BAB 3 TRIGONOMETRI. Gambar 3.1

Transkripsi

1 Standar Kompetensi BAB TRIGONOMETRI Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Kompetensi Dasar. Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu.. Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus. Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus A. Rumus-Rumus Penjumlahan Materi trigonometri akan dipelajari memerlukan konsep dan teorema prasyarat yang telah dipelajari di kelas X. Konsep prasyarat itu antara lain definisi dari fungsifungsi trigonometri dan beberapa relasinya. Definisi :, cos a, dan tan a. Misalkan pada bidang kartesius terdapat sebuah titik sebarang A (x,y) dimana OA dan sumbu x arah positif membentuk sudut yang besarnya a. y A(x,y) r O a x Gambar. maka OA r x y, dan y, cos a x, tan a y. r r x Dari konsep ini menurunkan nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut istimewa, seperti,, 45, 6, dan 9. Beberapa relasi yang perlu diingat antara lain: ) tan a ) sin a + cos a ) sin (9-a) cos a 4) cos (9-a) 5) sin (8 a) 6) cos (8 a) -cos a 7) tan (8 a) -tan a 8) sin a - 9) cos a cos a ) tan a -tan a. Rumus-rumus untuk cos (a + b) dan cos (a b) Kita sudah mengetahui bahwa sin ½, sin 45, cos, dan cos 45, dapat kita menentukan cos 75 dan cos 5 tanpa menggunakan tabel ataupun kalkulator? Tentu saja kita bisa asalkan kita memiliki rumus cos (a + b) dan cos (a b), karena cos 75 cos (45+) dan cos 5 cos (45 -)

2 Perhatikan Gambar.., lingkaran yang berjari-jari, dan A(,). Misalkan AOB a, dan BOC b maka AOC (a + b) dan BOD (a + b) y C b a B O -b A(,) D x Gambar. OA OB OC OD r satuan, dan berdasarkan definisi maka B(cos a, )? Misalkan B(x,y ) dan AOB a, maka cos a x x x x, dan r OB y y y y, sehingga B(cos a, ). Dengan cara yang sama r OB diperoleh C(cos (a+b), sin (a+b) ) dan D(cos -b, sin -b ) atau D(cos b, -sinb ). Ukuran sudut pusat AOC ukuran sudut pusat BOD, maka panjang tali busur AC panjang tali busur BD dan AC BD. Masih ingat rumus jarak? Jika P(x,y ) dan Q(x,y ), maka PQ ( x y x ) ( y ) selanjutnya PQ ( x x) ( y y) Perhatikan A(,) dan C(cos (a+b), sin (a+b) ), maka AC (cos (a+b) ) + (sin (a+b) ) (cos (a+b) ) + (sin (a+b) ) cos (a+b) cos (a+b) + + sin (a+b). [cos (a+b) + sin (a+b) ]. cos (a+b) + - cos (a+b) + - cos (a+b). Perhatikan B(cos a, ) dan D(cos b, - ), maka BD (cos b cos a ) + (- ) (cos b cos a cos b + cos a ) + (sin b + + sin a ) (sin b +cos b )+ (sin a + + cos a ) -( cos a cos b - ) + - ( cos a cos b - ) - ( cos a cos b - ) AC BD - cos (a+b) - ( cos a cos b - ) - cos (a+b) - ( cos a cos b - ) cos (a+b) cos a cos b - cos (a+b) cos a cos b - Contoh. Tentukan nilai cos 75 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri. Jawab: Subsitusikan a 45 dan b ke dalam rumus cos (a+b) cos a cos b -, sehingga cos 75 cos (45 + ) cos 45 cos sin 45 sin ( )( ) ( )( )

3 6 4 4 ( 6 ) 4 Bagaimana untuk menentukan nilai cos 5? Kita perlu rumus cos (a b), dan diturunkan seperti berikut. cos (a - b) cos (a + (- b)) cos a cos -b - sin -b Menurut relasi pada pendahuluan cos -b cos b dan sin -b -, sehingga cos (a - b) cos (a + (- b)) cos a cos b - (-sin -b ) cos (a - b) cos a cos b + cos (a - b) cos a cos b + Contoh. Tentukan nilai cos 5 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri. Jawab: Subsitusikan a 45 dan b ke dalam rumus cos (a-b) cos a cos b +, sehingga cos 5 cos (45 - ) cos 45 cos + sin 45 sin ( )( ) ( )( ) ( 6 ) 4 Latihan. Tulislah rumus untuk cos (x y), cos (A B), cos (p + q) dan cos (X + Y). Cocokanlah apakah berlaku rumus untuk : a. cos (a b) jika a b /4 b. cos (a + b) jika a b. Dengan mengembangkan ruas kiri, buktikanlah bahwa: a. cos (9 a) b. cos (9 + a) - c. cos (8 a) -cos a 4. Buktikanlah : a. cos (a + b) + cos (a b) cos a cos b b. cos (a b) cos (a + b) 5. Pakailah rumus penjumlahan untuk menyederhanakan: a. cos M cos N + sin M sin N b. cos a coa a c. cos cos + sin sin d. cos 4 cos 5 sin 4 sin 5 6. Diketahui sin A /5 dan sin B 7/5. Sudut-sudut A dan B lancip. Buktikanlah bahwa cos (A + B) /5 7. Diketahui tan x /5 dan tan y 4/. Hitunglah nilai cos (x y) dan cos (x + y) dengan menganggap x dan y sudut lancip. 8. Buktikanlah : cos (7 + a) 9. Buktikan : cos A + cos (A + / ) + cos (A + 4/ ). Buktikanlah: (cos x + cos y) + (sin x sin y) [ + cos(x + y)]

4 . Rumus-rumus untuk sin (a + b) dan sin (a b) Bagaimana untuk menentukan nilai sin 75? Kita perlu rumus sin (a + b), dan diturunkan seperti berikut. Telah kita ketahui relasi pada pendahuluan bahwa cos (9 - a ), akibatnya cos (9 (a+b)) sin (a + b) cos ((9 a) - b) sin (a + b) atau sin (a + b) cos ((9 a) - b) Menurut rumus cos (a - b) cos a cos b +, maka sin (a + b) cos ((9 a) - b) cos (9-a) cos b + sin (9-a) cos b + cos a [karena cos (9 - a ) dan sin (9 - a ) cos a] sin (a + b) cos b + cos a Contoh. Tentukan nilai sin 75 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri. Jawab: Subsitusikan l a 45 dan b ke dalam sin (a + b) cos b + cos a. sin 75 sin (45 + ) sin 45 cos + cos 45 sin ( )( ) ( )( ) ( 6 ) 4 Untuk menentukan nilai sin 5, kita perlu rumus sin (a - b), dan diturunkan seperti berikut. sin (a - b) sin (a + (-b)) cos -b + cos a sin -b cos b + cos a (- ) cos b - cos a sin (a - b) cos b - cos a Contoh.4 Tentukan nilai sin 5 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri. Jawab: Subsitusikan a 45 dan b ke dalam sin (a b) cos b cos a Nilai sin 5 sin (45-) sin 45 cos - cos 45 sin ( )( ) ( )( ) ( 6 ) 4 Latihan. Tulislah rumus untuk sin (x + y), sin (A + B), sin (p q), dan sin (X Y).. Cocokkan berlakunya rumus untuk : a. sin (a + b) jika a ½ dan b ¼

5 b. sin (a b) jika a / dan b /6. Dengan mengembangkan ruas kiri, buktikanlah bahwa : c. sin (9 a) cos a d. sin (9 + a) cos a e. sin (8 + a) - 4. Buktikanlah : a. sin (a + b) + sin (a b) cos b b. sin (a + b) sin (a b) cos a 5. Pakailah rumus penjumlahan untuk menyederhanakan : a. sin M cos N + cos M sin N b. cos a cos a c. sin cos cos sin d. sin cos 57 + cos sin Diketahui sin A 5/ dan cos B /5. Sudut-sudut A dan B lancip. Buktikan bahwa sin (A + B) 6/65 7. Diketahui tg P ¾ dan tg Q 7/4. Hitunglah nilai sin (P + Q) dan sin (P Q) dengan menganggap bahwa P dan Q sudut-sudut lancip. 8. Buktikan: sin A + sin (A + / ) + sin (A + 4/ ) 9. Diketahui cos ( + t) cos ( t). Buktikanlah bahwa tan t / dan kemudian tentukanlah t untuk < x < 6. Dari sin (x + 45) + cos (x + 45), tentukanlah persamaan dalam tan x. Kemudian tentukanlah x untuk < x < 6.. Rumus-rumus untuk tan (a + b) dan tan (a b) tan (a + b) sin( a b) cos( a b) tan (a + b) tan a tanb tan a tanb tan a tan a tanb tanb tan (a - b) sin( a b) cos( a b) tan (a - b) tan a tanb tan a tanb tan a tan a tanb tanb

6 Catatan: Untuk sudut-sudut yang di ukur dengan derajat terdapat rumus-rumus yang bentuknya sama. Contoh.5: Tunjukkanlah bahwa: tan 5 - Jawab: tan 45 tan tan 5 tan (45 ) tan 45 tan ( )( ) 6 - ( )( ) 6. Latihan. Kembangkanlah tan (x + y), tan (A + B), tan (p q), dan tan (M N). Cocokkanlah berlakunya rumus untuk : a. tan (a + b) jika a b / b. tan ( a b) jika a b ¼. Kembangkanlah tan (x + y), tan(a + b), tg (x y), tan(p q), dan tan(/4 - x) 4. Jika tan a ½ dan tan b / buktikanlah bahwa tan (a + b). Hitunglah nilai tg (a b). 5. Diketahui: sin A /5 dan cos B /. Buktikanlah bahwa tan (A B) 6/6, (A dan B sudut-sudut lancip) 6. Diketahui: cos P 5/ dan sin Q 4/5. Tentukanlah nilai tan (P + Q) jika P dan Q sudut-sudut lancip. 7. Diketahui: /5, tan y /7. sudut-sudut x dan y lancip. Buktikanlah tanpa daftar x + y ¼ 8. Buktikan: tan (/4 + a) 9. Pakailah rumus tan (a + b) untuk membuktikan jika a + b ¼, maka ( + tan a)( + tan b). Jika x + y ¼ buktikan tan x tan tan y y 4. Rumus-rumus untuk Sudut a dan Pemakaiannya (i). sin(a + a) cos a + cos a cos a. Jadi: cos a (ii). cos a cos (a + a) cos a cos a cos a sin a cos a cos a sin a cos a ( cos a) cos a cos a cos a sin a ( sin a) sin a sin a Jadi :cos a cos a sin a cos a sin a

7 Perhatikanlah bahwa pada rumus-rumus kosinus maka kosinusnya terdapat lebih dahulu: cos (a + b) cos a cos a cos b cos a sin a cos a sin a (iii). cos a cos a cos a ½ ( + cos a) cos a sin a sin a ½ ( cos a) (iv). tan a tan (a + a) tan a tan a tan a.tan a tan a tan a Jadi: tan a tana tan a Catatan: Untuk sudut-sudut yang diukur dengan derajat terdapat rumus-rumus yang bentuknya sama dengan rumus-rumus tersebut. Contoh.6 Bila cos x 4/5 untuk x 9, hitung cos x cos x cos x - (4/5) /5 7/5 Latihan 4.. Tulislah rumus-rumus untuk sin A, cos A, dan tan A.. Tulislah rumus-rumus untuk sin B, cos B, dan tg B dinyatakan dengan ½ B. Nyatakanlah cos 4p dengan : a. cos p b. sin p 4. Tulislah rumus-rumus untuk : a. sin 8A dinyatakan dengan 4A b. cos 6B dinyatakan dengan B c. tan C dinyatakan dengan ½ C 5. Diketahui sin A /5 dengan < A < ½. Hitunglah sin A, cos A, dan tg A 6. Diketahui: tg B ½ dengan < B < ½. Hitunglah tg B, cos B, dan sin B 7. Nyatakanlah berikut ini dalam sinus, kosinus, atau tangen yang tunggal: a. sin p cos p e. sin p b. cos n f. cos 5 sin 5 c. cos x tan k g. tan k d. tan 5 tan 5 h. sin 5 cos 5 8. Sederhanakanlah dulu dengan rumus, kemudian hitunglah nilainya: a. sin 5 cos 5 b. cos c. cos /6 - sin /6 d. sin ¼ cos ¼ 9. Manakah yang benar atau salah:

8 a. cos x cos x + sin x b. sin x sin ½ x cos ½ x c. tg 4x tg x. tg x d. cos (x + y) cos x + cos y e. sin (x y) sin x sin y f. tan (x + y) tan x + tan y. Jika tan x ½ dan tan y / hitunglah: a. tan x b. tan y c. tan (x + y) d. tan (x + y) B. Perkalian dan Penjumlahan Kosinus dan Sinus Sebelumnya kita telah menurunkan dan menggunakan rumus jumlah berikut ini. cos ( + ) cos cos - sin sin. () cos ( - ) cos cos + sin sin... () sin ( + ) sin cos + cos sin.. () sin ( - ) sin cos - cos sin... (4). Perkalian Kosinus dan Perkalian Sinus Dari rumus () dan (), dengan jalan menjumlahkan, kita dapatkan cos ( + ) cos cos - sin sin cos ( - ) cos cos + sin sin + cos ( + ) + cos ( - ) cos cos atau cos cos cos ( + ) + cos ( - ) Dalam rumus itu bentuk perkalian kita nyatakan dalam bentuk jumlah dari kosinus. Contoh.7. cos 4 cos 5 cos (4 + 5) + cos (4 5) cos 78 + cos 8 Contoh.8. cos 65 cos 5 cos (65 + 5) + cos (65 5) cos 9 + cos 4 + cos 4 cos 4 Contoh.9 cos cos ½ (cos + cos ) Bila rumus () dikurangi rumus () diperoleh cos ( - ) cos cos + sin sin cos ( + ) cos cos - sin sin cos ( - ) - cos ( + ) sin sin - atau sin sin cos ( - ) cos ( + ) Contoh.. sin 47 sin 4 cos (7 4) cos (7 + 4) cos cos 4

9 Contoh.. sin / sin /6 cos /6 - cos ½ ½ ½ Latihan 5 Nyatakan bentuk bentuk di bawah ini sebagai jumlah kosinus:. cos A cos B cos x cos y cos 5 cos cos 5 cos 5 cos 5 cos Nyatakan bentuk berikut ini sebagai selisih kosinus: 6. sin A sin B 7. sin p sin q 8. sin 6 sin 9. sin 5 sin. sin 5 sin 5 Nyatakan sebagai bentuk jumlah atau selisih kosinus, dan sederhanakan jika mungkin. cos (x + y) cos (x y). cos ½ ( + ) cos ½ ( - ). sin (x + y) sin (x y) 4. cos ( + ) cos ½ ( - ) 5. sin (A + B C) sin (A B + C) 6. sin ( + ¼ ) sin ( - ¼ ) 7. cos cos 8. sin 75 sin 5 9. cos ¾ cos ¼. Buktikan bahwa sin (/4 + ) sin (/4 + ) cos. Perkalian Kosinus dan Sinus Bila rumus () dan (4) dijumlahkan, diperoleh sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( - ) sin cos - cos sin sin ( + ) + sin ( - ) sin cos atau sins cos sin ( + ) + sin ( - ) Bila rumus () dikurangi (4), diperoleh sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( - ) sin cos - cos sin sin ( + ) - sin ( - ) cos sin atau cos sin sin ( + ) - sin ( - ) + _ Contoh.: Nyatakan sin 4 cos 47 sebagai jumlah atau selisih sinus. Dengan rumus sins cos sin ( + ) + sin ( - ) diperoleh

10 sin 4 cos 47 sin 88 + sin (-6) sin 88 sin 6 Dengan rumus cos sin sin ( + ) - sin ( - ) diperoleh sin 4 cos 47 cos 47 sin 4 sin 88 - sin 6 sin 88 sin 6 Latihan 6 Nyatakan bentuk di bawah ini sebagai jumlah sinus :. sin A cos B. sin 5 cos. sin 5 cos 5 Nyatakan masing-masing dalam bentuk selisih sinus : 4. cos p sin q 5. cos 75 sin 5 6. cos 5 sin 75 Nyatakan dalam bentuk jumlah atau selisih sinus, dan sederhakan jika mungkin : 7. sin ( + ½ ) cos ( - ½ ) 8. sin ½ ( + ) cos ½ ( - ) 9. cos (/4 + ) sin (/4 - ). Buktikan bahwa 4 sin 8 cos 6 sin 54 + sin 8 cos 6 Tampaklah sekarang pentingnya mengingat-ingat keempat rumus tadi, yaitu :. Jumlah dan Selisih cos cos cos ( + ) + cos ( - ) sin sin cos ( - ) - cos ( - ) sin cos sin ( + ) + sin ( - ) cos sin sin ( + ) - sin ( - ) Dari bagian A telah diketahui: cos ( + ) + cos ( - ) cos cos ( - ) - cos ( + ) cos sin ( + ) + sin ( - ) sin cos ( + ) - sin ( - ) cos cos cos cos sin Misal + C maka ½ (C + D), dan misal - D maka ½ (C D). Dengan mensubsitusi dan diperoleh : cos C + cos D cos ½ (C + D) cos ½ (C D) cos C - cos D - sinn ½ (C + D) sin ½ (C D) sin C + sin D sin ½ (C + D) cos ½ (C D) sin C - sin D cos ½ (C + D) sin ½ (C D) Contoh. Sederhanakan sin + sin 8 Jawab: sin + sin 8 sin cos. ½.cos cos

11 Latihan 7 Nyatakan bentuk-bentuk di bawah ini sebagai bentuk perkalian dan sesederhana mungkin :. cos A + cos B. cos x + cos x. cos 4 + cos 4. cos 8 + cos 4 5. cos A cos B 6. cos 4x cos x 7. cos 5 cos 8. cos P cos Q 9. cos Y cos Y. cos 4 cos. sin P + sin Q. sin 5X + sin X. sin 5 + sin 5 4. sin Y + sin Y 5. sin 7 + sin 6. sin A sin B 7. sin X sin X 8. sin 44 sin 9. sin Y sin 4Y. sin sin 8. sin ( + ) + sin ( - ). cos ( - ) + cos ( + ). sin (x + h) sin x 4. cos (x + h) cos x 5. sin ( ½ - ) + sin ( ½ + ) C. Identitas dan Persamaan Trigonometri. Identitas Contoh.4: Buktikan identitas: (i) (ii) cos a (cos ½ a + sin ½ a) cos a + cosa tan a Bukti: (i). Ruas kiri cos a (cos ½ a + cos ½ a sin ½ a + sin ½ a) cos a ( + ) cos a + cos a cos a + sin a ruas kanan

12 (ii). Ruas kiri ( sin a). tan a ruas kanan Latihan 8 Buktikanlah identitas berikut ini:. ( + cos a) +. (cos a ). (cos a + )(cos a ) cos a 4. cos 4 b sin 4 b cos b 5. ( cos b )( cos b + ) cos b + 6. (cos ½ b sin ½ b) 7. tan a cosa cosa 8. tan a cosa tanb 9. tan b tan b. cos b tan b. Dengan memakai cos 4a cos a dan cos a cos a, buktikanlah cos 4a 8 cos 4 a 8 cos a +. Dengan cara seperti soal no., nyatakanlah cos 4a dalam perpangkatan dari. a. Dengan memakai sin A ½ ( cos a) buktikanlah bahwa cos 4 a ¼ + ½ cos a + ¼ cos a b. Kemudian tunjukkanlah bahwa : cos 4 b /8 + ½ cos b + /8 cos 4 b 4. a. Dengan memakai sin A ½ ( cos A) nyatakanlah sin 4 A dalam bentuk a + b cos A + c cos A b. Kemudian nyatakanlah sin 4 p dalam bentuk d + e cos p + f cos 4 p 5. Nyatakanlah sin p cos p dalam bentuk a + b cos 4 p 6. Dengan menyatakan A sebagai A + A buktikan : a. cos A 4 cos A cos A b. sin A sin A 4 sin A 7. Buktikan bahwa : a. sin 4 + sin tg b. cos - cos 5 sin cos 4 + cos sin - sin 8. Jika x sin + sin dan y cos + cos, buktikan : a. x + y cos (sin + cos ) b. x/y tan c. x + y + cos 9. a. Buktikan cos x cos 4x x, 6, 9,, 8,. Sin x sin x cos x b. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

13 cos x cos 4x <, untuk < x < 6 sin x sin x cos x. Jika sin + sin k dan cos + cos m, buktikan: a. k + m cos ½ ( - ) [ sin ½ ( + ) + cos ½ ( + )] b. k m tan ½ ( + ) c. k + m [ + cos ( - ) ] 4 cos ½ ( - ). Persamaan Trigonometri Contoh.5: Selesaikanlah persamaan cos x + sin x, jika x R dan x 6 Jawab: cos x + sin x sin x + sin x sin x sin x (sin x ) ( sin x + ) sin x atau ½ x 9 ; ; atau Jadi himpunan penyelesaiannya { 9,, } Latihan 9 Selesaikanlah persamaan berikut untuk x 6 dan x R. sin x + sin x. sin x cos x. cos x cos x 4. cos x sin x 5. cos x cos x + 6. cos x sin x 7. cos x 4 sin x cos x sin x 9. cos x + 5 cos x. cos x + cos x +. cos x + cos x. 5 cos x cos x. sin x + 5 cos x 4. 6 cos x 5 cos x cos x sin x 6. 5 cos x + 7 sin x + 7 Selesaikanlah persamaan berikut untuk a dan a R 7.

14 8. + cos a 9. cos a + cos a. cos a + Latihan (PR). Carilah nilai maksimum dan minimum dari : a. sin x b. cos x c. sin x d. cos x e. sin x. Nyatakan cos (x + 45) cos (x 45) sebagai jumlah atau selisih, dan kemudian carilah nilai maksimum dan minimum dari perkalian itu.. Ulangi soal no. untuk : a. cos (x + ) cos (x ) b. sin ( + ¾ ) sin ( - ¾ ) 4. Sederhanakan: cos 5 cos 4 sin 95 sin Buktikan: sin sin 4 + cos 5 cos - cos cos 6. Buktikan: ( sin ½ cos / ) + ( sin 5/ + sin / )-( sin / cos 7/ ) sin 4 + sin 5 7. Buktikan: sin + (cos + sin ) ( - sin ) cos 8. Dengan tidak menggunakan table, buktikan: Sin 5 sin 68 sin 47 cos 77 cos 65 cos 8 ½ 9. Nyatakan sin sin dalam bentuk selisih kosinus. Kemudian carilah jumlah 6 suku pertama dari deret: Sin sin + sin sin 6 + sin 4 sin +. Carilah 6 suku pertama deret: Cos 96 sin + cos 48 sin 6 + cos 4 sin 8 +.

15 Prakata Bab Tidak dapat dipungkiri bahwa konsep dan aturan trigonometri sangat diperlukan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan baik dalam maupun di luar matematika. Pemodelan persoalan-persoalan dalam bidang fisika dan berbagai bidang teknologi seperti permesinan, elektro, geodesi dan lain sebagainya banyak yang terkait dengan fungsi, persamaan, atau pertidaksamaan trigonometri. Hal ini disebabkan fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik. Untuk memahami konsep dan aturan trigonometri secara keseluruhan, perlu dipelajari secara bertahap penurunan kesamaan (identitas) fungsi trigonometri dari penjumlahan dua sudut, sudut ganda, dan kesamaan dari penjumlahan atau perkalian fungsi trigonomteri. Begitu pula aplikasi kesamaan-kesamaan tersebut untuk membuktikan identitas trigonometri lainnya dan menyelesaikan persamaan trigonometri. Apersepsi. Jika A (-, 4) dan adalah ukuran sudut yang dibentuk oleh sinar OA dan sumbu x arah positif. Tentukan sin, cos, dan tan.. Jika x 6 dan sin x ½, tentukan x. Kemudian carilah cos x dan tan x. Perdalam Konsepmu! Apakah sin x sin x Apakah cos x cos x RANGKUMAN Kesamaan fungsi trigonometri dari penjumlahan/ pengurangan dua sudut cos (a + b) cos a cos b - cos (a - b) cos a cos b + sin (a + b) cos b + cos a sin (a - b) cos - cos a sin tan (a + b) tan a tanb tan a tanb tan (a - b) tan a tan b tan a tan b Kesamaan fungsi trigonometri sudut ganda cos a cos a cos a sin a cos a sin a tan a tana tan a Kesamaan perkalian fungsi sinus dan cosinus cos cos cos ( + ) + cos ( - ) sin sin cos ( - ) - cos ( - ) sin cos sin ( + ) + sin ( - ) cos sin sin ( + ) - sin ( - ) Kesamaan penjumlahan fungsi sinus dan penjumlahan cosinus cos C + cos D cos ½ (C + D) cos ½ (C D) cos C - cos D - sinn ½ (C + D) sin ½ (C D) sin C + sin D sin ½ (C + D) cos ½ (C D) sin C - sin D cos ½ (C + D) sin ½ (C D)