Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Transkripsi

1 Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut dapat diperoleh: sin αα = 1 csc αα cos αα = 1 sec αα tan αα = 1 cot αα (sec merupakan kebalikan dari cos, csc merupakan kebalikan dari sin, dan cot merupakan kebalikan dari tan) Rumuskebalikandiatasdapatjugaditulis : 1- Sin α.csc α = 1 2- Cos α. sec α = 1 3- Tan α. cot α = 1

2 Contoh: Dari segitiga berikut ini: Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A! Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras: Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa * tambahan: sin 37 = cos 53 = 0,6

3 Kuadran Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius dibagi dalam 4 daerah Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar: Untuk sudut b > 360 b = (k a) b = a (k = bilangan bulat > 0) Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah: sin cos tan cot sec csc Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap Tandafungsitrigonometrijugadapatdiringkasdalam table dibawahini. αα sin aa Cos aa Tan aa Di kwadran Cscaa Sec aa Cot aa I Positif Positif Positif II Positif Negatif Negatif III Negatif Negatif Positif IV Negatif Positif Negatif

4 Sudut dengan nilai negatif Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam berada di kuadran IV Contoh: Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang Cos 120º = cos (180 60)º = cos 60º = 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif) Cos 120º = cos ( )º = sin 30º = 1/2 Tan 1305º = tan ( )º = tan 225º = tan ( )º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif) Sin 315º = sin 315º = sin (360 45)º = ( sin 45)º = sin 45º = 1/2 2 Identitas Trigonometri Sehingga, secara umum, berlaku: sin 2 a + cos 2 a = tan 2 a = sec 2 a 1 + cot 2 a = csc 2 a

5 Grafik fungsi trigonometri y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x

6 y = sec x y = csc x Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c 1. Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan 2π/k Periode fungsi untuk tan/cot = π/k artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan π/k 2. Nilai maksimum = c + A, nilai minimum = c A 3. Amplitudo = ½ (y max y min ) 4. Cara menggambar: 1. Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas 2. Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya

7 3. Jika A 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A 4. Untuk kx + b grafik digeser ke kiri sejauh b/k Untuk kx b grafik digeser ke kanan sejauh b/k 5. Untuk + c grafik digeser ke atas sejauh c Untuk c grafik digeser ke bawah sejauh c Contoh: y = 2 sin (3x + 90) + 3 periode fungsi = 2p/3 = 120 Langkah-Langkah: Grafik fungsi y = sin x Karena periode fungsinya 2π/3, maka dalam selang 0 hingga 2π, terjadi 3 gelombang sinus y = sin 3x Ampitudo dikali 2 y = 2 sin 3x

8 Grafik digeser ke kiri sejauh 90 /3 = 30 = π/6 y = 2 sin (3x + 90) Grafik digeser ke atas sejauh 3 satuan y = 2 sin (3x + 90) + 3 Aturan-Aturan pada Segitiga ABC Dari segitiga ABC di atas: Aturan Sinus Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus: Aturan Cosinus Dari segitiga ABC di atas:

9 Sehingga, secara umum: Luas Segitiga Dari segitiga ABC di atas diperoleh: Sehingga, secara umum: Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Dari gambar segitiga ABC berikut: AD = b.sin α BD = a.sin β CD = a.cos β = b.cos α

10 Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 (α+β)) Untuk fungsi tangens:

11 Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah: Rumus Sudut Rangkap Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

12 Penurunan dari rumus cos2α: Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Kosinus Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut: Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh: Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan Kosinus Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

13 Maka akan diperoleh rumus-rumus: Contoh-contoh soal: (1) Tanpa menggunakan daftar, buktikan bahwa:

14

15 (2) Buktikan bahwa dalam segitiga ABC berlaku: Label: mat, matematika, trigonometri4 komentar

16 Perbandingan Trigonometri Di Berbagai Kuadran Selain sudut-sudut istimewa, menentukan nilai perbandingan trigonometri dapat dilakukan dengan menggunakan daftar, table trigonometri, atau kalkulator. Tabel trigonometri hanya memuat sudut-sudut di kuadran I dan selebihnya tidak. Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri dengan sudut lebih dari 90 dapat dilakukan dengan menempatkan sudut tersebut ke kuadran. Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut kuadran. Dengan begitu, besar sudut α dapat dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut a. Sudut dalam kuadran I terletak antara 0 o dan 90 o (0 < x < 90 ), semua bernilai positif b. Sudut dalam kuadran II terletak antara 90 o dan 180 o (90 < x < 180 ), hanya nilai sinus yang positif (cosinus dan tangent bernilai negatif) c. Sudut dalam kuadran III terletak antara 180 o dan 270 o (180 < x < 270 ), hanya nilai tangen yang positif (cosinus dan sinus bernilai negatif) d. Sudut dalam kuadran IV terletak antara 270 o dan 360 o (270 < x < 360 ), hanya nilai cosinus yang positif (sinus dan tangent bernilai negatif) Untuk memudahkan mengingatnya kita dapat menggunakan kalimat semua sindikat tangannya kosong maksudnya adalah semua, sinus, tangent dan cosinus Dari pengelompokan kuadran di atas, berlaku rumus-rumus untuk sudut-sudut yang berelasi berikut ini. a) Kuadran I sin (90 - α) o = cos α o cos (90 - α) o = sin α o tan (90 - α) o = cot α o b) Kuadran II sin (180 - α) o = sin α o cos (180 - α) o = -cos α o tan (180 - α) o = -tan α o

17 c) Kuadran III sin (180 + α) o = -sin α o cos (180 + α) o = -cos α o tan (180 + α) o = tan α o d) Kuadran IV sin (360 - α) o = -sin α o cos (360 - α) o = cos α o tan (360 - α) o = -tan α o e) Sudut Negatif sin (- α) o = -sin α o cos (- α) o = cos α o tan (- α) o = -tan α o f) Perioditas Trigonometri sin (n α) o = sin α o cos (n α) o = cos α o tan (n α) o = tan α o Mungkin rumus-rumus di atas jika dihafal terlalu banyak. Untuk itu, saya sarankan untuk menggunakan rumus point b, c, dan d saja serta f karena jika diperhatikan rumus-rumus point b,c, dan d tersebut tidak mengubah fungsi trigonometrinya (sin (180 - α) o = sin α o perhatikan yang diwarnai). Yang perlu diperhatikan adalah penambahan tandanya (tanda negatif). Untuk lebih jelasnya perhatikanlah contoh berikut. Contoh Tentukanlah nilai perbandingan trigonometri berikut ini: 1. Sin 210 o 2. Cos 120 o 3. Tan 225 o 4. Cos 300 o Penyelesaian. 1. Sin 210 o Sudut 210 o terletak pada kuadran III (sin bernilai negatif), sehingga Sin 210 o = sin ( ) o = -sin 30 o = - ½ 2. Cos 120 o Sudut 120 o terletak pada kuadran II (cos bernilai negatif), sehingga Cos 120 o = cos (180 60) o = -cos 60 o = -½ 3.Tan 225 o Sudut 225 o terletak pada kuadran III (tan bernilai positif), sehingga Tan 225 o = tan ( ) o = tan 45 = 1

18 4. Cos 300 o Sudut 300 o terletak pada kuadran IV (cos bernilai positif), sehingga Cos 300 o = cos (360 60) o = cos 60 o = ½ Dari contoh di atasterlihatbahwadenganmenggunakanpatokansudut 180 o dan 360 o kitasudahdapatmenentukannilaiperbandingantrigonometridenganmudah.karenatidakperl umengubahfungsitrigonometrinya.kita hanyaperlumengetahuiterletak di kuadranmanasuduttersebutdengandemikiankitadapatmenentukanapakahnilaiperbandingannya positifataunegatif.

19 Koordinat kartesius terdiri atas 4 bagian. Bagian ini yang seringkali disebut dengan istilah kuadran. Keempat kuadran tersebut adalah kuadran I, Kuadran II, Kuadran III, dan kuadran IV Di kuadran I semua fungsi trigonometri positif Di kuadran II sinus dan cosecan positif, sedangkan yang lainnya negatif Di kuadran III tangen dan cotangen positif, sedangkan yang lainnya negatif Di kuadran IV cosinus dan secan positif, sedangkan yang lainnya negatif Mengapa di kuadran I semua positif? Karena di kudran I nilai x positif dan y juga positif, sedangkan r di kuadran manapun tetap positif. Mengapa di kuadran II sinus positif? Di kuadran II nilai x negatif, sedangkan y positif. Nilai r di kuadran manapun positif sin A = y/r = (+)/(+) = (+) cos A = x/r = (-)/(+) = (-) tan A = y/x = (+)/(-) = (-) karena sinus positif maka kebalikan dari sinus yaitu cosecan juga positif Mengapa di kuadran III tangen positif? Di kuadran III nilai x negatif, dan y juga negatif. Nilai r di kuadran manapun positif sin A = y/r = (-)/(+) = (-) cos A = x/r = (-)/(+) = (-) tan A = y/x = (-)/(-) = (+) karena tangen positif maka kebalikan dari tangen yaitu cotangen juga positif Mengapa di kuadran III tangen positif? Di kuadran IV nilai x positif, sedangkan y negatif. Nilai r di kuadran manapun positif sin A = y/r = (-)/(+) = (-) cos A = x/r = (+)/(+) = (+) tan A = y/x = (-)/(+) = (-) karena cosinus positif maka kebalikan dari cosinus yaitu secan juga positif

20