec x

22 Grafik fungsi trigonometri Berikut grafik tangen dan komplemennya (kotangen): Grafik y = tan x Grafik y = cot x

23 Grafik fungsi trigonometri Terlihat pada grafik bahwa masing-masing fungsi trigonometri memiliki bagian kurva yang berulang secara periodik. Selanjutnya panjang interval sudut di mana bagian kurva berulang ulang disebut periode. Untuk grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut 180 o (tan, cot) atau 360 o (sin, cosec, cos, sec) Jarak terjauh titik pada kurva trigonometri terhadap sumbu x disebut dengan amplitudo. Untuk grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut 1 (sin, cos) atau tak-hingga (tan, cot, sec, cosec)

24 Tabel fungsi trigonometri & kalkulator Sejak pertama konsep trigonometri (primitif) dikenal, orang telah menulis nilai-nilainya dalam bentuk tabel. Tabel tali busur yang pertama dari Hipparchus (k.180-k.125 SM) sekitar 140 SM. al-battani (k ) memberikan fungsi kotangens dan daftarnya untuk setiap derajat sudut. Abu al-wafa` yang pertama kali menggunakan tangens dan menyusun tabel tangens & sinus dengan interval 15 menit. yang akurat hingga 8 tempat desimal. Ulugh Beg ( ), bersama al-kasyi dan Qadi Zada al-rumi menyusun tabel berisi daftar sinus dan tangens untuk setiap 1` (satu menit) dan teliti hingga 17 angka desimal. Rheticus ( ) menerbitkan tabel sinus dan kosinus tahun 1596 dengan interval 10 detik. Dengan memperhatikan hasil-hasil pada sudut-sudut berelasi, maka tabel semua fungsi trigonometri sesungguhnya cukup dibuat dari 0 o hingga 45 o. Mengapa? Selain tabel, kini orang telah banyak berpindah pada penggunaan kalkulator (dan komputer). Pada kalkulator ilmiah (scientific cal.) minimal telah disediakan tombol untuk sin, cos, & tan, dan sudut derajat dan radian. Ulugh Beg

25 Koordinat kartesian & koordinat kutub Kedudukan titik (atau umumnya gambar geometri) pada bidang dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara: kordinat kartesian, atau koordinat kutub (polar coordinate). Fungsi trigonometri berguna dalam melakukan konversi dari koordinat kartesian ke koordinat kutub, dan sebaliknya. Perhatikan gambar di bawah. Titip P dapat ditetapkan kedudukannya dengan koordinat (a,b) atau (r, ). Koordinat (a,b) disebut koordinat kartesian, dan koordinat (r, ) disebut koordinat kutub. Dari gambar, jelas dapat diturunkan hubungan sebagai berikut: cos = sin = a r b r atau a = r cos atau b = r sin dengan a 2 + b 2 = r 2 (rumus Pythagoras)

26 Aturan sinus dan aturan kosinus Pada sebarang segitiga dikenal banyak rumus atau aturan yang berlaku, dua di antaranya yang penting adalah Aturan Sinus, Aturan Kosinus. Aturan Sinus berbunyi: Pada sebarang segitiga ABC dengan panjang sisi yang bersesuaian (di hadapan) sudut A dan B berturut-turut a dan b maka berlaku: a b sin A sin B Perhatikan bahwa kita dapat menulis lengkap aturan di atas dengan menggunakan ketiga pasang sudut dan sisi yang bersesuaian yang mungkin, lalu menggabungkan hasil-hasilnya. Aturan Sinus dapat pula digabungkan dengan sifat lingkaran luar segitiga, dan diperoleh hubungan: a 2R sin A dengan a mewakili sebarang sisi segitiga dan A sudut yang bersesuaian.

27 Aturan sinus dan aturan kosinus Aturan Kosinus berbunyi: Pada sebarang segitiga ABC dengan panjang sisi yang bersesuaian (di hadapan) sudut A, B, dan C berturut-turut a, b, dan c maka berlaku: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A atau b c a cos A 2bc Perhatikan bahwa kita cukup menulis satu bentuk di atas, karena permutasi apapun dari a, b,dan c rumus serupa tetap berlaku. (mengapa?)

28 Rumus luas segitiga Kita sebelumnya telah mengenal rumus segitiga yang ditentukan oleh sebarang sisi (sebagai alas) dan tinggi yang bersesuaian. Bagaimana bila luas segitiga ditentukan oleh besar sudut segitiga? Dalam hal ini fungsi trigonometri dapat membantu. Untuk sebarang segitiga ABC dengan a dan b panjang sisi di hadapan berturut-turut sudut A dan B, maka berlaku: Luas segitiga ABC = ½ absin C Perhatikan bahwa pemilihan sisi a dan b dapat diganti sebarang pasangan sisi lain segitiga (sudut C menyesuaikan). Rumus di atas berguna bila diketahui sebarang 2 sisi dan sudut yang diapit. Nah, bila diketahui 2 sudut dan sisi yang bersekutu, kita memperoleh rumus sebagai berikut: 1 2 sin B.sin C Luas segitiga ABC = a 2 sin( B C) Bagaimana bila yang diketahui panjang ketiga sisi segitiga?

29 Jumlah & hasilkali trigonometri Rumus jumlah & selisih sudut: Rumus hasil kali fungsi trig. Rumus jumlah & selisih fungsi trig.

30 Identitas trigonometri Istilah identitas dalam matematika memiliki makna yang beragam. Dalam aljabar, identitas adalah elemen yang tidak mempengaruhi elemen lain terhadap suatu operasi. Secara umum, identitas matematika adalah kalimat terbuka (memuat variabel) yang selalu bernilai benar dalam domain tertentu. Identitas trigonometri adalah identitas yang memuat fungsi trigonometri. Beberapa identitas penting yang dapat diturunkan sebagai berikut: Identitas dari rumus Pythagoras: Identitas aturan sinus: Identitas aturan kosinus: atau Identitas aturan tangen:

31 Identitas trigonometri Identitas jumlah dan selisih sudut. Identitas jumlah dan selisih fungsi trig. Identitas hasil kali fungsi trig.

32 Identitas trigonometri Identitas sudut rangkap. Identitas setengah sudut

33 Identitas trigonometri Identitas pangkat fungsi trig.

34 Identitas trigonometri Identitas rekursif tangen & kotangen sudut rangkap. Identitas tangen untuk rerata sudut. Dan lain-lain.

35 Persamaan trigonometri sederhana Persamaan trigonometri bisa berbagai bentuk dari yang sederhana hingga yang kompleks. Persamaan trigonometri sederhana, berbentuk: Bentuk sin x = c, 0 c 1 Tentukan sudut lancip sedemikian hingga sin = c. Maka penyelesaiannya: x = + k. 360 o atau x = (180 ) + k. 360 o. Bentuk cos x = c, 0 c 1 Tentukan sudut lancip sedemikian hingga cos = c. Maka penyelesaiannya: x = + k. 360 o atau x = (360 ) + k. 360 o. Bentuk tan x = c, 0 c 1 Tentukan sudut lancip sedemikian hingga tan = c. Maka penyelesaiannya: x = + k. 180 o.

36 BUKTI 1 ATURAN SINUS KEMBALI A Untuk sudut C (dan B) lancip. Pada gambar 1, AD sin B c sin C AD b Diperoleh c.sin B = b.sin C atau b sin B c sin C C D B Untuk sudut C (atau B) tumpul AD Pada gambar 2, sin (180 C) sin B b AD c A padahal, sin (180 o C) = sin C Selanjutnya,mudah ditunjukkan b sin B c sin C D C B

37 BUKTI 2 ATURAN SINUS KEMBALI B a A = A 2R = (karena menghadap busur BC) c R O C a a sin A = 2R = 2R sin A b R Dengan cara yang serupa, kita dapat sampai pada A A b 2R = dan 2R = sin B c sin C maka: b sin B c sin C 2R (Aturan Sinus)

38 BUKTI ATURAN KOSINUS KEMBALI Pada gambar 1 maupun 2, c 2 = AD 2 + BD 2 A lalu, sin C AD b atau AD = b. sin C selanjutnya, C D B untuk sudut C (dan B) lancip, maka BD = BC CD = a b.cos C A untuk sudut C (atau B) tumpul, maka BD = BC + CD = a + b.cos (180 o C) = a b.cos C (jadi, sama saja untuk BD). Dengan demikian, c 2 = (b.sin C) 2 + (a b.cos C) 2 D C B = b 2. sin 2 C + a 2 2ab.cos C + b 2.cos 2 C = a 2 + b 2 2ab.cos C (menggunakan sifat sin 2 C + cos 2 C = 1)

39 RUMUS HERON KEMBALI Jika segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c maka rumus luas segitiga sebagai berikut: L = ½ bc sin A = cos 2 bc A 1 = (1 cos )(1 cos ) 2 bc A A b c a Subtitusi cos A menggunakan aturan kosinus, yaitu: cos A 2bc hingga diperoleh: L = = (2 bc b c a )(2 bc b c a ) bc 4 4bc [( ) 2 2 ][ 2 ( ) 2 b c a a b c ] 4 Dengan sedikit manipulasi aljabar dan menulis ½ (a + b + c) = s maka diperoleh: L = s( s a)( s b)( s c)

40 BUKTI RUMUS JUMLAH & SELISIH SUDUT KEMBALI Perhatikan gambar. y P (cos( + ), sin ( + )) y P (cos, sin ) 1 1 O 1 Q (1,0) x O x PQ 2 = [cos( + ) 1] 2 + [sin ( + ) 0] 2 1 Dapat disederhanakan menjadi PQ 2 = 2 2cos ( + ) (i) Juga, P Q 2 = [cos cos ] 2 + [sin sin ] 2 Dapat disederhanakan menjadi P Q 2 = 2 2cos cos + 2sin sin (ii) Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa cos ( + ) = cos cos sin sin Q (cos, sin ) Bagaimana untuk salah satu sudut adalah sudut tumpul, atau kedua-duanya tumpul?

41 BUKTI RUMUS JUMLAH & SELISIH SUDUT KEMBALI Perhatikan gambar. y y O 1 1 Q (1,0) x O 1 Q (cos, sin ) x P (cos( + ), sin ( + )) P (cos, sin ) Jika salah satu sudut adalah sudut tumpul ataupun kedua-duanya tumpul, maka koordinat titik P, P dan Q tidak akan berubah. (titik Q dibuat tetap pada titik (1,0))

42 BUKTI RUMUS JUMLAH & SELISIH SUDUT KEMBALI Dari sifat cos ( + ) = cos cos sin sin (1) dengan mengganti dengan diperoleh cos ( ) = cos cos + sin sin (2) Dengan sifat sin ( + ) = cos (90 o ( + )) = cos ((90 o ) )) dan sifat (2) diperoleh sin ( + ) = sin cos + cos sin (3) Dari sifat (3) dengan mengganti dengan diperoleh sin ( ) = sin cos cos sin (4) Dari sifat tan ( + ) = sin ( + ) /cos ( + ), sifat (3), sifat (1) lalu membagi pembilang & penyebut dengan cos.cos, diperoleh tan ( + ) = (tan + tan )/(1 tan tan ) (5) Dari sifat (5) dengan mengganti dengan diperoleh tan ( ) = (tan tan )/(1 + tan tan ) (6)

43 BUKTI RUMUS HASIL KALI FUNGSI TRIG KEMBALI Diketahui cos ( + ) = cos cos sin sin (1) cos ( ) = cos cos + sin sin (2) sin ( + ) = sin cos + cos sin (3) sin ( ) = sin cos cos sin (4) Jumlahkan (2) & (3) lalu bagi 2, maka diperoleh: sin cos = ½ [sin ( + ) + sin ( )] (7) Jumlahkan (1) & (2) lalu bagi 2, maka diperoleh: cos cos = ½ [cos ( + ) + cos ( )] (8) Ambil selisih (1) & (2) lalu dibagi 2, maka diperoleh: sin sin = ½ [cos ( + ) cos ( )] (9)

44 Sumardyono, M.Pd. BUKTI RUMUS JUMLAH & SELISIH FUNGSI TRIG KEMBALI Diketahui sin cos = ½ [sin ( + ) + sin ( )] (7) cos cos = ½ [cos ( + ) + cos ( )] (8) sin sin = ½ [cos ( + ) cos ( )] (9) Dari (7) dengan memisal A = + dan B = diperoleh: sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A B) (10) Dari (8) dengan memisal A = + dan B = diperoleh: cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A B) (11) Dari (9) dengan memisal A = + dan B = diperoleh: cos A cos B = 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A B) (10)

45 TERIMA KASIH

MAKALAH MATEMATIKA TRIGONOMETRI

MAKALAH MATEMATIKA TRIGONOMETRI MAKALAH MATEMATIKA TRIGONOMETRI DISUSUN OLEH : Nama Kelompok : Nurul Fadhila Larasati Nur Faizah Mujahidah Azzam Safitri Ramadhani Sitti Masyita Sitti Rabithatul Jannah Kelas Guru Mata Pelajaran : XI IPA

Lebih terperinci

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan: Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut

Lebih terperinci

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama.

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama. Gracia Education Page 1 of 6 Trigonometri Pengertian Dasar Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga selalu 180. Segitiga-segitiga istimewa: 1. Segitiga Siku-siku (Right-angled Triangle) - Salah satu sudutnya

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

TRIGONOMETRI. B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa TRIGONOMETRI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI A Nilai Perbandingan Trigonometri Perhatikan segitiga berikut! Y Sin = r y Cosec = y r r y Cos = r x Sec = x r O x X Tan = x y Cotan = y x Selanjutnya nilai perbandingan

Lebih terperinci

Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx

Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri

Lebih terperinci

MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II

MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II MODUL MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel http://meetabied.wordpress.com TRIGONOMETRI Standar Kompetensi : Menggunakan perbandingan fungsi,

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan BB TRIGONOMETRI RINGKSN MTERI. Perbandingan C a B c b a proyektor b proyektum c proyeksi b a + c sin b a cos b c tan sin a cos c. Sifat-sifat Kwadran csc sec cot b sin a b cos c c tan a sin + cos tan +

Lebih terperinci

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI L - W (Lembar ktivitas Warga elajar) PERNDINGN FUNGSI, PERSMN, DN IDENTITS TRIGONOMETRI Oleh: Hj. IT YULIN, S.Pd, M.Pd MTEMTIK PKET C TINGKT V DERJT MHIR 1 SETR KELS X Created y Ita Yuliana 51 Perbandingan

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Matematika

TRIGONOMETRI Matematika TRIGONOMETRI FTP UB Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Sudut Rotasi

Lebih terperinci

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI D. Rumus Perbandingan Trigonometri di Semua Kuadran Dalam pembahasan sebelumna, kita telah melihat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa ang besarna

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri :

TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri : SMA - TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cous dan Tangen Sin r y r y Cos r x x Tan x y Hubungan Fungsi Trigonometri :. + cos. tan 3. sec cos cos 4. cosec 5. cotan cos 6. tan + sec + cos + cos cos cos cos tan

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi

TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi Pelatihanosn.com TRIGONOMETRI Konversi Sudut = π putaran= rad = 6 menit 36 8 (6 ) = 36 detik (36") rad = 8 π = π putaran ket : yang didalam kurung merupakan cara penulisan Perbandingan Geometri sin t =

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas

Lebih terperinci

BAB 3 TRIGONOMETRI. Gambar 3.1

BAB 3 TRIGONOMETRI. Gambar 3.1 Standar Kompetensi BAB TRIGONOMETRI Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Kompetensi Dasar. Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung

Lebih terperinci

Siswa menyelesaikan soal-soal prasyarat pada modul.

Siswa menyelesaikan soal-soal prasyarat pada modul. DOKUMENTASI Guru mengucapkan salam kepada siswa. Guru memberikan apersepsi dan motivasi melalui pendahuluan yang terdapat pada awal Modul III dimana berisi hal-hal yang akan dipelajari pada Modul III.

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Lampiran 4 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) SIKLUS I : Pertemuan I

Lampiran 4 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) SIKLUS I : Pertemuan I 53 Lampiran 4 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) SIKLUS I : Pertemuan I Nama Sekolah : SMA... Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X (Sepuluh) / Genap Standar Kompetensi : 5. Menggunakan

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI

LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI NAMA : KELAS : A. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SUDUT TRIGONOMETRI 1. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sin dan Cos Kegiatan 1 Perhatikan segitiga ABC di Samping! LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI

Lebih terperinci

5. TRIGONOMETRI II. A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1) sin (A B) = sin A cos B cos A sin B 2) cos (A B) = cos A cos B sin A sin B.

5. TRIGONOMETRI II. A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1) sin (A B) = sin A cos B cos A sin B 2) cos (A B) = cos A cos B sin A sin B. 5. TRIGONOMETRI II A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut ) sin (A B) = sin A cos B cos A sin B ) cos (A B) = cos A cos B sin A sin B tan A tan B ) tan (A B) = tan A tan B. UN 00 Nilai sin 5º cos 5º + cos 5º

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI 5.1 Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menyebutkan definisi sinus, cosinus dan tangen dalam segitiga

Lebih terperinci

Trigonometri. Trigonometri

Trigonometri. Trigonometri Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih ; Dua Sudut, dan Sudut Ganda Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Pernahkah

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Hario Pamungkas 4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai

Lebih terperinci

Modul 10. Fungsi Trigonometri

Modul 10. Fungsi Trigonometri Modul 10 Fungsi Trigonometri 10.1. Fungsi Gonometri Sudut Lancip A c a b 0 A Sudut adalah sudut lancip dengan titik sudut 0, sedang titik A adalah salah satu titik pada kaki sudut tersebut. Jika 0A diproeksikan

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

BAB VII. TRIGONOMETRI

BAB VII. TRIGONOMETRI BAB VII. TRIGONOMETRI 5. tan (A + B) tan A + tan B tan A.tan B Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen r x Hubungan Fungsi Trigonometri :. sin +. tan 3. sec 4. cosec 5. cotan cos sin cos cos sin cos sin Sin

Lebih terperinci

22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA)

22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA) 22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA) NO. 1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 09/2

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 09/2 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 09/ Nama Sekolah : SMK Diponegoro Lebaksiu Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X / Alokasi Waktu : 8 45 menit ( pertemuan) Standar Kompetensi Kompetensi

Lebih terperinci

MAKALAH SEGITIGA BOLA. disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Astronomi. Program Studi Pendidikan Fisika. oleh. 1. Dyah Larasati ( )

MAKALAH SEGITIGA BOLA. disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Astronomi. Program Studi Pendidikan Fisika. oleh. 1. Dyah Larasati ( ) MAKALAH SEGITIGA BOLA disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Astronomi Program Studi Pendidikan Fisika oleh 1. Dyah Larasati (4201412042) 2. Lina Kurniawati (4201412091) 3. Qonia Kisbata Rodiya (4201412116)

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

2. Untuk interval 0 < x < 360, nilai x yang nantinya akan memenuhi persamaan trigonometri cos x 2 sin x = 2 3 cos adalah

2. Untuk interval 0 < x < 360, nilai x yang nantinya akan memenuhi persamaan trigonometri cos x 2 sin x = 2 3 cos adalah Soal Babak Semifinal OMITS 007. Hubungan antara a dan b agar fungsi f x = a sin x + b cos x mempunyai nilai stasioner di x = π adalah a. a = b b. a = b d. a = b e. a = b a = b. Untuk interval 0 < x < 60,

Lebih terperinci

Semua Trigonometriku

Semua Trigonometriku Semua Trigonometriku Kiki Rizkiyah - Pendidikan Matematika - Universitas Negeri Jakarta Sumber: 123rf.com Trigonometri, trigonometri, trigonometri.. Kamu yang sekarang duduk di bangku SMA kelas X pasti

Lebih terperinci

C. y = 2x - 10 D. y = 2x + 10

C. y = 2x - 10 D. y = 2x + 10 1. Diantara himpunan berikut yang merupakan himpunan kosong adalah... A. { bilangan cacah antara 19 dan 20 } B. { bilangan genap yang habis dibagi bilangan ganjil } C. { bilangan kelipatan 3 yang bukan

Lebih terperinci

III HASIL DAN PEMBAHASAN

III HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =

Lebih terperinci

Trigonometri. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com

Trigonometri. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com Bab Trigonometri A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin,

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

RANGKUMAN MATERI TRIGONOMETRI (SK 4)

RANGKUMAN MATERI TRIGONOMETRI (SK 4) RNGKUMN MTERI TRIGONOMETRI (SK 4). Perbandingan Trignmetri. Perbandingan trignmetri dan terema Phytagras Pada sebuah segitiga siku-siku berlaku: Terema Phytagras: Sisi miring (terpanjang) kuadrat sama

Lebih terperinci

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI BALONGAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Kode. Dok PBM.0 Edisi/Revisi A/0 Tanggal 7 Juli 07 Halaman dari 8 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Lebih terperinci

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)

Lebih terperinci

SILABUS ALOKASI WAKTU T M P S P I SUMBER BELAJAR MATERI PEMBELAJARAN KOMPETENSI DASAR INDIKATOR. Kuis Tes lisan Tes tertulis Pengamatan Penugasan

SILABUS ALOKASI WAKTU T M P S P I SUMBER BELAJAR MATERI PEMBELAJARAN KOMPETENSI DASAR INDIKATOR. Kuis Tes lisan Tes tertulis Pengamatan Penugasan SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.1 : 57 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil Dua atau lebih bilangan bulat

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN. yang signifikan model problem based learning terhadap prestasi belajar

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN. yang signifikan model problem based learning terhadap prestasi belajar BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Dari hasil analisis data dan pembahasan disimpulkan bahwa ada pengaruh yang signifikan model problem based learning terhadap prestasi belajar matematika siswa kelas

Lebih terperinci

BAB 1 HIMPUNAN Definisi Mengenal lambang himpunan. Bentuk himpunan

BAB 1 HIMPUNAN Definisi Mengenal lambang himpunan. Bentuk himpunan BAB 1 HIMPUNAN Definisi Himpunan adalah kumpulan benda-benda dan unsur-unsur yang telah didefinisikan dengan jelas dan juga memiliki sifat keterikatan tertentu. Mengenal lambang himpunan. Suatu himpunan

Lebih terperinci

KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG

KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG Jumlah 50 Bentuk Pilihan Ganda Standar Kompetensi : Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar : Menggunakan

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

Dari gambar jaring-jaring kubus di atas bujur sangkar nomor 6 sebagai alas, yang menjadi tutup kubus adalah bujur sangkar... A. 1

Dari gambar jaring-jaring kubus di atas bujur sangkar nomor 6 sebagai alas, yang menjadi tutup kubus adalah bujur sangkar... A. 1 1. Diketahui : A = { m, a, d, i, u, n } dan B = { m, e, n, a, d, o } Diagram Venn dari kedua himpunan di atas adalah... D. A B = {m, n, a, d} 2. Jika P = bilangan prima yang kurang dari Q = bilangan ganjil

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN

MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN 1. Satuan Sudut Radial DALIL ILMU UKUR Besar sudut pusat sebuah lingkaran, sama dengan bilangan yang menyatakan

Lebih terperinci

Nama Sekolah :... Perbandingan trigonometri Panjang sisi dan besar susut segitiga siku siku Perbandingan trigonometri diberbagai kuadran

Nama Sekolah :... Perbandingan trigonometri Panjang sisi dan besar susut segitiga siku siku Perbandingan trigonometri diberbagai kuadran RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah :... Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : XI/3 Pertemuan ke : 1, 2, 3 dan 4 Alokasi Waktu : 8 x 45 Standar Kompetensi : Menerapkan perbandingan,

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. 5. tan (A + B) = tan A.tan. Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen. 6. tan (A - B) = Sin α = r. Rumus-rumus Sudut Rangkap :

TRIGONOMETRI. 5. tan (A + B) = tan A.tan. Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen. 6. tan (A - B) = Sin α = r. Rumus-rumus Sudut Rangkap : TRIGONOMETRI 5. tan (A + B) tan A + tan B tan A.tan B Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen r Hubungan Fungsi Trigonometri :. sin +. tan. sec 4. cosec 5. cotan 6. 7. cos sin cos cos sin cos sin tan + cot

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

37 37 LAMPIRAN-LAMPIRAN

37 37 LAMPIRAN-LAMPIRAN LAMPIRAN-LAMPIRAN 37 Lampiran 1 38 39 Lampiran Pertemuan... siklus... Lembar Observasi Pengelolaan Pembelajaran No Aspek yang diamati A. Apresiasi 1. Menjelaskan tujuan pembelajaran.. Menjelaskan materi

Lebih terperinci

matematika LIMIT TRIGONOMETRI K e l a s Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika LIMIT TRIGONOMETRI K e l a s Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 6/ matematika K e l a s XI LIMIT TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menghitung it fungsi trigonometri di suatu

Lebih terperinci

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004 DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Sumbu mendatar disebut absis Sumbu vertical disebut ordinat Maka sumbu mendatar dg sumbu vertical ketemu suatu titik A disebut Koordinat Kwd II A(2,2) Vertikal Y B(-3,3) Horisontal

Lebih terperinci

Robot Besar Canadarm

Robot Besar Canadarm Sumber: www.wikipedia.com Robot Besar Canadarm Segitiga siku-siku? Tentu istilah ini telah kalian kenal sejak kecil. Jenis segitiga ini memang pantas dipelajari sebab bangun datar ini memiliki banyak terapan.

Lebih terperinci

KISI KISI LOMBA KOMPETENSI SISWA SMK TINGKAT PROVINSI JAWA TIMUR 2014

KISI KISI LOMBA KOMPETENSI SISWA SMK TINGKAT PROVINSI JAWA TIMUR 2014 LKS SMK 214 Bidang : Matematika Teknologi KISI KISI LOMBA KOMPETENSI SISWA SMK TINGKAT PROVINSI JAWA TIMUR 214 1 Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aljabar memaham, mengaplikasikan, menganalisai

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA SOAL Perhatikan segitiga di bawah ini! Tentukan nilai sec cosec cot INGAT definisi: sin depan miring cosec sin miring depan cos samping

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap

Lebih terperinci

Tabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional

Tabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional Rekap Nilai Ujian Nasional tahun 2011 Pada tahun 2011 rata-rata nilai matematika 7.31, nilai terendah 0.25, nilai tertinggi 10, dengan standar deviasi sebesar 1.57. Secara rinci perolehan nilai Ujian Nasional

Lebih terperinci

MAT. 09. Trigonometri 1

MAT. 09. Trigonometri 1 MAT. 09. Trigonometri Kode MAT.09 Trigonometri SUDUT SIN COS TAN 0 0 0 0 0 0 45 0 60 0 90 0 0 BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Trigonometri. Bab. Sudut Derajat Radian Kuadran Perbandingan Sudut (Sinus,Cosinus, tangen, cotangen, cosecan, dan secan) Identitas trigonometri

Trigonometri. Bab. Sudut Derajat Radian Kuadran Perbandingan Sudut (Sinus,Cosinus, tangen, cotangen, cosecan, dan secan) Identitas trigonometri Bab Trigonometri A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur

Lebih terperinci

PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA

PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajaran Trigonometri SMA Penulis: Al. Krismanto, M.Sc. Penilai: Winarno, M.Sc. Editor: Sri Wulandari Danubroto, S.Si, M.Pd. Ilustrator: Fadjar Noer

Lebih terperinci

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008 Soal Babak Penyisihan OMITS 008. Banyak pembagi positif dari.50.000 adalah..... a. 05 b. 0 c. 75 d. 0 e.5. Jari-jari masing-masing lingkaran adalah 5 cm. Tentukan panjang busur ketiga lingkaran tersebut.....

Lebih terperinci

LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-25

LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-25 LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-25 Babak Penyisihan Tingkat SMA Minggu, 9 November 20 HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1999

Matematika EBTANAS Tahun 1999 Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar

Lebih terperinci

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan

Lebih terperinci

Pola (1) (2) (3) Banyak segilima pada pola ke-15 adalah. A. 235 C. 255 B. 250 D Yang merupakan bilangan terbesar adalah. A. C. B. D.

Pola (1) (2) (3) Banyak segilima pada pola ke-15 adalah. A. 235 C. 255 B. 250 D Yang merupakan bilangan terbesar adalah. A. C. B. D. SOAL SELEKSI AWAL 1. Suhu dalam sebuah lemari es adalah 15 o C di bawah nol. Pada saat mati listrik suhu dalam lemari es meningkat 2 o C setiap 120 detik. Jika listrik mati selama 210 detik, suhu dalam

Lebih terperinci

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA 1.1 Pangkat Bulat A. Pangkat Bulat Positif B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol C. Notasi Ilmiah D. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Lebih terperinci

Kelompok : SMK Tingkat : XII ( Duabelas ) Bidang Keahlian : Ti, Kes, Sos Hari/Tanggal : Prog. Keahlian : Ti, Kes, Sos W a k t u : 0

Kelompok : SMK Tingkat : XII ( Duabelas ) Bidang Keahlian : Ti, Kes, Sos Hari/Tanggal : Prog. Keahlian : Ti, Kes, Sos W a k t u : 0 Kelompok : SMK Tingkat : XII ( Duabelas ) Bidang Keahlian : Ti, Kes, Sos Hari/Tanggal : Prog. Keahlian : Ti, Kes, Sos W a k t u : 0 PETUNJUK UMUM :. Isikan identitas Anda ke dalam Lembar Jawaban Komputer

Lebih terperinci

PAKET 4. Paket : 4. No Soal Jawaban 1 Luas Segiempat PQRS pada gambar di bawah ini adalah. A. 120 cm 2 B. 216 cm 2 C. 324 cm 2 D. 336 cm 2 E.

PAKET 4. Paket : 4. No Soal Jawaban 1 Luas Segiempat PQRS pada gambar di bawah ini adalah. A. 120 cm 2 B. 216 cm 2 C. 324 cm 2 D. 336 cm 2 E. PAKET 4 Jumlah Soal : 0 soal Kompetensi :. Bangun Datar. Trigonometri. Bangun Ruang 4. Barisan dan Deret Compile By : Syaiful Hamzah Nasution No Soal Jawaban Luas Segiempat PQRS pada gambar di bawah ini

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

DESKRIPSI PEMELAJARAN

DESKRIPSI PEMELAJARAN DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : Matematika TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas : 3A3 Tanggal Pengumpulan : 14 Desember 2015

Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas : 3A3 Tanggal Pengumpulan : 14 Desember 2015 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA TAHUN 2015 Mata Kuliah Dosen Pengampu : : Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30 Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 005 Nomor Soal: -30. Garis 5y 60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI 3. A. Aturan Sinus dan Cosinus 11/20/2015. Peta Konsep. A. Aturan Sinus dan Kosinus. Nomor W4801 Aturan Sinus

TRIGONOMETRI 3. A. Aturan Sinus dan Cosinus 11/20/2015. Peta Konsep. A. Aturan Sinus dan Kosinus. Nomor W4801 Aturan Sinus Jurnal Materi Umum Perbandingan dan Trigonometri Peta Konsep Peta Konsep Daftar Hadir Materi SoalLatihan TRIGONOMETRI 3 Kelas XI, Semester 4 A. Aturan Sinus dan Kosinus Ukuran Sudut Perbandingan trigonometri

Lebih terperinci

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1 PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)

Lebih terperinci

Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5

Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5 Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA. SD Kelas 4, 5, 6

Ringkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA. SD Kelas 4, 5, 6 Ringkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA SD Kelas 4, 5, 6 1 Matematika A. Operasi Hitung Bilangan... 3 B. Bilangan Ribuan... 5 C. Perkalian dan Pembagian Bilangan... 6 D. Kelipatan dan Faktor

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

Geometri Bangun Datar. Suprih Widodo, S.Si., M.T.

Geometri Bangun Datar. Suprih Widodo, S.Si., M.T. Geometri Bangun Datar Suprih Widodo, S.Si., M.T. Geometri Adalah pengukuran tentang bumi Merupakan cabang matematika yang mempelajari hubungan dalam ruang Mesir kuno & Yunani Euclid Geometri Aksioma /postulat

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

SILABUS INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN KHARAKTER

SILABUS INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN KHARAKTER SILABUS NAMA SEKOLAH : SMK Negeri 1 Surabaya MATA PELAJARAN : MATEMATIKA (Kelompok Teknologi Informasi) KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil

Lebih terperinci

INFORMASI PENTING. No 1 Bilangan Bulat. 2 Pecahan Bentuk pecahan campuran p dapat diubah menjadi pecahan biasa Invers perkalian pecahan adalah

INFORMASI PENTING. No 1 Bilangan Bulat. 2 Pecahan Bentuk pecahan campuran p dapat diubah menjadi pecahan biasa Invers perkalian pecahan adalah No RUMUS 1 Bilangan Bulat Sifat penjumlahan bilangan bulat a. Sifat tertutup a + b = c; c juga bilangan bulat b. Sifat komutatif a + b = b + a c. Sifat asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) d. Mempunyai

Lebih terperinci

Ujian Nasional Tahun 2003 Matematika

Ujian Nasional Tahun 2003 Matematika Ujian Nasional Tahun 00 Matematika MK-TEK-0-0 Skala suatu peta : 00.000. Jika jarak kota A dan kota B pada peta,5 cm, maka jarak kota A dan kota B sebenarnya 0,5 km,5 km,5 km 5 km.50 km MK-TEK-0-0 Pada

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA

KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA ANDI SYAMSUDDIN Guru Mata Pelajaran Matematika Pada SMP Negeri 8 Kota Sukabumi SMP NEGERI 8 KOTA SUKABUMI DINAS PENDIDIKAN KOTA SUKABUMI 009 Yang bertanda

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI

. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI Suatu titik menyatakan letak atau posisi dari sesuatu yang tidak mempunyai ukuran, maka titik tidak mempunyai ukuran. Dikatakan bahwa titik berdimensi nol (tak

Lebih terperinci