TRIGONOMETRI. STANDAR KOMPETENSI: 2.Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

Transkripsi

1 TRIGONOMETRI STANDAR KOMPETENSI: 2.Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya KOMPETENSI DASAR : 2.1 Menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan cosinus sudut tertentu. 2.2 Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus. 2.3 Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus. INDIKATOR Menggunakn rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut. Menggunakan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut. Menyatakan perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau cosinus. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah. Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut. Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus dua sudut. Merancang dan membuktikan identitas trigonometri. Menyelesaiakan masalah yang melibatkan rumus jumlah dan selisih dua sudut. 1

2 RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT STANDAR KOMPETENSI: 2.Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya KOMPETENSI DASAR : 2.4 Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus. INDIKATOR Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus dua sudut. 2

3 Memahami kembali perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa Rika mendapat tugas dari Pak Irman untuk menyelesaikan soal trigonometri tanpa menggunakan kalkulator. Akan tetapi Rika binggung bagaimana menyelesaikannya, diapun bertanya pada Siti teman sebangkunya. Siti, Ika lagi bingung nih! Bagaimana cara menyelesaikan soal trigonometri tanpa menggunakan kalkulator. Kamu bisa bantu Oh, kalau soal itu aku bisa bantu. Begini ka, kamu bisa menggunakan perbandinggan trigonometri sudut-sudut istimewa. Nah! Untuk melatih kamu, coba isi kotak-kotak di bawah ini. Jangan lupa perhatikan letak kuadratnya. sin x cos x tg x Kita sudah mengetahui besar sudut-sudut istimewa dari isian kolom di atas. Dengan mengingat nilai sinus, cosinus dan tangen dari tiap sudut tersebut tentu akan sangat membantu kita dalam melakukan perhitungan. Misalkan seorang tukang bangunan akan merenovasi bagian depan atap sebuah rumah yang berbentuk segitiga sama kaki. Pemilik rumah menginginkan bagian depan atap tersebut menjadi lebih tinggi. Oleh karena itu, pemilik rumah memutuskan agar besar sudut antara sisi miring atap dengan sisi alas sama dengan. Lalu, apakah tukang bangunan itu dapat memenuhi permintaan pemilik rumah, jika ia tidak menggunakan kalkulator atau sejenisnya untuk menghitung nilai dari sinus, cosinus, dan tangen. 3

4 Ternyata, tukang bangunan menyanggupinya. Ia menggunakan salah satu aturan trigonometri yang dapat mempermudah dalam melakukan perhitungan. Jadi, sudut ia pecah menjadi penjumlahan dari dua sudut istimewa, yaitu. Selanjutnya ia menghitung nilai cos menggunakan aturan trigonometri tersebut, yaitu: cos cos cos cos sin sin ( ) Oleh karena tukang bangunan itu masih ingat nilai sinus dan cosinus dari sudut istimewa, maka hal ini menjadi tidak terlalu sulit baginya. Selanjutnya, untuk mengukur panjang sisi miring bagian depan atap, ia menggunakan formula, dengan adalah panjang sisi miring dan adalah setengah panjang sisi alas. Ada beberapa aturan trigonometri yang lebih menarik lagi. Untuk mengetahuinya, dapat kalian pelajari lebih mendalam pada materi ini. 1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT 1.1 Rumus cos Y C B A O X D Jika jari-jari lingkaran = 1, Koordinat A Koordinat B Koordinat C( ) Koordinat D Pada segitiga ACO berlaku : Dengan menggunakan rumus jarak : ( ) ( ) * (1) Pada segitiga BDO berlaku : Dengan menggunakan rumus jarak : ( )+( ) (2) Karena maka diperoleh hubungan 4

5 Jadi rumus adalah... Karena ( ) dan ( ), maka : ( ) TUGAS SISWA I: 1. Tentukan nilai dari a) cos b) cos Jawab : Ayo, kerjakan dulu tugasnya a) cos + b) cos 75-5

6 TUGAS SISWA II : 2. Dengan menggunakan segitiga siku-siku di bawah ini, tunjukkan Cos cos + sin, jika α = 90 0 dan β = 30 0! Jawab : Ruas kiri : Cos cos ( ) Ruas kanan : Cos α cos β + sin α sin β = cos... cos...+ sin... sin... = (... x ) + =... = ruas kiri Jadi, berlaku bahwa cos (α β ) = cos α cos β + sin α sin β untuk α = 30 0 dan β =

7 TUGAS SISWA III : 3. Tentukan nilai cos 15 0 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri! Jawab : 15 = Cos 15 = cos ( ) = cos... cos... + sin... sin... = (...)(...) + (...)(...) =... ( ) Jadi, nilai cos 15 0 ( ). AWALI SUATU HAL ATAU PUN PEKERJAAN DENGAN SUATU KEJUJURAN,,,KARENA KEJUJURAN ADALAH AWAL DARI SUATU KEBERHASILAN. 7

8 RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT STANDAR KOMPETENSI: apa yang dipelajari sekarang 2. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya KOMPETENSI DASAR : 2.1 Menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan cosinus sudut tertentu. INDIKATOR: Menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut. Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut. Mengingat kembali materi tentang jumlah dan selisih cosinus. Siti mendapat tugas dari Pak Zam untuk mencari nilai dari karena belum begitu paham meteri jumlah dan selisih cosinus yang lalu. Sitipun bertanya pada temannya Nopi. Nopi, bagaimana cara untuk mencari nilai dari? Coba ingat kembali rumus pengurangan cosinus! Kan rumusnya: nah, tinggal diganti aja dan Jadi, 8

9 Kita telah menguasai materi jumlah dan selisih cosinus. Materi penjumlahan dan pengurangan trigonometri yang lainnya akan kita bahas pada bagian ini! Selamat belajar! 1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT 1.2 Rumus Karena dan, maka : ( ) Sekarang mari kita belajar rumus jumlah dan selisih sinus ( ) : Karena ( ) dan ( ), maka : ( ) :. Tugas Siswa: 1) Tentukan nilai dari a) Sin b) Sin c) Sin d) Sin Jawab : a) Sin Bagaimana agar lebih memahami materi ini? Coba kamu kerjakan tugas siswa berikut ini Coba aja, pasti bisa dikerjain! b) Sin 9

10 c) Sin Tugasnya mudah ya :) d) Sin 2) sama dengan nilai 1.3 Rumus Karena, maka: Selanjutnya adalah rumus tan Jika pembilang dan penyebut dibagi cos cos, maka : Jadi: Jika maka: ( ) 10

11 Karena, maka : Jadi: Tugas Siswa: 1) Tentukan nilai dari : a) Tan 10 b) Tan c) Tan a) Tan Sebelum ke Latihan Siswa kerjakan dulu tugas siswa Don t forget! b) Tan 11

12 c) Tan 2) Diketahui. Maka nilai dari adalah 3) Diketahui. Maka nilai dari adalah Great, you can do it yourself! 12

13 Latihan Siswa Kerjakan soal-soal dibawah ini! 1) Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip, dengan dan Hitunglah: a) b) 2) Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip, dengan dan Hitunglah: a) b) 3) dan nilai adalah 13

14 4) Diberikan 2 buah sudut dengan nilai sinus masing-masing, sudut adalah sudut tumpul sedangkan sudut adalah sudut lancip. Tentukan: a) b) Berusalah sendiri dalam mengerjakan sesuatu, karena itu akan kamu ingat selamanya Get it yourself in a work something, cause it will you remember 14

15 SUDUT RANGKAP STANDAR KOMPETENSI: 2. Menurunkan Rumus Trigonometri dan Penggunaannya KOMPETENSI DASAR : 2.5 Menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan cosinus sudut tertentu. INDIKATOR Menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut. Menggunakan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut. 15

16 Memahami kembali rumus jumlah dan selisih dua sudut Kalian tentu sudah mempelajari rumus jumlah dan selisih dua sudut? Bagimana? Sangat mudah bukan mengerjakan soal trigonometri menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut. Untuk mengetahui apakah kalian sudah benar-benar memahami rumus dan dan jumlah selisih dua sudut. Coba kerja soal di bawah ini. 1. Jika dan dengan dan, tentukan nilai dari: a) b) Jawab : Dik :, maka maka Ayo, ingat kembali rumus dan Dit : a) b) penyelesian : a) = = =... b) = = =... Mencoba, lalu gagal jauh lebih baik daripada tidak pernah mencoba sama sekali 16

17 RUMUS SUDUT RANGKAP Misalkan adalah sebuah sudut tunggal, maka dua sudut ( ditulis : ) disebut juga sebagai sudut rangkap. Trigonometri sudut rangkap yaitu: dan. 2.1 Rumus Ingat kembali rumus = = Jika kita ambil maka rumus diatas menjadi : jadi: Tugas Siswa 1) Diketahui berada di kuadaran II. Tentukan nilai Jawab : Gunakan dalil Phythagorass Dik :, karena berada di kuadaran II maka, maka nilai = Dit :? Penyelesaian: =... = =... 17

18 2) Perhatikan gambar segitiga dibawah ini p q Tentukan nilai! Jawab : Jika dan, maka nilai r = = = = = = 2 = 2.2 Rumus Kita ingat kembali rumus = Jika kita ambil maka rumus diatas menjadi: (1) Karena cos 1 sin maka persamaan (1) menjadi : Karena sin 1 cos, maka persamaan (1) menjadi :

19 Jadi: Tugas Siswa 1) Jika, dimana. Hitunglah nilai dari! Jawab : =... = =... 2) Diketahui. Tentukan nilai dari! Jawab :. Maka nilai = = = = 2.3 Rumus Perhatikan kembali rumus untuk jika maka rumusnya menjadi: Jadi:... 19

20 Tugas Siswa 1) Jika dan. Hitunglah nilai dan jawab : = = = 2) Diketahui. Tentukan nilai dari! Jawab : = = =, maka = =... Tugas Siswa Diketahui adalah sudut lancip dan Hitunglah: a) b) c) adalah sudut lancip dan, maka sudut dapat di lukis dengan memakai segitiga siku-siku seperti gambar di samping Berdasarkan gambar tersebut diperoleh : a) 20

21 b) c) = = 2.4 Rumus untuk Perhatikan kembali rumus, Sekarang mari kita bahas rumus sudut rangkap untuk sudut Dengan mengganti ke persamaan diatas maka diperoleh: Tugas Siswa 1) Dengan menggunakan rumus. Hitunglah nilai eksak dari! Jawab : 2) Jika. Maka nilai dari! Jawab : = = 2.5 Rumus untuk 21

22 Perhatikan kembali rumus, dengan cara yang sama untuk memperoleh rumus, maka rumus adalah: Tugas Siswa 1) Tentukan nilai dari Jawab : = 2) Diketahui nilai =. Maka nilai adalah... Jawab : = = 2.6 Rumus untuk Dengan mensubstitusi rumus dan yang diperoleh sebelumnya pada, diperoleh rumus yaitu: Tugas Siswa 1) Dengan menggunakan rumus. Tentukan nilai dari! Jawab : = = = 2) Diketahui =. Hitunglah nilai dari Jawab : = 22

23 = = = Latihan Siswa Kerjakan Soal-soal dibawah ini! 1) Jika adalah sudut lancip dan hitunglah : a) b) 2) Diketahui hitunglah nilai dari : a) b) 3) Buktikan pernyataan di bawah ini a) b) 23

24 4) Buktikan bahwa = : 5) Jika =. Tentukanlah nilai dari! Jawab : semua impian kita bisa menjadi kenyataan, jika kita memiliki keberanian untuk mewujudkannya (Walt Disney) 24

25 25

26 Perhatikan gambar diatas!!! Perlu kita ketahui bahwa sebenarnya konsep trigonometri tanpa kita sadari telah diterapkan dalam kehidupan kita sehari-sehari. Misalnya banyak hal-hal yang sederhana seperti memancing, penggunaan katrol saat mengambil air didalam sumur dan masih banyak lagi. Oleh karena itu jangan memandang sulit sesuatu sebelum Anda mengerjakannya. Oh may good??? Aku takut banget sama materi perkalian sin dan cos. Kex mana ne sob? Alahay tenang-tenang kemarinkan sudah dijelasin trigonometrisudutganda. Jadi keduanya saling berhubungan.oke! Mari kita perhatikan bersama. 26

27 3.1 Rumus untuk Perhatikan kembali rumus untuk Jika dijumlahkan atau dikurangkan maka diperoleh: Apa ya, yang dipelajari dalam rumus perkalian sinus dan cosinus +... jadi: = Nyatakan bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih sinus a) b) a) * + b) 3.2 Rumus untuk Perhatikan kembali rumus untuk Jika ( )dijumlahkan atau dikurangkan maka diperoleh: 27

28 +... jadi: = jadi: = Jadi: =... =... =... =... Tugas 2 Nyatakan bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih cosinus a) b) a) * + b) * + 28

29 Latihan Siswa Makin banyakilmumakinba nyak tau.yuk, Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat 1) Nyatakan tiap bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih cosinus a) b) 2) Hitunglah nilai eksak dari: a) b) 3) Tunjukkan bahwa: a) ( ) b) ( ) 29

30 SemogaSukses Manfaatkanlahwaktu,,,sebelumkamumenyesal! 30

31 RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS STANDAR KOMPETENSI: 2.Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya KOMPETENSI DASAR: 2.6 Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus. Menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut. Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus dua sudut. Ok, sebelum kita lanjutkan materi tentang RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS Kita ingat kembali rumus perkalian sinus dan cosinus : Ayoo.. isi yuk.. :D 31

32 Dengan kita mengingat kembali rumus-rumus dalam perkalian sinus dan cosinus, akan memudahkan kita dalam menurunkan dan melakukan perhitungan dengan rumusrumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus. 4. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS Jika a b dan a b, maka : Yuk kita proses.. Hore, waktunya belajar rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus Maka persamaan menjadi : Tugas siswa: 1) Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian sinus dan kosinus a) b) jawab: a) b) 2) Hitunglah nilai eksak dari : a) b) 32

33 a) b) 3) Buktikan bahwa Latihan Siswa Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat 1) Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian sinus dan cosinus a) b) 33

34 2) Tunjukkan bahwa: 3) Jika maka Kesuksesan dimulai dari keberanian untuk bermimpi Be-brave to dream (Tung Desem Waringin) 34

35 IDENTITAS TRIGONOMETRI STANDAR KOMPETENSI: 2.Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya KOMPETENSI DASAR : 2.3Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus. INDIKATOR Merancangdan membuktikan identitas trigonometri. 35

36 Apa sich perbedaan antara persamaan trigonometri dan identitas trigonometri? Investigasi Eky,kamu tahu nggak sich bagaimana perbedaan antara persamaan trigonometri dan identitas trigonometri? Aku binggung banget ni ika karena kedua-duanya juga menggunakan tanda sama dengan ( = ) Begini musa,misalnya aku punya dua buah persamaan yaitu : Nah,cara untuk mengetahui mana yang merupakan identitas.trigonometri dan persamaan trigonometrinya yaitu kamu cukup mengganti nilai x dengan besar sudut sembarang.apabila hasilnya tetap maka pernyataan tersebut benar berarti itulah yang dinamakan dengan identitas trigonometri. contohnya: misalnya kamu mengganti nilai x dengan. 36

37 Oke,mari kita cek subsitusikan ke (1) subsitusikan ke (2) = 1 = = 1 1 = = 1 (benar) Jadi bukanlh identitas trigonometri karena tidak berlaku untuk sembarang sudut. Sedangkan, berlaku untuk sembarang x maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri. Note : dalam persamaan trigonometri hanya berlaku untuk satu atau beberapa sudut bagi x yang belum diketahui. Misalnya adalah sebuah persamaan trigonometri, sebab : Untuk, dan Untuk, Jadi dalam persamaan trionometri persoalan yang sering timbul adalah mencari penyelesaian persamaan trigonometri itu. 37

38 IDENTITAS TRIGONOMETRI Kamu tau gak apa itu identitas Mmm,,,coba aja kamu baca materi disamping Identitas trigonometri adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat fungsifungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstan anggota domain fungsinya Membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dengan menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri untuk sudut Perhatikan segitiga dibawah ini Dari segitiga diatas diketahui Jika kedua ruas di bagi dengan maka 38

39 Tugas I : Untuk setiap sudut, bukatikan bahwa Jabarkan ruas kiri Tugas II: Untuk setiap sudut, bukatikan bahwa Jabarkan ruas kiri Tugas III : Buktikan bahwa Jabarkan ruas kiri 39

40 Tugas IV : Buktikan bahwa Jawab : = = = = Tugas V : Buktikan bahwa Jawab : Kegagalan bukanlah akhir dari segalanya,,,,,tapi kegagalan merupakan awal dari suatu kesuksesan yang tertunda. 40

41 Latihan Siswa Kerjakan soal-soal dibawah ini! 1) Buktikan bahwa ( ) 2) Buktikan bahwa 3) Jika maka 4) Buktikanlah identitas berikut ini! 41

42 5) Buktikanlah identitas berikut ini! Hampir semua orang menginginkan hasil yang luar biasa, tetapi mereka tidak pernah bersedia melakukan hal yang luar biasa Jadi, kamu bisa kalau kamu berpikir bisa 42

43 LATIHAN ULANGAN AKHIR Kerjakanlah soal-sol dibawah ini dengan benar! 1) Jika dan sudut lancip, dan maka 2) Diketahui Berapakah nilai dari 3) Jika dan, maka nilai Jawab : 4) Jika untuk dan untuk maka 43

44 5) Diketahui dan, jika dan Maka nilai 6) Diketahui Tentukan nilai 7) Jika. tentukanlah nilai dari 8) Jika maka Kemenangan paling berharga dalam hidup bukanlah tidak pernah gagal, melainkan bagaimana kita bisa bangkit setiap kali menemui kegagalan 44