Bab 5. Perbandingan dan Fungsi Trigonometri. Materi Pembelajaran: Tujuan Pembelajaran:

Transkripsi

1 Bab 5 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri Materi Pembelajaran: Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku. Hubungan Perbandingan Trigonometri Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Pengukuran Sudut Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran Sudut Berelasi Koordinat Kutub Identitas Trigonometri Grafik Fungsi Trigonometri Persamaan Trigonometri Aturan Sinus dan Aturan Cosinus Luas Segitiga Menyelesaikan model Matematika yang Berhubungan dengan Trigonometri Tujuan Pembelajaran: Siswa diharapkan mampu: Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitasi trigonometri. Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 0

2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh. Bab 5 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri Pengantar Konon, ketika berada di Mesir, Thales ( 600 SM) diminta oleh raja untuk mengetahui tinggi sebuah pyramid. Thales tidak segera menjawab pertanyaan raja tersebut, tapi ia menunggu hingga saat siang ketika bayangan tubuhnya sama panjang dengan tinggi tubuhnya sendiri. Kemudian dia mengukur panjang bayangan pyramid, yang tentu saja sama dengan tinggi pyramid tersebut. Dan terjawablah pertanyaan sang raja. Mungkin kamu bertanya-tanya, apa hubungan cerita di atas dengan trigonometri. Biar kamu semakin penasaran, simak kisah Alex dengan hobby sepak bolanya berikut: Alex sejak kecil senang bermain sepak bola, saking gilanya dengan bola hampir setiap sore dia dengan teman-temannya bermain sepak bola di lapangan. Dan agak berbeda dengan kebanyakan teman lainnya, Alex lebih suka bermain sebagai penjaga gawang. Maka jangan heran kalau pemain favoritnya bukanlah Ronaldinho atau David beckham, tapi Peter chech, itu penjaga gawangnya Chelsea yang diarsiteki Mourinho, pelatih yang sering membuat kontroversi asal Portugal. Nah, suatu sore ketika sedang bermain dan dia berdiri dibawah mistar gawangnya, tanpa sengaja ia memperhatikan bayangan tubuhnya sendiri dan juga ujung bayangan pohon cemara yang terletak beberapa meter disampingnya. Timbul keinginan iseng Alex untuk mengukur bayangan tubuhnya dan bayangan pohon cemara itu. Karena ia tidak membawa alat untuk mengukur, ia mengukur bayangan tubuhnya dengan panjang langkahnya. Ternyata bayangan tubuhnya dua langkah. Ia kemudian menegok ke belakang ke arah pohon cemara yang berdiri di belakangnya. Setelah itu, ia kembali Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 0

3 memperhatikan permainan di lapangan. Dan karena bola banyak berada di mulut gawang lawan dan sejauh ini boleh dibilang gawangnya sejak awal permainan tidak terancam, Alex memutuskan untuk mengukur bayangan pohon cemara itu. Ia pun melangkah dari ujung bayangan pohon sampai ke tempat pohon itu berdiri. Ternyata panjang bayangan pohon itu 0 langkahnya. Dan ketika dia masih berada di bawah pohon cemara itu, ternyata lawannya melakukan counter attack dengan sangat cepat. Alex berlari ke arah gawang, tapi bola yang ditendang lawan ternyata lebih cepat melesak dan bersarang ke gawangnya. Gol! Gawang Alex kebobolan. Dan tentu saja dia dimarahi temantemannya, tapi sebagian malah pada tertawa. Untung itu terjadi hanya ketika latihan, tidak dalam pertandingan sungguhan. Karena masih penasaran, sesampai di rumah Alex mengambil penggaris. Ternyata satu langkahnya, panjangnya sama dengan 55 cm. Ia tahu tinggi badannya adalah 65 cm. Berapakah tinggi pohon cemara tersebut? Perhatikan bahwa ketika mengukur panjang banyangan tubuhnya ia melakukannya sendiri tanpa bantuan orang lain. Bagaimana caranya? Ingat bahwa ketika Alex bergerak maka bayangannya juga akan ikut bergerak! Salah satu cara yang bisa dilakukan Alex adalah ia membuat tanda di atas rumput, misalnya dengan batu. Kemudian di berjalan ke depan mencari posisi berdiri sedemikian rupa sehingga ujung bayangan tubuhnya tepat di batu. Jarak dari posisinya berdiri ke batu merupakan panjang bayangan tubuh Alex. Apakah kamu bisa menemukan cara yang lain? Karena panjang bayangan tubuhnya dua langkah dan diketahui satu langkah itu sama dengan 55 cm, sehingga panjang bayangannya x 55 = 0 cm. sementara bayangan pohon itu 0 langkah sama dengan 0 x 55 = 650 cm Untuk mengukur tinggi pohon cemara Alex tidak perlu memanjat pohon itu sampai ke ujungnya yang paling atas. Selain sulit, juga akan berisiko! Ternyata yang dilakukan Alex adalah membandingkan antara panjang bayangannya dengan panjang bayangan pohon yang akan sama dengan perbandingan tinggi tubuhnya dengan tinggi pohon cemara itu.? 65 cm cm 0 cm Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 0

4 Bayangan Alex Tinggi Alex Alex pohon Bayangan pohon Tinggi pohon Misalkan tinggi pohon cemara itu = t t t = 65 x 650 t Jadi tinggi pohon itu adalah.475 cm atau 4,75 m. 5.. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku Masih penasaran, apa hubungan tinggi pyramid, tinggi pohon cemara dengan trigonometri? Baiklah, sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Misalkan garis g dan l berpotongan di titik A. C g C C A B B B l Gambar 6..a Jika C adalah sembarang titik pada garis g maka proyeksi AC pada garis l adalah AB. AC disebut proyektum (benda yang diproyeksikan) AB disebut proyeksi AC (hasil proyeksi AC pada garis l) BC disebut proyektor AC Dari gambar di atas tampak bahwa segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku di B. Dengan cara yang sama, jika C dan C adalah sembarang titik pada garis g, maka proyeksi AC dan AC berturut-turut adalah AB dan AB. Sehingga diperoleh segitiga segitiga AB C yang siku-siku di B dan segitiga AB C yang Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 04

5 siku-siku di B. Dengan demikian segitiga ABC, AB C dan AB C sebangun. Oleh karena itu berlaku hubungan: BC AC B' C' AC' B" C" AC" Pr Pr oyektor oyektum AB AC AB' AC' AB" AC" Pr oyeksi Pr oyektum BC AB B' C' AB' B" C" AB" Pr oyektor Pr oyeksi Dengan kata lain, jika sudut yang dibentuk oleh garis g dan garis l tetap (sudut A) maka untuk sembarang titik C pada garis g, nilai perbandingan antar proyektum, proyektor, dan proyeksi selalu tetap. Dengan demikian nilai-nilai perbandingan tersebut dapat dijadikan sebagai ukuran suatu sudut. Dan sebaliknya, nilai-nilai perbandingan tersebut tergantung pada besarnya sudut. Nilai-nilai perbandingan itu disebut nilai perbandingan trigonometri dari sudut A. Nah, sekarang kamu sudah mengerti kan hubungan Thales dan pyramid atau Alex dan pohon cemara dengan trigometri?! Sekarang kita akan memfokuskan diri pada segitiga ABC di atas. Dengan memperhatikan letak sisi-sisi terhadap sudut A diperoleh nilai perbandingan trigonometri sebagai berikut: BC Pr oyektor AC Pr oyektum disebut sinus sudut A dan ditulis sin A AB Pr oyeksi AC Pr oyektum disebut cosinus sudut A dan ditulis cos A BC Pr oyektor AB Pr oyeksi disebut tangen sudut A dan ditulis tg A AC Pr oyektum BC Pr oyektor disebut cosecan sudut A dan ditulis cosec A Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 05

6 AC Pr oyektum AB Pr oyeksi disebut secan sudut A dan ditulis sec A AB Pr oyeksi BC Pr oyektor disebut cotangen sudut A dan ditulis ctg A Perhatikan segitiga siku-siku ABC berikut ini. C b a A c B Gambar 6..b Misalkan: sisi di depan sudut A, yaitu sisi BC = a sisi di depan sudut B, yaitu sisi AC = b sisi di depan sudut C, yaitu sisi AB = c Nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut A adalah: sin A = b a cos A = b c tg A = c a cosec A = a b sec A = c b ctg A = a c Catatan: Dalam beberapa buku, istilah lain dari perbandingan trigonometri adalah nisbah trigonometri. Sisi BC=a disebut sisi di hadapan sudut A, Sisi AB=c disebut sisi di dekat sudut, dan sisi AC=b disebut hipotenusa. Sehingga perbandingan- perbandingan trigonometri sudut A didefinisikan sebagai berikut: Sin A = sisi dihadapan sudut hipotenusa A Cosec A = hipotenusa sisi dihadapan sudut A Cos A = sisi didekat sudut A hipotenusa Sec A = hipotenusa sisi didekat sudut A Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 06

7 Tg A = sisi dihadapan sudut A sisi didekat sudut A Ctg A = sisi didekat sudut A sisi dihadapan sudut A Contoh : Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut B pada segitiga ABC yang siku-siku di A berikut: A 8 B 0 C Jawab: Karena segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku terorema phytagoras: AB BC AC AB 0 8 AB AB 6 6 Nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut B adalah: sin B = AC BC 8 4 cosec B = 0 5 BC AC cos B = tg B = AB BC AC AB 6 sec B = ctg B = 6 BC AB AB AC Hubungan Perbandingan Trigonometri b Perhatikan bahwa cosec A = = a a b = sin A (ingat sin A = b a ) Jadi diperoleh hubungan cosec A = sin A Bisakah kamu menunjukkan hubungan perbandingan trigonometri berikut ini? Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 07

8 . sec A =. tg A = cos A sin A cos A. ctg A = cos A sin A tg A Dari apa yang sudah kita kerjakan di atas, maka kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:. cosec A = sin A atau sin A = cos ec A. sec A =. ctg A = atau cos A = cos A sec A atau tg A = tg A ctg A 4. tg A = sin A cos A atau ctg A = cos A sin A Hubungan-hubungan seperti di atas memungkinkan kita untuk menentukan keenam nilai perbandingan trigonometri dengan lebih mudah, yaitu cukup dengan mempelajari dua definisi dasar perbandingan trigonometri: Sin dan Cos. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Contoh : Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut C pada segitiga ABC yang siku-siku di B berikut: C 5 A B Jawab: Soal ini bisa kita kerjakan dengan cara seperti contoh sebagai berikut: Karena segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku terorema phytagoras: AB AC BC Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 08

9 AB 5 AB 69 5 AB 44 Nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut C adalah: AB sin C = cosec C = AC BC 5 cos C = sec C = AC AB tg C = ctg C = BC 5 AC AB AC BC 5 BC AB 5 Cara lain, kita cukup menentukan Sin C dan Cos C saja. Sementara nilai perbandingan trigonometri yang lain kita tentukan dengan menggunakan hubungan perbandingan trigonemetri di atas. AB sin C = cos C = AC BC AC cosec C = sinc sec C = cos C 5 5 sin C 5 tg C = x tg C = ctg C 5 cos C Latihan Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada segitiga-segitiga berikut!... cm 4cm cm cm cm cm Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 09

10 9 cm cm 4cm 5cm Pada segitiga ABC yang siku-siku di B, panjang AB = c, panjang AC = b, dan panjang BC = a. Tentukan pertandingan trigonometri untuk sudut BAC, jika diketahui: 6. a = cm dan b = cm 7. b = 5cm dan c = cm 8. a = cm dan b = 5cm Tentukan nilai perbandingan trigonometri yang lain jika diketahui adalah sudut lancip! 9. sin = 5 0. cos = tg = 7 Segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang AC = 6 cm, panjang BC = 8 cm, dan besar sudut BAC =. Tentukan:. sin. cos 4. tg 5. sec 6. cosec Segitiga PQR siku-siku di Q dengan panjang PQ = cm, panjang QR = 9 cm, dan besar sudut QPR =. Tentukan: 7. tg 8. ctg 9. sec 0. cosec Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 0

11 5.. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Sudut istimewa adalah suatu sudut dimana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan tanpa menggunakan alat bantu daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut istimewa tersebut adalah 0, 0, 45, 60, dan 90. Dengan menggunakan dasar-dasar geometri, kita dapat menentukan keenam nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa. Siap untuk memulainya? Perhatikan segitiga sama sisi ABC seperti gambar di bawah berikut. Berapa besar masing-masing sudutnya? Betul, masing-masing besar sudutnya adalah 60. Bisakah kamu menjelaskan dari mana asalnya? B B a a a A 60 a A D a a C C Gambar 6..a Gambar 6..b Misalkan panjang sisi AB = a satuan, karena segitiga ABC sama sisi maka panjang sisi AC = panjang sisi BC = panjang sisi AB = a satuan. Garis bagi sudut A (garis AD) membagi sudut A menjadi dua bagian yang sama besar dan juga membagi sisi BC menjadi dua bagian yang sama panjang. Dengan demikian diperoleh: BAD = CAD = 0 dan BD = CD = a satuan. Sekarang perhatikan segitiga ABD yang siku-siku di D. BAD = 0, ABD = 60, AB = a, dan BD = a. Dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh: AD AB BD (a) a 4a a a AD = a a Dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh keenam nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0 sebagai berikut: BD a Sin BAD = Sin 0 = AB a AD a Cos BAD = Cos 0 = AB a Dengan menggunakan hubungan perbandingan trigonometri, kita peroleh: Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

12 sin0 Tg 0 = cos0 Cosec 0 = sin0 Sec 0 = cos0 cos0 Ctg 0 = sin0 Dengan cara yang sama, kita peroleh keenam nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 60 sebagai berikut: AD a Sin ABD = Sin 60 = AB a BD Cos ABD = Cos 60 = AB a a sin60 Tg 60 = cos60 Cosec 60 = sin60 Sec 60 = cos60 Ctg 60 = Tg 60 Sekarang, kita akan melanjutkan untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut 45. Untuk itu perhatikan segitiga siku-siku ABC yang sama kaki berikut. Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

13 C A a B a Gambar 6..c Dari geometri bidang kita tahu bahwa besar sudut A sama dengan besar dengan sudut C yaitu 45. Misalkan panjang sisi-sisi tegaknya, yaitu AB = BC = a satuan. Dengan menggunakan teorema Phytagoras kita akan memperoleh: AC AB BC a a a AC = a a Dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh keenam nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 45 sebagai berikut: BC a Sin CAB = Sin 45 = AC a AB a Cos CAB = Cos 45 = AC a Dengan menggunakan hubungan perbandingan trigonometri, kita peroleh: sin 45 Tg 45 = cos 45 Cosec 45 = sin 45 Sec 45 = cos 45 Ctg 45 = Tg 45 Bagaimana cara menentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0 dan 90? Kita mulai dengan cara menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0. Perhatikan gambar berikut: Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

14 A B = B Gambar 6..d g Misalkan panjang AB = r satuan. AB dan garis g berimpit, sehingga AB dan garis g membentuk sudut 0. Jika AB diproyeksikan pada garis g maka diperoleh: Proyektum AB = r Proyeksi AB = AB = r (karena proyeksi AB ke garis g adalah AB yang merupakan dirinya sendiri) Proyektor = BB = 0. Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh: BB' 0 Sin 0 = 0 AB r AB' r Cos 0 = AB r Sin 0 0 Tg 0 = 0 Cos 0 Cosec 0 = sin 0 0 ~ Sec 0 = Cos 0 Ctg 0 = Tg 0 0 ~ Untuk menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut 90, perhatikan gambar berikut: B Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4

15 A = B g Gambar 6..e Misalkan panjang AB = r satuan. AB tegak lurus terhadap garis g (AB dan garis g membentuk sudut 90 ). Jika AB diproyeksikan ke garis g, maka diperoleh: Proyektum = AB = r. Proyeksi = AB = 0. (karena proyeksi B ke garis g adalah B = A atau B berimpit dengan A, sehingga AB = AA = 0). Proyektor = BB = AB = r. Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh: Pr oyektor BB' r Sin 90 = Pr oyektum AB r Pr oyeksi AB' 0 Cos 90 = 0 Pr oyektum AB r Tg 90 = Sin 90 Cos 90 0 ~ Cosec 90 = sin 90 Sec 90 = Cos 90 0 ~ cos 90 0 Ctg 90 = 0 sin90 Secara ringkas nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa disajikan dalam tabel berikut: Tabel. 6.. Nilai-nilai perbandingan Trigonometri sudut-sudut Istimewa Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 5

16 sin cos tan cosec sec ctg 0 0 ~ ~ ~ ~ Cara praktis untuk mengingat nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa 0, 45, dan 60 dengan menggunakan segitiga-segitiga berikut: Dari segitiga-segitiga di atas kemudian kita tentukan nilai perbandingan trigonometrinya. Contoh : Hitunglah! a. sin 0 + cos 60 + tg 45 b. sin 45 x cos 45 - sin 0 x cos 60 + cos 90 Jawab: a. sin 0 + cos 60 + tg 45 = b. sin 45 x cos 45 - sin 0 x cos 60 + cos 90 = x x 0 = - 4 = 4 Contoh : Jika koordinat titik A(,0) dan B(,4), tentukan tangen sudut AOB! Jawab: Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 6

17 B(,4) O(0,0) A(,0) Perhatikan segitiga AOB pada gambar di atas. Panjang OA= dan panjang AB=4. AB 4 tg AOB = OA Contoh : Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, besar sudut A = 0 dan panjang sisi BC = 8 cm. Hitung panjang sisi AB dan AC! Jawab: Perhatikan gambar di bawah. C 8 cm A 0 B BC Sin BAC = AC 8 Sin 0 = AC BC tg BAC = AB 8 tg 0 = AB 8 8 AC AB AC =.8 AB = 8. AC = 6 AB = 8 Jadi panjang AC = 6 cm Jadi, panjang AB = 8 cm. Contoh 4: Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B, panjang AC = cm, panjang BC = cm. tentukan besar sudut A dan besar sudut C! Jawab: Perhatikan gambar di bawah! Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 7

18 cm C cm A B BC Sin A = =, maka besar sudut A = 0. AC Dalam segitiga ABC berlaku: A + B + C = 80. Sehingga: C = C = 80 C = 80-0 C = 60 Jadi, besar sudut C adalah 60. Dari contoh dan 4 di atas, tampak bahwa perbandingan trigonometri dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur segitiga siku-siku jika dua unsurnya sudah diketahui (salah satu sudut dan salah satu sisi, atau dua sisinya diketahui). Latihan Hitunglah!. cos 45 + sin 45 + tg 45. sin 90 sin 0 sin 60. sin 60 + ctg 60 cos cos 0 x sin 45 + cos sin 60 x tg 60 x cos 0 sin0x cos0 6. sin60 sin60 7. cos 45x sin0 Tunjukkan bahwa: 8. sin 45 x (cos 60 + sin 0 ) = cos (cos 0 + sin 60 ) x tg 0 = sec60x cosec45 cos0 0. sec 45x cos60 sin60 sin0 cos0. x sin60x cos 45 sin45 Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 8

19 . Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q dengan panjang QR = 5 cm dan besar sudut R = 60, tentukan unsur-unsur segitiga PQR yang lain!. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AC = 0 cm dan panjang AB = 5 cm. tentukan unsur-unsur segitiga ABC yang lain! 4. Keliling segitiga siku-siku adalah 48 cm dan besar salah satu sudutnya 0. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut! 5. Salah satu sudut suatu belah ketupat adalah 60 dan panjang diagonal terpanjangnya adalah 40 cm. hitunglah panjang sisi belah ketupat tersebut! 5.4. Pengukuran Sudut Berapakah besar sudut yang diapit oleh jarum panjang dan jarum pendek suatu jam, jika jam tersebut menunjukkan pukul 0.0? Diskusikan dengan teman bagaimana cara mengukur besar sudut tersebut! Kita perlu mendefinisikan ukuran sudut secara lebih umum dari sekedar titik sudut pada suatu segitiga. Sehingga tidak hanya bisa digunakan pada pengukuran segitiga saja, tetapi juga yang lain. Misalkan A dan B adalah titik-titik yang berbeda, ruas garis berarah yang dimulai dari titik A dan diteruskan melalui titik B sampai tak terbatas disebut sinar garis dengan titik pangkal A. suatu sudut ditentukan dengan memutar sinar garis tersebut pada titik pangkalnya. Titik pangkal dari sinar garis yang diputar tersebut dinamakan titik sudut (vertex). Posisi sinar garis sebelum diputar disebut sisi awal (inisitial side) dari sudut, dan posisi sinar garis sesudah diputar disebut sisi akhir (terminal side). Sudut seringkali dinotasikan dengan huruf kecil Yunani, seperti sudut, sudut dan lain sebagainya. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini. A. sisi akhir.b titik. pangkal sisi awal Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 9

20 Gambar 6.4.a Gambar 6.4.b Sudut yang berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam disebut sudut positif, dan sudut yang searah dengan arah perputaran jarum jam disebut sudut negatif. Pada gambar dibawah ini sudut adalah sudut positif, sedangkan sudut adalah sudut negatif. sudut positif sisi awal sisi akhir sisi awal sisi akhir sudut negatif titik pangkal Gambar 6.4.c Gambar 6.4.d Satu putaran penuh dari suatu sinar garis pada pangkalnya disebut satu putaran (60 ), setengah putaran disebut sudut lurus (80 ), dan seperempat putaran disebut sudut siku-siku (90 ). Ada beberapa satuan ukuran sudut. Yang paling dikenal adalah ukuran sudut dengan satuan derajat. Satu derajat ( ) adalah ukuran dari suatu sudut yang dibentuk oleh dari satu putaran searah perputaran jarum jam. Ukuran 60 dalam satuan derajat dapat dibagi lagi dalam menit dan detik. Satu menit ( ) didefinisikan sebagai derajat dan satu detik( ) didefinisikan sebagai menit. Meskipun ukuran sudut dalam derajat paling sering digunakan, khususnya dalam penerapan dasar trigonometri, untuk penerapan yang lebih luas seringkali digunakan ukuran sudut dalam radian. Untuk memahami ukuran sudut dalam radian perhatikan gambar lingkaran di bawah ini. B r r P. r A Gambar 6.4.h Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 0

21 Misalkan pusat lingkaran P, jari-jarinya r, dan panjang busur AB adalah r. Besar sudut APB disebut satu radian. Kita tahu bahwa satu putaran besar sudutnya 60. Hal ini berarti bahwa sudut 60 menghadap busur sepanjang keliling lingkaran (r), sehingga sudut 60 sebesar menghadap busur sepanjang r. Padahal sudut yang menghadap sepanjang jari-jari lingkaran besarnya radian. Dari penjelasan di atas diperoleh hubungan ukuran sudut dalam derajat dan radian sebagai berikut: APB AB =. r 60 Karena panjang busur AB = r, maka APB r =. r 60 APB = APB = = Karena APB = rad, maka: 80 rad =. Jika,4 maka radian 57, radian = 80 = radian. 80 Contoh : Ubahlah sudut dibawah ini ke dalam satuan radian! a. 80 b. 00 c. 45 Jawab: 80 4 a. 80 =80. = radian= radian b. 00 = radian = radian c. 45 = radian = radian. 80 Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

22 Coba kamu perhatikan kembali, ukuran sudut dalam radian diperoleh dari perbandingan antara panjang busur dengan jari-jari lingkaran yang hasilnya merupakan suatu bilangan real. Hal ini memungkinkan kita menentukan perbandingan trigonometri dari sembarang bilangan real yang merupakan nilai perbandingan trigonometri sudut dalam satuan radian. Bagaimana caranya? Mudah! Ubahlah sudut dalam satuan radian menjadi sudut dalam satuan derajat. Kemudian tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut dalam satuan derajat tersebut. Contoh : Sin = sin ( radian) = sin (x57, ) = sin 4,64 =0,909 Bandingkan dengan sin = 0,05 Jadi sin sin. Contoh : Tentukan nilai perbandingan trigonometri di bawah ini! a. sin 6 b. cos c. tg 4 Jawab: a. sin = sin.80 = sin 0 = 6 6 b. cos = cos.80 = cos 60 = c. tg = tg.80 = tg 45 = 4 4 Latihan Nyatakan sudut-sudut di bawah ini dalam satuan radian! Nyatakan sudut-sudut di bawah ini dalam satuan radian! Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

23 5. 5 radian 6. 6 radian radian 5 8. radian Tentukan nilai perbandingan trigonometri di bawah ini! 9. cos 4 0. ctg 5.5. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran Sejauh ini kita sudah mendefinisikan perbandingan trigonometri untuk sudutsudut lancip dan sudut siku-siku pada segitiga. Muncul pertanyaan bagaimana perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut yang lebih besar dari 90? Bagaimana perbandingan trigonometri untuk sudut 45? Kita perlu mendefinisikan kembali perbandingan trigonometri agar dapat digunakan untuk semua sudut, bukan hanya untuk sudut-sudut lancip saja. Untuk ini, kita hanya perlu mengubah sudut pandang pembahasan, kalau sebelumnya kita menggunakan pembahasan geometri pada bidang datar (segitiga siku-siku), sekarang kita menggunakan pembahasan geometri analitis pada bidang Cartesius (Sistem Koordinat Cartesius) dalam mendefinisikan perbandingan trigonometri. Bagaimana geometri analitis digunakan untuk mendefinisikan perbandingan trigonometri, perhatikan gambar di bawah. Y jarak A P(x,y) y (ordinat) O x(absis) X Gambar 6.5.a Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

24 Sinar garis OA dapat diputar terhadap titik asal O, sehingga besar sudut XOA dapat berubah dari 0 sampai dengan 60. Untuk XOA =, maka sinar garis OA berada pada posisi tertentu. Dengan demikian, pada sinar garis OA dapat ditempatkan sebarang titik P(x,y). Misalkan jarak OP = r, sehingga antara absis (x), ordinat (y) dan r dipenuhi hubungan: r = x y. Berdasarkan penjelasan di atas, maka perbandingan-perbandingan trigonometri dapat didefinisikan dengan menggunakan absis (x), ordinat (y) dan jarak (r) sebagai berikut: ordinat y jarak r Sin = jarak r Cosec = ordinat y absis x jarak r Cos = jarak r Sec = absis x ordinat y absis x Tg = Ctg = absis x ordinat y Berdasar definisi di atas, nilai perbandingan trigonometri untuk semua sudut dapat ditentukan. Hal itu dapat dilakukan dengan cara memutar sinar garis OA sehingga XOA = dengan 0 60 atau XOA = terletak di berbagai kuadran (kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV). Apa itu kuadran? Letak sudut yang besarnya antara 0 sampai dengan 60 dapat dikelompokkan menjadi 4 wilayah atau kuadran, yaitu: Sudut-sudut yang terletak di Kuadran I : sudut-sudut yang besarnya antara 0 sampai dengan 90. Sudut-sudut yang terletak di Kuadran II : sudut-sudut yang besarnya antara 90 sampai dengan 80. Sudut-sudut yang terletak di Kuadran III : sudut-sudut yang besarnya antara 80 sampai dengan 70. Sudut-sudut yang terletak di Kuadran IV : sudut-sudut yang besarnya antara 70 sampai dengan Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Sudutsudut di Semua Kuadran Pada bagian terdahulu sudah kita bahas bahwa nilai perbandingan trigonometri tergantung pada besar sudut. Dengan kata lain, tanda-tanda positif atau negatif nilai perbandingan trigonometri ditentukan oleh letak sudut, apakah Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4

25 terletak di kuadran I, di kuadran II, di kuadran III, atau di kuadran IV. Ini berarti bahwa tanda-tanda tersebut ditentukan oleh tanda-tanda dari absis dan ordinatnya (jarak r tidak berpengaruh karena r selalu bernilai positif). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut! Y Y di kuadran I di kuadran II x > 0, y > 0, r > 0 x < 0, y > 0, r > 0 Sin > 0 Sin > 0 Cos > 0 Cos < 0 P(x,y) Tg > 0 Tg < 0 P(x,y) Cosec > 0 Cosec > 0 Sec > 0 Sec < 0 r r y Ctg > 0 Ctg < 0 y x X x X Gambar 6.5.b Gambar 6.5.c Y Y x X x X di kuadran III di kuadran IV x < 0, y < 0, r > 0 y r r y x > 0, y < 0, r > 0 Sin < 0 Sin < 0 Cos < 0 P(x,y) P(x,y) Cos < 0 Tg > 0 Tg > 0 Cosec < 0 Cosec < 0 Sec < 0 Sec < 0 Ctg > 0 Ctg > 0 Gambar 6.5.d Gambar 6.5.e Secara ringkas tanda-tanda perbandingan trigonometri di berbagai kuadran disajikan dalam tabel berikut. Tabel 6.5 Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Perbandingan Kuadran Trigonometri I II III IV Sin Cos Tan Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 5

26 Cosec Sec Ctg Contoh: Di antara perbandingan trigonometri berikut ini, manakah yang bertanda positif dan manakah yang bertanda negatif? a. sin 0 b. cos 97 c. cosec 78 d. sec e. tg 4 f. ctg 84 Jawab: a. sin 0 bertanda positif karena 0 sudut yang terletak di kuadran II b. cos 97 bertanda negatif karena 97 sudut yang terletak di kuadran II c. cosec 78 bertanda negatif karena 78 sudut yang terletak di kuadran IV d. sec bertanda positif karena sudut yang terletak di kuadran IV e. tg 4 bertanda negatif karena 4 sudut yang terletak di kuadran II f. ctg 84 bertanda positif karena 84 sudut yang terletak di kuadran III 5.6. Rumus-Rumus Perbandingan Trigonometri Sudutsudut Berelasi Berdasarkan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa pada bagian sebelumnya, dapat kita ketahui bahwa Sin 0 = dan Cos 60 =, sehingga Sin 0 = Cos 60. Dalam hal demikian dikatakan bahwa sudut 0 berelasi dengan sudut 60. Definisi Sudut-sudut berelasi Misalkan suatu sudut besarnya. Sudut-sudut yang besarnya -, (90 ), (80 ), (70 ), (60 ) dikatakan berelasi dengan sudut dan sebaliknya. Perbandingan trigonometri dua sudut yang berelasi memiliki hubungan yang khas. Hubungan khas yang seperti apa? Marilah kita tinjau bersama-sama. Y P(x,y) Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 6

27 r - X r Gambar 6.7 P (x,-y) 5.6. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Negatif (-) Perhatikan gambar 6.7 di atas. Dalam sistem koordinat Cartesius titik P dinyatakan sebagai P(x,y). Perbandingan trigonometri sudut adalah: Sin = r y Cos = r x Tg = x y Cosec = y r Sec = x r Ctg = y x Jika titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X, hasil pencerminannya adalah titik P (x,-y). Sehingga perbandingan trigonometrinya adalah: Sin = y r Cos = r x = Cos y r = - = -Sin Cosec = r y Sec = x r = Sec = - y r = - Cosec Tg = y x y x = - = -Tg Ctg = x y = - y x = - Ctg Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut - berelasi dengan sudut dapat dirangkum sebagai berikut: Sin - = -Sin Cos - = Cos Tg - = -Tg Cosec - = -Cosec Sec - = Sec Ctg = -Ctg Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 7

28 Contoh: Sin (-60 ) = -sin 60 = -( Cos (-50 ) = cos 50 = 0,64 Tg (-45 ) = - tg 45 = - )= Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (90 ) Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (90 - ) Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut (90 - ), perhatikan gambar berikut. Misalkan segitiga ABC siku-siku di B, adalah besar sudut A, dan adalah besar sudut C. C Jumlah sudut dan sudut adalah 90. Dari mana? Betul, karena A B C 80 dan karena sudut B siku-siku, maka A C 90 atau +=90. Sehingga = 90 - b a dan dikatakan saling komplementer. adalah komplemen dari, dan sebaliknya. A c B Gambar 6.7. Perhatikan bahwa perbandingan trigonometri untuk sudut adalah sebagai berikut: sin = cosec = a b b a cos = b sec = c c b c tg ctg = = a a c Sekarang perhatikan perbandingan trigonometri untuk sudut. sin = cosec = c b b c cos = sec b = a a b Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 8

29 tg = c a ctg = c a Dari perbandingan trigonometri untuk sudut dan sudut diperoleh hubungan: i. sin = cos ii. cos = sin iii. tg = ctg Sin = cos (90 - ) cos = sin (90 - ) tg = ctg (90 - ) cos (90 - ) = Sin sin (90 - ) = cos ctg (90 - ) = tg iv. cosec = sec v. sec = cosec vi. ctg = tg cosec = sec(90 - ) sec = cosec(90 - ) ctg = tg (90 - ) sec(90 - )= cosec cosec(90 - )= sec tg (90 - )= ctg Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90 - ) yang berelasi dengan sudut dapat dirangkum sebagai berikut: sin (90 - ) = cos cos (90 - ) = Sin tg (90 - )= ctg cosec(90 - )= sec sec(90 - )= cosec ctg (90 - ) = tg Berdasar rumus di atas, perhatikan bahwa: Sinus suatu sudut = Cosinus sudut komplemennya, dan sebaliknya. Tangent suatu sudut = Cotangent sudut komplemennya, dan sebaliknya. Secan suatu sudut = Cosecan sudut komplemennya, dan sebaliknya. Contoh: Nyatakan perbandingan trigonometri berikut menjadi perbandingan trigonometri sudut komplemennya! a. sin 6 b. cos 76 c. ctg 6 d. sec 4 e. tg 4 f. cosec 57 Jawab: a. sin 6 = sin (90-7) = cos 7 b. cos 76 = cos (90-4) = sin 4 c. ctg 6 = ctg (90-54) = tg 54 Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 9

30 d. sec 4 = sec (90-47) = cosec 47 e. tg 4 = tg (90-66) = ctg 66 f. cosec 57 = cosec (90-) = sec Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (90 + ) Kita akan mengembangkan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90 - ) yang berelasi dengan sudut untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut rumus (90 + ) yang berelasi dengan sudut. Perhatikan bahwa (90 + ) = (90 - (- )), sehingga : sin (90 + )= sin (90 -(- )) Dari rumus sebelumnya kita tahu bahwa sin (90 - ) = cos. Dengan mengganti dengan -, kita peroleh: sin (90 -(- ))=Cos (- )= Cos Jadi, sin (90 + )= Cos Dengan cara serupa, kita peroleh perbandingan-perbandingan trigonometri yang lain untuk sudut (90 + ) yang berelasi dengan sudut sebagai berikut: Cos (90 + )= Cos (90 -(- ))= Sin(- )=-Sin Tg (90 + )= Tg (90 -(- ))=Ctg(- )=-Ctg Cosec (90 + )= Cosec (90 -(- ))=Sec(- )= Sec Sec (90 + )= Sec (90 -(- ))= Cosec(- )=-Cosec Ctg (90 + )= Ctg (90 -(- ))= Tg(- )=-Tg Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90 + ) yang berelasi dengan sudut dapat dirangkum sebagai berikut: sin (90 + ) = Cos Cos (90 + ) = -Sin Tg (90 + ) = -Ctg Cosec (90 + ) = Sec Sec (90 + ) = -Cosec Ctg (90 + ) = -Tg Contoh : Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan trigonometri sudut lancip! a. sin 07 b. cos c. tg 57 d. cosec 68 e. sec 78 f. ctg 4 Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 0

31 Jawab: a. sin 07 = sin (90 + 7) = cos 7 b. cos = cos (90 + ) = -sin c. tg 57 = tg ( ) = -ctg 67 d. cosec 68 = cosec ( ) = sec 78 e. sec 78 = sec (90+88) = -cosec 88 f. ctg 4 = ctg (90 + 4) = -tg 4 Contoh : Sin 0 = sin(90 + 0) = cos 0 = Cos 5 = cos (90+45) = - sin 45 = - Tg 50 = tg (90+60) = -Ctg 60 = Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (80 ) Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (80 - ) Perhatikan gambar berikut: Y P (-x,y) P(x,y) r r X Gambar Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y, hasil pencerminannya adalah P (-x,y), yang dalam koordinat kutub dapat dinyatakan sebagai P (r, (80 - )). Maka perbandingan trigonometrinya adalah: Sin (80 - )= r y =Sin x Cos (80 - )= r x r Cosec (80 - )= y r = Cosec =-Cos Sec (80 - )= r x r x =-Sec Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

32 y Tg (80 - )= x y x =-Tg Ctg (80 - )= x y x y =-Ctg Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (80 - ) yang berelasi dengan sudut dapat dirangkum sebagai berikut: Sin (80 - ) = Sin Cos (80 - ) = -Cos Tg (80 - ) = -Tg Cosec (80 - ) = Cosec Sec (80 - ) = -Sec Ctg (80 - ) = -Ctg Perhatikan bahwa jumlah sudut dengan sudut 80 - sama dengan 80. Dalam hal demikian, sudut dikatakan pelurus sudut 80 - dan sebaliknya. Contoh: Nyatakan perbandingan trigonometri berikut sebagai perbandingan trigonometri sudut pelurusnya! a. sin 0 b. cos 0 c. tg 65 d. cosec 7 e. sec f. ctg 8 Jawab: a. sin 0 = sin (80-50) = sin 50 b. cos 0 = cos (80-70) = -cos 70 c. tg 65 = tg (80-5) = -tg 5 d. cosec 7 = cosec (80-8) = cosec 8 e. sec = sec (80-68) = -sec 68 f. ctg 8 = ctg (80-5) = -ctg Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (80 +) Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

33 Untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut (80 + ) yang berelasi dengan sudut, kita akan menggunakan hasil perbandingan trigonometri untuk sudut (80 - ) di atas. Perhatikan bahwa (80 + ) = (80 -(- )), sehingga: Sin (80 + ) = Sin (80 -(- )) = Sin (- ) = -Sin Cos (80 + ) = Cos (80 -(- )) = -Cos (- ) = -Cos Tg (80 + ) = Tg (80 -(- )) = -Tg (- ) =-(-Tg ) = Tg Cosec (80 + ) = Cosec (80 -(- )) = Cosec (- ) = -Cosec Sec (80 + ) = Sec (80 -(- )) =-Sec (- ) =-Sec Ctg (80 + ) = Ctg (80 -(- )) = -Ctg (- ) =-(-Ctg ) = Ctg Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (80 + ) yang berelasi dengan sudut dapat dirangkum sebagai berikut: Sin (80 + ) = -Sin Cos (80 + ) = -Cos Tg (80 + ) = Tg Cosec (80 + ) = -Cosec Sec (80 + ) = -Sec Ctg (80 + ) = Ctg Contoh: Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip! a. sin 99 b. cos c. tg 46 d. cosec 58 e. sec 7 f. ctg 6 Jawab: a. sin 99 = sin (80+9) = -sin 9 b. cos = cos (80+4) = -cos 4 c. tg 46 = tg (80+66) = tg 66 d. cosec 58 = cosec (80+78) = -cosec 78 e. sec 7 = sec (80+7) = -sec 7 f. ctg 6 = ctg (80+8) = ctg Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (70 ) Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

34 Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (70 - ) Untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut (70 - ), perhatikan gambar di bawah ini. Y P(x,y) r r X Q(-y,-x) y=-x Gambar Perbandingan trigonometri untuk sudut adalah: y r Sin = Cosec = r y Cos = r x Tg = x y Sec = x r Ctg = y x Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=-x, hasil pencerminannya adalah titik Q(-y,-x). Sehingga perbandingan trigonometrinya: Sin (70 - = Sec Cos (70 - )= Cosec Tg (70 - )= x r y r x y x r x y y r r x Cos Cosec (70 - )= r y Sin Sec (70 - )= y y Ctg Ctg (70 - )= Tg x x Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (70 - ) yang berelasi dengan sudut dapat dirangkum sebagai berikut: r x r y Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4

35 Sin (70 - )= - Cos Cos (70 - )= - Sin Tg (70 - )= Ctg Cosec (70 - )= - Sec Sec (70 - )= - Cosec Ctg (70 - )= Tg Contoh: Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut lancip! a. sin 4 b. cos c. tg 55 d. cosec 9 e. sec 67 f. ctg 50 Jawab: a. sin 4 = sin (70-6) = -cos 6 b. cos = cos (70-58) = -sin 58 c. tg 55 = tg (70-5) = ctg 5 d. cosec 9 = cosec (70-4) = -sec 4 e. sec 67 = sec (70-) = -sec f. ctg 50 = ctg (70-0) = tg Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (70 +) Untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut (70 + ) yang berelasi dengan sudut, kita akan menggunakan hasil perbandingan trigonometri untuk sudut (70 - ) di atas. Perhatikan bahwa (70 + ) = (70 -(- )). Sehingga: Sin (70 + ) = Sin (70 -(- )) = -Cos (- ) = -(Cos ) = -Cos Cos (70 + )= Cos (70 -(- )) = -Sin (- ) = -(-Sin ) = Sin Tg (70 + ) = Tg (70 -(- )) = Ctg (- ) = -Ctg Cosec (70 + ) = Cosec (70 -(- )) = -Sec (- ) = -(Sec ) = -Sec Sec (70 + ) = Sec (70 -(- )) = -Cosec (- ) = -(-Cosec ) = Cosec Ctg (70 + ) = Ctg (70 -(- )) = Tg (- ) = -Tg Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (70 + ) yang berelasi dengan sudut dapat dirangkum sebagai berikut: Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 5

36 Sin (70 + )=-Cos Cos (70 + )= Sin Tg (70 + )= -Ctg Cosec (70 + )=-Sec Sec (70 + )= Cosec Ctg (70 + )=-Tg Contoh: Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut lancip! a. sin 5 b. cos c. tg 99 d. cosec 55 e. sec 85 f. ctg 45 Jawab: a. sin 5 = sin (70+55) =-cos 55 b. cos = cos (70+6) = sin 6 c. tg 99 = tg (70+9) = -ctg9 d. cosec 55 = cosec (70+85) = -sec 85 e. sec 85 = sec (70+5) = cosec 5 f. ctg 45 = ctg (70+75) = -tg Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (60 ) Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (60 - ) Untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut (60 - ), perhatikan gambar di bawah ini. Y P(x,y) r X r Gambar P (x,-y) Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 6

37 Jika titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X, maka hasil pencerminannya adalah titik P (x,-y). Jadi, nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (60 - ) yang berelasi dengan sudut sama dengan perbandingan trigonometri sudut - yang berelasi dengan sudut. Sehingga perbandingan trigonometri sudut (60 - ) yang berelasi dengan sudut adalah: Sin (60 - ) = - sin Cos (60 - ) = Cos Tg (60 - ) = - Tg Cosec (60 - ) = - Cosec Sec (60 - ) = Sec Ctg (60 - ) = - Ctg Contoh: Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut lancip! a. sin 5 b. cos c. tg 99 d. cosec 55 e. sec 85 f. ctg 45 Jawab: a. sin 5 = sin (60-5) = -sin 5 b. cos = cos (60-7) = cos 7 c. tg 99 = tg (60-6) = -tg 6 d. cosec 55 = cosec (60-5) = -cosec 5 e. sec 85 = sec (60-75) = sec 75 f. ctg 45 = ctg (60-5) = -ctg Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (60 +) Perhatikan kembali gambar di atas. Misalkan titik P(x,y) dirotasikan sejauh 60, maka hasil rotasinya adalah titik P(x,y) itu sendiri atau titik itu akan menempati posisinya semula. Dengan pemahaman ini, maka perbandingan trigonometri sudut (60 + ) sama dengan perbandingan trigonometri sudut. Jadi, rumus perbandingan trigonometri sudut (60 + ) yang berelasi dengan sudut adalah: Sin (60 + ) = Sin Cos (60 + ) = Cos Tg (60 + ) = Tg Cosec (60 + ) = Cosec Sec (60 + ) = Sec Ctg (60 + ) = Ctg Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 7

38 Kalau kita perhatikan rumus-rumus perbandingan trigonometri sudut-sudut berelasi di atas, terdapat hubungan yang khas sehingga dapat disederhanakan sebagai berikut: Misalkan adalah sudut lancip 0 < <90 dan n bilangan bulat, maka: Untuk sudut (n.90 ), jika n genap maka perbandingan trigonometrinya tetap, tanda disesuaikan dengan letak sudut tersebut di kuadran berapa. Sedangkan jika n ganjil maka perbandingan trigonometrinya berubah menjadi ko-perbandingan trigonometrinya, tanda disesuaikan dengan letak sudut tersebut di kuadran berapa. Catatan: sin ko-perbandingannya cos dan sebaliknya. Tg ko-perbandingannya ctg dan sebaliknya. Sec ko-perbandingannya Cosec dan sebaliknya. Contoh: Sin 0 = Sin ( ) n = (genap) maka perbandingan trigonometrinya tetap. Sudut 0 terletak di kuadran III, maka tanda sin negatif, sehingga: Sin 0 =-Sin 0 =- Cos 660 =Cos( ) n = 7 (ganjil), maka perbandingan trigonometrinya berubah menjadi koperbandingannya. (Cos ko-perbandingannya Sin). Sudut 660 terletak di kuadran IV, maka tanda cos positif, sehingga: Cos 660 = Sin0 =. Latihan 4 Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut lancip positif,kemudian hitunglah nilainya!. sin (-45 ). cosec (-40 ). tg (-0 ) 4. cos (-5 ) 5. ctg (-5 ) 6. sec (-50 ) Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 8

39 Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut komplemennya! 7. sin 5 8. ctg sec 5 0.cos.cosec 5.tg 70 Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut pelurusnya!.sin 00 4.cos 5 5.tg 40 6.sec 0 7.ctg 65 8.cosec 5 Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut lancip! 9.cos 45 0.sin 00.ctg 50.cosec 0.sec 50 4.tg 45 5.sin ctg cos sec 50 9.cosec tg 50 Hitunglah nilai perbandingan trigonometri berikut ini!.sin 5.ctg 0.cos 00 4.cosec 40 5.tg sec sin cos 00 9.tg 500 Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 9

40 Sederhanakan! o sin(80 ) 40. o cos(90 ) o cos(90 ) 4. o cos ec(80 ) o sec(70 ) 4. o ctg(60 ) 4. Jika tg 50 =b, nyatakan tg 0 tg 40 tg 40tg 0 dalam b! 44. Diketahui segitiga ABC, tunjukkan bahwa: a. tg (B+C)=-tg A b. cos (A+B)=sin C 45. Diketahui cos = dan sudut di kuadran II. Hitunglah sin(90 tg(70 o o ) cos(80 ) ctg (60 o o ) ) 5.7. Koordinat Kutub Letak suatu titik pada bidang selain dinyatakan dengan menggunakan koordinat Cartesius, juga dapat dinyatakan dengan menggunakan koordinat kutub atau koordinat polar. Bagaimana caranya? Perhatikan gambar di bawah ini. Y.P(x,y). P(r, ) r y r O x P X 0 Gambar 6.6.a Gambar 6.6.b Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 40

41 Pada gambar 6.6.a titik P dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius. Titik P ditulis P(x,y). Panjang OP = x disebut absis. Panjang PP = y disebut ordinat. Pada gambar 6.6.b titik P dinyatakan dalam sistem koordinat Kutub (Polar). Titik P ditulis P(r, ), dengan r adalah jarak dari titik asal O ke P dan adalah besar sudut XOP (diukur dari sumbu x positif berlawanan dengan arah jarum jam). Dari gambar 6.6.a dan gambar 6.6.b di atas, diperoleh hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat kutub sebagai berikut: r = y x y dan tg = x x = r cos dan y = r sin Dapatkah kamu menjelaskan darimana diperoleh hubungan di atas? Coba diskusikan dengan temanmu! Berdasar hubungan di atas maka kita dapat mengubah letak suatu titik yang dinyatakan dalam koordinat Cartesius ke dalam koordinat kutub dan sebaliknya. Mengubah Koordinat Cartesius menjadi Koordinat Kutub Misalkan letak suatu titik pada bidang dinyatakan dengan koordinat Cartesius (x,y). Titik ini juga dapat dinyatakan dengan menggunakan koordinat kutub (r, ). Proses ini dapat diilustrasikan dengan skema berikut: (x,y) (r, ) dengan r = y x y dan tg = (besar sudut ditentukan sesuai dengan x letak titik tersebut di kuadran berapa). Dengan demikian (x,y) (r, ) dapat dinyatakan sebagai berikut: (x,y) ( y x y, arc.tg ) x Contoh: Nyatakan titik (, ) dalam koordinat kutub! Jawab: r = x y ( ) Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4

42 y tg = = = = 60 x Jadi, koordinat kutub titik (, ) adalah (4,60 ). Mengubah Koordinat Kutub menjadi Koordinat Cartesius Suatu titik yang terletak pada bidang dan dinyatakan dalam koordinat kutub (r,dapat pula dinyatakan dengan menggunakan koordinat Cartesius (x,y). Proses ini dapat diilustrasikan dengan skema berikut: (r, ) (x,y) dengan x = r cos dan y = r sin. Dengan demikian (r, ) (x,y) dapat dinyatakan sebagai berikut: (r, ) ( r.cos, r.sin ) Contoh: Nyatakan titik (,50 ) dalam koordinat Cartesius! Jawab: (,50 ) r = dan = 50 x = r cos y = r sin x = cos 50 y = sin 50 x = (- ) y = ( ) x = - y = Jadi, koordinat Cartesius titik (,50 ) adalah (-, ). Latihan 5 Nyatakan titik-titik berikut dalam koordinat kutub!. A(,4). B(-8,0). C(-4,-) 4. D(4, 4 ) 5. E(-, ) Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4

43 Nyatakan titik-titik berikut dalam koordinat Cartesius! 6. P(6,-0 ) 7. Q(,45 ) 8. R(4,0 ) 9. S(8,0 ) 0.T(0,00 ). Koordinat kutub titik P adalah (4,) dan koordinat Cartesiusnya (,y). Jika P terletak di kuadran I, tentukan nilai y dan! 5.8. Identitas Trigonometri Dasar Sebelumnya kita sudah pernah membahas hubungan suatu perbandingan trigonometri dengan perbandingan trigonometri yang lain. Dari yang sudah kita bahas tersebut, kita tahu bahwa suatu perbandingan trigonometri bisa dinyatakan ke dalam bentuk perbandingan trigonometri yang lain yang nilainya sama/tetap. Inilah yang dimaksud dengan identitas trigonometri. Identitas trigonometri yang sudah kita singgung di bagian terdahulu adalah sebagai berikut: i. Reciprocal Identities (Identitas dasar yang merupakan hubungan kebalikan) Jika adalah suatu sudut dimana perbandingan trigonometri terdefinisi, maka berlaku: a. cosec = atau sin = sin cos ec b. sec = atau cos = cos sec c. ctg = atau tg = tg ctg ii. Quotient Identities (Identitas dasar yang merupakan hubungan perbandingan) tg = sin cos atau ctg = cos sin Identitas trigonometri pada bagian i dan ii diperoleh dari definisi perbandingan trigonometri. Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4

44 iii. Fundamental Pythagorean Identity (Identitas dasar yang diperoleh dari hubungan Pythagoras) a. Cos Sin b. Tg Sec c. Ctg Co sec Kita akan membuktikan identitas dasar yang diperoleh dari hubungan Pythagoras. Misalkan adalah sembarang sudut dan P(x,y) adalah sembarang titik pada bidang Cartesius. Perhatikan gambar di bawah. Y P(x,y) r y O x X Gambar 6.8 Cos Sin (Cos) = x r x r x y r y r = = r r = = (Sin) y r (karena x +y =r ) Jadi, terbukti bahwa Cos Sin. Untuk membuktikan (b) dan (c) kita akan menggunakan pertolongan rumus (a) yang sudah dibuktikan. Bukti (b): Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 44

45 Dari rumus Cos Sin bagi kedua ruas dengan Cos diperoleh: Cos Sin Cos Cos Sin Cos Cos Sin Cos Cos +tg = sec Jadi, terbukti bahwa +tg = sec Bukti (c) diperoleh dengan membagi kedua ruas rumus (a) dengan sehingga diperoleh: Cos Sin Sin Sin Cos Sin Sin Cos Sin Sin Ctg + = Cosec Jadi, terbukti bahwa Ctg + = Cosec Contoh: Diketahui sin = 5 trigonometri yang lain dari sudut! Sin, dan 90 < 80. Tentukan kelima perbandingan Jawab: Dari identitas trigonometri Cos Sin, diperoleh: Cos Sin Sehingga, 44 Cos. Karena 90 < 80 atau terletak di kuadran II, kita 69 tahu bahwa Cos bernilai negatif. Jadi Cos. 5 Sin Tg = x Ctg = Tg 5 Cos Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 45

46 Cosec = Sin 5 5 Sec = Cos Contoh : 8 Diketahui tg = dan sin negatif. Tentukan kelima nilai perbandingan 7 trigonometri yang lain! Jawab: 8 Karena tg = atau bernilai negatif, maka kemungkinan terletak di 7 kuadran II atau kuadran IV. Dan karena sin negatif, maka kemungkinan 8 terletak di kuadran III atau kuadran IV. Jadi, yang memenuhi tg = 7 dan sin negatif, haruslah terletak di kuadran IV. Dari identitas trigonometri +tg = sec diperoleh: Sec tg di kuadran IV, maka Sec > 0 atau bernilai positif 7. Karena terletak Karena Sec = Cos atau Cos = Sec Contoh : Buktikan bahwa Sin SecCosCosec Sec. Cosec Bukti: Sin Sec + Cos Cosec = Sin = = + Cos Cos Sin Sin Cos Cos Sin Sin.Sin Cos.Cos Cos.Sin Cos.Sin Sin Cos = Cos.Sin = Cos. Sin =. Cos. Sin = Sec. Cosec Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 46

47 Jadi terbukti bahwa Sin SecCosCosec Sec. Cosec Latihan 6. Diketahui sudut lancip dan sin = 7 5. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri yang lain!. Diketahui sudut lancip dan cos =. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri yang lain! Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini benar!. sin 45.ctg 45 = cos 0 sec cosec 0 sin 0 Diketahui cos = 5 dan sin = 4 5, dan sudut lancip. Tentukan nilai dari: 5. cos + sin 6. (sec -)sin Buktikan identitas-identitas berikut ini! 7. tg sin + cos = sec 8. (+tg ) sec = 9. cos sin sin cos sin A cos A 0. tga cos A sin A 5.9. Grafik Fungsi Trigonometri 5.9. Fungsi Trigonometri Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 47

48 Hubungan antara sudut dengan nilai perbandingan trigonometrinya dapat dipandang sebagai suatu fungsi. Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram berikut: x Sin x x Cos x diagram 5.9..a diagram 5.9..b Pada diagram 6.9..a tiap sudut x dipasangkan dengan tepat satu nilai sin x (- sin x ). Fungsi yang memetakan himpunan sudut x ke himpunan bilangan real sin x disebut fungsi sinus. Notasi fungsi sinus ini adalah f: x Sin x. rumus fungsinya adalah f(x) = Sin x. Pada diagram 6.9..b tiap sudut x dipasangkan dengan tepat satu nilai cos x (- sin x ). Fungsi yang memetakan himpunan sudut x ke himpunan bilangan real cos x disebut fungsi cosinus. Notasi fungsi cosinus adalah f: x Cos x. Rumus fungsinya adalah f(x) = Cos x. Dengan penjelasan serupa, maka dengan mudah kita pahami fungsi trigonometri yang lain, yaitu f(x) = Tg x, f(x) = Cosec x, f(x) = Sec x, dan f(x) = Ctg x. Pada fungsi-fungsi trigonometri di atas domainnya berupa ukuran sudut yang dinyatakan dalam derajat. Dalam banyak penggunaan, khususnya dalam kalkulus dan penerapannya, seringkali domain fungsi trigonometri dinyatakan dalam radian atau dinyatakan dngan bilangan real. Jika t suatu bilangan real, maka nilai dari sin t didefinisikan dengan: Sin t = sin dimana adalah suatu sudut yang dinyatakan dalam ukuran radian. Serupa dengan itu, nilai-nilai dari cos t, tg t, cosec t, sec t dan ctg t didefinisikan sebagai nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut yang dinyatakan dalam ukuran radian. Sekarang kita akan melihat periode dan nilai maksimum atau minimum fungsi trigonometri. Untuk membantu memudahkan memahaminya, perhatikan Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 48

49 lingkaran satuan (lingkaran dengan pusat titik asal O(0,0) dan jari-jari r = satuan) berikut. Y Y (x,y) (cos t, sin t) sint r= - O X cost O X - Gambar 6.9.a Gambar 6.9.b Pada gambar 6.9.a misalkan t adalah sembarang bilangan real. Diawali dari titik (,0) pada lingkaran satuan, kita bergerak sepanjang t lintasan lingkaran satuan, searah perputaran jarum jam jika t > 0 dan berlawanan arah perputaran jarum jam jika t < 0, hingga titik (x,y). Misalkan adalah besar sudut dengan sisi akhir (terminal side) melalui titik (x,y). maka t = r.. Karena r =, maka t = Dengan kata lain sudut dinyatakan dalam ukuran y y radian sebagai t. Sehingga, sin t = sin y dan cos t = cos r x r x x Oleh karena itu, (x,y) = (cos t, sin t). Pada gambar 6.9.b, koordinat (cos t, sin t) akan kembali menempati koordinat semula setiap satu kali putaran penuh, yaitu setiap (keliling lingkaran satuan). Ini berarti bahwa periode fungsi sinus dan cosinus adalah. Sehingga, Sin(t + ) = sin t dan cos(t + ) = cos t. Jika titik (cos t, sin t) diputar berlawanan arah jarum jam sepanjang lintasan lingkaran satuan, maka panjang t akan berubah secara kontinu dari 0 hingga. Hal ini juga akan menyebabkan perubahan nilai-nilai fungsi trigonometri sin t dan cos t. perubahan nilai fungsi sinus dan cosinus dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel Perubahan nilai fungsi sinus dan fungsi cosinus Perubahan panjang t Sin t Cos t 0 ke Positif dan bertambah Positif dan berkurang dari 0 ke dari ke 0 Matematika : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 49