Youngster Physics Journal ISSN: Vol. 6, No. 2, April 2017, Hal

Transkripsi

1 Youngste Physics Jounal ISSN: Vol. 6, No., Apil 017, Hal Pehitungan VEV dai opeato Wilson Loop Unnot dai teoi hen-simons-witten (SW) +1 dimensi dengan menggunaan teoi Baiding dan teoi medan uantum Asep Yoyo Wadaya Depatemen Fisia, Faultas Sains dan atematia, Univesitas Diponegoo, Semaang asepyoyo@yahoo.co.id ABSTRAT oncepts of athematical (Goup theoy) and Physics (Quantum Field Theoy) sciences have a elationship in many Scientific applications. One example of this elationship is topology field theoy such as Jones and HOFLY polinomials in two space and one time dimensions, which have a connection with the concept of the quantum field theoy. In this pape, we investigated the value of the invaians polynomial at SO(5) goup by using baiding goup concept that has exact solution. As compaison, Quantum Field Theoy concept will be calculated the Vacuum Expectation Value (VEV) of the Wilson loop unnotted opeato in hen-simons-witten theoy (SW) +1 dimension at the same goup that has a convegent powe seies solution fom ode 1 / n ( is a coupling contant). Fom compaison calculation of invaiant polynomial and VEV of SO(5) goup, we have the identical esult of them up to 1 / ode. Keywods : Invaians Polynomial, SW, Wilson loop opeato, SO(5). ABSTRAK Konsep Ilmu atematia (Teoi Gup) dan Fisia (Teoi edan Kuantum) memilii eteaitan eat dalam bebagai apliasi Ilmu. Salah satu contoh eteaitan tesebut adalah pada teoi medan topologi sepeti polinomialpolinomial Jones dan HOFLY dalam dua dimensi uang dan satu dimensi watu, tenyata besesuaian dengan onsep teoi medan uantum. Pada maalah ini, aan dihitung nilai dai polinomial invaian pada asus gup SO(5) dengan menggunaan onsep gup baiding yang mempunyai solusi yang esa. Sebagai pebandingan dalam onsep Teoi edan Kuantum aan dihitung nilai haap vaum (VEV) dai opeato Wilson loop unnot dalam teoi hen-simons- Witten (SW) +1 dimensi pada gup yang sama yang mempunyai solusi deet onvegen dai ode 1/ n ( adalah onstanta opling). Dai pebandingan pehitungan polynomial invaiant dan VEV dai gup SO(5) dipeoleh hasil yang sama sampai ode deet 1/. Kata Kunci: Polinomial invaiansi, SW, opeato Wilson loop, SO(5). PENDAHULUAN Konsep polinomial invaiansi dalam +1 dimensi, petama ali dicetusan oleh Vaughan Jones pada tahun 1987 [1] yang dinamaan polynomial Jones pada asus gup gauge SU(). Peembangan selanjutnya munculah polynomial HOFLY untu asus gup gauge SU(N) dan polynomial Kauffman untu asus gup gauge SO(N). Semua polynomial-polinomial tesebut dapat dihitung dengan menggunaan onsep simeti gup Baiding sepeti yang telah diembangan oleh Hayashi, Zen and Guadagnini, d. [], [] dan [4]. Penemuan yang cuup fenomenal adalah tedapatnya hubungan diantaa onsep teoi medan topologi (sepeti teoi gup baiding) dengan teoi medan uantum dalam +1 dimensi pada tahun 1989 oleh Witten [5] dengan membuat fomulasi vacuum expectation value (VEV) dai opeato Wilson loop dai teoi hen-simons-witten (SW) pada +1 dimensi. Kemudian Guadagnini [6-7] behasil menghitung VEV of opeato Wilson loop pada asus SU() sampai ode edua dai fungsi onstanta opling. Peembangan selanjutnya Zen, d. [8] 181

2 Asep Yoyo Wadaya Pehitungan VEV dai opeato behasil menghitung VEV of opeato Wilson loop untu asus unnot sampai ode etiga. FORULASI BRAIDING Asi SW dalam uang dimensi ditulisan sebagai [9], scsw dx x T( A A i A A ) na 4 R (1) dimana T adalah symbol tace and 1/ adalah onstanta upling. Pehitungan polinomial Baiding E dipeoleh dai bentu 0 pealian tenso dai epesentasi, yang ditulisan sebagai [,10]: a b t 1t, () sehingga menghasilan peumusan [,11]: dan. () E E E 0 a 0 b 0 t t1 1 Qa Qa Qt / 0 a t 0 t t1 q E q E, (4) dimana fato simeti t mempunyai nilai +1 untu asus ombinasi simeti dan (-1) untu asus ombinasi anti-simeti. Pada penulisan maalah ini menggunaan asus gup gauge SO(5). Deomposisi dai pealian tenso dai dua epesentasi fundamental dai SO(5) ditulisan sebagai (5) Tedapat hubungan sein untu dua Wilson loop bedasaan pesamaan () dan (4) yang pada asus SO(5), didefinisian sebagai []: 1 1 q 1/ q 1/ 0 g g g I. (6) Jia disubstitusian nilai a b 5 pada pesamaan (5) e pesamaan (6) maa aan dipeoleh pesamaan dai polynomial invaian sebagai: Q5 Q5 1/ 1/ q E 5 q E 5 q q E 5 E 5, (7) Dimana nilai dai asimi uadati dai gup gauge SO(5) ditunjuan pada table di bawah ini []. Tabel 1. Nilai asimi uadati dai gup gauge SO(). Q(1) Q(5) Q(10) Q(14) 0 5 Notasi q dan I 55 pada pesamaan (6) untu asus SO(5) didefinisian sebagai i qexp, ˆ I 55(1) E0 (5). (8) Q(10) Solusi non-tivial dai polinomial invaiansi dai gup SO(5) dapat dipeoleh dai pesamaan (8), sebagai E0 5 4cos cos 1. (9) Solusi esa dai pesamaan (9) diatas, dapat dideetan sebagai fungsi dai 1/, yang aan menghasilan pesamaan: E (10) VEV OF OPERATOR WILSON LOOP Untu menghitung polynomial Jones pada gup gauge SU(), Witten membuat caa yang bebeda dengan Jones yang menggunaan metode aljaba. Witten menggunaan metode diagam Feynman (teoi medan uantum), dengan ondisi invaiansi gauge. Pada asus ini digunaan uantisasi dengan posedu Faddeev-Popov standa. Asi total dai teoi SW dengan menambahan S gauge-fixing dan S ghost [6-7],, adalah S A,, c, c SSW A S S tot gauge fixing ghost 4 d x T A A i A A A a a d x g g A 4 a d x g g c D c, (11) a dimana is Lagange multiplie (medan auxiliay) dan a a abc b c Dc c f A c. (1) a 18

3 Youngste Physics Jounal ISSN: Vol. 6, No., Apil 017, Hal Nomalisasi VEV dai opeato Wilson loop dai the asi total teoi SW (11) dihubungan dengan fungsi patisi dai opeato Wilson loop didefinisian sebagai [6-7]: D D D D istot W A c c T P exp A e T 1 i dx A x dx dy A y A x x x y i dx dy dz A z A y A x x y z dx dy dz dw A w A z A y A x i dx dy dz dw dv A v A w A z A y A x v dx dy dz dw dv du A ua va wa za ya x.... (1) Pada pesamaan (1), nilai VEV opeato medan gauge A x adalah nol, A x 0. (14) Untu fomasi dua popagato gauge dan tiga vetex gauge didefinisian secaa betuuttuut sebagai [6-7] : and [1] a b i ab x y A x A y x y 1 Aa x Ab y c A z 4, (15) f abc w x w y w z dw. (16) w x w y w z Notasi opeato asimi uadati dihubungan melalui pesamaan, a a Q 5 1 R R, (17) dan ab Q5 f acd f bcd, (18) Pesamaan (1) masih besifat umum (not). Jia diambil asus unnot, maa haus menggunaan pehitungan ontu faming yang didefinisian sebagai [6, 1]: x y x n t ; 0, nt 1, dan [14]: n( s) 0,0, e i s, (faming contou) (19) U0 x s cos s,sin s,0 : 0 s 1 (metode unnot). (0) Jia ondisi pesamaan (19) dan (0) disubstitusian e pesamaan (1), maa aan dipeoleh VEV dai opeato Wilson loop pada asus unnot sebagai, W 51 i Ó Q5f U Q5 0 1 U 0 1 Q 5 5 f f +T U Q U 0 0 A v A w A z A y A x i dx dy dz dw dv T v i dx dy dz dw dv du, (1) A u A v A w A z A y A x dimana notasi Ó dan U menunjuan 0 pesamaan (1) memenuhi ondisi unnot dan telah menggunaan ontu faming. Adapun bebeapa nilai fomulasi dai pesamaan (1) dapat ditulisan sebagai [6]: f U0 f U0 0, () dan [7]: 1 1U 0 d d d sin sin sin. 1 () Untu bentu ode A 5, dapat ditulisan sebagai [8]: a W =Ti dx dy dz dw dv A v A w A z A y A x i5q5 dx dy dz dw dv 8 F, v w, y, x, zf, v z, y, x, w F, v y, z, x, w F, v x, z, y, w F, w z, y, x, v F, w y, z, x, v F, w x, z, y, v F, z y, w, x, v F, z x, w, y, v F, y x, w, z, v 18

4 Asep Yoyo Wadaya Pehitungan VEV dai opeato iq 5 5 dx dy dz dw dv 16 F, v z, y, x, w F, v y, z, x, w F, w y, z, x, v F, w x, z, y, v F, z x, w, y, v, (4) Jia disubstitusian ondisi unnot dan ontu faming (19) dan (0) pada pesamaan (4) maa dipeoleh nilai integal beiut [8], dx dy dz dw dv F, z x, w, y, v= i / 6 1, dx dy dz dw dv F, w x, z, y, v= i / 6 1, dx dy dz dw dv F v z y x w F w y z x v i,,,,,,,,, dx dy dz dw dv dx dy dz dw dv F, v y, z, x, w i, F, v x, z, y, w i / 6, dx dy dz dw dv F, v w, y, x, z F, w z, y, x, v F z y, w, x, v F y x, w, z, v.,, i / 6. (5) Jia disubstitusian nilai integal (5) pada pesamaan (4), maa dipeoleh nilai a. Q W Ó.. (6) 6 Untu bentu ode A, dapat ditulisan sebagai b v W T i dx dy dz dw dv du A u A v A w A z A y A x. (7) Nilai VEV pada pesamaan (7) aan benilai nol jia dienaan ondisi unnot dan ontu faming (19) dan (0), [8]. b W Ó 0. (8) Pehitungan VEV dai opeato Wilson loop sampai ode e 1/ untu asus unot dengan menggunaan pesamaan-pesamaan (), (), (6) dan (8), seta menggunaan tabel 1 dai uadati asimi adalah 1 Q 10 Q5 W Ó 5 1 Q5Q (9) Tenyata pesamaan (9) diatas identi dengan onsep fomulasi baiding (10) apabila dideetan sampai ode 1/. KESIPULAN VEV dai opeato Wilson loop dalam +1 dimensional untu asus unnot dai teoi SW dapat dihitung dengan menggunaan teoema polynomial invaiansi yang menghasilan nilai yang esa pada gup gauge SO(5). Bila nilai VEV tesebut dideetan sampai ode 1/, tenyata nilainya aan sama dengan pehitungan VEV dengan menggunaan onsep diagam Feynman (teoi medan uantum). Untu elanjutan penelitian ini, bisa dicai hubungan diantaa polynomial invaiansi dan teoi medan uantum pada asus yang not WL secaa umum, sehingga bisa tejalin hubungan diantaa metode matematia (hususnya metode aljaba) dengan metode fisia. DAFTAR PUSTAKA [1] Jones, V.F.R. (1987) Hece Algeba Repesentations of Baid Goups and Lin Polynomials, The Annals of athematics, Second Seies, 16, 5-8. [] Hayashi,. (199) alculation of Knot Polynomials fo Unnotted Knot, Pogess of Theoetical Physics, 90:1, [] Hayashi,. dan Zen, F.P. (1994) Gavitational Scatteing in + 1 Dimensions and Wilson Loop 184

5 Youngste Physics Jounal ISSN: Vol. 6, No., Apil 017, Hal Opeatos, Pogess of Theo. Physics, 91:, [4] Guadagnini, E., atellini,. dan intchev,. (1990), Baid and Quantum Goups Symmety in hen- Simons Theoy, Nuclea Physics B, 6, [5] Witten, E. (1989) Quantum Field Theoy and The Jones Polynomial, ommunications in athematical Physics, 11, [6] Guadagnini, E., atellini,. dan intchev,. (1989) Petubative Aspects of The hen-simons Field Theoy, Physics Lettes B, 7, [7] Guadagnini, E., atellini,. dan intchev. (1990), Wilson Lines in hen-simons Theoy and Lin Invaiants, Nuclea Physics B, 0, [8] Zen, F.P., Kosasih, J. S., Wadaya, A. Y. dan Tiyanta (008) Tetahedon Diagam and Petubative alculation in hen-simons-witten Theoy, Advanced Studies in Theoetical Physics, :18, [9] hen, S.S. dan Simons, J. (1974) haacteistic Foms and Geometic Invaiants, The Annals of athematics, Second Seies, 99, [10] Zen, F.P., Wadaya, A. Y., Kosasih, J. S. dan Tiyanta (006) The Vacuum Expectation Values of Wilson Loop Opeato in hen-simons-witten Theoy, Intenational onfeence on athematics and Natual Sciences (INS), ITB Bandung, [11] Zen, F.P., Wadaya, A. Y., Kosasih, J. S. dan Tiyanta (007) The oespondence Between Petubative and Non-Petubative Aspects of The hen-simons-witten Theoy, Poceedings of The 007 Asian Physics Symposium, Bandung, B.1 B.4. [1] Wadaya, A. Y., Zen, F. P., Kosasih, J. S. dan Tiyanta (010) Aspe Petubatif dan Non-Petubatif Teoi edan Kuantum dalam Dimensi Rendah, Disetasi Fisia ITB, Bandung, [1] Wadaya, A.Y., Zen, F. P., Kosasih, J. S., Tiyanta dan Hatanto, A. (010) Petubative Aspects of Low- Dimensional Quantum Field Theoy, nd Intenational onfeence on Advances in Nuclea Science and Engineeing 009 (IANSE 009), AIP onf. Poceeding, [14] Wadaya, A.Y., Zen, F.P., Kosasih, J. S., dan Tiyanta (008) Petubative and Non-petubative Aspects of the hen-simons-witten Theoy, Indonesian Jounal of Physics,