BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.. Pesamaan Diac Pesamaan Schödinge meupakan pesamaan gelombang yang digunakan pada medan nonelativistik, pesamaan ini hanya dapat digunakan untuk patikel yang memiliki kecepatan lebih kecil dai kecepatan cahaya (v << c) (Aysiah, 204). Ditinjau dai elativitas khusus, koodinat uang dan waktu dipelakukan secaa sama. Penyelesaian untuk patikel yang besifat elativistik dapat menggunakan pesamaan Klein-Godon, pesamaan Diac, atau dapat menggunakan pesamaan Duffin-Kemme-Petiau. Pesamaan Klein-Godon membeikan solusi enegi negatif dan densitas pobabilitas yang negatif, namun hal tesebut tidak mungkin akan tejadi. Pada tahun 928, Diac meneliti pesamaan konvaian elativistik dai pesamaan Schödinge dan mengusulkan adanya matiks α, β dan enegi elativistiknya menjadi ode I (Geine, 989). Pesamaan Klein-Godon dan pesamaan Diac memiliki fungsinya masingmasing, kedua pesamaan ini dapat digunakan untuk menjelaskan patikel yang besifat elativistik. Pesamaan Diac meupakan pesamaan gelombang elativistik yang diumuskan oleh fisikawan kebangsaan Inggis, Paul Andien Mauice Diac pada tahun 928. Pesamaan ini mempunyai fungsi yang sama dengan pesamaan gelombang yang telah ditemukan oleh Ewin Schödinge, yakni untuk menemukan solusi fungsi gelombang kuantum yang dapat mendeskipsikan suatu patikel pada skala mikoskopik ketika sedang beada pada kondisi tetentu. Asumsikan patikel memiliki kecepatan lebih kecil dibandingkan kecepatan cahaya, maka enegi kinetik yang dimiliki patikel meupakan enegi non-elativistik dan solusi yang dipeoleh dai pesamaan diatas adalah fungsi gelombang yang mendeskipsikan keadaan patikel secaa klasik, sedangkan Pesamaan Diac adalah pesamaan gelombang yang telah mengikutsetakan keadaan elativistik dai petikel yang ditinjau (v ~ c), sehingga hasil yang dipeoleh dai penyelesaian pesamaan Diac 6

2 7 ini meupakan fungsi gelombang kuantum elativistik dan spektum enegi elativistik (Atkins, 974). Bedasakan fungsinya pesamaan Diac dapat digunakan untuk menjelaskan patikel yang besifat elativistik. Pada dasanya, patikel-patikel elemente dibagi menjadi dua golongan bedasakan sifat spin yang dimiliki, yakni: boson dan femion. Boson meupakan golongan patikel yang bespin kelipatan ½. ketika patikel begeak dalam suatu medan dengan kecepatan elativistik, efek spin patikel beasosiasi dengan medan ekstenal juga haus dipetimbangkan. Untuk patikel boson, pesamaan gelombang yang dapat mendeskipsikan keadaan patikel dalam kondisi tetentu adalah pesamaan Klein-Godon, sedangkan untuk femion spin ½ adalah pesamaan Diac yang solusinya digunakan untuk meninjau patikel dalam kondisi elativistik. Spin meupakan momentum sudut intinsik patikel. Efek spin akan telihat ketika suatu patikel begeak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya, hal ini dikaenakan efek spin telihat ketika patikel begeak pada medan magnetik yang homogen dan akan menyebabkan munculnya momen magnetik akibat otasi petikel bemuatan tehadap sumbunya. Efek spin semakin jelas ketika patikel begeak dalam kecepatan yang sangat tinggi (yaitu v ~ c). Dalam pekembangannya, mekanika kuantum elativistik kemudian menjadi semakin luas cakupannya dengan mempekenalkan suatu konsep bahwa patikel-patikel mikoskopik di alam sebenanya meupakan suatu medan yang tekuantitasi. Peluasan mekanika kuantum elativistik ini dinamakan teoi medan kuantum (quantum field theoy) (Atkins, 974). Mula-mula akan ditinjau bagaimana Diac mencai bentuk elativistik dai pesamaan gelombang kovaian Schödinge, iħ Ψ t = H Ψ (2.) dengan apat pobabilitas tetentu positif, kaena Pesamaan (2.) linie tehadap tuunan waktu, maka opeato Hamiltonian H juga dapat dijabakan secaa linie tehadap tuunan spasial. Maka, Pesamaan (2.) dapat dituliskan dalam bentuk pada Pesamaan (2.2), iħ Ψ = t [ħc i (α + x α 2 commit + x 2 α 3 xto 3) use + β μc] Ψ H fψ (2.2)

3 8 atau dalam notasi yang lebih sedehana pada Pesamaan (2.3). iħ Ψ t = [ħc 3 i j= α j j + β μc] Ψ H fψ (2.3) x α j meupakan koefisien matiks sehingga dibei tanda opeato. Koefisien ini haus beupa matiks aga Pesamaan (2.2) dan Pesamaan (2.3) tetap invaian tehadap otasi koodinat spasial. Kaena koefisien ini bebentuk matiks, Ψ tidak dapat menjadi fungsi skala sedehana, tetapi haus menjadi vekto kolom. Ψ (x, t) Ψ Ψ = ( 2 (x, t) ) (2.4) Ψ N (x, t) ρ(x) = ψ ψ(x) = (ψ, ψ 2,, ψ ψ N ) ( 2 N ) = i= ψ i ψ i (x) (2.5) ψ N yang apat pobabilitasnya meupakan pekalian matiks antaa ψ(x) dengan konjugatnya (Diac, 928). Rapat pobabilitas ρ(x) juga haus dibuktikan yang meupakan komponen tempoal dai fou-vecto (aus) yang haus memenuhi pesamaan kontinuitas, sehingga integal spasial ρd 3 x konstan tehadap waktu. Hanya dengan demikian intepetasi pobabilitas dai ρ(x) dapat dijamin. Tampak jelas bahwa fungsi gelombang spin dalam pesamaan Pauli. Dengan demikian Ψ dapat disebut spino. Koefisien α dan β haus kuadatik N N. Maka dapat disimpulkan bahwa Pesamaan (2.) dan Pesamaan (2.4) miip dengan pesamaan Schödinge yang meepesentasikan sistem N pesamaan diffeensial ode petama yang tekopel dai komponen spino ψ i, i =,2,, N. Pesamaan (2.2) juga dapat ditulis sepeti Pesamaan (2.6). iħ Ψ σ t = ħc N i ψ τ= (α + x α 2 + x 2 α 3 x 3) Ψ τ + μc 2 τ= β στ Ψ τ στ N t= (H f) Ψ στ τ (2.6) Pesamaan (2.2) adalah bentuk pendek dai Pesamaan (2.6), dimana empat N N matiks (α i) στ (i =,2,3) dan β στ diekspesikan dalam bentuk singkat yang biasa untuk matiks α i(i =,2,3) dan β. Lebih lanjut, dipelukan bebeapa N

4 9 kondisi untuk meancang pesamaan gelombang elativistik yang sesuai, sepeti penyataan dibawah ini:. Relasi enegi-momentum yang tepat untuk patikel bebas elativistik adalah E 2 = p 2 c 2 + μ 2 c 4, (2.7) 2. Pesamaan kontinuitas untuk apat pobabilitas ditunjukkan oleh Pesamaan (2.5), dan 3. Kovaiansi Loentz (yaitu invaiansi bentuk Loentz) masing-masing untuk Pesamaan (2.2) dan Pesamaan (2.6). Pada spin ½ dipelajai dengan caa pendekatan elativistik, maka pesamaan Diac diselesaikan untuk mengetahui masalah pada enegi yang tinggi dalam fisika nukli. Ada bebeapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan pesamaan Diac, yaitu: supesimeti (SUSY), Nikifoov-Uvaov (NU), seta Metode Iteasi Asimtotik (AIM). Simeti adalah konsep yang digunakan dalam fisika nukli untuk menjelaskan degeneacies yang diamati oleh model shell obital (Akcay, 202) Pesamaan Diac Spino Pesamaan Diac Spino menjelaskan bahwa geakan nukleon dengan massa M dalam potensial vekto V() dan potensial skala S() plus potensial tenso U() adalah Pesamaan (2.8), {α p + β(m + S()) iβα U()}Ψ() = {{E V()}Ψ()} (2.8) E adalah enegi elativistik, dan p adalah opeato momentum (dimensional momentum opeato), i, α = ( 0 σ 0 ), β = (I σ 0 0 I ) (2.9) Telah diketahui bahwa σ adalah matiks pauli 3 dimensi, I adalah matik identitas 2 2. Kini dapat dipetimbangkan potensial matiks dalam Pesamaan (2.8) sebagai potensial spheically simeti. Demikian pula hanya dapat dilihat pada =, dan pendapat lainnya dimana ħ =, dan c =. Kemudian pesamaan Diac dapat dijelaskan pada Pesamaan (2.8) adalah keadaan nilai yang mempunyai definisi keseimbangan.

5 0 Dengan substitusi nilai matiks Pauli, maka eigenfunction pesamaan Diac menjadi yang ditunjukkan Pesamaan (2.0), ψ() = ( ζ() φ() ) = ( F nk () i G nk l γ jm (θ, φ) γ l jm(θ, φ) ) (2.0) Diketahui bahwa F nk dan G nk adalah komponen uppe (atas) dan lowe l (bawah) dai pesamaan Diac. Sedangkan masing-masing γ jm l (θ, φ) dan γ jm (θ, φ) adalah putaan hamonik bola spin dan hamonik bola pseudospin, dan l adalah bilangan kuantum obital. Pesamaan (2.9) dan Pesamaan (2.0) dapat disubstitusi ke dalam Pesamaan (2.8), dan menghasilkan Pesamaan (2.). ( 0 σ ) p (ζ() σ 0 φ() ) + (I 0 ) (M + S()) (ζ()) iβα U() (ζ() 0 I φ() φ() ) = {E V()} ( ζ() φ() ) (2.) Dai pesamaan (2.) didapatkan pesamaan difeensial ode- sepeti yang ditunjukkan oleh Pesamaan (2.2) dan pesamaan (2.3), ( d d + к U()F nk()) = (M + E nk V() + S())G nk (), (2.2) ( d d к + U()G nk()) = (M E nk + V() + S())F nk () (2.3) Manipulasi dai Pesamaan (2.2) dan Pesamaan (2.3) akan menghasilkan pesamaan Diac bagian adial untuk spin simeti dan pseudospin simeti untuk komponen uppe (atas) dan lowe (bawah), sepeti yang telihat pada Pesamaan (2.4) dan Pesamaan (2.5). { d2 к(к+) + 2к U() d 2 2 U2 ()} F nк () { du + Σ()(M + E d nк ())} F nк () = (M + E nк ())(M E nк )F nк () (2.4) { d2 к(к ) + 2к U() d 2 2 U2 ()} G nк () + { du + ()(M E d nк + Σ())} G nк () = (M + E nк )(M E nк + Σ())G nк () (2.5)

6 Dai Pesamaan (2.4) dan Pesamaan (2.5), dapat ditulis kembali menjadi komponen uppe dan lowe pesamaan Diac bagian adial, sepeti Pesamaan (2.6) dan Pesamaan (2.7). { d2 к(к+) + 2к U() d 2 2 U2 () du d } F d d nк() + ( ( d d +к U()) ) F (M+E nк ()) nк() + (M + E nк ())(E nк M Σ())F nк () = 0 (2.6) { d2 к(к ) + 2к U() d 2 2 U2 () + du dσ } G d d nк() + ( ( d d к +U()) ) G (M E nк +Σ()) nк() + (M + E nк ())(E nк M Σ())G nк () = 0 (2.7) Dimana () = V() + S() adalah jumlah potensial vekto dan skala. Sedangkan () = V() S() adalah pebedaan antaa potensial vekto dan skala (Supami, et.al., 203). Pada kasus spin simeti, diketahui nilai к(к + ) = l(l + ) mengaah ke, к = (l + ) = (j + 2 ) j = l +, к < 0, (2.8) 2 к = l = (j + 2 ) j = l, к > 0, (2.9) 2 Pebedaan dan jumlah pada potensial vekto dan potensial skala adalah, () = C s, Σ() = V() (2.20) Seupa dengan agumentasi pada kasus pseudospin simeti untuk pesamaan tipe-schödinge. Sedangkan dalam kasus pseudospin simeti, didapatkan nilai к(к ) = l (l + ) yang membeikan, к = l = (j + 2 ) l = l +, j = l + 2, к < 0, (2.2) к = l + = (j + 2 ) l = l, j = l 2, к > 0, (2.22) dimana к adalah bilangan kuantum pada obit spin. Pada kasus pseudospin simeti untuk penjumlahan dan pebedaan diantaa potensial vekto dan potensial skala sepeti, Σ() = C ps, () = V() (2.23) Kedua Pesamaan Diac untuk kasus eksak spin simeti dan kasus eksak pseudospin simeti dipecahkan menggunakan Metode Iteasi Asimtotik (AIM) (Supami, et.al., 204).

7 Potensial Khusus Menuut hipotesa Boh, atom tedii dai bebeapa elekton yang begeak melingka mengelilingi inti atom. Geakan atom yang dijelaskan dai hipotesa tesebut meupakan geakan gaya yang mengaah ke sental atau memiliki potensial sental. Suatu patikel begeak tidak hanya mengelilingi intinya, tetapi juga begeak secaa angule, geakan gaya dai petikel yang tidak hanya mengaah ke pusat (inti) meupakan geakan yang besifat non-sental sehingga dalam menjelaskan pilaku suatu petikel pelu mempehatikan geakan non-sental dai patikel tesebut (Aysiah, 204). Opeato Hamiltonian dapat menjelaskan suatu petikel yang bepindah pada sebuah potensial V(q,q2,q3). Opeato Hamiltonian dapat ditunjukkan sepeti pada Pesamaan (2.24). H = 2m (P 2 + P P 3 2 ) + V(q, q 2, q 2 ) = ħ2 ( m q q 2 q 3 2) + (V(q ) + V(q 2 ) + V(q 3 )) = ħ2 2m + V(q + q 2 + q 3 ) (2.24) Potensial yang dialami oleh suatu patikel yang bepindah dibagi menjadi dua yaitu, potensial sental dan potensial non-sental Potensial Sental (spheically symmetic) Potensial sental meupakan potensial yang tejadi pada pepindahan patikel yang hanya begantung pada, (q,q2,q3) pada Pesamaan (2.8) tegantung pada (jaak dai pusat). Jika menggunakan koodinat bola potensial sental tidak tegantung pada koodinat θ dan φ Potensial Non-Sental Geakan dai patikel yang tidak hanya mengaah ke pusat (inti) meupakan geakan yang besifat non-sental. Pesamaan umum dai potensial non-sental adalah sepeti yang ditunjukkan Pesamaan (2.25) (Aysiah, 204). V(, θ, φ) = V() + V(θ) + V(φ) 2 2 sin 2 θ (2.25)

8 Potensial Sental Radial Eckat plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tenso Tipe-Coulomb Pada pendekatan non-elativistik, yaitu ketika menentukan petikel benilai kecil jika dibandingkan dengan m (p<< m), patikel Diac spin ½ dapat disajikan dalam fungsi gelombang komponen-dua pada teoi Pauli. Pada pendekatan ini bedasakan kenyataan bahwa dua dai empat komponen fungsi Diac nilainya menjadi kecil ketika momentumnya kecil. Fungsi gelombang elativistik pada Pauli-Diac (Hamzavi and Rajabi, 203) dinyatakan pada Pesamaan (2.26). ψ( ) = ( F nk() G nk ( ) ) = U nk i g nk ( )Y jm l ( )Y jm l (θ, φ) (θ, φ) (2.26) Pesamaan (2.26) sama sepeti Pesamaan (2.0), dimana F nk () dan G nk ( ) meupakan fungsi gelombang spin atas (uppe) dan pseudospin bawah (lowe), dan Y jm l (θ, φ) dan Y jm l (θ, φ) meupakan spin dan pseudospin hamonik bola. Pensubstitusian pada Pesamaan (2.26) maka akan didapatkan Pesamaan (2.27) dan Pesamaan (2.28). σ p G() = [E V() M S()]F() (2.27) σ p F() = [E V() + M S()]G() (2.28) Ada bebeapa kasus untuk pesamaan Diac antaa eksak spin simeti dan eksak pseudospin simeti. Untuk kasus eksak spin simeti pebedaan antaa vekto potensial dan skala potensial adalah konstan (Cs = V S = Konstan) dan untuk kasus eksak pseudospin simeti jumlah antaa vekto potensial dan skala potensial adalah konstan (Cs = V + S = konstan). Pada kasus spin simeti yang eksak nilai Cs = 0, sehingga pada kasus khusus spin simeti yang eksak nilai V = S. Potensial Radial Eckat plus Manning Rosen yang dikopling dengan potensial tenso Tipe-Coulomb digenealisasikan dengan paamete defomasi. Paamete defomasi ini muncul dalam fungsi hamonik dan fungsi hypebolic. Fungsi yang mengandung paamete ini umumnya disebut fungsi hipebolik standa. Fungsi ini petama kali dipekenalkan oleh Aai (99). Rentang paamete didefinisikan sepeti beikut:

9 4 sinh x = ex e x ; cosh x = ex +e x ; sech x = 2 csch x = sinh x ; 2 sinh x tanh x = cosh x ; cosh x ; cosh x coth x = ; (2.29) sinh x Meupakan hal yang mudah untuk membuktikan bahwa identitas tigonometik dan hipebolik dai kedua fungsi (Zhang, et. al., 2005). cosh 2 x sinh 2 x = ; (2.30) (sinh x) = cosh x; (2.3) (cosh x) = sinh x; (2.32) (tanh x) = sech 2 x; (2.33) Genealisasi potensial Sental Radial Eckat hypebolic dengan paamete fungsi hipebolik ke dalam pesamaan umum Radial Eckat Pada fungsi hipebolik yang telah tesedia, potensial Radial Eckat hipebolik dapat digenealisasikan dengan paamete yang ada ke dalam pesamaan umum potensial Radial Eckat, sepeti pada Pesamaan (2.34). V E () = (V 4a 2 0 e a ( e a) (+e a) 2 V ) (2.34) ( e a) Pesamaan diatas dapat diselesaian menggunakan fungsi hipebolik standa. Mula-mula pesamaan (2.34) diselesaikan menggunakan caa pembagian dengan vaiable e. Namun, pesamaan tesebut dipisah menjadi dua buah deet, deet petama adalah yang tedapat vaiable V 0 dan deet kedua adalah yang mempunyai vaiable V. Deet petama: V () = [ ( e a) 2] (2.35a) Pesamaan (2.35a) dikalikan dengan e menjadi,

10 5 V () = [ ( e e a e ) Pelu diketahui bahwa : 2 ] (2.35b) (e ) 2 = e a, (2.36) (e a e a) = e 2 a, (2.37) ( e ) = e, (2.38) ( e a e ) = e, (2.39) Maka pada Pesamaan (2.38) dan Pesamaan (2.39) bisa digunakan pada Pesamaan (2.35b), menjadi Pesamaan (2.35a). V () = [ (e e ) 2] (2.35c) Pada Pesamaan (2.35c) digunakan fungsi hipebolik standa yang ditunjukkan pesamaan (2.29), maka pesamaan diatas akan menjadi Pesamaan (2.35d). V () = [ ] (2 sinh )2 (2.35d) Maka Pesamaan (2.35d) dapat diubah ke bentuk pesamaan umum Radial Eckat pada deet petama sepeti yang ditunjukkan pada Pesamaan (2.35e). V () = 4 sinh 2 (2.35e) Pesamaan (2.35e) adalah hasil dai deet petama penyelesaian dai potensial Radial-Eckat dai Pesamaan (2.34). Selanjutnya adalah penyelesaian deet kedua, sepeti yang ditunjukkan Pesamaan (2.40b). V 2 () = [ (+e a) ] (2.40a) ( e a)

11 6 Pesamaan (2.40a) dikalikan dengan V 2 () = ( e + e a e ) [ ( e e a e e menjadi, ) ] (2.40b) Pada Pesamaan (2.40b) menggunakan pendekatan pada Pesamaan (2.38) dan Pesamaan (2.39), maka Pesamaan (2.40b) dapat dituliskan sepeti Pesamaan (2.40c). V 2 () = [ e +e e e ] (2.40c) Pesamaan (2.40c) dapat disedehanakan menggunakan fungsi hipebolik standa pada Pesamaan (2.29) menjadi Pesamaan (2.40d). V 2 () = 2 cosh 2 sinh (2.40d) Maka Pesamaan (2.40d) juga dapat disedehanakan kembali menggunakan fungsi hipebolik pada pesamaan (2.29), menjadi sepeti yang ditunjukkan Pesamaan (2.40e). (2.4). V 2 () = coth (2.40e) Pesamaan potensial Radial-Eckat pada (2.34), maka menjadi Pesamaan V E () = 4a 2 (V 0V () V V 2 ()) V E () = (V 4a sinh 2 V coth ) (2.4) Pesamaan (2.4) nantinya akan digunakan dalam kombinasi potensial yang disubstitusi pada pesamaan Diac Spino. Potensial Eckat seing digunakan untuk mempekiakan koeksi mekanika kuantum untuk konstanta laju kimia teoitis yang ditentukan. Modifikasi bentuk potensial ini dengan fakto sentifungal. Potensial Eckat dapat diaplikasikan untuk menjelaskan vibasi molekul dan gaya anta molekul (Sai, 205).

12 Pesamaan umum potensial sental Manning-Rosen dan Tenso Tipe- Coulomb dalam bentuk adial hipebolik Potensial yang belum teselesaikan dalam pesamaan Diac salah satunya adalah potensial Manning Rosen. Potensial Manning-Rosen adalah model potensial yang digunakan untuk meneangkan tingkah laku getaan molekul anta atom (Hakim, 203), potensial Manning Rosen yang digunakan adalah potensial bagian adial, pesamaan potensial Manning Rosen secaa matematis dapat ditulis sepeti pada Pesamaan (2.42). V MN = ( v(v ) 4a 2 sinh 2 2q coth ) (2.42) Sedangkan potensial Tenso Tipe-Coulomb yang digunakan sepeti yang ditunjukkan pada Pesamaan (2.43). U() = H ~ H ke 2 (2.43) Pesamaan (2.43) adalah pesamaan Tenso Tipe-Coulomb yang temasuk dalam bagian potensial sental, maka dai itu pesamaan tesebut adalah bentuk adial dai potensial Tenso Tipe-Coulomb. Potensial pada Pesamaan (2.4), Pesamaan (2.42), dan Pesamaan (2.43) adalah potensial-potensial kombinasi yang akan disubstitusikan pada pesamaan Diac Spino yang sudah dibagi menjadi dua kasus yakni eksak spin simeti dan eksak pseudospin simeti yang ditunjukkan pada Pesamaan (2.6) dan Pesamaan (2.7) Asymptotic Iteation Method (AIM) Salah satu metode yang digunakan dalam memecahkan pesamaan Schödinge sepeti penghalang sentifugal dan/atau spin yang menjadi istilah obit penghubung disebut dengan Metode Iteasi Asimtotik. Untuk potensial yang dibeikan adalah bagaimana caa mengubah pesamaan Schödinge untuk linie pada pesamaan difeensial ode dua homogen, dimana fungsi khususlah yang menjadi solusinya. Asymptotic Iteation Method (AIM) atau metode iteasi asimtotik meupakan salah satu metode untuk mempeoleh penyelesaian secaa eksak dai pesamaan

13 8 difeensial ode dua, dalam bentuk sepeti pada Pesamaan (2.44) (Rostami & Motavali, 2008). y n "(x) λ 0 (x) y n (x) S 0 (x) y n (x) = 0 (2.44) λ 0 (x) 0, S 0 (x) meupakan koefisien dai pesamaan difeensial dan n menyatakan bilangan kuantum, dengan men-difeensialkan Pesamaan (2.44) tehadap x, maka akan dipeoleh Pesamaan (2.45). y n λ (x) y n (x) S (x) y n (x) = 0 (2.45) Dimana λ (x) = λ 0 + λ S 0 dan S (x) = S 0 + S 0 λ 0. Difeensial ke-dua dai pesamaan (2.45), adalah sepeti yang ditunjukkan Pesamaan (2.46). y n λ 2 (x) y n (x) S 2 (x) y n (x) = 0 (2.46) Dimana λ 2 (x) = λ + λ λ 0 + S dan S 2 (x) = S + S 0 λ, hasilnya akan sama hingga diffeensial ke-i, yang dituliskan pada Pesamaan (2.47). (2.49. y n i (x) λ i 2 (x) y n (x) S i 2 (x) y n (x) = 0 (2.47) dimana, λ i (x) = λ i + λ i λ 0 + S i, S i (x) = S i + S 0 λ i, i =,2,3, (2.48) Dai pesamaan (2.47) akan dipeoleh hubungan sepeti pada Pesamaan y n (i+2) (x) y n (i+) (x) = λ i[ y n (x)+ S iy λ n (x)] i λ i [ y n (x)+ S i λ i y n (x)] (2.49) Hal ini menggunakan aspek asimtotik dai metode iteasi untuk nilai i yang cukup besa, sepeti yang ditunjukkan pada Pesamaan (2.50). sedehana, S i λ i = S i λ i α (2.50) Maka pesamaan (2.49) dapat diubah menjadi Pesamaan (2.5) yang lebih y n (i+2) (x) y n (i+) (x) = λ i λ i (2.5) Selanjutnya dengan mengintegalkan Pesamaan (2.5), akan dipeoleh Pesamaan (2.52).

14 9 y n (i+) (x) = C e λ i λ i dx, (2.52) C adalah konstanta yang muncul dai hasil integal, dengan menggunakan Pesamaan (2.48) dan Pesamaan (2.50), maka Pesamaan (2.52) dapat menjadi sepeti Pesamaan (2.53). y n (i+) (x) = Cλ i e [α(x)+λ 0(x)]dx (2.53) Pesamaan (2.53), kemudian disubstitusikam ke dalam Pesamaan (2.47), maka akan dipeoleh pesamaan diffeensial petama pada pesamaan (2.54). y n (x) + α y n (x) Ce [α(x)+λ 0 (x)]dx = 0 (2.54) Solusi umum dai pesamaan difeensial (2.54) sepeti yang ditunjukkan pada Pesamaan (2.55). y n (x) = e α(x)dx [C + C e [λ 0 (x)+2α(x)]dx dx], (2.55) Dimana C adalah konstanta bau yang muncul akibat opeasi integal. Maka haga eigennilai enegi dapat dipeoleh dai opeasi aka sesuai kondisi pada Pesamaan (2.56) (Rostami & Motavali, 2008). λ i (x)s i (x) λ i (x)s i (x) = 0 = i, i = 2,3, (2.56) Walaupun Pesamaan (2.55) adalah solusi dai Pesamaan (2.44), namun hanya akan diambil nilai koefisien C adalah nol untuk mempeoleh solusi aka dai integal, sehingga pesamaan (2.55) dapat diubah menjadi sepeti Pesamaan (2.57). y n (x) = C e α n (x)dx (2.57) Pesamaan (2.57) adalah penyelesaian dai Pesamaan (2.44) yang akan digunakan untuk menentukan pesamaan fungsi gelombang pesamaan Diac (Solyu dkk., 2008). Bedasakan Falaye dkk. (202), Pesamaan (2.57) dapat diselesaikan dengan menggunakan Pesamaan (2.58). y n (x) = ( ) n C (N + 2) n (σ) n2 F ( n, p + n, σ, bx N+2 ) (2.58) Dengan, (σ) n = Γ(σ+n) Γ(σ), σ = 2c+N+3 N+2 p = (2c+)b+2t (N+2)b (2.59) Paamete-paamete pada Pesamaan (2.59) dipeoleh dengan membandingkan pesamaan tipe AIM pada Pesamaan (2.54) dengan pesamaan (2.60).

15 20 y (x) = 2 ( txn+ c+ bxn+2 ) x y (x) W N x bxn+2 (2.60) Dai pebandingan tesebut akan dipeoleh konstanta-konstanta yang dipelukan untuk mempeoleh konstanta pada Pesamaan (2.59), sehingga dapat ditentukan fungsi gelombang dengan mengacu pada Pesamaan (2.58) (Patiwi, 205).